Prvi deo - Njutnova fizika

Dr V. Babović

Bolonjski program doškolovavanja

BELEŠKE ZA SLUŠAOCE

Državni univerzitet

Novi Pazar 2009

P r v i d e o

NJUTNOVA FIZIKA

Premeštanje tela u sistemu referencije

Kretanje je promena položaja u prostoru. Kinematika izučava kretanja u toku vremena.

Prostor i vreme su osnovni pojmovi — fizika im samo ustanovljava svojstva. Klasična fizika smatra da su prostor i vreme nezavisni od materije; prostor je trodimenzionalan, homogen, neprekidan i izotropan; vreme je homogeno i neprekidno. Odstupanja od ovih načela nastaju pri velikim brzinama, u okolini velikih masa i u mikrosvetu.

Kretanje Marsa viđeno sa Zemlje;

primer komplikovanog sistema referencije

Kretanja se analiziraju u pogodno izabranom sistemu referencije (SR); on se sastoji os sistema koordinata i časovnika. Važan je pogodan izbor SR; na primer, kretanje planeta zgodno je izučavati po Kopernikovom receptu, a ne po Ptolomejevom (v. gornju sliku).

Pogledajmo osnovne pojmove kad se materijalna tačka premešta u datom SR i kretanje opisujemo u vektorskom obliku:

Radijus vektor daje trenutni položaj tačke na trajektoriji u SR:

$$\vec{R}_{1}=\vec{i}x_{1}+\vec{j}y_{1}+\vec{k}z_{1}$$

Konačni pomeraj za vreme $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ je $\Delta \vec{R}\equiv \vec{R}_{12}=\vec{R}_{2}-\vec{R}_{1}$; interval ili rastojanje dve tačke,

$$R_{12}^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2},$$

ne zavisi od izbora koordinata; ta veličina je ista i u primovanom SR sa slike. Važno svojstvo pomeranja je aditivnost intervala: $\vec{R}_{12}=\int_{1}^{2} d\vec{R}$. Elemenat puta $\Delta s=\left|\vec{R}_{12}\right|=\left|\Delta \vec{R}\right|$ je skalar.

Brzina

Srednja brzina je

$$\vec{v}_{sr}=\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}.$$

Trenutna brzina je

$$\vec{v}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}=\frac{d\vec{R}}{dt}.$$

Brzina uvek ima pravac tangente na trajektoriju.

Ubrzanje

Srednje ubrzanje je

$$\vec{a}_{\text{sr}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.$$

Trenutno ubrzanje je

$$\vec{a}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}$$

Ili

$$\vec{a}=\frac{d^{2}\vec{R}}{dt^{2}}$$

Vektor ubrzanja može biti usmeren pod bilo kojim uglom prema trajektoriji.

Princip superpozicije: $\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$, dobro je eksperimentalno izučen, još od Galilejevog doba. Tako, brzina se može razložiti na dve komponente: $d\vec{v}=d\vec{v}_{t}+d\vec{v}_{n}$, pa je ubrzanje suma tangencijalnog i normalnog ubrzanja: $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$ ili

$$\vec{a}=\vec{n}\frac{v^{2}}{R}+\tau \frac{dv}{dt}.$$

Ovde je $\vec{\tau}$ ort tangente, a $\vec{n}$ ort glavne normale (videti sliku).

Tačka O je centar krivine.

Ugaoni pomeraj, brzina i ubrzanje

Pri kretanju tačke po krugu uvodimo ugaoni pomeraj kao vektor $\vec{\varphi}$, te je ugaona brzina

$$\vec{\omega}=\frac{d\vec{\phi}}{dt}.$$

Centripetalno ubrzanje je

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}.$$

Linijska (tangencijalna brzina) i ugaona brzinu su u ovakvoj vezi

$$\vec{v}=\vec{\omega}\times \vec{R}.$$

Važi $\omega =2\pi f$, u radijanima u sekundi, gde je $f=1/T$ učestanost u hercima, a $T$ je period rotiranja. Zato je $\vec{a}_{n}=-\omega ^{2}\vec{R}$. Pri neravnomernoj rotaciji postoji i ugaono ubrzanje

$$\vec{\alpha}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}.$$

Zato je tangencijalno ubrzanje

$$\vec{a}_{t}=\vec{\alpha}\times \vec{R}.$$

Sve ovo važi i za proizvoljnu trajektoriju, ako uvedemo pojam radijusa krivine u datoj tački.

Galilejeve transformacije

Translacija tela se opisuje sa tri stepena slobode najviše. Rotacija krutog tela ima najviše tri stepena slobode. Tako, nedeformabilno telo ima šest stepeni slobode. Ponekad je potrebno iskoristiti pokretni SR. Po Galileju, veličine u dva sistema referencije se ovako povezuju:

$${x'}=x-vt$$ $${y'}=y$$ $${z'}=z$$ $${t'}=t$$

Sl. 12 Dva inercijalna referentna sistema. Sistem referencije $S$

uslovno miruje. U odnosu na njega, sistem referencije ${S'}$

kreće se duž zajedničke horizontalne ose stalnom brzinom.

Ose dva sistema su međusobno paralelne.

Neprimovani sistem relativno miruje. Primovani sistem se kreće u odnosu na neprimovani brzinom $v$ duž ose x (ose su međusobno paralelne). Vreme teče jednako u oba sistema. Poprečne koordinate se ne menjaju. Ubrzanja su ista u dva sistema, a brzine su aditivne:

$$\vec{w}=\vec{v}+{\vec{v}'}.$$

Ovo je princip nezavisnosti kretanja, za male brzine. Galilejeve transformacije određuju klasičnu sliku prostora i vremena.

