Mehanički talasi

Opis pojave

Talas je perturbacija neke fizičke veličine koja se tokom vremena prenosi kroz prostor. Talasom se prenosi neka energija talasanja. Za početak izučavanja treba izabrati mehaničke talase. Mehanički talas se prostire kroz datu supstanciju pod dejstvom sila koje nastaju zbog neke deformacije. Čestice sredine osciluju oko svojih ravnotežnih položaja, a energija talasanja prenosi se sa sloja na sloj određenom brzinom.

Kod talasa na žici delići osciluju normalno u odnosu na pravac prostiranja talasa. Takvi se talasi zovu transverzalni talasi. Kad razgovaramo, čestice vazduha osciluju u pravcu prostiranja talasa. Takvi se talasi zovu longitudinalni talasi. Postoje i mehanički talasi složenije strukture, na primer svima poznati talasi na površini vode. Uspeo snimak ovog fenomena vidimo na donjoj slici:

Sl. 1 Talasi na površini vode

Jasno se uočavaju bregovi talasa, kao i dolje talasa između dva brega. Ovi su termini adekvatni za ovu vrstu talasa, ali se oni upotrebljavaju i za druge vrste, na primer za svetlosne talase.

Kod transverzalnog talasa, čestice mogu oscilovati u bilo kom pravcu, koji leži u ravni normalnoj na pravac prostiranja talasa; za takav talas kažemo da je nepolarizovan. No, ako delići osciluju isključivo u jednom pravcu u transverzalnoj ravni, za takav talas kažemo da je linijski polarizovan talas. Polarizacija je odlika samo transverzalnih talasa. Longitudinalni talasi ne mogu biti polarizovani, jer se kod njih oscilacije vrše duž pravca prostiranja talasa.

Opšte je za sve talase da se odbijaju od neke površine, prelamaju pravac prostiranja kad ulaze u drugu sredinu, savijaju kad naiđu na prepreku reda veličine talasne dužine, interferišu sa drugim talasima u odgovarajućim okolnostima, itd.

Matematički zapis

Najprostiji opis talasa je pomoću harmonijskih funkcija. Elongacija talasa (trenutno odstupanje veličine koja se talasa od ravnotežnog položaja) je onda

$$h=A\sin \left(\omega t-kx\right) \tag{1}$$

Ovde je $A$ amplituda, maksimalno rastojanje od brega do ravnotežnog položaja.

Sl. 2 Sinusni talas; prostorna slika u datom trenutku

Talasna dužina je rastojanje između dva susedna maksimuma. Talasni broj je definisan na sledeći način:

$$k=\frac{2\pi }{\lambda }. \tag{2}$$

Amplitudu ovde zamišljamo da je konstanta; tada je to kontinualni talas. U opštem slučaju, amplituda varira u prostoru i vremenu; forma amplitude naziva se envelopa ili obvojnica. Evo primera jednog talasa koji je složeniji od sinusnoig:

Sl. 3 Primer složenog talasa

Složene talasne oblike možemo tretirati kao zbir harmonijskih talasa raznih kružnih učestanosti $\omega$. Tako, Furijeova analiza je bitan metod u izučavanju talasa proizvoljne forme.

Definišimo još neke talasne veličine koje opisuju sinusni talas.

Period $T$ je vreme jednog punog ciklusa. Recipročna vrednost perioda je učestanost ili frekvencija:

$$f=\frac{1}{T}. \tag{3}$$

To znači da je kružna učestanost

$$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}. \tag{4}$$

Veličinu pod znakom sinusa zovemo faza:

$$\Phi =\omega t-kx+\alpha. \tag{5}$$

Ovde je $\alpha$ konstantni član; ako postoji zovemo ga početna faza. Posmatrač bi morao da se kreće u smeru prostiranja talasa duž x-ose faznom brzinom $v_{\text{f}}$ da bi u svakom trenutku video konstantnu fazu; tada je $d\Phi /dt=0$, ili

$$v_{\text{f}}=\frac{\omega }{k}. \tag{6}$$

Međutim, postoji i grupna brzina talasa $v_{\text{g}}$. Ona daje brzinu prostiranja promene anvelope; grupna brzina je prvi izvod kružne učestanosti po talasnom broju:

$$v_{\text{g}}=\frac{d\omega }{dk}. \tag{7}$$

Grupna brzina određuje brzinu transporta talasne energije.

