Njutnovi zakoni

Masa

Ni jedno telo se ne kreće potpuno slobodno. Na njega deluje okolina. Postoji interakcija datog tela sa drugim telima. Interakcija je očevidna kad su tela u neposrednom kontaktu. Ali, interaguju i razmaknuta tela; u tom slučaju dejstvo se objašnjava postojanjem fizičkog polja. Slika 1 ilustruje primere tipova interakcije tela.

Sl. 1 Primeri interakcija tela

Još je Galilej uočio: Kada je dejstvo drugih tela zanemarljivo, posmatrano telo zadržava stanje kretanja kakvo je bilo. Bilijarska kuglica miruje na horizontalnom stolu; ona startuje tek posle udarca takom, a menja pravac kretanja samo ako udari u drugu kuglicu, ili špondu stola. No, vidimo da kuglica gubi brzinu i na kraju će se zaustaviti — to je pojava koju zovemo trenje. Galilejeva je zasluga što je uočio verodostojnost jednog misaonog opita: Kada trenja ne bi bilo, usamljena kuglica koja se kotrlja po horizontalnom stolu ne bi nikad stala. Tendencija usamljenog tela da zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja naziva se inercija.

Mera inercije tela pri translatornom kretanju tela je njegova masa. Masa je skalarna fizička veličina i uvek je pozitivna. Masa je aditivna:

$$m=m_{1}+m_{2}+m_{3}+...+m_{\text{n}}. \tag{1}$$

Masa skupa tela jednaka je zbiru masa pojedinačnih tela. Jedinica za masu je kilogram. To je jedna od osnovnih jedinica SI sistema. U svakodnevnoj upotrebi je i gram, hiljaditi deo kilograma.

Sile u Prirodi

U prvoj lekciji smo opisivali kretanje tela prostorno-vremenski, kinematički, ne ulazeći u uzroke koji dovode do kretanja. Dinamika je deo mehanike koji proučava uzroke promena stanja kretanja nekog tela.

Ako se telo, koje je prethodno mirovalo, pokrenulo — na njega je delovala sila. Da bismo pomerili knjigu na stolu, potrebno je da na nju delujemo silom (dovoljnom da savlada trenje). Bitno je uočiti da će prilikom delovanja sile doći do promene brzine tela, odnosno da će se pojaviti ubrzanje tela.

Sila je kvantitativna mera interakcije jednog tela s drugim telima u okolini. Koje ćemo sve interakcije (koje su brojne) analizirati, zavisi od intenziteta interakcije — nebitne ćemo zanemariti.

Sila se obično obeležava slovom F; ona je vektorska fizička veličina, te smo dužni da pišemo $\vec{F}$; sila dakle ima svoj pravac, smer i intenzitet. (Ponekad je za silu bitna i napadna tačka.) SI jedinica za silu je njutn.

Prilikom analize problema, obično se vektor sile razlaže na komponente, što omogućuje mnogo lakše sagledavanje pojave. Kako ćemo razložiti vektor sile zavisi od konkretnog problema. Na primer, ako analiziramo kretanje niz strmu ravan, očigledno je da ćemo razložiti sile, koje sa javljaju, na komponente paralelene strmoj ravni i na komponente koje su normalne na strmu ravan.

U fizici se koristi relativno veliki broj različitih sila. Sve se one, za početak, mogu svesti na tri vrste: gravitacione, elektromagnetske i jake.

Oko nekog tela redovno postoji gravitaciono polje, posredstvom koga to telo privlači druga tela. Gravitaciono polje je univerzalno i javlja se kod svih tela (naelektrisanih, nenaelektrisanih, u pokretu i u mirovanju, itd.). Gravitaciono polje ima relativno slab intenzitet, osetno je samo za tela većih masa (problemi u nebeskoj mehanici, kretanje tela u polju Zemljine teže itd.).

