Talasne osobine čestica

Ideja Luja De Brolja

Pošto fotoni imaju i talasne i čestične osobine, a elektroni su čestice koje ispoljavaju i neka talasna svojstva — možda se može reći da svi oblici materije poseduju i talasne i čestične osobine. Ovu novu i smelu ideju predložio je u Francuskoj Luj de Brolj 1923. godine.

On je govorio: Status elektrona u atomu određuju neki celi brojevi; mi u fizici znamo da celi brojevi hoće da se jave pri interferenciji i vibracijama. Znači da elektron u atomu ne može biti opisan jedino kao čestica.

Pošto je impuls fotona $p=h/\lambda$, talasna dužina se može odrediti impulsom: $\lambda =h/p$. Kako je impuls neke čestice mase $m$ koja se kreće brzinom $v$ jednak $p=mv$, sledi da je de Broljeva talasna dužina neke čestice

$$\lambda =\frac{h}{mv}. \tag{1}$$

Ovde brzinu čestice treba povezati sa grupnom brzinom paketa talasa, jer ona određuje brzinu prenosa signala. To ne treba mešati sa faznom brzinom koja je povezana sa indeksom prelamanja i talasnom dužinom. De Brolj je uzeo da i za talase materije važi da je energija proporcionalna sa učestanošću, pa je učestanost talasa materije

$$f=\frac{E}{h}. \tag{2}$$

Ove dve formule povezuju talasne veličine (talasna dužina, učestanost) sa čestičnim veličinama (impuls, energija).

Kvantovanje momenta impulsa u Borovom modelu

Na gitari, od svih mogućih tipova vibriranja žice, favorizuju se one vibracije koje imaju čvorove na krajevima i ceo broj trbuha između. Slično, u atomu od svih mogućih stanja realizuju se jedino ona koja predstavljaju stojeće talase elektrona. Na donjoj slici je data skica stojećeg talasa za elektronski talas

Skica stojećeg talasa za elektronski talas na stabilnoj orbiti vodonika

na stabilnoj orbiti vodonika. Tri pune talasne dužine uklapaju se po obimu na ovoj orbiti. Pogledajmo analogiju sa dobro poznatim primerom transverzalnih talasa na zategnutoj žici.

Slika stojećih talasa na žici koja vibrira

Žica je učvršćena na krajevima. Na datoj dužini žice uklapaju se tri pune talasne dužine i formira sistem švorova i trbuha talasa.

Na ovaj način lakše razumemo zašto su dozvoljene samo pojedine elektronske energije. Sa slike se vidi da ceo broj talasnih dužina treba da se uklopi na obim orbite, te je

$$n\lambda =2\pi r. \tag{3}$$

Ovde je $r$ radijus orbite a $n$ pozitivan ceo broj. Ako stavimo ovde za talasnu dužinu elektrona vrednost (1), biće

$$n\frac{h}{m_{\text{e}}v}=2\pi r. \tag{4}$$

Odavde je neposredno

$$m_{\text{e}}vr=n\hbar. \tag{5}$$

Upotrebili smo uobičajenu skraćenicu „ha sa crtom”, $\hbar =h/2\pi$. No, relacija (5) nije ništa drugo do Borov uslov kvantovanja momenta impulsa elektrona na dozvoljenoj orbiti.

Dakle, granični uslovi za talase materije nameću izbor dozvoljenih orbita u atomu. Sada znamo više o fizičkom sadržaju drugog Borovog postulata.

Devison-Džermerov eksperiment

Tri godine posle ideje Luja de Brolja, usledila je eksperimentalna provera ideje i traganje za pridruženim talasima čestica. Devison i Džermer u Americi su usmeravali snop elektrona iz elektronskog topa na površinu monokristala nikla. Energija snopa je iznosila oko 50 eV. Detektor elektrona koji se odbijaju (rasejavaju) sa monokristala je bio postavljen pod uglom od $\Delta \theta =50$ stepeni (u odnosu na upadni elektronski snop). Meren je broj elektrona koji se odbijaju pod tim uglom. (Detektor je Faradejev cilindar u sprezi sa galvanometrom.)

Šema Davison-Džermerovog opita. Pri obrtanju kristala

oko osovine detektor registruje difrakcione maksimume

Prema relaciji (1), elektroni energije 54 elektronvolta imaju talasnu dužinu 0,165 nanometara. Ovo je u skladu sa formulom

$$n\lambda =2d\sin \left(90^{0}-\frac{\Delta \theta }{2}\right) \tag{6}$$

za $n=1$ i $\Delta \theta =50$ stepeni i za razmak kristalnih ravni nikla $d=0,091$ nanometar (u to vreme se već znalo za ovu vrednost $d$. iz drugih, nezavisnih merenja).

