Elementi kinematike

Kretanja u fizici

Kretanje je opšta karakteristika materije. Kretanje može biti vrlo složeno i javlja se u više oblika (mehaničko, toplotno, elektromagnetno itd.). Najprostiji oblik kretanja, koji se sastoji u pomeranju tela ili njegovih delova, jedno u odnosu na drugo, proučava mehanika.

Mehanika se deli, u zavisnosti od dimenzija tela i brzine kretanja, na klasičnu, relativističku i kvantnu mehaniku.

Klasična (Galilej-Njutnova) mehanika se bavi proučavanjem najjednostavnijih oblika kretanja makrotela (makrotelo je sastavljeno iz ogromnog broja sićušnih delova, atoma), brzinama znatno manjim od brzine svetlosti u vakuumu, $v<<c_{0}$. Makrotelo se posmatra kao celina, pa se zato za opisivanje njegovog kretanja uzima minimalni broj parametara.

Zakoni klasične mehanike postaju suviše aproksimativni, i praktično se ne mogu koristiti kad su brzine uporedive sa brzinom svetlosti ($v\approx c_{0}$). Za proučavanje ovakvih kretanja važe zakoni Ajnštajnove, relativističke mehanike.

Kretanja elementarnih čestica — elektrona, protona, neutrona itd, ili delića koji se sastoje od malog broja elementarnih čestica, tj. mikroskopskih tela, može se tretirati samo metodima kvantne mehanike. Kvantnomehanički zakoni se razlikuju od zakona u klasičnoj mehanici, do njih se dolazi statističkom interpretacijom rezultata. Dakle:

Pri izučavanju makrotela, preovladava fenomenološki pristup: pojava ili objekt se opisuju kao celina, dok se o strukturi ne vodi računa. Svakako da ovakav način proučavanja ne može dovesti do zadovoljavajućih rezultata kada je u pitanju suština, povezanost i uzajamni odnosi mikroelemenata fizičke stvarnosti. Proučavanje mikroprocesa dovodi do rezultata koji dublje i potpunije odražavaju fizičku realnost.

Ipak, prirodno je i neophodno da se na početku izuče zakoni klasične mehanike, pa ćemo tako i postupiti. Na početku, naravno, govorimo o kinematici, delu mehanike koji izučava premeštanje tela u vremenu kroz prostor.

Premeštanje tela u referentnom sistemu

Prostor i vreme su osnovni pojmovi našeg poimanja sveta — fizika im samo ustanovljava svojstva. Klasična fizika smatra da su prostor i vreme nezavisni od materije; prostor je trodimenzionalan, homogen, neprekidan i izotropan; vreme je homogeno i neprekidno.

Kretanja se analiziraju u pogodno izabranom sistemu referencije (SR); on se sastoji od sistema koordinata i časovnika. Važan je pogodan izbor SR u datom problemu.

Posmatrajmo na Sl. 1 kretanje malog tela $M$ (materijalne tačke) po trajektoriji (putanji). U trenutku $t_{1}$ nalazi se u tački $M_{1}$, kasnije u trenutku $t_{2}$ ono je u tački $M_{2}$.

Radijus vektor daje trenutni položaj tačke na trajektoriji u SR:

$$\begin{aligned}\vec{R}_{1}=\vec{i}x_{1}+\vec{j}y_{1}+\vec{k}z_{1}, \\ \vec{R}_{2}=\vec{i}x_{2}+\vec{j}y_{2}+\vec{k}z_{2}.\end{aligned} \tag{1}$$

Sl. 1 Telo na putanji viđeno iz dva sistema referencije

Konačni pomeraj za vreme $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ je $\Delta \vec{R}=\vec{R}_{2}-\vec{R}_{1}$; interval ili rastojanje dve tačke,

$$\Delta R^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} \tag{2}$$

ne zavisi od izbora koordinata; ta veličina je ista i kad se izračuna u SR ${O'}$. Važno svojstvo pomeranja je aditivnost: $\Delta \vec{R}=\int_{1}^{2} d\vec{R}$. Elemenat puta $s=\left|\Delta \vec{R}\right|$ je skalar.

