Dinamika čvrstog tela

Energija rotacije

Zamislimo proizvoljno telo koje može slobodno da rotira oko date ose, koja je fiksna u prostoru a prolazi kroz težište tela. Pretpostavljamo da se telo ne može deformisati, pa ga zovemo čvrsto telo.

Telo možemo shvatiti kao da je sastavljeno od elementarnih rotatora; svaki takav rotator ima svoju masu $dm_{\text{i}}$, normalno rastojanje do ose rotacije $r_{\text{i}}$ i periferijsku brzinu $v_{\text{i}}$. Ali, ugaona brzina je ista za sve deliće, koji u toku vremena ne menjaju međusobni položaj: $v_{\text{i}}=\omega r_{\text{i}}$. Energija rotacije je zbir energija pojedinih rotatora, i to daje

$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}\int v_{\text{i}}^{2}dm_{\text{i}}=\frac{\omega ^{2}}{2}\int r_{\text{i}}^{2}dm_{\text{i}}$ $E_{\text{k}}=\frac{1}{2}I\omega ^{2}$. (1)

odnosno

$$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}I\omega ^{2}. \tag{2}$$

Ovde je sa $I=\int r_{\text{i}}^{2}dm_{\text{i}}$ označen moment inercije čvrstog tela. Formalno, obrazac za energiju rotacije liči na obrazac za kinetičku energiju translacije $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$; umesto inercije neophodan je moment inercije, umesto linearne brzine stoji ugaona brzina.

Moment inercije nekih tela

Ukupni moment inercije nekog čvrstog tela može se dobiti ako se izračuna

$$I=\int r_{\text{i}}^{2}dm_{\text{i}} \tag{3}$$

za njegov raspored masa. U prostijim slučajevima postupak se svodi na tablični integral sa poznatim rezultatom. Tako, homogena kugla mase $m$ i poluprečnika $R$ koja rotira oko ose kroz centar ima moment inercije

$$I_{\text{C}}=\frac{2}{5}mR^{2}. \tag{4}$$

Disk iste mase i istog poluprečnika baze ima moment inercije

$$I_{\text{C}}=\frac{1}{2}mR^{2}. \tag{5}$$

Štap iste mase i dužine $\ell$ ima moment inercije

$$I_{\text{C}}=\frac{1}{12}m\ell ^{2}. \tag{6}$$

Za praksu i rešavanje zadataka koristan je Štajnerov obrazac koji glasi

$$I_{\text{d}}=I_{\text{C}}+md^{2}. \tag{7}$$

Moment inercije za fiksnu osu koja je paralelna osi kroz težište i na rastojanju $d$ od nje veći je za iznos $md^{2}$.

Moment sile

Neka na telo deluje sila $\vec{F}_{1}$. Razložimo je na dve komponente, kao na Sl. 1. Dakle, $\vec{F}_{1}=\vec{F}_{\parallel }+\vec{F}$. Osi rotacije paralelna komponenta ne izaziva rotaciju. Rotaciju izaziva samo komponenta $F_{2}=F\sin \beta$; ona leži u ravni poprečnog preseka $S$.

Sl. 1 Moment sile izaziva rotaciju oko fiksne ose

Efektivno, rotaciju izaziva veličina $M=F_{2}R$. Nju zovemo moment sile. Vektorski se može zapisati:

$$\vec{M}=\vec{R}\times \vec{F}. \tag{8}$$

Rotaciju izaziva efektivna komponenta sile, $F_{2}$. Kada se telo okrene za mali luk $ds=Rd\varphi =R\omega dt$, sila je izvršila rad $F_{2}ds$ ili

$$dA=RF_{2}\omega dt. \tag{9}$$

Na račun toga rada porasla je energija rotacije za veličinu $I\omega d\omega$, pa je takođe

$$dA=I\omega d\omega. \tag{10}$$

Iz dve zadnje relacije sledi da je $Id\omega =RF_{2}dt$ pa je

$$I\alpha =RF_{2}. \tag{11}$$

Jer je ugaono ubrzanje $\alpha =d\omega /dt$.

