Elektromagnetski talasi

O s mo p r e d a v a nj e

SLOBODNI ELEKTROMAGNETSKI TALASI

Formiranje slobodnih elektromagnetskih talasa

Elektromagnetski talasi mogu postojati i u delu prostora bez ikakvih provodnika, kao samostalan fizički fenomen. Fizičke ideje koje je Maksvel uneo u svoju teoriju sasvim su dovoljne da ovo potkrepe. Pogledajmo Sl. 1.

Zamislimo da je u nekoj tački $0$ u vakuumu nastalo na neki način, jednog trenutka, električno polje jačine $\vec{E}$. To polje ima tendenciju da slabi, jer ga ništa spolja ne podržava. Polje koje slabi generiše struju pomeraja, a ova daje magnetsko polje $\vec{H}$ usmereno kao na slici. Pošto i novonastalo magnetsko polje mora da slabi, ono izaziva, po drugom osnovnom stavu Maksvelove

Sl. 1 Proces samopodržavanja slobodnog elektromagnetskog talasa

teorije, solenoidno električno polje $\vec{E}_{1}$. I smer ove komponente vidimo na slici. Polje $\vec{E}_{1}$ poništava prvobitno polje $\vec{E}$ u polaznoj tački $0$, ali se pojavilo u susednoj tački 1. Sad se proces nastavlja na sličan način: Iščezavajući u tački 1, električno polje $\vec{E}_{1}$ generiše magnetsko polje $\vec{H}_{1}$; ovo polje poništava polje $\vec{H}$, a pojavljuje se na nešto udaljenijoj lokaciji. Iščezavajući, ono izaziva solenoidno polje $\vec{E}_{2}$ koje poništava polje $\vec{E}_{1}$ u tački 1, ali se javlja u tački 2, itd. Zaključimo:

Električni vektor $\vec{E}$ normalna je na magnetski vektor $\vec{H}$, a i jedan i drugi normalni su na vektor brzine prostiranja talasana u vakuumu $\vec{c}_{0}$. Ova tri vektora su međusobno povezana pravilom desnog zavrtnja, Sl. 2.

Sl. 2 Tri bitna vektora elektromagnetskog talasa

Na pokazani način smo kvalitativno objasnili mogućnost egzistiranja elektromagnetskih talasa. Maksvelova teorija omogućava i da se izvrši kvantitativna analiza. Postupno ćemo se približavati tom cilju. Naučimo sada šta je talasna jednačina.

Talasna jednačina

Neka fizička veličina $s$ prostire se u smeru ose $X$ brzinom $v$. Opšta forma talasnog procesa prostiranja je:

$$s=f\left(t-\frac{x}{v}\right). \tag{1}$$

Ovde je $t$ vreme, a $x$ tekuća koordinata (ograničimo se na jednodimenzioni slučaj). Napisali smo $f$ za simbol proizvoljne funkcije koja zavisi od argumenta $t-x/v$. Zbilja, posmatrač koji se kreće u smeru talasa brzinom $u$, meri $s$ na mestu gde se trenutno nalazi tako što je za njega $x=x_{0}+ut$; on izmeri, dakle, vrednost $s=f\left[t\left(1-u/v\right)-x_{0}/v\right]$. Ova merena vrednost neće zavisiti od vremena ako se posmatrač kreće brzinom prostiranja talasa. Tako stižemo do uslova $u=v$. To i znači da relacija (1) opisuje prostiranje veličine $s$ brzinom $v$.

Oblik funkcije f zavisi od početnih uslova procesa. Talas je harmonijski, ako je funkcija f sinus (ili kosinus).

Iz (1) nalazimo drugi parcijalni izvod po koordinati

$$\frac{\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}f''. \tag{2}$$

Uveli smo skraćenicu

$$f''\equiv \frac{d^{2}f}{dz^{2}} \tag{3}$$

gde je argument $z=t-x/v$. Drugi izvod po vremenu je jednak

$$\frac{\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}=f''. \tag{4}$$

Eliminišući $f''$ iz (2) i (4) dobijamo za naš jednodimenzioni slučaj

$$\frac{\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}=v^{2}\frac{\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}. \tag{5}$$

Ovo je znamenita talasna jednačina. Zaključimo:

a) Ako se neka fizička veličina prostire u vidu talasa — ona zadovoljava talasnu jednačinu. b) Ako se može pokazati da razmatrana veličina zadovoljava talasnu jednačinu — tvrdimo da je moguće njeno prostiranje u vidu talasa. c) Brzina prostiranja talasa jednaka je kvadratnom korenu iz koeficijenta uz drugi izvod po koordinati.

