Frenelove formule

T r e ć e p r e d a v a nj e

TRANSPORT OPTIČKOG ZRAČENJA

KROZ POVRŠINU DIELEKTRIKA

Frenelove formule

Već smo izučili zakone odbijanja (refleksije) i prelamanja (refrakcije) svetlosti. Našli smo odnose uglova koji određuju pravce prostiranja tri svetlosna talasa (upadni ili incidentni, odbijeni ili reflektovani i prelomljeni ili transmitovani). Ovde ćemo odrediti raspodelu intenziteta svetlosti između reflektovane i transmitovane komponente.

Dva homogena i izotropna, prozračna dielektrika dodiruju se na ravnoj, neograničenoj razdvojnoj površini (Sl. 3.1). Njihove permitivnosti su $\varepsilon _{1}$ i $\varepsilon _{2}$. Shodno Maksvelovoj teoriji, indeksi prelamanja su $n_{1}=\sqrt{\varepsilon _{1}}$ i $n_{2}=\sqrt{\varepsilon _{2}}$, budući da su permeabilnosti $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ za praktično sve dielektrike o kojima je ovde reč, u vidljivoj oblasti spektra, približno jednaki jedinici. Iz sredine 1 upada na 2 ravanski

Sl. 3.1 Uz izvođenje Frenelovih formula

monohromatski svetlosni talas. Vektor jačine električnog polja tog upadnog talasa (svetlosni vektor) obeležimo sa $\vec{E}_{\text{i}}$. Njega je pogodno razložiti na dve međusobno upravne komponente, $\vec{E}_{\text{i}}=\vec{E}_{\text{i}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{i}}^{\text{s}}$. Ovde indeks p označava vektor koji leži u incidentnoj ravni $\left(x,z\right)$, a indeks s stoji za vektor koji pripada sagitalnoj ravni (tj. vektor koji je normalan na incidentnu ravan, usmeren duž $y$-ose). Na sličan način razložimo i svetlosne vektore reflektovanog i transmitovanog talasa; dobićemo, redom, $\vec{E}_{\text{r}}=\vec{E}_{\text{r}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{r}}^{\text{s}}$, $\vec{E}_{\text{t}}=\vec{E}_{\text{t}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{t}}^{\text{s}}$. Napišimo $x$, $y$ i $z$ komponente svetlosnih vektorâ sva tri talasa:

$$E_{\text{ix}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{rx}}=E_{\text{r}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{tx}}=E_{\text{t}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{t}} \tag{3.1a}$$ $$E_{\text{iy}}=E_{\text{i}}^{\text{s}},\quad E_{\text{ry}}=E_{\text{r}}^{\text{s}},\quad E_{\text{ty}}=E_{\text{t}}^{\text{s}} \tag{3.1b}$$ $$E_{\text{iz}}=-E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{rz}}=-E_{\text{r}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{tz}}=-E_{\text{t}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{t}} \tag{3.1c}$$

Znaci u ovim izrazima su u skladu sa uslovno usvojenim pozitivnim smerovima p i s vektora na Sl. 3.1.

Primenimo sada granične uslove za elektromagnetske veličine na razdvojnoj površini: tangencijalne komponente vektorâ $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$ (jačinâ električnog i magnetskog polja) ne trpe skok na granici između dve posmatrane sredine. Taj uslov neprekidnosti za svetlosni vektor daje sledeće relacije (koje važe u svakom trenutku)

$$E_{\text{ix}}+E_{\text{rx}}=E_{\text{tx}}, \tag{3.2a}$$ $$E_{\text{iy}}+E_{\text{ry}}=E_{\text{ty}}. \tag{3.2b}$$

Na sličan način, uslovi neprekidnosti za magnetske komponente glase

$$H_{\text{ix}}+H_{\text{rx}}=H_{\text{tx}}, \tag{3.3a}$$ $$H_{\text{iy}}+H_{\text{ry}}=H_{\text{ty}}. \tag{3.3b}$$

