Interferencija

P e t o p r e d a v a nj e

INTERFERENCIJA OPTIČKOG ZRAČENJA

Interferencija dva ravanska talasa

U nekoj homogenoj sredini prostiru se dva svetlosna talasa. Označimo njihove svetlosne vektore sa $\vec{E}_{1}$ i $\vec{E}_{2}$. Na početku ćemo pretpostaviti da su talasi strogo ravanski, što podrazumeva i da su idealno monohromatski. Ta će nam aproksimacija pomoći da u što čistijem vidu opišemo efekte sabiranja svetlosnih oscilacija u pojedinim tačkama te sredine. Kasnije ćemo uzeti u obzir i osobine realnih svetlosnih izvora koji uvek daju više ili manje polihromatsko optičko zračenje.

U nekoj tački sredine odredićemo ukupni svetlosni vektor po principu superpozije, smatrajući da se mogu zanemariti eventualni nelinearni efekti:

$$\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}. \tag{5.1}$$

Budući da pretpostavljamo da su učestanosti dva talasa jednake i konstantne, rezultujuća oscilacija u toj tački imaće istu takvu učestanost koju ćemo obeležavati sa $\omega$. Međutim, rezultantna amplituda će bitno zavisiti od odnosa faza dva talasa. Prema tome, ta će se amplituda menjati od tačke do tačke u toj sredini. Samim tim, ukupni intenzitet svetlosti nije svuda jednak zbiru intenziteta dva talasa; on je negde veći a negde manji od tog zbira. Primetne su naizmenične svetlije i tamnije oblasti. Široki krug pojava koje se mogu podvesti pod opisanu sliku slaganja svetlosnih oscilacija naziva se jednim imenom interferencija talasa. Interferencija i difrakcija (o kojom smo već govorili) dve su pojave u kojima se talasna svojstva svetlosti manifestuju u nedvosmislenom obliku.

Da bi se optički interferencioni efekti detektovali, mora se imati u vidu da su optičke učestanosti ogromne i da ne postoji tako brzi uređaj koji bi pouzdano tragao za trenutnim vrednostima svetlosnog vektora prema relaciji (5.1). Prijemnici svetlosti su osetljivi na energetske veličine, a ove su proporcionalne srednjoj vrednosti kvadrata jačine električnog polja. Prema tome, naša pažnja treba da bude usmerena na veličinu $〈E^{2}〉$ gde uglaste zagrade označavaju nalaženje srednje vrednosti za interval vremena koji je diktiran inercionim svojstvima prijemnika, a koji je u svakom slučaju mnogo duži od perioda $2\pi /\omega$. Koristeći relaciju (5.1) formiraćemo novu vezu između srednjih kvadrata koji korespondiraju sa eksperimentalnim varijablama $〈E^{2}〉=〈\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E}〉$:

$$〈E^{2}〉=〈E_{1}^{2}〉+〈E_{2}^{2}〉+2〈\overrightarrow{E_{1}}\cdot \overrightarrow{E_{2}}〉. \tag{5.2}$$

Ovde su pojedini članovi, kao što znamo od ranije, proporcionalni odgovarajućim intenzitetima. Kad bi rezultantni intezitet bio sastavljen samo od prva dva člana sa desne strane relacije, intenziteti bi se uvek prosto sabirali dajući uvek i na svakom mestu konstantnu vrednost. Ali nije tako, zbog prisustva trećeg člana $2〈\overrightarrow{E_{1}}\cdot \overrightarrow{E_{2}}〉$.

To je upravo interferencioni član.

Ako on nije jednak nuli, kažemo da postoji interferencija. S druge strane, ako su zadovoljeni uslovi da se anulira skalarni proizvod u interferencionom članu (što će se desiti kad su talasi ravanski polarizovani, a ravni polarizacije su međusobno normalne) ne može biti govora o bilo kakvoj interferenciji. Zbog toga, u narednom izlaganju ispitaćemo pre svega slučaj kada su vektori $\vec{E}_{1}$ i $\vec{E}_{2}$ usmereni duž istog pravca, usled čega interferencioni član postaje prosto $2〈E_{1}E_{2}〉$. Obeležimo sa $\vec{r}$ radijus-vektor tačke posmatranja. Na uobičajeni način poslužimo se trigonometrijskim zapisom svetlosnih talasa.

$$E_{1}=A\,_{1}\,\cos (\omega t-\vec{k}_{1}\cdot \vec{r}+\alpha _{1}), \tag{5.3a}$$ $$E_{2}=A_{2}\,\cos (\omega t-\vec{k}_{2}\cdot \vec{r}+\alpha _{2}). \tag{5.3b}$$

Ovde su $\vec{k}_{1}$ i $\vec{k}_{2}$ talasni vektori dva talasa, $A_{1}$ i $A_{2}$ amplitude i $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ početne faze, nezavisne od vremena $t$. Imajući u vidu matematičke operacije predviđene izrazom (5.2) sada ćemo lako doći do sledećeg rezultata za kvadrat amplitude svetlosne oscilacije u tački posmatranja

$$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\,\cos \delta , \tag{5.4a}$$ $$\delta =(\vec{k}_{1}-\vec{k}_{2})\cdot \vec{r}+\alpha _{2}-\alpha _{1}. \tag{5.4b}$$

Odavde nalazimo izraz za intenzitet rezultujuće oscilacije

$$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\,\cos \delta . \tag{5.5}$$

Intenzitet $I$ zavisi od položaja tačke posmatranja (taj je položaj zadat radijus-vektorom $\vec{r}$). Intenzitet je maksimalan tamo gde je $\cos \delta =+1$, a minimalan gde je $\cos \delta =-1$. Površine jednakih intenziteta definišu se zahtevom da je na njima faza $\delta$ konstantna, jednaka u svim tačkama površine. Taj uslov se svodi na oblik $(\vec{k}_{1}-\vec{k}_{2})\cdot \vec{r}=$ const. Dakle, površine su ravni normalne na vektor razlike $\vec{k}_{1}-\vec{k}_{2}$. Skica je data na Sl. 5.1. Crticama su naznačene dve susedne ravni jednakog intenziteta. Rastojanje između njih smo obeležili sa $q$. Ta se dužina određuje iz

Sl. 5.1 Uz definiciju površina jednakih intenziteta

uslova $|\vec{k}_{1}-\vec{k}_{2}|q=2\pi$. Kako je u posmatranoj homogenoj sredini $k_{1}=|\vec{k}_{1}|=2\pi /\lambda$ i $k_{2}=|\vec{k}_{2}|=2\pi /\lambda$ ($\lambda$ je talasna dužina svetlosnog talasa), proizilazi da je

$$q=\frac{\lambda }{2\sin \phi }, \tag{5.6}$$

gde je $2\phi$ ugao između talasnih vektora, naznačen na Sl. 5.1.

Sl. 5.2 Interferencija dva ravanska talasa. Funkcija osvetljenosti ekrana

Zamislimo da se na putu talasa našao ravni ekran kroz koji $y$-osa prolazi pod pravim uglom (pravac bisektrise ugla $2\phi$). Na ekranu bi se videle naizmenične svetle i tamne interferencione pruge širine $q$. Osvetljenost ekrana menjaće se kao funkcija

$$I(x)=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\,\cos \left(2\pi \frac{x}{q}\right). \tag{5.7}$$

Posebno, ako je $I_{1}=I_{2}=I_{0}$, nalazimo

$$I(x)=2I_{0}\left[1+\cos \left(2\pi \frac{x}{q}\right)\right]. \tag{5.8}$$

Grafik ove funkcije prikazan je na Sl. 5.2. Potpuna tama na ekranu je u tačkama minimuma, dok je maksimum osvetljenosti jednak četvorostrukoj osvetljenosti koju bi dao jedan od talasa.

Interferencija talasa od dva tačkasta izvora

Pošto smo se upoznali sa nekim opštim karakteristikama interferencije, napravimo sada korak bliže jednom konkretnom i tipičnom interferencionom eksperimentu. Na Sl. 5.3 laserska svetlost koju daje He-Ne školski laser male snage obasjava ekran $\mathscr{E}$. Na ekranu postoje dva bliska, kružna otvora malog poluprečnika (napravljena, na primer, vrhom čiode na kartonu). Ta dva otvora će se ponašati kao dva jednaka, tačkasta, sinfazna, monohromatska svetlosna izvora.

Sl. 5.3 Uz razmatranje interferencija dva sferna svetlosna talasa

Na zaklonu $Z$ formiraće se interferenciona slika; razmotrimo njene osobenosti. (Namerno ćemo u analizi ponoviti neke korake iz prethodnog razmatranja.) Obeležimo sa $d$ rastojanje između svetlosnih izvora koje smo označili sa S $_{1}$ i S $_{2}$. Rastojanje između ekrana i zaklona je $\ell$. U tačku posmatranja P stižu svetlosni talasi od prvog izvora pošto pređu put $r_{1}$ i od drugog izvora pošto pređu put $r_{2}$. Smatraćemo da je zaklon vrlo daleko, tj. da je $\ell \gg d$, pa talasi imaju u tački P praktično istu amplitudu koju ćemo označiti sa $E_{0}$. Tako, sabirajući dva talasa

$$E_{1}=E_{0}\cos (\omega t-kr_{1}), \tag{5.9a}$$ $$E_{2}=E_{0}\cos (\omega t-kr_{2}), \tag{5.9b}$$

nalazimo fazu i amplitudu rezultantne svetlosne oscilacije $E=A\cos \Phi$ u obliku

$$\Phi =\omega t-k(r_{1}+r_{2})/2, \tag{5.10a}$$ $$A=2E_{0}\cos \left[k\left(r_{2}-r_{1}\right)/2\right]. \tag{5.10b}$$

Ovde je $k=2\pi /\lambda$ talasni broj. Ako je $n$ indeks prelamanja date homogene sredine, tada je $\lambda =\lambda _{0}/n$, gde je $\alpha$ talasna dužina u vakuumu. Definišimo veličinu

$$\Delta =n\left(r_{2}-r_{1}\right) \tag{5.11}$$

koju zovemo razlika optičkih puteva. Intenzitet svetlosti u tački P proporcionalan je kvadratu amplitude $A$, pa ćemo dobiti

$$I=2I_{0}\left(1+\cos \delta \right), \tag{5.12a}$$

gde je

$$\delta =k\Delta, \tag{5.12b}$$

dok je $I_{0}$ intenzitet koji daje samo jedan od izvora. Veličina $\delta$ se naziva fazna razlika dva talasa. U tačkama gde je zadovoljen uslov $k\Delta =2\pi m$ ($m$ je nula ili ceo broj) ravan $Z$ će biti maksimalno osvetljena. Broj $m$ se zove red interferencije. Lako je videti da je uslov maksimuma u stvari zahtev da optička razlika puteva bude ceo broj talasnih dužina. Posedno, u tački O ($x=0$) nalazi se interferencioni maksimum nultog reda ($m=0$). Ta je tačka centar interferencione slike. Primetimo sada da se $\Delta$ može izraziti u funkciji koordinate $x$ koja leži u ravni $Z$. Ako je $\theta$ ugao pod kojim se sa sredine duži $d$ vidi duž $\overline{OP}=x$, rastojanje tačke posmatranja od centra interferencione slike, tada je očito $\Delta =nd\sin \theta \simeq n\,\theta d$. Znajući da je $x=\ell \text{tg}\theta \simeq \ell \theta$, nalazimo da je

$$\Delta \simeq nd\frac{x}{\ell }. \tag{5.13}$$

Zamenom ove vrednosti u relaciju (5.12a) dobijamo

$$m_{g}\sim \tau /T \tag{5.14}$$

Odavde zaključujemo da je prostorni period ove funkcije $q=\lambda _{0}\ell /\left(nd\right)$. To je rastojanje između dva susedna maksimuma (ili minimuma) osvetljenosti ravni $Z$ duž pravca $x$ (kojem je duž $d$ paralelna).

Primetimo da relacija (5.14) nudi princip merenja talasne dužine svetlosti pomoću interferencionih opita. Zbilja, ako se izmeri period $q$, a parametri $n$, $\ell$ i $d$ su poznati, tada formula

$$\lambda _{0}=q\frac{d}{\ell } \tag{5.15}$$

omogućava izračunavanje talasne dužine (u vazduhu).

Videli smo da je u tački za koju je razlika rastojanja do dve fiksne tačke S $_{1}$ i S $_{2}$ jednaka $m\lambda$ maksimalan intenzitet. Skup svih tačaka s tom osobinom je površina maksimalnog intenziteta i po definiciji je to obrtni hiperboloid. Presek hiperboloida sa ravni $Z$ daje krivu maksimalnog intenziteta. Ona seče $x$-osu u tačkama koje se mogu odrediti pomoću relacije (5.14). U uskoj oblasti oko centra interfrerencione slike u ravni $Z$ interferentne pruge su prave, ekvidistantne i paralelne, upravne na ravan Sl. 5.3.

