Elementi akustike

Zvuk kao talas

Zvuk je mehanički talas koji možemo čuti.

Akustika je nauka o generisanju zvuka, prostiranju zvučnih talasa i detekciji zvuka. Pa, ima li uopšte zvuk talasnu prirodu?

Prvo se može pokazati da je za prostiranje zvuka neophodna sredina. Postavimo zvono u sud koji je spojen sa vakuum-pumpom. Na početku jasno čujemo zvono; onda uključimo pumpu. Pritisak u sudu se smanjuje. Na kraju dobijemo visok vakuum i kao rezultat više ne čujemo zvono — nema medijuma koji prenosi zvučne talase!

O talasnim osobinama zvuka lepo govori ovakav opit. Postave se dva zvučnika koja se napajaju iz istog zvučnog generatora, na rastojanje od nekoliko

Sl. 1 Interferencija zvučnih talasa

metara. Slušalac sa slike pomera se levo i desno po nekoliko desetina centimetara i oseća efekte interferencije zvučnih talasa.

U cilindričnoj staklenoj cevi mogu se izazvati stojeći zvučni talasi u vazduhu. Trbusi i čvorovi mogu se vizualizovati pomoću odgovarajućeg praha u cevi; čestice praha bivaju zahvaćene zvučnim talasom i učestvuju u oscilacijama sredine. Ovaj metod je pogodan i za samo merenje talasne dužine zvučnih talasa. Promenom učestanosti izvora traže se stanja rezonancije i prepoznaju sopstvene učestanosti. Pri učestanostima oko $f=1000$ herca, koje ljudsko uho odlično čuje, merimo talasnu dužinu od oko 25 centimetara.

Osnovne opite u vezi sa talasanjem zvuka i sa rezonansnim pojavama moguće je izvesti pomoću zvučne viljuške. Zvučna viljuška daje skoro čistu harmonijsku oscilaciju. Kao oscilatorni sistem, ona ima visoki faktor dobrote (mali koeficijent slabljenja). Pod prstima se oseća treperenje viljuške kao izvora zvuka. Drugom viljuškom može se detektovati zvuk prve viljuške i uspostaviti rezonantni režim predaje energije i sl.

Brzina zvuka u vazduhu

Zvuk u nekom gasu, vazduhu na primer, uvek je longitudinalni talas. Brzina zvuka u gasu je data izrazom

$$v=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho }}. \tag{1}$$

Ovde je $p$ pritisak u gasu, a $\rho$ gustina gasa. Veličina $\gamma$ predstavlja količnik specifičnih toplota pri stalnom pritisku i stalnoj zapremini. Navedimo podatak da je za dvoatomske molekule (pa i za vazduh) $\gamma =1,41$. Imajući u vidu jednačinu stanja idealnog gasa

$$pV=\frac{m}{M}RT. \tag{2}$$

možemo brzinu talasa u gasovitim sredinama napisati i u obliku:

$$v=\sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}. \tag{3}$$

Podsetimo se da je ovde M molarna masa gasa, R univerzalna gasna konstanta (u SI sistemu jedinica, $R=8314$ džula po kilomolu i kelvinu) i T apsolutna temperature gasa.

Molarna masa vazduha je $M\approx 29$ kilograma po kilomolu. Zato je na temperaturi $T_{0}=273$ kelvina $v_{0}=331$ metara za sekund. Pri drugoj temperaturi $T$ brzina zvuka će biti

$$v=v_{0}\sqrt{\frac{T}{T_{0}}}. \tag{4}$$

Za mraznih zimskih noći može biti u našim krajevima $T_{\text{h}}=253$ kelvina; tada je $v_{\text{h}}\approx 320$ metara za sekund. Za vrelih letnjih podneva može biti $T_{\text{v}}=313$ kelvina; tada je $v_{\text{v}}\approx 354$ metra za sekund. U velikom delu godine brzina zvuka je blizu 340 metara za sekund.