U mikrosvetu, gravitacione sile su vrlo slabe i zanemaruju se; tamo su električne i nuklearne sile dominantne. Ove sile svojim poljem povezuju mikročestice u atomima, nukleonima i kristalima. Dok su gravitacione sile uvek privlačne i javljaju se duž linije koja spaja sentre masa tela, električne sile mogu biti i privlačne i odbojne. Da bismo opisali električne sile uvodimo dve vrste naelektrisanja koje smo uslovno nazvali pozitivno i negativno. Pored električnih, na naelektrisana tela u kretanju deluju i magnetske sile. Početkom druge polovine prošlog veka Maksvel je pokazao da se električne i magnetne sile mogu opisati jedinstvenom teorijom, te je od tada u upotrebi novi naziv - elektromagnetska sila.

Razvojem tehnike početkom dvadesetog veka intenzivirala su se istraživanja mikrosveta (molekula, atoma i jezgra atoma). Otkrivene su nove, do tada nepoznate sile koje deluju između elementarnih čestica; nazvane su nuklearne sile. Uočeno je da postoje dve vrste nuklearnih sila: slabe i jake.

Priroda nuklearnih sila još nije dovoljno poznata, ali se zna da su kratkog dometa (reda 10^-15^ m) i da jake nuklearne sile spadaju u najjače sile Prirode. Na primer, kad interaguju dva protona nuklearna sila je $10^{36}$ puta jača od gravitacione.

Pa, odkuda ovo prividno mnoštvo sila u fizici?

Sve sile koje možemo definisati u mehanici su samo makroskopsko ispoljavanje dejstva isključivo gravitacionih i elektromagnetskih sila. Posebno, sila trenja između tela izazvana je električnom interakcijom elemenata materije tela koja su u kontaktu.

Elastične sile su samo makroskopska manifestacija elektromagnetskih međumolekulskih sila unutar samih tela. Premeštanje strukturnih elemenata iz njihovih ravnotežnih položaja dovodi do povećenja potencijalne energije elastičnog tela, samim tim i do odgovarajućih sila reakcije. Ove sile reakcije su usmerene prema prvobitnom ravnotežnom stanju koje uvek odgovara minimumu potencijalne energije. Dakle, deformacije tela uzrokuju elastične sile.

Ako sila dejstvuje na neko telo u prostoru i pri tome ga pomera iz jednog položaja u drugi, mi kažemo da sila vrši rad. O tome ćemo dosta govoriti na drugom mestu. Sada primetimo sledeće. Kada je rad sile nezavisan od oblika putanje i dužine puta i zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela, za takvu silu kažemo da je konzervativna (potencijalna), a njeno polje se naziva konzervativno polje. Konzervativne sile su npr. sila teže, elastične sile u opruzi, sile električnog polja. Sile, čiji rad zavisi od oblika putanje i dužine puta, nazivaju se nekonzervativnim (nepotencijalnim) silama, a njihovo polje nekonzervativno. Kao primer možemo navesti sile trenja i otpora sredine.

Njutnovi zakoni

Celokupna klasična dinamika zasnovana je na tri Njutnova zakona: a) zakon inercije — prvi Njutnov zakon, b) zakon promene impulsa — drugi Njutnov zakon i v) zakon akcije i reakcije — treći Njutnov zakon.

Ova tri Njutnova zakona u potpunostu definišu silu i preciziraju zakone kretanja.

a) Prvi Njutnov zakon

Zamislimo da imamo neko telo koje smo izmestili da bude dovoljno daleko od svih drugih tela. Onda izvodimo opite s kretanjem tog tela. Primećujemo da se ono kreće ravnomerno i pravolinijski, ili miruje. Za to telo možemo vezati sistem referencije koji je onda pogodan za opisivanje interakcije dva ili više tela. Prvi Njutnov zakon možemo ovako formulisati:

Ovo je nezavisni zakon prirode, on određuje kriterijum valjanosti sistema referencije da u njemu razmatramo kretanje i kao kinematički i kao dinamički fenomen.

Prvi zakon ima jednostavan matematički iskaz:

$$=\overrightarrow{\text{const}}. \tag{2}$$

Brzina tela se ne menja po bilo kom osnovu. Možemo dakle pisati

$$\vec{a}=\vec{0}. \tag{3}$$

Prvi Njutnov zakon, strogo govoreći, ne možemo direktno eksperimentalno proveriti, jer se ni jedno telo ne može potpuno izolovati od uticaja drugih tela (ne postoji dematerijalizovan prostor). Ipak, mnogobrojna testiranja raznih posledica prvog Njutnovog zakona nedvosmisleno upućuju na zaključak o njegovoj fundamentalnoj validnosti.