Tako se ovim nesložnim računom opravdava da važi i vektorska relacija

$$\vec{M}=I\vec{\alpha}. \tag{12}$$

Vidi se analogija ovog izraza sa II zakonom za translaciju.

Moment impulsa

Uvedimo važnu veličinu $\vec{L}$ posredstvom sledeće definicije

$$\vec{L}=\int \vec{r}_{\text{i}}\times d\vec{p}_{\text{i}}. \tag{13}$$

Ovde je $d\vec{p}_{\text{i}}$ impuls delića čiji je radijus vektor $\vec{r}_{\text{i}}$. Kako je $d\vec{p}_{i}=dm_{i}\vec{r}_{i}\times \vec{\omega}$ i k tome $r_{\text{i}}\times d\vec{p}_{\text{i}}=dm_{\text{i}}r_{\text{i}}^{2}\vec{\omega}$, sledi da je

$$\vec{L}=I\vec{\omega}. \tag{14}$$

Fizička veličina $\vec{L}$ se naziva moment impulsa. Meri se izvedenom jedinicom SI $\text{kg}\cdot \text{m}^{2}/\text{s}$ (kilogram metar na kvadrat kroz sekund).

Zakon dinamike rotacije

Vidimo iz (12) i (14) da se može pisati:

$$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}. \tag{15}$$

Dakle: ono što može u nekom intervalu vremena da promeni moment impulsa jeste moment spoljašnjih sila (a kod translacije je sila menjala impuls).

Ima jedna efektna šema za gradnju pedagoške aparature koja ilustruje ove odnose kod rotacije:

Sl. 2 Pedagoški opit sa rotacijom čvrstog tela

Na vratilu je montiran zamajac sa četiri tega na periferiji. Konac koji je namotan na vratilo prebačen je preko kotura i zategnut masom $m$. Tako, sila zatezanja konca je $F=mg$. Moment sile koja vrti zamajac iznosi $M=mgR$, gde je $R$ poluprečnik vratila. U opitima se može ustanovljavati da stalni moment sile izaziva jednako ubrzano rotiranje, ali da ugaono ubrzanje zavisi od masa tegova i mesta njihovih fiksiranja (od momenta inercije rotirajućeg sistema). Vratilo može imati stepeničast profil, sa nekoliko poluprečnika — time se za isti moment inercije mogu primenjivati razni momenti sila (za istu masu tega).

Student koji bi bio inspirisan da uradi za diplomski rad ovakvo učilo obogatio bi laboratoriju univerziteta, pored toga što bi imao lično konstruktorsko i stručno zadovoljstvo u toj aktivnosti.

Zakon održanja momenta impulsa

Ako nema momenta spoljašnjih sila, gornji zakon (15) tvrdi

$$\vec{L}=\text{const}, \tag{16}$$

baš kao što smo to naglasili i proučavajući rotator.

U zatvorenom, izolovanom sistemu održava se ukupan moment impulsa.

Ovaj zakon je fundamentalni zakon prirode. Ne postoje pojave u prirodi koje se odvijaju mimo regula koje nameće ovaj zakon.

Karakteristični primeri zakona održanja momenta impulsa

Moment impulsa je vektorska veličina; u izolovanom sistemu on je konstantan po pravcu, smeru i intenzitetu. Zakon održanja momenta impulsa ima česte i važne primene u nauci i tehnici. Navedimo nekoliko karakterističnih primera.

1. Stabilnost metka. Metak ispaljen iz vatrenog oružja prolazi kroz cev sa spiralnim žljebom i dobija rotaciju oko uzdužne ose. Svojim daljim slobodnim kretanjem metak opisuje balističku putanju zahvaljujući svom momentu impulsa koji je usmeren duž ose rotacije. Stabilnost metka posledica je zakona održanja momenta impulsa metka.

2. Žiroskop. Masivna tela, koja rotiraju velikom brzinom koriste se u tehnici kao žiroskopi. Žiroskop zadržava izabranu osu rotacije ako je moment spoljašnjih sila jednak nuli, što se obezbeđuje, na primer, kardanskim sklopom sa Sl. 3. Žiroskopi ukazuju na jedan nepromenljiv pravac u prostoru, te mogu služiti kao kompasi. Isto, primenjuju se na brodovima, radi povećanja stabilnosti plovila.

