Naizmenične struje

S e d m o p r e d a v a nj e

PRINUDNE ELEKTRIČNE OSCILACIJE.

NAIZMENIČNE STRUJE

Polazne pretpostavke

Razmotrimo sada električne oscilacije u kolu koje ima i generator periodične elektromotorne sile. Usvojićemo dve aproksimacije: a) parametri u kolu su koncentrisani; b) struje su kvazistacionarne. Analiziraćemo samo sinusne struje

$$i=i_{0}\sin \left(\omega t+\varphi \right). \tag{1}$$

Razlozi su sledeći. 1) Svi tehnički generatori naizmenične struje imaju e.m.s. koja se u vremenu menja po sinusnom zakonu i zato oni izazivaju u linearnim kolima struje koje su sinusne. 2) Teorija sinusnih (harmonijskih) oscilacija jednostavna je i dobro poznata. 3) Svako složeno oscilovanje može se razložiti u harmonijski red (Furijeova analiza).

Nećemo izučavati u ovom odeljku prelazne režime oscilovanja napona i struje, smatraćemo da je uspostavljen stacionarni režim oscilovanja u kolu.

Za početak, redom ćemo analizirati ponašanje otpornika, kondenzatora i kalema u kolu naizmenične struje.

Otpornik u kolu naizmenične struje

U kolu imamo samo otpornik otpornosti $r$. Kolom teče naizmenična struja nulte početne faze, amplitude $i_{0}$ i kružne učestanosti $\omega$: $i=i_{0}\sin \omega t$. Nađimo napon između krajeva otpornika 1 i 2, Sl. 1. Po Omovom zakonu je napon na otporniku $u_{\text{r}}=ri$, te pišemo

$$u_{\text{r}}=i_{0}r\sin \omega t. \tag{2}$$

Napon na otporniku menja se takođe po sinusnom zakonu. Ne postoji razlika faza između oscilacijâ struje i napona. Kad je napon maksimalan, maksimalna je i struja, Sl. 2.

Sl. 1 Otpornik u kolu naizmenične struje

Sl. 2 Oscilacije struje i napona na otporniku

Amplituda napona na otporniku je $u_{\text{r}0}=i_{0}r$. Primenimo i metod vektorskog

Sl. 3 Vektorski dijagram napona na otporniku

dijagrama. Vektor koji reprezentuje oscilaciju struje usmeren je duž izabrane horizontalne ose dijagrama; to je strujna osa u daljem tekstu. Vektor napona leži na strujnoj osi — jer nema fazne razlike između napona i struje. Duž strujne ose nanosimo amplitudu napona, Sl. 3.

Kondenzator u kolu naizmenične struje

Sada analiziramo napon na krajevima kondenzatora koji je u kolu naizmenične struje sa generatorom sinusne elektromotorne sile, Sl. 4. U kolu ne postoje otpornici (nema pretvaranja električne energije u toplotu), ne postoje ni kalemovi (zanemarujemo formiranje magnetskog polja) — postoji samo kondenzator. Struja se menja prostoperiodično, $i=i_{0}\sin \omega t$, u skladu sa pretpostavkom (1).

Sl. 4 Kondenzator u kolu naizmenične struje

Pošto je naelektrisanje $q=\int idt$, nalazimo

$$q=-\frac{i_{0}}{\omega }\cos \omega t. \tag{3}$$

Konstantni integracioni član smo odbacili, kao neinteresantan za našu analizu. Onda je napon na kondenzatoru $u_{\text{C}}=q/C$, ili

$$u_{\text{C}}=-\frac{i_{0}}{\omega C}\cos \omega t. \tag{4}$$

Ovaj je izraz trigonometrijski lako transformisati na oblik

$$u_{\text{C}}=\frac{i_{0}}{\omega C}\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right). \tag{5}$$

Zaključujemo: ako struja u kolu sinusno osciluje, tako osciluje i napona na kondenzatoru; ali, napon na kondenzatoru fazno kasni za strujom — fazna razlika iznosi $\pi /2$, ili 90 stepeni. Amplituda napona na kondenzatoru jedna

Sl. 5 Oscilacije struje i napona na kondenzatoru

ka je $u_{\text{C}0}={i_{0}}/{\omega C}$. Ova relacija formalno liči na Omov zakon za jednosmerne struje. Ulogu otpornosti kondenzatora za naizmeničnu struju igra veličina

$$r_{\text{C}}=\frac{1}{\omega C}. \tag{6}$$

Zovemo je prividna kapacitivna otpornost. Pogledajmo i vektorski dijagram na Sl. 6. Pregledno se vidi fazno kašnjenje napona u odnosu na struju.

Sl. 6 Vektorski dijagram napona na kondenzatoru

Kapacitivna otpornost zavisi od učestanosti struje. Za visoke učestanosti, kondenzator je prividni otpornik neznatne otpornosti. Na Sl. 7 vidimo šemu jednog klasičnog opita sa kondenzatorom.

