Treći deo - Ajnštajnova fizika

T r e ć i d e o

AJNŠTAJNOVA FIZIKA

Ajnštajnova zasluga

Albert Ajnštajn je presudno doprineo definisanju principa moderne fizike. Početkom dvadesetog veka uveo je red na nekoliko bitnih radilišta:

1) Objasnio je slučajni karakter kretanja čestica polenovog praha u Braunovom opitu. Posle toga se nije moglo sumnjati u postojanje atoma.

2) Objasnio je fotoelektrični efekat. Posle toga se nije moglo sumnjati da je svetlost na neki način i čestica, pored toga što je talas.

3) Postavio je specijalnu teoriju relativnosti i sagledao na dublji način osnove prostora i vremena.

4) Postavio je opštu teoriju relativnosti u kojoj je na dublji način sagledao suštinu gravitacije — ta ideja je danas ponos moderne fizike.

Zbog toga je Ajnštajn jedan od najkorisnijih fizičara u celoj istoriji ljudske misli.

Velike brzine

Svakodnevno, naše iskustvo ima posla s malim brzinama. Mehanika takvih pojava dobro je opisana Njutnovim zakonima. Kad se tela kreću brzinama koje se ne mogu zanemariti u poređenju sa brzinom svetlosti u vakuumu, potrebna nam je nova mehanika — relativistička mehanika.

Ako elektron ubrzavamo od katode do anode, klasična fizika nas uči da će na kraju puta stići s brzinom $u=\sqrt{2as}$, pri čemu je ubrzanje $a=eE/m$. Već pri jačini polja $E$ koja odgovara naponu između elektroda od trista kilovolti mogli bismo očekivati brzine veće od brzine svetlosti. Ali, to se ne događa. Ovaj eksperimentalni fakt mora ostaviti duboke posledice u svim oblastima fizike. Klasični zakoni se moraju revidirati.

Način na koji je Ajnštajn prevazišao ove teškoće i napravio neprotivrečnu teoriju validnu za sve brzine u prirodi verovatno je najveći intelektualni podvig ikad postignut.

Klasična relativnost

Zakoni mehanike isti su za sve inercijalne sisteme referencije. To su sistemi koji se kreću pravolinijski i bez ubrzanja (jednoliko). U svima njima važe isti, Njutnovi zakoni.

Zamislimo čoveka kako baca loptu uvis u avionu; sve će biti isto kao da to čini u laboratoriji na Zemlji. No, posmatrač iz laboratoriji vidi drugačiju putanju lopte u avionu. Ali nema neslaganja u tome da važi zakon gravitacije i tri Njutnova zakona mehanike. Slažu se i oko toga koliko je trajao let lopte. Nema privilegovanog sistema referencije.

Student u avionu vrši opit vertikalnog hica.

Posmatrač sa Zemlje vidi putanju kosog hica

Brzina svetlosti

Fizičari su pokušali da pincip klasične relativnosti primene i za opite iz optike, elektromagnetizma i sl. To nije dalo prihvatljive rezultate. Evo primera:

Student u dresini (brzina $v$) šalje foton duž pruge (brzina $c$);

posmatrač pored pruge ne konstatuje brzinu fotona $c+v$

Eksperimentator u dresini meri brzinu svetlosnog impulsa $c$. Posmatrač kraj pruge je u inercijalnom sistemu gde bi po klasičnoj relativnosti brzina morala biti $c+\text{v}$. Ali merenja ne pokazuju da je tako. Zakon sabiranja brzina nije galilejevski. Osnov da se očekuje prosto sabiranje brzina postojao je u analogiji sa zvukom; zvuk je talas u vazduhu i može imati brzinu ovu ili onu, zavisno od sistema referencije. Svetlost je nešto drugo!

Šta nije u redu? Zakon sabiranja brzina ili nepromenljivost zakona elektromagnetizma u raznim inercijalnim sistemima referencije?

Verovalo se da postoji svetlonosna sredina, etar, koja podržava svetlosni talas. Referentni sistem vezan za etar bi bio apsolutni sistem referencije. U njemu bi zakoni elektromagnetizma bili najjednostavniji. Ali etar nikad nije detektovan i naučno dokazan. Ostalo je da se koncept etra odbaci. Ostalo je da se prihvati ovakav stav: Zakoni elektromagnetizma isti su u svim inercijalnim sistemima referencije. Iz toga je sledilo da klasični zakon sabiranja brzina ne valja — mora se modifikovati. Ako ne valja način sabiranja brzina, ne valja ni koncept prostora i vremena!

