Zakoni geometrijske optike

Fermaov princip

Razmotrimo demonstracioni opit skiciran na Sl. 1. Stakleni sud sa ravnim zidovima napunjen je vodenim rastvorom šećera. Vremenom se u tečnosti uspostavi ravnotežna raspodela molekula šećera: koncentracija raste sa dubinom, najveća je u sloju pri dnu suda. Iz He-Ne lasera usmerava se uski mlaz laserske svetlosti paralelno površini stola. Posmatrajmo sa strane jedan deo putanje svetlosti pre mesta njenog ulaska u sud (putanja AB). Dimom cigarete izazovimo rasejanje svetlosti. To nam omogućava da jasno vidimo uski crveni snop zračenja. Uveravamo se da je taj segment trajektorije duž, svetlost se prostire pravolinijski.

Sl. 1 Putanja laserskog zraka (levo). Kap mleka zamuti vodu u čaši; efekat rasejanja

svetlosti čini da je vidljiv laserski snop kroz vodu (desno)

Međutim, u tečnosti svetlost napušta taj pravac, savija se prema dnu i izlazi iz tečnosti u nekoj tački C. Svetlost ćemo jasno videti i u rastvoru ako prethodno vodi dodamo malo sapuna, ili mleka. Tako dobijamo mutnu sredinu i posredstvom rasejane svetlosti i dalje pratimo svetlu trajektoriju; laserski snop, oko $1\,$ mm u prečniku, neznatno se širi tokom prostiranja. U optici, zrak svetlosti zamišljamo kao beskonačno tanki mlaz svetlosti koji izvire iz zanemarljivo uskog otvora. Neposredno se uveravamo da laser obezbeđuje dobru aproksimaciju ove idealizovane predstave. Zrak je zamišljena linija duž koje se prenosi svetlosna energija. Skup zraka sačinjava snop svetlosti.

Ovakav uprošćeni pristup pojavi dobar je u geometrijskoj optici u kojoj se optički fenomeni analiziraju zanemarivanjem talasnih svojstava svetlosti; pribegavamo granici $\lambda \to 0$. Talasna dužina vidljive svetlosti je mala, reda je veličine desetog dela mikrometra, pa su često postupci geometrijske optike zadovoljavajući.

Vratimo se opitu sa Sl. 1. Uverili smo se da je putanja svetlosti u homogenoj sredini prava linija. To je zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti, od davnina poznati fakt na koji se, između ostalog, opire geometrijska optika. Razmotrimo sada zašto dolazi do savijanja trajektorije u rastvoru i koje zakonitosti važe u tom slučaju. Korisno je da uvedemo pojam optička dužina puta. U homogenoj sredini, ta veličina je jednaka proizvodu indeksa prelamanja $n$ i puta $\ell$ koji je zrak

Sl. 2 Uz definiciju optičkog puta

prešao, $L=n\ell$. Iskoristimo Sl. 2 da preciziramo definiciju u opštem slučaju. Skicirali smo deo svetlosnog zraka između nekih tačaka $1$ i $2$. Ova trajektorija nije deo prave linije, a menja se iz tačke u tačku i indeks prelamanja koji je neka funkcija koncentracije šećera. Stoga podelimo liniju na male segmente u okviru kojih će indeks prelamanja biti približno konstantan. Tada je $L\simeq \sum\limits_{0}^{k} \,\,n_{\text{i}}\ell _{\text{i}}$. U granici, suma prelazi u integral pa je optička dužina puta

$$L=\int_{1}^{2} \,n\,d\ell. \tag{1}$$

Upravo ova veličina, a ne prosto geometrijska dužina krive $\ell$, određuje ukupno vreme $t$ prostiranja svetlosti između tačaka $1$ i $2$. Naime, ako je $dt$ vreme potrebno da zrak svetlosti pređe rastojanje $d\ell$, tada je $dt=d\ell /c$. Brzina svetlosti na tom mestu u datoj sredini je $c=c_{0}/n$ (ovde je $c_{0}=3\cdot 10^{8}$ m/s, brzina svetlosti u vakuumu), pa nalazimo

$$t=\frac{L}{c_{0}}. \tag{2}$$

Postavlja se važno pitanje, zašto se svetlost u opitu sa Sl. 1 prostire upravo po putanji B12C, a ne po nekoj drugoj, njoj susednoj?

Francuski matematičar i prirodnjak P. Ferma predložio je odgovor na ovo pitanje koji je danas poznat kao Fermaov princip. Savremeno formulisan, on glasi:

Ekvivalentan iskaz, bliži matematičkoj formulaciji problema glasi: za stvarnu putanju prva varijacija optičke dužine puta jednaka je nuli. Zbilja, pošto se u ekstremumu varijacija vremena anulira, $\delta t=0\,$, iz jednačine (2) nalazimo

$$\delta \int_{1}^{2} \,n\,d\ell =0. \tag{3}$$

Najjednostavniju primenu ovog principa imamo u razmatranju prostiranja svetlosti u homogenoj sredini kada je $n=\,$ const. Tada, zahtev (3) se svodi na anuliranje varijacije geometrijske dužine. Drugim rečima, putanja je deo prave linije (duž je najkraće rastojanje između dve tačke). Tako, Fermaov princip brzo opravdava zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti u homogenoj sredini. U narednim odeljcima pokazaćemo kako se pomoću Fermaovog principa mogu formulisati još dva važna zakona geometrijske fizike, zakon odbijanja i zakon prelamanja svetlosti.

Ferma je svoj princip formulisao 1662. godine (u nešto drugačijem obliku od onog koji smo ovde naveli). U to vreme nije moglo biti ni reči o adekvatnoj teorijskoj zasnovanosti principa. To je bila dosetka (uputstvo) koju je osnažila praksa u optici i nauci o talasima uopšte. Tek je Maksvelova elektromagnetska teorija bliže osvetlila uzroke uspešnosti Fermaovog principa, kroz tretman interakcije elektromagnetskih talasa sa supstancijom u aproksimaciji iščezavajući male talasne dužine. Saglasnost principa ekstremuma sa takvim postupkom izvodi se u obimnijim kursevima optike (videti, na primer: M. Born, E. Wolf, Principles of optics, Pergamon press, Oxford 1964, c. 3). Još dublji uvid nudi kvantna elektrodinamika, koja dovodi u vezu ekstremum funkcije optičkog puta sa verovatnoćom detekcije fotona na datom mestu. Čitaocu se preporučuje knjiga: R. P. Feynman, QED — the strange theory of light and matter, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1985 (naročito, drugo poglavlje).

Sl. 3 Ka razumevanju Fermaovog principa. Postavka zadatka (levo).

Svetlost bira vrste ekstremuma… (desno)

Ferma je govorio isključivo o $a$) minimalnom vremenu prostiranja svetlosti. Kasnije se ispostavilo da, ravnopravno, postoje slučajevi kada je vreme $b$) maksimalno i $c$) stacionarno. Danas se ne zna za neki dublji fizički razlog ovih razlika. Postoji lep ilustrativan primer istovremeno za sve tri moguće putanje. Zrak svetlosti iz izvora u tački S (Sl. 3) odbija se od polusfernog ogledala (poluprečnik krivine $R$) i posle toga dolazi u prijemnik P. Ako je P centar polusfere, gde se stvarno nalazi mesto refleksije zraka? Optički put je

$$L=\sqrt{\ell ^{2}+R^{2}-2\ell R\,\text{cos}\theta }+R.$$

Prvi izvod $dL/d\theta$ anulira se za $\theta =0$. Dakle, zrak se odbija sa vrha ogledala. Lako je proveriti da je tamo drugi izvod

$$\int_{\theta =0} =\frac{\ell R}{R-\ell }. \tag{4}$$

Ako je izvor svetlosti iznad prijemnika na rastojanju $\ell >0$, tada je drugi izvod pozitivan, vreme putovanja zraka je minimalno moguće (skica $a$ na Sl. 4).

Ali ako je izvor svetlosti ispod P (skica $b$), biće $\ell <0$: drugi izvod je negativan, vreme putovanja zraka je maksimalno moguće. Na kraju, ako su i izvor i prijemnik u centru (skica $c$), $\ell =0$, imamo stacionarnu tačku (jednaka vremena prostiranja). (Za detalje videti: Am. J. Physics, (4), April 1981, p. 345)

Zakon odbijanja svetlosti

Posmatrajmo svetlosni zrak koji se iz izvora svetlosti, tačka S, prostire kroz homogenu providnu sredinu indeksa prelamanja $n$ prema ravnoj površini M od koje se odbija. Posle odbijanja svetlost dospeva u prijemnik, tačka P (v. Sl. 4). Zadate veličine su visina izvora $h_{\text{S}}$ i prijemnika $h_{\text{P}}$ kao i normalno

Sl. 4a Zakon odbijanja iz Fermaovog principa

rastojanje $X=\overline{S_{1}P_{1}}$, gde su $S_{1}$ i $P_{1}$ podnožja tačaka S i P. Treba odrediti gde se nalazi tačka odbijanja R, tj. koliko je rastojanje $x=\overline{S_{1}R}$. Optička dužina puta zraka $\overline{SRP}$ iznosi

$$L=n\left[\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x^{2}}+\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}\right]. \tag{5}$$

Tačku ekstremuma funkcije $L(x)$ nalazimo kad prvi izvod izjednačimo sa nulom. Dobije se uslov $\text{sin}\theta _{\text{i}}=\text{sin}\theta _{\text{r}}$. Uglove $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{r}}$ grade upadni (incidentni) i odbijeni (reflektovani) zrak sa normalom N.

