Drugi deo - Maksvelova fizika

D r u g i d e o

MAKSVELOVA FIZIKA

Na početku, ponovimo važne pojmove iz kursa elektromagnetizma. To ćemo učiniti u odeljcima A (električno polje) i B (magnetsko polje).

A: ELEKTRIČNO POLJE

Zakon održanja naelektrisanja

Pri elektrizaciji u sistemu fizičkih tela ne rađaju se naelektrisanja, ona tamo postoje i samo se međusobno razdvajaju — dolazi do preraspodele naelektrisanja među fizičkim telima. Setimo se klasičnog primera: trenjem ebonita o svilu, svila postaje pozitivno naelektrisana a ebonit negativno.

Algebarska suma naelektrisanja ne menja se u zatvorenom sistemu.

Ovde se misli na izolovan sistem kroz čije granice ne prolazi supstancija, ali polje može da se prostire i van granica (na primer, svetlost može da umiče napolje). Pri tom, zakon važi i kad imamo pojave anihilacije ili rođenja parova.

Kulonov zakon

Kulon je merio interakciju naelektrisanih tela. U merenjima je primenio ove sjajne veštine: a) dve identične metalne kuglice, kad se dodirnu, podele naelektrisanje, b) kuglice interaguju kao tačkasti objekti. Eksperimentalno je ustanovio zakon interakcije:

$$\vec{F}_{1}=\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}\frac{\vec{R}}{R}=-\vec{F}_{2}$$

Sila opada sa kvadratom rastojanja. Direktno je srazmerna proizvodu količina naelektrisanja. Za razumevanje formule potrebno je imati u vidu sledeću sliku:

Dva tačkasta naelektrisanja interaguju Kulonovom silom

Pogodno je $\varepsilon _{0}$ zvati električna konstanta. Elektrizacija makroskopskih tela povezana je sa preraspodelom elektrona.

Oko naelektrisanja postoji električno polje

U datoj tački polja govorimo o jačini električnog polja, prema definiciji:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}.$$

Pole se meri silom na probno naelektrisanje prethodno postavljeno u datu tačku. Pregledno, polje se crta pomoću linija sile.

Grafička interpretacija polja koje stvaraju pozitivno i negativno tačkasto naelektrisanje

Grafička interpretacija polja koje stvaraju dva jednoimena tačkasta naelektrisanja

Za sile i jačine važi princip superpozicije. Primenjuje se pravilo vektorskog sabiranja.

Dipol

Električni dipol je važan model u fizici. Dipol čine dva raznoimena naelektrisanja istog intenziteta $Q$, na nekom rastojanju $h$. Na osi dipola u tački A (donja slika) jačina polja iznosi

$$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\left[\frac{Q}{\left(R-\frac{h}{2}\right)^{2}}-\frac{Q}{\left(R+\frac{h}{2}\right)^{2}}\right]\approx \frac{1}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac{p}{R^{3}}.$$

Električni dipol

Ovde je $p=Qh$ dipolni momenat. Za jačinu polja u tački B imamo rezultat

$$E=2E_{1}\sin \alpha \approx \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{p}{R^{3}}.$$

Polje opada sa trećim stepenom rastojanja. (Domaći zadatak za studente: Dva dipola interaguju silom koja opada sa četvrtim stepenom rastojanja — obrazložiti).

Gausova teorema

Električni pomeraj ili električna indukcija u vakuumu je vektor $\vec{D}=\varepsilon _{0}\vec{E}$. Električni fluks kroz datu površinu je integral $N=\int_{S} \vec{D}\cdot d\vec{S}$. Ako je površina sfera s centrom u tačkastom naelektrisanju $q$, dobijamo $N=q$. Ovo se potom generališe na opšti slučaj

$$\int_{S} \vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_{V} \rho dV.$$

U dielektriku, sa desne strane jednačine treba uzeti u obzir samo tzv slobodna naelektrisanja, ona koja se mogu uneti u zapreminu, ili iz nje izneti; ne uzimaju se u obzir polarizaciona naelektrisanja, vezana u dielektriku.

(Vežba za studente, primena teoreme: Na površini naelektrisane kugle jačina polja iznosi $E_{\text{pov}}=\sigma /\varepsilon _{0}$. Ovde je $\sigma$ površinska gustina naelektrisanja. Isti bi se rezultat dobio za površinu cilindra ili ravne ploče.)

Irnšouova teorema

Ova teorema iznosi sledeću opštu tvrdnju:

Ne postoji sistem slobodnih naelektrisanih čestica u stabilnoj ravnoteži.

Pokušajmo o ovome da razmišljamo. Pretpostavimo da važi suprotno. Na slici vidimo naelektrisanje u malenoj zapremini, gde je ono samo i po pretpostavci ne deformiše električno polje. Ako je ravnoteža stabilna, gde ga god pomerimo, javljaju se sile koja ga vraćaju; to znači da postoji polje sa silnicama koje su prikazane na levoj šemi. Samim tim postoji fluks kroz

Kad razmišljamo o Irnšouovoj teoremi

površinu. Taj fluks bi postojao i kad bismo izvadili naelektrisanje iz površine! A to je apsurdan zaključak, suprotan od onog što se tvrdi u Gausovoj teoremi.

Setimo se. Nema ravnoteže ni kad elektron kruži oko protona, jer elektron bi morao da zrači…

Elektrostatičko polje se ne može napraviti pomoću slobodnih naelektrisanja. Moraju se koristiti naelektrisani provodnici, koji ograničavaju njihovo kretanje.

Strogi matematički dokaz Irnšouove teoreme student može naći u dostupnoj literaturi (B. Stanić, M. Marković, Zbirka rešenih zadataka iz atomske fizike, Naučna knjiga, Beograd 1973).