Tako, prvi Njutnov zakon postulira postojanje sistema referencije (SR) koje zovemo inercijalni sistemi referencije (ISR). Za našu praksu jako važan heliocentrični sistem se može približno smatrati za inercijalni, u mnogim bitnim primenama.

b) Drugi Njutnov zakon

Posmatrajmo jednostavni i poučni eksperiment sa Sl. 2. Kolica mogu da se kotrljaju po ravnom stolu pod dejstvom horizontalne sile $F$. Kanap je

Sl. 2 Osnovni opit dinamike :sila ubrzava masu

(preko dinamometra koji meri silu) spojen za kolica, i prebačen preko kotura koji omogućava da se sila $F=mg$ lako menja promenom mase tega $m$. Tako se ustanovljava da se ubrzanje kolica sa teretom poklapa sa pravcem sile. Jedna te ista sila daje raznim telima različita ubrzanja. Različite sile daju jednom te istom telu različita ubrzanja. Ali, količnik sile i ubrzanja uvek je konstantan, i ta konstanta i jeste masa tela. Ona jeste, kako smo već govorili, karakteristika svojstva inertnosti tela i to je njen jedini smisao. Opiti ovog tipa, dakle, navode nas na zaključak:

To znači da možemo pisati:

$$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}, \tag{4}$$

gde je $\vec{F}=\sum\limits \vec{F}_{\text{i}}$ ukupna sila. Pošto je $\vec{a}=\frac{d}{}dt$, dobijamo iz (4)

$$\vec{F}=m\frac{d}{}dt. \tag{5}$$

Kada na telo ne dejstvuje rezultantna spoljašnja sila ($\vec{F}=0$), onda je i $\vec{a}=\vec{0}$, pa se telo kreće konstantnom brzinom. Ovo je u skladu sa prvim Njutnovi zakonom, pa je on u tom smislu i posledica drugog Njutnovog zakona.

Drugi Njutnov zakon je strogo primenljiv samo za sićušna tela, materijalne tačke. Za proizvoljno telo, pod brzinom ne možemo smatrati brzinu bilo koje tačke tog tela, već jedne posebne tačke koju zovemo centar mase tela (o njemu ćemo govoriti na drugom mestu u ovoj knjizi).

c) Treći Njutnov zakon

Treći Njutnov zakon dopunjava definiciju sile ističući činjenicu da dejstvo između tela, koje vodi promeni stanja njihovog kretanja, ima karakter uzajamnog dejstva.

Dakle, pozivajući se na Sl. 3 možemo zapisati

$$\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}. \tag{6}$$

Sl. 3 Treći Njutnov zakon: par sila i napadne tačke

Ovaj zakon se često naziva zakon akcije i reakcije. Neophodno je uočiti da sile $\vec{F}_{12}$ i $\vec{F}_{21}$ ne dejstvuju na isto telo! Zanemarivanje ove činjenice ponekad dovodi do nesporazuma pri rešavanju zadataka. Pogledajmo opis jednog klasičnog eksperimenta koji pomaže da se razume suština ovog zakona.

Sl. 4 Treći Njutnov zakon; klasičan eksperiment

Ka prvom telu učvršćen je elektromotor; kad je on u pogonu, na njegovo se vratilo namotaje konac čiji je drugi kraj spojen sa drugim telom. Kad radi motor, tela se kreću jedno ka drugom, pri čemu je uvek $m_{1}a_{1}=m_{2}a_{2}$, što znači da je $\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}$.

Impuls tela. Impuls sile

Uvešćemo pojam impuls tela; to je proizvod mase tela i njegove brzine:

$$\vec{p}=m. \tag{7}$$

Impuls je vektorska veličina i razlikuje se od vektora brzine samo po intenzitetu, pravac i smer im je isti (masa je uvek pozitivna).