Godine 1905. ujedinio je Ajnštajn predstavu prostora i vremena u jedinstveni fizički prostor-vreme u kojem su na snazi ne Galilejeve, nego Lorencove transformacije. Ove nove, relativističke transformacije važe za sve brzine (do brzine svetlosti u vakuumu, koja je maksimalna dopustiva brzina u Prirodi.), a za male brzine svode se na klasične Galilejeve transformacije.

Rešavanje kinematičkih problema

Zadaci prvog tipa. Dat je zakon kretanja; treba naći brzinu i ubrzanje. Primenjuje se diferenciranje. Dakle, poznata je funkcija

$$\vec{R}=\vec{f}\left(t\right),$$

odnosno $x=f_{1}\left(t\right)$ i tako redom za još dve koordinate. Onda su komponente brzine

$\dot{x}=\frac{df_{1}}{dt}$, itd.

i komponente ubrzanja

$\ddot{x}=\frac{d^{2}f_{1}}{dt^{2}}$, itd.

Zadaci drugog tipa. Dato je ubrzanje:

$$\vec{a}=\vec{f}\left(t\right).$$

Treba odrediti zakon brzine i položaja. Primenjuje se integracija. Imamo za brzinu:

$$\vec{v}=\int \vec{a}dt+\vec{C}_{1}=\vec{\phi}\left(t\right)+\vec{C}_{1}.$$

Posle toga je i vektor položaja:

$$\vec{R}=\int \vec{\phi}\left(t\right)dt+\vec{C}_{1}t+\vec{C}_{2}.$$

Ovdje se sada zahtevaju i dva početna uslova! Dobar primer ove klase zadataka je kosi hitac.

Kosi hitac

Kosi hitac predstavlja kretanje tela kome je saopštena neka početna brzina pod uglom α u odnosu na horizontalni pravac. Putanju ćemo odrediti polazeći od zakona kretanja

$$m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}. \tag{1}$$

Na telo deluje jedino sila gravitacije (kad zanemarimo trenje). Kretanje tela ćemo analizirati u xOy koordinatnom sistemu.

Gravitaciona sila deluje duž y ose i ima samo vertikalnu projekciju $F_{\text{y}}=-mg$. Ovo je konstantna sila koja izaziva, kako smo razjasnili na prvom predavanju, jednoliko ubrzano kretanje, s ubrzanjem $-g$. Duž horizontalne ose ne deluju sile, nema ubrzanja — kretanje je jednoliko. Tako možemo da pišemo za komponente brzine

$$v_{\text{x}}=v_{0\text{x}}, \tag{2}$$ $$v_{\text{y}}=v_{0\text{y}}-gt. \tag{3}$$

Odavde, integracijom, neposredno dobijamo zakon kretanja tela koje je startovalo iz koordinatnog početka:

$$x=v_{0x}t, \tag{4}$$ $$y=v_{0\text{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2}. \tag{5}$$

Gornje jednačine su parametarske jednačine putanje tela. Eliminisaćemo parametar vreme i dobiti jednačinu putanje u vertikalnoj ravni

$$y=v_{0\text{y}}\frac{x}{v_{0\text{x}}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0\text{x}}}\right)^{2}. \tag{6}$$

Uzmimo još u obzir da je $v_{0x}=v_{0}\text{cos}\alpha$ kao i $v_{0y}=v_{0}\text{sin}\alpha$. Dobijamo posle elementarnog sređivanja izraza jednačinu parabole

$$y=\text{tg}\alpha \cdot x-\frac{g}{2v_{0}^{2}\text{cos}^{2}\alpha }x^{2}. \tag{7}$$

Priložimo kraću analizu ove formule. Prvo, odredimo domet tela (položaj tačke B). Stavimo da je u tački udara tela o tlo, na rastojanju $x_{\text{B}}$ od početka, $y=0$. Jednačina (7) onda daje rešenje:

$$x_{d}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}. \tag{8}$$

Najveći domet ćemo dobiti za $\alpha =45^{\circ }$ (kada je $\text{sin}2\alpha =1$).

Odredimo sada maksimalnu visinu tela na putanji, u tački A. U toj tački ne postoji vertikalna komponenta brzine: $v_{\operatorname{y}}=0$. Stoga, vreme penjanja tela do maksimuma iznosi:

$$t_{\text{m}}=\frac{v_{0}\text{sin}\alpha }{g}. \tag{9}$$

Ovo nam omogućava da odredimo horizontalno rastojanje tačke A:

$$x_{\text{m}}=v_{0}\text{cos}\alpha \cdot t_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{2g}. \tag{10}$$

Visinu maksimuma sada nalazimo iz jednačine putanje. Rezultat je

$$y_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}\text{sin}^{2}\alpha }{2g}. \tag{11}$$

U realnim uslovima, npr. pri izbacivanju projektila, moraju se uzeti u obzir realni uslovi (trenje sredine, otpor vazduha). Kriva koja se dobija u tom slučaju naziva se balistička kriva. Problemima putanje raznih projektila bavi se posebna nauka — balistika.

Posebni slučajevi

Horizontalni hitac predstavlja slučaj izbacivanja tela pod uglom $\alpha =0^{\circ }$. Zato je jednačina putanje (videti (7))

$$y=-\frac{g}{2v_{0}^{2}}x^{2}. \tag{12}$$

Ako se telo spustilo za $-H$, horizontalni mu je otklon

$$x_{\text{H}}=v_{0}\sqrt{\frac{2H}{g}}. \tag{13}$$

Vertikalni hitac je izbacivanje tela date početne brzine pod uglom $\alpha =\pi /2$. To je prosta ilustracija jednoliko usporenog kretanja, za koje smo izučili formule u prvom predavanju. Do maksimalne tačke telo stiže posle vremena

$$t_{\text{m}}=\frac{v_{0}}{g}. \tag{14}$$

Maksimalna visina na koju se popne iznosi

$$h_{\text{m}}=\frac{v_{0}^{2}}{2\text{g}}. \tag{15}$$

Vertikalni hitac naniže tretira se formulama za jednoliko ubrzano kretanje s početnom brzino.