Ravanski elektromagnetski talasi

Proučimo sada neke osobine Maksvelovih jednačina u vakuumu. Prvo, struje provodnosti ne postoje u vakuumu. Drugo, sve komponente polja uzećemo da zavise samo od jedne koordinate ($x$) i od vremena (najprostiji slučaj). To znači da se celi prostor može podeliti na beskonačno tanke ravne slojeve (debljine $\Delta x$ na Sl. 3) u kojima $\vec{E}$ i $\vec{H}$ imaju jednu te istu vrednost u

Sl. 3 Ravanski elektromagnetski talas

svim tačkama ($y,z$). Posmatrani jednodimenzioni zadatak odgovara ravanskim elektromagnetskim talasima; talasne površine, pa i front talasa kao jedna od njih, ravne su.

Ispišimo sada ovde Maksvelove jednačine u diferencijalnom obliku. Prva grupa jednačina glasi:

$$\begin{aligned}\frac{\partial D_{\text{x}}}{\partial t}+j_{\text{x}}=\frac{\partial H_{\text{z}}}{\partial y}-\frac{\partial H_{\text{y}}}{\partial z}, \\ \frac{\partial D_{\text{y}}}{\partial t}+j_{\text{y}}=\frac{\partial H_{\text{x}}}{\partial z}-\frac{\partial H_{\text{z}}}{\partial x}, \\ \frac{\partial D_{z}}{\partial t}+j_{z}=\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}.\end{aligned} \tag{6}$$

Druga grupa jednačina glasi:

$$\begin{aligned}-\frac{\partial B_{\text{x}}}{\partial t}=\frac{\partial E_{\text{z}}}{\partial y}-\frac{\partial E_{\text{y}}}{\partial z}, \\ -\frac{\partial B_{\text{y}}}{\partial t}=\frac{\partial E_{\text{x}}}{\partial z}-\frac{\partial E_{\text{z}}}{\partial x}, \\ -\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}.\end{aligned} \tag{7}$$

Svuda uklonimo članove gde se diferencira po $y$ i $z$, komponente polja ne zavise od tih promenljivih. Zato je

$$\begin{aligned}\frac{\partial D_{\text{x}}}{\partial t}+0=0-0, \\ \frac{\partial D_{\text{y}}}{\partial t}+0=0-\frac{\partial H_{\text{z}}}{\partial x}, \\ \frac{\partial D_{z}}{\partial t}+0=\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-0.\end{aligned} \tag{8}$$ $$\begin{aligned}-\frac{\partial B_{\text{x}}}{\partial t}=0-0, \\ -\frac{\partial B_{\text{y}}}{\partial t}=0-\frac{\partial E_{\text{z}}}{\partial x}, \\ -\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-0.\end{aligned} \tag{9}$$

Vidimo da x-komponente električnog i magnetskog polja možemo u daljoj analizi zanemariti — one ne zavise ni od vremena ni od koordinate i neinteresantne su za talasni proces. Ostale su nam četiri jednačine:

$$\frac{\partial D_{\text{y}}}{\partial t}=-\frac{\partial H_{\text{z}}}{\partial x}, \tag{10}$$ $$\frac{\partial D_{z}}{\partial t}=\frac{\partial H_{y}}{\partial x}, \tag{11}$$ $$\frac{\partial B_{\text{y}}}{\partial t}=\frac{\partial E_{\text{z}}}{\partial x}, \tag{12}$$ $$\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-\frac{\partial E_{y}}{\partial x}. \tag{13}$$

Ove četiri jednačine moguće je svrstati u dve nezavisne grupe. Prva je grupa:

$$\frac{\partial D_{\text{y}}}{\partial t}=-\frac{\partial H_{\text{z}}}{\partial x}, \tag{14}$$ $$\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-\frac{\partial E_{y}}{\partial x}. \tag{15}$$

Druga je grupa:

$$\frac{\partial D_{z}}{\partial t}=\frac{\partial H_{y}}{\partial x}, \tag{16}$$ $$\frac{\partial B_{\text{y}}}{\partial t}=\frac{\partial E_{\text{z}}}{\partial x}. \tag{17}$$

I u jednoj i u drugoj grupi jednačina, polje duž jedne ose izaziva ono drugo polje duž druge ose. Možemo dakle uzeti da celo električno polje leži na jednoj od osa, na primer na osi Y, a magnetsko polje da je usmereno po osi Z. Zato se u zadnjim jednačinama može staviti $E_{\text{y}}=E$, $E_{\text{z}}=0$, $H_{\text{z}}=H$ i $H_{\text{y}}=0$. Tako smo i skicirali na Sl. 3. Zaključimo: Znatno smo uprostili puni sistem Maksvelovih jednačina, ostalo je da dalje analiziramo ovaj sistem

$$\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x}, \tag{18}$$ $$\frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}. \tag{19}$$

Svojstva elektromagnetskih talasa

Pokazaćemo sada, polazeći od jednačina (18) i (19) koje su posledice Maksvelovih jednačina, neophodnost postojanja elektromagnetskih talasa i objasnićemo neka važnija svojstva tih talasa.