U ravanskom elektromagnetskom talasu vektori $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$ su povezani na poznati način (o tome smo učili u elektromagnetizmu); prema našoj notaciji možemo da pišemo

$$\sqrt{\mu _{0}\mu _{1}}\,H^{\text{s}}=\sqrt{\varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}\,E^{\text{p}}, \tag{3.4a}$$ $$\sqrt{\mu _{0}\mu _{1}}\,H^{\text{p}}=-\sqrt{\varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}\,E^{\text{s}}. \tag{3.4b}$$

Već smo napomenuli da radimo u aproksimaciji $\mu _{1}\simeq \mu _{2}\simeq 1$. Iz zakona odbijanja svetlosti znamo da je $\theta _{\text{i}}=\theta _{\text{r}}$. Iskoristićemo, po zakonu prelamanja, i vezu $n_{1}\text{sin}\theta _{\text{i}}=n_{2}\text{sin}\theta _{\text{t}}$. Tada će se granični uslovi (3.2) i (3.3), ako se ima u vidu i relacija (3.4), svesti na sledeće jednačine:

$$(E_{\text{i}}^{\text{p}}-E_{\text{r}}^{\text{p}})\,\text{cos}\theta _{\text{i}}=E_{\text{t}}^{\text{p}}\text{cos}\theta _{\text{t}}, \tag{3.5a}$$ $$E_{\text{i}}^{\text{s}}+E_{\text{r}}^{\text{s}}=E_{\text{t}}^{\text{s}}, \tag{3.5b}$$ $$(E_{\text{i}}^{\text{s}}-E_{\text{r}}^{\text{s}})\,\text{cos}\theta _{\text{i}}=\frac{\text{sin}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}\theta _{\text{t}}}\,E_{\text{t}}^{\text{s}}\text{cos}\theta _{\text{t}}, \tag{3.5c}$$ $$E_{\text{i}}^{\text{p}}+E_{\text{r}}^{\text{p}}=\frac{\text{sin}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}\theta _{\text{t}}}\,E_{\text{t}}^{\text{p}}. \tag{3.5d}$$

Smatrajući da su incidentne komponente $E_{\text{i}}^{\text{p}}$ i $E_{\text{i}}^{\text{s}}$ zadate, možemo iz sistema jednačina (3.5) naći četiri nepoznate veličine $E_{\text{r}}^{\text{p}}$, $E_{\text{r}}^{\text{s}}$, $E_{\text{t}}^{\text{p}}$ i $E_{\text{t}}^{\text{s}}$. Postupak određivanja p komponenti može teći nezavisno od određivanja s komponenti (one nisu spregnu

Augustin-Jean Fresnel (1788 — 1827)

francuski fizičar i inženjer

te veličine, u skladu sa opitnim faktom da, na primer, laserskim zrakom potpuno polarizovanim u incidentnoj ravni ne možemo pobuditi neku od s komponenti). Iskoristimo prvu i četvrtu relaciju da nađemo p komponente, a onda drugu i treću za s komponente. Rezultat je:

$$E_{\text{r}}^{\text{p}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\frac{\text{tg}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\text{tg}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}, \tag{3.6a}$$ $$E_{\text{r}}^{\text{s}}=-E_{\text{i}}^{\text{s}}\,\frac{\text{sin}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}, \tag{3.6b}$$ $$E_{\text{t}}^{\text{p}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\frac{2\text{sin}\theta _{\text{t}}\text{cos}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})\text{cos}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}, \tag{3.6c}$$ $$E_{\text{t}}^{\text{s}}=E_{\text{i}}^{\text{s}}\,\frac{2\text{sin}\theta _{\text{t}}\text{cos}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}. \tag{3.6d}$$

Ovo su čuvene Frenelove formule. Pomoću njih se mogu naći amplitude reflektovane i transmitovane svetlosti, samim tim i pripadajući intenziteti. Formule je izveo Žan-Ogisten Frenel 1923. godine koristeći fizički neusaglašen model svetlosnog etra kao luminiferne sredine. Razvojem nauke taj je koncept prevaziđen, ali je zadivljujuća činjenica da je Frenelov matematički tretman ostao validan i za neprotivrečnu elektromagnetsku teoriju svetlosti u kojoj se svetlosne oscilacije poistovećuju sa oscilacijama svetlosnog vektora (on izaziva, prema opitnim podacima, većinu svetlosnih efekata).