Galilejev opit u Pizi

Padanje tela bez početne brzine, samo pod uticajem Zemljine teže, naziva se slobodno padanje. Galilej je prvi analizirao ovu vrstu kretanja posmatranjem padanja tela sa kosog tornja u Pizi. Galiljev opit, u našem vremenu, skiciran je na Sl. 2.

Kuglica počinje da pada bez početne brzine. Kada prevali visinu $h_{0}$ njena je brzina

$$v_{0}=\sqrt{2gh_{0}}. \tag{16}$$

Na tom mestu kuglicu primeti optički senzor $S_{1}$ i daje signal meraču vremena (tajmer) na ulazu 1 i on zabeleži taj trenutak $t_{1}$. Kada kuglica stigne naspram senzora $S_{2}$ on šalje signal tameru na ulazu 2 i fiksira se trenutak prispeća $t_{2}$; na dipsleju D očitavamo interval vremena $\Delta t=t_{2}-t_{1}$. kako se kuglica na putu između dva senzora kretala jednako ubrzano sa početnom brzinom, pređeni put je

$$\Delta h=\sqrt{2gh_{0}}\Delta t+\frac{1}{2}g\left(\Delta t\right)^{2}. \tag{17}$$

Na Sl. 3 vidimo grafik puta u funkciji vremena preleta. U jednom merenju smo dobili da je, u srednjem, kuglici trebalo 0,163 s da pređe put 40 cm (s početnom brzinom koja ogovara padanju od 15 cm). Sa slike vidimo da u idealnom slučaju kuglica putuje 0,16 s.

Sl. 3

Njutnovi zakoni

Celokupna klasična dinamika zasnovana je na tri Njutnova zakona: a) zakon inercije — prvi Njutnov zakon, b) zakon promene impulsa — drugi Njutnov zakon i v) zakon akcije i reakcije — treći Njutnov zakon.

Ova tri Njutnova zakona u potpunostu definišu silu i preciziraju zakone kretanja.

a) Prvi Njutnov zakon

Zamislimo da imamo neko telo koje smo izmestili da bude dovoljno daleko od svih drugih tela. Onda izvodimo opite s kretanjem tog tela. Primećujemo da se ono kreće ravnomerno i pravolinijski, ili miruje. Za to telo možemo vezati sistem referencije koji je onda pogodan za opisivanje interakcije dva ili više tela. Prvi Njutnov zakon možemo ovako formulisati:

Ovo je nezavisni zakon prirode, on određuje kriterijum valjanosti sistema referencije da u njemu razmatramo kretanje i kao kinematički i kao dinamički fenomen.

Prvi zakon ima jednostavan matematički iskaz:

$$=\overrightarrow{\text{const}}. \tag{2}$$

Brzina tela se ne menja po bilo kom osnovu. Možemo dakle pisati

$$\vec{a}=\vec{0}. \tag{3}$$

Prvi Njutnov zakon, strogo govoreći, ne možemo direktno eksperimentalno proveriti, jer se ni jedno telo ne može potpuno izolovati od uticaja drugih tela (ne postoji dematerijalizovan prostor). Ipak, mnogobrojna testiranja raznih posledica prvog Njutnovog zakona nedvosmisleno upućuju na zaključak o njegovoj fundamentalnoj validnosti.

Tako, prvi Njutnov zakon postulira postojanje sistema referencije (SR) koje zovemo inercijalni sistemi referencije (ISR). Za našu praksu jako važan heliocentrični sistem se može približno smatrati za inercijalni, u mnogim bitnim primenama.

b) Drugi Njutnov zakon

Posmatrajmo jednostavni i poučni eksperiment sa Sl. 2. Kolica mogu da se kotrljaju po ravnom stolu pod dejstvom horizontalne sile $F$. Kanap je

(preko dinamometra koji meri silu) spojen za kolica, i prebačen preko kotura koji omogućava da se sila $F=mg$ lako menja promenom mase tega $m$. Tako se ustanovljava da se ubrzanje kolica sa teretom poklapa sa pravcem sile. Jedna te ista sila daje raznim telima različita ubrzanja. Različite sile daju jednom te istom telu različita ubrzanja. Ali, količnik sile i ubrzanja uvek je konstantan, i ta konstanta i jeste masa tela. Ona jeste, kako smo već govorili, karakteristika svojstva inertnosti tela i to je nje jedini smisao. Opiti ovog tipa, dakle, navode nas na zaključak:

To znači da možemo pisati:

$$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}, \tag{4}$$

gde je $\vec{F}=\sum\limits \vec{F}_{\text{i}}$ ukupna sila. Pošto je $\vec{a}=\frac{d}{}dt$, dobijamo iz (4)

$$\vec{F}=m\frac{d}{}dt. \tag{5}$$

Kada na telo ne dejstvuje rezultantna spoljašnja sila ($\vec{F}=0$), onda je i $\vec{a}=\vec{0}$, pa se telo kreće konstantnom brzinom. Ovo je u skladu sa prvim Njutnovi zakonom, pa je on u tom smislu i posledica drugog Njutnovog zakona.