Talasna jednačina

Neka fizička veličina $h$ prostire se u smeru ose $X$ brzinom $v$. Opšta forma talasnog prostiranja je:

$$h=f\left(t-\frac{x}{v}\right). \tag{8}$$

Ovde je $t$ vreme u posmatranoj tački $x$. Napisali smo $f$ za simbol proizvoljne funkcije koja zavisi od argumenta $t-x/v$. Ovako rezonujemo: Posmatrač koji se kreće u smeru talasa brzinom $u$, meri $h$ na mestu gde se trenutno nalazi tako što je za njega $x=x_{0}+ut$; on izmeri, dakle, vrednost $h=f\left[t\left(1-u/v\right)-x_{0}/v\right]$. Ova merena vrednost neće zavisiti od vremena samo ako je $u=v$. To i znači da relacija (8) opisuje prostiranje veličine $h$ brzinom $v$.

Oblik funkcije f zavisi od početnih uslova procesa. Talas je harmonijski, ako je funkcija f sinus ili kosinus, kao u relaciji (1).

Iz (8) nalazimo drugi parcijalni izvod po koordinati

$$\frac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}{f''}. \tag{9}$$

Uveli smo skraćenicu

$${f''}\equiv \frac{d^{2}f}{dz^{2}}. \tag{10}$$

gde je argument $z=t-x/v$. Drugi izvod po vremenu je jednak

$$\frac{\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}={f''}. \tag{11}$$

Eliminišimo ${f''}$ iz ove dve jednačine. Dobijamo

$$\frac{\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}=v^{2}\frac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}. \tag{12}$$

Ovo je znamenita talasna jednačina za jednodimenzioni slučaj. Zaključimo:

a) Ako se neka fizička veličina prostire u vidu talasa — ona zadovoljava talasnu jednačinu. b) Ako se može pokazati da razmatrana veličina zadovoljava talasnu jednačinu — tvrdimo da je moguće njeno prostiranje u vidu talasa.c) Brzina prostiranja talasa jednaka je kvadratnom korenu iz koeficijenta uz drugi izvod po koordinati. Zbilja, ako se veličina $h$ menja harmonijski u skladu sa (1), tada je brzina $v$, kako se lako pokazuje, jednaka faznoj brzini talasa (6).

Primeri mehaničkih talasa

Longitudinalni talasi u elastičnoj sredini

Zamislimo debeli, dugi pravi štap napravljen od homogenog materijala gustine $\rho$. Ovaj štap (Sl. 4) smatrajmo elastičnim telom; elastične osobine te sredine karakterisaćemo modulom elastičnosti $E$ - to je onaj poprečni napon (sila po jedinici površine) koji izaziva jedinično relativno izduženje.

Sl. 4 Nastajanje longitudinalnog talasa na štapu

Zamislimo da je u jednom momentu delovao na kraj štapa kratki impuls sile. Površinski sloj mase se sabio, gustina je porasla i ta se deformacija gustine dalje prenosi duž štapa kao longitudinalni talas. Navodimo bez dokaza da je brzina ovog talasa

$$v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}. \tag{13}$$

Procenimo brzinu talasa gustine u metalu. Prvo, za gvožđe možemo uzeti $E=200$ gigapaskala i $\rho =8700$ kilograma po kubnom metru. Te vrednosti daju brzinu od 4795 metara u sekundi. Uzima se da je ta brzina za razne metale u rasponu od četiri i po hiljade do 5000 metara u sekundi. U vodi talasi ovog tipa se prostiru brzinom kilometar i po u sekundi.

