Difrakcija

Č e t v r t o p r e d a v a nj e

DIFRAKCIJA OPTIČKOG ZRAČENJA

Hajgens-Frenelov princip

Razmotrimo situaciju skiciranu na Sl. 4.1. Na neprovidnom ekranu Z postoji otvor $\ell$ kroz koji prolazi svetlost od malog, monohromatskog izvora lociranog u tački O. Svetlost ima talasnu dužinu $\lambda$. Treba odrediti svetlosnu oscilaciju $E_{\text{P}}$ u nekoj tački P iza ekrana, samim tim i intenzitet svetlosti na tom mestu. Obeležimo sa $a$ udaljenost tačke O od otvora, a sa $b$ odgovarajuću udaljenost tačke P.

Sl. 4.1 Uz razmatranje difrakcionog kriterijuma

Neka je, dalje, $D$ neka karakteristična dimenziju otvora. Opit pokazuje da se u opštem slučaju postavljeni zadatak ne može rešiti sa zadovoljavajućom tačnošću metodom geometrijske optike, makar postojala i direktna vidljivost između tačaka O i P. Šta više, tačka posmatranja može biti i zatamnjena. Stroga razmatranja preciziraju (videti dalje u tekstu jednačinu (4.21) i komentare s njom u vezi):

Ako je zadovoljen uslov $\sqrt{\lambda f}/D\ge 1$, gde je $1/f=1/a+1/b$, više ne mogu da se zanemare talasna svojstva optičkog zračenja, postaje bitna difrakcija — mogu se opaziti odstupanja od geometrijskih zakona prostiranja optičkog zračenja.

Opisani difrakcioni zadatak može da se reši primenom Maksvelovih jednačina. Ali, potpuni postupak te vrste, uz zadovoljavanje konkretnih graničnih uslova u svakom posebnom slučaju, po pravilu dovodi do znatnih matematičkih teškoća. Zbog toga se neki difrakcioni zadaci, važni u praksi, često tretiraju približno. Jedan od takvih puteva počiva na primeni Hajgens-Frenelovog principa koji daje zadovoljavajuća rešenja raspodele intenziteta svetlosti u ograničenoj oblasti uz ivicu geometrijske senke. Razmotrimo suštinu tog postupka. Setimo se:

Po Hajgensovom principu, od svake tačke do koje je stigao talas šire se na sve strane sekundarni talasi. U svom zbiru oni određuju dalji karakter rezultirajućeg talasa. Pre svega, sekundarni talasi svojom obvojnicom definišu talasni front, površinu do koje je stigao talas. Na taj način Hajgensov princip uspešno predočava pravolinijsko prostiranje talasa i slikovito tretira procese odbijanja i prelamanja talasa na površinama, ali naglašeno šematizovano, više u formi recepta; jer taj princip ne koristi pojam talasne dužine, što bi omogućilo puniji tretman pojava, sa više pojedinosti.

Frenel je usavršio Hajgensov princip pretpostavkom da sekundarni talasi međusobno interferišu. Taj fizički proces bitno utiče na formiranje rezultirajućeg optičkog polja!

Ideja je ispala plodotvorna; novi postupak dao je fizički sadržaj onom što je u prvobitnom principu bilo samo šablon. Na primer, Frenelova pretpostavka odmah objašnjava da se sekundarni talasi sabiraju na frontu, budući da tamo stižu u fazi. Više od toga, poboljšani princip je omogućio kvantitativni tretman pojedinih problema.

Hajgensov princip, uz Frenelovu dopunu, nosi naziv Hajgens-Frenelov princip. Pokazaćemo kako se taj inovirani postupak može i matematički uobličiti u vidu integrala, rešivog uz razne pretpostavke, za mnoge važne primene.

Zamislimo neku površinu $S$ koja se naslanja na konturu $\ell$ otvora u ekranu $Z$ sa Sl. 4.1. Podelimo tu površinu na elementarne delove $d\le 2\lambda$ (oni su još uvek veći od kvadrata talasne dužine). Svetlosni talas koji stiže do ekrana iz tačke O izaziva na elementu $d\le 2\lambda$ svetlosnu oscilaciju koju ćemo označiti sa $E$ (to može biti bilo koja od komponenti vektora $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ elektromagnetskog polja svetlosnog talasa). Elementarna površina, pobuđena prispelim talasom, i sama zrači sekundarne svetlosne talase koji se protiru na sve strane. Neka je $dE_{\text{P}}$ svetlosna oscilacija koju stvara element $d\le 2\lambda$ u tački P. Pretpostavlja se da je $dE_{\text{P}}\sim E\,dS_{\text{n}}$. Ovde je $dS_{\text{n}}$ projekcija površine $d\le 2\lambda$ na ravan normalnu na talasni vektor $\overrightarrow{K}$ primarnog talasa na posmatranom mestu (uzimajući u obzir upravo ovu projekciju obezbeđujemo da rezultat izračunavanja ne zavisi od orijentacije elementarne površine). Sekundarnom svetlosnom talasu, koji je po pretpostavci sferni, menja se pri prostiranju do tačke P kako amplituda tako i faza. Te promene uzimamo u obzir množiteljem $\exp \left(-ikr\right)/r$ gde je $r$ udaljenost tačke P od elementarne površine $d\le 2\lambda$ dok je $k=2\pi /\lambda$ talasni broj. Ali, amplituda sekundarnog talasa zavisi i od ugla $\alpha$ između vektorâ $\overrightarrow{K}$ i $\vec{r}$, pa moramo uzeti u obzir i izvesni koeficijent nagiba $K(\alpha )$. Logično je pretpostaviti da je ta veličina maksimalna za $\alpha =0$ i da monotono opada kad $\alpha$ raste. Interesantno je da su za neke namene dovoljne i gornje oskudne napomene o karakteru funkcije $K(\alpha )$. Prema tome, biće

$$dE_{\text{P}}=K(\alpha )\,E\,\frac{e^{-i\,kr}}{r}\,dS_{\text{n}}. \tag{4.1}$$

Ukupna svetlosna oscilacija u tački P dobija se sabiranjem doprinosa svih elementarnih površina, pa je

$$E_{\text{P}}=\int_{S} \,K(\alpha )\,E\,\frac{e^{-i\,k\,r}}{r}\,dS_{\text{n}}. \tag{4.2}$$

Ovaj integral je matematička formulacija Hajgens-Frenelovog principa. Integral ne zavisi od oblika površine. Veličina $E$ je, po pretpostavci, u tačkama površine $S$ ista ona kao kad ekrana na putu prostiranja talasa ne bi ni bilo. Dalje se pretpostavlja da je $E$ u tačkama neposredno iza neprovidnog dela ekrana jednaka nuli. Ni na koji se način ne uzima u obzir specifičnost materijala od kojeg je načinjem ekran. Bitan je jedino karakter otvora, forma konture $\ell$. Opit pokazuje da je pobrojane pretpostavke moguće tolerisati ako je $D$, $a$, $b>>\lambda$; tada odstupanja od zahteva geometrijske optike nisu prevelika i postupak u skladu sa formulom (4.2) daje prihvatljive rezultate.

Frenelove zone

Primenimo Hajgens-Frenelov integral za nalaženje amplitude svetlosne oscilacije u nekoj tački P na osi simetrije iza kružnog otvora na neprozirnom ekranu. Posmatrajmo Sl. 4.2.

Tačkasti izvor monohromatske svetlosti u tački O leži na osi kružnog otvora, kao i tačka P. Zamišljena površina $S$ po kojoj se integrali neka bude sfera radijusa $a$, s centrom na mestu izvora. Sfera se naslanja na kružni obod otvora.

Sl. 4.2 Postupak formiranja Frenelovih zona

Tako izabrana površina nam omogućava da upadnu svetlosnu oscilaciju $E$ u svim elementima površine $d\le 2\lambda$ tretiramo kao konstantnu veličinu tipa $E=E_{0}\,\text{exp}(-ika)$, gde je $E_{0}$ odgovarajuća amplituda.

Opišimo na sferi krug oko centra C, takav da je poteg $r_{1}$ od bilo koje tačke kruga do tačke P jednak $b+\lambda /2$. Tim se postupkom dobija kalota koju ćemo zvati prva Frenelova zona. A krug potega $r_{2}=b+2\cdot \lambda /2$ ograničavaće, zajedno sa prvim krugom, prstenastu površinu koja se zove druga Frenelova zona. Takav postupak deljenja sfere se može nastaviti; $m-$ ta Frenelova zona predstavljaće prstenastu površinu između krugova s potezima $r_{\text{m}}=b+m\lambda /2$ i $r_{\text{m}-1}=b+(m-1)\lambda /2$.

Poluprečnik kruga koji deli drugu od prve zone približno iznosi

$$R_{\,1}=\sqrt{\frac{b\lambda }{1+b/a}}. \tag{4.3}$$

(Na Sl. 4.2 $\overline{AB}=2R_{1}$). Izraz se dobija zanemarivanjem članova koji su proporcionalni sa $\lambda ^{2}$ i $h^{2}$ ($h$ je visina kalote). Slično, za poluprečnik kruga koji je između druge i treće zone dobijamo u istoj aproksimaciji

$$R_{2}=\sqrt{2}\,R\,_{1}. \tag{4.4}$$

To znači da se poluprečnici krugova za nekoliko prednjih zona mogu izračunavati po formuli

$$R_{\text{m}}=\sqrt{m}\,R\,_{1}. \tag{4.5}$$

Površina prve zone iznosi $S_{\,1}=2\pi ah=\pi R_{\,1}^{2}$. Površina druge zone je isto tolika. U stvari, površine nekoliko prednjih zona su međusobno praktično jednake, pošto je $2\pi a\,(h\,_{\text{m}}-h\,_{\text{m}-1})=S_{\,1}$.