Milikenov opit

U vertikalnom homogenom električnom polju $\vec{E}$ nalazi se malena kapljica tečnosti koja nosi slučajno naelektrisanje $Q$. Pri ravnomernom kretanju imamo

$$mg-m_{A}g+QE-ru=0$$

Prvi član je težina kapljice, drugi potisak, treći Kulonova sila a četvrti trenje. Ako zračenjem spolja povećamo naelektrisanje, promeniće se i brzina, te je

$$\left(m-m_{A}\right)g+\left(Q+\Delta Q\right)E-r\left(u+\Delta u\right)=0.$$

Iz ove dve jednačine može se naći promena naelektrisanja. Ispostavlja se da je

$$\Delta Q=ne$$

gde je $n$ prirodan broj a elementarna količina $e=-1,6\cdot 10^{-19}$ kulona je naelektrisanje elektrona. Kao što se makroskopske mase čine kontinualnim (a znamo da imaju diskretnu strukturu), tako se čini da se i velika opterećenja kontinualno menjaju. Masa elektrona zavisi od brzine, ali naelektrisanje ne zavisi. Atom vodonika (kao i drugi atomi) je uvek neutralan, što su precizna merenja pokazala.

Potencijal elektrostatičkog polja

Napon između tačaka 1 i 2 je po definiciji

$U_{12}=\frac{\text{električni}\;\text{rad}}{\text{jedinično}\;\text{naelektrisanje}}=\int_{1}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{l}=\varphi _{1}-\varphi _{2}$.

Funkcija $\phi$ je potencijal (u odnosu na izabranu referentnu tačku). Veza jačine i potencijala: $\vec{E}=-\text{grad}\phi$. Elektrostatičko polje je potencijalno. Potencijal oko naelektrisane sfere iznosi:

$$\phi =\int_{R}^{\infty } \frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{dR}{R^{2}}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{1}{R}.$$

Ovo je i potencijal oko tačkastog naelektrisanja.

(Domaći zadatak: a) Izračunajte potencijal ravnog kondenzatora. B) Koncept šiljka: Velika i mala lopta spojene su žicom; potencijali lopti moraju biti isti; sledi da je $\sigma _{1}R_{1}=\sigma _{2}R_{2}$. Posledica: malom poluprečniku pripada velika površinska gustina — to je efekat šiljka.)

Gustina energije

Kad se pođe od izraza za ukupnu energiju ravnog kondenzatora i podeli se zapreminom, dobija se

$$w=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}.$$

Dobija se gustina energije u tački gde je jačina $E$, za proizvoljno polje. Energija je u polju, ne na oblogama ili u naelektrisanjima. Ukupna energija je, sledstveno, zapreminski integral

$$W=\int_{V} wdV.$$

(Za vežbanje: Po Ajnštajnovoj fizici, jediničnoj zapremini polja treba pripisati masu $m=w/c^{2}$. U vakuumu, teško je stvoriti polja jača od deset miliona volti po metru. Čak i za takva polja je ova masa veoma mala - $10^{-14}$ kilograma po kubnom metru.)

Raspodela naelektrisanja na provodniku

Željeno elektrostatičko polje se može dobiti pomoću naelektrisanih provodnika. Površina provodnika je ekvipotencijalna; takav je potencijal i u provodniku. Usamljena sfera s količinom naelektrisanja $Q$ ima potencijal

$$\varphi =\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}.$$

Iz proporcije $\frac{Q_{1}}{R_{1}}=\frac{Q_{2}}{R_{2}}$ vidi se da će na sferi velikog poluprečnika biti mala gustina naelektrisanja. Tela malog poluprečnika zakrivljenosti imaju visok potencijal; takvi su svi šiljci. Šiljci se koriste kod konstrukcije gromobrana, kod elektrostatičkih mašina i sl. Potencijale tela meri elektroskop na vrlo pregledan način. Pogledajmo donju sliku levo:

Naelektrisanje obloga i jačina polja su isti, ali se menja potencijal kad se približuju obloge kondenzatora; to registruje instrumenat.

Na šemi desno vidimo šta se dešava kad unesemo provodnik u strano polje; dve kuglice spojene žicom uneli smo u ravni kondenzator. Dešava se preraspodela polja da bi površina provodnika bila istog potencijala.

Kapacitet kondenzatora

Naelektrisana sfera radijusa $R_{1}$ koja je opkoljena šupljom koncentričnom sferom radijusa $R_{2}$ čini sferni kondenzator. Razlika potencijala obloga iznosi

$$U=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).$$

Kapacitet se definiše odnosom naelektrisanja obloge i napona između obloga. Zato je

$$C_{\text{sfer}}=4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.$$

Kada oko žice dužine $h$ i poluprečnika $R_{0}$ stavimo koaksijalni šuplji cilindar poluprečnika $R$ dobijamo cilindrični kondenzator; formule su sada:

$$U=\frac{Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}h}\ln \frac{R}{R_{0}},\quad C_{\text{cil}}=\frac{2\pi \varepsilon \varepsilon _{0}h}{\ln \frac{R}{R_{0}}}.$$

Za ravni kondenzator površine obloge $S$ i debljine $h$ formule glase:

$$U=\frac{Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}S}\frac{h}{S},\quad C_{\text{rav}}=\frac{\varepsilon \varepsilon _{0}S}{h}.$$

Električna energija ravnog kondenzatora može se dobiti kao proizvod gustine energije i zapremine i rezultat je $W_{C}=\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}$. Ali, ova formula važi i za druge tipove kondenzatora!

Paralelno vezane kondenzatore možemo zameniti ekvivalentnim kondenzatorom kapaciteta koji je jednak zbiru kapaciteta datih kondenzatora.

Paralelna i redna veza kondenzatora

Redno vezane kondenzatore možemo zameniti ekvivalentnim kondenzatorom; njegova recipročna vrednost jednaka je zbiru recipročnih vrednosti kapaciteta datih kondenzatora.