Stavimo u (18) $D=\varepsilon _{0}E$ i pomnožimo jednačinu sa $\mu _{0}$, pa prodiferencirajmo obe strane po vremenu; dobijamo

$$\varepsilon _{0}\mu _{0}\frac{\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}=-\frac{\partial ^{2}B}{\partial x\partial t}, \tag{20}$$

jer je $\mu _{0}H=B$. Sad prodiferencirajmo (19) po koordinati; dobijamo:

$$-\frac{\partial ^{2}B}{\partial x\partial t}=\frac{\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}. \tag{21}$$

Zamenimo ovaj rezultat u (20). Dobijamo

$$\frac{\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}\frac{\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}. \tag{22}$$

Čitalac neka sam pokaže da jednačina iste forme važi i za magnetsko polje:

$$\frac{\partial ^{2}H}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}\frac{\partial ^{2}H}{\partial x^{2}}. \tag{23}$$

Sad vidimo da su (22) i (23) talasne jednačine (kad ih uporedimo sa opštim zapisom talasnog procesa (5)).

To znači da su mogući elektromagnetski talasi u vakuumu. Samim tim smemo da pišemo rešenja u obliku:

$$E=f_{E}\left(t-\frac{x}{c_{0}}\right), \tag{24}$$ $$H=f_{H}\left(t-\frac{x}{c_{0}}\right). \tag{25}$$

Brzina prostiranja elektromagnetskih talasa u vakuumu, $c_{0}$, čita se iz koeficijenta uz drugi izvod po koordinati:

$$c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}. \tag{26}$$

Mi već znamo iz predmeta elektromagnetizam 1 da je električna konstanta $\varepsilon _{0}=\left(1/36\pi \right)10^{-9}$ farada po metru, i da je magnetska konstanta $\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ henrija po metru. Maksvelova formula (26) daje za brzinu svetlosti u vakuumu $c_{0}=3\cdot 10^{8}$ metara u sekundi.

Ovaj se rezultat trijumfalno složio sa eksperimentalnim podacima.

Sada ćemo doći do jedne bitne relacije. Pošto je izvod po vremenu jačine $E$ jednak $f'_{\text{E}}$, a izvod po kooedinati jačine $H$ jednak $-f'_{\text{H}}/c_{0}$, formula (18) daje

$$\varepsilon _{0}f'_{\text{E}}=-\left(-\frac{f'_{\text{H}}}{c_{0}}\right)=\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}f'_{\text{H}}. \tag{27}$$

Kad integralimo ovaj izraz i zanemarimo integracionu konstantnu kao ovde nebitnu, dobijamo relaciju

$$\sqrt{\varepsilon _{0}}E=\sqrt{\mu _{0}}H. \tag{28}$$

Ova formula pokazuje da su E i H u elektromagnetskom talasu proporcionalne veličine. Istovremeno dostižu maksimum i istovremeno prolaze kroz nultu vrednost — osciluju u fazi.

Sl. 4 Oscilacija električnog polja u fazi je sa oscilacijom magnetskog polja

Na Sl. 4 smo grafički predstavili prostiranje ravanskog talasa duž date ose. Uzeli smo važan slučaj harmonijskog oscilovanja; oscilacije električne i magnetske komponente su u fazi; vektori ($\vec{E}$, $\vec{H}$, $\vec{c}_{0}$) čine desni trijedar. Elektromagnetski talas je transverzalan — oscilovanje polja je u ravni koja je normalna na pravac prostiranja.

Dobili smo rezultate za vakuum. Lako možemo odmah ispisati formule tako da važe i za homogeni idealni dielektrik. Dovoljno je primetiti da Maksvelove jednačine u tom slučaju izgledaju isto kao za vakuum, jedino umesto konstante $\varepsilon _{0}$ figuriše veličina $\varepsilon \varepsilon _{0}$, a umesto $\mu _{0}$ stavljamo $\mu \mu _{0}$. Brzina talasa postaje

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\varepsilon \mu _{0}\mu }}. \tag{26a}$$

Brzina u dielektriku je manja od brzine u vakuumu:

$$c=\frac{c_{0}}{n};\quad n=\sqrt{\varepsilon \mu }. \tag{26b}$$

Ovde je $n$ indeks prelamanja sredine, koji je veći od jedan.

Takođe treba da modifikujemo relaciju (28) i da pišemo

$$\sqrt{\varepsilon _{0}\varepsilon }E=\sqrt{\mu _{0}\mu }H. \tag{28a}$$

Ovde ćemo se zaustaviti; čitalac može i sam da generališe, koristeći ovo prosto i očevidno pravilo, bilo koju relaciju iz gornjeg teksta.