Za element površine kružnog otvora pogodno je izabrati prsten $dS=2\pi a^{2}\sin \theta \,d\theta$. Pošto je

$$r^{2}=a^{2}+\left(a+b\right)^{2}-2a\left(a+b\right)\cos \theta, \tag{4.6}$$

dobićemo diferenciranjem ovog izraza ($a$ i $b$ su konstante)

$$r\,dr=a(a+b)\sin \theta \,d\theta . \tag{4.7}$$

Zato je, imajući u vidu da se normala na površini poklapa sa pravcen potega $r$

$$dS_{\text{n}}=2\pi \frac{a}{a+b}r\,dr. \tag{4.8}$$

Zamenjujući ovaj izraz u integral (4.2) dobijamo

$$E_{\text{P}}=2\pi \frac{a}{a+b}E_{0}\,e^{-ika}\int_{b}^{r_{\text{max}}} \,K\,e^{-i\,k\,r}\,dr. \tag{4.9}$$

Koeficijent nagiba $K$, monotono opadajuća funkcija argumenta $r$, slabo se menja u okvirima jedne zone. Uzmimo da za $m-$ tu zonu on ima neku konstantnu vrednost $K_{\text{m}}$. Doprinos te zone ukupnoj vrednosti integrala (4.9) iznosi

$$E_{\text{p}}^{\text{m}}=K_{\text{m}}\int_{r_{\text{m}-1}}^{r_{\text{m}}} \,e^{-i\,k\,r}\,dr. \tag{4.10}$$

Kako je $e^{i\text{m}\pi }=(-1)^{\text{m}}$, dobićemo

$$E_{\text{P}}^{\text{m}}=(-1)^{\text{m}}\frac{2K_{\text{m}}}{ik}\,e^{-ikb}. \tag{4.11}$$

Prema tome, određivanje svetlosne oscilacije u tački P svodi se na izračunavanje izraza

$$E_{\text{P}}=-\frac{4\pi i}{k}\frac{a}{a+b}E_{0}\,e^{-ik(a+b)}\sum\limits_{\text{m}=1} \,(-1)^{\text{m}+1}K_{\text{m}}. \tag{4.12}$$

Napomenimo da smo u gornjim izrazima ispuštali faktor $e^{i\omega t}$ koji određuje zavisnost od vremena. Dobijeni izraz daje kompleksnu amplitudu svetlosne oscilacije u tački P. Ona se očito može predstaviti alternativnim redom

$$E_{\text{P}}=A_{1}-A_{2}+A_{3}-A_{4}+... \tag{4.13}$$

Ovde je $A_{\text{m}}=A_{0}K_{\text{m}}$, $\text{m}$ prirodan broj, a

$$A_{0}=(-4\pi i\,aE_{0})/[k(a+b)]\,\exp [-i(a+b)].$$

Sada ćemo izvršiti jednu kratku analizu osnovnih posledica aproksimacije (4.13).

Elementarni rezultati dobijeni metodom Frenelovih zona

Pogledajmo do čega dovodi jednačina (4.13) kada se broj zona (uslovno rečeno) beskonačno povećava. To znači da prečnik kružnog otvora sa Sl. 4.2 postaje neograničeno velik, pa možemo smatrati da ekrana praktično i nema. U tom graničnom slučaju prostire se svetlost potpuno slobodno od izvora do date tačke P.

Kao posledica početne pretpostavke da je funkcija $K(\alpha )$ monotono opadajuća, možemo smatrati da je niz brojeva $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, … monotono opadajući. Tada je, približno, svaki parni član aritmetička sredina levog i desnog suseda (na primer, $A_{2}\simeq (A_{1}+A_{3})/2$). Uopšte, $A_{2\text{m}}\simeq (A_{2\text{m}-1}+A_{2\text{m}+1})/2$. Odmah vidimo da se formula (4.13) svodi na oblik

$$E_{\text{P}}^{\left(\infty \right)}=\frac{A_{\,1}}{2}. \tag{4.14}$$

Kada bi ekran imao kružni otvor koji oslobađa samo prvu Frenelovu zonu, tj. kada bi poluprečnik kružnog otvora bio određen formulom (4.3), za amplitudu svetlosne oscilacije bi važilo

$$E_{\text{P}}^{(1)}=A_{1}. \tag{4.15}$$

Vidimo da je $E_{\text{P}}^{(1)}=2E_{\text{P}}^{(\infty )}$. To znači da zatvaranje svih Frenelovih zona, sem prve, četvorostruko povećava intenzitet svetlosti u tački P. Ekran u tim okolnostima ispoljava fokusirajuće dejstvo. Rezultat je savršeno nejasan sa stanovišta geometrijske optike i dobro ilustruje smisao pojma difrakcije koja se očituje u složenoj strukturi optičkog polja oko granice svetlost/senka. To ćemo još bolje osetiti ako dopustimo da se u otvor ekrana mogu smestiti dve Frenelove zone. Pošto je tada

$$E_{\text{P}}^{(2)}=A_{1}-A_{2}. \tag{4.16}$$

a kako je $A_{1}\simeq A_{2}$ zaključujemo da će u tački P biti skoro tama: svetlosne oscilacije

Sl. 4.3 Uz analizu Frenelovog metoda

prve i druge zone su u protivfazi i njihova se dejstva međusobno poništavaju. Potom, ako otkrijemo i trću zonu nastaje skoro puna osvetljenost u posmatranoj tački. Dakle povećanje prečnika otvora na ekranu, označimo ga sa $\rho$, pri konstantnim dužinama $a$ i $b$, dovodi do oscilatornih promena osvetljenosti. Kvalitativno, promene osvetljenosti su u skladu sa grafikom na Sl. 4.3.

Izvršimo jedan konkretan proračun. Neka je $a=b=1\,$ m i $\lambda =6\cdot 10^{-7}\,$ m. Tada je poluprečnik prve zone oko pola milimetra, a površina joj je oko $1\,$ mm $^{2}$. Samo jedan unutrašnji deo prve zone poluprečnika $\rho =qR_{1}$, Sl. (4.3), proizvodi u tački P intenzitet svetla kao i celi talasni front. To znači da ostatak talasnog fronta, zbog interferencije sekundarnih talasa, i ne doprinosi formiranju optičke oscilacije u tački P. Efektivno, prostiranje svetlosti od O ka P kao da se odvija duž veoma uskog pravolinijskog kanala. Vidimo da se zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti, u optički homogenoj sredini, skladno tumači u okviru Hajgens-Frenelovog principa.

Ako se u kružni otvor ekrana uklapa veliki (ali konačan) broj Frenelovih zona ($m>>1$), tada je, umesto jednačine (4.14) tačnije pisati

$$E_{\text{P}}^{(m)}\simeq \frac{A_{1}}{2}+p\frac{A_{\text{m}}}{2}. \tag{4.17}$$

Ovde je $p=+1$ ako je $m$ neparan broj i $p=-1$ ako je $m$ paran broj. Inače, broj zona koje se uklapaju u otvor datog poluprečnika $\rho$ može da se nađe primenom formule

$$m=\frac{\rho ^{2}(a+b)}{ab\lambda }. \tag{4.18}$$

Ovaj izraz koji je simetričan u odnosu na međusobnu zamenu parametara $a$ i $b$ važio bi i kada bi tačke O i P promenile mesta. Tako, Frenelov metod ne protivreči principu reverzibilnosti prostiranja svetlosti. Primetimo da se broj Frenelovih zona određuje pomoću tri veličine: $a$, $\lambda$ i $\rho$, a ne samo dimenzijom otvora na ekranu. Moguće je, na primer, za zadate veličine $a$ i $\lambda$ izabrati $\rho$ tako da u tački P nastane minimalna osvetljenost. Potom, zadržavajući takvo $\rho$, moguće je približavanjem izvora (smanjivanjem rastojanja $a$) dovesti do maksimalne osvetljenosti u istoj tački — i tako redom.

Važan poseban slučaj je difrakcija paralelnog snopa svetlosti na okruglom otvoru. Naravno, on se opisuje već komentarisanim formulama, ali u njima treba uzeti da $a\to \infty$.

Frenelov metod je prilično jednostavan kada treba naći intenzitet svetlosti na osi kružnog otvora. Ispostavlja se da je račun dosta komplikovan pri određivanju celokupne difrakcione slike. Kvalitativno, može se reći sledeće. Jasno je da će se oko tačke P naizmenično smenjivati mesta većeg i manjeg intenziteta; to su svetliji i tamniji krugovi oko posmatranog centa simetrije. Što je veći broj zona koje efektivno deluju veći je i broj svetlih prstenova. Kada je broj zona vrlo veliki, intenzitet svetlosti u okolini tačke P je skoro uniforman i tek u oblasti gde počinje geometrijska senka ređaju se uski svetli i tamni prstenovi. Naprotiv, ako deluje samo prva Frenelova zona postojaće svetla oblast kojoj intenzitet monotono opada u svim pravcima od tačke P.

Zonske pločice

Zanimljiv je sledeći zaključak u vezi sa razmotrenim metodom Frenelovih zona. Ako na neki način isključimo (prekrijemo) sve parne zone, umesto izraza (4.13) važiće za rezultujuću amplitudu u tački posmatranja

$$E_{\text{P}}=A_{1}+A_{3}+A_{5}+... \tag{4.19}$$

Time se odstranjuju komponente koje su u protivfazi sa neparnim članovima. Prirodno je da se zbog toga značajno povećava intenzitet svetlosti, u odnosu na prethodno stanje, kada zatamnjenja parnih zona nije bilo: svetlosne oscilacije generisane preostalim zonama su u fazi, te dolazi do konstruktivne interferencije sekundarnih talasa.