Srednja i trenutna brzina

Srednja brzina je pređeni interval puta u jedinici vremena, ili

$$\vec{v}_{\text{sr}}=\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}. \tag{3}$$

Trenutna brzina se dobija kad se posmatra granični proces $\mathop{\text{lim}}\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}$:

$$\vec{v}=\frac{d\vec{R}}{dt}. \tag{4}$$

Iskustvo pokazuje da pri mehaničkom premeštanju važi princip superpozicije:

$$\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}. \tag{5}$$

To je jasno uočio i o tome razložno govorio još Galileo Galilej, utemeljivač kinematike.

Srednje i trenutno ubrzanje

Ubrzanje je fizička veličina koja pokazuje kako se menja brzina nekog tela pri kretanju u toku vremena. Neka materijalna tačka u položaju $M_{1}$ na Sl. 1 ima brzinu $\vec{v}_{1}$, a u položaju $M_{2}$ ima brzinu $\vec{v}_{2}$. Brzine $\vec{v}_{1}$ i $\vec{v}_{2}$ u opštem slučaju imaju i različite intenzitete i različite pravce. Ako vektor $\vec{v}_{2}$ dovedemo u tačku $M_{1}$, onda će priraštaj brzine biti:

$$\Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}. \tag{6}$$

Vektor $\Delta \vec{v}$ uvek je usmeren ka konkavnom delu trajektorije. Količnik priraštaja brzine i odgovarajućeg vremena predstavlja srednje ubrzanje:

$$\vec{a}_{\text{sr}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}. \tag{7}$$

Trenutno ubrzanje dobijamo ako pustimo da vreme teži nuli. Tada je:

$$\vec{a}=\mathop{\text{lim}}\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}. \tag{8}$$

Mi ovde razmatramo kretanje u ravni. Trenutno ubrzanje je pogodno razložiti na dve uzajamno normalne komponente, kako je prikazano na Sl. 2.

$$\vec{a}=\vec{a}_{\tau }+\vec{a}_{\text{n}}. \tag{9}$$

Vektor $\vec{a}_{\tau }$ se naziva tangencijalno ubrzanje (ima pravac tangente na putanju u datoj tački), a vektor $\vec{a}_{n}$ normalno ubrzanje (ima pravac normale na tangentu). Analizom tangencijalnog i normalnog ubrzanja dobijaju se formule za intenzitete komponenti ubrzanja

$$a_{\tau }=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}, \tag{10}$$ $$a_{\text{n}}=\frac{v^{2}}{r}. \tag{11}$$

Ovde je $r$ poluprečnik krivine na datom mestu trajektorije u ravni papira; intenzitet brzine tela u toj tački je $v$.

Sl. 2 Putanja u ravni; razlaganje vektora ubrzanja

Ukupno ubrzanje ima intenzitet, prema (9):

$$a=\sqrt{a_{\tau }^{2}+a_{\text{n}}^{2}}. \tag{12}$$

Ubrzanje uvek postoji kad se brzina menja — bilo po intenzitetu, bilo po pravcu. Prema tome, svako krivolinijsko kretanje je ubrzano, a smer ubrzanja je uvek ka konkavnom delu putanje.

Putanja se meri u metrima, a vreme u sekundima. Jedinica za brzinu je metar u sekundu $\left(\text{m}/\text{s}\right)$. Jedinica za ubrzanje je metar u sekundu za sekund $\left(\text{m}/\text{s}^{2}\right)$.