Eksperimentator stoji na plastičnoj stolici i drži sijalicu sa grejanim vlaknom za metalni spoljašnji navoj. Drugi izvod sijalice u vezi je sa jednim krajem visokonaponskog izvora naizmeničnog napona učestanosti nekoliko megaherca. Drugi kraj izvora je uzemljen. Kolo je u prekidu za konstanstantnu struju, jer čovek nema kontakt s masom.

Sl. 7 Demonstriranje kapacitivne otpornosti

No, kolom ipak teče struja od nekoliko ampera i nit sijalice se intenzivno greje!

U stvari, telo eksperimentatora i Zemlja obrazuju obloge kondenzatora (naznačen na slici crticama), a kondenzatori provode naizmeničnu struju. Učestanost je velika, te je kapacitivna otpornost mala, premda je mali i kapacitet sistema čovek/Zemlja (procenjen na desetak pikofarada).

Eksperimentatora štiti skin efekt. Naizmenične struje visoke učestanosti uglavnom teku po površini provodnika. Jednosmerne struje te jačine bi ga ubile.

Kalem u kolu naizmenične struje

Razmotrimo sada usamljeni kalem u kolu naizmenične struje. Po Omovom zakonu, za kolo sa Sl. 8 pišemo $u_{\text{L}}=ir-\mathscr{E}$, gde je $\mathscr{E}$ e.m.s. samoindukcije. Stavimo $r\to 0$ i $\mathscr{E}=-L{di}/{dt}$. Dobijamo

$$u_{\text{L}}=L\frac{di}{dt}. \tag{7}$$

Opet, ako je struja sinusnog oblika $i=i_{0}\sin \omega t$, lako izračunavamo prvi izvod i pišemo

$$u_{\text{L}}=i_{0}\omega L\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right). \tag{8}$$

Sl. 8 Kalem u kolu naizmenične struje

Vidimo da je i naponska oscilacija prostoharmonijska. Ali, napon na kalemu fazno prednjači u odnosu na struju za 90 stepeni.

Sl. 9 Oscilacije struje i napona na kalemu

Amplituda napona na kalemu je jednaka $u_{L0}=i_{0}\omega L$. Možemo definisati prividnu induktivnu otpornost kalema, po istoj logici koju smo koristili kod kondenzatora:

$$r_{\text{L}}=\omega L. \tag{9}$$

To nam omogućava da napišemo $u_{L0}=i_{0}r_{\text{L}}$ i da zaključimo da amplitude napona i struje povezuje omov zakon. Induktivna otpornost raste kad raste učestanost struje. Kalem velike induktivnosti pri znatnim učestanostima ima veliku otpornost za naizmeničnu struju.

Vektorski dijagram za kalem je pokazan na Sl. 10. Vektor koji predstavlja oscilaciju napona zarotiran je u odnosu na strujnu osu u pozitivnom smeru (suprotno kretanju kazaljke na satu) za ugao od 90 stepeni.

Sl. 10 Vektorski dijagram napona na kalemu

Prividna induktivna otpornost je važan parametar prigušnice. Prigušnice su žičani kalemovi (s gvozdenim jezgrom ili bez njega) koji se nalaze u kolu naizmenične struje i služe za regulisanje jačine struje. Prigušnice mogu povećati otpornost u kolu naizmenične struje, a da se pri tom ne povećava Džulova toplota (kao kod klasičnih reostata).

Induktivna otpornost postoji samo za naizmenične struje. Prema tome, prigušnice mogu da odvoje jednosmerne struje od naizmeničnih struja.

Pogledajmo sjajni demonstracioni opit sa Sl. 11. Bakarni štap dijametra oko 5 mm savijen je u vidu luka dužine oko jedan metar i njegovi krajevi vezani su za visokofrekventni naponski izvor. Paralelno luku spojena je obična sijalica s grejnim vlaknom. Otpornost luka za konstantnu struju manji je od jednog milioma. Otpornost sijalice za konstantnu struju je oko 100 oma.

Sl. 11 Klasični opit demonstriranja induktivne otpornosti

Očito, jednosmerna struja bi tekla po luku, sijalica ne bi svetlela. Međutim, za visokofrekventnu struju dešava se nešto sasvim drugo. Luk ima neku malu induktivnost i ima induktivnu otpornost. Pri uslovima opita induktivna otpornost je toliko velika da struja teče kroz sijalicu, a ne po luku. Nit sijalice se ugreje i ona svetli!

Omov zakon za naizmenične struje

Razmotrimo rednu vezu otpornika, kondenzatora i kalema. U tom kolu (Sl. 12) teče sinusna struja $i=i_{0}\sin \omega t$. Nađimo napon na krajevima redne veze, između priključaka za generator naizmenične e.m.s.

