Čestica u jami

Zamislimo da se čestica kreće po x-osi između dva vertikalna, perfektno čvrsta zida. Kvantna mehanika rešava ovaj problem veoma različito od

Čestica mase m i brzine $v$ primorana da se kreće duž

x-ose između vertikalnih neprobojnih zidova.

klasične mehanike. Čestica se po pretpostavci ne može naći izvan jame. To znači da je talasna funkcija $\psi =0$ na zidovima i izvan zidova, odnosno za $x\le 0$ i $x\ge L$. Uz ove uslove, mora biti u opštem slučaju

$$\psi \left(x\right)=A\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right). \tag{1}$$

Ovde je $n=1,2,3...$ prirodan broj. Dozvoljene talasne dužine čestice su one za koje je

$$L=n\lambda /2. \tag{2}$$

To su stacionarna stanja, koja ne zavise od vremena. Na donjoj slici levo vide se prva tri stanja. Levo su talasne funkcije za $n=1,2\;$ i $3$. Desno su raspodele verovatnoće za $n=1,2\;$ i $3$.

Prva tri dozvoljena stacionarna stanja za česticu u jednodimenzionoj jami

Kvantovanje

Posmatrajmo pažljivo grafike $\left|\psi \left(x\right)\right|^{2}$. — to su grafici pripadajućih gustina verovatnoće. Vidimo, česticu nije moguće naći na zidovima, ali ni u nekim posebnim tačkama unutra. Ni svi impulsi nisu dopušteni, ne postoji konzinuum impulsa, postoje samo diskretne vrednosti po formuli

$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{nh}{2L}. \tag{3}$$

Isto važi i za kinetičke energije; dopuštene vrednosti su

$$E_{\text{n}}=\frac{p^{2}}{2m}=\left(\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\right)n^{2}. \tag{4}$$

Energija je kvantovana. Dijagram energetskih nivoa dat je na donjoj slici.

Dijagram energetskih nivoa za česticu u jednodimenzionoj

jami širine $L$. Najniža dopuštena energija je $E_{1}=h^{2}/8mL^{2}$

Zračenje iz jame

Vidimo da stanje $n=0$ nije dozvoljeno. Po kvantnoj mehanici, čestica nikad ne može da miruje. Prvo dopušteno stanje ima energiju

$$E_{1}=h^{2}/8mL^{2}. \tag{5}$$

Za ostala važi

$$E_{\text{n}}=n^{2}E_{1}. \tag{6}$$

Ako je čestica naelektrisana, ona može emitovati ili apsorbovati zračenje u porcijama energije koja je razlika energija dva stanja; na primer

$$hf=E_{2}-E_{1}. \tag{7}$$

znači da je emitovan foton učestanosti $f$ kad je čestica prešla iz gornjeg stanja 2 na niže stanje 1 (osnovno). Dakle, spektroskopija zračenja daje direktnu evidenciju o energetskim nivoima.

Princip korespondencije

Ako je čestica makroskopska, rezultati su praktično isti kao u klasičnoj mehanici; o tome govori princip korespondencije.

Na primer, čestica mase jedan miligram u jami dimenzije jedan centimetar imaće minimalnu brzinu $3,31\cdot 10^{-26}$ metara u sekundi; a ako čestica ima brzinu tri centimetra u sekundi, kvantni broj će imati vrednost $n\approx 9\cdot 10^{23}$, razmak između nivoa tako je mali da se ne može eksperimentalno detektovati.

Primer. Alfa čestica u jezgru može da se modelira kao naelektrisana materijalna tačka $m_{\alpha }=4\cdot 1,66\cdot 10^{-27}$ kg u granicama jezgra, to jest u jami širine $10^{-14}$ metara. U najnižem stanju, njena je energija $0,52$ MeV, a impuls $3,3\cdot 10^{-20}\;\text{kg}\times \text{m}/\text{s}$.