Jungov interferencioni opit

Naglasili smo da se interferencioni opit sa dva bliska otvora na ekranu izvodi pomoću laserske svetlosti, tj. sa praktično monohromatskim talasima. Ako bismo pokušali da dobijemo interferencionu sliku sa običnim svetlosnim izvorima, na primer sa prirodnom Sunčevom svetlošću, opit bi mogao i da ne uspe u tako jednostavnom obliku.

Klasični (nelaserski) svetlosni izvori daju optičko zračenje koje se sastoji iz haotičnog sleda mnogih sinusnih paketa. Pojedinačni impuls kao akt jednog emisionog atomskog procesa ne traje duže od nekih $10^{-8}$ s. Ako neku površinu obasjamo pomoću dva nezavisna prirodna svetlosna izvora, u svakoj tački površine će se fazni odnosi svetlosnih oscilacija menjati na slučajan način mnogo puta u toku posmatranja efekta sabiranja dva talasa. Sabiranje velikog broja oscilacija sa fazama koje se slučajno menjaju uništava interferencioni član: u tačkama površine dolazi jedino do prostog sabiranja intenziteta zračenja koja dolaze od dva izvora i interferenciju ne opažamo. Da bi učinak interferencije bio vidljiv i sa prirodnom svetlošću, moraju se preduzeti posebne, dodatne mere u opitu; one se, uopšte, svode na postupak deljenja svetlosnog snopa na bar dva svetlosna snopa koji se posle izvesne karakteristične procedure dovode u deo prostora gde se svetlosna polja prekrivaju. Obezbedi li se, pri tome, da je optička razlika puteva dva snopa manja od dužine jednog sinusnog paketa, slučajne promene amplitude i faze u svim snopovima biće međusobno usaglašene; tada kažemo da su interferišuće komponente koherentne. Takva eksperimentalna procedura daje stabilnu i jasnu interferencionu sliku. O pojmu koherencije, koji je od presudne važnosti sa aspekta koji smo istakli, govorićemo opširnije pri kraju ovog predavanja.

Thomas Young (1773 — 1829)

Prvi fizičar koji je jasno shvatio suštinski značaj koherentnih talasa u interferencionim optičkim opitima i zahteve koji iz toga proizilaze znao u laboratoriji da realizuje bio je Tomas Jung. Oko godine 1802. on je posmatrao interferenciju svetlosti, u suštini, pomoću šeme skicirane na Sl. 5.4.

Sl. 5.4 Jungova interferenciona šema

Sunčeva svetlost obasjava ekran $\mathscr{E}$. Na ekranu je mali kružni otvor S. Približno, taj se otvor ponaša kao tačkasti svetlosni izvor koji daje sekundarni sferni talas svetlosti prema drugom ekranu koji ima dva mala kružna otvora S $_{1}$ i S $_{2}$. Otvori su tako postavljeni da su jednako udaljeni od otvora S; oni leže na istoj talasnoj površini. Tako, S $_{1}$ i S $_{2}$ na simetričan način propuštaju deo prispele svetlosne energije i mogu se tretirati kao sekundarni, približno tačkasti, sinfazni svetlosni izvori. Talasi koji polaze iz ovih izvora obasjavaju tačke udaljenog zaklona $Z$. Tamo će se videti interferenciona slika, pošto su zadovoljeni uslovi koherencije kao što je gore komentarisano. Slika će biti skup svetlih i tamnih pruga i o tome smo detaljno govorili u analizi opita uz primenu lasera.

Mereći razmak svetlih pruga u ravni $Z$, Jung je bio u prilici da odredi talasnu dužinu $\lambda _{0}$ i to za razne boje svetlosti. Kao što smo objasnili, primenjuje se formula (5.15). Tipični podaci su sledeći: na zaklonu udaljenom $\ell \sim 1$ m period interferencionih pruga je $q\sim 1$ mm pri razmaku otvora $d=0,5$ mm. Kako je za vazduh $n\simeq 1$, dobija se za talasnu dužinu $\lambda _{0}=5\cdot 10^{-7}$ m. Talasna dužina vidljivog optičkog zračenja je mala i merenja nisu laka — Jungovi podaci su uveliko samo približni. Bez obzira na to, nesumnjiv je istorijski značaj tog opita, prvog na temu interferencije svetlosti. Početkom prošlog veka dao je Jungov rad nezamenljiv podsticaj razvoju optike, posebno talasne koncepcije svetlosti koju je ubrzo potom prihvatio Frenel i radikalno dalje afirmisao.

Zaključimo da se u klasičnoj verziji Jungovog opita ne sme odstraniti otvor S — inače propada interferenciona slika. Otvor S obezbeđuje koherentno pobuđivanje sekundarnih izvora u ravni ekrana sa dva bliska otvora. Može se pokazati da bi pri direktnom izlaganju toga ekrana sunčevim zracima razmak otvora, parametar $d$, morao biti toliko mali da se praktično i ne bi mogao realizovati. S druge strane, mali otvor S znatno smanjuje upadni svetlosni fluks pa je vidljivost interferencionih pruga neznatna. Približno, slika se neće mnogo promeniti ako umesto kružnih otvora koristimo uske proreze normalne na ravan crteža. Prorezi daju veće svetlosne flukseve i opit bolje uspeva sa nastalim cilindričnim svetlosnim talasima.

Ako se u Jungovom tipu interferencionog opita koristi laserska svetlost, što se u savremenoj laboratorijskoj praksi skoro redovno čini, onda je otvor S nepotreban. Laserska svetlost je visoko koherentna po celom poprečnom preseku snopa. Tom pogodnošću smo se i koristili kada smo opisivali opit sa Sl. 5.3.

Poznati interferencioni opiti

Jungov interferencioni opit počiva na postupku koji se, iz očitih razloga, zove metod deljenja talasnog fronta. Još neki opiti, takođe istorijski značajni, koriste baš taj metod. Upoznaćemo se ukratko sa četiri najupečatljivija primera interferencionih opita iz te kategorije. U svim slučajevima se pretpostavlja da su svetlosni izvori dovoljno snažni i monohromatski. Klasičan takav izvor je, na primer, živina lampa sa upotrebom svetlosnih filtara koji izdvajaju odgovarajuće uske spektralne oblasti. Danas se opiti mogu organizovati s laserskom svetlošću koju daje, na primer, školski He-Ne izvor male snage.

Frenel je 1816. godine postavio interferencioni opit sa dva ogledala koja dele talasni front. Ona su danas opšte poznata kao Frenelova ogledala.

Sl. 5.5 Frenelova ogledala

Šema je prikazana na Sl. 5.5. Ogledalo $O_{2}$ zarotirano je za mali ugao $m$ u odnosu na ogledalo $O_{1}$ koje dodiruje donjim krajem. Svetlosni izvor S se realizuje kao uski, intenzivnom svetlošću obasjani prorez na ekranu. Prorez je paralelan liniji dodira dva ogledala. Dva koherentna svetlosna talasa dobijaju se refleksijom svetlosti od ogledalâ. Na zaklonu $\text{Z}$ (ravan koju ovde i na nekim drugim mestina u knjizi zovemo uslovno zaklon može biti beli mat-ekran) vidimo neku raspodelu osvetljenosti. Ali, to može biti i mat-staklo gde posmatramo interferencione pruge na zadnjoj njegovoj površini, eventualno pomoću lupe ili mikroskopa. U ovom slučaju, zna se da je moguće staklo i potpuno ukloniti, čak sa izvesnim prednostima. (Detaljnije o tome u knjizi: D. V. Sivuhin, Kurs opšte fizike - optika, “Nauka”, Moskva 1980, s. 202.) Postoji oblast gde se dva talasa prekrivaju. U tim tačkama se vidi interferenciona slik (direktni svetlosti talasi od izvora S ne dospevaju do zaklona — umetnuta je neprozirna prepreka P). Iz uprošćene šeme karakterističnih zrakâ u sistemu vidi se da interferenciona slika ima istu prirodu kao da potiče od interferencije talasa sa dva izvora S $_{1}$ i S $_{2}$ u analognom Jungovom opitu. Pomenuti izvori su imaginarni likovi proreza S u jednom i drugom ogledalu. Drugim rečima, mi već imamo formule koje tumače opit s Frenelovim ogledalima. Relacija (5.14) opisuje raspodelu intenziteta duž $\alpha =(d_{2}-d_{1})/\ell$-ose na zaklonu $Z$. Pritom je $\ell$ rastojanje od izvora do zaklona, tj. $\ell =r+R$, gde je $10$ rastojanje od S do linije sastava dva ogledala, a $R$ je rastojanje od te linije do zaklona. S tim oznakama je $d\simeq 2r\delta$, rastojanje dva imaginarna lika. Tako, širina interferencionih pruga iznosi $q=\lambda _{0}\ell /d=\lambda _{0}\left(r+R\right)/\left(2rd\right)$ (pretpostavljajući da je sredina vazduh).

Frenelov opit sa dva ogledala nešto je “čistiji” od Jungovog opita sa dva proreza; u manjoj je meri podložan pratećim difrakcionim efektima. Sem toga, u praksi se sa Frenelovim ogledalima dobijaju vidljivije interferentne pruge, principijelno je moguće efektivnije iskoristiti snagu svetlosnih izvora.

Frenel je pokazao da se umesto dva ogledala mogu upotrebiti i dve prizme. Taj je element danas poznat kao Frenelova bi-prizma. Šema interferencionog opita

data je na Sl. 5.6. Ugao prizme $\Pi _{1}$ je mali. Bi-prizma (dvojna prizma) se osvetljava

Sl. 5.6 Frenelova bi-prizma

pomoću svetlosnog izvora S (uski, dugi prorez obasjan svetlošću znatnog intenziteta). Prorez je paralelan liniji dodira dve prizme. Date prizme su u stanju da otklanjaju zrake na ugao $\left(n-1\right)\gamma$ (videti u knjizi predavanje o prizmi). Sa slike se vidi da se putanje zraka mogu interpretirati kao da nastaju od dva imaginarna svetlosna izvora S $_{1}$ i S $_{2}$, simetrično locirana oko tačke S, u poprečnoj ravni. Tako se i ovde objašnjenje opita svodi na formule analognog Jungovog opita sa dva izvora S $_{1}$ i S $_{2}$. Očito, dva koherentna svetlosna talasa koji polaze sa dve prizme prekrivaju se u određenom delu prostora, čineći interferentno polje, te se u ravni $Z$ vidi interferenciona slika. Imajući u vidu da je $r$ rastojanje izvora od prizmi a $R$ rastojanje prizmi od zaklona, mogu se i ovde koristiti formule za širinu pruge koje smo naveli kod ogledala.

Pomenimo sada i interferencioni opit po metodu deljenja talasnog fronta sa

Sl. 5.7 Bijeova intereferenciona šema

Bijeovim dvojnim sočivom, Sl. 5.7. Sabirno sočivo je rasečeno na dva dela i delovi su potom malo međusobno razmaknuti (ili je prosto centralna oblast sočiva zatamnjena). Sočiva se obasjavaju pomoću intenzivno osvetljenog uskog proreza S. Formiraju se realni likovi proreza S $_{1}$ i S $_{2}$; oni su sekundarni svetlosni izvori dva koherentna svetlosna talasa koji imaju polje prekrivanja (šrafirana oblast). Tako se na zaklonu $Z$ formira interferenciona slika.

Šema Lojdovog interferencionog opita data je na Sl. 5.8. Svetlost iz

Sl. 5.8 Lojdov interferencioni opit

izvora (prorez S $_{1}$) pada na ogledalo O pod malim uglom $\delta$. Ogledalo je polirana, ravna površina crnog stakla. Reflektovana svetlost će obasjavati oblast od $X_{1}$ do $X_{2}$ u ravni ekrana $Z$. Ali, taj deo je obasjan i direktnim svetlosnim talasom od izvora S $_{1}$. Tako, na toj površini gde se prekrivaju dva koherentna talasa stiču se uslovi za formiranje interferencione slike, pa su na zastoru vidljive interferencione pruge. Opet, interferencija se u ovom slučaju može tretirati kao slaganje talasa od jednog realnog izvora (S $_{1}$) i imaginarnog izvora (S $_{2}$) koji je lik prvog izvora u Lojdovom ogledalu.