Ali, kakva je fizička suština ove formule, zašto je ona relevantna za talasna svojstva elektrona — zašto ona objašnjava rezultat opita u korist De Broljeve ideje?

Odgovor daje teorija rasejanja X-zraka na kristalima koji služe kao difrakciona rešetka za tako male talasne dužine. Pogledajmo donju šemu:

Odbijanje rendgenskih zraka sa površine kristala

Ovo je dvodimenziona skica odbijanja snopa X-zraka od dve paralelne ravni kristala na međusobnom rastojanju $d$. Snop odbijen od donje ravni putuje duže od snopa koji je odbijen od gornje ravni za deo puta $2d\sin \theta$. Ove dve komponente zračenja će interferisati konstruktivno ako je zadovoljen uslov da je putna razlika jednaka celom broju talasnih dužina:

$$2d\sin \theta =n\lambda. \tag{7}$$

Ova formula poznata je kao Bragov uslov za određenu kristalografsku ravan kristalne rešetke. Ugao $\theta$ zove se ugao klizanja. Treba imati na umu da je taj ugao povezan sa ugaonim razmakom detektora

$$\theta =90^{0}-\frac{\Delta \theta }{2}, \tag{8}$$

te su formule (6) i (7) u stvari ekvivalentne.

Difrakciona slika se dobija kad se meri intenzitet odbijenog zračenja u funkciji od ugla odbijanja. Vrlo jaki intenziteti poznati kao Bragovi pikovi dobijaju se na difrakcionoj slici kada je zadovoljen Bragov uslov (7).

Davison i Džermer su se nadali da će se i snopovi elektrona vladati na sličan način kao roj rendgenskih fotona, ako postoje pretpostavljeni De broljevi talasi materije i ako se izaberu brzine elektrona tako da su talasne dužine uporedive. Rezultati su zaista bili u skladu sa idejom Luja De Brolja. Eksperimentatori su snimili difrakcionu sliku za elektrone, Bragovi pikovi su bili izraženi i nalazili su se na očekivanim mestima.

Posle ovih pionirskih poduhvata Davisona i Džermera, snimao je G. P. Tomson difrakciju brzih elektrona pri njihovom prolasku kroz foliju zlata. Prilažemo jedan od takvih difrakcionih snimaka:

Tomsonova fotografija difrakcije elektrona na zlatnoj foliji

Tako je bila ubedljivo dokazana hipoteza da elektroni imaju pridruženi talas. Elektroni jesu složeni kvantno-mehanički objekti koji neraskidivo ujedinjuju i korpuskularne i talasne aspekte. Potom, difrakcija je uspešno posmatrana na nizu čestica (vodonikovi atomi, helijumovi atomi, neutroni…).

Dokaz talasno-čestičnog dualizma pospešio je formiranje kvantne mehanike i formulisanje Šredingerove jednačine.

Vidimo, svestrano je skupljena evidencija o talasima materije i potvrđena je smela pretpostavka Luja de Brolja koja je na početku izgledala kao akademska spekulacija, bez obrazložene podloge.

Danas, primenjena fizika koristi talase materije u sasvim praktičnim realizacijama. Na primer, prave se moćni elektronski mikroskopi koji imaju veliku rezoluciji zahvaljujući maloj talasnoj dužini brzih elektronskih snopova. Naravno, nije isto koristiti talase materije i talase svetlosti iste talasne dužine — prvi su vezani za naelektrisane čestice, što je bitno u opitima!

Primer. Elektron koji se kreće brzinom $1,00\cdot 10^{7}$ m/s ima talasnu dužinu $7,28\cdot 10^{-11}$ metara (tipični X-zrak). Proton iste brzine ima $\lambda =3,97\cdot 10^{-14}$ metara. Proverite ove navode.

Komentar: Kamenčić od 50 grama bačen je brzinom od 40 m/s. On će imati $\lambda =3,32\cdot 10^{-34}$ m; talasne osobine krupnih objekata se ne mogu uočiti — nema takve difrakcione rešetke!

Zadatak: Čestica naelektrisanja $q$ i mase $m$ ubrzavana je iz stanja mirovanja, naponom $U$. Naći njenu De Broljevu talasnu dužinu. Pošto je $0,5\text{m}v^{2}=qU$, i $p=mv$, sledi $p=\sqrt{2mqU}$, a pošto je $\lambda =h/p$ dobijamo $\lambda =h/\sqrt{2mqU}$.

Proveriti: Ako je elektron ubrzan naponom od 50 V, tada je $\lambda =0,174$ nanometra.