Klasična slika prostora i vremena pokopana je ishodom Majkelson-Morlijevog opita. Taj opit dokazuje da je brzina svetlosti ista u svim inercijalnim sistemima referencije. Nastale nedoumice u fizici ispravno je protumačio Ajnštajn.

Ajnštajnov princip relativnosti

I tako, trebalo je rešiti kontradikciju između klasične relativnosti i konstantnosti brzine svetlosti u svim ISR (inercijalni sistem referencije).

Ajnštajn je pošao od dva postulata:

Prvi postulat znači da nema apsolutnog kretanja. Fizički opit, bilo koji, daje isti rezultat u laboratoriji i, na primer, na brodu koji plovi po okeanu.

Drugi postulat je Maksvelova tvrdnja da je brzina svetlosti određena električnom i magnetskom konstantom, i ničim više u uslovima inercionog kretanja. Danas imamo eksperimentalni dokaz da se svetlost koju ispuštaju čestice pri brzini $0,9999c$ prostire brzinom $c$ - s tačnošću do pet decimala.

Drugi postulat odmah poništava klasičnu sliku prostiranja svetlosti kroz etar, pa je ishod Majkelson-Morlijevog opita logičan.

Kad merimo brzinu svetlosti, možemo da ne marimo za uniformne brzine. Ali posledice toga stava do danas mnogima se čine bizarne!

Posledice nove relativnosti

Ne postoji apsolutna dužina i ne postoji apsolutni interval vremena. Merenje ovih veličina daje različite rezultate u raznim ISR.

Dva događaja koja su istovremena u železničkoj postaji, nisu istovremena kad se posmatraju iz voza koji prolazi pored postaje uniformnom brzinom. Kod Njutna, istovremenost je bila neupitna. Nije bilo lako zaobići ovaj uvreženi način mišljenja!

Simultanost događaja

Ajnštajn je smislio ovaj misaoni eksperiment.

Posmatrač u O kaže da su munje istovremeno udarile u čelo i kraj dresine;

posmatrač ${\text{O}'}$ u dresini kaže da je prvo udarila munja u čelo dresine

Munje su udarile na dva kraja dresine u pokretu i ostavile tragove na njoj, ali i na šinama (tačke A i ${\text{A}'}$, kao i B i ${\text{B}'}$). Posmatrač na dresini ${\text{O}'}$ je između primovanih tačaka, a posmatrač kod šina O je na sredini između neprimovanih tačaka. Signali udara munje stigli su do posmatrača O istovremeno, događaji u A i B bili su za njega istovremeni. Ali, dok O konstatuje istovremenost, ${\text{O}'}$ je primio signal od ${\text{B}'}$ ali još nije od ${\text{A}'}$. Dva posmatrača mere istu brzinu svetlosti, po Ajnštajnu. Posmatrač u dresini zaključuje da je munja pre udarila u ${\text{B}'}$, potom u ${\text{A}'}$. Za njega, nije bilo simultanosti!

Simultanost zavisi od stanja kretanja posmatrača.

U pravu su oba posmatrača; nema privilegovanog ISR.

Ovo je centralna tačka teorije: svaki ISR je dobar za opisivanje pojave.

Dilatacija vremena

Posmatramo dva paralelna ravna ogledala, A i B. Rastojanje između ogledala iznosi $L$. Posmatrač u SR vezanom za ogledala zaključuje da foton

Student sa gornjeg odledala šalje foton naniže i meri

vreme kad će da se vrati posle odbijanja od donjeg ogledala

pređe put od A do B i nazad za vreme

$$\Delta t=\frac{2L}{c}.$$

A kako razmišlja posmatrač koji stoji pored i gleda pokretna ogledala:

Ovako eksperiment sa prethodne slike vidi posmatrač pored

On vidi da foton putuje duž dve stranice ravnokrakog trougla:

$$\Delta {t'}=\frac{2D}{c}.$$

Po drugom postulatu, brzina svetlosti je i za ovog posmatrača c! Odmah se vidi da je ovo duži interval vremena, jer je $D>L$. Ali možemo dobiti i kvantitativni rezultat, pomoću Pitagorine teoreme. Prvo uočavamo da je

$$D=\sqrt{\left(\frac{1}{2}v\Delta {t'}\right)^{2}+L^{2}}$$

i ovaj rezultat stavljamo u izraz za $\Delta {t'}$. Onda rešavamo po $\Delta {t'}$:

$$\Delta {t'}=\frac{2L/c}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$$

Vidimo da je konačno

$$\Delta {t'}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$$

Ovaj rezultat se može ovako iskazati:

Relacija dilatacije može se eksperimentalno dokazati. Evo jednog klasičnog dokaza.