Tonovi i šumovi

Zvuk u užem smislu je oblik mehaničkog talasa koji opažamo čulom sluha. Čovek opaža zvučne talase u intervalu frekvencija $20\text{Hz}<f<20\text{kHz}$. U vakuumu se zvuk ne prostire; za prostiranje zvučnih talasa potrebna je mehanička elastična sredina, u ovom razmatranju je to vazduh.

U svakodnevnom životu čujemo raznovrsne zvukove. Oni se obično razvrstavaju na tonove i šumove.

Muzički tonovi se mogu predstaviti zbirom harmonijskih oscilacija čije su frekvencije celobrojni umnošci osnovne frekvencije. Zvuk najniže frekvencije se zove osnovni ili prvi harmonijski ton, a ostali tonovi se zovu viši harmonijski tonovi. Muzički tonovi imaju linijski spektar.

Sl. 2 Spektar zvučne viljuške

Na Sl. 2 je prikazan spektar prostog (monohromatskog) zvuka — na primer zvučne viljuške. Na Sl. 3 vidimo spektar složenijeg zvuka, kakvi su muzički tonovi. Muzičke tonove proizvode muzički instrumenti ili ljudski govorni organi (pevanje).

Sl. 3 Spektar muzičkih tonova

Šum je rezultat složenog neperiodičnog oscilovanja i po amplitudama i po frekvencijama. Takvo oscilovanje se ne može razložiti na prosta oscilovanja. Tu ubrajamo grebanje, brujanje, škripanje itd. Šumove prozvode napr. oštećeni muzički instrumenti, oštećene gramofonske ploče itd. Šumovi imaju kontinualan spektar.

Objektivna jačina zvuka

Osnovne karakteristike zvuka su jačina, visina i boja zvuka. Navedene karakteristike zvučnih talasa su povezane sa frekvencijom i intenzitetom talasa i harmonijskim spektrom.

Osnovna karakteristika zvuka je njegova jačina. Definisaćemo objektivnu i, kasnije, subjektivnu jačinu zvuka.

Objektivna jačina zvuka se određuje energijom zvučnog talasa koja se u jedinici vremena prenese česticama kroz jediničnu površinu, normalnu na pravac prostiranja talasa; to je dakle fluks energije:

$$I=\frac{E}{S\Delta t}. \tag{5}$$

U lekciji o mehaničkim talasima već smo imali formulu

$$I=\frac{1}{2}\rho v\omega ^{2}A^{2}. \tag{6}$$

za intenzitet talasa. Ovaj se izraz može transformisati na oblik

$$I=\frac{p_{0}^{2}}{2\rho \,v}. \tag{7}$$

gde je $p_{0}$ amplituda pritiska, $\rho$ gustina gasa, a $v$ brzina zvuka.

Zanimljive procene

Za vazduh, proizvod $\rho \,v$, koji se zove specifična akustička otpornost sredine, iznosi oko $408\;\text{Pa}\times \text{s}/\text{m}$ (paskal puta sekund kroz metar). Zvuk umerene jačine ima intenzitet $10^{-5}\;\text{W}/\text{m}^{2}$, tako da je zvučni nadpritisak $p_{0}$ tek deseti deo paskala. (Srednji atmosferski pritisak je oko sto hiljada paskala!) Ako je učestanost zvuka 1000 herca, kružna je učestanost 6280 u SI jedinicama. To znači da je amplituda oscilovanja slojeva vazduha oko 350 angstrema. (Angstrem je desetohiljaditi deo mikrometra.)

Rasponi veličina

Prag čujnosti, minimalni intenzitet koji registruje ljudsko uho, iznosi:

$$I_{0}=10^{-12}\frac{\text{W}}{\text{m}^{2}}. \tag{8}$$

Kada se povećava intenzitet zvuka, povećava se i amplituda pritiska, odnosno sila kojom zvuk deluje na bubnu opnu uha. Kada jačina zvuka dostigne vrednost:

$$I=10\frac{\text{W}}{\text{m}^{2}}. \tag{9}$$

čovek počinje da oseća bol. Ta vrednost jačine zvuka naziva se granica bola. Potpuniji podaci mogu se videti na Sl. 4.

