Borova fizika

Rani modeli atoma

U Njutnovo vreme zamišljali su da je atom mala, nerazrušiva sfera. Ipak, ovaj grubi model je pomogao napretku fizike, posebno razvoju kinetičke teorije gasova. Kad je otkrivena električna priroda atoma, J. J. Thomson je dao finiji model atoma: elektroni uronjeni u pozitivno naelektrisan prostor:

Sl. 1 Tomsonov model atoma:

Elektroni u atomu kao semenke u lubenici

Godine 1911. izvodi Raderford eksperimente koji dovode u sumnju Tomsonov model. Pogledajmo šemu Raderfordovih merenja:

Sl. 2 Raderfordov metod posmatranja rasejanja alfa čestica

Alfa čestice iz izvora (radioaktivni preparat) usmeravaju se na metu kroz otvor na olovnoj ploči. Meta je tanka metalna folija. Na ekranu za posmatranje se vidi gde čestice padaju posle prolaska kroz foliju. Većina čestica ne skreću sa prvobitnog pravca, ili skreću

malo. Ali, neke čestice skrenu primetno. Pojedine čestice se čak odbijaju, idu nazad; ne često, ali jedna u 8000 ide nazad. (Kad je ovo video, Raderford je bio zaprepašćen; govorio je da je to najneverovatnija stvar koja mu se u životu dogodila.) Raderford je protumačio da je svo pozitivno naelektrisanje koncentrisano u malu zapreminu u centru atoma; tu oblast je nazvao jezgro, nukleus. Elektroni su onda u ostatku atoma i kruže oko jezgra, kao planete oko Sunca.

Sl. 3. Planetarni model atoma (levo). Teškoća planetarnog modela (desno):

kružeći, elektron zrači i na kraju pada u jezgro

Ovaj model ima dve zamerke. Prvo, ne objašnjava karakteristične spektre koje emituju atomi. Drugo, elektron koji kruži ima centripetalno ubrzanje; po Maksvelovoj teoriji, mora da zrači talase na učestanosti kruženja. Dok zrači, elektron gubi energiju i smanjuje mu se radijus rotacije — istovremeno mu raste učestanost te sve više energije izrači.

Na kraju bi elektron morao pasti u jezgro. Raderfordov atom je nestabilan!

Ovaj model unapredio je danski fizičar Nils Bor. Zaključio je da klasična teorija zračenja ne važi za atom. Elektroni kruže na specifičnim, „odabranim” orbitama, to su stacionarna stanja elektrona u atomu. Pogledajmo detalje:

Opitna baza eksperimentalne fizike na početku 20. veka

Atom vodonika je najjednostavniji. Važno je shvatiti njegovu građu. To znanje je onda temelj za shvatanje građe i složenijih atomskih sistema.

Zamislimo da je u staklenoj cevi vodonik (ili drugi neki gas). Izazovimo električno pražnjenje u cevi. Gas emituje svetlost. Kad ovu svetlost propustimo kroz spektroskop, vidimo niz diskretnih linija u spektru — on se zove emisioni spektar. Talasne dužine pojedinih linija karakteristične su za dati gas. Vidimo primere na Sl. 4.

Sl. 4 Vidljivi spektri. Linijski spektri dobijeni emisijom

u vidljivoj oblasti za vodonik, živu i neon

Zanimljivi rezultati se dobijaju i snimanjem apsorpcionih spektara. Apsorpcioni spektar za vodonik dat je na Sl. 5.

Sl. 5 Vidljivi spektri. Apsorpcioni spektar za vodonik. Tamne apsorpcione

linije leže na istoj talasnoj dužini kao i data emisiona linija za vodonik

Nema dva elementa sa istim spektrom; analiza spektara je moćan metod identifikacije elemenata u supstanciji. Ali, pre svega se pitamo, zašto su spektri linijski, i baš takvi?

Emisioni spektar vodonika dat je na donjoj slici, izdvojeno i sa više detalja:

Sl. 6 Balmerova serija spektralnih linija za atom vodonika

(Linija talasne dužine 364,6 nanometra je u ultraljubičastoj oblasti)

Balmer je 1885. našao da se talasne dužine ovog spektra uklapaju u formulu

$$\frac{1}{\lambda }=R_{H}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right). \tag{1}$$

Formula je empirijska i danas poznata kao Balmerova formula. Broj $n$ je prirodni broj jednak ili veći od tri. Konstanta je tzv Ridbergova konstanta, $R_{H}=1,01\times 10^{7}\text{m}^{-1}$.

