Rad i energija

Mehanički rad

Zbog delovanja jednih tela na druga raznim silama nastaje pomeranje tela, tj. kretanje. Kako će, i koliko će, da se pomeri neko telo pod dejstvom drugog tela zavisi od sile koja izaziva pomeranje. Otuda se javlja potreba da se okarakteriše to dejstvo sile koja je u vezi sa pomeranjem. Uvodi se fizička veličina koja je srazmerna sili i pomeraju (priraštaju puta).

Ta fizička veličina naziva se mehanički rad. Puni fizički smisao rada se može objasniti tek kada se ustanovi veza između izvršenog rada i odgovarajuće promene energije. Videćemo da rad možemo shvatiti kao meru prenošenja energije s jednog tela na drugo, ili pretvaranja energije iz jednog oblika u drugi. Otuda možemo govoriti o raznim oblicima rada: mehanički rad, izlazni rad elektrona, rad električne struje itd.

U mehanici, sila vrši rad samo ako svojim dejstvom pomera telo, pri čemu savlađuje sile koje se suprotstavljaju pomeranju (sile trenja).

Uzmimo najprostiji slučaj kada konstantna sila dejstvuje na neko telo u pravcu pomeranja. Tada je izvršeni rad:

$$A=F\Delta s. \tag{1}$$

Ovde je $\Delta s$ priraštaj puta (telo je za neko vreme prešlo iz položaja 1 u položaj 2), Sl. 1.

Sl. 1 Pod dejstvom sile telo se pomerilo

Ako stalna sila ne deluje u pravcu pomeranja, već sa putanjom tela zaklapa ugao $\theta$, tada se kretanje realizuje pod dejstvom komponente sile , koja deluje u pravcu pomeranja, Sl. 2. U skladu sa (1), rad je u ovom slučaju:

$$A=F_{\text{s}}\Delta s. \tag{2}$$

Sl. 2 Kosa sila pomera telo po horizontalnoj podlozi

Pošto je:

$$F_{\text{s}}=F\cos \theta, \tag{3}$$

za rad možemo dalje pisati:

$$A=F\Delta s\cos \theta. \tag{4}$$

Desna strana jednačine u stvari predstavlja skalarni proizvod sile i puta:

$$A=\vec{F}\cdot \Delta \vec{s}. \tag{5}$$

U prvoj lekciji smo razjasnili da je $\Delta \vec{s}=\Delta \vec{r}$. Za malene pomeraje izjednačavamo diferencijale, te je ukupan rad pri nekom konačnom pomeranju između tačaka 1 i 2 na putu $s$

$$A=\int_{1}^{2} \vec{F}\cdot d\vec{r}. \tag{5a}$$

Moguće je korisiti i formulu

$$A=\int_{1}^{2} F_{\tau }dr. \tag{5b}$$

Ovde je $F_{\tau }$ tangencijalna komponenta vektora sile (komponenta duž puta).

Rad je skalarna veličina; određen je mernim brojem i jedinicom.

Sad možemo pobrojati opšte osobine rada posmatrajući na primer relaciju (5):

1. Ako vektor sile zaklapa oštar ugao sa pomerajem $\Delta \vec{r}$ rad je pozitivan ($A>0$) — za $0^{0}<\theta <90^{0}$ je $\cos \theta$ pozitivan broj. Tada tangencijalna komponeta sile $\vec{F}_{s}$ ima isti smer kao vektor pomeraja $\Delta \vec{r}$.

2. Ako vektor sile zaklapa tup ugao sa pomerajem $\Delta \vec{r}$ rad je negativan ($A<0$) — za $90^{0}<\theta <180^{0}$ je $\cos \theta$ negativan broj. Tada tangencijalna komponeta sile $\vec{F}_{s}$ ima smer suprotan smeru vektora pomeraja $\Delta \vec{r}$.

3. Ako je sile normalna na put, tada je $\theta$ prav ugao, odnosno $\cos \theta =0$ i rad je jednak nuli; sila ne vrši rad u pretpostavljenom pravcu pomeranja tela.

4. Ako se poklapaju pravci sile i puta, biće:

a) $A=F\Delta s$ kad su i smerovi dva vektora isti,

b) $A=-F\Delta s$ kad su smerovi različiti.

Navedimo jedan ilustrativan primer. Kada dete vuče igračku po horizontalnom putu; ono svojom vučnom silom vrši pozitivan rad, sila trenja negativan rad, a sila zemljine teže ne vrši nikakav rad.

Posmatrajući formulu (5b) vidimo da možemo rad geometrijski interpretirati kao površinu ispod podintegralne funkcije, Sl. 3.

Sl. 3 Površina ispod grafika tangencijalne komponente sile je rad

Jedinica za rad u SI sistemu je džul. Oznaka je J. To je izvedena jedinica SI sistema. Lako je pokazati da je .

Kinetička energija

Osnovni oblik energije koji se javlja u mehanici je energija koja potiče od kretanja tela. Kako je materija u stalnom pokretu, tj. kretanje kao osnovna osobina materije je neprekidno i neuništivo, energija kretanja nema značaj samo u klasičnoj fizici, već i u svim drugim granama fizike (naročito u fizici elementarnih čestica čije su glavni eksperimentalni metodi zasnovani na kretanju i sudarima čestica-projektila i čestica mete).

Na osnovu brojnih ogleda, a takođe i iz života, utvrđeno je da kinetička energija direktno zavisi od kvadrata brzine i mase tela u pokretu:

(6)

Ovde je impuls tela (kaže se i količina kretanja).