Dipol u stranom električnom polju

Kad se kruti dipol momenta $\vec{p}$ nađe u homogenom električnom polju jačine $\vec{E}$ javlja se momenat sila $\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E}$ koji teži da dipol zarotira i postavi duž linija sila. Radom spoljašnje sile može se ponovo dipol postaviti pod uglom $\alpha$ prema liniji sili; onda dipol poseduje potencijalnu energiju $W_{\text{p}}^{\text{dipol}}=pE\left(1-\cos \alpha \right)$.

Dipol u stranom polju

Nehomogeno polje, pošto postavi dipol paralelno liniji sile, teži da uvuče dipol u oblast jačeg polja silom $\vec{F}=\left(\vec{p}\cdot \nabla \right)\vec{E}$; najprostiji je slučaj kad polje zavisi samo od jedne koordinate i tada je $\vec{F}=p\frac{d\vec{E}}{dx}$.

(Ovaj se rezultat lako proverava pomoću štapića od stakla koji visi na koncu pored naelektrisane kugle.)

Elementarna teorija polarizacije

Postoje supstancije čiji molekuli uvek imaju dipolni momenat, stalni, tj kruti dipolni momenat. Neke druge supstancije imaju dipolni momenat tek kad na njih deluje električno polje; to je elastični dipolni momenat. Polarizacija dielektrika je proces kad molekuli stiču električni dipolni momenat:

Polarizacija dielektrika

Kad ubacimo dielektrik, u svakoj jedinici zapremine nastaje dipolni momenat

$$\vec{P}=\sum\limits \vec{p}_{i}$$

kao rezultat vektorskog zbira dipolnih momenata pojedinih molekula dielektrika. Javljaju se na dvema površinama vezana, polarizaciona naelektrisanja površinske gustine $\sigma$. Zamišljajući jediničnu kocku materijala, odmah vidimo da je

$$P=\sigma.$$

Dvojni sloj polarizacionih naelektrisanja umanjuje polje u vakuumu. Ustanovljava se električno polje u dielektriku jačine $\vec{E}_{\text{d}}$. Za široku klasu dielektrika postoji opitno potvrđena veza

$$\sigma =\varepsilon _{0}\kappa E_{d}.$$

Ovde je $\kappa$ električna susceptibilnost. Iz rečenog sledi

$$E_{\text{d}}=E_{0}-\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}=E_{0}-\kappa E_{\text{d}}.$$

Po definiciji permitivnosti je $\varepsilon =\frac{C_{0}}{C}=\frac{E_{0}}{E_{d}}=1+\kappa$. Još je $\varepsilon _{0}E_{0}=\varepsilon _{0}E_{d}+P$. U vakuumu je $\sigma _{0}=D$. Tako smo došli do relacije koja uopštava pojam električnog pomeraja:

$$\vec{D}=\varepsilon _{0}\vec{E}_{\text{d}}+\vec{P}=\varepsilon \varepsilon _{0}\vec{E}_{\text{d}}.$$

Za dvoslojni kondenzator sa donje slike se izračunava pomoću ovih formula:

$$C=\frac{\varepsilon _{0}S}{\frac{h_{1}}{\varepsilon _{1}}+\frac{h_{2}}{\varepsilon _{2}}}.$$

Dvoslojni dielektrik

Granični uslovi električnog polja

Posmatramo spoj dva homogena i homogeno polarisana dielektrika l i 2 na donjoj slici. U dielektricima blizu granične površine javljaju se raznoimena polarizaciona naelektrisanja gustina $\sigma _{1}^{'}$ i $\sigma _{2}^{'}$. Granična površina naelektrisana je površinskom gustinom naelektrisanja ($\sigma _{1}^{'}-\sigma _{2}^{'}$) , što je uzrok pojave dodatnog električnog polja jačine $\left(\sigma _{1}^{'}-\sigma _{2}^{'}\right)/2\varepsilon _{0}$. Polje je normalno na površinu, sa suprotnim smerovima u gornjoj i donjoj sredini.

Sl. 7 Polarizaciona naelektrisanja na granici dva dielektrika

i električno polje koje ona daju

Označimo jačinu polja u dielektricima sa $\vec{E}_{1}$ i $\vec{E}_{2}$ i razložimo ta polja na dve komponente: u pravcu tangente na graničnu površinu ($E_{\text{t}1}$ i $E_{\text{t}2}$) i u pravcu normale na tu površinu ($E_{\text{n}1}$ i $E_{\text{n}2}$). Usvojimo da je normala upravljena od dielektrika l ka dielektriku 2. Pošto je električno polje naelektrisane površine normalno na tu površinu, komponente polja u pravcu tangente se ne menjaju:

$$E_{\text{t}1}=E_{\text{t}2}.$$

Naprotiv, normalne komponente polja će se razlikovati; njihova razlika je jednaka

$$E_{n1}-E_{n2}=\left(\sigma _{1}^{'}-\sigma _{2}^{'}\right)/2\varepsilon _{0}=\left(P_{n1}-P_{n2}\right)/2\varepsilon _{0},$$

gde su $P_{\text{n}1}$ i $P_{\text{n}2}$ normalne komponente vektora polarizacije u jednom i drugom dielektriku. Normalna komponenta jačine polja se meri fluksom linija sile kroz jedinicu površine. Znači da broj linija sile koje prolaze kroz jedinicu granične površine u dielektricima l i 2 nije isti, jedan deo linija sile završava na graničnoj površini.

Električni pomeraj u vakuumu je $\varepsilon _{0}\vec{E}$. Uopštili smo ranije taj pojam za slučaj proizvoljnog dielektrika:

$$\vec{D}=\varepsilon _{0}\vec{E}+\vec{P}.$$

Iz onog što smo gore kazali proizilazi da je neprekidna normalna komponenta vektora električnog pomeraja na graničnoj površini:

.