Uvid u osnovni fizički sadržaj Frenelovih formula

Brusterov zakon

Pomoću jednostavne eksperimentalne šeme sa Sl. 3.2 možemo shvatiti osnovne posledice Frenelovih formula. Koristićemo, kao i u nekim ranijim prilikama, školski He-Ne laser male snage (0,5 $\,$ mW). Raspolažemo prozračnim poludiskom (na primer, od pleksiglasa, poluprečnika 10 cm i debljine 1 cm) na koji usmeravamo laserski zrak po normali na cilindričnu površinu (duž radijusa) tako da svetlost izlazi kroz centar C granične kružne površine. Na kružnoj skali $s$ se mogu videti svetle mrlje, mesta gde dospevaju prelomljeni i odbijeni zrak.

Ako je okolna sredina vazduh, zrak se prelama od normale te je $\theta _{\text{t}}>\theta _{\text{i}}$. Prvo, postavimo laser tako da ne postoji s komponenta svetlosnog vektora laserskog zraka (svetlosni vektor leži u incidentnoj ravni). Povećavajmo ugao $\theta _{\text{i}}$. Jednog momenta primećujemo da se ugasio odbijeni zrak R. Na skali očitavamo da je tada $\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}}=\pi /2$. Taj naročiti upadni ugao zove se Brusterov ugao i označava se $\theta _{\text{B}}$.

Sl. 3.2 Uz analizu posledica Frenelovih formula

U prvoj Frenelovoj formuli primećujemo matematičku mogućnost da se ovaj fenomen opiše. Zbilja, ona daje $\text{tg}(\theta _{\text{B}}+\theta _{\text{t}})=\infty$, tj. $E_{\text{r}}^{\text{p}}=0$, a kako je već $E_{\text{r}}^{\text{s}}=0$, reflektovanog zraka ne može biti. Iz zakona prelamanja sledi $n\,\text{sin}\theta _{\text{B}}=\text{sin}(\pi /2-\theta _{\text{B}})$, tj.

$$\text{tg}\theta _{\text{B}}=\frac{1}{n}, \tag{3.7}$$

gde je $n$ indeks prelamanja materijala poludiska (ili, u opštem slučaju, količnik indeksâ prelamanja druge i prve sredine). Iz Brusterovog zakona (3.7) može se izračunati traženi ugao za date materijale. Na primer, u našem opitu kada je $n\simeq 3/2$ sledi $\theta _{\text{B}}=33,69^{0}$.

David Brewster (1781 — 1868)

škotski fizičar

Poznato je sledeće pojednostvljeno fizičko objašnjenje Brusterovog efekta. U električnom polju svetlosnog talasa transformišu se molekuli u površinskom sloju u elementarne dipole. Ose dipola imaju pravac svetlosnog vektora. Maksvelova teorija razjašnjava da dipol ne može zračiti duž svoje ose. Pri Brusterovom upadnom uglu, pravac reflektovanog talasa bi morao biti istovetan sa pravcem svetlosnog vektora, tj. ose dipola. Otuda sledi da se reflektovani talas pod tim okolnostima i ne može formirati.

Ako na razdvojnu površinu upada prirodna svetlost, reflektovani zrak će postojati. Međutim, reflektovana svetlost će u tom slučaju biti ravanski polarizovana, njen svetlosni vektor će u celosti pripadati s-ravni.

Na mestima nekog optičkog sistema, kada je poželjno smanjiti gubitke svetlosne energije na refleksiju — upotrebljavaju se Brusterovi prozori. Na takav primer nailazimo kod konstrukcije laserskih cevi. Istovremeno, Brusterovi prozori garantuju da, ako to želimo, možemo imati ravanski polarizovanu svetlost na izlazu. Evo male diskusije na ovu temu.