Sl. 12 Redna veza otpornika, kondenzatora i kalema

Napon $u$ je zbir tri napona: na otporniku, na kondenzatoru i na kalemu, pri čemu se svaki od napona menja u vremenu po sinusnom zakonu. Sabiranje izvršimo metodom vektorskog dijagrama naponâ, Sl. 13. Vektor koji

Sl. 13 Uz izvođenje Omovog zakona; vektorski dijagram

predstavlja amplitudu napona na otporniku leži na strujnoj osi (horizontalna osa). Vektori napona na kalemi i kondenzatoru leže na vertikalnoj osi i imaju isti pravac a suprotan smer. Njihovu razliku smo vektorski sabrali sa naponom na otporniku. Rezultantni vektor je amplituda napona na kraju redne veze otpornika, kondenzatora i kalema. Sa grafika čitamo da je oscilacija rezultantnog napona

$$u=u_{0}\sin \left(\omega t+\varphi \right). \tag{10}$$

Po Pitagorinoj teoremi, amplituda $u_{0}$ je jednaka

$$u_{0}=i_{0}\sqrt{r^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}. \tag{11}$$

Vektor $\vec{u}_{0}$ gradi ugao $\varphi$ sa strujnoj osom; oscilacija napona fazno prednjači u odnosu na oscilaciju struje. Sa slike očitavamo

$$\varphi =\text{arctg}\left[\frac{\omega L-1/\omega C}{r}\right]. \tag{12}$$

Formula (11) liči na Omov zakon u tom smislu što je amplituda napona proporcionalna amplitudi struje. Formulu (11) zato zovemo Omov zakon za naizmeničnu struju. Formula se ne odnosi na trenutne vrednosti napona i struje, već isključivo na module tih veličina.

Ako nastavimo analogiju sa jednosmernom strujom, zaključujemo da otpornost kola za naizmeničnu struju iznosi $R=u_{0}/i_{0}$ ili

$$R=\sqrt{r^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}. \tag{13}$$

Aktivna otpornost kola jeste količnik $X=u_{\text{r}0}/i_{0}$, to jest

$$X=r. \tag{14}$$

Na aktivnoj otpornosti oslobađa se Džulova toplota. Reaktivna otpornost kola definiše se kao količnik $Y=\left(u_{\text{L}0}-u_{\text{C}0}\right)/i_{0}$, pa je

$$Y=\omega L-\frac{1}{\omega C}. \tag{15}$$

Na reaktivnoj otpornosti nema oslobađanja Džulove toplote; ona može imati induktivni karakter (pri visokim učestanostima), ili kapacitivni karakter (pri niskim učestanostima). Aktivne i reaktivne komponente se sabiraju vektorski.

Sad možemo formalno ponoviti glavne rezultate naše analize Omovog zakona za naizmeničnu struju:

$$u=u_{0}\sin \left(\omega t+\varphi \right), \tag{16}$$ $$u_{0}=i_{0}R, \tag{17}$$ $$R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}, \tag{18}$$ $$\varphi =\text{arctg}\left(\frac{Y}{X}\right), \tag{19}$$

U zatvorenom kolu koje sadrži generator naizmenične e.m.s., otpornik, kondenzator i kalem možemo smatrati da je $r$ ukupna aktivna otpornost kola (tu spada i unutrašnja otpornost generatora), a da su C i L kapacitet i induktivnost kola; kao da je realni generator zamenjen idealnim koji nema unutrašnju otpornost. Generalisani Omov zakon za prosto RLC kolo tada se može dati formulom

$$\mathscr{E}_{\;0}=\frac{i_{0}}{R}. \tag{20}$$

Amplituda naizmenične e.m.s. generatora dobija se kao količnik amplitude struje i ukupne otpornosti kola za naizmeničnu struju.

Naponska rezonancija

Posmatramo kolo koje sadrži redno vezane elemente: kondenzator, kalem i otpornik. U kolu deluje naizmenična e.m.s. koja se menja po sinusnom zakonu

$$\mathscr{E}=\mathscr{E}_{\;0}\sin \omega t. \tag{21}$$

U kolu će teći naizmenična struja

$$i=i_{0}\sin \left(\omega t-\varphi \right). \tag{22}$$

(jer struja fazno zaostaje za naponom). Amplitude su povezane formulom

$$i_{0}=\frac{\mathscr{E}_{\;0}}{\sqrt{r^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}. \tag{23}$$

Videli smo već (formula (12)) da je fazni ugao jednak

$$\varphi =\text{arctg}\left[\frac{\omega L-1/\omega C}{r}\right]. \tag{12}$$

Veoma je važna činjenica da amplituda struje i fazni ugao zavise od učestanosti napona. Pretpostavimo sada da menjamo učestanost oscilacija $\omega$.

Zadržimo se prvo na promenama amplitude struje. Slika 14 pokazuje kako se amplituda struje menja sa promenom učestanosti generatora.

Sl. 14 Promene amplitude pri rezonanciji

Pri niskim učestanostima struja je mala, jer je ogromna kapacitivna otpornost. Kada učestanost dostigne vrednost

$$\omega _{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}, \tag{24}$$

ukupna otpornost kola je minimalna, jednaka aktivnoj otpornosti — zato je u toj tački (zovemo je: rezonantna učestanost) maksimum struje. Primećujemo da je $Y\left(\omega _{0}\right)=0$, anulira se reaktivna komponenta otpornosti. Sa daljim porastom učestanosti raste i ukupna otpornost kola, struja se smanjuje. Za velike učestanosti velika je i induktivna otpornost, pa struja asimptotski teži nuli.