Čitalac može lako pokazati da je u tom slučaju optički put minimalan. Dakle, iz Fermaovog principa sledi zakon odbijanja:

Ovaj rezultat potvrđuju opiti i svakodnevno iskustvo.

Sl. 4b Opiti sa odbijanjem svetlosti u studentskoj laboratoriji. Levo: Zakon odbijanja.

Desno: Dva međusobno upravna ogledala usmeravaju zrak svetlosti nazad

Zanimljivo je razmotriti odbijanje svetlosti od elipsoidne površine, Sl. 5. Tačke $F_{1}$ i $F_{2}$ su žiže obrtnog elipsoida sa osama $a$ i $b$. Zrak koji polazi iz prve žiže proći će, posle odbijanja od površine u tački $R$, kroz drugu žižu. Da je to tako, može se pokazati direktnom primenom zakona odbijanja svetlosti: upadni ugao će biti jednak odbijenom tek ako odbijeni zrak prolazi kroz $F_{2}$. Ali, Fermaov princip i ovde može da uprosti argumentaciju. Dobro je poznata osobina elipse da je zbir dva potega $\rho _{1}$ i $\rho _{2}$ jednak dvostrukoj vrednosti velike ose, za svaku tačku $R$ elipse. To znači da je optički put $\overline{F_{1}RF_{2}}$ stacionarna veličina, samim tim reprezentuje stvarnu putanju zraka.

Sl. 5 Elipsoidno ogledalo

Pustimo da se tačka $F_{2}$ beskonačno udaljava od tačke $F_{1}$ duž ose $x$. Deo površine oko žiže $F_{1}$ transformiše se u paraboloidno ogledalo, Sl. 6. Svi zraci koji polaze iz žiže $F_{1}$ seku se u beskonačno udaljenoj tački — ogledalo formira snop svetlosti u pravcu ose $x$ koja se zove optička osa ogledala. Važi i obrnuto: upadni paralelni snop ogledalo fokusira u tačku $F$. Iz uslova jednakosti vremena putovanja svih zraka od momenta ulaska u ogledalo do stizanja u žižu dobijamo

$$H-f+\rho \cos \alpha +\rho =H+f,$$

odakle nalazimo

$$\rho =\frac{2f}{1+\cos \alpha },$$

a ovo je polarna jednačina parabole. Ovde je $f$ žižna daljina ogledala.

Sl. 6 Paraboloidno ogledalo

U suštini, paraboloidno ogledalo ne može dati idealno paralelan snop. Teorija difrakcije precizira da je minimalni ugao divergencije jednak $\lambda /D$ (količnik talasne dužine i otvora ogledala). Paraboloidna ogledala imaju široku primenu (u teleskopskim sistemima reflektorskog tipa, u mikrotalasnoj i telekomunikacionoj tehnici i sl).

Sl. 7 Sferno ogledalo (levo), odbijanje tri zraka od konkavnog ogledala (u sredini) i odbijanje pet zraka od konveksnog ogledala

U okolini temena ($\cos \alpha \simeq 1$) može se parabola dobro aproksimirati delom sfere poluprečnika $r=2f$, Sl. 7. Svojim centralnim delom, sferno ogledalo će skupljati optičko zračenje u žižu $F$, kao i paraboloidno ogledalo, ako zračenje upada u vidu snopa paralelnog optičkoj osi. Periferni delovi, međutim, mogu unositi znatnija odstupanja od strogih zahteva, pa idealnog fokusiranja ne može biti. To odstupanje od idealne situacije je greška ogledala koja se zove sferna aberacija. Sferna ogledala se lakše fabrikuju od paraboloidnih pa se često primenjuju, a greške se eliminišu ili smanjuju raznim dodatnim merama.

Sferno ogledalo vrlo velikog poluprečnika ($R\to \infty$) ponaša se kao ravno ogledalo. To je jedan od osnovnih optičkih elemenata u svakoj laboratoriji. U profesionalnoj praksi se teži da se osigura homogenost površine ogledala i selektivno ili integralno visok koeficijent odbijanja svetlosti, što se postiže specijalnim tehnološkim procesima.

Zakon prelamanja svetlosti

Posmatrajmo svetlosni zrak koji polazi iz tačke S i prostire se prema razdvojnoj površini G dve homogene i izotropne, providne sredine s indeksima prelamanja $n_{1}$ i $n_{2}$. Nastavljajući da se prostire u drugoj sredini, dospeva zrak u prijemnik P (Sl. 8). Naravno, postojaće i odbijeni zrak (broj 2), ali nas on ovde ne zanima. Udaljenosti tačaka S i P od površine su $h_{\text{S}}$ i $h_{\text{P}}$. Primenom Fermaovog

Sl. 8a Zakon prelamanja iz Fermaovog principa

principa odredićemo stvarni oblik putanje od S preko R do P, tj. naći zavisnost ugla transmisije, ili prelamanja, $\theta _{\text{t}}$ od incidentnog (upadnog) ugla $\theta _{\text{i}}$. U tački R putanja se lomi. Obeležimo sa $x$ položaj tačke R u odnosu na $S_{1}$. Zadato je rastojanje $X$ tačaka $S_{1}$ i $P_{1}$ (podnožja tačaka S i P). Već smo razjasnili da je prostiranje u homogenoj sredini pravolinijsko. Zato je ukupna optička dužina za zrak $\overline{SRP}$

$$L=n_{1}\left[\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x^{2}}+n_{2}\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}\right]. \tag{6}$$

Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom u tački ekstremuma $x_{\text{m}}$. Dobijamo

$$n_{1}\frac{x_{\text{m}}}{\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x_{\text{m}}^{2}}}=n_{2}\frac{X-x}{\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}}. \tag{7}$$

Odavde odmah zaključujemo da svetlost “bira” onaj stvarni put za koji važi uslov

$$n_{1}\,\text{sin}\theta _{\text{i}}=n_{2}\,\text{sin}\theta _{\text{t}}. \tag{8}$$

Ovo je poznati zakon prelamanja svetlosti. Često se u udžbenicima zove i Snelov zakon. Rečima ćemo zakon ovako iskazati:

Pri tome, iz Fermaovog principa neposredno sledi i da upadni i prelomljeni zrak leže u zajedničkoj, incidentnoj ravni. Opiti i iskustvo potvrđuju ove zaključke.

Kaže se da je sredina optički gušća od neke druge ako ima veći indeks prelamanja. Za obrnut slučaj koristi se termin optički ređa sredina. Vidimo da se zrak koji ulazi u optički gušću sredinu prelama prema normali.

Sl. 8b Prelamanje laserskog zraka na razdvojnoj površini staklo/vazduh )levo).

Primer upravljanja svetlosnim snopom, uz efekt potpunog odbijanja )desno)

Kada zrak upada u optički ređu sredinu, ugao $\theta _{\text{t}}$ veći je od ugla $\theta _{\text{i}}$. Zbog toga, postoji neki granični incidentni ugao $\theta _{\text{g}}$ kada se prelomljeni zrak prostire duž razdvojne površine. Pošto je u tom slučaju $\theta _{\text{t}}=\pi /2$, iz zakona prelamanja dobijamo

$$\theta _{\text{g}}=\text{arcsin}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right). \tag{9}$$

Za sve incidentne uglove od graničnog, sve do $\pi /2$, postoji samo odbijeni zrak; svetlost se vraća u sredinu iz koje je i dospeo, u idealnom slučaju bez energetskih gubitaka. Naravno, i u tom slučaju važi zakon odbijanja. Taj se efekt naziva potpuno unutrašnje odbijanje. Na primer, ako zrak žute svetlosti prelazi iz vode u vazduh, granični ugao će biti oko $48,6^{0}$ jer je $n_{\text{voda}}=4/3$. Ili, za dodir stakla ($n_{1}=1,5$) i vazduha ($n_{2}=1$) nalazimo $\theta _{\text{g}}=41,8^{0}$.

Pojava potpunog unutrašnjeg odbijanja omogućava da se oceni nepoznati indeks prelamanja $n_{\text{x}}$ neke sredine. Za dodir sa vazduhom, treba izmeriti konkretni granični ugao i izračunati $n_{\text{x}}=1/\text{sin}\theta _{\text{g}}$.

Fiber optika

Značajna je primena potpunog unutrašnjeg odbijanja svetlosnih talasa u optici svetlosnih vlakana (fiber optika). Svetlosna se energija može transportovati optičkim vlaknima. Princip vođenja zraka pojašnjavaju donje slike

Sl. 8c Demonstracija fiber-efekta: dielektrični štap konfinira i usmerava svetlosni snop

pomoću potpunog odbijanja svetlosti (levo). Optički kabl (desno)

Ulaz kabla je osvetljen, svetlost se prostire duž

namotanog kabla i izlazi na slobodnom kraju (foto Internet)

Ako se podesno izabere upadni ugao svetlosti, zrak se potpuno odbija uvek kad upadne na razdvojnu površinu staklo/vazduh. Tako on napreduje duž optičke vođice po cik-cak liniji.