Kad objašnjavaju Brusterov zakon, autori skoro svih udžbenika iz optike prate putanju zraka iz optički ređe sredine u optički gušću sredinu. Naravno, to je korektan postupak. Ipak, kod studenta može nastati nedoumica: ispoljava li se Brusterov efekt i na graničnoj površi na koju upada svetlosni zrak kad prelazi iz optički gušće sredine u optički ređu sredinu? Svakako, odgovor je potvrdan; zato smo u ovoj knjizi i tretirali taj

Sl. 3.3 Brusterovi uglovi planparalelne pločice

slučaj propagacije svetlosnog talasa. Prema našoj formuli (3.7), videli smo, ako svetlost ulazi u vazdušni sloj iz prozračne staklene pločice, Brusterov ugao iznosi $\theta _{\text{B}}=\text{arctg}\left(1/1,5\right)$, odnosno $\theta _{\text{B}}=33,69$ stepeni.

Lekciju o Brusterovom zakonu valja dopuniti primerom kad snop svetlosti upada na plan-paralelnu pločicu. Ovaj slučaj ima važnu primenu u konstrukciji gasnih lasera (videti prilog o He-Ne laseru) i pojedinih optičkih elemenata. Na Sl. 3.3, odbijeni zrak ne postoji u tački 1 ako je upadni ugao jednak Brusterovom uglu $\theta _{\text{B}1}=\text{arctg}\left(n\right)$; ali odbijeni zrak ne postoji ni u tački 2, jer u pločici PPP zrak upada opet pod Brusterovim uglom, koji sada iznosi $\theta _{\text{B}2}=\text{arctg}\left(1/n\right)$. Ovde je $n$ indeks prelamanja staklene pločice. Kad se zrak, koji je prošao kroz pločicu bez gubitaka intenziteta na procese odbijanja, odbije od ogledala O putovaće nazad na simetričan način — opet ne gubeći intenzitet.

Potpuno unutrađnje odbijanje svetlosti. Struktura polja

Sada u opitu sa Sl. 3.2 povećavajmo upadni ugao. Kada je upadni ugao veći od Brusterovog ugla, primetićemo da se pojavio i reflektovani zrak, čak i u slučaju čiste p-polarizacije. Istovremeno vidimo da sa porastom $\theta _{\text{i}}$ ugao $\theta _{\text{t}}$ teži $90^{0}$. Kada je upadni ugao jednak graničnom uglu $\theta _{\text{g}}$, nastaje potpuno unutrašnje odbijanje svetlosnog talasa. O tome smo govorili na drugom mestu. Ovde ćemo reći nešto o energetskom bilansu za $\theta _{\text{i}}\ge \theta _{\text{g}}$ i strukturi polja u donjem dielektriku, ispod razdvojne ravni na Sl. 3.2.

Transmitovani talas koji se prostire duž ose $r$ možemo opisati kompleksnim izrazom

$$E=E_{0}\,e^{i(\omega t-\vec{k}\cdot \vec{r})}. \tag{3.8}$$

Kako je

$$\vec{k}\cdot \vec{r}=k_{\text{x}}x+k_{\text{z}}z=k\left(x\sin \theta _{\text{t}}+z\cos \theta _{\text{t}}\right), \tag{3.8a}$$

gde je talasni broj $k=\omega n_{2}/c_{0}$, izraz (3.8) može da se prikaže u obliku

$$E=E_{0}\,e^{-ikz\text{cos}\theta _{\text{t}}}\,e^{i(\omega t-kx\text{sin}\theta _{\text{t}})}. \tag{3.9}$$

Ovaj se oblik može protumačiti i kao izraz za talas koji se prostire duž x-ose brzinom $\omega /\left(k\sin \theta _{\text{t}}\right)$ a karakter amplitude $A$ duž z-pravca određuje veličina $k\cos \theta _{\text{t}}$. Prema zakonu prelamanja je

$$\text{cos}\theta _{\text{t}}=-\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}\,z. \tag{3.10}$$

(Negativni znak je u skladu sa zadatkom: formalno, analiziramo situaciju kada je $\theta _{\text{t}}>\pi /2$) Za amplitudu ćemo dobiti izraz

$$A=E_{0}\,e^{ik\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}\,z}. \tag{3.11}$$

Za $\theta _{\text{i}}>\theta _{\text{g}}$, $n\sin \theta _{\text{i}}>1$ pa dobijamo

$$A=E_{0}\,e^{-k\sqrt{(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}-1}\,z}. \tag{3.12}$$

Pri potpunom unutrašnjem odbijanju, kako pokazuje izraz (3.12), u oblasti $z>0$ postoji specifičan elektromagnetski talas čija se amplituda eksponencijalno smanjuje sa rastojanjem od granične površine.

