Interpretacija kvantne mehanike

Talasna funkcija

Talasi materije opisujemo kompleksnom funkcijom $\psi$. Kvadrat apsolutne vrednosti te funkcije, $\left|\psi \right|^{2}$, daje gustinu verovatnoće nalaženja čestice na datom mestu u nekom trenutku. Ovu interpretaciju predložio je Born 1928. godine. Šredingerova talasna jednačina (1926) daje način na koji se talasi materije menjaju u vremenu i prostoru. Šredingerova talasna jednačina je ključni elemenat u teoriji kvantne mehanike. (Kad znamo jednačinu, onda se koncentrišemo na njeno rešavanje. U tom smislu je Šredingerova jednačina u kvantnoj mehanici što i drugi Njutnov zakon u klasičnoj dinamici, ili talasna jednačina u okviru Maksvelove elektrodinamike.)

Talasna funkcija

Koncepti kvantne mehanike ponekad izgledaju čudno. Ali, kad se koncepti kvantne mehanike primene na makroskopske sisteme daju rezultate kao i klasična fizika. Slaganje je dobro kad je De Broljeva talasna dužina mnogo manja od dimenzije sistema. (Slično je i sa relativističkom fizikom: ona se ne razlikuje od klasične, za male brzine.)

Kad opisujemo česticu, kako da uračunamo ono što se talasa?

Talase materije opisuje talasna funkcija $\psi$.

Ova funkcija zavisi od koordinata svih čestica u sistemu i vremena. Zato se naglašava:

Ako je poznato $\psi$ za neku česticu, tada možemo da opišemo posebne, karakteristične osobine čestice.

Ako se slobodna čestica kreće jednoliko duž x-ose i ima definisan impuls $p_{\text{x}}$, njena talasna funkcija je neprekinuta sinusoida talasne dužine $\lambda =h/p_{\text{x}}$. Čestica onda ima jednaku verovatnoću da se nađe bilo gde na x osi. Tada je

$$\psi \left(x\right)=A\sin \left(\frac{2\pi x}{\lambda }\right)=A\sin \left(kx\right). \tag{1}$$

(Mogli smo se poslužiti i realnim delom kompleksne funkcije $Ae^{ikx}$). „Snimak” funkcije $\psi \left(x\right)$ za dati trenutak dat je na donjoj slici.

Deo talasne funkcije za česticu za koju znamo precizno talasnu dužinu

Na sledećoj slici imamo funkciju za česticu kod koje talasna dužina nije precizno definisana. Impuls joj je samo približno poznat. Merenjem ćemo naći impuls u nekom intervalu vrednosti određenom intervalom talasnih dužina. Ova se slika dobija sabiranjem funkcija kao što je ona na gornjoj slici

Talasna funkcija za česticu za koju ne znamo precizno talasnu dužinu

Gustina verovatnoće

Funkciju $\psi$ ne možemo meriti. Veličinu $\left|\psi \right|^{2}$ možemo meriti i zovemo je gustina verovatnoće. To je relativna verovatnoća po jedinici zapremine da ćemo česticu naći u bilo kojoj tački te zapremine. Za jednodimenzioni slučaj, verovatnoća da se čestica nađe u intervalu $dx$ oko tačke $x$ data je relacijom

$$P\left(x\right)dx=\left|\psi \right|^{2}dx. \tag{2}$$

Čestica mora biti negde na x osi, pa je

$$\int_{-\infty }^{\infty } \left|\psi \right|^{2}dx=1. \tag{3}$$

Ovo je uslov normalizacije. Verovatnoća da je čestica negde na intervalu $a\le x\le b$ iznosi:

$$P_{\text{ab}}=\int_{a}^{b} \left|\psi \right|^{2}dx. \tag{4}$$

Grafička interpretacija ove verovatnoće je površina na donjoj slici:

Grafik gustine verovatnoće

Verovatnoća je broj između 0 i 1. Ako dobijemo, na primer, $P_{\text{ab}}=0,3$ - to znači postoji verovatnoća 30% da je čestica u tom intervalu.

Po klasičnoj Maksvelovoj elektromagnetskoj teoriji, električno polje nalazimo rešavanjem talasne jednačine koja sledi iz Maksvelovih jednačina. U kvantnoj mehanici, talasna funkcija $\psi$ zadovoljava Šredingerovu talasnu jednačinu i iz nje može $\psi$ da se nađe. To nije merljiva veličina, ali sve merljive veličine (energija, impuls) možemo naći pomoću nje.

Očekivana vrednost

Ako znamo funkciju psi za česticu, možemo da izračunamo srednji položaj čestice posle mnogo eksperimentalnih pokušaja:

$$\left\langle x\right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty } x\left|\psi \right|^{2}dx. \tag{5}$$

Ovaj se izraz zove očekivana vrednost (očekivani položaj). Ovde je modul od psi nezavisno od vremena — čestica je u definisanom stanju.

Generalizacija

Izraz

$$\left\langle f\left(x\right)\right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty } \psi ^{*}f\left(x\right)\psi dx$$

daje očekivanu vrednost bilo koje funkcije $f\left(x\right)$. Gornja zvezdica označava konjugovano kompleksnu vrednost od psi.