Na slici smo skicirali tri rezonantne krive. Nacrtane su za tri omske otpornosti u kolu, pri čemu je $r_{1}<r_{2}<r_{3}$. Što se više smanjuje aktivna otpornost, to uža postaje rezonantna kriva. Kad raste dobrota kola, raste maksimalna struja i sužava se rezonantna kriva.

Sada ćemo analizirati zavisnost $\varphi =f\left(\omega \right)$. Grafik vidimo na Sl. 15. Fazni ugao je velik i negativan pri malim učestanostima (jer dominira uticaj kondenzatora). Fazni ugao je velik i pozitivan za velike učestanosti (jer dominira uticaj kalema). Fazna razlika nestaje pri rezonantnoj učestanosti. Prikazane su tri krive za tri omske otpornosti, pri čemu je $r_{1}<r_{2}<r_{3}$; konkretno, uzeli smo da je $r_{1}=0$; ta kriva onda ima skokovit karakter.

Sl. 15 Promene faze pri rezonanciji

Zaključimo: naročito su interesantni slučajevi kada je učestanost rezonantna. Amplituda struje je tada maksimalna; fazna razlika struje i napona jednaka je nuli — kolo deluje kao čisto aktivna otpornost. Napominjemo da rečeno važi u razumnoj aproksimaciji malog slabljenja, kada je $\alpha ^{2}<<\omega ^{2}$.

Taj važni slučaj prinudnih oscilacija se zove naponska rezonancija.

Rezonantne vrednosti

Amplituda struje pri rezonanciji je maksimalna:

$$i_{0}=\frac{\mathscr{E}_{\;0}}{r}. \tag{25}$$

Amplituda napona na kondenzatoru u rezonanciji je

$$u_{\text{C}0}^{\text{rez}}=\frac{\mathscr{E}_{\;0}}{r\omega C}. \tag{26}$$

Tvrdimo bez dokaza, koji nije težak, da se gornja formula može napisati i ovako:

$$u_{\text{C}0}^{\text{rez}}=\mathscr{E}_{\;0}Q. \tag{27}$$

Ovde je $Q$ dobrota kola, koju smo ranije definisali. (Podsetimo se: $Q={\pi }/{\delta }$, $\delta =\alpha T$, $\alpha ={r}/{2L}$, $T=2\pi \sqrt{LC}$.)

Amplituda napona na kalemu je u rezonanciji:

$$u_{\text{L}0}^{\text{rez}}=\frac{\mathscr{E}_{\;0}}{r}\sqrt{\frac{L}{C}}. \tag{28}$$

I ova se formula može izraziti preko dobrote kola:

$$u_{\text{L}0}^{\text{rez}}=\mathscr{E}_{\;0}Q. \tag{29}$$

Oscilacije napona na kondenzatoru i na kalemu — u rezonanciji — imaju jednake amplitude. Napon na kondenzatoru kasni za strujom za 90 stepeni, napon na kalemu prednjači struji za 90 stepeni. Te dve oscilacije napona imaju faznu razliku 180 stepeni. Zato je njihov zbir jednak nuli. Ostaju jedino oscilacije napona na otporniku. Svi se ti odnosi vide na Sl. 16:

Sl. 16 Rezonancija: vektorski dijagram naponâ

Dobrota običnih oscilatornih kola veća je od jedinice; amplitude napona $u_{\text{C}0}^{\text{rez}}$ i $u_{\text{L}0}^{\text{rez}}$ veće su od amplitude napona na krajevima kola.

Električna rezonancija ima veliku primenu u elektrotehnici, radiotehnici i srodnim disciplinama.

Rad i snaga naizmenične struje

Analizirajmo električni rad u kolu naizmenične struje. Ako kolo ima samo aktivnu otpornost, ceo rad struje pretvara se u toplotu. Napon na krajevima kola je, pretpostavimo ovde, obična sinusna oscilacija:

$$u=u_{0}\sin \omega t. \tag{30}$$

Tada je struja kroz otpornik

$$i=i_{0}\sin \omega t. \tag{31}$$

Po principu kvazistacionarnosti, trenutna snaga naizmenične struje je $p=ui$,

$$p=i_{0}u_{0}\sin ^{2}\omega t. \tag{32}$$

Grafik ove snage dat je na Sl. 17.

Sl. 17 Električna snaga na otporniku

Često je važno znati srednju snagu. Po definicije je ona srednja snaga $P$ u toku jednog perioda, te pišemo

$$P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} pdt. \tag{33}$$

Kada zamenimo trenutnu snagu u podintegralni izraz, lako izračunavamo

$$P=\frac{1}{2}u_{0}i_{0}. \tag{34}$$

Efektivna vrednost struje se definiše ovako:

$$i_{\text{eff}}=\frac{i_{0}}{\sqrt{2}}. \tag{35}$$

Na sličan način pišemo za efektivnu vrednost napona

$$u_{\text{eff}}=\frac{u_{0}}{\sqrt{2}}. \tag{36}$$

Tada je očevidno

$$P=i_{\text{eff}}u_{\text{eff}}. \tag{37}$$

Fizički smisao efektivnih vrednosti je u sledećem. Ako bi kolom tekla konstantna struja jednaka efektivnoj struji, ona bi na otporniku oslobađala isto toliko toplote kao i naizmenična struja date efektivne vrednosti.