Lako je pokazati da se prva i druga Frenelova jednačina svode u tim okolnostima na oblik

$$E_{\text{r}}^{\text{p}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\frac{\text{cos}\theta _{\text{i}}+n\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}}{\text{cos}\theta _{\text{i}}-n\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}}, \tag{3.13a}$$ $$E_{\text{r}}^{\text{s}}=E_{\text{i}}^{\text{s}}\,\frac{n\text{cos}\theta _{\text{i}}+\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}}{n\text{cos}\theta _{\text{i}}-\sqrt{1-(n\text{sin}\theta _{\text{i}})^{2}}}. \tag{3.13b}$$

Odavde vidimo da su apsolutne vrednosti reflektovanih komponenti, pri uslovu $n\text{sin}\theta _{\text{i}}>1$, jednake apsolutnim vrednostima incidentnih komponenti, tj. celokupni svetlosni fluks koji dospeva iz prve sredine do razdvojne površine vraća se u tu sredinu. Pri tom je ceo proces u vezi sa Gus-Henkenovim efektom (o njemu smo već govorili na prvom predavanju).

Da postoji naročita struktura elektromagnetskog polja u optički ređoj sredini, te da neka gustina elektromagnetske energije tamo može da se detektuje, svedoče ubedljivi eksperimentalni dokazi. U laboratorijama se koriste razne tehnike, od kojih su neke i vrlo očigledne. Na primer, potpuno unutrašnje odbijanje može se izazvati na granici stakla ($n_{1}=1,52$) i vode ($n_{2}=1,33$). Fluorescentna supstanca koja je rastvorena u vodi aktivira se pod uticajem penetrirajućeg polja. Takva sekundarna svetlost se može lako detektovati budući da ima svoj karakterističan spektralni sastav.

Poznati su takođe i eksperimenti sa mikrotalasima. Kao opšti talasni fenomen, potpuno unutrašnje odbijanje postoji i pri prostiranju mikrotalasa kroz dielektrične sredine. U tom slučaju, dubina penetracije koja je, u skladu sa onim što je rečeno uz komentar Sl. 2.18 i u skladu sa jednačinom (3.12), reda veličine talasne dužine elektromagnetskog talasa, lako se ustanovljava: u mikrotalasnom opitu, ona je povećana za faktor $10^{5}$.

Vrlo često se efekt potpunog unutrašnjeg odbijanja svetlosti koristi kod prizmi. Na priloženoj fotografiji prikazan je primer bogatih mogućnosti upravljanja snopom svetlosti pomoću jedne, dve ili više prizmi, uz korišćenje efekta potpunog odbijanja svetlosti.

Sl. 3.3 Primer upravljanja svetlosnim snopom

primenom dve prizme, s efektom potpunog odbijanja

Na neki način, u tim slučajevima se može govoriti o idealnim reflektujućim elementima u optičkoj šemi.

Koeficijenti odbijanja i transmisije

Vratimo se sada opitu sa Sl. 3.2 i uzmimo da u opštem slučaju svetlost upada iz sredine s indeksom 1 u donju sredinu s indeksom 2. Brusterov zakon onda ima oblik

$$\text{tg}\theta _{\text{B}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}. \tag{3.7a}$$

U opitu nam je udobno da bude $n_{1}=1$, a $n_{2}$ neko prozračno staklo ili plastika. Tada, za s-polarizovani laserski zrak ustanovljavamo da intenzitet reflektovane svetlosti monotono raste kada $\theta _{\text{i}}$ raste od nule do pravog ugla. To pokazuje indikator I na izlazu fotodiode FD koja reaguje proporcionalno fluksu optičkog zračenja koje na nju pada. U opsegu uglova $0<\theta _{\text{i}}<30^{0}$ nivo reflektovanog fluksa je uglavnom konstantan; to je vrednost jednaka nekih 4% od upadnog intenziteta. Kad je $\theta _{\text{i}}>30^{0}$, uočava se nagli porast refleksije, da bi pri skoro horizontalnom upadu praktično ceo upadni fluks bio reflektovan.