Sl. 4 Rasponi čovekovog sluha

Između krive koja je prag čujnosti i krive koja je prag bola postoji prostrana oblast manje ili više efikasne čujnosti. Frapantan je dijapazon jačine koja je dostupna uhu — jačina može da se menja hiljadama milijardi puta! U običnoj komunikaciji najčešće koristimo znatnu užu oblast jačina (šrafirana površina).

Uhom možemo samo oceniti jačinu zvuka, dok precizno možemo odrediti jačinu zvuka samo pomoću instrumenata.

Jedinica za jačinu zvuka je SI je vat po kvadratnom metru, $\text{W}/\text{m}^{2}$.

Subjektivna jačina zvuka

Subjektivna jačina zvuka ($L$) se izražava u dB (decibelima), a veza između subjektivne i objektivne jačine zvuka je data relacijom:

$$L=10\text{log}\frac{I}{I_{0}}. \tag{10}$$

Ovde je I objektivna jačina zvuka, I0 prag čujnosti. Pragu čujnosti odgovara subjektivna jačina od $L_{\min }=0\text{dB}$, dok za granicu bola imamo $L_{\max }=130\text{dB}$.

Navedimo još da visinu tona (zvuka) određuje frekvencija kojom osciluje zvučni izvor. Već smo naveli da postoji prvi harmonik (ili osnovni ton) i viši harmonici. Boja tona je određena brojem viših harmonika, odnosno njihovim intenzitetom i faznim pomerajem u odnosu na osnovni ton.

Osobina je uha da reaguje na visinu tona i amplitudu, ali ne na fazne pomake u složenom zvuku. Na primer, svi slušaoci u velikoj koncertnoj sali primaju melodiju na isti način, premda sede na raznim mestima i uglovima prostorije.

Kad govorimo, izbacujemo struju vazduha kroz dušnik preko glasnih žica koje trepere i proizvode mehaničke oscilacije; u usnoj duplji nastaje rezonansni proces pojačanja zvuka i modifikovanja spektra — iz usta izlazi dovoljno jak zvučni talas karakterističan za svakog čoveka.

Doplerov efekat

Ako se izvor zvuka, ili slušalac, kreće u odnosu na vazduh, menja se primana učestanost zvuka u odnosu na emitovanu učestanost. To je Doplerov efekat.

Vežimo koordinatni sistem za nepokretni vazduh. U nekoj tački x-ose nalazi se nepokretni izvor koji emituje zvuk učestanosti $f_{0}$. Prijemnik se kreće po x-osi brzinom $u_{\text{P}}$. Tada je primana učestanost

$$f_{\text{P}}=f_{0}\left(1+\frac{u_{\text{P}}}{v}\right). \tag{10}$$

Ovde je $v$ brzina zvuka u datom koordinatnom sistemu. Brzina $u_{\text{P}}$ je pozitivna ako se prijemnik približava izvoru, negativna je pri udaljavanju. Približavanje je praćeno porastom učestanosti ($f_{\text{P}}>f_{0}$). Udaljavanje je praćeno smanjenjem učestanosti ($f_{\text{P}}<f_{0}$).

Uzmimo sada da prijemnik miruje, a izvor se kreće brzinom $u_{\text{I}}$. Tada je primana učestanost

$$f_{\text{I}}=\frac{f_{0}}{1-\frac{u_{\text{I}}}{v}}. \tag{11}$$

Brzina $u_{\text{I}}$ je pozitivna ako se izvor približava prijemniku. U slučaju udaljavanja, brzina $u_{\text{I}}$ je negativna. Približavanje je praćeno porastom primane učestanosti, udaljavanje je praćeno smanjenjem primane učestanosti.