Pošto je $D_{\text{n}1}$ jednako broju linija pomeraja koje presecaju jedinicu granične površine u dielektriku l, a $D_{n2}$ broju linija pomeraja za tu istu površinu u dielektriku 2, proizilazi da se linije električnog pomeraja ne prekidaju na graničnoj površini između dielektrika. Zato je u nehomogenim dielektricima mnogo pogodnije opisivati električno polje vektorom pomeraja $\vec{D}$ nego jačinom polja $\vec{E}$ i u tome je osnovni smisao uvođenja električnog pomeraja. Može se pokazati da linije električnog pomeraja ostaju neprekinute i pri nehomogenoj polarizaciji (dokaz ćemo izostaviti).

Posmatrajmo ravni kondenzator koji je ispunjen homogenim idealnim dielektrikom. Tada je jačina polja u dielektriku

$$E=E_{0}-\frac{{\sigma'}}{\varepsilon _{0}}=E_{0}-\frac{P}{\varepsilon _{0}}.$$

Odavde je

$$D=\varepsilon _{0}E+P=\varepsilon _{0}E_{0},$$

tj. u slučaju homogenog dielektrika električni pomeraj u dielektriku poklapa se sa električnim pomerajem u vakuumu koji je uslovljen jedino naelektrisanjima na oblogama kondenzatora. Ako je q naelektrisanje obloga kondenzatora, S površina svake od obloga, onda je

$$D=\sigma =\frac{q}{S}.$$

Zaključujemo: Da izmerimo električni pomeraj u dielektriku, dovoljno je izmeriti količinu elektriciteta na oblogama koje ograničavaju dielektrik.

Moguće je električni pomeraj i drugačije definisati. Posmatrajmo u homogenom dielektriku usku dugačku pukotinu koja je izrezana normalno na pravac pomeranja naelektrisanja. Električni pomeraj u pukotini biće baš takav kao i u dielektriku. Zato:

Uz definiciju električnog pomeraja u dielektriku

Električni pomeraj u dielektriku jednak je električnom pomeraju u uskoj dugačkoj šupljini koja je izrezana u dielektriku normalno na pravac pomeranja naelektrisanja. Sila koja deluje na jedinično naelektrisanje u toj šupljini iznosi $D/\varepsilon _{0}$.

Izotropni dielektrici

Ako merimo električni pomeraj u staklenim pločicama koje su na razne načine izrezane iz masivnog komada, pokazuje se da je električni pomeraj za istu vrednost polja $\vec{E}$ isti kod svih pločica. To znači da je i vektor polarizacije $\vec{P}$ isti u svim pločicama, pa proizilazi da polarizacija ne zavisi od pravca polja. To su izotropni dielektrici. U izotropnim dielektricima pomeraju se naelektrisanja u pravcu električnog polja i zato su vektori $\vec{E}$ i $\vec{P}$ paralelni.

Za mnoge supstancije, međutim, to ne važi. Ako, na primer, ispitujemo električni pomeraj u pločicama kristalnog kvarca, videćemo da je $\vec{D}$ različito pri jednom te istom polju $\vec{E}$. To pokazuje da dielektrična svojstva kvarca zavise od pravca polja u odnosu na ose kristala. To su anizotropni dielektrici. U anizotropnim dielektricima se, u opštem slučaju, pravci $\vec{E}$ i $\vec{P}$ ne podudaraju, pa su različiti i pravci $\vec{E}$ i $\vec{D}$

Opit pokazuje da je u širokom intervalu promene električnog polja polarizacija proporcionalna jačini polja $\vec{E}$ u datoj tački. Zato se za izotropni dielektrik može napisati

$$\vec{P}=\alpha \varepsilon _{0}\vec{E},$$

gde je koeficijenat proporcionalnosti $\alpha$ skalarna veličina. Ona se zove električna susceptibilnost date supstancije. Veličina $\alpha$ nema dimenziju.

Sad možemo pisati

$$\vec{D}=\varepsilon \varepsilon _{0}\vec{E}$$

gde je stavljeno:

$$\varepsilon =1+\alpha.$$

Veličina $\varepsilon$ je permitivnost supstancije, o kojoj smo već govorili.

Prelamanje linija sile električnog polja

Iz graničnih uslova za električno polje sledi da se menja pravac linija pomeraja (i linija sile) pri prolazu kroz graničnu površinu.

Neka su $D_{\text{n}1}$ i $D_{\text{t}1}$ komponente vektora pomeraja $\vec{D}_{1}$ u pravcu normale na graničnu površinu i duž nje u dielektriku l, a $D_{\text{n}2}$ i $\text{D}_{\text{t}2}$ komponente pomeraja $\vec{D}_{2}$ u dielektriku 2. Označimo sa $\alpha _{2}$ ugao između vektora $\vec{D}_{2}$ u dielektriku 2 i normale na graničnu površinu, dok je $\alpha _{1}$ odgovarajući

Prelamanje linija pomeraja na granici dva dielektrika

ugao za vektor $\vec{D}_{1}$ u dielektriku 1. Vidi da je

$$\text{tg}\alpha _{1}=D_{\text{t}1}/D_{\text{n}1}\,,\,\quad \text{tg}\alpha _{2}=D_{\text{t}2}/D_{\text{n}2}.$$

Kako je $D_{\text{n}1}=D_{\text{n}2}$, dobijamo

$$\frac{\text{tg}\alpha _{2}}{\text{tg}\alpha _{1}}=\frac{D_{\text{t}2}}{D_{\text{t}1}}.$$

Dalje, primenom graničnog uslova imamo

$$D_{\text{t}2}=\varepsilon _{2}\varepsilon _{0}E_{\text{t}2}\,,\quad \,D_{\text{t}1}=\varepsilon _{2}\varepsilon _{0}E_{\text{t}1}\,,\,\quad E_{\text{t}1}=E_{\text{t}2}.$$

Odavde konačno dobijamo

.

