Šredingerov opis atoma vodonika

Potencijalna energija elektrona u atomu vodonika

Borov model unapredio je teoriju atoma početkom 20. veka. On je uveo pojam stacionarnih orbita u vidu postulata. Onda je De Brolj otkrio talasnu prirodu elektrona; pokazao je da talasi materije daju na dozvoljenim orbitama stojeće talase — time je osvetljen Borov postulat. Kasnije je sve ovo dosledno objašnjeno primenom kvantne mehanike.

Potencijalna energija elektrona u električnom polju protona je

$$U\left(r\right)=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r}. \tag{1}$$

Ovde je $e=1,6\cdot 10^{-19}$ (elementarno naelektrisanje), a $r$ rastojanje od protona u centru atoma do orbitalnog elektrona. Nacrtajmo ovu funkciju; dobija se grafik:

Potencijalna energija u funkciji radijusa, za vodonik

Rastojanje elektron-proton je normalizovano Borovim radijusom $a$ (koji iznosi oko pola angstrema).

Dozvoljena stanja atoma vodonika

Izraz za potencijalnu energiju treba staviti u Šredingerovu jednačinu i rešavati. Proces rešavanja je dosta komplikovan. Ovde dajemo samo opis rešenja.

Energije dozvoljenih stanja atoma vodonika su date izrazom

$$E_{\text{n}}=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}}\left(\frac{1}{n^{2}}\right). \tag{2}$$

Izraz se potpuno slaže sa Borovom formulom. Kad se rešava trodimenzionalni slučaj, Šredingerova jednačina daje tri kvantna broja za svako stacionarno stanje; to su brojevi $n$, $\ell$ i $m_{\ell }$.

Broj $n$ se zove glavni kvantni broj. Ima opseg od 1 do $\infty$, to jest vrednosti 1, 2, 3, … — bez ograničenja.

Broj $\ell$ se zove orbitalni kvantni broj. Ima opseg od 0 do $n-1$, to jest vrednosti 0, 1, 2, …, n-1. Dakle, ukupno n mogućnosti.

Broj $m_{\ell }$ se zove orbitalni magnetski kvantni broj. Ima opseg od $-\ell$ do $\ell$, to jest vrednosti $-\ell$, $-\ell +1$, …, 0, …, $\ell -1$, $\ell$. Dakle ukupno $2\ell +1$ mogućnosti.

Ljuske i podljuske

Iz istorijskih razloga kaže se za sva stanja sa istim glavnim kvantnim brojem da čine ljusku (engleski: shell). Simboli ljuski su K, L, M, …

Slično, sva stanja koja imaju specificirane brojeve $n$ i $\ell$ čine podljusku (subshell); one se označavaju slovima s, p, d, f, g, h… Pregledno su ove veze date u donjoj tabeli.

Na primer, stanje označeno kao $3p$ ima $n=3$ i $\ell =1$. Stanja mimo datih opsega ne mogu postojati. Tako, ne može postojati stanje $2d$, već samo $2s$ i $2p$.

Jedan primer

Za vodonikov atom, odrediti broj orbitalnih stanja koja odgovaraju glavnom kvantnom broju $n=2$ i izračunati energije ovih stanja.

Odgovor: Kad je $n=2$, $\ell$ sme biti samo 0 ili 1. Za $\ell =0$ $m_{\ell }$ može biti jedino 0. Kada je $\ell =1$, $m_{\ell }$ sme da bude $-1$. 0 ili 1. Dakle, imamo stanje označeno kao $2s$ (to jest $n=2$, $\ell =0$ i $m_{\ell }=0$); i imamo tri orbitalna stanja označena kao $2p$ (to jest prvo: $n=2$, $\ell =1$ i $m_{\ell }=-1$; drugo: $n=2$, $\ell =1$ i $m_{\ell }=0$; treće: $n=2$, $\ell =1$ i $m_{\ell }=1$).