Jednoliko pravolinijsko kretanje

Zamislimo da se telo kreće pravolinijski. Normalno ubrzanje ne postoji, pošto je poluprečnik krivine tada beskonačan. Ako je još kretanje jednoliko, nema ni ubrzanja u smeru kretanja. Ukupno ubrzanje je nula:

$$a=0. \tag{13}$$

To znači da se brzina kretanja ne menja:

$$v=\text{const}. \tag{14}$$

Možemo smatrati da se kretanje izvodi duž prave koju ćemo poistoveti sa x-osom. Gledajući Sl. 3 pišemo:

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x-x_{0}}{t}. \tag{15}$$

Sl. 3 Jednoliko kretanje materijalne tačke po pravoj liniji

U početnom trenutku telo je bilo u tački M (s koordinatom $x_{0}$), pa je posle vremena $t$ stiglo u tačku N (s koordinatom $x$).

Zavisnost puta od vremena zvaćemo zakon kretanja. Vidimo da je u ovom jednostavnom slučaju zakon kretanja linearan:

$$x=x_{0}+v\cdot t. \tag{16}$$

Na Sl. 4 dati su grafici pređenog puta u vremenu za jednoliko pravolinijsko kretanje tela.

Sl. 4 Zakon jednolikog pravolinijskog kretanja

Mogu se crtati i grafici brzine u funkciji vremena. Tada, pređeni put $s$ za vreme t predstavlja površinu ispod linije $v=f(t)$.

Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje

Ako se tačka kreće po pravoj tako da u jednakim vremenskim intervalima prelazi različite puteve, kretanje nazivamo promenljivo. Ovde ćemo analizirati jednoliko ubrzano promenljivo kretanje, kad važi.

$$a=\text{const}. \tag{17}$$

Tada možemo pisati:

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_{0}}{t}. \tag{18}$$

U početnom trenutku brzina je bila $v_{0}$. Posle vremena $t$ brzina je $v$. Vidimo, brzina se linearno povećava:

$$v=v_{0}+at. \tag{19}$$

Na Sl. 5 je predstavljen grafik zavisnosti brzine od vremena.

Sl. 5 Brzina jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja

Pređeni put se može grafički odrediti kao površina ispod linije $v=\operatorname{f}(\operatorname{t})$. Zakon puta je

$$s=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}. \tag{20}$$

Iz relacija (19) i (20), eliminacijom vremena, dobijamo:

$$v^{2}=v_{0}^{2}+2as. \tag{21}$$

Znači, relacije koje ćemo koristiti pri analizi jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja su:

$$\begin{aligned}v=v_{0}+\operatorname{a}\cdot t \\ s=v_{0}t+\frac{\operatorname{a}t^{2}}{2} \\ v^{2}=v_{0}^{2}+2\operatorname{a}s\end{aligned} \tag{22}$$

Jednoliko usporeno kretanje se tretira istim jednačinama, uz očevidnu smenu $a\to -\left|a\right|$.

Galilejeve transformacije

Translacija tela se opisuje sa najviše tri stepena slobode. Rotacija krutog tela ima najviše tri stepena slobode. Tako, nedeformabilno telo ima šest stepeni slobode. Ponekad je u analizi potrebno iskoristiti pokretni SR. Posebno su značajni inercijalni referentni sistemi; oni se kreću,

Sl. 12 Dva inercijalna referentna sistema. Sistem

referencije $S$ uslovno miruje. U odnosu na njega,

sistem referencije ${S'}$ kreće se duž zajedničke

horizontalne ose stalnom brzinom. Ose dva sistema

su međusobno paralelne.

jedan u odnosu na drugi, pravolinijski i jednoliko. Po Galileju, kinematičke veličine u dva inercijalna referentna sistema u ovakvoj međusobnoj zavisnosti:

$${x'}=x-vt \tag{46}$$ $${y'}=y \tag{47}$$ $${z'}=z \tag{48}$$ $${t'}=t \tag{49}$$

Neprimovani sistem relativno miruje. Primovani sistem se kreće u odnosu na neprimovani brzinom $v$ duž ose x (ose su međusobno paralelne). Vreme teče jednako u oba sistema. Poprečne koordinate se ne menjaju. Ubrzanja su ista u dva sistema, a brzine su aditivne:

$$\vec{w}=\vec{v}+{\vec{v}'}. \tag{50}$$

Ovo je princip nezavisnosti kretanja, za male brzine. Galilejeve transformacije određuju klasičnu sliku prostora i vremena.