Otkud mioni oko nas?

Mioni su nestabilne elementarne čestice. Imaju naelektrisanje kao elektron, ali im je masa veća 207 puta. Poznato je da mogu nastati u interakcijama kosmičkog zračenja sa atomima u gornjim slojevima atmosfere. Fizičari znaju da eksperimentišu i sa mionima dobijenim u laboratoriji; tada se meri da je njihovo vreme života $\Delta t$ jednako 2,2 mikrosekunde. Ako se ovo vreme pomnoži sa brzinom miona, makar pretpostavili da je ona jednaka brzini svetlosti, dobićemo da mion, za života, može da preleti 600 metara, ali ne više. Pa, kako stiže iz daleka do površine Zemlje? Opiti kažu da stvarno stižu. Rešenje nam daje zakon dilatacije vremena. U sistemu referencije posmatrača sa Zemlje mion živi, u skladu sa izvedenom formulom, $\gamma$ puta duže: $\Delta {t'}=\gamma \Delta t$, gde je

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$$

relativistički faktor. Sad, ako je $v=0,99c$, dobićemo $\gamma \approx 7$. Znači, u sistemu vezanom za Zemlju mion živi znatno duže, $\Delta {t'}=16$ mikrosekunde. Za ovo vreme on može preći blizu pet kilometara, što objašnjava pojavu miona u našoj okolini.

U laboratorijama CERN, u Ženevi, fizičari dobijaju mione brzine $0,9994c$ i mere njihovo vreme života tridesetostruko veće od vremena života sporog miona — sve u skladu sa formulom dilatacije vremena.

Kontrakcija dužine

Prugom pored posmatrača prolazi dresina. Posmatrač želi da izmeri njenu dužinu u pokretu. Ali, kako se meri dužina pokretnog tela?

Posmatrač treba da ima dva pomagača; oni će istovremeno zabeležiti na šinama znake gde je prošla prednja ivica dresine, a gde zadnja. Međutim, moraju da imaju identične, sinhronizovane časovnike i u istom trenu da obave tu radnju.

Posmatrač može i sam da izmeri dužinu: Ako mu je poznata brzina dresine $v$ i na časovniku pročita za koje je vreme pored njega prošla dresina, dobiće traženu dužinu $\Delta {\ell'}=v\Delta {t'}$.

Ovako ili onako, merenje dužine neće moći da se obavi bez merenja vremena; a kako je vreme relativno, biće i dužina relativna.

U stvari, merenje je teklo ovako. Posmatrač je zakucao pored pruge dva kočića i zategao između njih konac dužine $\Delta {\ell'}$. Čelo dresine je prošlo od kočića do kočića za vreme $\Delta {t'}$, koje je posmatrač izmerio. Tako je besumnje

$$\Delta {\ell'}=v\Delta {t'}.$$

Ali, radnik u dresini meri u svom koordinatnom sistemu. On miruje u njemu, a sva okolina se kreće na drugu stranu brzinom istog modula $v$. Po njemu, kanap ima dužinu $\Delta \ell$ i prošao je mimo njega za vreme $\Delta t$. Zato on piše jednačinu

$$\Delta \ell =v\Delta t.$$

Podelimo prvu relaciju sa drugom. Dobijamo

$$\frac{\Delta {\ell'}}{\Delta \ell }=\frac{\Delta {t'}}{\Delta t}.$$

Iz prethodnog poglavlja o dilataciji vremena znamo da je

$$\Delta t=\gamma \Delta {t'}.$$

Zbog toga je očito $\Delta {\ell'}=\Delta \ell /\gamma$ ili

$$\Delta {\ell'}=\Delta \ell \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.$$

Ovaj rezultat se može ovako iskazati:

Kontrakcija dužine nije prividan, već potpuno realan efekat. Istinska (apsolutna) dužina tela ne postoji. Primetimo da se menja samo podužna dimenzija; poprečne dimenzije ostaju iste. Ovo se može i strogo dokazati polazeći od Lorencovih transformacija za prostorno-vremenske koordinate (koje pri velikim brzinama koristimo umesto Galilejevih transformacija — i o tome ćemo govoriti).

