Energija magnetskog polja

Sopstvena energija struje

Za porast struje u električnom kolu mora se uložiti rad. Taj rad vrši izvor struje u kolu. Suprotno, uvek kada se struja smanjuje oslobađa se neka energija i izvor struje vrši manji rad, nego pri konstantnoj struji. Razmotrimo taj proces detaljnije.

Zamislimo prosto strujno kolo koje ima induktivnost L i ukupnu otpornost $r$. U kolu već vlada stacionarni režim konstantne struje $i=\mathscr{E}/r$. Za vreme $dt$ oslobodi se u kolu toplota $ri^{2}dt$. Pošto je $\mathscr{E}=ir$, imamo

$$r\,i^{2}dt=\mathscr{E}\,i\,dt. \tag{1}$$

Vidimo da je rad izvora $\mathscr{E}\,i\,dt$ tačno jednak Džulovoj toploti; za održavanje konstantnog magnetskog polja ne treba trošiti nikakav dodatni rad.

Pretpostavimo sada da se struja u kolu povećava beskonačno malom brzinom $di/dt$. U kolu sada deluje i e. m. s. samoindukcije (obeležimo je ovde sa $\mathscr{E}_{\;\text{s}}$) koja će izazvati ekstrastruju

$$\delta i=\frac{\left|\mathscr{E}_{\;\text{s}}\right|}{r}=\frac{L}{r}\frac{di}{dt}. \tag{2}$$

Struja $\delta i$ teče nasuprot struji i, ukupna jačina struje u kolu je $i-\delta i$. U posmatranom procesu za vreme $dt$ oslobodi se toplota $r\left(i-\delta i\right)^{2}dt$. Ona je manja nego u slučaju konstantne struje; ta razlika iznosi

$$r\,i^{2}dt-r\left(i-\delta i\right)^{2}dt=2Li\,di, \tag{3}$$

u usvojenoj aproksimaciji $\delta i\ll i$. Ovde je $di$ porast struje u kolu za vreme $dt$. Nađimo i razliku izvršenih radova izvora struje:

$$\mathscr{E}i\,dt-\mathscr{E}\left(i-\delta i\right)dt=Li\,di. \tag{4}$$

Otkrili smo „višak” rada izvora — nije ceo rad otišao na proces zagrevanja. Taj višak rada izvora iznosi

$$dW=Li\,di. \tag{5}$$

Ovaj rad je neophodan za povećanje jačine struje u kolu od vrednosti i do $i+di$. Sav rad koji je neophodan za uspostavljanje struje i iznosi $L\int_{0}^{i} idi$, ili

$$W=\frac{1}{2}Li^{2}. \tag{6}$$

Ovo je energija koju akumulira strujna kontura. Ta se energija naziva sopstvena energija struje.

Energija magnetskog polja

Električna struja uvek daje magnetsko polje u okolnom prostoru. Danas fizičari imaju dokaze (jer znaju za elektromagnetske talase koji imaju i prenose određenu energiju) da je energija koncentrisana u magnetskom polju.

Nađimo gustinu energije. Pristupimo tom zadatku nalazeći prvo gustinu energije u centralnoj oblasti dugog solenoida. Induktivnost je, kako već znamo data izrazom

$$L=\mu \mu _{0}\frac{N^{2}S}{\ell }. \tag{7}$$

Ovde je $\mu$ magnetska permeabilnost sredine, a $\mu _{0}$ magnetska konstanta. Stavljajući taj izraz u (6) dobijamo

$$W=\frac{1}{2}\mu \mu _{0}\frac{N^{2}S}{\ell }i^{2}. \tag{8}$$

Izraz $\left(Ni/\ell \right)=H$ jeste (homogena) jačina magnetskog polja u kalemu . Zato je

$$W=\frac{1}{2}\mu \mu _{0}H^{2}\tau, \tag{9}$$

gde je $\tau =S\ell$ zapremina kalema. Gustina energije $u$ magnetskog polja u kalemu jednaka je količniku energija/zapremina, odnosno

$$u=\frac{1}{2}\mu \mu _{0}H^{2}. \tag{10}$$

Ali, magnetsko polje je u opštem slučaju nehomogeno. Kako generalisati gornji rezultat? Ukupni prostor zaposednut magnetskim poljem možemo u mislima podeliti na beskonačno male zapreminske elemente $d\tau$ u kojima se može uzeti da je polje homogeno i da važi gornja formula. Dakle, u elementu zapremine je energija $u\,d\tau$. A to znači da je ukupna energija nekog magnetskog polja zbir svih takvih elementarnih doprinosa, tj.

$$W=\frac{1}{2}\mu _{0}\int_{\tau } \mu H^{2}d\tau, \tag{11}$$

gde se integracija izvodi po celoj zapremini $\tau$ u kojoj je magnetsko polje.

Uzajamna indukcija

Razmotrimo sada dve susedne strujne konture u nekom delu prostora, Sl. 1. Deo silnica koje stvara kontura l zatvaraju se kroz konturu 2, tj. ova će biti spregnuta sa prvom konturom.

Između dve konture postoji magnetska veza.