Godine 1905. ujedinio je Ajnštajn predstavu prostora i vremena u jedinstveni fizički prostor-vreme u kojem su na snazi ne Galilejeve, nego Lorencove transformacije. Ove nove, relativističke transformacije važe za sve brzine (do brzine svetlosti u vakuumu, koja je maksimalna dopustiva brzina u Prirodi.), a za male brzine svode se na klasične Galilejeve transformacije.

Rešavanje kinematičkih problema

Zadaci prvog tipa*.* Dat je zakon kretanja; treba naći brzinu i ubrzanje. Primenjuje se diferenciranje. Dakle, poznata je funkcija $\vec{R}=\vec{f}\left(t\right)$, tj $x=f_{1}\left(t\right)$ itd. Onda je komponenta brzine

$$\frac{dx}{dt}=\frac{df_{1}}{dt}, \tag{51}$$

itd. Komponenta ubrzanja je

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d^{2}f_{1}}{dt^{2}}, \tag{52}$$

itd, za sve druge komponente.

Zadaci drugog tipa*.* Dato je ubrzanje. Treba odrediti zakon brzine i položaja. Primenjuje se integracija. Dakle, iz $\vec{a}=\vec{f}\left(t\right)$ imamo

$$\vec{v}=\int \vec{a}dt+\vec{C}_{1}=\vec{\varphi}\left(t\right)+\vec{C}_{1} \tag{53}$$

Posle toga je i

$$\vec{R}=\int \vec{\varphi}\left(t\right)dt+\vec{C}_{1}t+\vec{C}_{2} \tag{54}$$

Ovdje se sada traže i dva početna uslova!

Pređimo na neke primere.

Kosi hitac

Kosi hitac predstavlja kretanje tela kome je saopštena neka početna brzina pod uglom α u odnosu na horizontalni pravac. Putanju ćemo odrediti polazeći od zakona kretanja

$$m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}. \tag{1}$$

Na telo deluje jedino sila gravitacije (kad zanemarimo trenje). Kretanje tela ćemo analizirati u xOy koordinatnom sistemu.

Sl. 13 Ilustracija kretanja u ravni: kosi hitac nad površinom Zemlje

Gravitaciona sila deluje duž y ose i ima samo vertikalnu projekciju $F_{\text{y}}=-mg$. Ovo je konstantna sila koja izaziva, kako smo razjasnili na prvom predavanju, jednoliko ubrzano kretanje, s ubrzanjem $-g$. Duž horizontalne ose ne deluju sile, nema ubrzanja — kretanje je jednoliko. Tako možemo da pišemo za komponente brzine

$$v_{\text{x}}=v_{0\text{x}}, \tag{2}$$ $$v_{\text{y}}=v_{0\text{y}}-gt. \tag{3}$$

Odavde, integracijom, neposredno dobijamo zakon kretanja tela koje je startovalo iz koordinatnog početka:

$$x=v_{0x}t, \tag{4}$$ $$y=v_{0\text{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2}. \tag{5}$$

Gornje jednačine su parametarske jednačine putanje tela. Eliminisaćemo parametar vreme i dobiti jednačinu putanje u vertikalnoj ravni

$$y=v_{0\text{y}}\frac{x}{v_{0\text{x}}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0\text{x}}}\right)^{2}. \tag{6}$$

Uzmimo još u obzir da je $v_{0x}=v_{0}\text{cos}\alpha$ kao i $v_{0y}=v_{0}\text{sin}\alpha$. Dobijamo posle elementarnog sređivanja izraza jednačinu parabole

$$y=\text{tg}\alpha \cdot x-\frac{g}{2v_{0}^{2}\text{cos}^{2}\alpha }x^{2}. \tag{7}$$

Priložimo kraću analizu ove formule. Prvo, odredimo domet tela (položaj tačke B). Stavimo da je u tački udara tela o tlo, na rastojanju $x_{\text{B}}$ od početka, $y=0$. Jednačina (7) onda daje rešenje:

$$x_{d}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}. \tag{8}$$

Najveći domet ćemo dobiti za $\alpha =45^{\circ }$ (kada je $\text{sin}2\alpha =1$).