Tu ideju je moguće realizovati. Jedan od načina da se to postigne je sledeći. Na belom papiru nacrtaju se koncentrični krugovi čiji su poluprečnici, redom, kvadratni koreni prirodnih brojeva (videti relaciju (4.5)). Svaku drugu tako formiranu zonu treba prekriti crnim tušem. Potom se napravi fotografija crteža. Dobijeni dijapozitiv koji se zove amplitudna zonska pločica može da funkcioniše u skladu sa relacijom (4.19).

Takva pločica može da se napravi i fotografisanjem Njutnovih prestenova, pošto je zakon ređanja svetlih i tamnih Njutnovih prstenova (videti sledeće predavanje) identičan zakonu formiranja Frenelovih zona (4.5), na osnovu kojeg je i projektovana zonska pločica. Skica amplitudne zonske pločice data je na Sl. 4.4.

Sl. 4.4 Amplitudska zonska pločica

Postavimo amplitudsku zonsku pločicu između tačaka O i P , tako da bude pod pravim uglom na potegu OP, na rastojanju $a$ od O i $b$ od P. Primetićemo znatno povećan intenzitet svetlosti u tački P ako se, kao i ranije, u tački O nalazi tačkasti svetlosni izvor monohromatske svetlosti talasne dužine $\lambda$.

Pokazuje se da zonska pločica sa $n$ otvorenih zona daje osvetljenost u tački P približno $n^{2}$ puta veću od osvetljenosti koju stvara otvor na ekranu dimenzija prve Frenelove zone.

Razume se, zonsku pločicu je moguće realizovati i ako se isključe neparne zone, a fokusirajuće dejstvo ostvari sinfaznim učinkom parnih zona.

Očito, zonska pločica funkcioniše kao sabirno sočivo. Štaviše, formalno važi i ista formula sočiva. Naša jednačina (4.5) lako se dovodi na oblik

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}, \tag{4.20}$$

ako se stavi $f=R_{\text{m}}^{2}/(m\lambda )=R_{1}^{2}/\lambda$. Veličina $f$ ne zavisi od rednog broja zone $m$; možemo je zvati žižna daljina amplitudske zonske pločice. U stvari, pokazuje se da pločica funkcioniše kao da ima celi niz žiža, čije se daljine izračunavaju po formuli $f_{\text{n}}=f/(2n+1)$, gde je $n$ prirodan broj. U tom smislu, $f$ se naziva i glavna žižna daljina.

Fokusirajuće dejstvo zonske pločice bilo bi moguće znatno poboljšati ako bi sadejstvovale i parne i neparne zone ali tako da su svi članovi u redu (4.13) pozitivni. To bi dalo u tački P još veći intenzitet svetlosti kao rezultat konstruktivne interferencije svih sekundarnih talasa koji polaze sa površine zonske pločice. Očito, za postizanje takvog cilja neophodno je promeniti fazu talasa sa svake druge zone za još $180^{0}$. Prvo rešenje tog tipa dao je fizičar Vud. On je staklenu pločicu pokrio tankim slojem laka i po toj podlozi izgravirao zonsku pločicu. Metodom hemijskog nagrizanja smanjio je debljinu svih parnih zona za $(\lambda /2)/(n-1)$, što dovodi do željene promene faze za $180^{0}$.

Vudova zonska pločica, ili fazna zonska pločica, učetvorostručuje intenzitet svetlosti u glavnoj žiži u odnosu na amplitudnu zonsku pločicu.

Klasifikacija difrakcionih pojava

Raspodela intenziteta svetlosti u difrakcionoj slici određena je brojem Frenelovih zona koje se mogu uklopiti na otvoru ekrana ili na mesto prepreke talasnom frontu. Poluprečnik prve Frenelove zone, ako imamo u vidu jednačine (4.3) i (4.20), može da se napiše u obliku $R_{1}=\sqrt{\lambda f}$. Ovde je, videli smo u prethodnom odeljku, $f$ glavna žižna daljina odgovarajuće zonske pločice ($f=b$ kad $a\to \infty$). Jasno je da veličina

$$p=\frac{R_{1}}{D}=\frac{\sqrt{\lambda f}}{D} \tag{4.21}$$

određuje broj Frenelovih zona koje prekrivaju difrakcioni objekt karakteristične dimenzije $D$. Zato je broj $p$, a ne prosto i jedino neka dimenzija difrakcionog objekta onaj važni parametar koji određuje uslove posmatranja, koji kaže hoće li i u kom stepenu biti izražena difrakciona slika. Pomoću parametra $p$ izvršićemo sledeću objektivnu klasifikaciju pojava. $a$) Ako je u datom opitu $p\ll 1$, broj aktuelnih Frenelovih zona je velik, difrakcioni efekti su minorni, mogu se primenjivati zakoni geometrijske optike, govori se o pravolinijskom prostiranju svetlosti. $b$) Ako je $p\simeq 1$, mali broj Frenelovih zona je u pitanju, raspodela intenziteta svetlosti na difrakcionoj slici je složena; pojava se tada naziva Frenelova difrakcija (videti i komentar uz Sl. 4.1). $c$) Ako je $p\gg 1$, samo mali deo prve Frenelove zone učestvuje u pojavi koja se tada naziva Fraunhoferova difrakcija. Difrakciona slika je nešto jednostavnija. Fraunhoferova difrakcija je značajna za teoriju i praksu funkcionisanja optičkih instrumenata i neke primere te vrste pomenućemo kasnije.

Primetimo da istovremeno povećanje dužine $D$ $\nu$ puta i daljine $f$ $\nu ^{2}$ puta ne menja veličinu parametra $p$. Slične konfiguracije difrakcionih objekata daju i slične difrakcione slike. Na primer, monohromatska svetlost talasne dužine $\lambda =632\,$ nm obasjava praktično paralelnim zracima ekran sa kružnim otvorom poluprečnika $\rho _{1}=2\,$ mm. Difrakciona slika na zastoru udaljenom $b=1\,$ m od ekrana biće slična onoj koja se dobija na zastoru udaljenom $2\,$ m, pod uslovom da je u ovom slučaju poluprečnik otvora $\rho _{2}=\sqrt{2}\,\rho _{1}$. Razume se, princip sličnost difrakcionih slika može da se generališe i za različite talasne dužine optičkog zračenja.

Sl. 4.5 Frenelova defrakcija na okruglom disku

Izučavanje difrakcije precizira uslove primenljivosti geometrijske optike. Na taj način se geometrijska optika kao aproksimativni metod smešta u širi teorijski koncept i time strožije zasniva.

Frenelova difrakcija na okruglom disku

Razmatraćemo sada difrakciju monohromatske svetlosti na okruglom diasku. Neka se tačkasti svetlosni izvor nalazi na osi diska, na rastojanju $a$ od njegovog oboda, Sl. 4.5. Poluprečnik diska je $d$. Obeležimo $m=(d/R_{1})^{2}$ gde je $R_{1}$ poluprečnik prve Frenelove zone. Tako, približno možemo smatrati da ekran prekriva prvih $m$ Frenelovih zona na zamišljenoj sfernoj površini poluprečnika $a$. Te su zone isključene pa se, u skladu sa relacijom (4.13), za kompleksnu amplitudu svetlosne oscilacije u tački P na osi sistema može pisati

$$E_{\text{P}}=A_{\text{m}+1}-A_{\text{m}+2}+A_{\text{m}+3}-A_{\text{m}+4}+... \tag{4.22}$$

Primenjujući isto rezonovanje kao i ranije kada smo obrazlagali jednačinu (4.14), dolazimo do rezultata

$$E_{\text{P}}\simeq \frac{A_{\text{m}+1}}{2}. \tag{4.23}$$

Po zakonu pravolinijskog prostiranja svetlosti, u tački P bi morala biti tama. U stvari, sve tačke između $A_{1}$ i $B_{1}$ (njih dobijamo na mestu prodora zraka SA i SB kroz normalnu ravan u tački P) pripadaju oblasti geometrijske senke koju baca ekran. Zato, čini se da protivreči običnom iskustvu ono što je posledica jednačine (4.23): centar geometrijske senke će biti osvetljen. Šta više, ako je $m$ relativno mali broj, intenzitet svetlosti u tački P neće se mnogo razlikovati od punog intenziteta u oblasti van geometrijske senke. U ono vreme kada je Frenel formulisao svoju talasnu koncepciju svetlosti delovao je ovaj zaključak toliko paradoksalno, da je prouzrokovao diskusiju koja se danas rado citira u tekstovima iz istorije fizike. Kada je 1918. godine Puason, član konkursnog komiteta Francuske akademije u Parizu, razmatrao Frenelov memoar o difrakciji, shvatio je da ponuđena talasna teorija predviđa da će centar geometrijske senke iza maloga diska biti više ili manje osvetljen. I za zaslužnog i renomiranog fizičara onog vremena, kakav je Puason bio, predviđanje svetlosne mrlje tamo gde je niko do tada nije video bilo je ravno apsurdu koji samom svojim postojanjem poništava Frenelovu zamisao. Spor je rešio Puasonov kolega po funkciji u Akademiji i ne manje slavno ime u nauci, Arago. On je izveo danas klasičan eksperiment kojim je detektovao svetlost u tami iza diska. Nekom zabavnom igrom slučaja, za svetlo u geometrijskoj senci koje nastaje difrakcijom svetlosnih talasa, ustalio se termin Puasonova svetla mrlja, po čoveku koji u nju nije verovao.