Eksperimentalno ispitivanje elektromagnetskih talasa

Postoji jasna teorijska analiza da su elektromagnetski talasi moguć fenomen — to smo upravo pokazali. Da li su ti talasi, ipak, realnost? Na to pitanje može dati odgovor samo eksperiment.

Da bi se formirao elektromagnetski talas neophodno je imati u prostoru dovoljno brzo promenljivo električno polje. To znači da struja pomeraja mora da ima značajnu vrednost. Pogodno bi bilo da je talasna dužina talasa, recimo, tri metra — da bismo udobno eksperimentisali u nekoj povećoj laboratoriji. To već znači da moramo napraviti sistem koji radi na učestanosti oko sto miliona oscilacija u sekundi. No, običan kalem ima induktivnost od nekoliko milihenrija; običan kondenzator ima kapacitet od nekoliko mikrofarada. Prosto oscilatorno kolo s takvim elementima daje oscilacije od tek nekoliko kiloherca, što je malo! Kako prevazići te teškoće?

Da je bilo lako rešiti probleme, ne bi se čekalo dvadeset godina na eksperimentalnu proveru Maksvelovih nagoveštaja. Maksvel je imao gotovu teoriju 1865. godine, a tek oko 1885. priprema Herc svoju danas slavnu

Sl. 5 Hercov eksperimentalni uređaj

aparaturu. Za izučavanje elektromagnetskih talasa Herc je koristio sopstvene električne oscilacije otvorenog vibratora (Sl. 5) koji se sastojao od dva jednaka metalna štapa sa iskrištem između njih. (Danas imamo termin antena za svaki sistem koji zrači neke talase.) Dve polovine vibratora su u vezi sa izvorom visokog napona.

Naslovna strana slavne Hercove knjige Untersuchung über die Ausbreitung

der Elektrischen Kraft; prevod na engleski jezik s Kelvinovim predgovorom;

kod nas redak primerak, Pupinov poklon Univerzitetskoj biblioteci u Beogradu

Kada razlika potencijala dostigne probojnu vrednost javlja se iskra u međuprostoru i ona kratko spaja provodne štapove pa se javljaju prigušene električne oscilacije visoke učestanosti. Između vibratora i izvora visokog napona postoje prigušnice da bi izvor bio izolovan od uticaja visokofrekventnih struja.

Za detekciju elektromagnetskih talasa primenjivao je Herc vibratore različite forme. Najprostiji je pravi otvoreni vibrator koji je identičan po obliku i razmerama sa pobudnim vibratorom. Pod dejstvom promenljivog električnog polja elektromagnetskog talasa elektroni u vibratoru vrše prinudne oscilacije, te se u vibratoru javljaju brzo promenljive struje i naizmenični napon između dve polovine vibratora. Ako je dužina prijemnog vibratora jednaka dužini pobudnog onda se sopstvene učestanosti ta dva dipola podudaraju i električne oscilacije u prijemnom dipolu se pojačavaju zbog rezonancije. Pojavu naizmeničnog napona Herc je registrovao pomoću električne iskre koja se javlja u mikroskopskom zazoru u sredini vibratora, ili pomoću svetljenja minijaturne gasne cevi T koja je uključena između grana vibratora.

Danas se elektromagnetski talasi generišu pomoću generatora na bazi savremene elektronike koji dopuštaju da se dobiju električne oscilacije (praktično) bilo koje snage i to pravilne sinusne forme. Oscilacije u vibratoru je moguće pobuditi pomoću jednog ili nekoliko navoja za spregu koji se ubacuju između njegovih delova 1 i 2, Sl. 6, a nalaze se blizu kalema K generatora visokofrekventne snage (magnetska sprega). Postoje i drugi načini sprezanja između vibratora i generatora. Oscilacije u vibratoru se mogu pojačati koristeći pojavu rezonancije: učestanost generatora se tako bira da je jednaka jednoj od sopstvenih učestanosti vibratora, obično učestanosti njegove osnovne oscilacije.

Sl. 6 Magnetska sprega generatora sa antenom

Herc je pre svega nedvosmisleno ustanovio da se elektromagnetski talasi mogu generisati, da su transverzalne prirode, da se oni prostiru kao nezavisni fizički objekti, i da ih je moguće primati i detektovati. Po dužini iskre u procepu prijemnika sudio je Herc o intenzitetu polja. Položaj prijemne konture davao je pravac električnog polja u talasu. Na taj način crtao je Herc i linije sile oko predajne antene.