U opštem slučaju, kad se kreću i izvor i prijemnik, primana učestanost je data formulom

$$f=f_{0}\frac{1+\frac{u_{\text{P}}}{v}}{1-\frac{u_{\text{I}}}{v}}. \tag{12}$$

Opet, brzine su pozitivne za međusobno približavanje, a negativne za udaljavanje.

Smatrajmo da su brzine kretanja izvora i prijemnika male u odnosu na brzinu zvuka. Tada se u razvoju mogu zanemariti kvadratni i viši članovi. Dobija se

$$f=f_{0}\left(1+\frac{u_{\text{P}}}{v}+\frac{u_{\text{I}}}{v}\right). \tag{13}$$

Sve brzine u ovoj formuli odnose se na koordinatni sistem koji je vezan za nepokretni vazduh.

Jedan primer

Zamislimo da se policijsko vozilo kreće stalnom brzinom $V$ duž pravolinijskog dela autoputa, s uključenom sirenom koja proizvodi zvuk učestanosti $f_{0}$. Kako se menja učestanost primanog zvuka za posmatrača u tački O? Posmatrač je na udaljenosti $d$ od linije kretanja vozila.

Sl. 5 Pored posmatrača prolazi vozilo s uključenom sirenom

Neki trenutni položaj vozila u pokretu označen je tačkom A. Na tom mestu je komponenta njegove brzine, koja je usmerena prema posmatraču

$$u=V\cos \theta. \tag{14}$$

To je podužna brzina koja treba da uđe u Doplerovu formulu (11). Sa slike vidimo da je

$$\cos \theta =\frac{-x/d}{\sqrt{\left(x/d\right)^{2}+1}}. \tag{15}$$

Na kraju imamo formulu

$$\frac{f}{f_{0}}=\left[1+\frac{V}{v}\frac{x/d}{\sqrt{\left(x/d\right)^{2}+1}}\right]^{-1}. \tag{16}$$

Ovu smo zavisnost predstavili na Sl. 6, kada je brzina vozila dvaput manja od brzine zvuka u vazduhu $v$. Kada vozilo nailazi, ali je još daleko, posmatrač čuje ton viši of $f_{0}$ za iznos $\Delta f=f_{0}/2$. Potom se ton naglo smanjuje; u samoj tački mimoilaženja nema Doplerovog pomeraja učestanosti, $f=f_{0}$. Ali tren potom nastavlja se

Sl. 6 Doplerovska promena učestanosti u primeru sa Sl. 5

trend smanjivanja primane učestanosti i učestanost se ustali na nivou $f=f_{0}/2$. Student može da uradi zadatak sa promenjenim ulogama: da se posmatrač kreće, a sirena je u koordinatnom početku. Tada je zanimljivo videti grafik promene učestanosti, i instruktivno je uporediti dva slučaja.

Infrazvuk i ultrazvuk

Zakoni akustike ne prestaju na granicama čujne oblasti (baš kao što zakoni optike uključuju i granične nevidljive ultraljubičaste i infracrvene oblasti )

Mehanički talasi s učestanostima ispod 20 Hz nazivaju se infrazvuk. Izvori infrazvuka su često loše izbalansirani uređaji, motori traktora, testere za rezanje drvene građe, zemljotresi, eksplozije granata iz teških oruđa, talasanje velikih voda itd. Infrazvuk ponekad negativno deluje na ljudski organizam; veći intenziteti infrazvuka i češći boravak pored izvora infrazvuka može izazvati i tzv. vibracionu bolest. Postoje i korisni efekti koje proizvode izvori infrazvuka, npr. masaža tela. Infrazvuk se ponekad koristi u vojnoj tehnici za izviđanje, ako pojedini ciljevi ne mogu da se otkriju vizuelno.

Ultrazvuk je mehanički talas učestanosti preko 20kHz. Danas postoje usavršeni metodi generisanja ultrazvuka sve do talasnih dužina koje su uporedive sa talasnim dužinama vidljive svetlosti. Koriste se elektromehanički pretvarači na bazi obrnutog piezoelektričnog efekta: davaču (specijalna keramička pločica) dovodi se napon projektovane učestanosti i željene veličine; nastaju vibracije koje emituju u okolnu sredinu ultrazvučne talase.