Transverzalni talasi na žici

Pogledajmo šemu sa Sl. 5. Žica je spojena za zvučnu viljušku ZV, onda prebačena preko kotura K i zategnuta tegom mase $m$. Tako, sila zatezanja dela $\ell$ žice od

Sl. 5 Transverzalni talasi na žici

viljuške do kotura iznosi $T=mg$. Kada se aktivira viljuška, ona inicira transverzalne talase na žici. Brzinu tih talasa možemo naći iz obrasca (13) ako prvo primetimo da je

$$\frac{E}{\rho }=\frac{E}{m/\left(S\ell \right)}=\frac{ES}{m/\ell }. \tag{14}$$

Ovde je $m$ masa žice, a $S$ površina poprečnog preseka. Ali je po definiciji $ES=T$, sila zatezanja žice, a $m/\ell =\mu$ masa po jedinici dužine (podužna masa). Tako, brzina talasa na žici je

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}. \tag{15}$$

Pogledajmo red veličine ove brzine. Gvozdena žica prečnika jedan milimetar i dužine jedan metar ima masu približno šest grama; ako je zategnuta silom od šezdeset njutna imaćemo brzinu talasa od sto metara u sekundi.

Na žici se ne formira sinusni talas dat jednačinom (1) — takav talas često zovemo progresivni talas — već su pojave složenije. Pogledajmo pobliže strukturu talasa.

Stojeći talasi

Prethodno objasnimo ishod jednog prostog opita; situacija je skicirana na Sl. 6.

Sl. 6 Primer talasa na zategnutom koncu

Elastični kanap je čvrsto vezan za zid. Eksperimentator zateže kanap i izaziva naglo deformaciju izgiba udarajući po kanapu odozgo nadole. Ovaj se impuls prostire duž kanapa. Kad se odbije na pričvršćenom kraju, izgib menja znak — usmeren je naviše, jer sumarni izgib na kraju kanapa mora biti jednak nuli. Tako, ako se odbija harmonijski talas (1), na mestu $x=0$ upadna oscilacije je oblika $h_{\text{upa}}=A\cos \omega t$, a odbijena oscilacije je $h_{\text{odb}}=A\cos \left(\omega t\pm \pi \right)$. (Zaista, u tom slučaju je $h_{\text{upa}}+h_{\text{odb}}=0$.)

Kada se desi da je polovina talasne dužine tačno jednaka dužini žice sa Sl. 5, pa je $k=\pi /\ell$, nastaje rezonancija — kanap osciluje u skladu sa prinudnom silom koju generiše zvučna viljuška. Amplituda talasa znatno poraste i to se u opitu lako uočava. Nastao je stojeći talas kao rezultat sabiranja dva progresivna talasa (direktnog i odbijenog). Na krajevima žice su čvorovi stojećeg talasa, a između je trbuh, Sl. 7 (gore). Može u principu da se formira stojeći talas sa više trbuha; na Sl. 7 (dole) vidimo da postoje tri čvora na žici, što znači da je talasna dužina jednaka dužini žice.

Sl. 7 Dva tipa stojećih talasa na žici

Vidimo da granični uslovi utiču na karakter stojećih talasa. Pogledajmo šta se zbiva sa elastičnom gredom koja je jednim krajem spojena za vertikalni zid (Sl. 8).

Sl. 8 Elastična greda osciluje

Ako delujemo kratkotrajnim impulsom sile na slobodnom kraju, nastaju intenzivni stojeći talasi ako se na dužinu grede smesti neparan broj četvrtina talasnih dužina. Naime, vertikalni pomeraj na fiksiranom kraju mora biti nula, a na slobodnom kraju maksimalan. Tako nastaju tipovi stojećih talasa; na Sl. 8 smo prikazali šematski strukturu prva dva tipa.

Stojeći talasi su sopstveni talasi. Pripadajuće učestanosti zovu se sopstvene učestanosti. Pobuđeni sistem ostavljen da slobodno osciluje, oscilovaće na sopstvenim učestanostima. Sopstvenih učestanosti ima neograničeno mnogo, u praksi je moguće pobuditi samo nekoliko najnižih.

Talasna površina, front, zrak

Zamislimo u nekoj neograničenoj homogenoj sredini malu pulsirajuću zapreminu, kao na Sl. 9. Ona je dobar model tačkastog talasnog izvora. Oko nje će se širiti sferni mehanički talas.

Sl. 9 Tačkasti izvor i sferni talas

Talasna površina je površina normalna na pravac prostiranja talasa; na talasnoj površini, koja je ovde sfera, sve čestice osciluju s istom fazom. Geometrijsko mesto tačaka, do kojih je za dati vremenski interval stiglo oscilovanje, naziva se talasni front. (Talasni front je najudaljenija talasna površina.) Pravac prostiranja talasa se određuje pomoću talasnog zraka — linije koja je normalna na talasnu površinu. To je linija duž koje struji energija talasa.