Odredimo sada maksimalnu visinu tela na putanji, u tački A. U toj tački ne postoji vertikalna komponenta brzine: $v_{\operatorname{y}}=0$. Stoga, vreme penjanja tela do maksimuma iznosi:

$$t_{\text{m}}=\frac{v_{0}\text{sin}\alpha }{g}. \tag{9}$$

Ovo nam omogućava da odredimo horizontalno rastojanje tačke A:

$$x_{\text{m}}=v_{0}\text{cos}\alpha \cdot t_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{2g}. \tag{10}$$

Visinu maksimuma sada nalazimo iz jednačine putanje. Rezultat je

$$y_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}^{2}\alpha }{2g}. \tag{11}$$

U realnim uslovima, npr. pri izbacivanju projektila, moraju se uzeti u obzir realni uslovi (trenje sredine, otpor vazduha). Kriva koja se dobija u tom slučaju naziva se balistička kriva. Problemima putanje raznih projektila bavi se posebna nauka — balistika.

Posebni slučajevi

Horizontalni hitac predstavlja slučaj izbacivanja tela pod uglom $\alpha =0^{\circ }$. Zato je jednačina putanje (videti (7))

$$y=-\frac{g}{2v_{0}^{2}}x^{2}. \tag{12}$$

Ako se telo spustilo za $-H$, horizontalni mu je otklon

$$x_{\text{H}}=v_{0}\sqrt{\frac{2H}{g}}. \tag{13}$$

Vertikalni hitac je izbacivanje tela date početne brzine pod uglom $\alpha =\pi /2$. To je prosta ilustracija jednoliko usporenog kretanja, za koje smo izučili formule u prvom predavanju. Do maksimalne tačke telo stiže posle vremena

$$t_{\text{m}}=\frac{v_{0}}{g}. \tag{14}$$

Maksimalna visina na koju se popne iznosi

$$h_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}}{2\text{g}}. \tag{15}$$

Vertikalni hitac naniže tretira se formulama za jednoliko ubrzano kretanje s početnom brzino.

Galilejev opit u Pizi

Padanje tela bez početne brzine, samo pod uticajem Zemljine teže, naziva se slobodno padanje. Galilej je prvi analizirao ovu vrstu kretanja posmatranjem padanja tela sa kosog tornja u Pizi. Galiljev opit, u našem vremenu, skiciran je na Sl. 14.

Sl. 14 Sećanje na Galilejev opit: merenje vremena preleta

Kuglica počinje da pada bez početne brzine. Kada prevali visinu $h_{0}$ njena je brzina

$$v_{0}=\sqrt{2gh_{0}}. \tag{16}$$

Na tom mestu kuglicu primeti optički senzor $S_{1}$ i daje signal meraču vremena (tajmer) na ulazu 1 i on zabeleži taj trenutak $t_{1}$. Kada kuglica stigne naspram senzora $S_{2}$ on šalje signal tameru na ulazu 2 i fiksira se trenutak prispeća $t_{2}$; na dipsleju D očitavamo interval vremena $\Delta t=t_{2}-t_{1}$. Kako se kuglica na putu između dva senzora kretala jednako ubrzano sa početnom brzinom, pređeni put je

$$\Delta h=\sqrt{2gh_{0}}\Delta t+\frac{1}{2}g\left(\Delta t\right)^{2}. \tag{17}$$

Na Sl. 15 vidimo grafik puta u funkciji vremena preleta. U jednom merenju smo dobili da je, u srednjem, kuglici trebalo 0,163 s da pređe put 40 cm (s početnom brzinom $v_{0}$ koja ogovara padanju od $h_{0}=15$ cm). Sa slike vidimo da u idealnom slučaju kuglica putuje 0,16 s.

Sl. 15 Kako pređeni put zavisi od vremena u opitu sa Sl. 14