Apsorpcioni spektar se dobija kad svetlosni snop kontinualnog spektra upravimo na gas, pa snimamo spektar koji je preostao posle prolaska kroz gas; tamo vidimo niz tamnih linija dodate na ostatak spektra. Fizičare je zanimalo, zašto su i apsorpcioni spektri linijski? Posebno, zašto se apsorbuju one linije koje se i zrače iz atoma?

Borova teorija

Pomak u tumačenju atoma dao je Nils Bor. On je došao do sledećih važnih zaključaka, koje tretiramo kao postulate teorije:

Prvi postulat

Sl. 7 Dijagram uz Borov model vodonikovog atoma;

Drugi postulat

Treći postulat

U skladu sa postulatima, pristupamo analizi. Električna potencijalna energija sistema sa Sl. 7 iznosi

$$U_{\text{e}}=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r}. \tag{2}$$

Ovde ćemo $k_{\text{e}}=1/4\pi \varepsilon _{0}$ zvati Kulonova konstanta. Ukupna energija atoma je

$$E=\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^{2}-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r}. \tag{3}$$

Po II Njutnovom zakonu je

$$k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r^{2}}=m_{\text{e}}\frac{v^{2}}{r}. \tag{4}$$

Zbog toga se kinetička energija može izraziti ovako:

$$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^{2}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2r}. \tag{5}$$

Zato je totalna energija atoma prema (3)

$$E=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2r}. \tag{6}$$

Energija je negativna, to znači da imamo vezani sistem elektrona i protona; to znači da se mora dodati energija u iznosu od $k_{\text{e}}e^{2}/2r$ tek da se otrgne elektron i totalna energija bude nula. Iz naših jednačina odmah sledi

$$r_{\text{n}}=\frac{n^{2}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}. \tag{7}$$

Odavde se izračunavaju radijusi Borovih orbita za vodonik. Oni su diskretni, ili kvantovani. Najmanji radijus je za $n=1$; on se zove Borov radijus $a_{0}$; vidimo da je

$$a_{0}=\frac{\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}=0,0529\;\text{nm}. \tag{8}$$

Prve tri Borove orbite proporcionalno su skicirane na Sl. 8. Sad lako nalazimo i dozvoljene energije; i one su kvantovane:

$$E_{\text{n}}=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}}\left(\frac{1}{n^{2}}\right). \tag{9}$$

Sl. 8 Prve tri Borove orbite za vodonik

Odavde se može dobiti numerička formula za energije datih orbita

$$E_{\text{n}}=-\frac{13,6}{n^{2}}\;\text{eV}. \tag{10}$$

Stanje za $n=1$ zove se osnovno stanje. Njemu pripada energija $E_{1}=-13,6\;\text{eV}$. Prvo eksitovano stanje je za $n=2$. Za njega je $E_{2}=-3,4\;\text{eV}$. Dole vidimo energija-nivo dijagram:

Sl. 9 Dijagram energetskih nivoa za vodonik.

Diskretne dozvoljene energije nanete su po vertikalnoj osi. Ništa nije naneto po horizontalnoj osi, već je crtež proširen da pokaže dozvoljene prelaze. Kvantni brojevi su dati na levo. Najmanja energija potrebna da se jonizuje atom (ukloni elektron sa osnovnog stanja od uticaja protona) zove se jonizaciona energija. Po Boru, jonizaciona energija za vodonik je $13,6\;\text{eV}$, tačno koliko daju i merenja! To je jedno od glavnih dostignuća Borove teorije. Na slici su naznačene i druge moguće spektralne serije (Lajmanova, Pašenova…), ne samo Balmerova.

Izvođenje Balmerove formule

Borova teorija omogućava da se izvede Balmerova formula. U skladu sa trećim postulatom pišemo za energiju fotona

$$hf=E_{\text{početna}}-E_{\text{finalna}}. \tag{11}$$

Pomoću veze $c=\lambda f$ dobijamo odavde

$$\frac{1}{\lambda }=\frac{f}{c}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}hc}\left(\frac{1}{n_{\text{finalno}}^{2}}-\frac{1}{n_{\text{pocetno}}^{2}}\right). \tag{12}$$

Ako stavimo da je

$$R_{\text{H}}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}hc} \tag{13}$$

vidimo da je gornji izraz (12) baš Balmerova formula. Bor je pokazao da može da reprodukuje vrednost Ridbergove konstante s ogromnom tačnošću od oko 1%. To je zbilja trijumf novih ideja koje je pokrenuo Nils Bor!