Sada analizirajmo opštiji slučaj, kada postoji i reaktivna otpornost u kolu. Napon je opet dat izrazom (30). Između struje i napona postoji fazna razlika $\varphi$, pa je

$$i=i_{0}\sin \left(\omega t-\varphi \right). \tag{38}$$

Trenutna snaga je

$$p=i_{0}\sin \left(\omega t-\varphi \right)\cdot u_{0}\sin \omega t. \tag{39}$$

Na Sl. 18 date su krive oscilovanja struje, napona i snage — za $\varphi =\pi /3$.

Sl. 18 Dijagram napona, struje i snage u kolu naizmenične struje

Promena znaka trenutne snage u pojedinim vremenskim intervalima ima prosti fizički smisao: periodična promena znaka trenutne snage označava da deo energije osciluje između generatora i spo1jašnjeg kola.

Izračunajmo srednju snagu naizmenične struje, po formuli (33), kada postoji nenulta fazna razlika. Prvo dobijamo integral

$$P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i_{0}\sin \left(\omega t-\varphi \right)\cdot u_{0}\sin \omega t\cdot dt. \tag{40}$$

Integral se rešava tako što se proizvod sinusâ transformiše u odgovarajući zbir (taj postupak ćemo ovde izostaviti). Rezultat integracije je

$$P=\frac{1}{2}u_{0}i_{0}\cos \varphi. \tag{41}$$

Već smo naučili da se može napisati i ovako:

$$P=u_{\text{eff}}i_{\text{eff}}\cos \varphi. \tag{42}$$

Množitelj $\cos \varphi$ zove se koeficijent snage. Za oslobađanje snage u kolu bitna je, dakle, i fazna razlika između napona i struje.

Ako je fazna razlika 90 stepeni, srednja snaga je jednaka nuli, ma kako veliki bili struja i napon; količina energije koju za četvrt perioda predaje generator spoljašnjem kolu tačno je jednaka energiji koju spoljašnje kolo vraća generatoru u toku sledeće četvrtine perioda — sva energija osciluje između generatora i spoljašnjeg kola, kako je i skicirano na Sl. 19.

Sl. 19 Električne oscilacije na čisto reaktivnoj otpornosti

Zavisnost električne snage od faktora snage uzima se u obzir pri projektovanju dalekovoda za naizmeničnu struju. Električni motori imaju veliku induktivnost; faktor snage tada može biti znatno manji od jedinice. U praksi se uvek teži da se rasporede opterećenja (sijalice, motori, peći itd) na taj način da se faktor snage što više približi jedinici.

Može se primeti da je u uslovima rezonancije snaga koju generator predaje kolu maksimalna.

Granjanje naizmeničnih struja

Razmatrali smo prosto kolo s rednom vezom aktivne i reaktivne otpornosti. Pogledajmo kako se analiziraju složenija kola. Uradićemo primer skiciran na Sl. 20.

Sl. 20 Granjanje naizmeničnih struja

Kolo ima dve grane. U jednoj je kondenzator kapaciteta $C$, u drugoj kalem induktivnosti $L$, koji ima neku omsku otpornost $r$. Između tačaka 1 i 2 priključen je generator naizmenične e.m.s. Uzmimo da se napon između priključnih tačaka menja po zakonu

$$u=u_{0}\sin \omega t. \tag{43}$$

Treba odrediti oscilaciju jačine ukupne struje u kolu (njenu efektivnu vrednost meri ampermetar $A_{1}$). Za referentnu osu vektorskog dijagrama usvojićemo ovde naponsku osu — pošto je napon isti za obe grane. Očito je

$$i=i_{\text{L}}+i_{\text{C}}. \tag{44}$$

Dakle, vektorski dijagram će predstavljati slaganje struja. Pogledajmo Sl. 21.

Sl. 21 Vektorski dijagram za kolo sa Sl. 20

Vektor $\vec{i}_{\text{L}0}$ predstavlja oscilaciju struje kroz kalem. Njegov je modul

$$i_{\text{L}0}=\frac{u_{0}}{\sqrt{r^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}. \tag{45}$$

Ovaj vektor je zarotiran u odnosu na naponsku osu u negativnom smeru (pošto struja u kalemu fazno zaostaje za naponom), pri čemu važi

$$\text{tg}\varphi _{\text{L}}=\frac{\omega L}{r}. \tag{46}$$

Vektor $\vec{i}_{\text{C}0}$ predstavlja oscilaciju struje kroz kondenzator. Njegov modul iznosi

$$i_{\text{C}0}=u_{0}\omega C \tag{47}$$

i zarotiran je pozitivno za ugao od 90 stepeni u odnosu na naponsku osu.