Ova formula izražava zakon prelamanja linija pomeraja. Ona pokazuje da se linije pomeraja prelamaju od normale kada ulazimo u dielektrik sa većim $\varepsilon$.

Zakon prelamanja linija sile u izotropnim dielektricima, očigledno, isti je kao i zakon prelamanja linija pomeraja pošto je u dva dielektrika pravac vektora $\vec{D}$ i $\vec{E}$ isti.

Linije pomeraja (levo) i linije sile

(desno) u dielektričnoj pločici

Međutim, grafici linija pomeraja i linija sile biće različiti. Linije pomeraja su neprekidne dok se deo linija sile prekida na graničnoj površini. Na gornjoj slici dat je primer linija pomeraja i linija sile u dielektričnoj pločici. Pri tom se pretpostavlja da su dužina i širina pločice vrlo velike pa se gubi značaj efekta krajeva. Gustina linija sile u pločici manja je nego van nje. Linije pomeraja u pločici se zgušnjavaju zbog prelamanja (to ukazuje na povećanje pomeraja D u pločici).

B: MAGNETSKO POLJE

Lorencova sila

Opit pokazuje da ukupna sila na naelektrisanje ima dve komponente: električna sila koja ne zavisi od brzine naelektrisanja, i magnetska koja zavisi od nje. Dakle:

.

Ova, elektromagnetska sila, Lorencova sila, univerzalna je: važi za konstantna kao i za promenljiva polja, pri tome i za sve brzine. Ovde je $\vec{B}$ osnovna karakteristika magnetskog polja, koja se zove magnetska indukcija.

Magnetsko polje u vakuumu

Opit pokazuje da magnetsko polje nastaje jedino od električnih struja, tj od kretanja naelektrisanja. Za jednoliko, pravolinijsko nerelativističko kretanje naelektrisanja $q$ brzinom $\vec{v}$ imamo formulu

$$\vec{B}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \vec{r}}{r^{3}}.$$

Odnos pravaca i smerova vektora objašnjava donja slika:

Smer magnetskog polja pokretnog naelektrisanja

I za magnetska polja važi princip superpozicije: $\vec{B}=\sum\limits \vec{B}_{i}$. Kod konstantnih struja imamo da je gustina struje $\vec{j}=\rho \vec{v}$ i istovremeno da je $\vec{j}dV=Id\vec{l}$, strujni elemenat. Magnetsko polje koje daje strujni elemenat $Id\vec{l}$ izražava se formulom

.

Ovo je Bio-Savarov zakon. Ukupna indukcija u svakom konkretnom slučaju se određuje integracijom duž posmatranog strujnog provodnika, u skladu sa principom superpozicije.

Otkriće elektromagnetske indukcije

Duboka povezanost električne i magnetske komponente u elektromagnetskom polju vidi se u pojavi elektromagnetske indukcije. Faradej je 1831. primetio: Ako se menja magnetski fluks obuhvaćen zatvorenom provodnom konturom, u konturi se indukuje električna struja.

Faradej je uočio da se indukovana struja može izazvati na dva načina (posmatrajmo sliku).

Prvi način: Premešta se ram p sa instrumentom-indikatorom, a kalem miruje. Drugi način: Miruje ram, a fluks se menja kroz njegovu površinu (zbog kretanja kalema K, promene jačine struje, ili kombinacijom tih uzroka).

Smer indukovane struje određuje se Lencovim pravilom, koje zahteva da se poštuje zakon održanja energije u pojavi e.m.i.

Zakon indukcije

Struja u konturi posledica je delovanja elektromotorne sile indukcije, a ona je prema Maksvelu

Pozitivni smer elektromotorne sile indukcije

Pri izračunavaju e.m.s. indukcije, izabrana kontura se obilazi u izabranom pozitivnom smer (videti sliku), a taj smer onda ukazuje (pravilo desnog zavrtnja) na pravac pozitivne normale površine koja se naslanja na tu konturu. Tako imamo na kraju i pozitivni smer indukovane struje. (Ako bismo se dogovorili da poštujemo pravilo levog zavrtnja, znaka „minus” u formuli prosto ne bi bilo.)

Osnovni zakoni magnetskog polja

Kao i za električno polje, važni su pojmovi fluksa i cirkulacije polja. Teorema o magnetskom fluksu ima sledeću matematičku formulaciju:

.

Fluks je jednak nuli, ne postoje magnetska opterećenja; fluks kroz površinu koja se oslanja na datu konturu ne zavisi od izbora površine. Teorema o cirkulaciji ima sledeću matematičku formulaciju:

Primer konture koja obuhvata tri strujna provodnika vidimo na donjoj slici:

Uz teoremu o cirkulacije vektora magnetske indukcije

Cirkulacija vektora magnetske indukcije zavisi od algebarskog zbira struja koje obuhvata kontura cirkulacije. Slika pojašnjava koje su struje pozitivne, a koje negativne. Za polje čija cirkulacija nije jednaka nuli kažemo da je solenoidno, za razliku od potencijalnog polja.

Amperova sila

Amperov zakon za silu na strujni elemenat ovako se formuliše:

.

Sile koje deluju na provodnike sa strujom zovemo Amperove sile. Mala ravna kontura sa strujom zove se elementarna kontura. Nju karakteriše njen magnetski momenat

$$\vec{p}_{\text{m}}=IS\vec{n}.$$

Uz formulu korisno je zapamtiti i ovu sliku, zbog pozitivnih smerova veličina

Uz definiciju magnetskog momenta elementarne strujne konture

Ponovimo i osnovne činjenice o silama na elementarne strujne konture.