Izračunati intenzitet u nekoj tački P $_{1}$, koja se nalazi van ose simetrije, znatno je složeniji zadatak. Iz tačke P $_{1}$ ekran se ne vidi kao krug; to više nije prepreka koja sa zonama stoji koncentrično. Neke od zona su otvorene samo delimično. Svi ti detalji određuju konačan ishod difrakcije sekundarnih talasa. U svakom slučaju, jasno je: kad se tačka P $_{1}$ udaljava od ose simetrije, smenjuju se mesta jače i slabije osvetljenosti. Ali, difrakciona slika mora biti osno simetrična, te će se oko tačke P ređati tamni i svetli prstenovi.

Puasonova svetla mrlja kao neželjen

efekat: difrakcija na česticama prašine

koje su se nataložile na lasersko sočivo

Metod grafičkog slaganja amplituda

Instruktivno je razmotriti grafički metod analiziranja difrakcione slike. On se može primenjivati i nezavisno od metoda Frenelovih zona, ali je korisno izvesno upoređivanje rezultata, kada se u novom svetlu mogu sagledati poznate činjenice. Sem toga, grafički postupak naglašava i neke detalje koji sa stanovišta Frenelovih zona ne izgledaju odmah shvatljivi.

Poznato se da se svako harmonijsko oscilatorno kretanje može predstaviti vektorom amplitude koji s pravcem oscilovanja gradi ugao jednak fazi oscilovanja (videti poglavlje o interferenciji; iscrpno smo o tome govorili i u kursu elektromagnetizma). Vektor rotira oko svog početka ugaonom brzinom koja je jednaka kružnoj učestanosti oscilovanja. Intenzitet vektora jednak je amplitudi oscilovanja. Ovaj je metod vrlo pogodan kad je neophodno nalaziti zbir oscilacija (što nam ovde zapravo i treba).

Podelimo prvu Frenelovu zonu na veći broj manjih, elementarnih zona. Označimo taj broj sa $N$. Zone su iste površine, ali odgovarajući koeficijent nagiba karakterističan je za svaku zonu i opada kada raste broj zone. To se odražava na dužinu vektorâ koji reprezentuju oscilacije elementarnih zona: dužine se postepeno smanjuju počev od prve do poslednje, $N$-te zone. Faza svake naredne zone nešto je povećana u odnosu na fazu prethodne, pošto je duži put do posmatrane tačke na osi simetrije. Zato je pravac svakog narednog vektora zarotiran za ugao $\pi /N$ u odnosu na pravac prethodnog (fazna razlika oscilacija između početnog i krajnjeg segmenta je $\pi$, po samoj definiciji prve Frenelove zone).

Sl. 4.6 Grafičko slaganje amplituda

Grafički sabirajući oscilacije svih elementarnih zona u sklopu prve Frenelove zone dobijamo rezultat skiciran na Sl. 4.6 (crtajući, može se uzeti, na primer, $N=12$ i $\alpha =\pi /12=15^{0}$). Kad spojimo početak prvog s krajem $N$-tog vektora dobijamo vektor koji reprezentuje rezultantnu oscilaciju u tački P. Na slici je to vektor $\overrightarrow{AB_{1}}$.

Nastavimo isti postupak i u drugoj Frenelovoj zoni. Poslednji elementarni vektor druge zone se neće završiti u početnoj tački A, već u nekoj njoj bliskoj tački B $_{2}$. Vektor $\overrightarrow{AB_{2}}$ predstavlja ukupnu svetlosnu oscilaciju u tački P koju proizvode prve dve Frenelove zone.

Opisani postupak formiranja elementarnih zona podrazumeva da je poteg od svake tačke date zone do tačke P jednak $b+\delta \lambda /2$, pri čemu je $\delta \ll 1$ (setimo se da je za Frenelove zone broj $\delta$ biran da bude prosto jednak jedinici). Ako svaku Frenelovu zonu podelimo na neoganičeno mnogo elementarnih zona, tj. pustimo da $\delta \to 0$, izlomljena linija na Sl. 4.6 transformisaće se skoro u dva polukruga a uticaj svih Frenelovih zona biće predstavljen spiralom s centrom u tački B, Sl. 4.7.

Sl. 4.7 Grafičko slaganje amplituda - posledice

Svaki polukrug kojemu je i početna i krajnja tačka na $y$-osi, opisuje uticaj jedne od Frenelovih zona. Na primer, luk između tačaka 1 i 2 odnosi se na petu Frenelovu zonu. Dati vektorski dijagram nudi amplitudu i fazu rezultantne oscilacije za bilo koji efektivni broj Frenelovih zona. Uočimo neke karakteristične detalje. Dužina vektora sa početkom u tački O a krajem u O $_{1}$ daje amplitudu i fazu oscilacije koja potiče od prve polovine prve Frenelove zone. Kako rastojanje tačke O do tačke B $_{1}$ daje amlitudu za celu zonu a do tačke B za sve zone, vidimo da je $2\,\overline{OB}\simeq \overline{OB_{1}}$, u skladu sa jednačinom (4.14), i da je $\overline{OO_{1}}=\sqrt{2}\,\overline{OB}$ (unutrašnja strana prve polovine prve Frenelove zone daće svetlo u tački P dvaput većeg intenziteta nego cela površina, sa svim Frenelovih zonama).

Fraunhoferova difrakcija na prorezu

Kada paralelni snop svetlosti pada na ekran (ili na otvor u ekranu), s druge strane prepreke javljaju se zraci koji, zbog difrakcije, odstupaju po pravcu od upadnih zraka. Ako posmatramo raspodelu intenziteta difragovane svetlosti na vrlo udaljenom zastoru, kažemo da se radi o Fraunhoferovoj difrakciji. Prvo ćemo izučiti osnovne osobine difrakcije na uskom, dugom prorezu sa paralelnim ivicama, Sl. 4.8. U praksi, opit se izvodi pomoću sočiva $L_{1}$ (kolimator) koje daje paralelan snop svetlosti, budući da je izvor S u žiži i sočiva $L_{2}$ (objektiv) koje omogućava posmatranje u njegovoj žižnoj ravni, čime se simulira nastanak difrakcione slike na beskonačno udaljenom zastoru, tj. posmatranje difrakcionih pojava u paralelnim zracima. Sočiva su sabirna, sa minimiziranim aberacijama. Može se koristiti i adekvatni teleskopski sistem podešen na beskonačnost.

Sl. 4.8 Fraunhoferova difrakcija na prorezu — šema opita

Ako se koristi laserska svetlost, sočiva nisu neophodna. Laserski snop koherentan je po celom poprečnom preseku, pa se može tretirati kao da potiče od vrlo udaljenog tačkastog izvora.Već na udaljenosti zastora od nekoliko metara difrakciona slika se sme poistovetiti sa Fraunhoferom slikom. Lako se uveriti da je ideja opita u skladu sa definicijom Fraunhoferove difrakcije na osnovu relacije (4.21).

Raspodela intenziteta difragovane svetlosti talasne dužine $\lambda$ u žižnoj ravni sabirnog sočiva može se naći primenom Hajgens-Frenelovog principa. Sa svih elementarnih površina proreza širine $b$ stižu u tačku P sekundarni svetlosni talasi koji se prostiru pod uglom $\theta$ u odnosu na pravac upadnih zraka. U skladu sa Frenelovom teorijom, smatraćemo da je širina proreza osetno veća od talasne dužine svetlosti, $\lambda \ll b$; tada možemo pretpostaviti da je svetlosni vektor u ravni proreza (obeležimo ravan sa $\sigma$) onaj isti koji bi na tom mestu postojao i kad ekrana ne bi ni bilo. Ravan $\sigma$ je ona pomoćna površina po kojoj se i izračunava Frenelov integral. Tu površinu ćemo izdeliti na elementarne delove u vidu uskih traka koje su paralelne ivicama proreza. Trake su identične, svaka širine $dy$. Može se smatrati, na osnovu usvojenih pretpostavki, da su one izvori cilindričnih sekundarnih talasa (talasne površine su cilindrične). Koeficijent nagiba $K(\theta )$ konstantan je za dati ugao $\theta$. Fazni odnos sekundarnih talasa u tački P biće isti kao i u ravni $R$ sa Sl. 4.9.

Talasi sa elementarne površine koja je locirana na rastojanju $y$ od centra proreza fazno prednjače za ugao $\delta =ky\sin \theta$ u odnosu na talase koji polaze sa centralne elementarne površine. Dakle, doprinos elementarne površine $d\le 2\lambda$ na

Sl. 4.9 Fraunhoferova difrakcija na prorezu — ideja proračuna

rastojanju $y$ svetlosnoj oscilaciji u tački P biće proporcionalan faktoru $K(\theta )\,\exp (i\delta )\,dS$. Najznačajniji je učinak talasa koji polaze pod malim uglom $\theta$. Zato je dozvoljeno aproksimirati $K(\theta )\simeq K(0)=$ const. Kompleksnu amplitudu $E_{\text{P}}$ svetlosne oscilacije u tački P naći ćemo sabirajući doprinose svih elementarnih površina, pa je

$$E_{\text{P}}\sim \int_{-b/2}^{+b/2} \,e^{iky\,\sin \theta }\,dy. \tag{4.24}$$

Uvodeći skraćinicu $u=kb\sin \theta /2$, dobićemo

$$E_{\text{P}}\sim \frac{\sin u}{u}. \tag{4.25}$$

U skladu sa ovim, intenzitet difragovane svetlosti imaće oblik

$$I(\theta )=I_{0}\,\int^{2} . \tag{4.26}$$

Na Sl. 4.10 prikazan je grafik funkcije $I\left(\theta \right)/I_{0}$. U centru difrakcione slike je jaki maksimum intenziteta svetlosti. Ostali, sve slabiji maksimumi, koji se ređaju s jedne i druge strane oko centralnog maksimuma duž ose $u$, locirani su u skladu sa uslovom tg $u=u$ (što je lako pokazati ako se izjednači sa nulom prvi izvod funksije (4.26)). Koreni ove jednačine, pored glavnog $u_{0}=0$, su $u_{1}\simeq 1,43\,\pi$, $u_{2}\simeq 2,46\,\pi$, $u_{3}\simeq 3,47\,\pi$ itd. Ovi maksimumi leže skoro po sredini između dva susedna minimuma. Minimumi se određuju iz uslova $\sin \theta =0$, te im je položaj moguće naći iz relacije

$$b\,\sin \theta _{\text{min}}=m\lambda. \tag{4.27}$$

Dakle, prvi minimum intenziteta biće tamo gde je ispunjen uslov $\sin \theta =\lambda /b$ ili, kako je $\lambda /b\ll 1$, $\theta \simeq \lambda /b$. Visina prvog bočnog maksimuma iznosi $I_{1}=I_{0}[\sin (1,43\pi )/1,43\pi ]^{2}$. Taj je maksimum slabiji od centralnog dvadesetak puta.