Za obične prilike, kontrakcija je nevelika. Na primer, kosmonaut koji je u raketi na putanji oko Zemlje (kruži prvom kosmičkom brzinom od 8 kilometara u sekundi), konstatuje da se prečnik Zemlje skratio za svega 4,5 milimetra. Kad je nastajala specijalna teorija relativnosti, zbilja su bili retki realni opiti za proveru novih ideja. Zato su Ajnštajn i drugi fizičari prizivali u pomoć misaone eksperimente. Evo jednog primera:

Misaoni eksperiment

U ISR (inercijalnom sistemu referencije) $S\left(X,Y,Z\right)$ posmatramo dve cevi, A i B (slika dole). Kreću se jedna ka drugoj, brzine su im istog modula. Mi ovog trena ne znamo za Ajnštajnovu teoriju i pretpostavimo da se i poprečne dimenzije tela smanjuju kad se telo kreće. Dolazi do kontrakcije svih prečnika u istom iznosu, jer su svi pravci u prostoru ravnopravni. Dakle, dijametri obe cevi će se smanjiti na isti način — sudar je neizbežan.

Misaoni eksperimenat: sudar dve cevi

Sada, razmotrimo ovaj isti eksperiment u ISR ${S'}\left(x,y,z\right)$; u njemu, cev A je nepokretna. Dijametar cevi A ostaje isti, a dijametar cevi B se smanjio. Možemo izabrati brzinu $v$ da bude tako velika da ova cev prođe kroz cev A bez sudara!

Ishod misaonog opita nam govori da su ISR A i B neravnopravni (u jednom se predviđa sudar, u drugom ne). Tako nešto protivreči principu relativnosti (da je fizika ista u svim ISR).

Zaključujemo da, zbilja, ako prihvatamo postulate STR (specijalne teorije relativnosti) imamo logičan ishod da ne može biti ni smanjenja ni povećanja poprečnih dimenzija pri kretanju tela. Smanjuje se samo podužna dimenzija.

Jedan slavni paradoks

Nema sumnje, postoje za mnoge čitaoce određene teškoće u shvatanju specijalne teorije relativnosti. Mnogi misle da te teškoće ne dolaze toliko od složenosti teorije, koliko od paradoksalnosti nekih njenih posledica. Pojedine posledice su toliko neočekivane da se čini kako prkose zdravom razumu.

Najpoznatiji paradoks specijalne teorije relativnosti je paradoks blizanaca. Neko je smislio ovakvu priču:

Dva blizanca, Marko i Janko, dobiju za trideseti rođendan poklone: identične i sinhronizovane satove (pokazuju isto vreme na istom mestu u istom ISR). Marko stavi u džep svoj sat, Janko stavi u džep svoj sat. Janko, sklon avanturama, uđe u raketu te se brzinom $0,995c$ otisne na dugo svemirsko rođendansko putovanje — do planete udaljene od Zemlje dve i po svetlosne godine puta, po Jankovom satu. Marko ostane na planeti Zemlji. Stigavši na cilj, Janko se zaželi kućnog praga i vrati se putujući opet brzinom $0,995c$. Kad je stigao, kao grom da ga je udario: On je imao 35 godina; a brat Marko celih 80! Najgore je tek sledilo; Janko je ostavio na Zemlji petogodišnjeg sina — koji sad ima 55 godina. Sin je stariji od oca!

Već sama činjenica da su dva blizanca različitim tempom starila u različitim fizičkim okolnostima — dovoljno je šokantna. Pravi paradoks nastaje kad se učini ovaj prigovor: Zar ne možemo reći da Janko miruje u raketi a Marko se u odnosu na njega udaljava i potom približava brzinom $0,995c$? Pa, ko je od koga stariji?

Na slici vidimo Janka u ISR ${S'}$ vezanom za vasionski brod koji prolazi velikom brzinom pored Marka u ISR $S$ vezanom za Zemlju. Janko ima i jedan pomoćni časovnik.