Sl. 3 Šrafirana površina: impuls konstantne sile

SI jedinica impulsa je $\text{kg}\cdot \text{m}/\text{s}$.

Pretpostavimo da na telo deluje konstantna sila u nekom intervalu vremena (Sl. 3). Impuls sile je predstavljen površinom ispod krive $F=f(t)$ koja je definisana od trenutka t0 do t. Analizirajmo dejstvo ove konstantne sile. Možemo zaključiti iz drugog Njutnoog zakona da je impuls tela:

$$\vec{p}=\vec{p}_{0}+\vec{F}(t-t_{0}). \tag{8}$$

Telo je u početnom trenutku imalo impuls $\vec{p}_{0}$. Odavde odmah dobijamo

$$\vec{F}=\frac{\vec{p}-\vec{p}_{0}}{t-t_{0}}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}. \tag{9}$$

U graničnom slučaju beskonačno malih vremenskih intervala ostaje na snazi ovaj zakon i za sile koje se menjaju u vremenu, tako da je

$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}. \tag{10}$$

Promena impulsa tela u jedinici vremena proporcionalna je ukupnoj sila koja deluje na telo. Ovako napisan, zakon je korektan i za velike, relativističke brzine kad masa zavisi od brzine kretanja. Tako, formula (10) je preciznija od klasičnog oblika (5). Zanimljivo je da je i sam Njutn ostavljao masu ispod znaka diferenciranja, premda u ono vreme nije imao nikakvu evidenciju o mogućoj zavisnosti mase od brzine. Naravno, mase mogu biti promenjljive u toku kretanja i zbog drugih uzroka.

Osnovni zadatak dinamike

Na telo u opštem slučaju deluje više sile i tada se drugi Njutnov zakon, kako smo naglasili, može napisati u obliku:

$$m\vec{a}=\sum\limits_{\operatorname{i}} \vec{F}_{\operatorname{i}}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}+...+\vec{F}_{\text{n}} \tag{11}$$

Osnovni zadatak dinamike je da se odredi zakon kretanja tela. Da bismo ispunili taj zadatak moramo znati sve sile koje deluju na telo (a koje se ne mogu i ne smeju zanemariti) i početne uslove. Pod početnim uslovima podrazumevamo početni položaj tela i početnu brzinu tela. Znači, na osnovu osnovne relacije dinamike translacije (5) određujemo ubrzanje tela, zatim na osnovu poznatih relacija iz kinematike određujemo zakon promene brzine i zakon kretanja tela, odnosno putanju tela.

Napomenimo na kraju da se pri rešavanju ovog problema obično koristi metod razlaganja sila na komponente, što nam može olakšati navedenu analizu.

Trenje

Kretanje tela uvek nailazi na otpor sredine. Tu pojavu generalno zovemo trenje. Trenje proizilazi iz elektromagnetske interakcije tela u kontaktu. Nije ga lako opisati, ono zavisi od mnogo faktora (brzine relativnog kretanja, stanja površina, priljubljenosti tela, oblika tela, karaktera sredine i sl). Ovde ćemo opisati neke približne metode modeliranja sile trenja — da bismo mogli što realnije da opisujemo kretanje u skladu sa Njutnovim zakonima.

Postoje razne podele trenja. Mi ćemo dalje govoriti o tečnom i suvom trenju.

Tečno trenje

Otpor kretanju tela kroz tečnosti i gasove zove se tečno trenje. Opit pokazuje da je sila tečnog trenja $F_{\text{tr}}$ proporcionalna brzini tela $v$ (koja nije veća od nekoliko metara za sekund)

$$\vec{F}_{\text{tr}}=-r\vec{v}. \tag{12}$$

Sila trenja ima suprotan smer od brzine. Ovde je $r$ koeficijent trenja koji zavisi od oblika tela, stanja njegove površine i prirode fluida.

Zamislimo da se lopta, koju smo šutnuli tako da ima početnu brzinu $V$ kreće po pravoj liniji. Koji je zakon opadanja njene brzine? Drugi zakon nam omogućava da pišemo

$$m\frac{dv}{dt}=-rv. \tag{13}$$

Uvedimo vreme relaksacije

$$\tau =\frac{m}{r}. \tag{14}$$

Tada je rešenje diferencijalne jednačine

$$v=V\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right). \tag{15}$$

Brzina eksponencijalno opada, let je utoliko kraći ukoliko je masa manja a otpor sredine veći.