Drugi Njutnov zakon je strogo primenljiv samo za sićušna tela, materijalne tačke. Za proizvoljno telo, pod brzinom ne možemo smatrati brzinu bilo koje tačke tog tela, već jedne jedne posebne tačke koju zovemo centar mase tela (o njemu ćemo govoriti na drugom mestu u ovoj knjizi).

c) Treći Njutnov zakon

Treći Njutnov zakon dopunjava definiciju sile ističući činjenicu da dejstvo između tela, koje vodi promeni stanja njihovog kretanja, ima karakter uzajamnog dejstva.

Dakle, pozivajući se na Sl. 3 možemo zapisati

$$\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}. \tag{6}$$

Treći Njutnov zakon: par sila i napadne tačke

Ovaj zakon se često naziva zakon akcije i reakcije. Neophodno je uočiti da sile $\vec{F}_{12}$ i $\vec{F}_{21}$ ne dejstvuju na isto telo! Zanemarivanje ove činjenice ponekad dovodi do nesporazuma pri rešavanju zadataka. Pogledajmo opis jednog klasičnog eksperimenta koji pomaže da se razume suština ovog zakona.

Treći Njutnov zakon; klasičan eksperiment

Ka prvom telu učvršćen je elektromotor; kad je on u pogonu, na njegovo se vratilo namotaje konac čiji je drugi kraj spojen sa drugim telom. Kad radi motor, tela se kreću jedno ka drugom, pri čemu je uvek $m_{1}a_{1}=m_{2}a_{2}$, što znači da je $\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}$.

Priroda sila

Interakcije se mogu svrstati uslovno u tri klase.

1. Gravitacione interakcije. Privlačenje masa koje ne zavisi od sredine u kojoj su.

2. Elektrostatičke interakcije. Privlačenje ili odbijanje naelektrisanih tela. Važne za međuatomske odnose. Tu spada Kulonova i Lorencova sila.

3. Nuklearne i slabe interakcije. Interakcije među mikročesticama.

Makroskopske sile se svode na ove tipove; zavise od koordinata, ali i brzina. Ogromno je polje primene Njutnovih zakona. Važe u inercijalnim sistemima, za male brzine. Njutnovi zakoni su postulati, uočeni uopštavanjem opitnih fakata — ne dokazuju se.

Rešavanje zadataka u dinamici

Rešavanje zadataka prvog tipa. Izračunavanje kretanja kad su zadate sile i početni uslovi. Polazi se od drugog zakona. Dobijaju se brzine i položaji. Početne greške u zadavanju uslova se onda kasnije po potrebi minimiziraju.

Rešavanje zadataka drugog tipa. Zadaje se trajektorija; traže se ubrzanja; onda se sudi i o silama. (O primerima, na vežbama.)

Galilejev princip relativnosti

U svim IS isto je ubrzanje, iste su mase i iste sile — zavise od međusobnog rastojanja tela i relativne brzine. Znači, nepromenljiva je forma zakona mehanike. Nikakvim mehaničkim opitima unutar sistema ne može se otkriti njegovo pravolinijsko i ravnomerno kretanje. Princip koji je odigrao krupnu ulogu u razvoju fizike!

Zakon održanja impulsa

U sistemu čestica, interaguje konačan broj materijalnih tačaka. Evo primera:

Interakcija pet čestica u izolovanom fizičkom sistemu

Po drugom Njutnovom zakonu mogu da se ispišu $k$ jednačina za $k$ čestica:

$$\begin{aligned}\frac{d\vec{p}_{1}}{dt}=\vec{f}_{12}+...+\vec{f}_{1k}+\vec{F}_{1}, \\ ..................................... \\ \frac{d\vec{p}_{k}}{dt}=\vec{f}_{k1}+...+\vec{f}_{k,k-1}+\vec{F}_{k}.\end{aligned}$$

Ovde je $\vec{F}_{i}$ suma svih spoljašnjih sila koje deluje na masu $m_{i}$. Saberimo; unutrašnje sile $\vec{f}_{ij}$; u zbiru one daju nulu (po trećem Njutnovom zakonu). Pošto saberemo sve leve i sve desne članove, za ukupan mehanički impuls sistema $\vec{p}=\sum\limits_{i=1}^{k} \vec{p}_{i}$ imamo

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{k} \vec{F}_{i}.$$

Uvedimo pojam centar mase sistema čestica, posredstvom radijus vektora te tačke

$$\vec{R}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k} m_{i}\vec{r}_{i}}{M}.$$

Ova se tačka kreće brzinom

$$\vec{V}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k} m_{i}\vec{v}_{i}}{M}.$$

Ako pomnožimo levu i desnu stranu sa masom sistema čestica

$$M=\sum\limits_{i=1}^{k} m_{i},$$

dobićemo

$$\vec{p}=M\vec{V}.$$

Kretanje centra mase može da se promeni samo dejstvom spoljašnjih sila. Ako je fizički sistem izolovan (zatvoren), a to znači da je $\sum\limits \vec{F}_{i}=0$, onda je

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=0.$$

Drugim rečima, možemo da pišemo

$$\vec{p}=M\vec{V}=\text{const}.$$

Dobili smo zakon održanja impulsa izolovanog mehaničkog sistema: Ukupni impuls izolovanog sistema ne menja se, a centar mase se kreće ravnomerno i pravolinijski (ili miruje).

Ovo je jedan od najbitnijih zakona prirode. Razvoj fizike je pokazao da je taj zakon univerzalan.

Momenat impulsa

Neka je položaj neke materijalne tačke definisan u datom sistemu radijus vektorom $\vec{r}$. U odnosu na tačku O iz koje je povučen radijus vektor, moment impulsa je vektor

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}.$$

Ova definicija je dobra za bilo kolike brzine.