Nevolje braće blizanaca, Marka i janka

On se sastoji od dva idealna vertikalna ogledala koja su na međusobnom rastojanju $L_{0}$ (koje je izmerio Janko). Foton $f$ ide od levog do desnog ogledala, odbija se, i tako redom. Jedinica vremena je period ovog kretanja. Za Janka taj period iznosi

$$T_{0}=\frac{L_{0}}{c}+\frac{L_{0}}{c}=2\frac{L_{0}}{c}.$$

Za Marka taj period je

$$T=\frac{L}{c+v}+\frac{L}{c-v}=\frac{2cL}{c^{2}-v^{2}}.$$

Naravno, i jedan i drugi upotrebljavaju istu brzinu fotona. Ali je rastojanje ogledala za Marka, po formuli kontrakcije dužine

$$L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.$$

Zato dobijamo

$$T_{0}=T\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.$$

Naravno, ovaj rezultat smo mogli direktno da napišemo iz naše formule za dilataciju, ali smo hteli da izvedemo Markov račun od početka. I eto, ono što je Janku u raketi podnošljivi vremenski interval, Marku na Zemlji je vreme koje se baš oteglo! Zaista:

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,995^{2}}}=10,0125.$$

Marko nije vidio brata za vreme $\gamma$ puta pet Jankovih godina, a to je pola veka! Tu nema dileme.

Međutim, Janko ne može tako prosto da upotrebljava osnovne formule STR, i u tome je razrešenje paradoksa. Naime, Marko je morao i da se kreće ubrzano, da bi se vratio — nije neprestano bio u jednom ISR. Pozicija Jankova nije isto što i pozicija Markova, koji je sve vreme bio u ISR vezanom za Zemlju. Situacija nije simetrična.

Uzajamna veza mase i energije

Ako ste u laboratoriji izmerili masu tela i našli da je ona $m_{0}$, to isto telo će imati masu

$$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

ako leti pored vas brzinom $v$. Do ovog fundamentalnog rezultata došli su fizičari na pragu dvadesetog veka, a osnažio ga je 1905. g. Ajnštajn, teorijskim pristupom, konsekventno primenjujući principe specijalne teorije relativnosti. Prikažimo grafički ovu zavisnost:

Zavisnost mase tela od brzine kretanja

Dakle, masa je relativna veličina, zavisi od brzine kretanja. Uzeli smo da je $m_{0}=1$ kilogram. (Setimo se: $\beta =v/c$.) Brzina bilo kog tela može se približavati brzini svetlosti u vakuumu, ali ne može dostići, niti nadmašiti ovu brzinu. Ne postoji nama poznati svet za $\beta \ge 1$. Prva aproksimacija daje

$$m\approx m_{0}\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right).$$

Masa poraste za samo dva posto tek pri velikim brzinama jednakim petini brzine svetlosti. Ipak, taj efekat je osetljiv i u običnoj katodnoj cevi televizora, da ne pominjemo eksperimente sa akceleratorima — tamo se naelektrisane čestice ubrzavaju do same brzine svetlosti, a masa poraste stotinama puta. Bitno je da je granica $c$ nedokučiva.

Ali, pravo naučno otkrovenje usledilo je kad je Ajnštajn zaključio da se telu i kad miruje može pripisati energija

$$E_{0}=m_{0}c^{2}.$$

To je energija mirovanja. Ona je ogromna. Telo od jednog kilograma ima energiju mirovanja od $9\cdot 10^{16}$ džula. (Neko je izračunao da je potrebno sagoreti tri miliona tona uglja da se dobije tolika energija! Proverite.)

Za telo u pokretu treba da pišemo

$$E=mc^{2}.$$

To je njegova ukupna energija. Kolika mu je onda kinetička energija? Očito, treba oduzeti energiju mirovanja, pa šta preostane:

$$E_{\text{k}}=mc^{2}-m_{0}c^{2}.$$

Izraz se može zapisati ovako

$$E_{\text{k}}=m_{0}c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}-1\right).$$

Šta ćemo sa našom klasičnom formulom za kinetičku energiju, koja kaže da je kinetička energija

$$E_{\text{k}}^{\text{klas}}=\frac{1}{2}m_{0}v^{2}?$$

Pošto je za male vrednosti $\beta$ dobra aproksimacija $\left(1-\beta ^{2}\right)^{-1}\approx 1+\beta ^{2}/2$, vidimo da se zaista dobija iz relativističke formule približan izraz

$$E_{\text{k}}\approx \frac{1}{2}m_{0}c^{2}\beta ^{2}=E_{\text{k}}^{\text{klas}}.$$

Tako, nema nedoslednosti: relativistički izraz za kinetičku energiju svodi se na klasični izraz — pri malim brzinama, u granici $\beta \to 0$. Klasična mehanika je mehanika malih brzina. Sa donje slike se vidi da osetne razlike između relativističkog i klasičnog izraza nastaju u oblasti $\beta \sim 1$.