Za p-polarizaciju slika je slična u početku, ali za uglove veće od tridesetak stepeni počinje pad refleksije, da bi se reflektovani zrak i potpuno ugasio pri Brusterovom uglu (blizu $60^{0}$ za površinu vazduh/staklo; arctg(1,5) je 56,3 stepena). Kada upadni ugao uzima vrednosti veće od $\theta _{\text{B}}$, primećuje se nagli rast reflektovanog intenziteta; ponovo, za skoro horizontalni upad ($\theta _{\text{i}}\to \pi /2$), svetlost se praktično sva reflektuje.

Ovaj kvalitativni pregled eksperimentalnih rezultata detaljno je u skladu sa ponašanjem sistema koje se može predvideti pomoću Frenelovih formula. Prvo, setimo se da teorija ravanskih elektromagnetskih talasa ustanovljava da je intenzitet talasa proporcionalan vremenskoj srednjoj vrednosti kvadrata jačine električnog polja, tačnije njega određuje veličina $n\overline{E^{2}}$. Definišimo koeficijent refleksije kao odnos intenziteta reflektovanog i incidentnog talasa, $\rho =I_{\text{r}}/I_{\text{i}}$. Tada iz Frenelovih jednačina nalazimo za p-komponentu

$$\rho _{\text{p}}=\frac{\int^{2} (\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\int^{2} (\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}. \tag{3.14}$$

Slično, za s-komponentu važi

$$\rho _{\text{s}}=\frac{\int^{2} (\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\int^{2} (\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}. \tag{3.15}$$

Što se tiče transmitovanog talasa, odgovarajući izrazi su

$$\tau _{\text{p}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\text{cos}\theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}\left(\frac{2\cos \theta _{\text{i}}}{\left(n_{2}/n_{1}\right)\cos \theta _{\text{i}}+\cos \theta _{\text{t}}}\right)^{2}, \tag{3.16}$$ $$\tau _{\text{s}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\text{cos}\theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}\left(\frac{2\cos \theta _{\text{i}}}{\cos \theta _{\text{i}}+\left(n_{2}/n_{1}\right)\cos \theta _{\text{t}}}\right)^{2}. \tag{3.17}$$

Veličina $\tau$ se zove koeficijent transmisije, ili prozračnosti, i predstavlja odnos intenziteta transmitovanog i reflektovanog talasa, $\tau =I_{\text{t}}/I_{\text{i}}$. PC grafici relacija (3.14) i (3.15) priloženi su na Sl. 3.4a i Sl. 3.4b.

Sl. 3.4a

Sl. 3.4b

Napominjemo da je izračunavanje izvršeno za razdvojnu površinu vazduha ($n_{1}\simeq 1$) sa staklom ($n_{2}=1,5$).

Krive za koeficijente transmisije date su na Sl. 3.5a i Sl. 3.5b.

Sl. 3.5a

Posmatranjem ovih grafika naslućujemo rezultate

$$\tau _{\text{s}}=1-\rho _{\text{s}},$$ $$\tau _{\text{p}}=1-\rho _{\text{p}};$$

Tako i mora biti u skladu sa zakonom održanja energije.

Naravno, pomoću ovih rezultata moguće je tretirati i energetski bilans kada

Sl. 3.5b

je upadna svetlost prirodna (nepolarizovana). U tom slučaju treba imati u vidu da postoje i p i s komponente svetlosnog vektora nailazećeg talasa i da su, zbog simetrije, intenziteti s i p komponenti jednaki.

Normalna incidencija svetlosti

Videli smo da je koeficijent refleksije za s-polarizaciju minimalan pri normalnom upadanju svetlosnog talasa, tj. kada je $\theta _{\text{i}}=0$. Praktično se taj nivo refleksije održava i kada upadni ugao ima desetak, pa i više stepeni. U primenama je česta situacija normalne, ili skoro normalne incidencije. Stoga je korisno izučiti aproksimativne izraze kada je $\theta _{\text{i}}\approx 0$.