U nizu eksperimenata ustanovio je najbitnija svojstva talasa. Oni se mogu odbijati i prelamati. Moguće je dobiti stojeće talase. Moguće je ustanoviti da se prostiru ogromnom, ali konačnom brzinom. Hercova merenja su snažno afirmisala Maksvelovu teoriju. Posebno je Herc osnažio Maksvelov zaključak da je i vidljiva svetlost elektromagnetski talas.

Energija elektromagnetskih talasa

Herc je pokazao da elektromagnetski talasi postoje i prenose određenu energiju. Koji su zakoni strujanja te energije?

Razmotrimo u polju elektromagnetskog talasa površinu S (Sl. 8) i izračunajmo energiju $\Delta W$ koju prenosi elektromagnetski talas kroz tu površinu u toku intervala vremena $\Delta t$. Nacrtajmo nad površinom paralelopiped čije su ivice paralelne vektoru $\vec{c}_{0}$ (brzini prostiranja elektromagnetskog talasa u vakuumu) i imaju dužinu $c_{0}\Delta t$. Zapremina tog paralelopipeda je jednaka

$$\Delta \tau =Sc_{0}\Delta t\cos \alpha. \tag{29}$$

Ovde je $\alpha$ ugao između normale n površine S i brzine $\vec{c}_{0}$.

Sl. 7 Uz definiciju Pointingovog vektora

Za vreme $\Delta t$ proći će kroz površinu energija koja se trenutno nalazi u zapremini, $\Delta W=u\Delta \tau$. Zapreminska gustina energije elektromagnetskog talasa $u$ ima električnu komponentu i magnetsku komponentu, te je

$$u=\frac{1}{2}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+\mu _{0}H^{2}\right). \tag{30}$$

Iskoristimo vezu (28) da dobijamo rezultat

$$u=\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}EH. \tag{31}$$

Ali mi znamo da je $\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}=c_{0}^{-1}$. Zbog toga možemo pisati:

$$\Delta W=EHS\Delta t\cos \alpha. \tag{32}$$

Podelimo relaciju vremenskim intervalom i površinom:

$$\frac{\Delta W}{S\Delta t}=EH\cos \alpha. \tag{33}$$

Sa desne strane jednakosti imamo srednji fluks strujanja elektromagnetske energije kroz datu površinu. Uvedimo Pointingov vektor $\overrightarrow{P}$ kao vektorski proizvod jačina električnog i magnetskog polja:

$$\vec{P}=\vec{E}\times \vec{H}. \tag{34}$$

Tada je

$$\text{srednji}\;\text{fluk}s=P\cos \alpha. \tag{35}$$

Ovde primetimo da je $P\cos \alpha =P_{\text{n}}$, projekcija vektora $\vec{P}$ na normalu $\vec{n}$. Zato možemo relaciju (35) i ovako da zapišemo, u granici $\Delta t\to 0$:

$$\frac{\partial W}{\partial t}=P_{\text{n}}S. \tag{36}$$

Snaga strujanja kroz površinu jednaka je proizvodu normalne komponente Pointingovog vektora i date površine. Zaključimo:

Strujanje energije u elektromagnetskom polju može se potpuno okarakterisati pomoću vektora fluksa energije $\vec{P}$. Njegov smer daje smer strujanja energije. Intenzitet vektora fluksa energije jednak je energiji koja prolazi u jedinici vremena kroz jediničnu površinu koja je normalna na pravac strujanja energije.

Ako zamislimo linije na kojima se tangente u svim tačkama podudaraju sa pravcem vektora $\vec{P}$ (linije vektora fluksa energije), onda nam te linije pokazuju put kojim se prostire energija elektromagnetskog polja. Linije duž kojih struji energija svetlosti nazivaju se u optici zracima. Pošto je svetlost takođe elektromagnetski talas, zraci svetlosti nisu ništa drugo do linije vektora fluksa energije svetlosnih elektromagnetskih talasa.

Rezultat (36) može se strogo dokazati iz Maksvelovih jednačina kao poseban slučaj opštije, Pointingove teoreme. U završnoj formuli tog dokaza, nema ograničenja na zavisnost vektora polja od vremena — ona važi i za stacionarna polja.

O tome studenti fizike uče u specijalizovanim kursevima na višim godinama studija.

Elementarni dipol. Opis

Među raznim električnim sistemima koji mogu zračiti elektromagnetske talase ima električni dipol osobito važno mesto. Posebno je jednostavan za upotrebu i analizu elementarni dipol; dužina mu je po definiciji mala u poređenju sa talasnom dužinom.