Gornja kriva: relativistički izraz; donja kriva: klasični izraz

Primer je urađen za hipotetičku česticu koja ima masu mirovanja $m_{0}=10^{-16}$ kilograma.

Moramo zapamtiti važni zakon prirode:

Zakon održanja mase?

U hemiji, formuliše se zakon održanja mase: Masa supstancije pre reakcije jednaka je masi supstancije posle reakcije. Ovo nije posve tačno. Uvek postoji neki energetski bilans hemijske reakcije. Kod egzotermičkih reakcija, masa se u reakciji smanjila. Istina, ta promena mase je zanemarljivo mala.

Kod nuklearnih reakcija se izdvaja mnogo više energije. Tamo se promena mase lako detektuje. Na primer, kod hidrogenske bombe spaja se jezgro deuterijuma sa jezgrom tricijuma, da bi nastalo jezgro helijuma i jedan neutron. Lako je proveriti da je zbir masa posle fuzije manji od zbira masa pre fuzije. Taj manjak se zove defekt mase. Defekt mase se objašnjava Ajnštajnovom relacijom. Oslobodila se ogromna energija. Jezgro helijuma i neutron su se razleteli s ogromnim brzinama. Te brze čestice imaju povećanu masu u pokretu. Ako bilans masa proverimo uzimajući u obzir relativističke mase — nikakvog debalansa neće biti, nema iščezavanja mase. Na kraju, čestice predaju svoju kinetičku energiju okolini, i njihova masa potom stvarno bude manja. To ne znači da je masa netragom nestala — nju moramo tretirati u neraskidivoj vezi sa energetskim bilansom.

Može se izračunati: Kad se sintetiše 4 kg helijuma (jedan kilomol helijuma) oslobodi se skoro dva miliona milijardi džula energije! To je ekvivalent od 60 hiljada tona uglja.

Za atomsku bombu koja je eksplodirala u Hirošimi 6. avgusta 1945. izračunat je ovaj frapantni podatak: Kad su se nuklearne reakcije smirile, ostaci upotrebljenog nuklearnog materijala bili su za samo jedan gram lakši od nukleranog materijala koji je ušao u fisioni procec! Taj jedan gram koji se transformisao u energiju izazvao je nezamislivo razaranje grada i pomor biološke mase.

Postoje i takve reakcije pri kojima potpuno nestaje masa mirovanja. Ta se pojava zove anihilacija. Ona uvek nastaje kad interaguje neka čestica sa svojom antičesticom. Na primer, elektron i pozitron spajanjem daju dva gama kvanta. Ova i slične reakcije mogu teći i u obrnutom smeru.

Zakon održanja energije

Kao što smo naglasili kad smo pisali Drugi Njutnov zakon, jednačina kretanja u obliku

$$\frac{d}{dt}\vec{p}=\vec{F}.$$

pogodna je i za velike brzine. Ali, pod impulsom tela sad treba shvatiti ne impuls mirovanja $m_{0}\vec{v}$ već

$$\vec{p}=m\vec{v}=\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}.$$

Pomoću matematičkih operacije u koje ovde ne možemo ulaziti, odavde se dobija zakon održanja energije u relativističkom slučaju:

.

Ovde je $U$ potencijalna energija, ona ista koju znamo iz nerelativističke fizike. Ukupna energija tela plus potencijalna energija jeste veličina koja se održava u izolovanom sistemu. (Voditi računa: pojam ukupne energije tela ovde je sasvim drugačiji od tog pojma u klasičnoj fizici.)

Naučno-popularne knjige

U svetu, neprestano se pišu naučno-popularne knjige iz fizike uopšte, a posebno na temu Ajnštajnove fizike. Među autorima su i takvi autoriteti iz područja prirodnih nauka i filozofije kao što su Born, Landau, Infeld, Rasel, Hoking i drugi.

Dva su bitna razloga što se pišu takve knjige. Prvo, širokom krugu čitalaca zanimljiv je način kako, skoro bez matematike, o teoriji relativnosti govore stručnjaci koji su aktivno razvijali tu oblast fizike. Drugo, korisno je ideje te teorije pedagoški plasirati nastavnicima i učenicima. Drugim rečima, postoji opravdan naučni, kulturni i obrazovni interes da se šire ideje koje je pre sto godina inicirao Albert Ajnštajn.