Laserska simulacija fatamorgane

Poznato je da se indeks prelamanja vazduha, pri konstantnom pritisku, menja sa temperaturom po zakonu

$$n=1+\frac{a}{T}, \tag{10}$$

gde je $a$ pogodno izabrana konstanta. Ako, uprošćeno, usvojimo da se sloj vazduha na sobnoj temperaturi $T_{0}$ graniči sa slojem vazduha na većoj temperaturi $T$, takva kombinacija bi mogla da izazove potpuno unutrašnje odbijanje svetlosti kada se ona prostire od hladnijeg ka toplijem sloju; pritom bi granični ugao bio

$$\text{sin}\,\theta _{\text{g}}=\frac{1+a/T}{1+a/T_{0}}. \tag{11}$$

Indeks prelamanja ima vrednosti bliske jedinici i za ne odveć visoke temperature u stvari se slabo menja pri zagrevanju vazduha. Zato možemo smatrati da je granični ugao blizak $\pi /2$. Tada su dobre i aproksimacije $1/(1+aT_{0})\simeq 1-a/T_{0}$ i $\cos x\simeq 1-x^{2}/2$ gde je $x=\pi /2-\theta _{\text{g}}$, pa dolazimo do sledećeg rezultata:

$$\theta _{\text{g}}\simeq \frac{\pi }{2}-\sqrt{\;2(n-1)\left(1-\frac{T_{0}}{T}\right)}. \tag{12}$$

Pogledajmo jedan primer. Za $T_{0}=303\,$ K biće $n-1=2,6\cdot 10^{-4}$, pa ako je $T=573\,$ K dobićemo da je granični ugao blizu $89,1^{0}$.

Ovaj efekt može lako da se demonstrira pomoću laserske svetlosti. Skica opita data je na Sl. 9.

Sl. 9 Levo: kad svetlosni snop okrzne vreli sloj vazduha.

Desno: uz tumačenje fatamorgane

Zrak svetlosti iz lasera L upućuje se prema zagrejanoj površini G (na primer, rešo na koji je stavljena ravna metalna ploča) skoro horizontalno, pod vrlo malim nagibom. Ekran E je udaljen desetak metara od rešoa. Kada se uključi grejanje, ubrzo se pojavi i svetla tačka P na ekranu, trag prispele laserske svetlosti. Kako temperatura raste, svetla mrlja se postepeno penje. Pomeranje iznosi i do desetak centimetara za uobičajena zagrevanja ploče na sobnoj temperaturi vazduha.

Vrlo često se za vrelih letnjih dana može doživeti sledeća optička iluzija. Putnik se kreće zagrejanim asfaltnim putem. Pred sobom (Sl. 14) „vidi” na putu jezero sa odsjajem u vodi okolnog pejsaža. Fizika ovog fenomena je kao i u opisanom laserskom opitu. Najtopliji sloj vazduha je do samog tla. Svetlosni zraci se savijaju upadajući u sve toplije slojeve vazduha i na kraju se potpuno odbijaju dospevajući u oko posmatrača. Utisak je da predmete vidimo u produžetku zraka koji ulaze u oko, kao da gledamo posredstvom ogledala. U vodenim masama vidimo odraz neba. I u opisanim okolnostima postoji odraz neba, koji mi psihološki registrujemo kao odraz od vodene površine. Putnik ima potpuni utisak da je na pojedinim mestima vlažan asfalt. Ova vrsta optičke iluzije zove se jezerska fatamorgana, za razliku od mnogih drugih kojima se ovde, međutim, nećemo baviti.

Prelamanje svetlosti kroz prizmu

Od kvalitetnog optičkog stakla prave se optičke prizme, koje na specifičan način, prelamanjem i potpunim unutrašnjim odbijanjem, transformišu svetlosne snopove. Izučićemo zakone delovanja ove široko rasprostranjene komponente u optičkim instrumentima, industrijskim i naučnim laboratorijama.

Sl. 10a Analiza putanje zraka kroz prizmu

Posmatrajmo trostranu prizmu ABC, izrađenu od materijala indeksa prelamanja $n$, Sl. 10. Prikazan je zrak koji upada na stranicu AC, prostire se kroz prizmu i izlazi kroz stranicu AB. Upadni (incidentni) ugao na ulaznoj stranici označili smo sa $\theta _{\text{i}}$, a izlazni (transmisioni) ugao na izlaznoj stranici sa $\theta _{\text{t}}$. Ugao kod temena A obeležićemo sa $\gamma$. To je ugao prizme.

Sl. 10b Prelamanje zraka kroz prizmu

Pomoćni uglovi $\alpha$ i $\beta$ označavaju nagibe zraka u prizmi prema normalama u odgovarajućim tačkama. Iz geometrijskih odnosa na Sl. 10 zaključujemo da je $\gamma =\alpha +\beta$. Napišimo zakon prelamanja zraka na ulaznoj i izlaznoj ravni:

$$\text{sin}\theta _{\text{i}}=n\,\text{sin}\alpha, \tag{13}$$ $$\text{sin}\theta _{\text{t}}=n\,\text{sin}\beta. \tag{14}$$

Uvedimo pomoćni parametar $\delta$ u skladu sa relacijama

$$\alpha =\frac{\gamma }{2}+\delta, \tag{15}$$ $$\beta =\frac{\gamma }{2}-\delta. \tag{16}$$

Zamenom relacija (15) i (16) u (13) i (14) dobijamo

$$\text{sin}\theta _{\text{i}}=n\left[\text{sin}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{cos}\delta +\text{cos}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{sin}\delta \right], \tag{17}$$ $$\text{sin}\theta _{\text{t}}=n\left[\text{sin}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{cos}\delta -\text{cos}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{sin}\delta \right]. \tag{18}$$

Ove relacije možemo rešiti po $\text{sin}\delta$ i $\text{cos}\delta$ i primenom identiteta $\sin ^{2}\delta +\text{cos}^{2}\delta =1$ dobiti

$$\frac{(\text{sin}\theta _{\text{i}}-\text{sin}\theta _{\text{t}})^{2}}{[2n\,\text{cos}(\gamma /2)]^{2}}+\frac{(\text{sin}\theta _{\text{i}}+\text{sin}\theta _{\text{t}})^{2}}{[2n\,\text{sin}(\gamma /2)]^{2}}=1. \tag{19}$$

U Dekartovom sistemu ($x=\text{sin}\theta _{\text{i}}$, $y=\text{sin}\theta _{\text{t}}$) relacija (19) predstavlja elipsu zarotiranu za $45^{0}$, Sl. 11. Poluose elipse su $\sqrt{2}n\,\text{cos}(\gamma /2)$ i $\sqrt{2}n\,\text{sin}(\gamma /2)$. Jednačina je invarijantna u odnosu na međusobnu zamenu uglova $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{t}}$, što je u skladu sa principom reverzibilnosti zraka u optičkim sistemima. Za dato $n$, elipse svih uglova $\gamma$ upisane su u kvadrat stranice $2n$; za pravouglu prizmu, elipsa degeneriše u krug.

Ugao devijacije $\eta$ određuje se iz jednakosti $\eta =\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}}-\gamma$, koja je vidljiva sa Sl. 10. Na osnovu jednačina koje smo već ispisali, nije teško pokazati da je

$$\eta =\theta _{\text{i}}-\gamma +\text{arcsin}\left\{n\,\text{sin}\left[\gamma -\text{arcsin}\left(\frac{1}{n}\,\text{sin}\theta _{\text{i}}\right)\right]\right\}. \tag{20}$$

Korisno je funkciju $\eta =f(\theta _{\text{i}})$ ispitati. Pre svega je možemo nacrtati za neke tipične vrednosti parametara, na primer za $n=1,5$ i $\gamma =30^{0}$. Takav

Sl. 11 (levo) Karakteristična elipsa pri prelamanju zraka prizmom

Sl. 12 (desno) Kako prizma otklanja zrake

PC grafik prikazan je na Sl. 12. Jasno se vidi da postoji minimum na oko $22,9^{0}$. U stvari, može se analitički odrediti ekstremum ugla devijacije, nalazeći nulu prvog izvoda. Rezultat je

$$\eta _{\text{e}}=2\,\text{arcsin}\left(n\,\text{sin}\frac{\gamma }{2}\right)-\gamma. \tag{21}$$

Ovaj se ugao realizuje kada je put zraka kroz prizmu simetričan ($\alpha =\beta =\gamma /2$, $\theta _{\text{i}}=\theta _{\text{t}}$). Takođe, tada je $d\theta _{\text{i}}/d\theta _{\text{t}}=-1$, a to je uslov koji je grafički lako prepoznatljiv: na Sl. 11 njemu odgovaraju tačke $M_{1}$ i $M_{3}$. Ostavlja se čitaocu da dokaže zanimljiv fakt da je ekstremum (21) mimimum devijacije kad je $n>1$, a maksimum u slučaju $n<1$.