Sl. 4 Razmišljamo o formuli za kinetičku energiju

Posmatrajmo jednostavno kretanje na Sl. 4. Pod dejstvom konstantne sile premešta se telo duž horizontalne podloge, bez trenja. Znamo da će rasti brzina tela u toku kretanja, u skladu sa drugim Njutnovim zakonom. Intuitivno osećamo da se u taj proces mora ulagati mehanički rad. Analizirajmo dalje:

Napišimo promenu kinetičke energije:

. (7)

Setimo se da je kod jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja

; (8)

pošto je dalje možemo pisati $A=F\Delta x$ i onda:

$$A=\Delta E_{\text{k}}. \tag{9}$$

Ovo je već bitan zakon mehanike: Promena kinetičke energije tela pri njegovom premeštanju iz jednog položaja u drugi jednaka je radu sile koja deluje na telo.

Ovo elementarno izvođenje ne gubi na značaju ni kada je sila promenljiva, a putanja proizvoljna kriva. (U teorijskoj mehanici daju se preciziranja ovog stava, što izlazi iz okvira našeg izlaganja.)

Gravitaciona potencijalna energija

Potencijalna energija karakteriše uzajamno delovanje tela. Uzajamno delovanje zavisi od međusobnog položaja tih tela. U zavisnosti od vrste interakcije postoji gravitaciona potencijalna energija, elektrostatička potencijalna energija, potencijalna energija elastične deformacije tela i sl.

Gravitaciona potencijalna energija tela u približno homogenom gravitacionom polju na površini Zemlje iznosi:

. (10)

Površinu Zemlje uzimamo obično kao nulti nivo () gravitacione potencijalne energije. Izbor nultog nivoa potencijalne energije je proizvoljan. Potencijalna energija tela ne zavisi od izbora referentnog sistema za razliku od kinetičke energije, koja zavisi od izbora referentnog sistema.

Sl. 5 Spoljašnja sila podiže telo na viši nivo

Razmotrićemo rad koji vrši spoljašnja sila pri podizanju tela iz početnog položaja (1), sa nivoa , na krajnji položaj (2), na viši nivo (Sl. 5). Spoljašnja sila vrši rad protiv sile Zamljine teže; pretpostavimo da se telo penje bez ubrzanja. Ukupna sila na telo onda je jednaka nuli — to znači da se telo podiže silom koja je jednaka njegovoj težini. Zato je :

(11)

Pošto je, prema (10), priraštaj gravitacione potencijalne energije pri dizanju tela jednak

, (12)

uloženi rad za podizanje tela iznosi

. (13)

Promena gravitacione potencijalne energije jednaka je radu spoljašnjih sila. Ovaj fizički zakon ima strukturu kao i zakon (9) koji povezuje rad i kinetičku energiju.

Rad u gravitacionom polju ne zavisi od oblika putanje; važna je samo visinska razlika, koja je određena izborom početne i krajnje tačke.

Elastična deformacija opruge

Posmatrajmo oprugu koja je delovanjem spoljašnje sile deformisana (rastegnuta ili sabijena) za dužinu . U opruzi se razvija elastična sila, koja se suprotstavlja deformisanju. Po Hukovom zakonu, elastična sila linearno zavisi od deformacije i uvek je usmerena ka ravnotežnom položaju:

(14)

gde je k koeficijent elastičnosti opruge.

Odredimo rad spoljašnje sile kojom se isteže elastična

Sl. 6 Rastežemo elastičnu oprugu

opruga. (Ta sila može da bude npr. težina tela okačenog o oprugu.) Intenzitet spoljašnje sile izražava se istom formulom kojom se predstavlja intenzitet sile elastičnosti, ali sa suprotnim znakom:

(15)

Ovo je linearna zavisnost, te je srednja vrednost jednaka aritmetičkoj sredini početne i krajnje vrednosti:

. (16)

Na osnovu toga može se napisati izraz za rad spoljašnje sile pri rastezanju opruge od do , tj na putu :

. (17)

Tako dolazimo do rezultata

. (18)

Rad zavisi od kvadrata deformacije. Pri sabijanju opruge vrši se isti rad po veličini i znaku kao i pri istezanju opruge.

Vidimo da je pogodno uvesti novu fizičku veličinu

. (19)

Nju ćemo zvati potencijalna energija deformisane opruge, ili elastična potencijalna energija. Kada se opruga izduži u datim granicama od do , priraštaj potencijalne energije je

. (20)

Ovo nam omogućava da konačno napišemo

. (21)

Rad spoljašnje sile koja deformiše oprugu jednak je priraštaju njene potencijalne elastične energije.

Snaga

Rad, koji neka sila izvrši na zadatom putu, principijelno ne zavisi je od vremena. U praksi nije svejedno da li je rad izvršen za jednu sekundu ili za jedan čas. Zato se uvodi nova fizička veličina koja predstavlja meru za brzinu izvršenog rada. Ta veličina se naziva snaga i obično se obeležava P.

Ako sila izvrši rad za vreme , onda je srednja snaga u tom vremenskom intervalu:

. (22)

Otuda se često kaže da je snaga rad izvršen u jedinica vremena.

Ako je sila promenljiva, gornja relacija važi tek za maleni interval vremena. Onda uvodimo pojam trenutne snage i matematički korektno pišemo:

. (23)

Ako mehanički rad predstavimo u obliku skalarnog proizvoda sile i pomeraja,

(24)

za trenutnu snagu ćemo dobiti:

$$P=\frac{\vec{F}\cdot d\vec{r}}{dt}=\vec{F}\cdot \tag{25}$$

Snaga je jednaka skalarnom proizvodu sile i brzine kretanja tela.

Jedinica za snagu je vat (W). Jedinična snaga postoji kad se vrši rad od jednog džula u sekundi: $\text{W}=\text{J}/\text{s}$. Jedinica za snagu je izvedena jedinica SI sistema i važi $\text{W}=\text{kg}\,\text{m}^{2}/\text{s}^{3}$.