Dve dobre knjige o Ajnštajnu i njegovom delu su prevedene nedavno i mogu korisno da posluže nastavnicima, studentima i učenicima pre svega: Ajnštajnov kosmos od Mičio Kakua i Ajnštajn za neupućene Karlosa Kalea. (Obe knjige je izdala Mikroknjiga iz Beograda.)

Originalni, slavni Ajnštajnovi radovi iz 1905, u prevodu B. Aničina i V. Babovića, mogu se čitati u knjizi (istog izdavača) Podvig mladog Ajnštajna.

Lorencove transformacije

Kao što nam je poznato iz odeljka o Njutnovoj fizici, mehaničke pojave u raznim referentnim sistemima, koji se kreću jedan u odnosu na drugi pravolinijski i ravnomerno, teku na isti način. Mehaničkim merenjima je nemoguće ustanoviti koji se od tih sistema kreću a koji miruju, te je zato moguće govoriti jedino o njihovom relativnom kretanju, o kretanju jednog u odnosu na drugi (to je princip relativnosti za mehaničke pojave).

Identičnu situaciju imamo i kod elektromagnetskih pojava. Pomoću elektromagnetskih pojava, baš kao i pomoću mehaničkih pojava, ne može dobiti nikakva informacija o postojanju apsolutnog kretanja, te se zato ne može identifikovati nikakav privilegovani referentni sistem. Svi referentni sistemi, koji se kreću jedan u odnosu na drugi pravolinijski i ravnomerno, ravnopravni su među sobom, i u svim tim sistemima jednaki su zakoni elektromagnetskih pojava. U tome se sastoji princip relativnosti za elektromagnetske pojave.

Transformacione formule za polja, takve da su pogodne za bilo koje brzine (sve do $v=c$) prvi je našao Lorenc (Lorencove transformacije za elektromagnetsko polje) i one imaju oblik

$$\begin{aligned}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{E'}_{\text{x}}=E_{\text{x}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{H'}_{\text{x}}=H_{\text{x}} \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{y}}=E_{\text{y}}-vB_{\text{z}},\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}{H'}_{\text{y}}=H_{\text{y}}+vD_{\text{z}},\,\, \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{z}}=E_{\text{z}}+vB_{\text{y}},\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}{H'}_{\text{z}}=H_{\text{z}}-vD_{\text{y}}\end{aligned}$$

One dopuštaju da se nađe elektromagnetsko polje (${\vec{E}'}$, ${\vec{H}'}$) u referentnom sistemu ${S'}$ koji se kreće u odnosu na drugi sistem $S$ u smeru pozitivne ose $x$ brzinom $\vec{v}$, ako je poznato elektromagnetsko polje ($\vec{E}$, $\vec{H}$) u sistemu referencije $S$. Kasnije su te formule bile strogo zasnovane kao posledice principa relativnosti u Ajnštajnovoj teoriji relativnosti.

Dva inercijalna referentna sistema. Sistem referencije $S$

uslovno miruje. U odnosu na njega, sistem referencije ${S'}$

kreće se duž zajedničke horizontalne ose stalnom brzinom $v$.

Ose dva sistema su međusobno paralelne.

Po Galileju, setimo se, kinematičke veličine u dva inercijalna referentna sistema su u ovakvoj međusobnoj zavisnosti:

$${x'}=x-vt,$$

$${y'}=y),$$

$${z'}=z,$$

$${t'}=t.$$

Godine 1905. ujedinio je Ajnštajn predstavu prostora i vremena u jedinstveni fizički prostor-vreme u kojem su na snazi ne Galilejeve, nego relativističke transformacije koje važe za sve brzine (do brzine svetlosti u vakuumu, koja je maksimalna dopustiva brzina u Prirodi.):

$$\begin{aligned}{x'}=\gamma \left(x-vt\right) \\ {y'}=y \\ {z'}=z \\ {t'}=\gamma \left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right)\end{aligned}$$

Ovde je $\gamma =1/\sqrt{1-\beta ^{2}}$ relativistički faktor. (Setimo se da je $\beta ^{2}=v^{2}/c^{2}$).