Vazdušna prizma u staklenoj okolini;

relativni indeks prelamanja manji je od jedan

Slučaj da je indeks prelamanja prizme manji od jedan može se realizovati ako prizmu stavimo u neku optički gušću sredinu. Sistem se tada ponaša kao prizma indeksa prelamanja $n<1$ u vakuumu (praktično u vazduhu). Više o tome reći ćemo u izlaganju o sočivima. Inače, u radio-dijapazonu se regularno razne plazmene sredine opisuju indeksom prelamanja tipa

$$n^{2}=1-\omega _{\text{p}}^{2}/\omega ^{2}\,<1.$$

Slični postupci primenjuju se i u kratkotalasnom nevidljivom delu optičkog dijapazona.

Inače, kada su relevantni uglovi mali u matematičkom smislu, ili u opitu takva aproksimacija nije gruba, može se ugao devijacije uprostiti:

$$\eta =\gamma \,(n-1). \tag{22}$$

Približno, prizma otklanja sve upadne zrake za isti ugao devijacije koji je određen parametrima prizme: indeksom prelamanja i uglom prizme.

Pri simetričnom putu zraka, intenzitet izlazne svetlosti najveći je. Još je Njutn isticao: gde su uglovi najveći ili najmanji, gustina izlaznih zraka je povećana. Ovaj se fakt može verifikovati pomoću Frenelovih jednačina, koje ćemo izučavati kasnije, u trećem poglavlju. Poznato je da je Herc u svojim opitima iz 1887. g. ispitivao svojstva elektromagnetskih talasa pomoću prizmi, i to upravo primenjujući simetrične konfiguracije, da poveća osetljivost detekcije.

Primene prizmi su mnogobrojne, raznolike su i varijante izrade koje zavise od osobenosti konkretne primene. O tome ćemo još posebno govoriti u trećoj glavi. Preporučujemo čitaocu tekst u knjizi: L. V. Tarasov, A. N. Tarasova, Besede o prelamanju svetlosti (na ruskom), “Nauka”, Moskva 1982, s. 44-54, kao uvodni pregled pre ozbiljnijeg uvida u posebne teme prelamanja snopova pomoću prizmi u optičkim aparatima. Ovde se nećemo osvrtati na razne modifikacije prizmi specijalne namene (penta, romboidne, poligonalne prizme i sl). Kombinacijama prizmi dobijaju se novi elementi. O Frenelovoj bi-prizmi govorićemo u poglavlju o interferenciji, a pomenimo kubični bim-spliter (Sl. 18) koji nastaje slepljivanjem dve pravougaone prizme; ponekad je bolji od klasičnih delitelja snopova na bazi ogledala, jer se mogu izbeći neželjene refleksije u sistemu. Na ovaj ili onaj način korisno je vladati u svim tim slučajevima jednačinama koje smo izložili.

Indeksi prelamanja pojedinih prizmi mogu biti različiti, zavisno od materijala koji je upotrebljen. Široko se eksploatišu mnogobrojne tehnološke varijante kvarca (suprasil, herasil, infrasil i sl). Primenjuje se i visokokvalitetna obrada površina, o čemu smo govorili kod ogledala, a prema potrebi primenjuju se, takođe, tehnike metaliziranja, premaza dielektričnim filmovima itd.

O ekvilateralnim (disperzionim) prizmama, koje se primenjuju za demonstriranje disperzije bele svetlosti, nećemo ovde govoriti; u gornjem izlaganju smo prećutno pretpostavili rad sa monohromatskim zračenjem.

Tanko sočivo

Izučimo osnovna svojstva prelamanja svetlosti kroz prozračno telo ograničeno sa dve sferne površine. Takav optički element naziva se sočivo.

Sl. 13 Uz analizu tankog sočiva (levo). Upadni snop

od pet zraka skuplja sabirno sočivo u žižu (desno)

Obeležimo sa $R_{1}$ poluprečnik krivine prednje površine (kroz koju svetlost ulazi), a sa $R_{2}$ poluprečnik krivine zadnje površine, kroz koju svetlost izlazi iz sočiva. Debljinu sočiva u centralnom delu označimo sa $d$. Osu simetrije $x$ nazovimo optička osa sočiva. Paralelno optičkoj osi, na odstojanju $h$ (Sl. 13), upućujemo laserski zrak koji će pogoditi sočivo u tački A. Posle prelamanja na površinama, zrak će skrenuti ka optičkoj osi, ako je indeks prelamanja sočiva veći od jedan, a sočivo se nalazi u vazduhu (ako drugačije nije naglašeno, smatraćemo da je taj uslov zadovoljen u našim razmatranjima). Pošaljimo sada drugi laserski zrak kroz sočivo, ovog puta duž optičke ose. Do preseka dva zraka dolazi u nekoj tački F i to ukrštanje možemo u opitu jasno videti.

Udaljenost tačke $F$ od centra sočiva označimo sa $f$; to je žižna daljina sočiva. Kaže se da je sočivo tanko ako je zadovoljena nejednakost $d\ll f$. Upravo takav slučaj dalje analiziramo.

Prelamanje laserskog zraka na ulaznoj površini možemo tretirati pod učinjenim pretpostavkama kao prelamanje prizmom malog ugla, u skladu sa formulom (22). Tu ideju razjasnimo koristeći Sl. 14.

Sl. 14 Izvodimo optičarsku formulu

Iz centra O povucimo deo kruga $\overset{\frown}{DAE}$ poluprečnika $R_{1}$. To je presek ulazne površine sočiva i ravni crteža. Zrak upada u tačku A. Povucimo tangentu $\overline{AC}$ na kružnicu u toj tački. Prizma ABC dobro aproksimira onaj deo sočiva ABD koji i određuje stvarni ugao devijacije na ulaznoj površini. Obeležimo ugao prizme ABC sa $\gamma _{1}$. Taj isti ugao je kod temena O u trouglu AOB. Tako zaključujemo da je sin $\gamma _{1}\simeq \gamma _{1}=h/R_{1}$. Istu logiku primenjujemo i pri analizi prelamanja na izlaznoj površini. Tamo je ugao ekvivalentne prizme $\gamma _{2}=h/R_{2}$. Ugao devijacije na prvoj „prizmi” je $\eta _{1}=(n-1)\gamma _{1}$, a na drugoj $\eta _{2}=(n-1)\gamma _{2}$. Dakle, vrlo približno je ukupna devijacija laserskog zraka $\eta =\eta _{1}+\eta _{2}$, tj.

$$\eta =h(n-1)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{23}$$

Vidljiva je važna osobina opisanog procesa: i neki treći laserski zrak koji bi se prostirao paralelno optičkoj osi, ma gde da uđe u sočivo, prošao bi kroz žižu F, prosto zato što je $\eta \sim h$ - udaljeniji zraci imaju i veći ugao devijacije. Zbog toga, za tanko sočivo o kojem je reč kažemo da je sabirno, ili konvergentno. Kako je (v. Sl. 13) $\eta \simeq h/f\,$, pomoću relacije (23) dobijamo

$$\frac{1}{f}=(n-1)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{24}$$

Recipročna vrednost žižne daljine predstavlja optičku moć sočiva. Tu veličinu ćemo obeležavati sa $\Phi$. Sočivo veće optičke moći jače prelama zrake. Optička moć se meri u dioptrijama (D). Dioptrija je recipročni metar. Na primer, za sočivo žižne daljine $50\,$ cm kažemo da je jako dve dioptrije, $\Phi =2\,\text{D}$. Inače, formula (24) je uputstvo kako napraviti tanko sočivo zahtevane optičke moći, od datog materijala. Zavisno od potreba i namena konkretnog sočiva, taj se zadatak može rešiti na više načina. $a$) Ako se uzme da je jedna površina ravna ($R_{1}=\infty$), a druga ispupčena ($R_{2}>0\,$), dobija se plan-konveksno sabirno tanko sočivo. $b$) Ako su poluprečnici obe površine veći od nule i konačni, sočivo je bikonveksno, kao ono na Sl. 13. $c$) Ulazna površina može biti konkavna (posmatrano iz smera prostiranja svetlosti), $R_{1}<0$, a izlazna konveksna ($R_{2}>0$). Ako je pritom $\left|R_{1}\right|>R_{2}$, sočivo je sabirno (najdeblje je u sredini). Ovakvo sočivo poznato je kao konveksni meniskus.

U čemu je smisao konvencije, koju smo upravo pomenuli u slučaju $c$), da poluprečnik sferne površine možemo tretirati kao negativnu veličinu? To je način da formalno uzmemo u obzir činjenicu da će konkavne površine prelamati, kao što smo objasnili, slično tankoj prizmi, ali će ta ekvivalentna prizma u ovom slučaju biti prevrnuta, vrhom na dole usmerena, te će ugao devijacije $\eta =h/R$ biti usmeren ne ka optičkoj osi, već na drugu stranu, biće dakle negativan. U računu, to uzimamo u obzir smatrajući da je $R<0$, zadržavajući mogućnost da koristimo i u tom slučaju jednu te istu formulu (24).