Vektorski zbir dva vektora, $\vec{i}_{\text{L}0}$ i $\vec{i}_{\text{C}0}$, daje vektor $\vec{i}_{0}$, a to i jeste tražena amplituda oscilacije zbirne struje koja teče kroz generator. Sa grafika čitamo i fazni ugao $\varphi$ za koji struja prednjači u odnosu na napon. Sve u svemu, sada imamo gotovo rešenje zadatka:

$$i=i_{0}\sin \left(\omega t+\varphi \right). \tag{48}$$

Odmah dobijamo i eksplicitan rezultat

$$i=\sqrt{\left(i_{\text{L}0}\cos \varphi _{\text{L}}\right)^{2}+\left(i_{\text{C}0}-i_{\text{L}0}\sin \varphi _{\text{L}}\right)^{2}}\sin \left(\omega t+\text{arctg}\frac{i_{\text{C}0}-i_{\text{L}0}\sin \varphi _{\text{L}}}{i_{\text{L}0}\cos \varphi _{\text{L}}}\right). \tag{48a}$$

pošto iz trougla sa Sl. 21 lako čitamo kolike su veličine $i_{0}$ i $\varphi$.

Strujna rezonancija

Ako u kolu sa Sl. 20 menjamo učestanost generatora menjaće se i modul struje, kao i fazni ugao. Jednog momenta, za tačno određenu učestanost $\omega _{0}$, vektorski dijagram će pokazati ovo stanje:

Sl. 22 Vektorski dijagram strujne rezonancije

Fazni pomeraj jednak je nuli. Kolo se ponaša kao čista aktivna otpornost. Ova se pojava kod razgranatih kola zove strujna rezonancija. Pri rezonanciji, ukupna struja je minimalna (hipotenuza je uvek manja od katete). Otpornost konture je maksimalna. Ali, ova otpornost nije prosto jednaka otpornosti $r$!

Zamislimo da je $r=0$. Fazna razlika između struja kroz kondenzator i kalem bila bi 180 stepeni. U rezonanciji, ove struje kompenzuju jedna drugu. Struja kroz generator jednaka je nuli. Otpornost konture je beskonačna. Struje kroz kalem i kondenzator mogu biti velike.

Da se posmatra ova pojava pomažu ampermetri $A_{2}$ i $A_{3}$ nacrtani na Sl. 20. Može se pokazati da je uslov rezonancije $\omega =\omega _{0}$ i tada je otpornost kola $R=L/rC$. (Ovo ćemo dokazati jednačinom (83)).

Parametarska rezonancija

Gore razmotreni pojam rezonancije može se uopštiti i primeniti na širu klasu pojava. Evo prvo primer iz mehanike.

Na Sl. 23 je klatno čija se dužina može menjati zatezanjem ili popuštanjem konca koji je prebačen preko točka. Skraćujemo kanap svaki put kad se klatno nalazi blizu ravnotežnog položaja, i produžavamo kanap na amplitudskim položajima klatna. Učestanost spoljašnje sile kojom delujemo na klatno je, pod tim okolnostima, dvaput veća od učestanosti sopstvenih oscilacija klatna. Klatno osciluje, a amplituda oscilovanja raste.

Sl. 23 Parametarska rezonancija matematičkog klatna

Rastuće oscilacije nastaju zbog periodične promene jednog od parametara sistema (dužina klatna). Zato je opisana pojava nazvana parametarska rezonancija.

Kada skraćujemo kanap blizu ravnotežnog položaja, sila ruke vrši mehaničkirad — ne samo protiv sile teže nego i protiv centrifugalne sile (u ravnotežnom položaju ona je maksimalna).

Pri produžavanju kanapa rad vrši sāmo klatno. Taj rad se vrši jedino na račun sile teže (tamo gde je centrifugalna sila jednaka nuli). Tako, rad pri popuštanju kanapa manji je od rada pri zatezanju kanapa. U oscilatorni sistem neprestano se uvodi energija na račun rada spoljašnje sile, te oscilacije rastu.

Analogne pojave parametarske rezonancije postoje i u električnim oscilatornim kolima.

Sl. 24 Parametarske oscilacije u LC kolu

Razmotrimo oscilatorno kolo sa Sl. 24. Ono ima kondenzator s pokretnom oblogom. Obloga se može po želji približavati k drugoj oblozi ili udaljavati od nje — može se periodično menjati debljina kondenzatora. Uzmimo dalje da su u kolu, zbog bilo kog slučajnog uzroka, nastale oscilacije. U trenucima kada naelektrisanje kondenzatora prolazi kroz nulu približavamo obloge. To neće biti praćeno nikakvim radom, sila privlačenja obloga jednaka je nuli u tom momentu. Kroz vreme jednako četvrtini perioda sopstvenih oscilacija (T/4) naelektrisanje kondenzatora će biti maksimalno. Ako u tom momentu razmičemo ploče, spoljašnje sile će vršiti rad koji se troši na savlađivanje uzajamnog privlačenja obloga. Tada se kapacitet kondenzatora smanjuje a napon između njegovih ploča raste i to pospešuje oscilacije u kolu. Ako zatim opet kroz vreme T/4 približimo obloge, energija kola se neće promeniti pošto je naelektrisanje kondenzatora u tom momentu ponovo jednako nuli. Pri sledećem razmicanju obloga u kolo će ponovo biti uvedena određena energija, itd.

Menjanjem kapaciteta kondenzatora u ritmu dvostruke učestanosti sopstvenih oscilacija dobijamo u kolu narastajuće električne oscilacije.