Polov interferencioni opit

Razmotrićemo sada Polov opit. On se principijelno razlikuje od upravo opisanih opita sa deljenjem talasnog fronta — koristi metod deljenja amplitude. Monohromatska svetlost od izvora S pada na providnu plan-paralelnu pločicu. U neku tačku P (ona se nalazi na istoj strani kao i izvor S) stiže svetlosni zrak odbijen od gornje površine pločice, ali i zrak koji se, posle prelamanja, odbija sa donje

Sl. 5.9 Polov interferencioni opit

površine. Ti zraci i formiraju intererencionu sliku na zaklonu $Z$. Rezultat interferencije u tački P određuje razlika optičkih puteva dva zraka. Ona se može izračunati ako se primeti da zraci imaju svojstva kao da potiču od dva imaginarna svetlosna izvora S $_{1}$ i S $_{2}$ koji su prikazani na Sl. 5.9. Oni su u stvari imaginarni likovi izvora S u odnosu na gornju i donju površinu pločice. Kvalitativno govoreći, interferenciona slika koja se vidi na udaljenom zaklonu $Z$ (on je paralelan pločici) ima izgled koncentričnih prstenova s centrom iznad izvora S. Praksa pokazuje da je u Polovom opitu lakše i udobnije posmatrati interferenciju svetlosti nego u opitima sa deljenjem talasnog fronta. Može se, na primer, koristiti živina lampa bez ekrana sa malim kružnim otvorom (za simuliranje tačkastog izvora), pa se koristi puni svetlosni intenzitet i dobijaju jasne i dobro vidljive interferencione pruge. Dobro je

Sl. 5.10a Demonstracioni opit, Polova šema. Levo:laser, pločica i ekran

na magnetskom stolu. Desno: Interferencione pruge na zidu;

poznato da se pomoću tanke staklene pločice, bez naročitih dodatnih optičkih elemenata, na zid učionice mogu projektovati (Sl. 5.10a) interferencione pruge koje bez tečkoća uočava celi auditorijum. Zašto je to tako shvatićemo potpunije iz sledećeg izlaganja.

Da bismo kvantitativno obradili osobenosti Polovog opita, posmatrajmo poseban slučaj vrlo udaljene tačke P. U eksperimentalnom smislu to se postiže primenom objektiva, sabirnog sočiva koje u žižnoj ravni formira sliku koja je ekvivalentna interferencionoj slici u beskonačno udaljenoj ravni. Dva interferirajuća zraka, Sl. 5.10, nastaju od jednog upadnog ($i$) koji se delom reflektuje od gornje (zrak $r_{1}$) a delom od donje (zrak $r_{2}$) površine pločice. Višestruke refleksije se zanemaruju. Zraci $r_{1}$ i $r_{2}$ su paralelni. Optička razlika puteva $\Delta$ u tački P takva je kao na liniji $\overline{CD}$. Prema tome, $\Delta =n\,(\overline{AB}+\overline{BC})-\overline{AD}$. Obeležimo sa $d$ debljinu pločice čiji je indeks prelamanja $n$. Zrak upada iz vazduha na gornju površinu pločice pod uglom $\theta _{\text{i}}$. Prelama se pod uglom $\theta _{\text{t}}$. Pri tome je $\sin \theta _{\text{i}}=n\,\sin \theta _{\text{t}}$ (zakon prelamanja za pločicu u vazduhu).

Sl. 5.10 Uz analizu Polovog opita

Duž $\overline{AB}$ jednaka je $d/\cos \theta _{\text{t}}$ (tolika je i duž $\overline{BC}$). Duž $\overline{AC}$ jednaka je $2d\,\text{tg}\theta _{\text{t}}$, pa je duž $\overline{AD}$ jednaka $2d\,\text{tg}\theta _{\text{t}}\sin \theta _{\text{i}}$. Tako nalazimo za razliku optičkih puteva

$$\Delta =2nd\,\cos \theta _{\text{t}}. \tag{5.16}$$

Fazna razlika $\delta$ između zraka $r_{1}$ i $r_{2}$ nastaje zbog nejednakih optičkih puteva (kako se ona uračunava već smo naučili), ali i zbog refleksije prvog zraka od optički gušće sredine (na šta smo ukazivali u analizi Frenelovih formula u trećem predavanju). Prema tome,

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2nd\,\cos \theta _{\text{t}}+\pi. \tag{5.17}$$

Često se ova formula dovodi na oblik

$$\delta =4\pi \frac{d}{\lambda _{0}}\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}+\pi. \tag{5.18}$$

Napomenimo da je $\lambda _{0}$ talasna dužina svetlosti u vakuumu. Fazna razlika zavisi od ugla $\theta _{\text{i}}$. On određuje i položaj tačke P u žižnoj ravni; sve zrake pod tim uglom sočivo skuplja u istu tačku. Dakle, stanje interferencije u tački P ne može da se izmeni pomeranjem izvora S. Upravo zbog toga i netačkasti izvor daje jasnu interferencionu sliku u datoj ravni, koju zovu stoga ravan lokalizacije pruga. U ovom slučaju, pruge su lokalizovane u beskonačnosti.

Svetlim prugama u ravni $Z$ odgovaraju oni upadni uglovi za koje je, prema formuli (5.18), $\delta =2\pi m$, gde je $m$ ceo broj (red interferencije). Zadatom redu interferencije odgovara jedan određeni upadni ugao. Zato se kaže da su dobijene pruge jednakog nagiba. Ako posmatramo sliku za male uglove ($\theta _{\text{i}}\simeq 0$), one su koncentrični krugovi s centrom u žiži. Čitalac će lako sâm pokazati da tanjoj pločici odgovaraju šire pruge.

Tanka pločica promenljive debljine

U Polovom opitu razmotrili smo interferenciju sa plan-paralelnom pločicom. Sada ćemo dopustiti da pločica bude promenljive debljine, pa čak i da njene površine ne budu ravne. Takvu jednu prozračnu pločicu obasjava svetlosni izvor konačnih dimenzija. Iz jednog malog segmenta izvora S posmatramo prostiranje dva zraka koji padaju na gornju površinu pločice, Sl. 5.11.

Smatraćemo da je izvor udaljen i da daje monohromatsku svetlost. Zrak 1 prelama se na gornjoj površini (odbijena komponenta nas ovde ne interesuje) i posle delimičnog odbijanja od donje površine izlazi iz tačke P u vidu zraka $1'$. Zrak 2 (takav će se u svetlosnom snopu uvek naći) upada na gornju površinu pločice u tačku P i delom se odbija u vidu zraka $2'$. Sabirnim sočivom $\Sigma$ možemo skupiti odbijene zrake u zajedničku presečnu tačku $P'$. Ona je lik tačke $P$. Zraci $1'$ i $2'$ su koherentni, te u tački $P'$ dolazi do interferencije. Konkretno stanje slaganja talasa u datoj tački zavisi od razlike optičkih puteva. Nju ćemo sada izračunati.

Sl. 5.11 Interferencija na tankoj klinastoj pločici

Obeležimo sa $h$ debljinu pločice na mestu $P$. Približno, oba zraka upadaju pod jednakim uglom $\theta _{\text{i}}$. Ugao prelamanja zraka 1 je $\theta _{\text{t}}$. Indeks prelamanja pločice je $n$ i pločica se nalazi u vazduhu. Na sličan način kao kod Polovog opita izračunavamo razliku optičkih puteva i nalazimo

$$\Delta =2nh\,\cos \theta _{\text{t}}. \tag{5.19}$$

U izvođenju ove formule pretpostavili smo da se debljina pločice neznatno menja između tačaka u kojima upadaju zraci 1 i 2. Ponovo moramo uzeti u obzir da se faza talasa 2 menja za $\pi$ pri odbijanja od optički gušće sredine. Tako, fazna razlika dva zraka koja napuštaju tačku $P$ iznosi

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2nh\,\cos \theta _{\text{t}}+\pi. \tag{5.20}$$

Ovde se može još uvesti upadni ugao preko zakona prelamanja, tj. izvršiti smena $n^{2}\cos ^{2}\theta _{\text{t}}=n^{2}-\sin ^{2}\theta _{\text{i}}$. Primetimo da je formula (5.20) slična odgovarajućoj formuli kod Polovog opita. Međutim, ovde se radi o drugačijem fizičkom sadržaju. Ako je izvor S dovoljno udaljen, približno će zraci iz svih tačaka izvora upadati pod određenim uglom $\theta _{\text{i}}$. Posebno je taj uslov lako postići ako se interferenciona slika posmatra približno pod pravim uglom. Prema tome, fazna razlika u tački $P$ zavisi praktično samo od debljine pločice na tom mestu; tačkama iste debljine pločice odgovara isto stanje interferencije. Na primer, sve tačke gde je $\delta =2\pi$, tj. $h=\lambda _{0}/(4n\cos \theta _{\text{t}})$, biće maksimalno osvetljene. Skup tih tačaka čine prugu jednake debljine. Ostale svetle pruge jednake debljine zadovoljavaju uslov $\delta =2\pi m$, gde je red interferencije $m$ ceo broj. Jasno je da će oblik pruga zavisiti od oblika pločice. Na klinastoj pločici javljaju se pruge u vidu pravih linija koje su paralelne ivici klina. Ređaju se naizmenično tamne i svetle linije. Tamne linije nastaju tamo gde je zadovoljen uslov da je fazna razlika zrakâ $(2m+1)\pi$.

Interferencionu sliku posmatramo na zaklonu $Z$. Ta je ravan u stvari projekcija gornje površine pločice. Dakle, pruge jednake debljine se primećuju na površini pločice. Zato se za ovakvu interferencionu sliku kaže da je lokalizovana na površini pločice.

Boje tankih listića

Ako je pločica obasjana belom svetlošću, nastaje obojena interferenciona slika. Tada govorimo o bojama tankih listića. One nastaju zbog toga što fazna razlika zavisi od $\lambda _{0}$, talasne dužine svetlosti u vakuumu, tj. pruge iste debljine nisu podudarne za razne boje svetlosti. Opit sa belom svetlošću dobro uspeva samo ako je pločica tanka i tek neznatno klinasta (na primer, opna od sapunice u vertikalnoj ravni). U suprotnom, pruge će se preklapati i izostaje puni efekt obojenosti interferencione slike.

Boje tankih listića mogu se lako videti u mnogim svakodnevnim situacijama. Na primer, naftna mrlja na vlažnom asfaltu i sloj masnoće na površini vode. Dobro poznati primer su i mehurovi od sapunice. Interferencionim efektima ove vrste objašnjavaju se i boje koje se vide na površini kaljenih metalnih predmeta (tamo su u pitanju tanki slojevi oksida) itd.

Foto VB

Naftna mrlja na asfaltu

S tačkastim svetlosnim izvorom, kada koristimo metod deljenja svetlosnog fronta, dobijaju se nelokalizovane interferencione pruge (interferenciono polje je svuda gde dolazi do prekrivanja talasa). S netačkastim izvorima, kada koristimo metod deljenja amplitude, interferenciona slika je lokalizovana. Lokalizacija je u ravni pločice, ako je ona promenljive debljine, i u beskonačnosti, za planparalelnu pločicu. U stvari, može se pokazati da je mesto lokalizacije tamo gde razlika optičkih puteva minimalno zavisi od upadnog ugla.

Skokovita promena debljine

Poseban slučaj pločice promenljive debljine skiciran je na Sl. 5.11a. Svetlost upada iz sredine indeksa prelamanja $n_{1}$ na sloj (indeks prelamanja $n_{2}$ manji je od $n_{1}$) čija se debljina na jednom mestu menja skokovito. Deo upadnog snopa zraka $1$ se odbija od gornje površine stepenika u vidu $1'$, a drugi deo snopa $2$ odbija se od donje površine u vidu $2'$. Odbijeni svetlosni snopovi $1'$ i $2'$

Sl. 5.11a Zraci se odbijaju od “stepenice”

interferišu. Posmatrajmo aproksimativni slučaj skoro vertikalnog upadanja; nastupiće destruktivna interferencija ako je putna razlika jednaka polovini talasne dužine svetlosti u sredini s indeksom prelamanja $n_{1}$: $2nt=\lambda /2$. Tako, „spuštanje” niz stepenik propraćeno je padom intenziteta reflektovane svetlosti. Ovaj je efekat iskorišćen u tehnici očitavanja digitalnog zapisa na kompakt disku. U toku zapisivanja informacije na CD formira se niz međusobno odvojenih jama određene

Sl. 5.11b Čitanje CD zapisa interferencijom

visine $t$. Ta povorka stepenika na kraju je obložena metaliziranim slojem. Dok god svetlosni snop u celini putuje po horizontalnom delu jama ili bregova, nema signala promene intenziteta odbijene svetlosti i elektronika taj podatak obrađuje kao „nulu” u binarnom zapisu. Kad snop naiđe na stepenicu, drastično opadne nivo primanog intenziteta; naime, važi uslov destruktivne interferencije, jer je dubina jame izabrana prema gornjoj relaciji, $t=\lambda /4n$ (na primer, kad je talasna dužina u vakuumu $\lambda =635$ nm, dubina jame treba da bude 99,2 nm). Tada se očitava „jedinica” u binarnom zapisu.

