Drugi kvantni brojevi

Orbitalni kvantni broj

Energija nekog stanja uglavnom zavisi od glavnog kvantnog broja. Ali, kvantnih brojeva za atom ima više — svi oni potcrtavaju neki fundamentalni aspekt egzistencije atoma. Pogledaćemo kako ostali kvantni brojevi utiču na definiciju stanja atoma. Počnimo od orbitalnog kvantnog broja.

Razvoj kvantne mehanike je pokazao da je umesto postulata za kvantovanje momenta impulsa u obliku $L=mv_{\text{n}}r_{\text{n}}=n\hbar$, preciznije pisati za momenat impulsa orbitalnog elektrona

$$L=\sqrt{\ell \left(\ell +1\right)}\hbar. \tag{1}$$

Kvantni broj $\ell$, nazvan orbitalni kvantni broj, može imati diskretne vrednosti iz sledećeg niza brojeva:

$$\ell =0,1,2,...,n-1. \tag{2}$$

Bitna je ova okolnost: Nulti momenat količine kretanja realizuje se samo kroz jednu od mogućih vrednosti orbitalnog kvantnog broja, pa to ne stvara protivurečnost kao u Borovoj teoriji, gde rešenje za $L=0$ dovodi do fizički neprihvatljivih posledica.

Uradimo ovaj mali proračun. Orbitalni momenat impuls (kaže se i angularni moment, pa i moment količine kretanja) elektrona u $p$ stanju ($\ell =1$) iznosi $L=\sqrt{1\left(1+1\right)}\hbar =1,49\cdot 10^{-34}$ Js. Koliko je ovo mali broj vidi se kad se uporedi sa angularnim momentom rotacije Zemlje oko Sunca; on iznosi $2,7\cdot 10^{40}$ Js. Tu već važi princip korespodencije.

Magnetski orbitalni kvantni broj

Elektron koji kruži u datoj ljusci, stvara i neko magnetsko polje. Ako je atom u spoljašnjem polju indukcije $\vec{B}$, polje koje stvara elektron interaguje sa ovim spoljašnjim poljem. Neka je spoljašnje polje duž ose z, onda z-projekcija vektora angularnog momenta može imati samo diskretan niz vrednosti; dozvoljene vrednosti su:

$$L_{z}=m_{\ell }\hbar. \tag{3}$$

Ova se pojava zove prostorno kvantovanje. Broj $m_{\ell }$ ima vrednosti od $-\ell$ do $+\ell$. Vektorski model za $\ell =2$ vidimo na donjoj slici:

Sl. 1 Dozvoljene projekcije obitalnog angularnog momenta za $\ell =2$

Orbitalni angularni momenat leži na površini konusa i precesira oko z-ose kada je magnetsko polje uključeno u datom smeru, Sl. 2.

Sl. 2 Precesija orbitalnog angularnog momenta

Sa slike se vidi da ugao $\theta$ nikad ne može biti nula. Zaista, vidimo da važi

$$\cos \theta =\frac{L_{z}}{\left|\vec{L}\right|}=\frac{m_{\ell }}{\sqrt{\ell \left(\ell +1\right)}}. \tag{4}$$

Ugao $\theta$ je kvantovan. Po principu neodređenosti, možemo znati moduo vektora $\vec{L}$ i jednu projekciju, $L_{z}=m_{\ell }\hbar$; ostale dve projekcije su neodređene; ali, zbog toga što vektor precesira, srednja vrednost ove dve projekcije jednaka je nuli.

Štern-Gerlahov eksperiment

Prostorno kvantovanje je eksperimentalno potvrđeno 1921. To je poznati Štern-Gerlahov eksperiment Snop neutralnih atoma srebra propuštan je kroz nehomogeno magnetsko polje. Snop se razbio na dva dela. (Isto se dobilo i za atome vodonika (1927, Phipps i Taylor)).

Sl. 3 Štern Gerlahov eksperiment, šema aparature

Snop neutralnih atoma srebra razbijen je na dve komponente pomoću nehomogenog magnetskog polja, kao što se vidi na šemi donje slike:

Sl. 4 Štern Gerlahov eksperiment.

Magnetski momenti atoma nisu kontinualno raspodeljeni u prostoru, što je sadržaj klasičnog očekivanja. Oni imaju samo nekoliko dozvoljenih vrednosti.

U ovom opitu, tražen je dokaz za kvantovanje orbitalnog angularnog momenta, a otkriven uticaj… spina!

Spinski angularni moment

U datom stanju, elektron ima i orbitalni, $\vec{L}$, i spinski, $\vec{S}$, angularni moment — njihov zbir je totalni angularni momenat. (U gruboj klasičnoj predstavi, orbitalni moment odnosi se na kretanje elektrona oko jezgra, a spinski moment na rotaciju samog elektrona.)

Kvantni broj za spin je uvek $s=1/2$. Zato je veličina spinskog angularnog momenta

$$S=\sqrt{s\left(s+1\right)}\hbar =\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar. \tag{5}$$

I ovaj vektor je prostorno kvantovan, videti sliku:

Sl. 5 Dve orijentacije spinskog vektora S za elektron (spin ½)

Vidimo da spinski angularni momenat može imati samo dve orijentacije, pošto spinski magnetski kvantni broj ima samo dve vrednosti, $m_{s}=\pm \frac{1}{2}$. Komponente su

$$S_{z}=m_{s}\hbar =\pm \frac{1}{2}\hbar. \tag{6}$$

To su dve moguće orijentacije za $\vec{S}$, koje se vide na slici.

Borov magneton

Spinski magnetski moment elektrona povezan je sa spinskim angularnim momentom elektrona relacijom

$$\vec{\mu}_{s}=-\frac{e}{m}\vec{S}. \tag{7}$$

Kad zamenimo iz gornjih relacija, dobijamo: $\mu _{sz}=\pm \frac{e\hbar }{2m}$. To su te dve moguće projekcije. Veličina

$$\mu _{B}=\frac{e\hbar }{2m} \tag{8}$$

zove se Borov magneton. Spinska kontribucija angularnom momentu je dvaput veća od orbitalne kontribucije.

Tumačenje Štern - Gerlahovog eksperimenta

Danas se Štern-Gerlahov eksperiment tumači ovako:

U tom eksperimentu je primećen uticaj spinskog, a ne orbitalnog angularnog momenta.

Atomi sa spinom $+1/2$ savijeni su na jednu stranu, oni sa spinom $-1/2$ na drugu stranu. Zato i nema tragova atoma između ove dve vrednosti, pogotovu ne kontinuuma tragova.

Eksperiment je značajan dvojako: a) potvrdio je ideju prostornog kvantovanja, b) uočio efekat spina mnogo pre nego su fizičair išta znali o toj veličini!

Domaći zadatak

Proverite da je $\mu _{B}=9,27\cdot 10^{-24}$ u SI (kulon puta metar na kvadrat za sekund)