Kontura u nehomogenom polju

Kad se elementarna kontura nađe u nehomogenom spoljašnjem magnetskom polju, deluje na nju sila; u najprostijem slučaju polja koje se menja samo po x osi, a i normala je duž ove ose, sila je data obrascem

$$F_{\text{x}}=p_{\text{m}}\frac{dB}{dx}.$$

Ako se kontura nalazi u homogenom magnetskom polju, na nju deluje momenat sile

$$\vec{M}=\vec{p}_{\text{m}}\times \vec{B}$$

Donja slika pojašnjava smerove vektora; za primer, posmatra se pravougaona kontura:

Pravougaona kontura u homogenom

magnetskom polju

Kad se strujna kontura nalazi u spoljašnjem magnetskom polju, koje je konstantno, Amperove sile pri pomeranju konture vrše rad. Rad pri elementarnom pomeranju iznosi

$$\delta A=Id\Phi.$$

Primer kako magnetska sila vrši rad; pokretni provodnik spaja dve šine:

Ukupni rad je integral od gornje formule. Na primer, za poseban slučaj sa slike, $A=I\left(\Phi _{2}-\Phi _{1}\right)$.

Vektor magnećenja u supstanciji

Struje provodnosti u provodnicima stvaraju u nekoj zapremini magnetsko polje $\vec{B}_{0}$. Kad u tu zapreminu unesemo neku supstanciju, promeni se polje. Razlog je taj što se supstancija namagnetiše, stiče magnetski momenat, postaje i sama magnetik. Ona sama stvara polje ${\vec{B}'}$. Nastaje rezultantno polje. Kad veličine usrednjimo po fizički maloj zapremini, pišemo

$$\vec{B}=\vec{B}_{0}+{\vec{B}'}.$$

I za ovo ukupno polje važi zakon fluksa $\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$, o kome smo već govorili. Unutrašnja kretanja naelektrisanja u molekulima daju sopstvene magnetske momente molekula. U spoljašnjem polju oni se orijentišu, telo se magnetiše i daje komponentu ${\vec{B}'}$. Stepen namagnetisanosti određuje magnetski momenat jedinice zapremine. Tu veličinu zovemo magnećenje

$$\vec{J}=\frac{\sum\limits \vec{p}_{\text{m}}}{\Delta V}=n〈\vec{p}_{\text{m}}〉.$$

Magnećenje potiče od vektorskog zbira svih magnetskih momenata molekula u fizički maloj zapremini oko date tačke. Ako se koristi pojam srednjeg momenta molekula, onda on pomnožen sa koncentracijom molekula daje magnećenje.

Elementarne, molekulske struje koje daju magnetske momente molekula dovode do pojave makroskopskih struja ${I'}$ ili struja magnećenja.

Znači, ukupno polje daju struje provodnosti $I$ i struje magnećenja ${I'}$. Prosti fizički model nastanka makroskopskih površinskih struja magnećenja skiciran je na slici:

Molekulske struje supstancije i struja magnećenja

Ovo je slučaj homogenog magnećenja, kad se sve molekulske struje kompenzuju, izuzev one na površini; one i daju u zbiru površinski dodatnu struju magnećenja. Dokazuje se da je cirkulacija vektora magnećenja po proizvoljnoj konturi jednaka algebarskom zbiru struja magnećenja,

$$\oint \vec{J}\cdot d\vec{l}={I'}.$$

Vektor $\vec{H}$

Za konstantne struje, cirkulacija u supstanciji je određena sa dve vrste struja, pa je

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu _{0}\left(I+{I'}\right).$$

Pošto je $\oint \vec{J}\cdot d\vec{l}={I'}$, dobijamo

$$\oint \left(\frac{\vec{B}}{\mu _{0}}-\vec{J}\right)\cdot d\vec{l}=I.$$

Tako, našli smo važni pomoćni vektor

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu _{0}}-\vec{J}.$$

On igra ulogu vektora jačine magnetskog polja u magnetiku.

Teorema o cirkulaciji vektora $\vec{H}$

Tako smo našli veličinu pogodnu za efikasno proučavanje magnetika i bitnu teoremu:

$$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=I.$$

Veza vektora $\vec{H}$ i $\vec{J}$

Postoji široka grupa magnetika za koje opit pokazuje da se može prhvatiti ovaj odnos magnećenja i jačine polja:

$\vec{J}=\chi \vec{H}$.

Ovde je bezdimenziona veličina $\chi$ magnetska susceptibilnost.

Veza vektora $\vec{B}$ i $\vec{H}$

Iz relacija $\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu _{0}}-\vec{J}$ i $\vec{J}=\chi \vec{H}$ sledi, ako se stavi da je $\mu =1+\chi$

$$\vec{B}=\mu \mu _{0}\vec{H}.$$

Veličina $\mu$ se zove permeabilitet.

Granični uslovi

Na granici dva homogena magnetika treba primeniti teoreme o fluksu i cirkulaciji, pa će se dobiti granični uslovi za vektore $\vec{B}$ i $\vec{H}$. Ako na zatvorenu površinicu sa donje skice primenimo teoremu $\int \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$, dobijamo prvi granični uslov

Uz izvođenje graničnih uslova magnetskog polja

Ako na donju skicu primenimo teoremu o cirkulaciji, $\int \vec{H}\cdot d\vec{l}=I$, dobijamo

.

A to je drugi granični uslov za magnetsko polje.

Uz izvođenje drugog graničnog uslova za magnetsko polje

Normalna komponenta vektora $\vec{B}$ ista je s obe strane granice; tangencijalna komponenta vektora $\vec{H}$ ista je s obe strane granice.

Posledica ovih zakona je da se linije sile lome na granici, videti sliku:

Uz objašnjenje zakona prelamanja magnetskih silnica

Zakon prelamanja glasi

.