Prozor solarne ćelije

Solarna ćelija, koja služi da se svetlosna energija transformiše u električnu energiju, fabrikuje se od pločice silicijuma indeksa prelamanja $n=3,5$. Poželjno je da se upadna svetlost što manje reflektuje od površine ćelije, jer će više energije da se apsorbuje u zapremini ćelije. Na ulazu se formira prekrivka, sloj silicijum-oksida indeksa prelamanja $n=1,45$ (videti sliku).

Zrak koji upada u tačku A daje reflektovani zrak 1 koji trpi i fazni skok od 180 stepeni (odbijanje od optički gušće sredine). Slično se dešava sa transmitovanim zrakom: on se jednim delom odbija u tački B, i reflektovana komponenta 2 trpi fazni skok od 180 stepeni. Znači, fazna razlika između zraka 1 i 2 na izlazu određena je jedino putnom razlikom — drugi zrak prevaljuje još put približan dvostrukoj debljini silicijum oksida. Destruktivna interferencija zraka 1 i

Pristup svetlosti aktivnom sloju solarne ćelije

2 nastupa kad je ta debljina izabrana prema zahtevu $2nt=\lambda /2$ (skoro vertikalan upad svetlosti). Na primer, za svetlost talasne dužine 552 nanometra debljina oksida treba da bude 95,2 nanometra. Da nema SiO sloja, refleksioni gubici svetlosti bi išli i do 30%; sa slojem SiO taj se procenat smanjuje na 10%, što je velika ušteda i povećanje efikasnosti konverzije svetlosne energije.

Njutnovi prstenovi

Izlaganje iz odeljka o prugama jednake debljine pomoći će nam da razumemo jedan stari interferencioni opit, danas poznat kao Njutnovi prstenovi. Suština postupka je u tome da se pruge jednake debljine formiraju na vazdušnom zazoru između sferne površine sabirnog sočiva i ravne površine planparalelne staklene pločice (Sl. 5.12).

Sl. 5.12 Njutnovi prstenovi: konfiguracija optičkih elemenata

Geometrijsko mesto tačaka iste debljine je ovde krug pa su interferencione pruge koncentrični krugovi s centrom u tački O (dodirno mesto sočiva i pločice). Tamni i svetli interferencioni prstenovi ređaju se naizmenično (posmatranje se vrši u reflektovanoj svetlosti), a u tački O je minimum osvetljenosti. Interferencionu sliku ovog tipa detaljno je ispitivao Njutn (mada nije bio i prvi koji se time zanimao), te se sada naziva njegovim imenom.

Tačkasti svetlosni izvor S, koji daje monohromatsku svetlost talasne dužine $\lambda _{0}$, smešten je u žiži sabirnog sočiva $\Sigma _{1}$ kojim se tako usmerava paralelni svetlosni snop na kombinaciju sočiva $\Sigma _{2}$ i pločice $\Pi$. Neki zrak 1 posle prelamanja u tački A, reflektuje se od pločice u tački B i izlazi iz vazdušnog zazora u tački P u vidu zraka $1'$. U tu istu tačku P upada drugi zrak 2 koji se delimično reflektuje (zrak $2'$). Zraci $1'$ i $2'$ su koherentni i međusobno interferišu. Skup svih takvih parova zrakâ formiraju interferencionu sliku Njutnovih prstenova. Da li će tačka P pripadati svetlom ili tamnom prstenu zavisi od razlika optičkih puteva dva zraka. Izračunajmo tu razliku.

Neka je $d$ debljina vazdušnog zazora kod tačke P. Indeks prelamanja sočiva je $n$, a pločice $n_{\text{p}}$. Indeks prelamanja vazduha obeležićemo sa $n_{0}$. Razlika optičkih puteva zrakâ $1'$ i $2'$ je (videti relaciju 5.19)

$$\Delta =2n_{0}d\,\cos \theta _{\text{t}}, \tag{5.21}$$

gde je $\theta _{\text{t}}$ ugao prelamanja zraka u tački A. Za normalnu incidenciju je $\cos _{\text{t}}\simeq 1$. Pri odbijanju zraka u tački B faza se menja za $+\pi$, budući da je $n_{\text{p}}>n_{0}$. Zbog toga je fazna razlika zrakâ $1'$ i $2'$ u tački P (uporediti sa formulom (5.20))

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2n_{0}d+\pi. \tag{5.22}$$

Maksimum osvetljenosti $m$-tog reda pripada krugu poluprečnika $r_{\text{m}}$ za koji je zadovoljen uslov

$$\delta =2\pi m. \tag{5.23}$$

Odgovarajuća debljina vazdušnog zazora je pri tome jednaka

$$d_{\text{m}}=(2m-1)\frac{\lambda _{0}}{4n_{0}}. \tag{5.24}$$

Sa Sl. 5.12 se vidi da je $(R-d_{\text{m}})^{2}+r_{\text{m}}^{2}=R^{2}$, odakle je približno ($R\gg d_{\text{m}}$)

$$d_{\text{m}}=\frac{r_{\text{m}}^{2}}{2R}. \tag{5.25}$$

Prema tome, poluprečnik $m$-tog svetlog Njutnovog prstena iznosi

$$r_{\text{m}}^{\text{s}}=\sqrt{(2m-1)\frac{R\lambda _{0}}{2n_{0}}}, \tag{5.26}$$

gde je $m=1,\;2,\;3,\;...$ Položaji interferencionih minimuma zadovoljavaju uslov $\delta =\pi +2\pi m$, što daje za poluprečnike tamnih Njutnovih prstenova

$$r_{\text{m}}^{\text{t}}=\sqrt{m\frac{R\lambda _{0}}{n_{0}}}, \tag{5.27}$$

gde je $m$ nula ili prirodan broj. Čitalac može sam lako da proveri sledeći rezultat: Poluprečnici i svetlih i tamnih Njutnovih prstenova slede iz jedinstvene formule

$$r=\sqrt{(m-1)\frac{R\lambda _{0}}{2n_{0}}}. \tag{5.28}$$

Pri tome, za svetle prstenove $m$ je paran broj, a za tamne prstenove neparan broj. Poluprečnik prvog svetlog prstena iznosi $[R\lambda _{0}/(2n_{0})]^{1/2}$. Iza njega dolazi tamni prsten poluprečnika $(R\lambda _{0}/n_{0})^{1/2}$.

Sl. 5.13 Izgled Njutnovih prstenova

Izgled Njutnovih prstenova prikazan je na Sl. 5.13. Centralna oblast slike je tamna, u skladu sa formulom (5.28) za $m=1$. U stvari, oko tačke naleganja sočiva na planparalelnu pločicu formira se ekstremno tanki vazdušni sloj (debljina mnogo manja od talasne dužine svetlosti) koji dovodi do fazne razlike $\delta =\pi$ u odbijenoj svetlosti u centru.

Formula (5.28) pokazuje da je $r_{\text{m}}^{2}\sim \lambda _{0}$, tj. položaj datog interferencionog prstena zavisi od talasne dužine svetlosti. To znači da će Njutnovi prstenovi u beloj svetlosti biti obojeni (Njutnove boje). Svaka prstenasta svetla pruga počinje ljubičastom a završava se crvenom nijansom. Kako je $\partial r_{\text{m}}/\partial m\sim 1/\sqrt{m-1}$, za veliki red interferencije dolazi do preklapanja prstenova za razne talasne dužine bele svetlosti. Kao posledica toga prstenovi su sve manje autonomni — za veće radijuse ekran postaje skoro ravnomerno osvetljen.

Pomoću Njutnovih prstenova (baš kao i pomoću Jungovog opita) mogu se pouzdano i relativno lako odrediti talasne dužine svetlosti. Dovoljno je izmeriti poluprečnik prstena poznatog reda za sočivo poznatog poluprečnika krivine $R$ pa da primenom formule (5.28) nađemo nepoznatu talasnu dužinu.

Upotrebom laserske svetlosti mogu se opiti tipa Njutnovih prstenova demonstrirati zaista jednostavnim sredstvima. Školski He-Ne laser male snage daje svetlosni snop talasne dužine $632\,$ nm. Malim rasipnim sočivom (Sl. 5.14) proširi se snop i usmeri na kombinaciju sočiva i pločice koja je karakteristična za nastanak Njutnovih prstenova. Odbijena svetlost obasjava zaklon $Z$ koji ima uski otvor u sredini za prolaz upadnih zrakâ. U zamračenoj prostoriji vide se na zaklonu

Sl. 5.14 Varijanta šeme za posmatranje Njutnovih prstenova

impresivno jasni interferencioni prstenovi. Ako mikrometarskim zavrtnjem $\mu$ odmičemo sočivo od pločice, vidimo da se prstenovi sažimaju ka centru. Lako je shvatiti da će povećanje rastojanja za polovinu talasne dužine izazvati nestanak jednog prstena. Zaprljana površina pločice (na primer, sloj prašine) može izazvati osvetljenost centralne tačke.

Majkelsonov interferometar

Interferometri su optički pribori koji funkcionišu na principu interferencije svetlosti. Koriste se za precizno merenje dužina, uglova, kvaliteta površina, indeksa prelamanja sredina, spektralnog sastava zračenja i sl. Analizom interferencionih pruga koje daje dotični interferometar dolazimo do odgovarajućih fizičkih karakteristika koje su predmet istraživanja. Upoznaćemo se sa Majkelsonovim interferometrom, jednim od najpoznatijih i najznačajnijih instrumenata te vrste.

Uprošćena šema Majkelsonovog interferometra data je na Sl. 5.15.

Sl. 5.15 Uprošćena šema Majkelsonovog interferometra

Svetlost iz monohromatskog svetlosnog izvora S, talasne dužine $\lambda _{0}$, pada na prozračnu planparalelnu pločicu $\Pi _{1}$. Njena zadnja strana prekrivena je tankim slojem srebra ili alumijimuma, tako da ima koeficijent refleksije $\rho \simeq 0,5$. Pločica igra ulogu polupropustljivog ogledala koje može da podeli upadni snop svetlosti na dve komponente približno istog intenziteta. Skicirali smo zrake 1 i 2 koji na taj način nastaju u interferometru. Odbijeni zrak 1 prostire se duž jedne grane instrumenta a transmitovani zrak duž druge grane koja u odnosu na prvu zaklapa ugao od $90^{0}$. Zrak 1 pada na ravno ogledalo $M_{1}$, odbija se i vraća istim putem; jedan njegov deo

Abracham Michelson (1852 — 1931)

prolazi kroz $\Pi _{1}$ u vidu zraka $1'$. Zrak 2 se odbija od drugog ravnog ogledala $M_{2}$, vraća se do pločice i posle delimičnog odbijanja od polupropustljivog sloja nastavlja put u vidu zraka $2'$ istim pravcem i smerom kao i zrak $1'$. Zraci $1'$ i $2'$ su približno jednakog intenziteta, koherentni su i sposobni da interferišu. Ceo snop takvih parova zrakâ skuplja sabirno sočivo $\Sigma$ pa se u žižnoj ravni $Z$ formira interferenciona slika. Ako su ogledala strogo međusobno normalna, interferencione pruge su krugovi s centrom u žiži sočiva. Zrak 1 prolazi kroz pločicu jedanput a zrak 2 triput. Da se koriguje ova optička nesimetrija, umetnuta je kompenzaciona pločica $\Pi _{2}$, istih karakteristika kao i pločica $\Pi _{1}$, izuzev što nema refleksionog sloja. Istina, kad se radi sa laserskom svetlošću prstenovi će se dobiti i bez dodatne pločice (u tom slučaju su nebitne razlike u disperzionim karakteristikama vazduha i materijala pločice).

Na Sl. 5.15 možemo da zamislimo i imaginarno ogledalo $M$, a ono je lik ogledala $M_{2}$ na refleksionoj površini polupropustljive pločice. Optički put zraka od izvora do ogledala $M_{2}$ i nazad do žiže isti je kao i put od izvora do lika $M$ i nazad do žiže. Stoga se može reći da je interferenciona slika u žižnoj ravni $Z$ faktički ista kao slika koja potiče od interferencije na tankom vazdušnom sloju (zazoru) debljine $h$ (rastojanje između realnog ogledala $M_{1}$ i imaginarnog ogledala, lika ogledala $M_{2}$).