Početne male oscilacije uvek nastaju pod uticajem slučajnih spoljašnjih uticaja — fluktuacija. Pri dovoljno jakoj periodičnoj promeni parametara javlja se samopobuđivanje oscilacija. Zahtevan odnos između faze oscilacija i faze promene parametra realizuje se automatski — pojačavaju se samo te oscilacije koje imaju potrebnu početnu fazu.

Kompleksne veličine

Za slaganje oscilacija struje i napona u raznim mrežama naizmenične struje naročito je pogodno upotrebljavati simbolički metod u kojem se harmonijske oscilacije raznih fizičkih veličina predstavljaju kao kompleksne veličine.

Setimo se znamenite Ojlerove formule

$$e^{jx}=\cos x+j\sin x. \tag{49}$$

Ovde je $x$ realan broj. Imaginarnu jedinicu pišemo u ovom poglavlju kao $j=\sqrt{-1}$. (Razlog je banalan: Slovo $i$ smo rezervisali za jačinu struje.)

Svaki kompleksni broj $z=x+jy$ može se zadati u eksponencijalnom obliku

$$z=\rho e^{j\alpha }. \tag{50}$$

Ovde je $\rho$ modul, a $\alpha$ argument kompleksnog broja $z$. Realni deo je onda

$$x=\rho \cos \alpha. \tag{51}$$

Imaginarni deo je:

$$y=\rho \sin \alpha. \tag{52}$$

Naravno, i obrnute veze su nam na raspolaganju:

$$\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tag{53}$$ $$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}. \tag{54}$$

Uzmimo sada da se $\alpha$ menja u vremenu po zakonu

$$\alpha =\omega t+\varphi. \tag{55}$$

To znači da su komponente $x$ i $y$ dve harmonijske oscilacije:

$$x=\rho \cos \left(\omega t+\varphi \right), \tag{56}$$ $$y=\rho \sin \left(\omega t+\varphi \right). \tag{57}$$

Imajući u vidu Ojlerov obrazac, ove dve oscilacije moguće je povezati sa realnim, odnosno sa imaginarnim delom istog kompleksnog broja

$$z=\rho \exp \left[j\left(\omega t+\varphi \right)\right]. \tag{58}$$

Ako je učestanost $\omega$ jednaka za sve posmatrane oscilacije, moguće je ispustiti vremenski deo $\exp \left(j\omega t\right)$. Tako, harmonijska oscilacija je potpuno definisana ako se zada samo kompleksna amplituda

$$s=\rho \exp \left(j\varphi \right). \tag{59}$$

Njen modul daje stvarnu amplitudu harmonijske oscilacije ($\rho$) a argument početnu fazu oscilovanja ($\varphi$).

Sl. 25 Kompleksni broj kao vektor

Predstavljanje oscilacija pomoću kompleksnih izraza povezano je sa konceptom vektorskih dijagrama. Duž vertikalne ose na Sl. 25 nanosi se imaginarni deo kompleksnog broja, a duž horizontalne ose realni deo. Tada je vektor duž dijagonale kompleksni broj modula $\rho$ i početne faze $\varphi$.

Kompleksne veličine naizmenične struje

Neka je jačina struje u kolu $i=i_{0}\sin \omega t$. Kompleksni zapis struje je

$$i=i_{0}\exp \left(j\omega t\right). \tag{60}$$

Napon na otporniku je onda

$$u_{\text{r}}=i_{0}r\exp \left(j\omega t\right). \tag{61}$$

Amplituda napona na otporniku je čisto realna i iznosi

$$u_{\text{r}0}=i_{0}r. \tag{62}$$

Napon na kalemu je

$$u_{\text{L}}=i_{0}\omega L\exp \left[j\left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)\right]. \tag{63}$$

Kompleksna amplituda napona na kalemu je

$$u_{\text{L}0}=i_{0}\omega L\exp \left(j\frac{\pi }{2}\right). \tag{64}$$

To znači da možemo pisati

$$u_{\text{L}0}=j\omega Li_{0}. \tag{65}$$

Napon na kondenzatoru je

$$u_{\text{C}}=\frac{i_{0}}{\omega C}\exp \left[j\left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)\right]. \tag{66}$$

Kompleksna amplituda napona na kondenzatoru je

$$u_{\text{C}0}=-j\frac{i_{0}}{\omega C}. \tag{67}$$

Setimo se pravila sabiranja kompleksnih brojeva:

Proverimo ovo pravilo na primeru koji smo već analizirali grafički, a to je slučaj redne veze otpornika, kalema i kondenzatora. Saberimo kompleksne amplitude:

$$s=i_{0}r+i_{0}j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right). \tag{68}$$

Stvarna amplituda zbirnog napona je $u_{0}=\left|s\right|$ ili

$$u_{0}=i_{0}\sqrt{r^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}. \tag{69}$$

Početna faza je $\varphi =\arg \left(s\right)$ ili

$$\varphi =\text{arctg}\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{r}. \tag{70}$$

Ovi se izrazi zaista podudaraju s onim koje smo dobili u analizi Omovog zakona za naizmeničnu struju.