Sl. 15 Žižna ravan i žiža u njoj

Ako laserski zrak u našem opitu nije paralelan optičkoj osi, već sa njom gradi neki ugao $\phi$, formula (24) ostaje na snazi kad ugao nije odveć veliki (u toj aproksimaciji kažemo da je zrak paraksijalan). Stvar je u tome što će za paraksijalni zrak i dalje moći da se koristi približna formula prizme $\eta =(n-1)\gamma$, kao i za prostiranje duž optičke ose sočiva. Pošaljimo laserski zrak kroz centar sočiva, pod uglom $\phi$ prema optičkoj osi. Videli smo da se takav zrak, približno, neće prelamati (jer je $h=0$). Uputimo još jedan zrak, paralelan prethodnom koji će ući u sočivo na nekom rastojanju od centra. Videćemo da se zraci više neće seći u žiži već u nekoj tački F koja pripada žižnoj ravni. To je ravan koja prolazi kroz žižu, a normalna je na optičku osu

Sl. 16 Rasipno sočivo i proračun putanje zraka (levo).

Dejstvo tankog staklenog rasipnog sočiva u vazduhu (desno)

(Sl. 15). Rastojanje tačaka iznosi $\overline{FF'}\simeq f\varphi$.

Kvalitativno drugačije se ponaša sočivo sa graničnim površinama koje imaju negativne poluprečnike, $R_{1}<0$ i $R_{2}<0$. Takvo sočivo skicirano je na Sl. 16. Zrak koji putuje paralelno optičkoj osi neće se nigde preseći sa zrakom koji je usmeren duž optičke ose. Naprotiv, on se posle prelamanja udaljava od ose.

Međutim, ako u mislima produžimo pravac prelomljenog zraka, taj fiktivni zrak preseći će osu u tački F. Realni zrak se prostire posle prelamanja kao da je krenuo iz te tačke koju ćemo ipak zvati žiža sočiva, po analogiji sa sabirnim sočivom.

Sočiva ovakvih osobina zovu se rasipna, ili divergentna, sočiva. Rasipno sočivo ne mora uvek biti bikonveksno kao na posmatranoj Sl. 16. Poznata su i plan-konkavna sočiva (jedna površina ravna, $R_{1}=\infty$, druga konkavna, $R_{2}<0$). Na kraju, rasipna sočiva zvana konkavni meniskus imaju $R_{1}>0$ i $R_{2}<0$, ali je $R_{1}>\left|R_{2}\right|$. Kod svih ovih vrsta, debljina rasipnih sočiva najmanja je u centralnom delu, kuda prolazi optička osa, što i jeste osnovna osobenost pomoću koje odmah možemo prepoznati da li neko sočivo sabira ili rasipa svetlost.

Ovaj pristup rasipnim sočivima podrazumeva da i za njih važi formula (24), koju ponegde zovu optičarska formula (engleski termin: lens maker’s equation). Shodno njoj, optička moć rasipnog sočiva je negativna veličina. Po toj konvenciji, koja je praktična i omogućava korisnu generalizaciju, žižnu daljinu rasipnog sočiva $f$ treba da tretiramo kao negativnu veličinu. Na primer, podatak da tanko sočivo ima optičku moć $\Phi =-3,5\,\text{D}$ znači da je to rasipno sočivo sa apsolutnom vrednošću žižne dužine $f=28,57\,$ cm.

Primetimo da su pojmovi konvergentno sočivo i divergentno sočivo relativni. Jedno isto sočivo može funkcionisati i kao konvergentno i kao divergentno, zavisno od toga da li se nalazi u optički ređoj ili optički gušćoj sredini. Da to pokažemo, zamislimo da se sočivo indeksa prelamanja $n_{1}$ nalazi u sredini indeksa prelamanja $n_{2}$. Izvođenjem koje se principijelno ne razlikuje od onog koje smo primenili u gornjem postupku kada je sočivo bilo u vazduhu, dobija se rezultat

$$\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{25}$$

Ako je $n_{1}/n_{2}-1>0$, glavni zaključci koje već znamo ostaju na snazi. Međutim, kad je $n_{1}<n_{2}$ optička sila sočiva menja znak, pa sočiva koja su u vazduhu konvergentna tad rasipaju svetlost, a divergentna sabiraju. Formalno, problem se može tretirati kao sočivo relativnog indeksa prelamanja $n=n_{1}/n_{2}$ u vazduhu. U tom slučaju, ako je $n>1$ možemo koristiti termine na uobičajeni način, kao što smo gore i preporučili.

Da potkrepimo ove tvrdnje, prilažemo donje fotografije snimljene u opitima sa inverznim sočivima (imaju relativni indeks prelamanja manji od jedan).

Inverzno bikonkavno sočivo deluje kao sabirno sočivo (levo);

inverzno bikonveksno sočivo deluje kao rasipno sočivo

Formiranje optičkih likova pomoću tankih sočiva

Videli smo da je tanko sočivo u stanju da skupi u žižu svetlosni snop koji dolazi iz beskonačno udaljene tačke na optičkoj osi. Pogledajmo sada šta će biti sa zracima koji polaze iz neke tačke P sa konačnog rastojanja od sočiva. To rastojanje označićemo sa $p$ (v. Sl. 17). Na početku ćemo pretpostaviti da je tačka P dalje od žiže sočiva, pa je $p>f$.

Sl. 17 Izvođenje jednačine tankog sočiva (levo).

Karakteristični zraci i lik predmeta (desno)

Usmerimo laserski zrak iz te tačke pod uglom $\alpha$ prema optičkoj osi. On ulazi u sočivo kroz tačku A koja je na rastojanju $h$ od optičke ose. Posle prelamanja na površinama sočiva i otklona od prvobitnog pravca za ugao devijacije $\eta$ zrak će dospeti u tačku Q pod uglom $\beta$ prema optičkoj osi. Tu ćemo videti njegovo ukrštanje sa drugim zrakom koji smo usmerili duž optičke ose. Obeležimo sa $q$ rastojanje tačke ukrštanja Q od centra tankog sočiva. Ugao $\eta$ je spoljašnji ugao za trougao APQ, pa je $\eta =\alpha +\beta$. Kako su zraci po pretpostavci paraksijalni, možemo koristiti uprošćene relacije $\alpha \simeq h/p$ i $\beta \simeq h/q$. Pri tome, uvek je za tanko sočivo $\eta =h/f$, tako da odmah dobijamo

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}. \tag{26}$$

Za dati položaj tačke P i određeno sočivo, tj. definisanu žižnu daljinu $f$, potpuno je određen i položaj tačke Q, relacija ne zavisi od rastojanja $h$. Prema tome, svi paraksijalni zraci istog parametra $p$ imaće isto i $q$. Drugim rečima, pomoću sočiva formirali smo lik Q tačkastog predmeta P na optičkoj osi. Taj je lik realan, nastao presekom stvarnih zraka.

Kako će se formirati lik tačke $P_{1}$, koja se nalazi van optičke ose, ispitaćemo prateći opet putanje dva zraka laserske svetlosti, Sl. 24. Prvi zrak usmeravamo paralelno optičkoj osi. Znamo da će se on tako prelomiti da prođe kroz žižu F. Drugi zrak šaljemo iz $P_{1}$ kroz centar sočiva. On ne skreće sa tog pravca (dovoljno tačna tvrdnja u okviru geometrijske optike). Uočavamo presek dva zraka u tački Q $_{1}$. Ta tačka je lik tačke $P_{1}$. Kao i u prethodnom slučaju, lik je realan. Ako P i $P_{1}$ leže u ravni $R$ normalnoj na optičku osu, likovi će takođe ležati u ravni, označimo je $R_{1}$, koju optička osa preseca pod pravim uglom.

U ravni $R$ uočimo vektor koji spaja tačke $P$ i $P_{1}$. Njegova dužina je $\ell _{\text{p}}$. Takođe, uočimo u ravni $R_{1}$ vektor dužine $\ell _{\text{q}}$ koji spaja tačke $Q$ i $Q_{1}$. Opisanom korespondencijom tačaka dveju ravni shvatili smo da je ovaj drugi vektor lik prvog. Primetimo da su vektori antiparalelni. Formirani lik je obrnut. Pomoću definicione relacije

$$\int_{\text{p}} =-M_{\ell }\,\int_{\text{q}}, \tag{27}$$

uvodimo linearno uvećanje $M_{\ell }$ sočiva kao veličinu pogodnu za opisivanje proporcije između neke duži i njenog lika. Za tanko konvergentno sočivo lako nalazimo da je

$$M_{\ell }=-\frac{f}{p-f}. \tag{28}$$

Negativni znak zadržavamo kao informaciju da je lik obrnut. Ovo razlikovanje je korisno, jer ćemo kasnije pomoću pozitivnih uvećanja opisivati geometrijske odnose dužina dva vektora u slučajevima kada do inverzije lika ne dolazi. Vidimo da linearno uvećanje neograničeno raste po svojoj

Sl. 18 Tanko sočivo u funkciji lupe

apsolutnoj vrednosti kada se ravan $R$ približava žižnoj ravni sočiva, tj. kada $p\to f$. U sledećem pasusu razmotrićemo preslikavanje istim sočivom kada je vektor $\vec{\ell}_{\text{p}}$ između žižne ravni i sočiva.