Stoksov zakon

Sad posmatrajmo kuglicu koja pada kroz tečnost u menzuri. Za sve

Sl. 4 Stoksov opit: kuglica pada kroz tečnost. Desno:

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (1819—1903)

vreme kretanja na kuglicu deluje konstantna sila $F_{\text{g}}$, te je jednačina kretanja

$$m\frac{dv}{dt}=-rv+F_{\text{g}}. \tag{16}$$

Napišimo ovu diferencijalnu jednačinu ovako:

$$\frac{dv}{dt}+\frac{1}{\tau }v=\frac{F_{\text{g}}}{m}. \tag{17}$$

Opšte rešenje glasi:

$$v=e^{-\int \frac{dt}{\tau }}\left[v_{a}+\frac{F_{\text{g}}}{m}\int e^{\int \frac{dt}{\tau }}dt\right]. \tag{18}$$

Ovde je $v_{a}$ integraciona konstanta za koju se ispostavlja da je asimptotska vrednost brzine za $t\to \infty$, pa je $v_{a}=F_{\text{g}}/r$. Tako je rešenje za brzinu

$$v=\frac{F_{\text{g}}}{r}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right]. \tag{19}$$

Za kuglicu poluprečnika $a$ našao je Stoks rezultat (1851)

$$r=6\pi \eta a. \tag{20}$$

Ovde je $\eta$ koeficijent viskoznosti fluida oko kuglice. Na 20 stepeni Celzijusa, voda ima koeficijent viskoznosti $10^{-3}$, glicerin $0,85$ a vazduh $2\cdot 10^{-5}$ (sve u SI jedinicama). Kad temperatura raste, koeficijent viskoznosti tečnosti opada, a gasova raste.

Asimptotska brzina određena je ravnotežom tri sile: težine, potiska i trenja. Zbog toga je

$$v_{a}=\frac{2}{9}\left(\rho -\rho _{\text{f}}\right)ga^{2}. \tag{21}$$

Sa $\rho$ i $\rho _{\text{f}}$ obeležili smo, redom, gustine kuglice i fluida. Ako je izmerena brzina i znamo gustine, može da se izračuna poluprečnik sfere. Tako je nalazio Miliken poluprečnike kapljica u svom poznatom opitu određivanja naelektrisanja elektrona.

Povećanje površine poprečnog preseka smanjuje asimptotsku brzinu. Otvaranjem padobrana, na primer, padobranac smanjuje brzinu od oko 50 metara za sekund desetak puta i bezbedno se prizemljuje.

Pri velikim brzinama kretanja tela otpor sredine menja svoj karakter, ali o tome ovde nećemo govoriti.

Suvo trenje

Da bismo pokrenuli telo koje miruje na horizontalnoj podlozi, moramo primeniti silu koja je veća od neke minimalne vrednosti. Zato kažemo da postoji trenje mirovanja između nepokretnog tela i njegove podloge.

Zamislimo da je sila bila veća od minimalne i saopštila telu neku brzinu. U jednom momentu, sila je prestala da deluje. Telo će početi da se usporava, kretanje će postepeno iščeznuti. To znači da i u ovom slučaju deluje trenje; zovemo ga trenje klizanja.

Opit pokazuje da je trenje klizanja proporcionalno sili $F_{1}$ koja priljubljuje telo za podlogu, ali ne zavisi od veličine površine kontakta (Sl ):

$$\vec{F}_{\text{tr}}=-\mu F_{1}\frac{\vec{v}}{v}. \tag{22}$$

Ova sila je usmerena suprotno od brzine. Veličina $\mu$ se zove koeficijent trenja klizanja. U praksi je teško postići da se stanja površina u kontaktu ne menjaju u toku klizanja, pa je zakon koji smo napisali samo približan.