Nova, kvantna fizika počela je tako svoj pobedonosni put. Koncepcija prelaza između energetskih nivoa vodonika objašnjava spektre, što je bilo zagonetno u ranim modelima atoma. Jednom jonizovan helijum je Bor uspešno tretirao na gornji način i objasnio neke linije u sunčevoj svetlosti.

Borova teorija ipak nije mogla da objasni komplikovanije atome, kao ni fine detalje u spektru vodonika. Taj zadatak morale su da rešavaju potonje generacije fizičara. O tome ovde nećemo govoriti.

Borov princip korespodencije

Njutnova mehanika je specijalni slučaj relativističke mehanike; kada se telo kreće mnogo sporije od brzine svetlosti, relativističke formule se podudaraju sa klasičnim formulama; na primer, ajnštajnovska kinetička energija postaje jednaka polovini proizvoda mase mirovanja i kvadrata brzine. Nešto slično se može reći i za kvantnu mehaniku:

Ovo je Borov princip korespodencije.

Po klasičnoj slici zračenja, učestanost koju emituje atom jednaka je učestanosti kruženja elektrona na orbiti atoma. Pokazuje se da, praktično, istu učestanost imamo i po Borovom modelu, kad je, na primer, $n>10000$. Pri tako velikim kvantnim brojevima zanemarljiva je razlika energija između dva susedna nivoa. Pogledajmo detalje.

Kad se desi prelaz sa orbite $N+1$ na prvu donju orbitu, učestanost spektralne linije iznosi po Borovoj teoriji

$$f_{\text{B}}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}h}\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{\left(N+1\right)^{2}}\right). \tag{14}$$

Po klasičnoj fizici, za učestanost imamo formulu

$$f_{\text{KF}}=\frac{1}{T}=\frac{v_{\text{N}}}{2\pi r_{\text{N}}}. \tag{15}$$

Drugi Borov postulat daje mogućnost da pišemo $m_{\text{e}}vr=n\hbar$, a onda je

$$v_{\text{N}}=\frac{N\hbar }{m_{\text{e}}r_{\text{N}}}. \tag{16}$$

Istovremeno znamo da je $r_{\text{N}}=N^{2}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}$. Zato je odmah

$$f_{\text{KF}}=\frac{m_{\text{e}}k_{\text{e}}^{2}e^{4}}{2\pi N^{3}\hbar ^{3}}. \tag{17}$$

Sada napravimo količnik $f_{\text{B}}/f_{\text{KF}}$. Neposrednim zamenama dobijamo:

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}h}\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{\left(N+1\right)^{2}}\right)}{\frac{m_{\text{e}}k_{\text{e}}^{2}e^{4}}{2\pi N^{3}\hbar ^{3}}}. \tag{18}$$

Sredimo ovaj izraz; u prvom koraku imamo:

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{\hbar ^{2}}{2a_{0}m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}\frac{2+\frac{1}{N}}{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{2}}. \tag{19}$$

Pošto je $a_{0}=\hbar ^{2}/m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}$, izračunavamo da je

$$\frac{\hbar ^{2}}{2a_{0}m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}=\frac{1}{2}. \tag{20}$$

Tako stižemo do rezultata

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{1}{2}\frac{2+\frac{1}{N}}{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{2}}. \tag{21}$$

Veličina sa desne strane teži jedinici, kad se $N$ neograničeno uvećava. Tako se uveravamo da je u granici

$$f_{\text{B}}\to f_{\text{KF}}. \tag{22}$$

za velike vrednosti kvantnog broja. A to i jeste sadržaj Borovog principa korespodencije.

Domaći zadatak

a) Elektron u atomu vodonika prelazi sa druge orbite na prvu (osnovno stanje). Izračunati talasnu dužinu i učestanost emitovanog zračenja. (121,5 nm (ultravioletna oblast); $2,47\times 10^{15}$ Hz).

b) Izračunati talasnu dužinu ako elektron prelazi sa treće orbite u osnovno stanje. (102,6 nm.)