Sl. 8 Šema elementarnog dipola

Najprostiji primer elementarnog dipola su dve kugle napajane iz visokofrekventnog generatora, Sl 8. Rastojanje između kugli je malo u odnosu na talasnu dužinu : $\ell \ll \lambda$. Električni moment takvog dipola je $p=q\ell$. Generator daje harmonijske oscilacije učestanosti $\omega$, pa je $q=q_{0}\sin \omega t$ naelektrisanje kugle u momentu $t$. Zato je dipolni moment

$$p=p_{0}\sin \omega t. \tag{37}$$

Amplituda dipolnog momenta iznosi $p_{0}=q_{0}\ell$. Jačina struje dipola je $i=dq/dt$ ili

$$i=q_{0}\omega \cos \omega t. \tag{38}$$

Vidimo da je amplituda struje $q_{0}\omega =i_{0}$ i odmah $p_{0}=i_{0}\ell /\omega$. Elementarni dipol je čest fizički model u mnogim problemima fizike.

Na primer, ovakav dipol može poslužiti u pojednostavljenoj analizi kretanja elektrona u atomima. Rotacija elektrona oko jezgra može se razložiti na dve pravolinijske harmonijske oscilacije. Ali elektron koji vrši pravolinijsko harmonijsko oscilovanje, zajedno sa pozitivnim jezgrom (koje ne učestvuje u zračenju) predstavlja dipol čiji se moment menja po formuli (37). Pošto je talasna dužina talasa koje emituju atomi (za vidljivu svetlost okruglo pola mikrometra) mnogo veća od razmera atoma (pola angstrema), dipol je elementaran.

Zračenje elementarnog dipola

Daćemo kvalitativnu analizu zračenja dipola; strogo rešavanje Maksvelovih jednačina studenti rade na završnim studijama fizike.

Karakter elektromagnetskog polja dipola bitno zavisi od toga na kom se rastojanju nalazi posmatrana tačka. Ako je rastojanje $r$ od centra dipola do te tačke malo u poređenju s talasnom dužinom ($r\ll \lambda$) onda važe iste formule kao i za konstantno električno i magnetsko polje. (Te formule smo ispisivali u kursu elektromagnetizam 1.) Električno polje dipola, za $r\ll \lambda$, opada kao $1/r^{3}$. Magnetsko polje dipola, za $r\ll \lambda$, opada kao $1/r^{2}$.

Sl. 9 Uz objašnjenje linija sile električnog dipola

Na većim rastojanjima od dipola, za $r\gg \lambda$, zakon polja postaje sasvim drugačiji. To je važna oblast, takozvana talasna zona.

U svim tačkama sfere — čiji je centar u centru dipola — faza oscilovanja je jednaka i, dakle, talas koji emituje dipol jeste sferni talas. Pošto je električno polje talasa $\vec{E}$ normalno na pravac prostiranja, vektor $\vec{E}$ u raznim tačkama normalan je na radijus —vektore, kao što smo nacrtali na Sl. 9, skica 1. To se polje periodički menja i, zato, premeštajući se duž radijus-vektora, nailazimo na polja koja su uzajamno suprotnog smera, što se vidi na skici 2. Spajajući strelice isprekidanom linijom dobijamo jednu od električnih linija sile, videti skicu 3. Integralni izgled linija sile električnog polja, u jednoj od

Sl. 10 Električne linije sile elementarnog dipola

meridijanskih ravni, vidimo na Sl. 10. Linije su zatvorene krive, polje ima solenoidni karakter.

Sl. 11 Magnetske linije sile elementarnog dipola

Linije sile smo kompjuterski nacrtali, koristeći Mathematica programski paket, polazeći od tzv Hercove Q-funkcije, koju su danas skoro svi zaboravili. Formulu za linije sile ponovo je izveo, u savremenim oznakama i terminima, naš fizičar B. Aničin. On je primetio jednu omašku u originalnom Hercovom crtežu linija sile, koji se do današnjih dana nekritički preštampava u mnogim udžbenicima elektromagnetizma. O tome, i nizu drugih zanimljivih detalja, studenti mogu da pročitaju u originalnom članku: B. A. Aničin, Reading Hertz’s own dipole theory, Europian Journal of Physics, 29, (2008), pp. 15-23.

Pravac magnetskog polja $\vec{H}$ u svakoj tački je normalan na pravac $\vec{E}$ i na pravac prostiranja (radijalni pravac). Zato su magnetske linije sile koncentrični krugovi koji leže u ravnima normalnim na pravac dipola; centar im je na osi dipola (videti Sl. 11, izgled linija u ekvatorijalnoj ravni).

Pritisak elektromagnetskih talasa

Elektromagnetski talasi pritiskaju površinu na koju upadaju. Pogledajmo kako i koliko.