U odnosu na tačku O, moment sile koji deluje na materijalnu tačku je vektor

$$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}.$$

Ovde je $\vec{F}$ rezultanta svih sila koje deluju na materijalnu tačku.

Jednačina momenata

Po pravilima diferenciranja vektorskog proizvoda pišemo

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p}+\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt}.$$

Prvi član je jednak nuli (brzina je paralelna sa impulsom). Izvod impulsa je sila. Zato

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}.$$

Ovo je jednačina momenata koja igra važnu ulogu u analizi kretanja materijalnih tačaka i tela.

Zakon održanja momenta impulsa

U izolovanom fizičkom sistemu jednak je nuli rezultantni moment spoljašnjih sila, $\vec{M}=0$. Zbog toga, iz jednačine momenata dobijamo

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=0.$$

Ovo znači da je

$$\vec{L}=\text{const}.$$

Moment impulsa izolovanog sistema ne menja se ma kakvi procesi u njemu da se događaju.

Sistem može biti izolovan i duž samo jedne izabrane ose, na primer $x$. Tada važi

$$L_{x}=\text{const}.$$

Jedan opit s rotatorom

Dajemo ilustraciju ovog zakona.

Kroz vertikalnu fiksiranu cev protnut je kanap s kuglicom mase $m$ na kraju. Kuglica može da rotira oko ose koja se podudara sa osom cevi.

Zakon održanja momenta impulsa: demonstracioni opit

Na početku, kuglica kruži s poluprečnikom $r_{1}$, brzinom $v_{1}$. Onda počinje da deluje sila $F$; kuglica počinje da se kreće po spirali kojoj se smanjuje poluprečnik. Na kraju, kuglica rotira po krugu poluprečnika $r_{2}$. Kolika je tu brzina $v_{2}$?

Spoljašnja sila koja deluje na kuglicu stalno je usmerena duž radijusa putanja. Njen moment je stoga jednak nuli. Ako je tako, održava se moment impulsa. Na početku, moment impulsa, koji je usmeren kao i osa rotacije, iznosi $r_{1}mv_{1}$. Na kraju mora imati isto toliki moment impulsa, te je

$$r_{2}mv_{2}=r_{1}mv_{1}. \tag{32}$$

Odavde nalazimo traženu konačnu brzinu kuglice:

$$v_{2}=\frac{r}{r_{2}}v_{1}. \tag{33}$$

Smanjivanjem radijusa rotacije povećavamo brzinu rotiranja kuglice.

Rad sile

Trenutni rezultat delovanja sile na telo je njegovo ubrzanje. A delovanje sile u intervalu vremena ukazuje na proces koji se pogodno opisuje pojmom rada:

$$dA=\vec{F}\cdot d\vec{R}.$$

Rad je skalarni proizvod sile i pomeraja. Pošto je

$$d\vec{R}=\vec{v}dt,$$

sledi $dA=Pdt$, gde je mehanička snaga

$$P=\vec{F}\cdot \vec{v}.$$

Vidimo da je

$$A=\int_{0}^{t} Pdt=\int_{R_{1}}^{R_{2}} FdR\cos \alpha.$$

Kinetička energija

Stavimo da je $\vec{F}=\vec{F}_{\parallel }+\vec{F}_{\perp }$. Komponenta sile normalna na brzinu ne proizvodi rad, jer je za nju ugao 90 stepeni, i kosinus je nula. Komponenta paralelna brzini onda daje

$$mdv_{\parallel }=F_{\parallel }dt.$$

Pomnožimo ovu jednačinu sa $v_{\parallel }$. Dobijamo po pravilima diferencijalnog računa

$$d\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)=F_{\parallel }dx.$$

Uprostili smo analizu, posmatramo kretanje duž jedne ose. Kad integralimo, nalazimo

$$\int_{v_{1}}^{v_{2}} d\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)=A=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\parallel }dx.$$

Sada odmah dobijamo

$$\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=A.$$

Uvodimo novu važnu fizičku veličinu

$$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}.$$

Zovemo je kinetička energija materijalne tačke koja se kreće brzinom $v$. Prema tome, mi smo dobili zakon

$$\Delta E_{k}=A$$

Rad sile jednak je priraštaju kinetičke energije.

Zakon održanja energije

Zamislimo da u izolovanom fizičkom sistemu deluju samo sile tipa $F\left(R\right)$; njih nazivamo potencijalne sile. Takve sile se mogu izraziti izvodom

$$F_{\parallel }=-\frac{\partial U}{\partial x}$$

gde je $U$ potencijalna energija koja zavisi samo od prostornih koordinata. U našem primeru je onda

$$\int F_{\parallel }dx=-\int \frac{\partial U}{\partial x}dx=-\left(U_{2}-U_{1}\right).$$

Sada vidimo da iz relacije $\Delta E_{k}=A$ dobijamo $\Delta E_{k}=-\Delta U$, ili

$$\Delta \left(E_{k}+U\right)=0.$$

Zbir kinetičke energije i potencijalne energije zovemo mehanička energija:

$$E_{M}=E_{k}+U.$$

U stvari, dokazali smo da je

$$E_{\text{M}}=\text{const}.$$

Ovo je zakon održanja energije u klasičnoj mehanici: Ukupna mehanička energija u izolovanom sistemu se ne menja tokom vremena; potencijalna energija može da se pretvara u kinetičku, i obrnuto, ali je njihov zbir uvek konstantan.

Kad rastežemo oprugu, potencijalna energija je:

$$U_{\text{opruga}}=\frac{1}{2}kx^{2}.$$

Ovde je $k$ konstanta opruge. Sila elastičnosti je

$$F=-\frac{\partial }{\partial x}\left(U\right)=-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}kx^{2}\right)=-kx.$$

Dobili smo poznati Hukov zakon, silu elastičnosti $F=-kx$.