Prema tome, analiza rada Majkelsonovog interferometra počiva na razumevanju Polovog opita koji smo već upoznali.

Raspodela osvetljenosti u ravni $Z$ data je formulom (5.12). Razlika optičkih puteva $\Delta$ je, prema (5.16), $\Delta =2h\,\cos \theta _{\text{t}}$ (za vazduh je $n=n_{0}\simeq 1$). Ako su položaji realnih ogledala fiksirani, zadata je i debljina $h$, te razlika optičkih puteva zavisi jedino od nagiba zraka prema optičkoj osi instrumenta. Nema potrebe da svetlosni izvor bude tačkasti; interferenciona slika lokalizovana je u beskonačnosti (u žižnoj ravni sočiva). Interferencione pruge Majkelsonovog interferometra su pruge jednakog nagiba. Istina, ako realna ogledala nisu strogo normalna, vazdušni sloj će biti klinast i nastaće pruge jednake debljine, paralelne ivici klina.

Ako su grane interferometra skoro jednake, debljina vazdušnog sloja je mala. Interferencioni prstenovi, kojih ima samo nekoliko, u tom su slučaju velikog prečnika. Međutim, kada je $h$ veliko, velika je i gustina prstenova oko tačke F i prstenovi su malog prečnika.

Za centar slike, u tački F, važi $\Delta (\theta _{\text{t}}=0)=2h$. Ako je $h=h_{\text{m}}=m\lambda _{0}/2$, tamo je interferencioni maksimum. Kad se ogledalo $M_{1}$ udaljava od “ogledala” $M$ (specijalnim mikrometarskim zavrtnjem koji nije naznačen na Sl. 5.15), prstenovi se sažimaju ka centru. Kada debljina sloja naraste do $h=h_{\text{m}+1}=(m+1)\lambda _{0}/2$, ponovo će tačka F biti maksimalno osvetljena, ali se interferenciona slika pomerila za jedan interferencioni red. Pretpostavimo da smo posmatranjem ustanovili da se slika pomerila za $\Delta m$ redova. To znači da se rastojanje između ogledala promenilo za $\Delta h=\Delta m\lambda _{0}/2$. Praksa pokazuje da se vizuelno može oceniti ne samo trivijalno $\Delta m=1$, već i takvo pomeranje kada je $\Delta m\sim 1/20$. Posebnim detekcionim metodima mogu se otkriti i pomeranja koja odgovaraju hiljaditom delu reda interferencije. Prema tome, Majkelsonov interferometar je u stanju da meri pomeranja reda veličine $10^{-9}\,$ m, dakle jedan nanometar.

Za Majkelsonov interferometar vezana su bar tri krupna projekta iz istorije fizike: $a$) merenje etarskog drifta, $b$) ispitivanje strukture spektralnih linija i $c$) optička standardizacija metra. Danas se taj instrument dosta koristi u spektralnoj analizi Furijeovog tipa, za kontrolu proizvodnje optičkih komponenti i sl.

Sl. 5.15a Majkelsonov interferometar, školska varijanta;

svetlosni izvor je laserska dioda snage 1 mW;

talasna dužina zračenja je 635 nm. Laserski snop

se na izlazu proširuje pomoću minijaturnog sočiva.

Razvojem laserske tehnologije, i tehnologije optičkih komponenti uopšte, stvoreni su uslovi da i naši univerziteti mogu relativno lako posedovati laserske izvore svetlosti koji su pouzdani, robusni i izdašni — sa njima se lako rukuje i pogodni su za izvođenje mnogih eksperimenata pedagoške namene. Sa laserom malih

Interferogram na ekranu, u opitu sa Sl. 5. 15a

dimenzija, koji može da stane na dlan ruke, sa dva ogledala i jednim polupropustvljivim ogledalom može se na tabli dimenzija 70cm puta 50cm, koja omogućava magnetsku fiksaciju, za nekoliko minuta aranžirati uprošćena majkelsonovska interferenciona šema i dobiti interferenciona slika. Na slici vidimo fotografiju ekrana koja se dobija digitalnim fotoaparatom prosečnih performansi.

Ejrijeve formule

U analizi interferencionih efekata sa prozračnim pločicama zanemarili smo zrake koji se dva ili više puta reflektuju. Takva aproksimacija (dvozračna interferencija) u običnim okolnostima kada je mali koeficijent refleksije na površinama

Sl. 5.16 Prozračna plan-paralelna pločica

(sećamo se, na primer, da on za razdvojnu površinu vazduh/staklo, prema izlaganju u trećem predavanju, oko $4\,\%$) je zadovoljavajuća. Međutim, kada koeficijent refleksije nije mali, a on se može menjati raznim načinima i u raznim okolnostima, neophodno je uračunavati i višestruko reflektovane zrake. Nastaju specifični optički talasni efekti koje ćemo uopšte zvati višezračna interferencija.

Posmatrajmo planparalelnu pločicu (Sl. 5.16) obasjanu monohromatskom svetlošću talasne dužine $\lambda _{0}$. Debljina pločice je $d$, a indeks prelamanja $n$. Indeks prelamanja okolne sredine (to ne mora obavezno da bude vazduh) je $n_{0}$. Smatraćemo da je $n_{0}<n$. Obeležimo sa $R$ i $T$ amplitudne koeficijente refleksije i transmisije (prozračnosti) na površinama. Pri tome ćemo dodavati indeks $1$ za smer prostiranja talasa ka pločici i indeks $2$ za smer prostiranja ka okolnom prostoru. Na Sl. 5.16 gornja površina je razdvojna ravan vazduh/staklo, a donja površina, obrnuto, razdvojna ravan staklo/vazduh. Uočimo zrak 1 iz snopa svetlosti koja upada na pločicu. Upadni ugao je $\theta _{\text{i}}$; zrak se prelama pod uglom $\theta _{\text{t}}$. Smatraćemo da su uglovi mali (skoro normalna incidencija svetlosti). U toj aproksimaciji, koeficijenti refleksije i transmisije praktično neće zavisiti od upadnog ugla i polarizacije svetlosti. Iz Frenelovih formula se dobija $T_{1}=2n_{0}/(n+n_{0})$, $T_{2}=2n/(n+n_{0})$, $R_{1}=(n_{0}-n)/(n+n_{0})$ i $R_{2}=(n-n_{0})/(n+n_{0})$. Prozračna sredina, a takva je naša pločica, ima realne vrednosti koeficijenata $T$ i $R$. Vidimo da je $R_{\,1}$ negativno za $n>n_{0}$, što je samo način da se uzme u obzir nama poznati fakt da se faza talasa menja za $\pi$ pri odbijanju od optički gušće sredine. U trećem predavanju govorili smo o veličinama $\rho$ i $\tau$ imajući u vidu energetske (po intenzitetu) koeficijente refleksije i transmisije. Lako je primetiti da refleksiona sposobnost površine ne zavisi od smera prostiranja talasa, jer je $R_{1}^{2}=R_{2}^{2}=\rho$. Sem toga je $T_{1}T_{2}=\tau =1-\rho$.

Obeležimo amplitudu upadnog zraka sa $E_{0}$. Pri svakom susretu sa graničnom površinom, upadna svetlost generiše dva talasa, odbijeni i transmitovani. U tački A odbijeni zrak $1'$ imaće amplitudu $E_{0}R_{1}$. Komponenta koja je na tom mestu ušla u pločicu ima amplitudu $E_{0}T_{1}$. Taj zrak će se delimično odbiti u tački B na donjoj površini pločice. Amplituda tog odbijenog zraka je $E_{0}T_{1}R_{2}$. Amplituda zraka $1''$ koji je u tački B izašao iz pločice iznosi $E_{0}T_{1}T_{2}$. Tačku C napušta zrak $2'$ amplitude $E_{0}T_{1}R_{2}T_{2}\exp \left(i\delta \right)$. Ovde je

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2nd\,\cos \theta _{\text{t}} \tag{5.29}$$

fazna razlika između zrakâ $2'$ i $1'$ (ili između bilo koja dva susedna zraka s gornje ili donje strane pločice). Na sličan način se može zaključiti da će iz tačke D napustiti pločicu zrak $2''$ amplitude $E_{0}T_{1}R_{2}^{2}T_{2}\exp \left(i\delta \right)$. Amplitude sledećih zrakâ $3'$ i $3''$ biće, redom, $E_{0}T_{1}R_{2}^{3}T_{2}\exp \left(i2\delta \right)$ i $E_{0}T_{1}R_{2}^{4}T_{2}\exp \left(i2\delta \right)$, itd. Ukupna amplituda transmitovane svetlosti ($1''$+$2''$+$3''$+…) iznosi

$$E_{\text{t}}=E_{0}T_{1}T_{2}(1+R_{2}^{2}e^{i\delta }+R_{2}^{4}e^{i2\delta }+...). \tag{5.30}$$

Ukupna amplituda reflektovane svetlosti ($1'$+$2'$+$3'$+…) iznosi

$$E_{\text{r}}=E_{0}R_{1}+E_{0}T_{1}R_{2}T_{2}(1+R_{2}^{2}e^{i\delta }+R_{2}^{4}e^{i2\delta }+...)e^{i\delta }. \tag{5.31}$$

Uvedimo skraćenicu $q=R_{2}^{2}\exp \left(i\delta \right)=\rho$. Kako je $1+q+q^{2}+...=1/(1-q)$, dobijamo

$$E_{\text{t}}=E_{0}T_{1}T_{2}\frac{1}{1-\rho e^{i\delta }}, \tag{5.32}$$ $$E_{\text{r}}=E_{0}R_{1}+E_{0}T_{1}R_{2}T_{2}\frac{e^{i\delta }}{1-\rho e^{i\delta }}. \tag{5.33}$$

Nalazeći kvadrat modula izrazâ (5.32) i (5.33) dobijamo za odgovarajuće intenzitete transmitovane i reflektovane svetlosti:

$$I_{\text{t}}=I_{0}\frac{\tau ^{2}}{(1-\rho )^{2}+4\rho \sin ^{2}(\delta /2)}, \tag{5.34}$$ $$I_{\text{r}}=\frac{4\rho \sin ^{2}(\delta /2)}{(1-\rho )^{2}+4\rho \sin ^{2}(\delta /2)}. \tag{5.35}$$

Izrazi (5.34) i (5.35) nazivaju se Ejrijeve formule.

Ispitaćemo ukratko osnovni fizički sadržaj ovih formula. Ako sve zrake $1'$, $2'$, $3'$, … skupimo sabirnim sočivom $\Sigma _{\text{r}}$ (Sl. 5.17) dobićemo u žižnoj ravni $Z_{\text{r}}$ interferencionu sliku, pruge jednakog nagiba. Minimalni intenzitet ima nultu vrednost, a maksimalni intenzitet iznosi $4\rho I_{0}/(1+\rho )^{2}$. Uslov minimuma je $\delta /2=m\pi$ a maksimuma $\delta /2=(2m+1)\pi /2$, gde je $m$ ceo broj ili nula. S druge strane, ako zrake $1''$, $2''$, $3''$, … saberemo sočivom $\Sigma _{\text{t}}$ dobićemo u žižnoj ravni $Z_{\text{t}}$ interferencionu sliku koja je komplementarna sa malo pre opisanom. Pruge su, opet, jednakog nagiba. Minimalni intenzitet ima vrednost $I_{0}(1-\rho )^{2}/(1+\rho )^{2}$

Sl. 5.17 Uz analizu Ejrijevih formula

(kad je $\delta /2=(2m+1)\pi /2$), a u maksimumu je $I_{\text{t}}=\tau ^{2}I_{0}/(1+\rho )^{2}$ (kad je $\delta /2=m\pi$). Lako je videti da je položaj pruga isti kao i u interferencionoj slici u Polovom opitu.

Na Sl. 5.18 skicirana je zavisnost (5.34) a na Sl. 5.19 zavisnost (5.35). Intenzitet transmitovane svetlosti nikad nije jednak nuli (ali može biti po želji mali ako se izabere $\rho$ dovoljno blisko jedinici; u našem primeru je $\rho =0,5$).

Vrlo je zanimljiva i za praksu važna zavisnost intenzitetâ od koeficijenta refleksije za datu faznu razliku. Na Sl. 5.20 vidimo familiju krivih $I_{\text{t}}=f(\delta )$ za razne vrednosti koeficijenta refleksije $\rho$. Kad $\rho$ teži jedinici, minimumi se smanjuju; maksimumi postaju oštriji. Interferenciona slika se svodi na skup uskih, oštrih, svetlih pruga na tamnoj podlozi. Sl. 5.21 daje zavisnost $I_{t}=f(\rho )$ za $\delta =3\pi /2$.