Pomoću ovih formula mogu se egzaktno tretirati pojmovi dilatacije vremena, kontrakcije dužine, istovremenost događaja i sl. Umesto toga, ovde ćemo pogledati sledeći zadatak:

Domaća vežba. Pokažite da Lorencove transformacije za elektromagnetsko polje zadovoljavaju princip relativnosti. Uputstvo: sistem

$$\begin{aligned}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{E'}_{\text{x}}=E_{\text{x}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{H'}_{\text{x}}=H_{\text{x}} \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{y}}=E_{\text{y}}-vB_{\text{z}},\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}{H'}_{\text{y}}=H_{\text{y}}+vD_{\text{z}},\,\, \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{z}}=E_{\text{z}}+vB_{\text{y}},\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}{H'}_{\text{z}}=H_{\text{z}}-vD_{\text{y}}\end{aligned}$$

rešite po poljima $\vec{E}$ i $\vec{H}$. Dobićete

$$\begin{aligned}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E_{\text{x}}={E'}_{\text{x}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,H_{\text{x}}={H'}_{\text{x}} \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}E_{\text{y}}={E'}_{\text{y}}+v{B'}_{\text{z}},\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}H_{\text{y}}={H'}_{\text{y}}-v{D'}_{\text{z}},\,\, \\ \sqrt{1-\beta ^{2}}E_{\text{z}}={E'}_{\text{z}}-v{B'}_{\text{y}},\,\,\,\,\,\,\sqrt{1-\beta ^{2}}H_{\text{z}}={H'}_{\text{z}}+v{D'}_{\text{y}}\end{aligned}$$

Izrazi su iste strukture (zakoni nisu promenili formu), jedina razlika je što se promenio znak brzine (posmatrač u sistemu ${S'}$ smatra da on miruje, a sistem $S$ se kreće u smeru negativne $x-$ ose.)

Ako je $\beta ^{2}\ll 1$, Lorencove transformacije prelaze u formule koje su saglasne sa eksperimentima pri sporim kretanjima.

Jedan primer:

Primenićemo Lorencove transformacije da kvalitativno ispitamo kako se menja električno polje naelektrisanja pri kretanju. Za posmatrača u odnosu na kog naelektrisanje miruje (sistem $S$), linije sile električnog polja radijalno se razilaze i imaju jednaku gustinom u svim pravcima (videti donju sliku levo). Ali za posmatrača u odnosu na kojeg se naelektrisanje kreće (sistem ${S'}$), električno polje naelektrisanja će biti drugačije. Razložimo to polje na dve komponente:

Električno polje nepokretnog (levo) i pokretnog (desno) naelektrisanja

$E_{\text{t}}$, paralelno brzini $v$, i $E_{\text{n}}$, normalno na brzinu. Pošto u našem slučaju nema magnetskog polja, Lorencove transformacije daju

$${E'}_{\text{x}}=E_{\text{x}},\quad \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{y}}=E_{\text{y}},\quad \sqrt{1-\beta ^{2}}{E'}_{\text{z}}=E_{\text{z}}.$$

Dakle,

$$\begin{aligned}{E'}_{\text{t}}={E'}_{\text{x}}=E_{\text{t}}, \\ {E'}_{\text{n}}=\sqrt{{E'}_{\text{y}}^{2}+{E'}_{\text{x}}^{2}}=\frac{E_{\text{n}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}.\end{aligned}$$

Ugao ${\alpha'}$ koji zaklapa linija sile u pokretnom sistemu referencije s pravcem brzine $v$ u nekoj tački polja dobija se iz relacije

$$\text{tg}{\alpha'}=\frac{{E'}_{\text{n}}}{{E'}_{\text{t}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}\frac{E_{\text{n}}}{E_{\text{t}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}\text{tg}\alpha.$$

Ovde je $\alpha$ odgovarajući ugao u slučaju nepokretnog naelektrisanja. Pošto je $\sqrt{1-\beta ^{2}}<1$, to je i ${\alpha'}>\alpha$, tj. pri kretanju naelektrisanja linije sile se zgušnjavaju u vertikalnom pravcu (šema desno).

Crtež linija sile za pokretno naelektrisanje može da se dobije sabijanjem svih linearnih razmera u pravcu kretanja u odnosu $1/\sqrt{1-\beta ^{2}}$.

Na taj način, kad se naelektrisanje kreće u odnosu na posmatrača, ne samo što se pojavljuje magnetsko polje, nego se takođe menja prvobitno električno polje. No, ta promena je primetna jedino za veoma brza kretanja, pošto efekat zavisi od $\beta ^{2}$ (dok je magnetsko polje proporcionalno prvom stepenu $\beta$).

(Kraj)