Kompleksne otpornosti

Neka je $\widetilde{i_{0}}$ amplituda jačine struje u nekom delu kola, a $\widetilde{u_{0}}$ kompleksna amplituda napona. Tada je definiciona relacija kompleksne otpornosti Z toga dela

$$\widetilde{u_{0}}=Z\widetilde{i_{0}}. \tag{71}$$

Ako pomnožimo obe strane formule sa vremenskim faktorom $\exp \left(j\omega t\right)$ lako uviđamo da su i trenutne vrednosti napona i struje povezane na sličan način, preko kompleksne otpornosti:

$$u\left(t\right)=Zi\left(t\right). \tag{72}$$

Neka deo kola ima samo aktivnu otpornost $r$. Onda kompleksna otpornost ima samo realni deo

$$Z_{\text{r}}=r. \tag{73}$$

Ako deo kola ima samo induktivnu otpornost, onda je kompleksna otpornost u tom slučaju

$$Z_{\text{L}}=j\omega L. \tag{74}$$

Za granu s kondenzatorom, kompleksna otpornost će biti

$$Z_{\text{C}}=\frac{1}{j\omega C}. \tag{75}$$

Impedancija složenog kola

Neka imamo proizvoljno kolo naizmenične struje. Važiće Kirhofovi zakoni kao i za konstantne struje (princip kvazistacionarnosti). Ali, odmah vidimo da su zakoni konstantne struje primenljivi ne na obične, stvarne amplitude struje, napona i e.m.s. nego na kompleksne amplitude tih veličina pri čemu za otpornosti pojedinih delova kola moramo uzeti odgovarajuće kompleksne otpornosti. Neko kolo naizmenične struje možemo rešiti znajući odgovarajuće rešenje za konstantnu struju, no treba jačinu struje, napon, i e.m.s. zameniti njihovim kompleksnim amplitudama, a otpornost zameniti kompleksnom otpornošću.

Evo pravila za izračunavanje otpornosti kola:

Dakle, po ovom receptu smo našli kompleksnu veličinu $Z=X+jY$. Možemo izračunati modul impedancije $R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}$, posle čega nalazimo amplitudu jačine struje, ako je zadata amplituda napona na krajevima kola $u_{0}=\left|\widetilde{u_{0}}\right|$:

$$i_{0}=\frac{u_{0}}{R}. \tag{76}$$

Argument impedancije daje fazni ugao $\varphi$, ugao za koji napon prednjači u odnosu na struju:

$$\text{tg}\varphi =\frac{X}{Y}. \tag{77}$$

No da li je sve ovo prostije od postupka vektorskih dijagrama?

Upoređenje dva metoda

Razmotreni metod kompleksnih otpornosti veoma je pogodan za praktična izračunavanja i zato se mnogo primenjuje u elektrotehnici. On je neobično prost i ne zahteva izračunavanja faznih pomeraja (što je neophodno za crtanje vektorskih dijagrama) jer su oni već uračunati u kompleksnim otpornostima.

U odnosu na vektorske dijagrame ovaj metod ima još i to preimućstvo što dopušta da se računi izvode sa proizvoljnom tačnošću, dok se vektorski dijagrami, kao i svaki grafički metod, odlikuje velikom preglednošću, ali izuzetnu tačnost ne obezbeđuje.

Ilustracija postupka

Primenimo gornja uputstva za analizu kola sa Sl. 26. Treba da nađemo impedanciju između tačaka 1 i 2. Prvo ćemo naći impedanciju grane koja sadrži kalem. Otpornik i kalem redno su vezani.

$$Z_{1}=r+j\omega L. \tag{78}$$

Sl. 26 Tražimo impedanciju između tačaka 1 i 2

Pošto su dve grane vezane paralelno, sabiramo provodnosti:

$$\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_{1}}+j\omega C. \tag{79}$$

Posle očevidnih transformacija odavde se nalazi rezultat:

$$Z=\frac{r+j\omega \left[L\left(1-\omega ^{2}LC\right)-Cr^{2}\right]}{\left(1-\omega ^{2}LC\right)^{2}+\omega ^{2}C^{2}r^{2}}. \tag{80}$$

Našli smo traženu impedanciju. Sad u principu znamo sve o osobinama našeg kola. Možemo izračunati struju koja ulazi u tačku 1, ako je poznat napon izmešu tačaka 1 i 2, itd. Mi ćemo ovde uraditi nešto drugo: Nađimo uslov da se imaginarni deo impedancije anulira (reaktivna otpornost da bude jednaka nula). Ovaj slučaj prinudnih oscilacija, a to smo videli, zove se strujna rezonancija. Traženi uslov je

$$L\left(1-\omega ^{2}LC\right)-Cr^{2}=0. \tag{81}$$

Razumno je prihvatiti sledeću aproksimaciju: $\omega ^{2}L^{2}\gg r^{2}$. Nalazimo da će strujna rezonancija nastupiti na učestanosti

$$\omega _{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \tag{82}$$

Stavimo ovu vrednost u izraz za impedanciju:

$$Z_{\text{rez}}=\frac{L}{Cr}. \tag{83}$$

Našli smo rezonantnu otpornost kola.