Sl. 5 Telo klizi po horizontalnoj podlozi

Određivanje trenja klizanja

Potrebno je telo postaviti na strmu ravan i postepeno povećavati ugao nagiba $\alpha$, Sl. Pri nekom uglu $\alpha _{\text{k}}$ komponenta sile

Sl. 6 Uz analizu trenja klizanja: telo na strmoj ravni

$$F_{2}=mg\sin \alpha _{\text{k}}. \tag{23}$$

biće tolika da se izjednači sa maksimalnom silom statičkog trenja — telo počinje da klizi niz strmu ravan. Tada je normalna komponenta

$$F_{1}=mg\cos \alpha _{\text{k}}. \tag{24}$$

Kako je upravo $F_{2}=\mu F_{1}$, nalazimo da je koeficijent trenja

$$\mu =\text{tg}\alpha _{\text{k}}. \tag{25}$$

Tako, koeficijent trenja klizanja određen je tangensom kritičnog ugla, pri kojem počinje klizanje tela niz strmu ravan. Opit je lako izvesti, može se ponavljati i proveravati — zato je ovaj metod izdašan i popularan.

Rešavamo zadatak

Pod dejstvom sile $F$ telo se kreće po horizontalnom hrapavom stolu, Sl. 7.

Sl. 7 Kosa sila vuče telo po horizontalnom stolu

Sila zaklapa ugao $\alpha$ sa površinom stola. Telo ima masu $m$ i u datoj poziciji je koeficijent trenja klizanja $\mu$. Treba odrediti ubrzanje tela.

Dimenzije tela su ovde nebitne i zamislićemo da je reč o materijalnoj tački u centru mase tela. Postavićemo ovu tačku u centar koordinatnog početka Dekartovog sistema i nacrtati sve sile koje su od značaja:

Sl. 8 Sile koje napadaju telo sa Sl. 7

Težinu tela označili smo sa $\vec{P}$. Uklonili smo podlogu i njen uticaj zamenili silom reakcije podloge $\vec{R}$. Po drugom Njutnovom zakonu sada pišemo

$$m\vec{a}=\vec{F}+\vec{P}+\vec{R}+\vec{F}_{\text{tr}}. \tag{26}$$

Projektovaćemo ovu vektorsku jednačinu na x-osu koja je u ravni stola, u smeru kretanja tela. Dobijamo:

$$ma_{\text{x}}=F\cos \alpha -F_{\text{tr}}. \tag{27}$$

Projekcija na vertikalnu, y-osu daje

$$ma_{\text{y}}=F\sin \alpha +R-P. \tag{28}$$

Razume se, zadatak ima smisla ako je bezuslovno $a_{\text{y}}=0$. To daje za silu priljubljivanja tela uz podlogu

$$R=P-F\sin \alpha. \tag{29}$$

Odavde vidimo da je sila trenja klizanja

$$F_{\text{tr}}=\mu \left(P-F\sin \alpha \right). \tag{30}$$

Sada možemo da napišemo definitivno formulu za ubrzanje duž horizontalne ose

$$a_{\text{x}}=\frac{F}{m}\left[\cos \alpha -\mu \left(\frac{P}{F}-\sin \alpha \right)\right]. \tag{31}$$

Karakter kretanja određuje, kako vidimo, funkcija

$$f\left(\alpha ,\mu ,k\right)=\cos \alpha -\mu \left(k-\sin \alpha \right). \tag{32}$$

Stavili smo $k=P/F$. Nacrtali smo ovu funkciju za $\mu =0,22$ i $k=2,5$:

Sl. 9 Kako funkcija (32) zavisi od ugla nagiba sile

Zanimljiva je pojava maksimuma. On se javlja pri uglu

$$\alpha _{\max }=\text{arctg}\left(\mu \right). \tag{33}$$

Ubrzanje se anulira pri kritičnom uglu $\alpha _{0}$ koji je rešenje jednačine

$$\cos \alpha _{0}+\mu \sin \alpha _{0}=\mu k. \tag{34}$$

U našem primeru je $\alpha _{\max }\approx 12,4$ stepeni i $\alpha _{0}\approx 70$ stepeni. Student može sam dalje da analizira neke mogućnosti kretanja za drugačije odnose parametara.