Skica takvog rasporeda elemenata data je na Sl. 18. Iz tačke koja predstavlja vrh vektora $\vec{\ell}_{\text{p}}$ usmeravamo laserski zrak ka sočivu, paralelno optičkoj osi. Zvaćemo ga prvi karakteristični zrak (1). On prolazi iza sočiva kroz žižu. Drugi karakteristični zrak (2) šaljemo iz iste tačke kroz centar sočiva. On nastavlja kretanje bez prelamanja. Zraci se međusobno udaljavaju, nema realne presečne tačke. Ali postoji zamišljena presečna tačka u produžetku zraka 1 i 2 pa možemo govoriti o imaginarnom liku $\int_{\text{q}}$ na rastojanju $q$ od sočiva. Linearno uvećanje iznosi

$$M_{\ell }=\frac{f}{f-p}. \tag{29}$$

Uvećanje je pozitivno, lik je uspravan. Postavlja se pitanje koliko je opravdano o imaginarnom liku govoriti kao o smislenom pojmu. Prvo, lako se uveriti prostim opitom da naše oko postavljeno odmah pored sočiva sa desne strane vidi imaginarni lik (o tome ćemo još govoriti kod objašnjenja rada uveličavajućeg stakla, lupe). Drugo, pokazuje se da imaginarni lik može da se podvrgne daljim optičkim transformacijama u nekim složenijim optičkim sistemima. Znači, koncept imaginarnog lika ima puno fizičko opravdanje.

Sl. 19 Rasipno sočivo u dejstvu

Sada ćemo videti osobenosti formiranja likova pomoću divergentnog sočiva, Sl. 19. Opet, počećemo analizu kada je koordinata predmeta (vektora $\int_{\text{p}}$) veća od žižne dužine, $p>f$. Prvi laserski zrak putuje paralelno optičkoj osi. Sočivo ga prelama tako da nema realne presečne tačke sa njom. U produžetku prelomljenog zraka može biti govora o preseku tog pravca sa optičkom osom. Tu tačku $F$ zovemo imaginarna žiža. Drugi karakteristični zrak polazi od vrha vektora prema centru sočiva i tamo se ne prelama. Vidimo da ne može biti govora o realnom preseku dva zraka. Presek postoji između zamišljenog produžetka prvog zraka i realnog drugog zraka i na tom mestu se formira imaginarni lik $\int_{\text{q}}$. Postoje sledeće proporcije: $\ell _{\text{p}}/p=\ell _{\text{q}}/q$ i $\ell _{\text{p}}/f=\ell _{\text{q}}/\left(f-q\right)$. Odavde nalazimo jednačinu tankog divergentnog sočiva

$$-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}. \tag{30}$$

Linearno uvećanje je $q/p$, što se svodi na

$$M_{\ell }=\frac{f}{p+f}. \tag{31}$$

Lako je pokazati da se u ovim formulama neće ništa promeniti u slučaju da je $p<f$. Prepuštamo čitaocu da sam skicira putanje karakterističnih zraka, odredi položaj lika i ustanovi geometrijske odnose između veličina $p$, $q$, i $f$, kao i količnik $\ell _{\text{p}}/\ell _{\text{q}}$.

Ponekad je korisno tretirati rastojanja i uvećanja kao algebarske veličine. Usvojimo da je kod konvergentnih sočiva žižna dužina pozitivna, a kod divergentnih negativna (u skladu sa konvencijom o algebarskim vrednostima poluprečnika krivine površina sočiva). Rastojanje $p$ je uvek pozitivno, ali smatrajmo da je rastojanje $q$ do realnog lika pozitivno, a do imaginarnog negativno. Takođe, dogovorimo se da pozitivnim uvećanjem opisujemo uspravan, a negativnim obrnut lik. Tada, očevidno, možemo generalisati formule. Jednačina

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$$

može biti primenjena i za konvergentno i za divergentno sočivo, ona je prosto formula tankog sočiva. Linearno uvećanje u obliku $M_{\ell }=-f/(p-f)$ postaje upotrebljivo i za konvergentno sočivo (bez obzira da li je $p>f$ ili važi obrnuto) i za divergentno sočivo. Do ovih zaključaka se dolazi bez ikakvih teškoća posmatranjem gornjih formula.

Kad fotografišemo neki predmet želimo da registrujemo u datoj ravni raspodelu njegove površinske osvetljenosti. Da se to realizuje, nije dovoljno staviti foto-ploču neposredno ispred premeta, prosto zato što će zraci iz proizvoljne tačke predmeta padati na sve tačke foto-osetljivog sloja. Tu ne može biti reči o fizički celishodno uspostavljenoj korespondenciji tačaka predmeta i tačaka foto-ploče. Dobro je poznat najjednostavniji način da se postigne željena uređenost zraka bez koje ne može biti zadovoljavajućeg kvaliteta lika. To je metod mračne komore, Sl. 20.

Sl. 20 Mračna komora

Koristi se kutija neprozračnih zidova koja ima otvor malih dimenzija $O$. Zrak iz svetle tačke $A$ može dospeti samo u tačku $A_{1}$ putanjom po pravoj $\overline{AO}$. Slično, $B$ se preslikava u $B_{1}$. Neka svetla tačka $X$ predmeta imaće svoj lik u jednoznačno određenoj tački $X_{1}$. Predmet $\overline{AB}$ dobija pomoću mračne komore svoj realan i obrnut lik $\overline{A_{1}B_{1}}$ kojeg foto-ploča može da zabeleži.

Ali, način formiranja likova pomoću sočiva daleko je efikasniji. Na primer, zrak $\overline{XC}$ koji pada na neprozirni zid komore izgubljen je za reakciju sa foto-pločom. Kada se upotrebi sočivo, umesto jednog uskog otvora, koriste se za formiranje lika i svi zraci tipa zraka $\overline{XC}$; njih sočivo savija i usmerava u željenu tačku $X_{1}$. Princip uređenosti zraka i dalje time ostaje na snazi, a povećan je intenzitet svetla. U savremenoj tehnici registrovanja i reprodukcije optičkih likova veoma se mnogo koriste sočiva između ostalog i zbog tog preimućstva.

Formiranje optičkih likova pomoću sfernih ogledala

Da se pomoću sfernog konkavnog ogledala može dobiti u žiži lik beskonačno udaljene svetle tačke na optičkoj osi, sledi iz samog postupka kako smo uveli pojam sfernog ogledala (kao dobre aproksimacije za paraboloidno ogledalo). Sferno ogledalo će fokusirati i paralelni snop svetlosti, koji se prostire pod nekim uglom prema optičkoj osi (uz uslov da je još uvek paraksijalan), ali ne u žižu već u neku susednu tačku žižne ravni. Po analogiji sa tankim sočivima, ove činjenice upućuju na zaključak da sferne reflektujuće površine mogu da formiraju optičke likove predmeta. Da detaljnije ispitamo taj

Sl. 21 Dejstvo izdubljenog ogledala — realan lik

proces, kao i u prethodnom odeljku reprezentovaćemo predmet vektorom $\int_{\text{p}}$ koji je u tački P upravan na optičku osu. Ta tačka je na rastojanju $p$ od temena T ogledala. Na početku ćemo smatrati da su sve dužine koje ćemo koristiti pozitivne veličine, a na kraju ćemo videti je li celishodno uvesti algebarsku interpretaciju. Prvo razmotrimo slučaj kada je žiža F između temena i predmeta. Tada je $p>f$ ($f$ je žižna daljina ogledala), Sl. 21.

Pomoću dva karakteristična realna zraka 1 i 2 naći ćemo realnu presečnu tačku koja preslikava vrh vektora. Tako lociramo položaj lika $\int_{\text{q}}$ i fiksiramo njegovu veličinu. Kao i kod sočiva, udaljenost lika od ogledala (tačke T) označavamo sa $q$. Sa Sl. 21 je lako uočiti geometrijske odnose

$$\ell _{\text{q}}/\left(q-f\right)=\ell _{\text{p}}/f,$$ $$\ell _{\text{q}}/f=\ell _{\text{p}}/\left(p-f\right).$$

Sl. 22 Dejstvo izdubljenog ogledala — imaginaran lik

Zaključujemo da su dužine $f$, $p$ i $q$ povezane relacijom

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},$$

baš kao kod sočiva. To je jednačina sfernog izdubljenog (konkavnog) ogledala. Vidimo da je takvo ogledalo konvergentno. Linearno uvećanje, definisano u skladu sa relacijom $\int_{\text{p}} =-M_{\ell }\,\int_{\text{q}}$, iznosi

$$M_{\ell }=-\frac{f}{p-f}.$$

Uvećanje je negativno, po apsolutnoj vrednosti može biti kako manje tako i veće od jedinice. Lik je realan i obrnut; raste kada $p\to f$.

Kakve promene nastaju kada lik prođe žižu i stupimo u oblast $p<f$ možemo shvatiti analizirajući putanje zraka sa Sl. 22. Navešćemo samo zaključke koje čitalac može lako da proveri. Jednačinu sfernog ogledala sada treba pisati u obliku

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}.$$

Linearno uvećanje je pozitivno,

$$M_{\ell }=\frac{f}{f-p}.$$

Lik je imaginaran i uspravan, uvećan je ($M_{\ell }>1$).

Sl. 23 Ispupčeno ogledalo i lik koji daje

Sferno ogledalo se može koristiti i sa njegove konveksne strane, Sl. 23. Sa dosadašnjim iskustvom čitalac može sam da prosledi postupak formira lika. Jednačina konveksnog sfernog ogledala glasi

$$-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}.$$

Linearno uvećanje je

$$M_{\ell }=\frac{f}{f+p}.$$

Lik je direktan i umanjen.

