Talasne funkcije za vodonik

Talasna funkcija za osnovno stanje

Rešavanjem Šredingerove jednačine dobija se talasna funkcija za vodonik u osnovnom stanju

$$\psi _{1s}\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}e^{-r/a_{0}}. \tag{1}$$

Rešenje je sferno simetrično. Parametar $a_{0}$ je Borov radijus atoma.

Verovatnoća osnovnog stanja

Imajući u vidu gornji rezultat, nalazimo verovatnoću osnovnog stanja

$$\left|\psi _{1s}\right|^{2}=\left(\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}\right)e^{-2r/a_{0}}. \tag{2}$$

Verovatnoća $dP$ da se elektron nađe u elementu zapremine $dV$ iznosi

$$dP=\left|\psi _{1s}\right|^{2}dV. \tag{3}$$

Dopustimo da je ta zapremina tanka ljuska debljine $dr$ na nekom poluprečniku $r$, kao na slici 1:

Sl. 1 Sferna ljuska radijusa $r$ i debljine $dr$

Tada je $dV=4\pi r^{2}dr$. Budući da je $dP=P\left(r\right)dr$, može da se izračuna gustina verovatnoće $P\left(r\right)$ da elektron bude u toj zapremini:

$$P\left(r\right)=\left|\psi _{1s}\right|^{2}4\pi r^{2}. \tag{4}$$

Gustina verovatnoće za osnovno stanje iznosi:

$$P_{1s}\left(r\right)=\left(\frac{4r^{2}}{a_{0}^{3}}\right)e^{-2r/a_{0}}. \tag{5}$$

Nacrtajmo ovu funkciju:

Sl. 2 Gustina verovatnoće za osnovno stanje

Treba primetiti da verovatnoća ima maksimum kad je poluprečnik jednak Borovom poluprečniku atoma, $r_{\max }=a_{0}$. Sferni elektronski oblak za vodonikov atom u 1s stanju može da se vizualizuje na sledeći način:

Sl. 3 Sferni elektronski oblak za vodonik u osnovnom stanju

Atom kao mikroobjekat

Primećujemo da elektron nije obavezno na ljusci poluprečnika $r_{\max }=a_{0}$. Samo je najverovatnije da će se elektron naći na putanji sa Borovim radijusom!

Bornova interpretacija Šredingerove talasne funkcije omogućava, vidimo, da se Borov pojam stacionarne orbite stavi u širi teorijski kontekst.

Srednje rastojanje elektrona od jezgra je 1,5 puta Borov radijus.

Ne postoji oštra granica atoma! Atom je neki difuzni prostor gde se može osetiti elektronski oblak.

Druga stanja atoma vodonika

Pomoću Šredingerove jednačine mogu se analizirati i druga stanja atoma vodonika, ne samo osnovno stanje. Na slikama 4, 5 i 6 vidimo funkcije verovatnoća za nekoliko stanja atoma vodonika, tačnije radijalne komponente gustine verovatnoće kao funkcije normalizovanog rastojanja $r/a_{0}$.

Sl. 4 Radijalne funkcije za stanja „dva-es”, „tri-es” i „četiri-es”

Sl. 5 Radijalne funkcije za stanja „dva-pe”, „tri-pe” i „četiri-pe”

Sl. 6 Radijalne funkcije za stanja „tri-de”, „četiri-de” i „četiri-ef”

Samo su „es-stanja” sferno simetrična.

Domaći zadatak

1) Izračunajte najverovatniji poluprečnik za elektron u osnovnom stanju atoma vodonika. Uputstvo: traži se položaj maksimuma krive (5). (Podsetimo se da je u klasičnoj Borovoj teoriji $a_{0}=\frac{\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}=0,0529\;\text{nm}$. Ovde je $k_{\text{e}}=1/4\pi \varepsilon _{0}$)

2) Izračunajte verovatnoću da je elektron iz gornjeg zadatka van Borovog poluprečnika. Uputstvo: Treba rešiti integral $P=\int_{a_{0}}^{\infty } P_{1s}\left(r\right)dr$. (Rezultat je 0,677 ili 67,7%.)