Sl. 5.18 Ejrijeve formule; funkcija prozračnosti

Sl. 5.19 Ejrijeve formule; funkcija refleksivnosti

Uvedimo oštrinu $F$ koja karakteriše interferencione performanse pločice. Po definiciji, oštrina je količnik rastojanja između dva susedna maksimuma i širine maksimuma (širina na polovini visine). Može se pokazati da je $F=\pi \sqrt{\rho }/(1-\rho )$. Odavde izračunavamo da je već za $\rho =0,9$ oštrina prilično velika, približno 30. Pruge su uske i međusobno udaljene.

Sl. 5.20 Ejrijeve formule; uticaj koeficijenta refleksije

Sl. 5.21 Prozračnost u funkciji koeficijenta refleksije

Pretpostavimo da je pločica obasjana smešom dva monohromatska svetlosna talasa bliskih talasnih dužina. Svaka talasna dužina daje svoje interferencione pruge. Već i skice na slikama 5.18 i 5.19 pokazuju da će posmatranje u transmitovanoj svetlosti dati više šansi da se pruge istog reda primete kao zasebne, tj. rezolucija slike tamo će biti povoljnija. To i jeste ona osobenost interferencione slike u transmitovanoj svetlosti koja je iskorišćena kod višezračnih interferometara. Jedan važni instrument te vrste ćemo sada upoznati.

Fabri-Peroov interferometar

Fabri-Peroov optički interferometar čine dve staklene (kvarcne) pločice ($\Pi _{1}$ i $\Pi _{2}$ na Sl. 5.22). Unutrašnje ravne površine pločica su veoma precizno obrađene i postavljene međusobno paralelno. Površine su prekrivene tankim, specijalnim dielektričnim filmom $f$ koji obezbeđuje visok koeficijent refleksije, $\rho >0,9$. Spoljašnje površine pločica su nešto zakošene, iz praktičnih razloga — da se izbegnu neželjene refleksije svetlosti. Između pločica je prstenasti graničnik $g$ od kvarca ili invara (materijal koji je skoro neosetljiv na temperaturne promene i daje neophodnu termalnu stabilnost uređaja).

Sl. 5.22 Elementi Fabri-Peroovog interferometra

Interferometar se obasjava divergentnim svetlosnim snopom od svetlosnog izvora većih dimenzija. Vazdušni prostor između pločica $\Pi _{1}$ i $\Pi _{2}$ deluje kao planparalelna pločica indeksa prelamanja $n_{0}$; njeno smo funkcionisanje već izučili objašnjavajući Ejrijeve formule u prethodnom odeljku: u pitanju je višezračna interferencija u transmitovanoj svetlosti. Kod Fabri-Peroovog interferometra obično interferišu nekih tridesetak zraka. Prema tome, raspodela intenziteta u žižnoj ravni $Z$ sabirnog sočiva $\Sigma$ data je našom formulom (5.34). Interferenciona slika je skup pruga jednakog nagiba; to su koncentrični krugovi oko tačke F. Za ispitivanje strukturnih detalja interferencione slike može se koristiti fotografija, a češće se primenjuje metod fotoelektrične registracije. Ukratko ćemo analizirati specifičnosti primene Fabri-Peroovog interferometra u spektroskopiji.

Disperzija i rezolucija

Videli smo da se maksimalni intenzitet transmitovane svetlosti javlja kad je zadovoljen uslov $\delta /2=m\pi$. Pošto je, u skladu sa formulom (5.29), fazna razlika jednaka $(2\pi /\lambda _{0})2n_{0}d\cos \theta _{\text{t}}$, dobijamo

$$\cos \theta _{\text{t}}=\frac{m\lambda _{0}}{2n_{0}d}. \tag{5.36}$$

Odavde nalazimo izvod

$$\frac{d\theta _{\text{t}}}{d\lambda _{0}}=-\frac{m}{2n_{0}d\sin \theta _{\text{t}}}. \tag{5.37}$$

Red interferencije $m$ zamenimo pomoću relacije (5.36) i za male uglove aproksimirajmo $\text{tg}\theta _{\text{t}}\simeq \theta _{\text{t}}$. Označimo $D=(d\theta _{\text{t}})/(d\lambda _{0})$. Dobijamo

$$D\simeq -\frac{1}{\lambda _{0}\theta _{\text{t}}}. \tag{5.38}$$

Kako je položaj maksimuma jednoznačno određen uglom $\theta _{\text{t}}$, ova relacija ukazuje kako će se promeniti položaj svetlog prstena kada se promeni talasna dužina. Ta se karakteristika zove disperzija spektralnog pribora. Disperzija Fabri-Peroovog interferometra ne zavisi od debljine vazdušnog sloja i njegovog indeksa prelamanja. Disperzija raste kada se ugao smanjuje.

Nađimo sada ugaono rastojanje $\Delta \theta$ dva susedna svetla prstena. Kako je

$$\cos (\theta +\Delta \theta )=\frac{(m+1)\lambda _{0}}{2n_{0}d}, \tag{5.39}$$

a uzimajući u obzir da je

$$\cos (\theta +\Delta \theta )\simeq \cos \theta -\Delta \theta \sin \theta,$$

kao i $\cos \theta =(m\lambda _{0})/(2n_{0}d)$, dolazimo do rezultata

$$\Delta \theta =-\frac{\lambda _{0}}{2n_{0}d\sin \theta }. \tag{5.40}$$

Što je veći ugao $\theta$ prstenovi su gušće pakovani. Rastojanje među prstenovima se smanjuje kad $d$ raste. Primetimo da je $\Delta \theta =(d\theta )/(d\lambda _{0})\Delta \lambda _{0}$ i da veličina $\Delta \lambda _{0}=\Delta \theta /D$ određuje interval talasnih dužina koji odgovara ugaonom rastojanju između maksimuma susednih redova. Imajući u vidu relacije (5.40) i (5.38), dobijamo za male upadne uglove

$$\Delta \lambda _{0}=\frac{\lambda _{0}^{2}}{2n_{0}d}. \tag{5.41}$$

Ova se veličina zove konstanta interferometra. Za udoban rad u laboratoriji potrebno je da spektralni interval upadnog optičkog zračenja ne bude širi od konstante interferometra (inače dolazi do prekrivanja susednih maksimuma od pojedinih monohromatskih komponenti).

Obeležimo sa $\delta \lambda _{0}$ najmanju razliku talasnih dužina dve monohromatske linije u spektru koje interferometar još uvek može da razluči. Po definiciji je onda

$$R_{\lambda }=\frac{\lambda _{0}}{\delta \lambda _{0}} \tag{5.42}$$

rezolucija interferometra kao spektralnog pribora. Može se pokazati da je $R_{\lambda }=mF$, gde je $F$ oštrina interferencionih pruga (koja je funkcija koeficijenta refleksije, $F=\pi \sqrt{\rho }/(1-\rho )$). Kako je $m=2n_{0}d/\lambda _{0}$, vidimo da veće $d$ obezbeđuje veće rezolucije. Na žalost, povećanje debljine vazdušnog sloja istovremeno smanjuje konstantu interferometra. Evo jednog tipičnog primera: Za $d=5\,$ mm, $\lambda _{0}=5\cdot 10^{-7}\,$ m i $\rho =0,9$ sledi da je rezolucija oko jedan milion. Pritom je rastojanje između dva prstena oko tri stota dela nanometra. Zato je neophodno koristiti Fabri-Peroov interferometar u sprezi sa nekim grubljim spektralnim priborom koji će u prvoj kaskadi izdvojiti spektralni interval ne veći od konstante interferometra.

Interesantan je Fabri-Pero spektrogram linije $\lambda _{0}=591,5\,$ nm koju daje izotop $U^{233}$. Interferometar je u stanju da svaki interferencioni prsten razbije na šest komponenti. Iz takve slike koja odražava superfinu strukturu linije dolazi se do važnih podataka o osnovnim parametrima jezgra. Konkretno, u ovom slučaju teorija objašnjava da je spin $I$ jezgra $U^{233}$ jednak $5/2$ (budući da je $2I+1=6$).

Fabri-Peroov interferometar se primenjuje i u metrologiji, za upoređivanje talasne dužine optičkog zračenja etalonskog izvora s talasnim dužinama drugih spektralnih linija. U mnogim je primenama Fabri-Peroov interferometar jednostavniji i kvalitetniji od ostalih spektralnih pribora (prizmi, rešetki i sl.).

Glavni mu je nedostatak mala konstanta interferometra.

Oštrina slike može biti jako velika kada se koeficijent refleksije površinâ neznanto razlikuje od jedinice. U izradi pribora pričinjavaju tečkoću defekti površina; oni proširuju profil linije i deformišu oblik. Defekti su ograničavajući faktor na putu dostizanja teorijom dopustivih visokih rezolucija. Zahtevi za minimiziranjem neravnina površina idu i do stotog dela talasne dužine. Prave se i sferni Fabri-Peroovi interferometri. Ogledala su sferna, ne obavezno jednakih krivina. Montiraju se tako da im je žiža zajednička. Za ovakve interferometre tolerancije nisu jako stroge, može se proći bez ekstremne tačnosti pri obradi površina i bez idealnog podešavanja elemenata, što im je prednost i kod primena za rezonatore gasnih lasera.

**
**

Primene interferencije

Interferencija svetlosti omogućava da se mere fizičke karakteristike proz- račnih tela. Izgled interferencione slike zavisi od takvih parametara kao što su debljina pločice, zakošenost površina, indeks prelamanja materijala, neravnina površine. Oblik pruga nosi informaciju o svojstvima telâ. Pogledajmo nekoliko primena interferencije u kontroli proizvoda, merenju parametara, proizvodnji optičkih elemenata i sl.

Dielektrična ogledala

Na staklenu podlogu indeksa prelamanja $N$ nanet je prozračni sloj dielektrika. Debljina sloja je $d$, a indeks prelamanja $n$. Pretpostavimo da je $n>N$ i da je optička debljina pločice jednaka četvrtini talasne dužine svetlosti u vakuumu, $nd=\lambda _{0}/4$. Na Sl. 5.23 vidimo svetlosni talas koji normalno upada iz vazduha

Sl. 5.23 Uz objašnjenje ideje dielektričnog ogledala

na opisanu kombinaciju sloj/staklo. Uočavamo dve komponente reflektovanog talasa. Komponenti 1 koja se odbija od gornje površine sloja menja se faza za $\alpha _{1}$ (refleksija od optički gušće sredine). Komponenti 2 koja se odbija od zadnje površine pločice faza se takođe promeni za isti iznos, ali zbog dodatnog prostiranja kroz pločicu i nazad (refleksija od optički ređe sredine ne dovodi do promene faze). Zbilja,

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\Delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}2nd=\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\frac{2\lambda _{0}}{4}=\pi.$$

Tako, zraci 1 i 2 su u tazi — refleksija talasa od površine stakla se pojačava. Može se pokazati da se sa $n=2,45$ ($\text{TiO}_{2}$) dobija koeficijent refleksije $\rho \simeq 0,3$. To je već desetak puta više od vrednosti koeficijenta refleksije od čiste površine (bez dielektriňe prekrivke). Ali, opisanim metodom se ne može još više povećati nivo refleksije. Videli smo da je, na primer, za primene kod višezračnih interferometara upravo neophodno da $\Delta \omega \tau \sim \pi$ ima vrednosti bliske jedinici.

Taj se problem može rešiti pomoću višeslojne strukture skicirane na Sl. 5.24. Na površinu stakla nanosi se više slojeva prozračnog dielektrika. Debljina jednog sloja je $d$. Između dva sloja je prozračna sredina indeksa prelamanja $N$,

Sl. 5.24 Dielektrično ogledalo, višeslojna struktura

debljine $D$. Parametri se tako biraju da je za neku talasnu dužinu $\lambda _{0}$, koja je u datom slučaju bitna, zadovoljen uslov $nd=ND=\lambda _{0}/4$. Reflektovani zraci od raznih površina višeslojnog filma su u fazi i interferencijom se pojačavaju. Jedna uspešna kombinacija je $n=2,3$ (cink-sulfid) i $N=1,35$ (kriolit). Uzima se 5 do 15 slojeva. Na primer, sa 7 slojeva cink-sulfida dobija se $\rho =0,9$ u spektralnom opsegu ($\lambda _{0}-25$ nm, $\lambda _{0}+25$ nm). Laserska ogledala imaju 11 do 13 slojeva, što daje $\rho \simeq 0,99$.