Sl. 3 Jedna dobra naučno popularna knjiga o zakonima

održanja u fizici. Šema žiroskopa na naslovnoj strani

3. Prandlova stolica. Ovaj klasičan opit efektno ilustruje zakon održanja momenta impulsa. Čovek sa tegovima u raširenim rukama stoji na stolici:

Sl. 4 Prandlova stolica: početna pozicija

Na početku, čovek se obrće zajedno sa stolicom nekom konstantnom ugaonom brzinom ω. Trenje je zanemarljivo. Jednog momenta, čovek skupi ruke uz telo, i dalje držeći tegove. Tako on smanjuje svoj moment inercije I u odnosu na osu rotacije:

Sl. 5 Prandlova stolica: završna pozicija

Rezultat toga je povećanje ugaone brzina: proizvod $I\omega$ ne sme da se promeni u ovom izolovanom sistemu. Ponovnim širenjem ruku povećava se moment inercije a smanjuje se ugaona brzina.

Čovek na stolici može da izvede još jedan opit s točkom, kao na Sl. 6:

Sl. 6 Jedna rotacija izaziva drugu

Na početku čovek miruje držeći osovinu točka vertikalno; moment impulsa jednak je nuli. Potom počne da obrće točak na jednu stranu; ali, čovek će početi da se vrti sa stolicom na suprotnu stranu, pošto ukupni moment impulsa fizičkog sistema stolica-čovek-točak mora održavati početnu, nultu vrednost.

Sličan opit: Stavi se da visi mali elektromotor s osom rotora po vertikali, pa tek onda uključi. Ako uzmemo rukom stator, rotor se vrti. Ako držimo osovinu rotora, vrti se stator na drugu stranu. Ako ne diramo motor rukom, rotor i stator se vrte na suprotne strane. Ako se rotor i stator međusobno fiksiraju, nema rotacije. Unutrašnji momenti sila vrše promene unutar sistema, ali ne mogu da utiču na rotaciju sistema kao celine.

Sl. 7 Dve čigre u pogonu (foto VB)

Atvudova mašina

Preko kotura mase $M$, poluprečnika $R$, prebačen je lak neistegljiv konac. S jedne strane konca visi teg mase $m$, s druge strane isti takav teg i na njemu mali preteg $\Delta m$. Kotur može slobodno da rotira oko horizontalne ose koja prolazi kroz njegov centar. Analizirajmo kretanje ovog sistema, Sl. 8.

Sl. 8 Atvudova mašina za analizu mehaničkih kretanja

Jednačina kretanja prve mase glasi ($T_{1}$ je sila zatezanja konca na kojem visi masa $m$)

$$T_{1}-mg=ma. \tag{17}$$

Jednačina kretanja druge mase glasi ($T_{2}$ je sila zatezanja konca na kojem visi masa $m$ s pretegom $\Delta m$)

$$\left(m+\Delta m\right)g-T_{2}=\left(m+\Delta m\right)a. \tag{18}$$

Na kraju ispišimo i rotacionu relaciju:

$$\left(T_{2}-T_{1}\right)R=I\alpha. \tag{19}$$

Ovde je $I$ moment inercije točka, a $\alpha$ ugaono ubrzanje. Znamo da je

$$I=\frac{1}{2}MR^{2}. \tag{20}$$ $$a=R\alpha. \tag{21}$$

Posle nešto dužeg ali lakog računa dolazi se do glavne formule za određivanje ubrzanja u obliku

$$a=g\frac{\Delta m}{2m+\Delta m+M/2}. \tag{22}$$

Odmah primećujemo vrlinu ovog uređaja. Preteg se kreće relativno malim ubrzanjem, svakako znatno manjim od ubrzanja slobodnog padanja, samo ako se izabere da je $m\gg \Delta m$ i uzme laki kotur (zanemarljivog momenta inercije). Zaista, tada je

$$\frac{a}{g}\approx \frac{\Delta m}{2m}\ll 1. \tag{23}$$

Na primer, ako je masi od jednog kilograma dodat preteg 20 grama — sistem će se kretati s ubrzanjem sto puta manjim od ubrzanja slobodnog padanja. To je udobna situacija za eksperimentatora.