Kad dižemo teret mase $m$ na visinu $x$, savlađujući njegovu težinu, povećavamo potencijalnu gravitacionu energiju

$$U_{\text{grav}}=mgx.$$

Sila teže treba da bude, u skladu sa primenjenim formulama

$$F=-\frac{\partial }{\partial x}\left(U\right)=-\frac{\partial }{\partial x}\left(mgx\right)$$

što ispravno daje $F=-mg$.

Ako spoljašnja rezultantna sila nije jednaka nuli, onda je njen rad nad sistemom

$$A=\Delta \left(E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}\right).$$

Delovanje spoljašnje sile menja kinetičku i potencijalnu energiju sistema.

Jedna dilema

Pogledajmo jedan prost eksperiment. Stavljamo masu $m$ na oprugu $k$ i vešamo za plafon, pa pustimo masu; nastaju oscilacije i na kraju masa stane — opruga se istegnula za $x=mg/k$.

Potencijalna elastična energija opruge porasla je za

$$U_{\text{opruga}}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kx\left(\frac{mg}{k}\right)=\frac{1}{2}mgx.$$

Spoljašnja sila pri spuštanju tega izvršila je rad

$$A=\text{sila}\times \text{put}=mgx.$$

On je dvaput veći od priraštaja potencijalne energije. Pola ovog rada otišlo je na potencijalnu energiju, a druga polovina — šta je s njom?

Nema protivrečnosti; ovaj fizički sistem nije čisto mehanički u izolovanim okolnostima: zagreva se opruga dok osciluje, i zagreva se okolni vazduh.

Može da se govori opet o zakonu održanja energije, ali energija mora da se preformuliše. Ona sada uključuje i toplotu.

I sve druge forme energije se mogu na sličan način uključiti, pa: u izolovanom sistemu uvek važi zakon održanja i transformacije energije.

Posebno ćemo ovaj stav komentarisati u relativističkom slučaju.

Relativistički zakon održanja energije

Relativistička jednačina kretanja ima oblik

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F},\quad \vec{p}=m\vec{v},\quad m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$$

Ona je uopštenje drugog Njutnovog zakona na oblast velikih brzina ($v^{2}/c^{2}\sim 1$). Ovde je $c=3\cdot 10^{8}$ m/s brzina svetlosti u vakuumu, a $m_{0}$ masa mirovanja tela. Polazeći od ovog izraza, umesto klasičnog zakona održanja energije dobijamo relativistički zakon

$$\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}+U=\text{const}.$$

Prvi član je ukupna energija tela (za razliku od energije mirovanja tela $m_{0}c^{2}$). Drugi član je potencijalna energija, baš kao i u klasičnom slučaju.

Formula za kinetičku energiju koja je validna za sve brzine glasi

$$E_{k}=m_{0}c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-1\right).$$

Opit pokazuje da se energija mirovanja može pretvarati u druge oblike energije — to je zaista energija.

U svim procesima, energija nestaje u jednom obliku, ali se pojavljuje u drugom i njena vrednost se održava. Oblik postojanja mase takođe se menja, ali se njena vrednost održava. U svim uzajamnim transformacijama oblika mase i energije važi $E=mc^{2}$. Posebno, relacija je primenljiva i za potencijalnu energiju.

Duboki smisao zakona održanja

Ispostavilo se da su zakoni održanja uslovljeni samom suštinom prostora i vremena.

Zakon održanja impulsa posledica je činjenice da je prostor homogen.

Zakon održanja momenta impulsa posledica je činjenice da je prostor izotropan.

Zakon održanja energije posledica je homogenosti vremena.

Drugim rečima, zakoni održanja uslovljeni su osobinama simetrije prostora i vremena.

Keplerovi zakoni

Uprošćeno, materiju čini supstancija i polje. Delići supstancije interaguju posredstvom polja. Polje je osobena forma materije koja postoji pored supstancije i istovremeno s njom. To su ravnopravne forme materije, i mogu se međusobno transformisati. Mase koegzistiraju sa gravitacionim polje.

Ptolomejev (70-147) kosmos ima Zemlju u centru. Kopernik je pokazao da se jasniji opis putanja planeta dobija kad se pređe na Sunce kao centar sistema. Onda je Kepler formulisao zakone kinematike planeta:

1. Planete se kreću po elipsama; Sunce je u žiži.

2. Radijus vektori opisuju jednake površine za isto vreme.

3. Kub velike poluose proporcionalan je kvadratu perioda.

Uprošćena analiza može da se učini za kružne orbite. Godine 1687. Njutn otkriva oblik sile privlačenja dve materijalne tačke. Taj zakon omogućava da se Keplerovi zakoni egzaktno izvedu.

Zakon univerzalne gravitacije

Dve materijalne tačke s masama $m_{1}$ i $m_{2}$ na rastojanju $R$ privlače se silom

$$\vec{F}=-\gamma \frac{m_{1}m_{2}}{R^{3}}\vec{R}.$$

Njutn je pokazao da se sferna tela privlače kao i materijalne tačke istih masa koje su u centrima sfera. Ovde je $\gamma$ konstanta univerzalne gravitacije.