Sl. 4.10 Fraunhoferova difrakcija na prorezu; raspodela intenziteta svetlosti

na udaljenom ekranu (goree), fotografija difrakcione slike (dole, foto VB)

Drugi bočni maksimum je još slabiji, lako je pokazati da je $I_{2}/I_{0}\simeq 0,017$. Odnosi intenziteta ne zavise od širine proreza. U centralnom delu slike, između prvog desnog i prvog levog minimuma, dakle u granicama $-\lambda /b<\theta <\lambda /b$, koncentrisana je skoro sva energija optičkog zračenja (više od $90\,\%$). Ugaona širina (na polovini centralnog maksimuma) iznosi $\theta _{1/2}\simeq \lambda /b$. Ona se smanjuje kad širina proreza raste. Pri tome, visina centralnog maksimuma raste sa kvadratom širine proreza (jer je $I_{0}\sim b/\theta _{1/2}$). Kada se parametar $b$ smanjuje, maksimum se rasplinjava, smanjuje se njegov sjaj. Na kraju, kada je $b\sim \lambda$, vidimo da intenzitet svetlosti monotono opada od centra ka krajevima difrakcione slike; ona se redukuje na jedan, vrlo širok maksimum.

Do sada smo smatrali da je upadna svetlost monohromatska. Realni svetlosni izvori su uvek manje ili više polihromatski. Da bismo shvatili kakav je uticaj nemonohromatičnosti na izgled difrakcione slike, primetimo na početku da će centralni maksimum uvek biti na istom mestu, za bilo koju talasnu dužinu. Ali, već položaji ostalih maksimuma, kao i položaji svih minimuma (videti jednačinu (4.27)), zavise od $\lambda$. Na primer, prvi minimum za neku talasnu dužinu $\lambda _{1}>\lambda$ ležaće na mestu $\theta \,_{1}=\lambda _{1}/b$, dakle pomeren na stranu većih uglova. Što je više komponenata svetlosti sa većim talasnim dužinama, biće i znatnije udaljavanje maksimuma i minimuma od centra slike. Taj je efekt lako primetiti ako se opit izvodi s belom svetlošću. Centralni maksimum je u tom slučaju intenzivno beo, u ostalim delovima difrakcione slike vide se obojene komponente. Crveni delovi su dalje od centra nego ljubičasti.

Takođe, svetlosni izvori nikad nisu idealno tačkasti, već imaju izvesne konačne dimenzije. Obeležimo sa $\alpha$ neku karakterističnu ugaonu dimenziju svetlosnog izvora (drugim rečima, posmatrajmo slučaj kada možemo reći da iz centra proreza na ekranu vidimo svetlosni izvor pod uglom $2\alpha$). Ako je $\alpha =\lambda /b$, zraci koji polaze sa krajeva izvora formiraće na zastoru svoj centralni maksimum tamo gde zracima koji polaze od centralnog dela izvora odgovara na difrakcionoj sliic prvi minimum. Jasno je da će pod tim okolnostima difrakciona slika biti mutna, razmazana. Mora se, dakle, zahtevati da je svetlosni izvor toliko mali da važi ograničenje $\alpha \ll \lambda /b$, ako hoćemo da se formira jasna difrakciona slika. Prema tome, za datu talasnu dužinu i određene ugaone dimenzije svetlosnog izvora biće difrakciona slika tim jasnija što je uži prorez na ekranu.

Fraunhoferova difrakcija na kružnom otvoru

Razmatrali smo praktično važan slučaj difrakcije na uskom prorezu. Ne manje značajna je i Fraunhoferova difrakcija na kružnom otvoru. Kružne otvore nalazimo kod okvira raznih sočiva i drugih sličnih optičkih elemenata, kod dijafragmi itd. Da se odrede osobenosti difrakcije na kružnom otvoru, u principu treba postupiti kao i u zadatku sa prorezom. Međutim, odmah naglasimo da je proračun za kružnu geometriju teži; nećemo moći da koristimo uprošćavajuću pretpostavku da su difragovani, sekundarni talasi cilindrični.

Skica difrakcionog problema data je na Sl. 4.11. Svetlost upada duž pravca koji smo poistovetili sa $y$-osom. Upadni talas tretiraćemo kao monohromatski, ravanski talas. Kružni otvor leži u $m\ge 1$ ravni, centar kruga poluprečnika $a$ poklapa se sa početkom O koordinantog sistema.

Sl. 4.11 Fraunhoferova difrakcija na kružnom otvoru

Za primenu Hajgens-Frenelovog principa neophodno je odmah definisati i pomoćnu površinu $S$ po kojoj će se integraliti; uzećemo da je to $m\ge 1$ ravan. Ort $\vec{e}$ ukazuje na pravac do tačke posmatranja P na nekom udaljenom zastoru. Sa elementarne površine $d\le 2\lambda$ polaze sekundarni svetlosni talasi. U tački posmatranja difrakcionog ishoda opisaćemo uticaj tih talasa preko pripadajuće kompleksne amplitude svetlosnih oscilacija koja, shodno Frenelovoj koncepciji, iznosi

$$dE_{\text{P}}=K\left(\alpha \right)E\left(\vec{r}\right)e^{ik\left(\vec{r}\cdot \vec{e}\right)}dS \tag{4.28}$$

Uzećemo da je koeficijent nagiba $m$ približno konstantna veličina, jer je logično da pretpostavimo da je poluprečnik otvora mnogo veći od talasne dužine svetlosti — pod tim okolnostima bitni su jedino sekundarni talasi koji se prostiru pod malim uglom $d/\lambda$. Jačinu polja upadnog svetlosnog talasa na mestu elementarne površine označili smo sa $|\sin \theta |\le 1$. Radijus-vektor $m=1$ odeđuje položaj elementa $d\le 2\lambda$. Faktor exp $N\sim 2500$ exp $d\sim \lambda$ uzima u obzir da postoji fazna razlika između sekundarnih talasa iz posmatrane tačke (x, z) i onih koji istim pravcem $m$ polaze iz centra kruga.

Ukupnu svetlosnu oscilaciju u tački P sada je moguće naći pomoću integrala (u kojem smo izostavili jedan konstantni množitelj)

$$E_{\text{P}}=\int_{S} E\left(x,y\right)\,e^{i\left(k_{\text{x}}x+k_{\text{z}}z\right)}dx\,dy. \tag{4.29}$$

Integrali se po celoj ravni $m\ge 1$, s tim što se uzima da je u tačkama ekrana van kružnog otvora jačina polja jednaka nuli [$40\,$].

Račun je najlakše izvesti ako se pređe na polarne koordinate $40\,$ cos $3600$ i $80\,\%$ sin $\varphi$. Ako ort $\vec{e}$ pravi ugao $\theta$ sa $y$-osom, a azimut mu je $\psi$, tada je $k_{\text{z}}=k\,$ sin $\theta \,$ cos $\psi$ i $k_{\text{x}}=k\,$ sin $\theta \,$ sin $\psi$. Na osnovu toga je $k_{\text{x}}x+k_{\text{z}}z=k\rho \,$ sin $\theta \,$ cos $(\varphi -\psi )$. Kako je za ravanski talas koji vertikalno upada na datu ravan $E(x,z)=E=$ const. u tačkama te ravni, iz formule (4.29) dobijamo

$$E_{\text{P}}=\int_{0}^{a} \,\int_{0}^{2\pi } \,e^{ik\rho \sin \theta \,\cos (\phi -\psi )}\,\rho d\rho d\phi. \tag{4.30}$$

Iskoristićemo sada poznati integralni izraz za Beselovu funkciju prve vrste nultog indeksa od argumenta $\zeta$ (v, napr, D. S. Mitrinović, D. Ž. Đoković, Specijalne funkcije, Građevinska knjiga, Beograd 1964. s. 129)

$$J_{0}(\zeta )=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi } \,e^{i\zeta \cos \phi }\,d\phi. \tag{4.31}$$

Pomoću te funkcije transformisaćemo izraz (4.30); dobija se

$$E_{\text{P}}=\int_{0}^{a} \,\rho J_{0}(k\rho \sin \theta )\,d\rho. \tag{4.32}$$

Iskoristimo još jednu poznatu relaciju iz teorije Beselovih funkcija:

$$\int \zeta J_{0}(\zeta )\,d\zeta =\zeta J_{1}(\zeta ), \tag{4.33}$$

koja nam omogućava da integral (4.32) izračunamo pomoću Beselove funkcije indeksa jedan. Odmah dolazimo do rezultata

$$E_{\text{P}}\sim \frac{J_{1}(u)}{u}, \tag{4.34}$$

koji smo prezentirali u sažetoj formi koristeći skraćenicu $u=ka\,$ sin $\theta$. Na taj način dolazimo do zaključka da difrakcija svetlosti na kružnom otvoru dovodi do raspodele intenziteta na udaljenom zastoru u obliku

$$I(\theta )=I_{0}\int^{2} . \tag{4.35}$$

Grafik ove funkcije dali smo na Sl. 4.12.