Zbilja, zamislimo da imamo piezoelektričnu pločicu debljine $h$. Na njene stranice priljubili smo elektrode koje dovode napon kojemu možemo podešavati učestanost. Pobuđena elastična pločica, pa prepuštena sama sebi, izvodi sopstvene oscilacije na sopstvenim učestanostima (baš kao što je to bio slučaj sa vibriranjem žica i štapova, u lekciji o talasima). Osnovna oscilacija ima sopstvenu učestanost

$$f_{0}=\frac{v}{2h} \tag{17}$$

(kada je talasna dužina $\lambda _{0}$ jednaka dvostrukoj debljini pločice; jedan polutalas se smešta na debljinu pločice). Ovde je $v$ brzina ultrazvuka u pločici. Intenzivne rezonantne oscilacije pločice možemo izazvati ako podesimo da je učestanost napona jednaka ceo broj sopstvene učestanosti:

$$f=k\frac{v}{2h} \tag{18}$$

Ovde je, dakle, $k$ prirodan broj.

Jedan savremeni tip ultrazvučnog atomizera prikazali smo šematski na Sl. 6. Električno napajanje obezbeđuje snagu za ultrazvučne oscilacije piezoelektričnih diskova. Metalni naglavak pojačava amplitudu oscilovanja, što deluje povoljno na efikasnost atomiziranja sloja tečnosti na spoljašnjoj rezonantnoj površini. Tako se ostvaruje ultrazvučni aerosol, oblak sitnih kapljica u vazduhu — to je jedna od zanimljivih primena ultrazvuka

Ultrazvuk se može generisati i posredstvom magnetostrikcionog efekta. Ultrazvučni talasi imaju obično znatno veći intenzitet od zvučnih talasa (intenzitet je proporcionalan kvadratu učestanosti, jednačina (6), $I\sim f^{2}$).

Ultrazvučni talasi izazivaju niz fizičkih i fizioloških efekata i zbog toga je praktična primena ultrazvuka raznovrsna i perspektivna. Ultrazvuk se koristi u defektoskopiji za otkrivanje i lociranje grešaka u odlivcima. Takođe se koristi za dobijanje finih aerosola, raznih emulzija i praškastih preparata. Može se takođe vršiti obrada materijala ultrazvukom. U tekstiloj idustriji se ultrazvuk primenjuje za doziranje dubine obojenosti tkanine. I nizu važnih slučajeva ultrazvučnom lokacijom se utvrđuju dimenzije i rastojanja (napr. dubina mora).

Sl. 7 Savremeni tip ultrazvučnog atomizera

Posebno je važna i interesantna primena ultrazvuka u medicini. Ultrazvukom je moguće razbijanje zubnog kamenca, kamena u bubrezima, uništavanje virusa i bakterija. Primenom ultrazvuka dijagnosticiraju se tumori, jer različita tkiva na različit način apsorbuju ultrazvučnu energiju. Koristi se takođe i metoda refleksije ultrazvuka od graničnih sredina. Pri prelasku iz zdravog u bolesno tkivo dolazi do refleksije ultrazvuka na osnovu čega se zaključuje o patološkim promenama u tkivu. U hirurgiji se dobro fokusiran moćan snop ultrazvuka primenjuje za sečenje ili “zavarivanje” kostiju. Ultrazvuk ima primenu i u sterilizaciji životnih namirnica, jer uništava mikroorganizme.

Poznato je da ultrazvuk mogu da emituju, u posebnim okolnostima, i neke životinje (delfin, slepi miš). Slepi miševi koriste ultrazvuk za orijentaciju i za lov plena. Delfini koriste ultrazvuk da pronađu jata riba, da zaobiđu prepreke; smatra se čak da pomoću njega na izvestan način međusobno komuniciraju.