Sl. 24 Ravno ogledalo

Kvalitativan uvid u sve pobrojane osobine likova kod sfernih ogledala stičemo gotovo svakodnevno, u običnim životnim situacijama, na primer pri obedu: dovoljno je pogledati kašiku. S izdubljene strane lik je obrnut. Kad približavamo prst lik raste, a onda nastaje karakteristična transformacija od obrnutog i realnog u direktan i imaginaran lik pri prolazu kroz žižu. Sa ispupčene strane toga nema, u skladu sa gore izloženim.

Kako ravno ogledalo formira lik shvatamo ako kod konveksnog sfernog ogledala posmatramo granicu $f\to \infty$. Iz jednačine ogledala tada vidimo da $q\to p$ i $M_{\ell }\to 1$. Lik je imaginaran i uspravan, iste veličine kao i predmet.

Primetimo na kraju ono isto što smo naglasili i kod sočiva: za obe vrste ogledala, konvergentno i divergentno, i za sve rasporede predmeta, jednačina ogledala može biti reprezentovana jednom jedinom formom, koja se poklapa sa jednačinom sočiva. Takođe, može biti korišćen jedan oblik izraza za uvećanje. Uslov je da se usvoji konvencija koja propisuje da je za divergentno ogledalo $f<0$, za imaginaran lik $q<0$ i da je $M_{\ell }<0$ ako dolazi do invertovanja lika.

Složena sočiva

Razmotrimo prvo optičke osobine kombinacije od dva tanka sočiva. Na Sl. 25 vidimo dva konvergentna sočiva u dodiru. Žižne daljine su, redom, $f_{1}$ i $f_{2}$. Laserski zrak upada na prvo sočivo na visini $h$ od optičke ose. Kad ne bi bilo drugog sočiva, ugao deklinacije bi bio $\eta _{1}$, zrak bi se prostirao pravcem (1). Ali, drugo sočivo savija zrak još za ugao $\eta _{2}$ tako da je stvarna putanja prelomljenog laserskog zraka pravcem (2). Presek sa optičkom osom je u tački $F_{\text{e}}$ (ekvivalentna

Sl. 25 Složeno sočivo

žiža složenog sočiva). Rastojanje te tačke od centra sočiva je $f_{\text{e}}\simeq h\,\eta$, ekvivalentna žižna daljina. Kako je $\eta \simeq \eta _{1}+\eta _{2}$ i $\eta _{1}\simeq h/f_{1}$ a $\eta _{2}\simeq h/f_{2}$, dolazimo do relacije

$$\frac{1}{f_{\text{e}}}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}. \tag{33}$$

Ona nam omogućava da izračunamo žižnu daljinu ekvivalentnog sočiva $f_{\text{e}}$ ako znamo osobine dva tanka sočiva. Iz samog načina izvođenja formule jasno je da ona važi za dodir bilo koja dva tanka sočiva, ako vodimo računa da su $f_{1}$ i $f_{2}$ algebarske veličine. Na primer, za sistem koji se sastoji od konvergentnog i divergentnog sočiva važi $1/f_{\text{e}}=1/f_{1}-1/\left|f_{2}\right|\,$. Posebno, ova relacija može da posluži za eksperimentalno određivanje žižne daljine divergentnog sočiva, koju inače nije prosto odrediti nekakvim direktnim postupkom. Tu pogodnost koristi, na primer, Beselov metod merenja žižne daljine.

Centri dva sočiva mogu biti razmaknuti za neku dužinu $\ell$. Lako je pokazati da u tom slučaju formuli (1.33) treba sa desne strane dodati član $-\ell /\left(f_{1}\,f_{2}\right)$.

Sl. 26 Plankonveksno sočivo naslonjeno na ravno ogledalo

Posmatrajmo sada optički sistem koji se sastoji od konvergentnog sočiva žižne daljine $f$ i ravnog ogledala koje idealno reflektuje svetlost; sočivo se naslanja na ogledalo. Zamislimo da se na rastojanju $p$ od centra sočiva (približno, od ogledala) nalazi predmet koji ćemo i ovde reprezentovati vektorom $\int_{\text{p}}$. (Na Sl. 26 nacrtani su zraci koji daju lik $\text{A'}$ realne tačke $\text{A}$ na optičkoj osi.) Sočivo bi dalo lik na rastojanju

$$q=\frac{f\,p}{p-f}. \tag{34}$$

Sada možemo smatrati da je taj lik, zahvaljujući ogledalu, predmet za povratne zrake i to na rastojanju $p_{1}=-q$ (v. odeljak o ravnom ogledalu). Treba još jednom primeniti jednačinu konvergentnog sočiva imajući to u vidu. Položaj lika $q_{1}$ za kombinovani optički sistem sočivo/ogledalo je onda

$$q_{1}=\frac{f\,p}{2p-f}. \tag{35}$$

Pokušajte da izvedete ovu formulu pomoću ideje o liku sabirnog sočiva u ravnom ogledalu! (Problem se svodi na nalaženje ekvivalentne žižne daljine dva sočiva sa Sl. 1.33, to jest na primenu formule 33.)

Naglasimo osnovne zaključke. Kada je $p=f$ (predmet u žiži), tada je takođe i lik u žiži, jer se dobija $q_{1}=p=f$. Realni obrnuti lik sučeliće se sa predmetom u žiži. Pošto je to konfiguracija koju je u opitu lako uočiti, opisana procedura je dobar metod za određivanje žižne daljine konvergentnog sočiva.

Ako približavamo predmet, videćemo da se lik udaljava. U skladu sa jednačinom (35) kada $p\to f/2$ tada $q_{1}\to \infty$. Čitaocu preporučujemo da proveri da je za $p<f/2$ lik uspravan i imaginaran što se u opitu bez teškoća vidi.

Šema sa Sl. 26 pogodna je i za razne primene formule (33). Opišimo jednu mogućnost. Nekoliko kapi vode stavimo između ogledala i sočiva. U stvari tako formiramo složeno sočivo (konvergentni stakleni deo i divergentni vodeni deo) naslonjeno na ravno ogledalo. Opisana procedura nalaženja žižne daljine pogodna je i u ovom slučaju za određivanje ekvivalentne žižne dužine $f_{\text{e}}$. Žižna daljina vodenog sočiva može se izračunati pomoću formule tankog sočiva imajući u vidu da je jedna granična površina ravna ($R_{1}=\infty$), a druga sa negativnim poluprečnikom ($R_{2}<0$). Na taj način nalazimo

$$\frac{1}{f_{\text{v}}}=-\left(n_{\text{v}}-1\right)\,\frac{1}{R}. \tag{36}$$

Ovde smo sa $R$ označili apsolutnu vrednost poluprečnika krivine dodirne površine voda/staklo. Ako pretpostavimo da je i druga krivina sočiva jednaka $R$, jednačina za sočivo se svodi na oblik

$$\frac{1}{f}=(n-1)\,\frac{2}{R}. \tag{37}$$

Ovim postupkom moguće je, na primer, izmeriti indeks prelamanja stakla $n$. Čitalac može lako da proveri rezultat

$$n=\frac{R}{2f_{e}}+1,165. \tag{38}$$ $$n_{\text{v}}=1,33. \tag{akoseimauvidudajeindeksprelamanjazavoduusrednjem}$$

Sferna aberacija

Izučavajući formiranje lika malog predmeta pomoću tankog sočiva naglašavali smo da su postupci približni. Zahtevali smo da snopovi budu paraksijalni. Koristili smo monohromatsko lasersko zračenje, pa nismo morali da vodimo računa o disperziji. U praksi, kada nije zadovoljen uslov paraksijalnosti, javljaju se razni nedostaci (aberacije) likova.

Jedna od važnijih aberacija je sferna aberacija. Kada je upadna svetlost polihromatska, u principu se javlja hromatska aberacija, budući da indeks prelamanja materijala sočiva zavisi od talasne dužine svetlosti. Pogledajmo fizički uzrok nastanka sferne aberacije.

Sl. 27 Kako dolazi do sferne aberacije

Debelo konveks-planarno sočivo ne daje definisanu žižu

Videli smo da je tanko sočivo u stanju da paraksijalni snop koji polazi iz neke tačke na optičkoj osi ponovo skupi u neku drugu tačku ose sa suprotne strane. Ali, zraci koje neko sabirno sočivo prelama svojim periferijskim delovima (zraci 2 na Sl. 27) neće se seći u tački $Q_{1}$, gde se inače stiču zraci 1, već u neku bližu tačku $Q_{2}$. Udaljeniji zraci jače se prelamaju sfernom površinom konvergentnog sočiva. Ovo je svakako moguće proveriti i elementarnom primenom zakona prelamanja. Pod tim okolnostima, više se ne može govoriti o jasno definisanoj žiži. Ako ekran $E$, normalan na optičku osu, prolazi kroz tačku $Q_{1}$, videćemo na njemu ne svetlu tačku, već manju ili veću mrlju kao lik tačkastog izvora u $L$. Takva greška, koju izaziva prelamanje na sfernim površinama zove se sferna aberacija.

Ovde nećemo ulaziti u detalje matematičke analize za ovu vrstu grešaka u formiranju likova.