Prozračne površine

Pri ulasku u staklo iz vazduha slabi intenzitet svetlosti za nekih $4\,\%$. Ako je u optičkom sistemu više takvih razdvojnih površina, a često je tako (kvalitetniji objektivi, na primer, imaju desetak prelamajućih površina), nastaju već značajni gubici svetlosti. Koeficijent refleksije se može smanjiti primenom interferencionih tehnika, koje su bile od koristi i za rešavanje obrnutog problema povećanja refleksije.

Pretpostavimo da smo na staklo indeksa prelamanja $N$ naneli sloj prozračnog materijala debljine $d$ i indeksa prelamanja $n<N$. Možemo se opet poslužiti slikom 5.23. Koherentni odbijeni zraci 1 i 2 interferišu. Rezultat interferencije zavisi od veličina $N$, $n$ i $d$. Maksimalno smanjenje intenziteta reflektovane svetlosti nastaje ako je fazna razlika zrakâ jednaka $\pi$. Ako su, pri tome, amplitude talasa 1 i 2 jednake, nastaje potpuno gašenje odbijene svetlosti. Smatraćemo da svetlost upada iz vazduha, pa je $N>n>n_{0}$ — oba se zraka odbijaju od optički gušće sredine. Prema tome, uslov idealne prozračnosti površine svodi se na zahtev da je dvostruka optička debljina sloja jednaka polovini talasne dužine (zraci 1 i 2 su tada u protivfazi), ili

$$d=\frac{\lambda _{0}}{4n}. \tag{5.43}$$

Reflektovani intenziteti su isti ako su jednaki koeficijenti refleksije, a to će se desiti kad je

$$\frac{n-n_{0}}{n+n_{0}}=\frac{N-n}{N+n}, \tag{5.44}$$

u skladu sa našom formulom (4.18). Pretpostavlja se da nema apsorpcije svetlosti. Odavde dobijamo

$$n=\sqrt{n_{0}N}. \tag{5.45}$$

Dakle, tanki dielektrični sloj debljine (5.43) i indeksa prelamanja (5.45) čini površinu prozračnom. Ali, sloj mora imati postojane fizičke karakteristike (određenu stabilnost na vlagu, temperaturu i sl.) i mora biti potpuno priljubljen uz staklo. Tehnikom vakuumskog naparavanja mogu se uspešno nanositi tanki filmovi materijala na željenu podlogu.

Za primenu kod sočiva i drugih optičkih elemenata u vidljivom delu elektromagnetskog spektra uzimaju obično da je $\lambda _{0}=555\,$ nm u formuli (5.43), jer je to položaj maksimalne osetljivosti ljudskog oka na dnevnu svetlost. Jasno je da u tom slučaju ima nešto više odbijene ljubičaste i crvene svetlosti. Zato se kod savremenih objektiva čije su površine tretirane na opisani način vidi jedna purpurna nijansa. Interval prozračnosti se može proširiti primenom troslojnih filmova.

Najčešće je $n_{0}=1$ (vazduh), pa se formula (4.45) svodi na $n=1,23$ (za staklo je tipično $N=1,5$). Na žalost, ne zna se za dielektrik tako malog indeksa prelamanja. U praksi se kao prva aproksimacija koristi kriolit ($n=1,35$). (Videti i razmatranje solarne ćelije koje već dali u ovom predavanju.)

U gornjem izlaganju se ne razmatraju višestruke refleksije. Može se pokazati da one ne utiču na rezultat izračunavanja, tj. formula (5.45) je u tom pogledu tačna.

Uskopojasni optički filtar

Zamislimo da na Fabri-Peroov interferometar upada bela svetlost skoro po normali na refleksione površine. U transmitovanoj svetlosti javlja se skup interferencionih pruga. Rastojanje između dva interferenciona maksimuma (konstanta interferometra) iznosi $\Delta \lambda _{0}=\lambda _{0}^{2}/\left(2n_{0}d\right)$ prema našoj formuli (5.41). Pretpostavimo da jedan od maksimuma upravo odgovara talasnoj dužini $\lambda _{0}$ koja nas u konkretnom opitu posebno zanima (ovaj se uslov može ispuniti izborom debljine interferometra $d$). Susedni maksimumi biće na talasnim dužinama $\lambda _{1}=\lambda _{0}-\Delta \lambda _{0}$ i $\lambda _{2}=\lambda _{0}+\Delta \lambda _{0}$. Oni se mogu odstraniti na klasičan način, filtrima od obojenog stakla. Tako ostaje maksimum oko željene talasne dužine $\lambda _{0}$. Spektralna širina te izdvojene, transmitovane svetlosti može biti veoma mala, ako je veliki koeficijent refleksije. Obeležimo sa $\delta \lambda$ širinu maksimuma, tj. transmisioni opseg interferencionog filtra. Pošto se oštrina interferencionih pruga definiše kao količnik rastojanja između dva maksimuma i širine maksimuma, biće

$$\delta \lambda =\frac{\Delta \lambda _{0}}{F}. \tag{5.46}$$

Pogledajmo jedan primer. Ako je $\rho =0,9$ oštrina je $F\simeq 30$. Neka je $\lambda _{0}=500\,$ nm; za $n_{0}d=5\lambda _{0}/2$, dobijamo $\Delta \lambda _{0}=100\,$ nm. Pomoću formule (5.46) izračunavamo $\delta \lambda \simeq 3\,$ nm. Dakle, ovaj optički interferencioni filtar će od upadne bele svetlosti izdvojiti uski spektralni interval širine $3\,$ nm oko centralne talasne dužine od $500\,$ nm.

Interferencioni refraktometar

Pretpostavimo da se neki svetlosni snop prostire kroz posudu dužine $\ell$ u kojoj je fluid poznatog indeksa prelamanja $n$. Drugi snop svetlosti prolazi kroz indentičnu posudu u kojoj je mereni fluid nepoznatog indeksa prelamanja $n_{\text{x}}$. Ako su ta dva snopa koherentna, mogu da interferišu (na primer u Majkelsonovom interferometru, mada postoje i brojne druge šeme: Žamenov interferometar i sl). Rezultat interferencije zavisi od razlike optičkih puteva kroz dve posude, $\Delta =\ell (n_{\text{x}}-n)$. Veličina $\Delta$ izaziva odgovarajući pomeraj interferencionih pruga; ako je $\Delta =m\lambda _{0}$, dolazimo do rezultata

$$n_{\text{x}}=n+m\frac{\lambda _{0}}{\ell }. \tag{5.47}$$

Broj $m$ (razlomak ili ceo broj) pokazuje koliki je pomeraj interferencione pruge u odnosu na njenu širinu i taj se količnik meri u opitu. Ostale veličine sa desne strane relacije su poznate, pa tako nalazimo traženu vrednost indeksa prelamanja $n_{\text{x}}$. Na ovaj način mogu da se mere i vrlo male promene indeksa prelamanja gasova, providnih tečnosti i čvrstih tela, kad se menja temperatura, pritisak, sastav i količina eventualnih primesa i sl. Interferometri u kojima se takva merenja obavljaju nazivaju se interferencioni refraktometri.

Pogledajmo jedan primer koji ukazuje na red veličine osetljivosti ovih refraktometara. Neka je u opitu zaključeno $m=1/10$. Za $\lambda _{0}=500\,$ nm i $\ell =0,1\,$ m dobijamo iz (5.47) $n_{\text{x}}-n=5\cdot 10^{-7}\,$ m. Ovako velika osetljivost, detektovanje relativnih promena reda veličine stohiljaditog dela procenta, ne može se postići drugim uobičajenim metodima. Na primer, refraktometar koji radi na principu potpunog unutrašnjeg odbijanja svetlosti nema tačnost veću od $10^{-4}$.

Interferencioni dilatometar

Kako se pomoću interferencionih efekata mogu meriti male promene dimenzija telâ shvatićemo pozivajući se na sliku 5.25. Između paralelnih pločica $\Pi _{1}$ i $\Pi _{2}$ stavljeno je ispitivano telo $A$. Prva pločica je etalonska. Kvarcni prsten $p$ igra

Sl. 5.25 Interferencioni dilatometar

ulogu graničnika. Formira se klinasti vazdušni zazor između tela i pločice $\Pi _{1}$. Uređaj se obasjava monohromatskom svetlošću talasne dužine $\lambda _{0}$. Nastaje interferenciona slika karakterističnih pruga jednake debljine. Ako se telo $A$ zagreva, smanjuje se debljina vazdušnog sloja — interferencione pruge se pomeraju. Pomeranje u iznosu od jedne širine interferencine pruge (rastojanje dva susedna maksimuma) ukazuje na to da se optički put promenio za $\lambda _{0}$. Na taj način, mereći dato pomeranje interferencionih pruga određujemo izduženje $\Delta L$ tela $A$ kada se temperatura promeni za $\Delta T$. Tako, dilatacioni interferometar omogućava da se nađe temperaturski koeficijent linearnog širenja $\alpha =\Delta L/\Delta T$.

Merenje malih nagiba površina

Posmatrajmo prozračnu klinastu pločicu indeksa prelamanja $n$, Sl. 5.26. Površina AB zaklapa ugao $\alpha$ sa površinom AC. Površina je obasjana monohromatskom svetlošću talasne dužine $\lambda _{0}$. Mi smo u odeljku o tankim pločicama promenljive debljine već videli da se u ovakvim opitima javlja interferenciona slika sa prugama jednake debljine. Uočimo zrak 1 koji upada na mesto jednog od interferencionih maksimuma; debljina pločice na tom mestu neka je $d_{1}$. Zrak 2 upada tamo gde je prvi susedni maksimum; debljina pločice je tu $d_{2}$. Maksimumi su na međusobnom rastojanju $\ell$. U tački D odbija se zrak od optički gušće sredine pa je uslov nastanka interferencionog maksimuma reda $m$

$$\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2d_{1}n-\pi =m\,2\pi. \tag{5.48}$$

Takođe, promena faze za $\pi$ nastaje i pri refleksiji od optički gušće sredine u tački

Sl. 5.26 Interferometarski metod merenja malih nagiba

F, pa je za susedni maksimum zadovoljen uslov

$$\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2d_{2}n-\pi =(m+1)\,2\pi. \tag{5.49}$$

Iz ove dve relacije oduzimanjem nalazimo

$$d_{2}-d_{1}=\frac{\lambda _{0}}{2n\ell }. \tag{5.50}$$

Sa slike vidimo da je $\text{tg}\alpha =(d_{2}-d_{1})/\ell$. Za male uglove aproksimiramo $\text{tg}\alpha \simeq \alpha$ i nalazimo

$$\alpha =\frac{\lambda _{0}}{2n\ell }. \tag{5.51}$$

Da je interferencioni metod merenja malih nagiba ekstremno osetljiva tehnika vidi se iz sledećeg primera. Neka je ugao klina staklene pločice indeksa prelamanja $n=1,5$ veoma mali, reda veličine $10$ lučnih sekundi ($5\cdot 10^{-5}\,$ radijana). Ako primenimo svetlosni izvor zelene svetlosti talasne dužine $\lambda _{0}=5\cdot 10^{-7}\,$ m, nastaće interferencione pruge prostornog perioda $\ell \sim 3\,$ mm što se meri bez tečkoća.

Ispitivanje kvaliteta površina

U proizvodnji ogledala, sočiva i nekih drugih optičkih elemenata poštuju se kriterijumi da površine moraju biti vrlo glatke. Industrijska optika obično ne toleriše neravnine veće od četvrtine talasne dužine, a u profesionalnoj optici su ti zahtevi još rigorozniji. Videli smo, na primer, da se ekstremno visok kvalitet površina zahteva kod Fabri-Peroovog interferometra. Upravo činjenica da hrapava površina deformiše interferencionu sliku može se iskoristiti za interferometarski metod kontrole stanja površine. Opišimo jednu rasprostranjenu laboratorijsku varijantu rada.

Šema aparature data je na Sl. 5.27. Pločica $\Pi _{1}$ je etalon (bregovi na njenoj površini nisu veći od $1/20$ talasne dužine). Kvalitet površine pločice $\Pi _{2}$ se ispituje. Između pločica je vazdušni sloj (zazor). Svetlost iz izvora S se usmerava pomoću ogledala M i sočiva $\Sigma$ na ovaj sloj; zraci odbijeni od zadnje i prednje površine sloja daju interferencionu sliku na zaklonu $Z$ (žižna ravan sočiva).