Podalje od izvora, manji deo fronta se može tretirati kao ravna površina, pa onda govorimo o ravanskom talasu. Zraci ravanskog talasa su paralelne linije, Sl. 10. Ako nema gubitaka u sredini, amplituda ovih talasa ima istu vrednost u svim tačkama sredine.

Sl. 10 Šema ravanskog talasa

Energija i intenzitet talasa

Progresivni talas prenosi energiju sa jednog mesta u prostoru na drugo mesto. Delići sredine, kroz koju se prenosi energija, sve vreme osciluju oko svog ravnotežnog položaja. Energija, kojom osciluje jedan delić mase $m_{0}$ iznosi:

$$E=\frac{1}{2}m_{0}\omega ^{2}A^{2}. \tag{16}$$

Energija talasa će biti jednaka energiji svih delića koji se nalaze u posmatranoj zapremini. Ako se u zapremini nalazi N čestica, onda će energija talasa biti

$$E=\frac{1}{2}Nm_{0}\omega ^{2}A^{2}. \tag{17}$$

Imajući u vidu da je gustina mase $\rho =Nm_{0}/\Delta V$, dobijamo za energiju talasa

$$E=\frac{1}{2}\rho \omega ^{2}A^{2}\Delta V. \tag{18}$$

Kako je $\Delta V=Sv\Delta t$, formula se može napisati i ovako:

$$E=\frac{1}{2}\rho \omega ^{2}A^{2}Sv\Delta t. \tag{19}$$

Gustina energije je po definiciji $w=E/\Delta V$, te nalazimo

$$w=\frac{1}{2}\rho \omega ^{2}A^{2}. \tag{20}$$

Gustina energije talasa koji se prostire brzinom $v$ zavisi od gustine sredine, kvadrata kružne frekvencije i kvadrata amplitude. Na taj način, sredina kroz koju se prostire talas poseduje dopunsku energiju koja potiče od talasnog izvora (izvora oscilovanja).

Mnogobrojni su primeri prenošenja energije sa jednog mesta na drugo putem talasnog kretanja — dovoljno je podsetiti da se na kući lome prozori, ma oni bili i na priličnom rastojanju od mesta jake eksplozije.

Poznate su posledice katastrofalne erupcije vulkana Krakatau 1883. godine (Sundski moreuz između Jave i Sumatre). Ogromni talasi, koji su pri tome nastali na moru, uništili su veliki broj luka i brodova na svim okolnim ostrvima, pa čak i na obalama Japana. Slično se dogodilo i prilikom zemljotresa u Čileu, kada su ogromni talasi prešli ceo Pacifik i sručili se na Japansku obalu, gde su načinili ogromnu štetu. Sa pučina okeana ponekad se dovaljaju cunami talasi:

Cunami su talasi uzrokovani tektonskim pomicanjem ploča morskog dna (podmorski potresi). Naziv potiče iz japanskog jezika i znači “val u luci”. U blizini epicentra visina talasa može biti izuzetno visoka. Dok se prostire u dubokim okeanskim vodenim slojevima, cunami ima male amplitude, ali putuje velikim brzinama, u proseku oko 700 km/h. Ta vrsta dugotalasnih poremećaja u vodi prostire se brzinom:

$$v_{\text{cun}}=\sqrt{gH}. \tag{21}$$

gdje je g ubrzanje gravitacione sile, a H dubina mora. Približavajući se obali, oni se usporavaju u relativnim plićacima te im se, zbog sačuvanja mase, povećava amplituda. Blizu obale njihove visine mogu poprimiti gigantske razmere.

Slika sa Interneta: Cunami koji je pogodio Male,

Maldivi 26. decembra 2004.

Fluks energije, tj. energija koja protekne u jedinici vremena kroz zamišljenu transverzalnu jediničnu površinu, predstavlja intenzitet talasa. Očigledno je, da će intenzitet $I=E/S\Delta t$ biti jednak proizvodu gustine energije i brzine prostiranja talasa,

$$I=wv. \tag{22}$$

Zato je odmah

$$I=\frac{1}{2}\rho v\omega ^{2}A^{2}. \tag{23}$$

Mehanički sferni talas slabi u toku prostiranja. Dva su razloga slabljenja: a) apsorpcija i b) uvećavanje površine fronta. Ovaj drugi faktor je često presudan. Ipak, u aproksimaciji ravanskog talasa mora se voditi računa o apsorpciji energije talasa u sredini.