Koeficijent refleksije možemo naći bilo iz jednačine (3.14), bilo iz (3.15), budući da je za mali argument valjano uprošćavanje tipa $\text{tg}x\simeq \sin x\simeq x$. Za mali ugao $\theta _{\text{i}}$ je, prema zakonu prelamanja svetlosti, $n_{1}\theta _{\text{i}}\simeq n_{2}\theta _{\text{t}}$. Odmah dobijamo

$$\rho \simeq \int^{2} . \tag{3.18}$$

Slično, iz jednačine (3.16), ili (3.17), dobijamo za koeficijent transmisije

$$\tau \simeq \frac{n_{2}}{n_{1}}\,\int^{2} . \tag{3.19}$$

Primetimo prvo da refleksije nema u graničnom slučaju $n_{2}\to n_{1}$, što je logično očekivati. U optičkim uređajima česta je razdvojna površina staklo/vazduh. Uzimajući u tipičnom slučaju da je $n_{2}\simeq 1,5$ i $n_{1}\simeq 1$, izračunavamo da se reflektuje nekih $4$ procenta upadnog intenziteta. To i nije malo ako se ima u vidu da takvih površina može da bude i nekoliko u složenijim optičkim sistemima. O mogućnostima redukcije reflektovane svetlosti biće govora na drugom mestu u knjizi. Ovde naglasimo sledeće. Ako treba spojiti dva elementa od stakla a da se izbegnu (što je moguće više) neželjene refleksije, mora lepak biti, razume se, providan, ali i imati indeks prelamanja koji je blizak indeksu prelamanja upotrebljenog stakla. Tako se ostvaruje dobar i mehanički i optički kontakt. Na primer, neretko se kao lepak koristi kanadski balzam. Njegov indeks prelamanja je $n_{\text{kb}}=1,54$. Na granici staklo/balzam je dakle $n_{2}-n_{1}=1,52-1,54=-0,02$. Zato je $\rho \simeq 4,27\cdot 10^{-5}$, a to je vrednost koja se praktično može zanemariti.

Fazni odnosi svetlosnih talasa

Pri prelamanju svetlosti ne dolazi do faznog skoka ni za p- ni za s-polarizaciju. Opit potvrđuje takav zaključak koji sledi iz Frenelovih formula. Zbilja, posmatrajući zadnje dve relacije u jednačinama (3.6) zaključujemo da su znaci $E_{\text{t}}^{\text{s}}$ i $E_{\text{i}}^{\text{p}}$ identični, i to za bilo koje vrednosti uglova $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{t}}$.

Drugačije je pri odbijanju svetlosti. Fazni odnosi tada zavise i od indeksa prelamanja dve sredine, i od samog upadnog ugla. Ako je $n_{2}>n_{1}$, $E_{\text{r}}^{\text{s}}$ uvek će biti drugačijeg znaka od $E_{\text{i}}^{\text{s}}$, tj. faza se menja za $\pi$. Uz isti odnos indeksâ prelamanja ($n_{2}>n_{1}$) komponenta $E_{\text{r}}^{\text{p}}$ trpi fazni skok za $\pi$ tek kada je $\theta _{\text{i}}>\theta _{\text{B}}$. Prva Frenelova formula predviđa naglu promenu faze za $\pi$ u samoj tački $\theta _{\text{i}}=\theta _{\text{B}}$. Kako ovo nije primećeno u opitima, može se govoriti o izvesnom defektu u Frenelovim formulama (objašnjenje fenomena izlazi iz okvira našeg razmatranja).

Ako je $n_{2}<n_{1}$ nema promene faze u reflektovanom talasu, bez obzira da li se radi o s- ili p-polarizaciji.

Na kraju, naglasimo važan zaključak. Pri refleksiji od optički gušće sredine menja se faza svetlosnog vektora reflektovanog talasa za $\pi$. Takve karakteristične promene nema pri refleksiji svetlosnog talasa od optički ređe sredine. Ove razlike treba imati u vidu naročito u raznim interferencionim situacijama, o čemu ćemo govoriti u poglavlju o interferenciji.