Sl. 5.27 Interferometarski metod kontrole stanja površina

Ako je ispitivana pločica takođe glatka kao i referentna, videće se pruge jednakog nagiba, ili pruge jednake debljine — već prema tome da li su pločice paralelne ili ne. Ako je, međutim, $\Pi _{2}$ hrapava na nekom mestu, nastaće deformacije pruga u odgovarajućoj oblasti. Po obliku i veličini deformacija može se suditi o bregovima i udubljenjima površine.

U merenjima ove vrste mogu se koristiti i drugi tipovi interferometara. Na primer, višezračni interferometri, koji zahtevaju da se površine pločica $\Pi _{1}$ i $\Pi _{2}$ posrebre (ili na sličan način drugim tehnikama tretiraju) radi povećanja koeficijenta refleksije, daju oštrije i “čitljivije” interferograme. Na taj način se tačnost može povećati i do hiljaditog dela mikrometra.

Vremenska koherentnost

Razmatrajući interferenciju dva ravanska talasa našli smo da intenzitet rezultujuće svetlosne oscilacije u nekoj tački iznosi

$$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos \delta (t),$$

prema našoj jednačini (5.5). Analizu smo izvodili pretpostavljajući da su talasi strogo monohromatski, oblika $A\cos (\omega t-kr+\alpha )$. U tom slučaju su veličine $A$, $\omega$ i $\alpha$ konstante, pa interferencioni član, proporcionalan $\cos \delta$, ne zavisi od vremena ako uvek imamo u vidu jednu te istu tačku prostora.

Ali, realni svetlosni talasi nisu monohromatski, već uvek neka suma monohromatskih komponenti u većem ili manjem intervalu učestanosti $\Delta \omega$. Taj interval nije beskonačno uzak ni kod spektralne linije koju daje usamljeni atom: prirodna širina spektralne linije reda je veličine sto miliona herca. Skup atoma koji statistički nezavisno zrače daje svetlost u kojoj se parametri $A$ i $\alpha$ stalno haotično menjaju, na međusobno nekorelisan način.

Dopustimo na početku, uprošćavajući postupak, da su ipak amplituda i učestanost dva talasa koji interferišu konstantne veličine, a da se jedino menjaju faze. Tada je očito $\delta =\delta (t)$ — interferencioni član je podložan promenama u vremenu. Pogledajmo do čega to dovodi u izgledu interferencione slike.

Nijedan uređaj koji registruje interferencionu sliku ne može fiksirati trenutnu raspodelu intenziteta; uvek je reč o slici usrednjenoj po nekom intervalu vremena $t_{\text{i}}$. To ćemo vreme zvati inercija detektora. Na primer, inercija ljudskog oka približno je jednaka sto milisekundi. (Za kraće vreme oko nije u stanju da obradi ponuđenu informaciju). Ako je

$$\frac{1}{t_{\text{i}}}\int_{0}^{t_{i}} \,\cos \delta (t)dt=0, \tag{5.52}$$

tada se usrednjavanjem po vremenu inercije anulira interferencioni član, pa kažemo da talasi nisu koherentni — rezultujući intenzitet svetlosti jednak je zbiru intenziteta talasa koji interferišu.

Ako je, međutim, u datoj tački prostora

$$\frac{1}{t_{\text{i}}}\int_{0}^{t_{i}} \,\cos \delta (t)dt\simeq \cos \delta (0), \tag{5.53}$$

interferencioni član je evidentno konstantan za interval vremena inercije detektora i tada kažemo da je primenjeni pribor registrovao interferenciju, a da su svetlosni talasi koji u tome procesu učestvuju koherentni. Budući da pojam koherentnosti zavisi od inercije detektora, talasi se mogu okarakterisati kao koherentni u sprezi sa jednim detektorom, a nekoherentni u sprezi sa nekim drugim, manje brzim detektorom. Pojam koherencije je relativan.

Za kvantitativno opisivanje koherentnosti upotrebljavamo veličinu vreme koherentnosti $\tau$. To je ono vreme potrebno da slučajne promene faze talasa dostignu vrednost $\pi$. Pomoći tog pojma možemo napraviti sledeću klasifikaciju:

$a$) $t_{\text{i}}\gg \tau$; vreme inercije mnogo veće od vremena koherentnosti. Uređaj kojim detektujemo interferenciju je suviše spor — ne može da otkrije interferentne efekte. Kažemo da su u konkretnom opitu svetlosni talasi nekoherentni.

$b$) $t_{\text{i}}\ll \tau$; vreme inercije mnogo manje od vremena koherentnosti. Uređaj kojim detektujemo interferenciju je kvalitetan, brz, adekvatan, otkriva efekte interferencije. Kažemo da su u takvom opitu svetlosni talasi koherentni.

U nekim situacija je pogodno koristiti i alternativni pojam dužina koherentnosti $\ell$. Za vreme $\tau$ svetlosni talas prelazi putanju

$$\ell =c_{0}\tau. \tag{5.54}$$

Na kraju tog puta će slučajne promene faze talasa dostići vrednost $\pi$. Ako je u nekom opitu, kakav je Jungov, $\ell \gg \Delta$ (dužina koherentnosti mnogo veća od razlike optičkih puteva dva talasa), dobiće se jasna interferentna slika. Procena $\ell \sim \Delta$ određuje u stvari broj vidljivih pruga interferencije. Kako raste red interferencije $m$, snižava se detektabilnost pruge, tako da je na granici prepoznatljivosti $m_{\text{g}}\sim \tau /T$, gde je $T=2\pi /\omega =c_{0}/\lambda _{0}$ period svetlosne oscilacije.

Analizirajmo sada mogućnost posmatranja interferentne slike u nekoj tački prostora u opitu sa dva svetlosna talasa oblika

$A_{1}\cos (\omega _{1}t+\alpha _{1})$, $A_{2}\cos (\omega _{2}t+\alpha _{2})$.

Uprostimo zadatak smatrajući da su amplitude $A_{1}$ i $A_{2}$ nezavisne od vremena, takođe i faze $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$, a da su talasi strogo monohromatski, ali nejednakih učestanosti. Obeležimo $\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$. Fazna razlika dve oscilacije će biti

$$\delta (t)=\Delta \omega t+(\alpha _{2}-\alpha _{1}). \tag{5.55}$$

Vidimo da će se u toku vremena koherentnosti $\tau$ fazna razlika promeniti za $\Delta \omega \tau$. Zahtev $\Delta \omega \tau \sim \pi$ daje procenu

$$\tau \sim \frac{1}{\Delta \nu }, \tag{5.56}$$

gde je $\nu =\omega /2\pi$ učestanost svetlosne oscilacije. Rezultat (5.56) nam pomaže da shvatimo uticaj nemonohromatičnosti svetlosnih talasa na kvalitet posmatrane interferentne slike. Formula važi i za slučaj interferencije skupa talasa iz datog frekventnog intervala $\Delta \nu$. Što je širi interval učestanosti kraće je vreme koherentnosti — interferencioni uslovi se pogoršavaju. Granični red interferencije je sada

$$m_{\text{g}}\sim \frac{\nu }{\Delta \nu }. \tag{5.57}$$

U Jungovom interferencionom opitu je broj principijelno uočljivih pruga utoliko veći ukoliko je interval $\Delta \nu$ manji. Dobrodošao je svetlosni izvor koji se maksimalno približava zahtevima idealne monohromatičnosti. Odlični rezultati se dobijaju sa $\text{He}-\text{Ne}$ gasnim laserom koji obezbeđuje ekstremnu koherentnost.

Prostorna koherentnost

Još jednom se vratimo Jungovom interferencionom opitu, ovog puta da razmotrimo uticaj konačnih dimenzija svetlosnog izvora na izgled interferencione slike.

Pretpostavimo da koristimo Sunce kao svetlosni izvor. Ekran ima dva uska otvora na rastojanju $d$. Ispred ekrana nalazi se svetlosni filter koji propušta uski spektralni opseg oko centralne talasne dužine $\lambda _{0}=5\cdot 10^{-7}\,$ m. Na zaklonu $Z$, koji je na udaljenosti $\ell$ od ekrana, posmatramo interferencionu sliku. Zraci koji polaze iz centralne oblasi Sunca reprezentovani su talasnim vektorom $\vec{k}_{0}$, Sl. 5.28. Kao što znamo, oni će formirati centralni maksimum $M$ u tački $x=0$ koja je na jednakom odstojanju od dva otvora, tj. sekundarnih svetlosnih izvorâ $S_{1}$ i $S_{2}$. Objasnili smo da je prostorni period interferencione slike, tj. rastojanje između dva susedna maksimuma jednako $q=\lambda _{0}\ell /d$. Ali, gornja oblast Sunčevog diska emituje svetlost reprezentovanu vektorom $\vec{k}_{+}$. Tom pravcu odgovara centralni maksimum $M_{+}$. Na sličan način uviđamo da će donji kraj Sunčevog diska davati zrake reprezentovane

Sl. 5.28 Uz objašnjenje pojma prostorne koherencije

vektorom $\vec{k}_{-}$, a oni će formirati maksimum $M_{-}$. Ugao između vektorâ $\vec{k}_{+}$ i $\vec{k}_{-}$ je $\phi$ i to je u stvari ugaona mera Sunčevog diska (poznato je da taj ugao iznosi vrlo približno pola stepena, ili otprilike $0,01$ radijan). Obeležimo sa $x_{-}=x\left(M_{-}\right)$ mesto maksimuma $M_{-}$. Vrlo približno je $x_{-}=\ell \varphi /2$. Takođe je $x_{+}=x\left(M_{+}\right)=\ell \varphi /2$. U intervalu $(x_{-},\;x_{+})$ nalaze se centralni maksimumi svih tačaka izvora lociranih na vertikalnom prečniku Sunca. Međutim, faze svetlosnih talasa koji stižu iz tih tačaka nisu međusobno usaglašene, one se menjaju na haotičan način. Zato će interferenciona slika na zaklonu biti prost zbir slikâ koje daju pojedine tačke izvora kao komponente svetlosnog izvora. Jasno je da će u slučaju $x_{-}=q/2$ doći do poklapanja minimuma profila $M$ sa maksimumom profila $M_{-}$, te će se poništiti interferencioni efekti, slika se u stvari neće videti. Da bi se interferenciona slika više ili manje jasno videla moramo zahtevati da je $x_{-}<q$, ili

$$d<\frac{\lambda _{0}}{\varphi }. \tag{5.58}$$

Zamenimo posebne vrednosti iz našeg opita. Naći ćemo da rastojanje $d$ ne sme biti veće od $5/100\,$ mm.

U opštem slučaju formula (5.58) određuje ugaonu dimenziju svetlosnog izvora u slučaju kada je moguće posmatrati interferenciju. Već pri uslovu $d\sim \lambda _{0}/\phi$, interferenciju ne vidimo. To znači da su tada svetlosni izvori $S_{1}$ i $S_{2}$ nekoherentni, jer su nekoherentni delovi svetlosnih talasa kojima se ti izvori pobuđuju. Ako je, nasuprot tome, zadovoljen uslov (5.58), interferencija se uočava i mi kažemo da je u opitu zadovoljena prostorna koherentnost.

Organizovati Jungov opit s parametrom $d\sim 0,05\,$ mm vrlo je teško ako ne i nemoguće. Zbog toga smo u šemi sa Sl. 5.4 upotrebljavali dodatni ekran sa malim otvorom $S$. Ako je prečnik tog otvora $D$ i ako je $L$ rastojanje njegovo do narednog ekrana, tada $S$ igra ulogu primarnog svetlosnog izvora ugaone dimenzije $\varphi =D/L$. U takvom opitu valja zadovoljiti uslov (5.58) i to daje relaciju $dD<\lambda _{0}L$ i taj je zahtev relativno lako ispuniti. To treba znati da bi se shvatio puni smisao Jungovog opita sa početka devetnaestog veka. Na primer, sa $D\sim 2,5\,$ mm i $L\sim 5\,$ m dobija se $d\sim 1\,$ mm, što je moguće realizovati.

Što se više udaljavamo od svetlosnog izvora datih linearnih dimenzija, prostorna koherentnost njegova raste, jer se smanjuju ugaone dimenzije. Tako se i klasični svetlosni izvori mogu iskoristiti za dobijanje interferencione slike pogodnim izborom rastojanja $L$. Na primer, interferenciju možemo videti posmatrajući uličnu svetiljku ($D\sim 10\,$ cm) na rastojanju $L\sim 500\,$ m kroz dva mala otvora ako je $d<2\,$ mm. (Interesantne difrakcione slike mogu da se vide kroz prozorske zavese u sličnim demonstracionim opitima.)

Laseri imaju ogromnu prostornu koherentnost. Laserska svetlost na izlaznom ogledalu koherentna je po celom poprečnom preseku snopa.