Sva ova stanja imaju istu energiju koju izračunavamo iz formule (2) za $n=2$ i iznosi $E_{2}=-3,40\;\text{eV}$.

Značaj izučavanja atoma vodonika

Kada govorimo o osnovama kvantne mehanike i atomske fizike, često govorimo o atomu vodonika. Postoje duboki razlozi za to.

Prvo, mnogo od onog što naučimo o vodoniku, možemo preneti na znanje o jonima sa jednim elektronom (jon helijuma, dvostruko jonizovan litijum, i sl).

Drugo, atom vodonika je idealan za eksperimentalno testiranje teorije i za sticanje uvida u strukturu atoma.

Treće, kvantni brojevi koji opisuju dozvoljena stanja vodonika mogu približno da opišu i dozvoljena stanja složenijih elemenata. Ovo pomaže da razumemo periodni sistem elemenata — a to je jedan od krupnijih trijumfa kvantne mehanike.

Četvrto, osnovne ideje građe atoma moraju se duboko razumeti pre nego pređemo na izučavanje složenijih sistema (molekula, čvrstog stanja i sl).

Puno matematičko rešenje Šredingerove jednačine primenjene na vodonik daje kompletan i divan opis vodonikovih osobina.

Domaći zadatak

1) Koliko ima orbitalnih stanja za nivo $n=3$ kod vodonika? A koliko pri $n=4$?

(Odgovor: a) 9, b) 16.)

2) Kad je $n=4$, koliko različitih vrednosti postoji za a) $\ell$, a koliko za b) $m_{\ell }$?

(Odgovor: a) 4, b) 7.)

SPIN

Složena struktura jedne natrijumove linije

Pažljivije posmatranje jedne od natrijumovih spektralnih linija otkrilo je da postoji fina struktura; linija je dublet. Reč je o bliskim talasnim dužinama od $\lambda _{1}=589$ i $\lambda _{2}=589,6$.

Šta izaziva ovu malu razliku u talasnim dužinama?

Fizičari su uvideli potrebu da uvedu i četvrti kvantni broj; nazvali su ga spinski kvantni broj.

Klasična vizija spina

Zgodno je, mada nekorektno, za početak zamisliti elektron kao kuglicu koja rotira oko svoje ose dok kruži oko jezgra (analogija iz astronomije: Zemlja rotira oko sopstvene ose dok se kreće oko Sunca).

Postoje samo dva smera rotacije, videti donju sliku:

Sl. 10 Klasična pomoćna vizija spina

U magnetskom polju, energija elektrona neznatno zavisi od toga je li spin „gore” ili „dole” (engleski: up, i down). Upravo od ove razlike nastaje natrijumov dublet.

Kvantni brojevi pridruženi spinu

Kvantni brojevi pridruženi spinu su $m_{s}=\frac{1}{2}$ (spin-up) i $m_{s}=-\frac{1}{2}$ (spin-down).

Ovaj dodatni kvantni broj udvostručuje broj dozvoljenih stanja za date brojeve $n$, $\ell$ i $m_{\ell }$.

Klasična slika da elektron rotira nije korektna. Danas se misli da je elektron tačkast, i nema smisla zamišljati njegovu rotaciju. Ali, elektron ima neko unutrašnje svojstvo koje se mora opisati spinskim kvantnim brojem; svojstvo je povezano sa relativističkim osobinama elektrona; zahteva se četiri kvantna broja da bi se elektron smestio u četvorodimenzioni prostor-vreme.

Jedan primer

Ako uzmemo u obzir i spin, koliki je broj mogućih stanja kada je glavni kvantni broj $n=2$?

U donjoj tabeli je pregledno obrazloženo koje su dozvoljene mogućnosti

Tabela: Pregled kvantnih brojeva za atom vodonika, $n=2$

Domaći zadatak

Napraviti tabelarni pregled kvantnih brojeva za atom vodonika ako je $n=3$. Pokazati da tada postoji 18 dozvoljenih stanja.