Na Sl. 12 vidimo normalni upad ravanskog elektromagnetskog talasa na površinu $S$ nekog parčeta metala. Električno polje talasa paralelno je površini i zato ono ne izaziva sile pritiska (u posmatranom slučaju normalne incidencije). Električno polje izaziva u telu struju gustine $j$. U talasu postoji još i magnetsko polje H. Na struju će delovati sila $\vec{F}$ normalna na $\vec{j}$ i $\vec{H}$, te je usmerena duž pravca prostiranja talasa. Srednja vrednost te sile, po jedinici površine tela, i jeste pritisak elektromagnetskog talasa.

Maksvel je izračunao pritisak elektromagnetskih talasa i dao formulu

$$p=\left(1+\rho \right)\bar{u}. \tag{39}$$

Sl. 12 Elektromagnetski talas pritiska površinu

Ovde je gde je $\bar{u}$ srednja zapreminska gustina energije upadnog elektromagnetskog talasa. Koeficijent odbijanja talasa od površine označen je $\rho$.

Izvršimo neke transformacije gornje formule. Prvo, intenzitet elektromagnetskog talasa povezan je sa gustinom energije: $I=\bar{u}c_{0}$. (Ovaj je dokaz prost i izostavićemo ga.) Zato odmah nalazimo

$$p=\frac{I}{c_{0}}\left(1+\rho \right). \tag{40}$$

Drugo, ako talas pada na površinu tela ukoso, pod uglom $\theta$ k normali, onda je

$$p=\frac{I}{c_{0}}\left(1+\rho \right)\cos ^{2}\theta. \tag{41}$$

Pritisak svetlosti

Svetlost, kao deo elektromagnetskog spektra, takođe pritiska površinu koju obasjava. Pritisak dnevne svetlosti je vrlo mali. Intenzitet sunčevog zračenja na našim prostorima, na površini Zemlje oko podne, iznosi otprilike jedan kilovat po kvadratnom metru. Pritisak sunčevih zraka na idealno ogledalo je $2I/c_{0}$. To iznosi stohiljaditi deo paskala.

Eksperimentalni dokaz pritiska svetlosti dao je na samom kraju devetnaestog veka ruski fizičar P. I. Lebedev. Ispostavilo se da je veličina svetlosnog pritiska u saglasnosti sa Maksvelovom formulom.

Naravno, formula za pritisak može se izvesti i pomoću fotonske slike svetlosti. Taj dokaz će studenti videti na časovima optike.

Sl. 13 Aparatura Petra Nikolajeviča Lebedeva

Pritisak svetlosti može dostići velike vrednosti, ako je intenzitet zračenja veliki. To se postiže u laboratoriji, na primer u eksperimentima za potragom fuzije primenom laserske svetlosti. Laserski impuls kratkog trajanja može se koncentrisati na malu površinu, proizvodeći enormne pritiske. O tome će studenti više čuti na predavanjima iz fizike plazme. Još, u Prirodi, svetlosni pritisak igra naglašenu ulogu u nizu fenomena (kometin rep, na primer). I te aspekte pritiska zračenja studenti imaju priliku da upoznaju u kursu astrofizike sa astronomijom.

Impuls elektromagnetskog polja

Fakt postojanja pritiska elektromagnetskih talasa nužno dovodi do zaključka da je elektromagnetskom polju svojstven određeni impuls. Zamislimo da na ravnu površinu S tela koje idealno apsorbuje pada elektromagnetski talas. Na telo deluje sila $F=uS$. Sila je jednaka impulsu koji primi telo u jedinici vremena. Otuda se može zaključiti:

Zračenje transportuje određeni impuls. U jedinici vremena telo dobija impuls polja koji se nalazi u paralelopipedu osnove S i visine jednake brzine prostiranja polja $c_{0}$. Ako je g impuls jedinice zapremine polja (gustima impulsa), onda je impuls koji dobija telo jednak $gSc_{0}$. Zato pišemo

$$uS=gSc_{0}, \tag{42}$$ $$g=\frac{u}{c_{0}}. \tag{43}$$

Sada lako možemo da uvedemo i Pointingov vektor. Dobijamo

$$\vec{g}=\frac{\vec{P}}{c_{0}^{2}}. \tag{44}$$

Ukupni impuls elektromagnetskog polja lako dobijamo čim znamo gustinu impulsa. Rezultat je:

$$\vec{G}=\int_{\tau } \frac{\vec{P}}{c_{0}^{2}}\;d\tau. \tag{45}$$

Generalisani impuls

Dobijeni fundamentalni rezultati omogućavaju da se generališu Njutnovi zakoni mehanike na elektromagnetske pojave. U fizičkom sistemu postoji impuls tela, ili količina kretanja, $\vec{K}$, ali i gore definisani impuls polja $\vec{G}$.