Rane primene zakona

Neptun i Pluton su otkriveni izračunavanjem perturbacija koje ove mase unose u kretanje drugih planeta. Njutn je objasnio plimu i oseku koje se smenjuju posle 6 sati. Konstantu $\gamma$ izmerio je Kevendiš 1795. Ubrzanje slobodnog padanja na površini Zemlje iznosi

$$a\equiv g=\frac{F}{m}=\gamma \frac{M_{Z}}{R_{Z}^{2}}.$$

Ovde je $M_{Z}$ masa Zemlje, a $R_{Z}$ poluprečnik Zemlje. Veličina $g$ se može lako meriti nezavisnim metodom (na primer, matematičkim klatnom ili na strmoj ravni). Poluprečnik Zemlje se može meriti nezavisno (prvu sjajnu procenu dao je pre dva milenijuma Eratosten).

Tako, možemo odrediti masu Zemlje iz gornje formule. Posle toga izračunavamo i srednju gustinu Zemlje.

Po podacima ubrzanja planeta može se odrediti masa Sunca: trista hiljada masa Zemlje. Centar mase sistema je skoro u centru Sunca.

Sile gravitacije se ne mogu ekranirati. Ne zavise od prirode tela. Gravitaciji podležu i fotoni i neutroni. Kod protona je te sile teško meriti.

Danas se zna da Njutnov zakon važi svuda u dostupnom svemiru (imajući u vidu i uopštenje ovog zakona u opštoj teoriji relativnosti).

Gravitaciono polje

Oko mase postoji gravitaciono polje, polje teže. Za polje važi princip superpozicije. Sile se sabiraju vektorski. Polje je neprekidno. Jačina polja je sila na probnu masu:

$$\vec{I}=\frac{\vec{F}}{m}=-\gamma \frac{M}{R^{3}}\vec{R}.$$

Koristan je pojam fluks jačine polja kroz površinu. Elementarni fluks kroz element površine je $dN=\vec{I}\cdot d\vec{S}$. Ukupni fluks je onda

$$N=\int_{S} \vec{I}\cdot d\vec{S}$$

Za materijalnu tačku u centru sfere iznosi fluks kroz sferu

$$N=\oint_{\text{sfera}} \vec{I}\cdot d\vec{S}=-4\pi \gamma M$$

To je mera broja linija jačine koje buše sferu. Zato rezultat vredi i za proizvoljnu zatvorenu površinu oko materijalne tačke. Nekoliko masa unutra daju polje koje se vektorski sabira, dok se fluks sabira skalarno. Mase van površine ne doprinose promeni fluksa, ali daju unutra jačinu polja!

Gausova teorema

Ako u polju koje potiče od mnogih izvora $M_{i}$ zamislimo zatvorenu površinu $S$, fluks vektora jačine polja kroz tu površinu je jednak

$$N=-4\pi \gamma \sum\limits M_{\text{i}}^{\text{unutra}}.$$

Da je ovu teoremu znao Njutn! Na primer: sferni sloj ne daje polje unutra.

Na donjoj slici, pune linije su linije polja dve tačkaste mase; slika nam pomaže da shvatimo pravac vektora sile koja deluje na probnu masu.

Sledeća slika je polje blizu ravne površine nekog tela; ravan je normalna na crtež. Vidimo: Sasvim blizu (isprekidani pravougaonik), polje je homogeno. Ovo je solidan model za gravitaciono polje na površini Zemlje (u učionici). Polje je lokalno gledano, dakle, praktično homogeno.

Rad sila gravitacionog polja

U polju tačkaste mase $M$ premešta se probna masa $m$ po proizvoljnom putu od tačke 1 do tačke 2. Rad gravitacione sile je $A=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}$ (videti donju sliku) ili — pošto je $d\vec{l}=d\vec{l}_{\parallel }+d\vec{l}_{\perp }$, a $\vec{F}\cdot d\vec{l}_{\perp }=0$:

$$A=-\gamma mM\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).$$

Funkciju

$$\phi =-\frac{\gamma M}{R}+\text{const}$$

zovemo gravitacioni potencijal u datoj tački. Potencijalna energija u datoj tački se dobija kad se masa pomnoži sa potencijalom

$$U=m\varphi =-\frac{\gamma mM}{R}+\text{const}$$

Dakle, rad sila polja između dve tačke jednak je razlici potencijalnih energija,

$$A=U_{1}-U_{2}.$$

Rad ne zavisi od forme puta. Konstantu možemo izabrati tako da je nula u beskonačnosti

$$U=-\frac{\gamma mM}{R}.$$

Ovo je prirodni postupak normiranja potencijalne energije: beskonačno udaljeno telo ne treba da oseća polje.

Važna je samo razlika potencijala. Tako, potencijal je negativna veličina. Rad po zatvorenom putu je nula. To jest, cirkulacija vektora jačine je nula po zatvorenom putu, uvek (imati u vidu princip superpozicije).

Potencijal je skalarna i aditivna veličina. Da približe masu centru, sile polja izvrše rad jednak priraštaju potencijalne energije (masa pri tome dobija kinetičku energiju): $A=\Delta U$.

Potencijal oko tačkaste mase. na rastojanju $R$, iznosi

$$\phi =-\gamma \frac{M}{R}.$$

Probajte da dokažete: jačina polja se dobija izračunavanjem izraza

$$\vec{I}=-\frac{d\phi }{dR}\frac{\vec{R}}{R}.$$

U opštem slučaju, uvodi se funkcija gradijent definicijom

$$\text{grad}\phi =\frac{d\phi }{dn}\vec{n}_{0},$$

gde jedinični vektor ukazuje na smer najbržeg porasta potencijala. Tako je u opštem slučaju:

$$\vec{I}=-\text{grad}\phi.$$

Polja sa ovakvim osobinama, koja se opisuju potencijalom, zovu se potencijalna polja, za razliku od vihornih polja.