Pogledajmo još šemu koja nam govori da su se u konkretnom primeru linije indukcije prelomile, ali se ne prekidaju. Linije vektora $\vec{H}$ se prelamaju i delom prekidaju, zbog postojanja površinskih struja magnećenja.

Prelamanje magnetskih linija kad je $\mu _{2}>\mu _{1}$

Odnos tangensa uglova sa slike jednak je odnosu permeabilnosti dva magnetika.

C: MAKSVELOVE JEDNAČINE

Struja pomeraja

Da bi tekla konstantna struja, neophodno je zatvoreno kolo, provodno na svim delovima. To nije neophodno kad teče naizmenična struja. Kad se puni kondenzator, kroz žicu teče struja provodnosti, a između obloga se samo menja električno polje. Maksvel je to uočio i predložio da se definiše struja pomeraja na neprovodnom delu, u kondenzatoru; ta struja bi obezbedila kontinuitet struje u kolu. Ova ideja dobija sledeći matematički oblik:

$$i=\frac{dQ}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\int \sigma dS=\frac{\partial }{\partial t}\int D_{\text{n}}dS=\int \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

Komentar: Za ravni kondenzator (videti donju sliku) je pomeraj jednak površinskoj gustini naelektrisanja na oblozi kondenzatora, $D=\sigma$. Moramo uvesti parcijalni izvod po vremenu, jer pomeraj zavisi od vremena i koordinata, a naelektrisanje samo od vremena.

Uvodeći pojam struje pomeraja Maksvel je napravio presudan korak ka uspešnoj formulaciji punog, neprotivrečnog sistema jednačina klasičnog elektromagnetskog polja.

Leva šema: punjenje kondenzatora. Desna šema: pražnjenje

prethodno naelektrisanog kondenzatora — obe su struje promenile smer

Gustina struje pomeraja je, prema ovoj koncepciji

$$\vec{j}=\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}.$$

Maksvelova generalizacija teoreme o cirkulaciji

Maksvel je još pretpostavio da struja pomeraja, kao i svaka struja, proizvodi magnetsko polje, pa se struja pomeraja mora uzeti u obzir kad primenjujemo teoremu o cirkulaciji:

$$\oint_{L} \vec{H}\cdot d\vec{l}=\oint_{L} \vec{j}\cdot d\vec{S}.$$

Izbor površine koja se oslanja na konturu $L$ (videti gornju sliku) proizvoljan je. Kroz površinu $S_{1}$ prolazi samo žica do obloge, a kroz površinu $S_{2}$ ne prolazi nikakav provodnik — ali prolazi struja pomeraja. Učinak struje provodnosti kroz prvu površinu mora biti jednak učinku struje pomeraja kroz drugu površinu, struja se ne okončava na oblozi kondenzatora. Zato valja uzeti da je struja uvek zbir dve komponente:

$$\vec{j}=\vec{j}_{\text{provodnost}}+\vec{j}_{\text{pomeraj}}=\vec{j}_{\text{provodnost}}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}.$$

Pošto je $\vec{D}=\vec{P}+\varepsilon _{0}\vec{E}$, u vakuumu je $\vec{j}_{\text{pomeraj}}=\varepsilon _{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$. Ova struja nema očiglednu interpretaciju. Maksvel ju je čisto teorijski predvideo. Ova struja ne može da se opazi efektom zagrevanja sredine, već samo po magnetskom polju koje daje.

Uvođenje pojma struje pomeraja sjajan je primer delotvorne primene naučnog metoda; Maksvel je dao način kako se njegova teorija može testirati i eventualno osporiti: merenjem posledice struje pomeraja (njeno magnetsko polje, elektromagnetske talase…).

Maksvel je već bio umro kad je Herc dokazao u opitu da je ideja struje pomeraja realna. Herc je uspeo da proizvede brze elektromagnetske oscilacije i detektuje elektromagnetske talase.

Maksvelove jednačine

Postoje četiri Maksvelove jednačine. Izložićemo njihov sadržaj.

1. Teorema o magnetskom naponu.

$$\int_{L} \vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_{S} \left(\vec{j}_{\text{pr}}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}.$$

2. Zakon elektromagnetske indukcije.

$$-\frac{\partial }{\partial t}\int_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S}=\int_{L} \vec{E}\cdot d\vec{l}.$$

Magnetski fluks računa se kroz proizvoljnu površinu koja se opire na datu konturu, po kojoj se vrši cirkulacija jačine polja.

3. Gausova teorema za električno polje.

$$\int_{S} \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum\limits Q_{\text{i}}=\int_{V} \rho dV.$$

Zapreminu ograničava data površina. Spoljašnja naelektrisanja su nebitna.

4. Gausova teorema za magnetsko polje.

$$\int_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S}=0.$$

Magnetsko polje uvek je solenoidno.

Ovo je integralni oblik Maksvelovih jednačina. Još jednom ispišimo te četiri znamenite jednačine:

Ako ih primenjujemo na elementarne zapremine, praktično u tački polja, one prelaze u diferencijalni (lokalni) oblik. Dalje nam je potreban ovaj

Matematički podsetnik

Teorema Ostrogradskog povezuje zapreminski integral s površinskim:

U Dekartovom sistemu koordinata, operator divergencija nekog vektora je skalar

$$\text{div}\vec{A}=\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial x}+\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial y}+\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial z}.$$

Stoksova teorema povezuje površinski integral s linijskim:

.