Sl. 4.12

U centru difrakcione slike, dakle za $\theta \to 0$, intenzitet svetlosti je $I_{0}$. To je lako proveriti budući da je za male vrednosti argumenta $u$ (upravo kad $\theta \to 0$) $2J_{1}(u)\to u$. Vidi se da je dobijeni grafik srodan sa odgovarajućim grafikom intenziteta kod difrakcije na prorezu.

Difrakciona slika ima oblik koncentričnih svetlih i tamnih prstenova koji se naizmenično ređaju. Glavni maksimum svetlosti je u centru, tj. tamo gde se parametar $u$ anulira. Prvi minimum određuje se iz uslova $J_{1}(u)=0$; odatle zaključujemo da je ugaona mera poluprečnika prvog tamnog prstena

$$\theta =0,61\,\frac{\lambda }{a}. \tag{4.36}$$

Visina prvog bočnog, a pogotovo ostalih, maksimuma znatno je manja od visine centralnog maksimuma. Pokazuje se da na centralni maksimum i oblast ograničenu gornjom formulom otpada $84\,\%$ svetlosnog fluksa koji je prošao kroz otvor na ekranu. Pomenuto područje jakog centralnog maksimuma, koje se naziva Ejrijev disk, ima ugaone dimenzije date relacijom (4.36) i može se smatrati da je ono lik beskonačno udaljenog tačkastog izvora, lik koji je proširen na kružnoj dijafragmi, te ne može nikada biti stigmatičan za konačne vrednosti poluprečnika otvora $a$. Pojava difrakcije ne dopušta da realno ograničenim talasnim frontovima dobijemo idealan lik. Kad se govori o moći razlaganja optičkih instrumenata mora se imati u vidu rezultat (4.36).

Difrakciona divergencija svetlosnih snopova

Razmotrena difrakcija svetlosti na kružnom otvoru, a znamo da su slični rezultati i kod difrakcije na prorezu, upućuje na važan zaključak da svetlosni snopovi konačnog poprečnog preseka ne mogu biti strogo paralelni. Posle prolaska kroz otvor, upadni ravanski talas menja strukturu, svetlosna energija se u osnovnom koncentriše u oblast glavnog difrakcionog maksimuma, a njegova ugaona širina je istovremeno i mera divergencije svetlosnog snopa. Ako je $a$ poluprečnik kružnog otvora kroz koji je prošla svetlost, tj. karakterisrična dimenzija poprečnog preseka svetlosnog snopa na datom mestu, a $\lambda$ talasna dužina svetlosti, tada je ugao divergencije

$$\theta _{\text{div}}\sim \frac{\lambda }{a} \tag{4.37}$$

(videti jednačinu (4.36)). Ovo ograničenje je principijelno, diktirano talasnom prirodom svetlosti. Ako je parametar $a$ konačan, ma koliko velik bio, on za datu talasnu dužinu $\lambda$ ne može svesti ugao $\theta _{\text{div}}$ na nulu, samim tim svetlosni snop se ne može dalje prostirati kao skup strogo paralelnih zraka.

Ne postoje idealno ravanski elektromagnetski talasi s ograničenom površi nom poprečnog preseka. Snop svetlosti koji je na početku imao površinu poprečnog preseka $S$, posle određenog puta $\ell$ difrakciono se proširi na površinu reda veličine $S+2\pi \ell \lambda$ (poluprečnik mu se poveća za $\ell \lambda /a$). Tek ako je $\ell \lambda \ll a^{2}$, možemo približno tretirati zrake kao paralelne i koristiti koncept geometrijske optike.

Kod klasičnih svetlosnih izvora, snopovi se još i više šire zbog konačnih razmera izvora. Da se ovo shvati, treba razmotriti sledeći primer. Snop svetlosti formiramo tako što usijanu žicu poluprečnika $a=1\,$ mm stavljamo u žižu sabirnog sočiva žižne daljine $f=5\,$ cm. Međutim, na izlazu ne dobijamo željeni paralelni snop, već dobijamo snop s uglom divergencije $\theta _{\text{kl}}\simeq 2a/f=0,04$. Laserski svetlosni izvor, kojeg smo nekoliko puta do sada pominjali u opisima opita raznih vrsta, podložan je jedino difrakcionoj divergenciji snopa. S laserskom svetlošću talasne dužine $\lambda =632\,$ nm biće $\theta _{\text{div}}=\lambda /a=5\cdot 10^{-4}\,$. Prečnik laserskog snopa će, posle pređenih $\ell =100\,$ m, iznositi $D_{\text{las}}\simeq 10\,$ cm, a klasični izvor bi dao snop širine $D_{\text{kl}}\simeq 4\,$ m. Razlike su očigledne. Ali, ne postoji svetlosni izvor koji će pri opisanim uslovima dati svetlosni snop prečnika manjeg od $10\,$ cm.

Iz Frenelove talasne koncepcije je jasno da se minimalna divergencija svetlosnih snopova, za dati parametar $a$, dobija kao rezultat interferencije sekundarnih svetlosnih talasa sa cele površine poprečnog preseka snopa. To podrazumeva da su svi ti talasi koherentni. A kod laserskog zračenja je upravo tako: kako opiti pokazuju, laserski je snop koherentan po celoj površini poprečnog preseka. Zato i jeste divergencija laserskog zračenja ona minimalna, diktirana difrakcijom talasa. Ovde naglasimo da je ogromna prostorna koherencija laserskog zračenja posledica načina formiranja svetlosne energije kroz mehanizam prinudnih (indukovanih) atomskih prelaza.

Da bi sočivo (ili ogledalo) formiralo snop koji se minimalno rasipa, kako sledi iz gornjeg pregleda, potrebno je da po celoj površini tog optičkog elementa pada koherentno zračenje. Teorija Jungovog interfencionog opita, na primer, ustanovljava da je za ostvarenje tog cilja neophodno da se svetlosni izvor karakteristične dimenzije $D$ drži na udaljenosti $L=f$ od sočiva dijametra $d$ pri čemu je $dD<f\lambda /a$. Iz zahteva $d=a$ odavde dobijamo $D<f\lambda /a$. Za numeričke vrednosti koje smo gore usvojili, dobijamo da bi moralo biti $D<2\cdot 10^{-3}\,$ cm. Razume se, realni izvori su većih dimenzija. Manje stroga ograničenja dimenzija izvora dobijaju se sa sočivima velike žižne daljine. Ali, tada se suočavamo sa smanjenom efektivnošću korišćenja raspoložive svetlosne enegije.

Difrakciona rešetka

Izučićemo Fraunhoferovu difrakciju na velikom broju identičnih paralelnih proreza koji su napravljeni na neprozirnom ekranu na međusobno jednakim rastojanjima. Takav uređaj predstavlja jednostavnu difrakcionu rešetku. Ona ima važne praktične primene u spektroskopiji i optici uopšte.

Kao i ranije, širinu jednog proreza obeležimo sa $b$. Širinu neprozračnog dela ekrana između dva proreza označimo sa $a$. Veličina $d=a+b$ naziva se period, ili korak, difrakcione rešetke. Taj parametar predstavlja zbir širina prozračne i neproznačne trake rešetke. Ako je ukupna širina rešetke $L$, onda ona ima $N=L/d$ proreza. Na Sl. 4.13 vidimo kako izgleda amplitudski koeficijent transmisije $\tau$ rešetke. Ta veličina, koju možemo zvati i prozračnost, skokovito se menja od nulte vrednosti neposredno iza neprozirne trake do jedinice koja označava puni iznos osvetljenosti iza proreza.

Sl. 4.13 Transmisija standardne difrakcione rešetke

(Napomenimo da postoje i difrakcione rešetke sa složenijom prozračnošću, sa specijalno profilisanim prorezima. Poseban slučaj sinusne rešetke razmotrićemo na drugom mestu, u poglavlju o holografiji.)

Posmatrajmo normalni upad ravanskog monohromatskog svetlosnog talasa. Talasna dužina svetlosti je $\lambda$. Nađimo raspodelu intenziteta svetlosti u Fraunhoferovoj difrakcionoj slici u žižnoj ravni $F$ sabirnog sočiva, Sl. 4.14. U nekoj tački posmatranja P interferišu $N$ koherentnih svetlosnih snopova jednakog intenziteta. Snopovi nastaju difrakcijom svetlosti na rešetkinim prorezima pod odgovarajućim uglom $\theta$. Kako se može uzeti da su prorezi vrlo dugi, difrakcione efekte u tom pravcu možemo zanemariti.