Sferna aberacija se ne da izbeći ni u prostom slučaju tačkastog izvora monohromatske svetlosti na optičkoj osi kada inače sve ostale vrste grešaka iščezavaju. Principijelno je važno razmotriti mogućnosti projektovanja nesfernih, anaberacionih sočiva. Jedan konkretan primer navodimo u sledećem odeljku.

Anaberaciona sočiva

Fokusirajuće dejstvo konvergentnog tankog sočiva može da se razume i na bazi Fermaovog principa. Zraci koji polaze iz neke svetle tačke na optičkoj osi pa se posle prelamanja skupljaju u spegnutu tačku s druge strane sočiva, očito prelaze različite geometrijske puteve. Najkraći geometrijski put ima zrak koji se prostire duž optičke ose. Međutim, on ima i najduži put kroz optički gušću sredinu sočiva. S druge strane, zraci koji se prelamaju na periferiji sočiva prelaze duži put u vazduhu, ali kraći kroz staklo. Na osnovu toga se naslućuje da su, u stvari, optičke dužine puta iste za sve zrake. Taj se rezultat može i strogo dokazati, što ćemo ovde izostaviti. Prema tome, sočivo funkcioniše u saglasnosti s Fermaovim principom pokazujući stacionarnost optičkih puteva. Drugim rečima, jednaka su vremena putovanja svih zraka. Za takav slučaj se kaže da su zraci tautohroni.

Sferna aberacija i nastaje zbog toga što bi periferijski zraci trebalo da putuju duže do pretpostavljene presečne tačke nego paraksijalni zraci. To je suprotno zahtevu tautohronosti te do fokusiranja i ne dolazi na idealan način. Prosto, sferne površine sočiva ne mogu zadovoljiti taj uslov. Postavlja se onda pitanje koji tip površine mora da ograničava sočivo da bi, u okvirima geometrijske optike, ono dobilo idealno fokusirajuće svojstvo, i to bez ograničenja uslovom paraksijalnosti.

Sl. 28 Ideja anaberacionog sočiva

Rešićemo tako formulisan zadatak za sočivo sa Sl. 28. Potražićemo oblik krive $y=f(x)$ (presek tražene površine sa ravni crteža) koja će obezbediti da se paralelni snop svetlosti (koji dolazi iz tačke na optičkoj osi sočiva, a ona se poklapa sa $x$-osom) tako prelomi da svi zraci prođu kroz koordinatni početak, tj. kroz žižu sočiva. Ta će površina egzaktno tako prelamati bez obzira na širinu upadnog snopa. Sočivo takvih karakteristika zvaćemo anaberaciono sočivo (ponegde se koristi i termin asferično sočivo).

Ovde je dovoljno primeniti princip tautohronosti zraka. Svi zraci istovremeno upadaju na ravnu graničnu površinu $S$ i potrebno je da svi odatle stignu do žiže za isto vreme. Drugim rečima, optički put $L(x)$ mora biti konstanta. Za neki proizvoljan zrak, na Sl. 28 označen sa (1), važi $L(x)=n\,\overline{AB}+\overline{BF}$. Za središnji zrak duž optičke ose je $L_{0}=n\,\overline{A_{0}T}+\overline{TF}$. Ovde je $n$ indeks prelamanja sočiva (pretpostavljamo da je ono u vazduhu). Obeležimo $d=\overline{A_{0}T}$ (centralna debljina sočiva) i $f_{\text{T}}=\overline{TF}$ (rastojanje temena sočiva do žiže). Tada se uslov $L(x)=L_{0}$ svodi na

$$\sqrt{x^{2}+y^{2}}+n(d+f_{\text{T}}-x)=nd+f_{\text{T}}. \tag{43}$$

Ovaj se izraz može transformisati na oblik

$$\frac{\int^{2} }{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \tag{44}$$

Značenje skraćenica je sledeće:

$$x_{0}=\frac{nD}{n^{2}-1},\quad D=(n-1)\,f_{\text{T}}, \tag{45a}$$ $$a=\frac{D}{n^{2}-1},\quad b=\frac{D}{\sqrt{n^{2}-1}}. \tag{45b}$$

Kao što se vidi, jednačina (44) opisuje hiperbolu s parametrima definisanim jednačinama (1.45a,b).

U polarnom sistemu $\rho (\phi )$ (Sl. 28), umesto jednačine (44) dobija se jednačina hiperbole u obliku

$$\rho =\frac{(n-1)\,f_{\text{T}}}{-1+n\,\text{cos}\varphi }. \tag{46}$$

Ovaj je izraz u nekim slučajevima jednostavniji za analizu. Po principu reverzibilnosti, važi i obrnuta logika: svetlost monohromatskog izvora lociranog u žiži sočiva sa prvom površinom koja je obrtni hiperboloid i drugom ravnom površinom tako prelama zrake da se dobija paralelni izlazni snop, u smislu zakona geometrijske optike.

Izloženi princip ilustruje kako se može pomoću anaberacionih površina napraviti idealno sočivo za spregnute tačke od kojih je jedna u beskonačnosti. Šira teorija asferičnih površina u optičkim sredinama izlazi iz okvira ove knjige (v. D. V. Sivuhin, Opšti kurs fizike. Optika (na ruskom), “Nauka”, Moskva 1980, s. 56, t. 6).

Kvalitetna asferična sočiva prave se tehnologijom presovanja od raznih plastika, od pireksa i sličnih materijala, uz primenu nekolikih tehnika poliranja. Primenjuju se u uređajima za kondenzovanje svetlosnih flukseva, gde su zahtevi visok intenzitet zračenja i homogenost fluksa u određenoj ravni (npr projektorski sistemi).

Frenelovo sočivo

U nekim optičkim uređajima potrebno je formirati dovoljno široke i homogene svetlosne snopove. Ako pokušamo da to realizujemo jednim asferičnim sočivom, nailazimo na velike teškoće. Sočivo bi trebalo da bude neobično debelo. Zbog toga, već bi i njegova primena u standardnim over-head projektorima bila krajnje nepraktična. Pored toga što bi bio težak i glomazan, uređaj bi bio i skup (neophodni su složeni i dugotrajni tehnološki postupci da se obezbedi optička homogenost stakla). Duhovito rešenje s tim u vezi predložio je Frenel 1822. godine radeći na povećanju efikasnosti svetlosnih izvora za svetionike.

Osnovnu ideju Frenelovog postupka razumećemo posmatrajući skicu na

Sl. 29 Analiza Frenelovog sočiva

Sl. 29. Želimo da svetlost iz tačkastog izvora F transformišemo u širok svetlosni snop $\Phi$. Umesto da se koristi materijal celog hiperboloidnog sočiva $h_{1}$, uzima se u obzir jedino prstenasti njegov deo. Za taj element važi jednačina (46), a parametar $f_{\text{T}}$ je rastojanje tačaka F i $T_{1}$. Ostatak asferičnog

Sl. 30 Parametri Frenelovog sočiva

sočiva ne postoji. Odmah do ovog prstenastog segmenta stavlja se drugi slični. On je, analogno, deo njemu pripadajućeg hiperboloida $h_{2}$. Nastavljajući taj postupak dobijamo naznačenu „nazubljenu” površinu. Možemo izabrati parametre svakog od koncentričnih segmenata tako da to složeno sočivo daje paralelne zrake duž jedinstvene optičke ose ($OO_{1}$) ako je u zajedničkoj žiži F tačkasti izvor. Takav zaključak

Božidar Aničin (1930 — 2008) profesor Beogradskog univerziteta

sledi iz analize koju smo razmotrili kod asferičnog sočiva. Sa velikim brojem prstenova (malim korakom obrade materijala) dobija se praktično površinsko sočivo. Segmenti se lepe za podlogu (supstrat) te se dobija optički element koji je danas u praksi poznat kao Frenelovo sočivo (Sl. 30). Žižna daljina $f_{\text{F}}$ , prečnik supstrata $P_{\text{s}}$, prečnik aktivnog dela $P_{\text{a}}$ i debljina sočiva $\delta$ su parametri Frenelovih sočiva koje specificira proizvođač.

Sredinom prve polovine prošlog veka Frenelova inovacija revolucionisala je svetioničke sisteme u pomorskim lukama. Bitno je povećan sjaj, a smanjena glomaznost uređaja. O toj zanimljivoj epizodi iz istorije optike može se pročitati u članku: B. A. Aničin, V. M. Babović, D. M. Davidović, Fresnel’s lenses, Am. J. Phys., 57(4), 1989, p. 312. (Ovaj tekst je ušao u izbor memorable članaka, kao rezultat internacionalnog glasanja čitalaca časopisa American Journal of Physics, za period od osnivanja časopisa 1930. pa do 1990; videti referencu: Am. J. Phys. 59 (3), 201-207, March 1991)

Moderne tehnologije presovanja plastičnih materijala — sa finim korakom od nekoliko stotih delova milimetra — obezbeđuju kvalitetna, jeftina i raznorodna Frenelova sočiva. Glavno im je preimućstvo da mogu sa relativno kratkom žižnom daljinom dati dosta jak, usmeren svetlosni snop, a da je pri tome masa sočiva praktično zanemarljiva. Savremene varijante ovih sočiva od transparentne plastike, kao što je perspex, koriste se u reflektorima, projektorima, kamerama i sl. Prave se i cilindrična sočiva za farove posebne namene, u brodogradnji i dr.