Kosmičke brzine

Prva kosmička brzina Satelit kruži oko Zemlje na maloj visini, po kružnoj putanji. Centripetalna sila jednaka je gravitacionoj privlačnoj sili:

$$\frac{mv_{1}^{2}}{R}=\gamma \frac{mM}{R^{2}},$$

pa je tražena brzina

$v_{1}=\sqrt{gR}\approx 7,9$ km/s.

Druga kosmička brzina Telo ima dovoljnu početnu brzinu da se može beskonačno udaljiti od date mase. Ukupna mehanička energija blizu Zemljine površine mora biti jednaka ukupnoj mehaničkoj energiji u beskonačnosti, pa sledi:

$v_{2}=\sqrt{2gR}\approx 11,2$ km/s.

Telo koje je startovalo sa $v_{3}=43$ km/s može napustiti i Sunčev sistem. Tu brzinu zovemo treća kosmička brzina.

Geostacionarni satelit

Satelit se kreće u ravni zemljinog ekvatora, na visini h, i stalno je nad nekom tačkom površine. Satelit treba da ima period rotacije oko Zemlje jednak 24 časa. Mora biti:

$\gamma \frac{M}{\left(R+h\right)^{2}}=\Omega ^{2}\left(R+h\right)$, $\Omega =\frac{2\pi }{T}$.

Dobija se $R+h=42000$ km, a $h=35000$ km. GS satelit je pogodan za TV komunikacije.

Težina tela

Težina je sila kojom telo deluje na podlogu koja mu miruje pod nogama. Može se izmeriti vagom. Težina $\vec{P}$ nije uvek jednaka mg. Za čoveka u liftu važi koji ima vertikalno ubrzanje važi

$$\vec{P}=m\left(\vec{g}-\vec{a}\right).$$

Ako je $\vec{a}=\vec{g}$, nestaje pritisak na podlogu; to stanje zovemo bestežinsko stanje. Konstantna brzina lifta ne utiče na težinu. Težina čoveka u Beogradu je manja od njegove težine na polu,

$\vec{P}=\vec{F}-m\Omega ^{2}\rho$, $\rho \approx R\cos 45^{0}$.

Inerciona i gravitaciona masa

Inerciona masa se javlja u zakonu $F_{i}=m_{i}a$. Gravitaciona masa, ili teška masa, javlja se u zakonu $F_{t}=\gamma \frac{m_{t}M_{t}}{R^{2}}$.

I jednu i drugu uveo je Njutn; da li su one podudarne, rešava se jedino opitom. Prvi opit, ne do kraja s namerom, izveo je Galilej mereći slobodan pad raznih tela. Naime, u takvin opitima je ubrzanje slobodnog padanja

$$g=\frac{F_{t}}{m_{i}}\sim \frac{m_{t}}{m_{i}}.$$

Galilej je dobio da je odnos dve vrste masa uvek konstantan. Izborom jedinica, moguće je konstantu proporcionalnosti svesti na jedinicu, pa je

$$m_{i}=m_{t}.$$

Preciznija merenja preduzeo je Njutn. Radio je sa matematičkim klatnima raznih masa, a inače identičnim. Potvrdio je rezultat s greškom jedan promil.

Etveš je potvrdio identičnost masa s tačnošću $10^{-8}$, a Braginski $10^{-12}$. Istraživanja još traju. Studentima se preporučuje da vide podatke na Internetu!

Ovo je važno naučno pitanje, jer je istost tih masa postulat Ajnštajnove Opšte teorije relativnosti (OTR), koja je vodeća teorija gravitacije. To je jedna od najvažnijih teorija savremene fizike.

„Stara” teorija gravitacije primenljiva je samo na nepokretna tela; to je statički slučaj. Jer:

Ako se rastojanje menja, menja se i interakcija. Brzina prenošenja interakcije ne može biti veća od brzine svetlosti u vakuumu. Kašnjenje promene na udaljenom mestu Njutnova teorija ne uzima u obzir. Rezultati su ipak najčešće prihvatljivi jer je obično $v\ll c$ (mada strogo govoreći još nije izmerena brzina prostiranja gravitacije).

Zadatak za studente: Informisati se na Internetu o pojmu gravitacionih talasa i napretku istraživanja u toj oblasti. Zapamtimo sledeće:

Stara teorija dopušta neograničenost brzine, OTR ne.

Stara teorija uzima da jedna masa stvara polje nezavisno od svih drugih — teorija linearno povezuje sile i mase. Zato imamo princip superpozicije i vektorsko sabiranje sila. OTR je nelinearna teorija, ne važi princip superpozicije; OTR je zato složena teorija.

OTR nećemo detaljnije izučavati u ovom pregledu. Samo nekoliko primedbi da zapamtimo.

U vrlo jakim poljima prostor više nije homogen. Taj fakt se odražava na brzinu svetlosti. Pojava je potvrđena a) snimanjem neba oko Sunca pri potpunom pomračenju i b) radiolokacijom Merkura blizu diska Sunca. Postoje i moderniji dokazi.

Studentima se preporučuju prevedene odlične popularne knjige Ajnštajn za neupućene od Carloca I. Callea i Ajnštajnov kosmos od Mičio Kakua. Podaci o tim knjigama lako se nalaze na Internetu kad se u nekom popularnom pretraživaču (na prime, Google) zadaju pomenute ključne reči. Ove knjige bez formula čitaju se na letovanju kao romani Agate Kristi!

OTR dopušta zanimljiva razmatranja na temu postojanja crnih rupa. Preporučujem knjigu Kosmos u orahovoj ljusci od Stivena Hokinga. I ona se može naći u našim knjižarama.

Na osnovu posledica OTR danas se istražuje sadašnjost, prošlost i budućnost Kosmosa.