Odbijanje talasa

Kada talas naiđe na graničnu površinu koja razdvaja dve homogene sredine, dolazi do pojava odbijanja i prelamanja talasa. Deo energije talasa se odbija, a preostali deo ulazi u drugu sredinu i transportuje se pravcem prelomljenih zraka.

Osnovne pojave pri odbijanju i prelamanju talasa se pregledno mogu objasniti pomoću Hajgensovog principa***:*** Svaka čestica (tačka) sredine pogođena talasom postaje i sama izvor talasa, tzv. sekundarnih talasa koji se kreću u svim pravcima.

Zakon odbijanja talasa glasi:

$$\beta =\alpha. \tag{24}$$

Odbojni ugao jednak je upadnom uglu.

Treba imati u vidu i sledeću činjenicu: Upadni zrak, normala i odbijeni zrak leže u istoj ravni, Sl. 11. Razume se, to isto formalno važi i za drugačije talase

Sl. 11 Uz zakon odbijanja talasa

(na primer, za svetlost; o tome smo govorili u kursu Klasična fizika 1). O promeni faze pri odbijanju već smo govorili.

Prelamanje talasa

Talas koji se prostire kroz homogenu i izotropnu elastičnu sredinu stalnom brzinom $v$ prelomiće se na razdvojnoj površini: promeniće se pravac prostiranja u drugoj sredini. Na koju stranu će se talas prelomiti — ka normali ili od normale, zavisi od osobina sredine (gustine sredine, odnosno brzine talasa u toj sredini). Eksperimenti su pokazali da se talas lomi ka normali ako je ispunjen uslov $v_{1}>v_{2}$,

gde je $v_{1}$ brzina upadnog talasa, a $v_{2}$ brzina prelomljenog talasa.

Razmotrimo ravne talase, koji su na Sl. 12 reprezentovani zracima. Oni se lome na granici dveju sredina.

Sl. 12 Uz zakon prelamanja talasa

Gledajući ∆ ABC možemo napisati:

$$\text{sin}\alpha =\frac{\text{CB}}{\text{AC}}. \tag{25}$$

a posmatrajući ∆ ACD vidimo da je:

$$\ \text{sin}\beta =\frac{\text{AD}}{\text{AC}}. \tag{26}$$

Deobom ovih jednačina dobijamo:

$$\frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }=\frac{\text{CB}}{\text{AD}}. \tag{27}$$

Pošto je Sl. 12 sačinjena u skladu sa Hajgensovim principom, očigledno je

$$\text{CB}=v_{1}t. \tag{28}$$

Odnosno

$$\text{AD}=v_{2}t. \tag{29}$$

Zbog toga je odmah

$$\frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }=\frac{v_{1}}{v_{2}}. \tag{30}$$

Ova relacija predstavlja zakon prelamanja talasa. Sinusi upadnog i prelomljenog ugla se odnose kao brzine prostiranja talasa u prvoj i drugoj sredini.

Razmotrimo dva karakteristična slučaja:

1. Brzina prostiranja talasa u prvoj sredini je veća; talas se lomi ka normali:

$$v_{1}>v_{2}\ \Rightarrow \ \alpha >\beta. \tag{31}$$

2. Brzina prostiranja talasa u prvoj sredini je manja; talas se lomi od normale:

$$v_{1}<v_{2}\ \Rightarrow \ \alpha <\beta. \tag{32}$$

U ovom drugom slučaju, moguća je i zanimljiva pojava totalnog odbijanja talasa. Ako je upadni ugao veći od neke kritične vrednosti $\alpha _{\text{k}}$, energija upadnog talasa ne prolazi u drugu sredinu, već se u celosti odbija od razdvojne površine. Pošto je $\alpha =\alpha _{\text{k}}$ za $\beta =\pi /2$, lako se nalazi da mora biti

$$\text{sin}\alpha _{\text{k}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}. \tag{33}$$

kad su brzine definisane i druga brzina veća od prve, odavde se izračunava kritični ugao totalnog odbijanja.