Sl. 4.14 Uz analizu svojstava difrakcione rešetke

Obeležimo sa $E_{1}$ kompleksnu amplitudu u tački P svetlosne oscilacije koja potiče od prvog proreza. Mi već znamo kako ta veličina zavisi od ugla $\theta$ (videti jednačinu (4.25) i izlaganje s njom u vezi). Doprinos drugog proreza svetlosnoj oscilaciji u tački P moguće je prikazati kompleksnom amplitudom $E_{2}$ koja je samo fazno pomerena u odnosu na amplitudu $E\,_{1}$, te će biti $E_{2}=E\,_{1}\,$ exp $(i\delta )$. Faznu razliku $\delta$ možemo naći ako primetimo da je razlika optičkih puteva $\Delta =d\,$ sin $\theta$. To odmah daje

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda }\,d\,\sin \theta. \tag{4.38}$$

Kompleksna amplituda $E_{3}$, koja uračunava delovanje svetlosnog snopa koji dolazi od trećeg proreza biće, u skladu sa ovim, $E_{3}=E\,_{1}\,$ exp $(i\,2\delta )$. Taj postupak možemo nastaviti i za ostale proreze, pa ćemo na kraju imati za ukupnu kompleksnu amplitudu svetlosne oscilacije u tački posmatranja zbir

$$E_{\text{P}}=E\,_{1}\,\left[1+e^{i\delta }+e^{i\,2\delta }+...+e^{i\,(N-1)\delta }\right]. \tag{4.39}$$

Vidimo da je reč o geometrijskoj progresiji, te odmah izračunavamo

$$E_{\text{P}}=E_{\,1}\,\frac{1-e^{iN\delta }}{1-e^{i\delta }}. \tag{4.40}$$

Intenzitet svetlosti u tački posmatranja $I_{\text{R}}(\theta )$ dobijamo kad izračunamo $|E_{\text{P}}|^{2}$. Množeći desnu strane relacije (4.39) kompleksno-konjugovanom vrednošću $E_{\text{P}}^{*}$, a znajući da je $|E_{\,1}|^{2}$ u stvari intenzitet $I(\theta )$ dat formulom (4.26) koja se odnosi na difrakciju na jednom prorezu, odmah dobijamo

$$I_{\text{R}}(\theta )=I_{0}\,\int^{2} \,\int^{2} , \tag{4.41}$$

gde smo uveli skraćenicu $v=\delta /2=(\pi /\lambda )\,d\,\sin \theta$. Setimo se da smo od ranije koristili oznaku $u=(\pi /\lambda )\,b\,\sin \theta$.

Izraz $I_{\text{R}}(\theta )$ za intenzitet svetlosti u žižnoj ravni sabirnog sočiva pokazuje da interferencija sekundarnih talasa sa N proreza bitno menja difrakcionu sliku koju inače daje samo jedan prorez. U onim tačkama P, tj. duž onih pravaca $\theta _{\text{m}}$ za koje je $v=m\pi$ ($m$ je nula ili ceo broj), javljaju se maksimumi intenziteta. To je posledica okolnosti koje nastaju pri pomenutom uslovu a koji se može dati i u obliku

$$d\,\sin \theta _{\text{m}}=m\lambda. \tag{4.42}$$

Naime, tada je optička razlika puteva između dva susedna snopa jednaka $\Delta =m\lambda$ pa svi sekundarni talasi stižu u tačku posmatranja s jednakom fazom. Budući da je

$$\mathop{\lim }\limits_{\theta \to \theta _{\text{m}}}\int^{2} =N^{2}\,, \tag{4.43}$$

maksimumi su veći za faktor $N^{2}$ od onih koje daje samo jedan prorez. To su glavni maksimumi. Broj $m$ se zove red maksimuma. Istina, glavni maksimum može u difrakcionoj slici i da propadne ako se desi da mu je mesto formiranja tamo gde je inače $I(\theta _{\text{m}})=0$ (minimum intenziteta kod difrakcije na jednom prorezu). Na Sl. 4.15 prikazan je PC grafik funkcije $y=(\sin Nv)^{2}/v^{2}$ (za $N=5$).

Sl. 4.15

Lokalni minimumi postoje na mestima gde je $\sin (Nv)=0$ uz $\sin v\ne 0$; intenzitet svetlosti tada je jednak nuli. Između takvih tačaka leže dopunski maksimumi; ima ih $N-2$ između dva glavna maksimuma, budući da je broj nula $N-1$. Iz uslova

$$\frac{\sin ^{2}(N\varepsilon /4)}{(\varepsilon /4)^{2}}=\frac{N^{2}}{2} \tag{4.44}$$

može se naći širina $\varepsilon$ glavnog maksimuma na polovini visine. Uz smenu $x=N\varepsilon /4$, relacija (4.43) se svodi na transcendentnu jednačinu $x=\sqrt{2}\,\sin x$ koja ima koren $x_{0}=1,36$. Tako nalazimo da je $\varepsilon \simeq 5,56/N$. Odavde je jasno da jedna savremena difrakciona rešetka kod koje je $N\sim 10^{5}$ daje veoma uske i izražene glavne maksimume.

Primetimo da će kosi upad (pod uglom $\theta _{0}$) svetlosti na difrakcionu rešetku usloviti da optička razlika puteva bude $\Delta =d\,(\sin \theta -\sin \theta _{0})$. Tada će se položaji glavnih maksimuma nalaziti iz uslova

$$d\,(\sin \theta _{\text{m}}-\sin \theta _{0})=m\lambda, \tag{4.45}$$

gde je opet $m$ nula ili ceo broj. Naravno, ova se relacija svodi na uslov (4.41) u slučaju normalne incidencije svetlosti ($\theta _{0}\to 0$).

Za dati korak $d$ rešetke, parametar $b$ utiče na oblik intenziteta $I(\theta )$, tj. na amplitudni deo (koji je funkcija od $u$) veličine $I_{\text{R}}(\theta )$. Drugi, interferencioni množitelj, koji zavisi od $v$, menja se mnogo brže. Zbog toga, može se smatrati da funkcija $I(\theta )$ samo amplitudski moduliše interferencioni član, određuje relativni intenzitet glavnih maksimuma raznih redova, ali faktički ne utiče na položaj i širinu glavnih maksimuma. Pozicija ugla $\theta _{\text{m}}$ zavisi od $d$, širina $\varepsilon$ zavisi od $N$. Pogodno je definisati veličinu koju ćemo zvati oštrina difrakcione slike $F$ kao odnos rastojanja između dva susedna glavna maksimuma i širine maksimuma (videti Sl. 4.15), tj.

$$F=\frac{q}{\varepsilon }. \tag{4.46}$$

Kako je za susedne maksimume $q=2\pi$, vidimo da je oštrina rešetke $F=2\pi N/5,56=1,13\,N$. Difrakcione rešetke malog perioda daju oštrine reda veličine sto hiljada.

Položaji glavnih maksimuma nenultog reda ($m\ge 1$), prema relaciji (4.41), ne zavise od talasne dužine svetlosti. Maksimumu datog reda pripada veći ugao za veću talasnu dužinu. Ako difrakcionu rešetku obasjamo belom svetlošću, ona će je

razložiti na spektralne komponente. Maksimumi će biti obojeni. Crveni deo spektra je najudaljeniji od centra slike, ljubičasti najbliži. Dakle, difrakciona rešetka je u stanju da vrši harmonijsku analizu optičkog zračenja, zbog čega se izdašno koristi u spektralnim aparatima. (Priložili smo našu fotografiju iz studentske laboratorije)

Primetimo da je red maksimuma $m$ ograničen broj, ne može biti veći od $d/\lambda$. Ovo ograničenje neposredno sledi iz relacije (4.42), budući da je $|\sin \theta |\le 1$. Rešetka će davati samo prvi maksimum ($m=1$) ako je njen period $d\le 2\lambda$; nema smisla govoriti o difrakcionoj rešetki s periodom manjim od talasne dužine. Odatle proizilazi da je korisno za vidljivi deo spektra praviti rešetke do $N\sim 2500$ linija po milimetru, ali ne više od toga. Savremene tehnologije proizvođenja rešetki takve granice i dostižu. Praksa pokazuje da i za $d\sim \lambda$ pomenute difrakcione formule daju zadovoljavajuće rezultate, mada to ne sledi a priori iz pretpostavki Frenelovog metoda.

Formula za intenzitet svetlosti pokazuje da se maksimumi smanjuju kad $m$ raste. Navedimo bez dokaza sledeći rezultat. Za $b=a=d/2$, ukupni intenzitet difragovane svetlosti za sve maksimume $m\ge 1$ tek je četvrtina upadnog intenziteta. Za drugačije odnose parametara rešetke taj će udeo biti još i manji. U nekim opitima se takva osobina rešetke ispoljava kao ozbiljan hendikep. Metodom profilisanja transmisionih traka rešetke uspeva se s koncentracijom velikog dela upadnog fluksa u oblast jednog ili dva maksimuma te se tako eliminiše pomenuti nedostatak prostih difrakcionih rešetaka s prozračnošću pravougaonog tipa (Sl. 4.13). Rešetke s klasičnim prorezom modulišu amplitudu svetlosnog talasa pa se zovu amplitudske difrakcione rešetke; profilisane rešetke unose periodične promene faze talasa, te se zato zovu i fazne difrakcione rešetke. Dobri praktični rezultati u spektroskopiji postižu se sa refleksionim rešetkama, koje formiraju fraunhoferovski difrakcioni spektar u reflektovanoj svetlosti.

Danas postoje mnogi tipovi raznih difrakcionih rešetki. Možemo reći da je difrakciona rešetka svaki uređaj koji obezbeđuje prostornu periodičnu modulaciju upadnog svetlosnog talasa po fazi ili amplitudi. Prvu difrakcionu rešetku konstruisao je astronom Ritenhaus 1784. godine. On je na ram motao tanke paralelne žice. Difrakcioni spektroskop koristio je već 1821. godine Fraunhofer; njegove rešetke su drugačijeg tipa, dobijene graviranjem staklene pločice. Krajem prošlog veka pravio je Roland u SAD vrlo kvalitetne refleksione difrakcione rešetke. Danas se pomoću automatizovanih mašina sa interferencionim uređajima precizno graviraju rešetke većih dimenzija (na primer, $40\,$ cm x $40\,$ cm). Pritom, u ultravioletnom delu spektra prave se rešetke kod kojih je broj linija do $3600$ po milimetru. Međutim, infracrvene rešetke imaju četiri-pet linija po milimetru. Po pravilu, savremene rešetke su fazne rešetke refleksionog tipa sa skoro trougaonim profilom transmisione trake; takve rešetke su u stanju da koncentrišu skoro $80\,\%$ upadne svetlosti u spektar jednog određenog reda.