Zakon sile koji ustanovljava da je sila jednaka prvom izvodu impulsa odnosi se na ukupni impuls:

$$\text{ukupni}\;\text{impuls}=\vec{K}+\vec{G}. \tag{46}$$

Ako u sistemu tela deluju samo unutrašnje sile, ukupni impuls sistema ostaje konstantan. Zakon održanja impulsa u izolovanom sistemu može se zapisati u sledećem opštem obliku

$$\vec{K}+\vec{G}=\text{const}. \tag{47}$$

Telo koje je prvobitno mirovalo dobiće impuls $\vec{K}=-\vec{G}$ ako ono emituje u određenom pravcu elektromagnetski talas. Impuls tela ima smer suprotan smeru prostiranja zračenja, a veličina mu je jednaka impulsu koji je odnelo zračenje. Ta pojava „liči” na trzaj oružja pri gađanju.

Za rotacione pojave, važi analogni zakon održanja momenta impulsa. Na Sl. 13 vidimo naelektrisani cilindrični kondenzator koji može slobodno da rotira oko svoje ose. Kondenzator je između polova stalnog magneta.

Zakon održanja momenta impulsa — jedan demonstracioni opit

Na početku, ukupno moment impulsa jednak je nuli. Takav mora i da ostane kad izazovemo pražnjenje kondenzatora — magnet i kondenzator čine izolovani fizički sistem. To znači da će kondenzator početi da rotira, a to se u opitu i primećuje.

Masa elektromagnetskog polja

Impuls tela jeste proizvod mase tog tela i njegove brzine. Pošto elektromagnetsko polje ima impuls i prostire se konačnom brzinom, njemu pripada određena masa.

Neka je d masa jedinice zapremine (gustina mase). Tada je impuls jedinice zapremine polja $g=dc_{0}$ ili $dc_{0}=P/c_{0}^{2}$. Još se setimo da je $P=uc_{0}$. Dakle,

$$d=\frac{u}{c_{0}^{2}}. \tag{48}$$

Ako je m masa polja a W njegova energija, onda je

$$W=mc_{0}^{2}. \tag{49}$$

U primerima iz običnog života ova masa nije velika. Na primer, antena radiostanice koja ima snagu 250 kilovata u toku jednog sata emitovanja izrači energiju kojoj je ekvivalent tek stoti deo jednog miligrama.

Po Ajnštajnovoj specijalnoj teoriji relativnosti, zakon (49) ima sasvim opšte značenje — važi za proizvoljna tela, nezavisno od njihove unutrašnje građe i stanja. Svaka promena energije bilo kog tela ili sistema tela uvek je povezana (preko kvadrata brzine svetlosti u vakuumu) s promenom mase — nezavisno od toga kakve se zapravo transformacije događaju u datom telu ili sistemu tela.

Rezultati koje smo dobili u ovom paragrafu posebni su slučaj primene opštih zakona na elektromagnetsko polje.

Elektromagnetska masa pokretnog naelektrisanja

Posmatrajmo neko pokretno naelektrisanje. Oko njega se formira elektromagnetsko polje. To polje ima određeni impuls. Ukupni impuls pokretnog naelektrisanog tela i njegova masa biće veći nego da telo nije naelektrisano.

Dopunska masa, povezana s elektromagnetskim poljem, zove se elektromagnetska masa tela.

Pretpostavimo da se brzina tela povećala za $dv$ te je energija tela porasla za $dW$, a masa za $dm$. Tada je

$$dW=dm\,c_{0}^{2}. \tag{50}$$

Po zakonu sile treba da bude

$$Fdt=d\left(mv\right). \tag{51}$$

Ovu relaciju možemo napisati i ovako

$$Fdt=mdv+vdm. \tag{52}$$

Priraštaj energije nastaje zbog izvršenog rada $Fdx$, ili:

$$dW=Fvdt. \tag{53}$$

Naše jednačine nam govore da treba da bude:

$$mdv+vdm=c_{0}^{2}\frac{dm}{v}. \tag{54}$$

Ova diferencijalna jednačina razdvaja promenljive:

. (55)

Integracija daje:

$$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2}/c_{0}^{2}}}. \tag{56}$$

Masa mirovanja tela $m_{0}$ javila se kao integraciona konstanta.

Pri vrlo velikim brzinama, elektromagnetska masa je znatna. Zakon porasta mase isti je onaj koji je ustanovljen eksperimentalno za beta zrake, na primer.

Postojala je ideja da cela masa elektrona (pa i drugih čestica) ima elektromagnetsku prirodu.

Ta hipoteza, do danas, nije dobro obrazložena i potvrđena. Postoje elementarne čestice, na primer neutroni, koje imaju masu ali uopšte nemaju naelektrisanje. Danas smatramo da elektromagnetska masa može predstavljati samo deo mase elementarnih čestica (masa “polja”), dok je drugi deo masa koja nije povezana s elektromagnetskim poljem.