Bure niz strminu

Rešimo ovakav zadatak. Pravi valjak poluprečnika osnove $r$ i mase $m$ kotrlja se niz strmu ravan ugla $\beta$. Za koje će vreme stići u podnožje, posle pređenog puta $s$?

Sl. 9 Kotrljanje niz strmu ravan

Usmerimo x-osu niz strmu ravan, od vrha ka dnu. Tada je u tom pravcu ubrzanje određeno po Njutnovom zakonu

$$ma=F_{\parallel }-F_{\text{tr}}. \tag{24}$$

Ovde je $a$ translatorno ubrzanje centra inercije. Valjak, dok se kreće, rotira zbog delovanja momenta sile koji daje sila trenje, pa je osnovna relacija za rotaciju

$$rF_{\text{tr}}=I\alpha. \tag{25}$$

Moment inercije valjka iznosi

$$I=\frac{1}{2}mr^{2}. \tag{26}$$

Ugaono ubrzanje povezano je sa translacionim ubrzanjem formulom

$$a=r\alpha. \tag{27}$$

Gornje su jednačine potrebne i dovoljne da se stigne do rezultata

$$a=\frac{2}{3}g\sin \beta, \tag{28}$$

pošto sa slike vidimo da je $F_{\parallel }=mg\sin \beta$. Telo se kreće jednoliko ubrzano i za vreme $\Delta t$ prelazi put $\Delta s$ startujući bez početne brzine, pri čemu je

$$\Delta t=\sqrt{\frac{2\Delta s}{a}}=\sqrt{3\frac{\Delta s}{g\sin \beta }}. \tag{29}$$

Vreme kotrljanja ne zavisi od mase i debljine cilindra. Ne zavisi ni od sile trenja, ali ono ne sme da bude nula.

Komentar o zakonima održanja

Zakoni održanja energije, impulsa i momenta impulsa su najopštiji zakoni prirode. Strogo su ispunjeni u fizici makro tela, u fizici mikro tela, u fizici malih brzina kao i u relativističkoj fizici. Zbog čega je to tako?

Sve pojave u prirodi teku na isti način u raznim momentima vremena, samo ako su isti uslovi događanja. U tom pogledu se kaže da je vreme homogeno. Majkelson-Morlijev opit dao bi isti rezultat danas kao i onda, godine 1887.

Sve pojave u prirodi teku na isti način na svim mestima, samo ako su iste okolnosti koje uslovljavaju rezultat opita. Fizoov opit merenja brzine svetlosti mogao je sa istim efektom da se organizuje u Novom Pazaru, kao i u Parizu. Kažemo u tom smislu da je prostor homogen.

Rezultate opita priznajemo bez obzira gde su i kada izvedeni.

Takođe, prostor je izotropan. To znači da ni jedan pravac u prostoru nije poseban, privilegovan. Jungov interferencioni opit može se izvesti šaljući svetlosni snop pravcem jug-sever, na isti način kao i kad bi se snop prostirao pravcem istok-zapad.

Istina, jaka fizička polja mogu da poremete osobine homogenosti i izotropnosti prostora. Van takvih perturbacionih oblasti prostor sigurno ima rečena svojstva. Ustanovljeno je u savremenoj fizici da su ove osobine prostor-vremena povezane sa zakonima održanja, i to na sledeći način:

1) Homogenost vremena uslovljava zakon održanja energije. Tako protiču fizičke pojave u izolovanom fizičkom sistemu u kojem deluju jedino potencijalne sile.

2) Homogenost prostora uslovljava zakon održanja impulsa. Taj zakon važi samo u izolovanom fizičkom sistemu. Jaka fizička polja narušavaju taj uslov.

3) Izotropnost prostora uslovljava zakon održanja momenta impulsa. Opet, zahteva se da fizički sistem bude izolovan.