Laserska dioda obasjava difrakcionu rešetku;

frontalni opit u studentskoj laboratoriji —

više od 10 vidljivih bočnih maksimuma

Relativno jeftine i dosta kvalitetne difrakcine rešetke prave se na plastičnim podlogama utiskivanjem pomoću kalupa (graviranih matrica), posle čega se površine dobijenih kopija metaliziraju. Danas se proizvode i holografske difrakcione rešetke od specijalnih fotoosetljivih materijala.

Fraunhoferova difrakcija kao Furijeova transformacija

Pokazaćemo sada da je Fraunhoferova difrakciona slika nekog objekta u stvari Furijeova transformacija objekta.

Ograničimo se samo na analizu jednodimenzionog slučaja, kakav je bio, na primer, difrakcioni zadatak sa uskim prorezom. Ravanski elektromagnetski talas talasne dužine $\lambda$ upada sa leve strane pod pravim uglom, tako da se njegov front poklapa sa ekranom (osa $Y$, Sl. 4.16). Neka je prozračnost ekrana u nekoj tački na rastojanju $y$ od početka O jednaka $\tau (y)$.

Sl. 4.16 Uz analizu difrakcije kao Furijeve transformacije

Neposredno ispred ekrana je amplituda svetlosne oscilacije (po jedinici širine fronta) konstantna veličina koju ćemo označiti sa $E$. Neposredno iza ekrana će ta veličina biti $E_{\text{ob}}(y)=E\tau (y)$. Dakle, amplituda svetlosne oscilacije koja nastaje u ravni ekrana, sa elementa površine širokog $dy$, iznosi $E_{\text{ob}}\,dy$. U tački posmatranja, u ravni gde se formira Fraunhoferova difrakciona slika (žižna ravan sabirnog sočiva), stizaće svetlosne oscilacije sa tog elementa sa faznom razlikom $\delta =k\Delta =(2\pi /\lambda )y\,\sin \theta$, u odnosu na talas iz centralne oblasti posmatranog ekrana. Po Frenelovoj koncepciji, ukupna amplituda svetlosne oscilacije u tački posmatranja fraunhoferovske difrakcione slike nalazimo pomoću integrala

$$E_{\text{sl}}=\int_{\text{ekran}} \,E_{\text{ob}}(y)\,e^{i\delta }\,dy. \tag{4.47}$$

Pomoću smene $k_{\theta }=(2\pi /\lambda )\,\sin \theta$ integral možemo svesti na oblik

$$E_{\text{sl}}(k_{\theta })=\int_{-\infty }^{+\infty } \,E_{\text{ob}}(y)\,e^{ik_{\theta }y}\,dy \tag{4.48}$$

koji smo, u specijalnom slučaju difrakcije na prorezu.

Setimo se da se Furijeova transformacija neke funkcije $f(t)$ definiše integralom (Videti, na primer, dr S. Fempl, Redovi, Zavod za izdavanje udžbenika NRS, Beograd 1960 s. 165)

$$F(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty } \,f(t)\,e^{i\omega t}\,dt. \tag{4.49}$$

Funkcija $f(t)$ se zove original, a $F(\omega )$ je njena Furijeova slika. Promenljive $t$ i $\omega$ su komplementarne promenljive. Posmatrajući formulu (4.48) zaključujemo, u svetlu definicije (4.49), da se zaista Fraunhoferova difrakciona slika suštinski manifestuje kao Furijeova transformacija raspodele osvetljenosti u ravni objekta (ekrana). Pri tome su odgovarajuće komplementarne varijable $y$ i $k_{\theta }$.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 — 1830)

Pošto svetlosna polja objekta, $E_{\text{ob}}(y)$, i difrakcione slike, $E_{\text{sl}}(k_{\theta })$, korespondiraju po poznatim principima Furijeove transformacije, moguće je po detektovanoj difrakcionoj slici suditi o objektu koji ju je izazvao. Tako, primenom obrnute Furijeove transformacije određujemo svojstva objekta koji je difrakciju prouzrokovao. Ovaj metod je od značaja u fizici; omogućava, na primer, da se identifikuje struktura kristala pomoću poznate difrakcione slici koja je dobijena iks-zracima.

Čitalac može sam da proveri da su difrakcione fraunhoferovske slike proreza i difrakcione rešetke zaista Furijeove transformacije jednog pravougaonog impulsa i povorke takvih impulsa, respektivno. Time se na nov način, u svetlu teoreme o kojoj smo ovde govorili, sagledavaju rezultati (4.26) i (4.41). Nije teško videti da su zaključci koje smo ovde potencirali validni i za dvodimenzione difrakcione zadatke; na primer, naš tretman fraunhoferovske difrakcije na objektu koji je okrugli otvor na neprozirnom ekranu u suštini je bio rad sa dvostrukim Furijeovim integralom (4.30) koji dovodi do rezultata (4.35).

Amplitudna difrakciona rešetka sa sinusnom prozračnošću

Videli smo da se raspodela intenziteta difragovane svetlosti za prostu amplitudsku difrakcionu rešetku opisuje izrazom (4.41). Ta raspodela može biti i sasvim drugačija, pod uslovom da prozračnost nije povorka pravougaonih impulsa, kao što je bilo pretpostavljeno na Sl. 4.13. Da to ilustrujemo, posmatraćemo takođe amplitudsku difrakcionu rešetku, ali ćemo uzeti da se prozračnost menja po harmonijskom zakonu duž poprečne koordinate $y$

$$E_{\text{ob}}(y)=E\left[1+\alpha \cos \left(\frac{2\pi y}{d}\right)\right]. \tag{4.50}$$

Ovde je parametar funkcije prozračnosti $\alpha \le 1$. Da uprostimo notaciju, stavimo da je $E=1$. Uvedimo oznaku za prostornu učestanost rešetke $k_{\text{d}}=2\pi /d\,$.

Sl. 4.17 Transmisija sinusne rešetke

Iskoristimo Furijeov integral da izračunamo ukupnu amplitudu difragovanog talasa:

$$E_{\text{sl}}(k_{\text{y}})=\int_{-L}^{+L} \,E_{\text{ob}}(y)\,e^{ik_{\text{y}}y}\,dy. \tag{4.51}$$

Ovde je $k_{\text{y}}=k_{\theta }=(2\pi /\lambda )\,\sin \theta$. Ukupna širina difrakcione rešetke je $2L$; uzeli smo da je prozračnost ekrana za $|y|>L$ jednaka nuli. Smenom oblika (4.49) u podintegralni izraz (4.50) dobijamo

$$E_{\text{sl}}(k_{\text{y}})=\int_{-L}^{+L} \,[1+\alpha \cos (k_{\text{d}}y)]\,e^{ik_{\text{y}}y}\,dy. \tag{4.52}$$

Veličina $k_{\text{y}}$ karakteriše pravac prostiranja difragovanih talasa. Izračunavanjem ovog integrala dobijamo

$$E_{\text{sl}}(k_{\text{y}})=\frac{\sin (k_{\text{y}}L)}{k_{\text{y}}L}+\frac{\alpha }{2}\,\frac{\sin [(k_{\text{y}}-k_{\text{d}})L]}{(k_{\text{y}}-k_{\text{d}})L}+\frac{\alpha }{2}\,\frac{\sin [(k_{\text{y}}+k_{\text{d}})L]}{(k_{\text{y}}+k_{\text{d}})L}. \tag{4.53}$$

Ako su razmere rešetke velike ($L=Nd\to \infty$), amplituda difragovanog talasa različita je od nule praktično jedino oko onih pravaca $\theta _{\text{m}}$ za koje se anuliraju neki od tri imenioca u relaciji (4.52). Tako, postoje tri glavna maksimuma: $a$) $k_{\text{y}}=0$ ili $d\sin \theta _{0}=0$; $b$) $k_{\text{y}}=k_{\text{d}}$ ili $d\sin \theta _{1}=+\lambda$ i $c$) $k_{\text{y}}=-k_{\text{d}}$ ili $d\sin \theta _{-1}=-\lambda$. Dakle, u graničnom slučaju neograničene difrakcione rešetke sa sinusnom prozračnošću perioda $d$ daje upadni ravanski svetlosni talas upravo tri maksimuma — samo dva bočna simetrično raspoređena oko centralnog. Uslov glavnog maksimuma može se zapisati pomoću reda maksimuma $m$ na formalno isti način kako se to čini za prostu difrakcionu rešetku

$$d\,\sin \theta _{\text{m}}=m\lambda, \tag{4.54}$$

no u ovom slučaju red spektra može uzeti samo tri vrednosti: $0$, $+1$ i $-1$.

Intenzitet maksimuma određuje se kvadratom odgovarajućeg Furijeovog koeficijenta u razvoju (4.52). Tako se dobija $I_{\theta =0}=I_{0}N^{2}$; $I_{\theta =\theta _{1}}=I_{\theta =\theta _{-1}}=I_{0}N^{2}\alpha ^{2}/4$.

Amplitudne sinusne rešetke mogu se praviti na fotoosetljivim folijama koje registruju interferencione efekte dva laserska zraka; to su postupci koji su u uskoj vezi sa holografskim tehnikama. (O holografiji videti u posebnom predavanju u ovoj knjizi.)