U Dekartovom sistemu koordinata, operator rotor nekog vektora je vektor

$$\text{rot}\vec{A}=\vec{i}\left(\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial y}-\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial z}\right)+\vec{j}\left(\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial z}-\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial x}\right)+\vec{k}\left(\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial x}-\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial y}\right).$$

Primenom ovih matematičkih rezultata dobijaju se Maksvelove jednačine u diferencijalnom obliku:

Da bi se oformio pun sistem jednačina koje se mogu rešavati u praksi, Maksvel je uveo i materijalne jednačine koje povezuju struju i indukcije sa jačinama polja. U velikom broju važnih primena mogu se materijalne jednačine pisati u obliku

$$\vec{j}_{\text{pr}}=\gamma \vec{E},\quad \vec{D}=\varepsilon \varepsilon _{0}\vec{E},\quad \vec{B}=\mu \mu _{0}\vec{H}.$$

U vakuumu, i u sredinama gde važe ove relacije, sad je moguća detaljna analiza pojava. Ovome treba dodati i Lorencovu silu na elektron,

$$\vec{F}=e\vec{E}+e\vec{v}\times \vec{B}.$$

Da bismo obuhvatili i sve probleme sa silom u polju, Maksvelovim jednačinama (MJ) u diferencijalnom obliku valja dodati i granične uslove na kontaktu dve sredine; uslovi se dobijaju iz integralnih oblika jednačina (o tome smo ranije govorili).

Maksvelove jednačine (MJ) obuhvataju sve fenomene klasičnog elektromagnetuzma — nema fakta koji se ne bi mogao analizirati pomoću ovih jednačina. Evo kako se, na primer, dokazuje da MJ uključuju zakon održanja naelektrisanja. Primeni se operacija divergencije na prvu MJ; divergencija rotora uvek je nula; iskoristi se potom treća MJ, pa se dobija:

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\text{div}\vec{j}_{\text{pr}}=0$$

Ovo je jednačina kontinuiteta. Ako integralimo po nekoj zapremini i primenimo Stoksovu teoremu, videćemo — kad nema fluksa struje provodnosti kroz površinu — da mora biti:

$$\int_{V} \rho dV=0.$$

Ovo je zakon održanja naelektrisanja u datom sistemu.

O značaju Maksvelove teorije

Maksvelova teorija odigrala je istaknutu ulogu u razvijanju naših znanja o elektricitetu. U cilju boljeg shvatanja značaja te teorije neophodno je setiti se istorijskog sleda osnovnih otkrića u oblasti elektriciteta do Maksvelovih radova.

Kao što smo već istakli, kvantitativno izučavanje električnih pojava počinje posle Kulonovih radova (1785. g.) u kojima je ustanovljen zakon interakcije naelektrisanja, koji je kasnije proširen na interakciju “magnetskih opterećenja”. Međutim, sve do 1820. g. električne i magnetske pojave su razmatrane kao različite pojave koje nisu povezane.

Erstedovo otkriće (1820. g.) magnetskog dejstva struje pokazalo je da postoji povezanost magnetskih i električnih pojava i da se magnetsko dejstvo može dobiti pomoću električnih struja. Magnetsko dejstvo struja detaljno je izučio Amper, koji je zaključio da su sve magnetske pojave u prirodi, uključujući i one koje su u vezi sa stalnim magnetima, izazvane električnim strujama (teorija Amperovih molekulskih struja).

Dalji važni rezultati iz tog perioda dobijeni su zahvaljujući Faradeju. Među njima je naročito značajno bilo otkriće elektromagnetske indukcije. Faradej je pošao od osnovne ideje o uzajamnoj vezi pojava u prirodi. On je smatrao, ako struja može izazivati magnetske pojave, tada, obratno, pomoću magneta i drugih struja treba da je moguće dobiti električne struje. Upornim i mnogobrojnim pokušajima, Faradej je tu pojavu stvarno i otkrio 1831. g, a to je još više učvrstilo predstavu o povezanosti elektriciteta i magnetizma.

Druga važna ideja u Faradejevim radovima jeste uviđanje osnovne, determinantne uloge sredine u električnim pojavama. Faradej nije verovao u dejstvo na daljinu, koje je, kao što danas znamo, fizički neosnovano, i smatrao je da se električne i magnetske interakcije predaju sredini i da se baš u toj sredini odigravaju osnovni električni i magnetski procesl.

U svojim radovima, Maksvel je dalje produbio i razvio Faradejeve ideje i dao im strogu matematičku formu. U Maksvelovoj teoriji bila je konačno oformljena misao o tesnoj povezanosti električnih i magnetskih pojava, i to u obliku dva osnovna stava teorije; ta misao je u strogoj formi izražena Maksvelovim jednačinama. Zato je Maksvelova teorija završila jednu važnu etapu u razvoju učenja o elektricitetu i dovela do klasične predstave o elektromagnetskom polju, koje sadrži u opštem slučaju i električno, i magnetsko polje, a ova su polja povezana i mogu se pretvarati jedno u drugo.

Maksvelove jednačine obuhvataju sve osnovne zakone električnog i magnetskog polja, uključujući i elektromagnetsku indukciju, te su one opšte jednačine elektromagnetskog polja u nepokretnim sredinama. Maksvelova teorija ne samo što je objasnila već poznate fakte, već je pretskazala nove i važne pojave. Sasvim nova u toj teoriji je Maksvelova pretpostavka o magnetskom polju struja pomeraja. Na osnovu te pretpostavke Maksvel je teorijski pretskazao postojanje elektromagnetskih talasa, tj. naizmeničnog elektromagnetskog polja, koje se prostire konačnom brzinom. Teorijski istražujući svojstva elektromagnetskih talasa, Maksvel je izgradio elektromagnetsku teoriju svetlosti, prema kojoj je i svetlost elektromagnetski talas. Kasnije su elektromagnetski talasi stvarno i bili dobijeni u eksperimentu, a posle toga elektromagnetska teorija svetlosti, s njom i cela Maksvelova teorija, bila je u potpunosti i na sjajan način potvrđena.

(Kraj drugog dela)