Indukcija magnetskog polja koje proizvodi kontura l proporcionalna je jačini struje $i_{1}$ u toj konturi. Zato je magnetski fluks $\varphi _{12}$ kroz konturu 2, koji potiče od konture l, takođe proporcionalan struji $i_{1}$:

$$\varphi _{12}=L_{12}i_{1}. \tag{12}$$

Koeficijenat $L_{12}$ se naziva koeficijent uzajamne indukcije dve posmatrane konture.

Koeficijent uzajamne indukcije meri se istim jedinicama kao i induktivnost. Mi već znamo da se ta jedinica SI sistema zove henri.

Na sličan način će biti:

Sl. 1 Magnetska sprega dve konture

Ako u konturi 2 imamo struju neke jačine $i_{2}$, ona daje magnetski fluks $\varphi _{21}$, kroz konturu l, i pri tom je

$$\varphi _{21}=L_{21}i_{2}. \tag{13}$$

Ovde je $L_{21}$ koeficijent uzajamne indukcije kontura 2 i 1. Za proizvoljne dve konture jednaki su koeficijenti uzajamne indukcije:

$$L_{12}=L_{21}. \tag{14}$$

Suština magnetske sprege je u tome što se pri svakoj promeni jačine struje u jednoj od kontura, u onoj drugoj javlja e. m. s. indukcije. Saglasno osnovnom zakonu elektromagnetske indukcije biće

$$\mathscr{E}_{\;1}=-\frac{d\phi _{21}}{dt}=-L\frac{di_{2}}{dt}. \tag{15}$$ $$\mathscr{E}_{\;2}=-\frac{d\phi _{12}}{dt}=-L\frac{di_{1}}{dt},\,. \tag{16}$$

$\mathscr{E}_{\,\,\,1}$ je indukovana e. m. s. u konturi 1, a $\mathscr{E}_{\;\,2}$ je indukovana e. m. s. u konturi 2.

Koeficijenat uzajamne indukcije zavisi od oblika i razmera kontura i njihovog međusobnog položaja. Zavisi takođe i od svojstava okolne sredine.

Razmotrimo jedan jednostavniji primer izračunavanja koeficijenta uzajamne indukcije. Pretpostavimo da imamo dva torusna jednoslojna kalema l i 2, motana jedan preko drugog, (Sl. 2). Približno. sve silnice koje potiču od jednog kalema prolaze i kroz drugi kalem. Jačina magnetskog polja kalema l je

$$H_{1}=\frac{N_{1}i_{1}}{\ell }. \tag{17}$$

To polje stvara skoro homogen magnetski fluks kroz jedan navoj kalema 2 , gde je S poprečni presek kalema. Ukupni fluks kroz $N_{2}$ navoja kalema 2 je

. (18)

Koeficijent uzajamne indukcije je onda

. (19)

Ako su kalemovi s jezgrom od supstancije sa magnetskom permeabilnošću $\mu$, biće $L_{12}^{\mu }=\mu L_{12}$.

Uzajamna energija dve struje

Izračunajmo energiju magnetskog polja koje potiče od dve strujne konture. Razmotrimo opet najprostiji slučaj — dva torusna kalema (Sl. 2), koja

Sl. 2 Dva namotaja s magnetskom spregom

se nalaze u vakuumu i u kojima je magnetsko polje približno homogeno. Jačina sumarnog polja u kalemima je

$$H=H_{1}\pm H_{2}=\frac{N_{1}i_{1}\pm N_{2}i_{2}}{\ell }. \tag{20}$$

Izbor znaka + ili — zavisi od toga da li su jednaki ili suprotni smerovi struja u dva kalema. Ukupna energija koja se nalazi u celoj zapremini polja $\tau =S\ell$ je $W=\mu _{0}H^{2}S\ell /2$, to jest

$$W=\frac{\mu _{0}S}{2\ell }\left[\left(N_{1}i_{1}\right)^{2}+\left(N_{2}i_{2}\right)^{2}\pm 2\left(N_{1}i_{1}\right)\left(N_{2}i_{2}\right)\right]. \tag{21}$$

Pomoću već uvedenih veličina induktivnosti možemo ovaj izraz transformisati i dobiti

$$W=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^{2}\pm L_{12}i_{1}i_{2}. \tag{22}$$

Prvi sabirak je sopstvena energija struje l, a drugi sabirak je sopstvena energija struje 2. Formula pokazuje da se energija dve struje u konturama koje su u magnetskoj vezi razlikuje od zbira sopstvenih energija struja za iznos

$$W_{12}=\pm L_{12}i_{1}i_{2}. \tag{23}$$

Ova je veličina dobila naziv uzajamna energija dve struje.

Rad uspostavljanja struje u konturi, u prisustvu druge konture sa strujom, nije jednak radu uspostavljanja te iste struje u usamljenoj konturi; razlika je u neizbežnoj uzajamnoj energiji struja $W_{12}$.

Rezultati koje smo dobili tačni su i za bilo koje druge dve konture, proizvoljnog oblika, koje se nalaze u bilo kojoj sredini.

Zakon održanja energije i magnetsko polje

Pretpostavimo da imamo dve proizvoljne strujne konture sa jačinama struja $i_{1}$ i $i_{2}$, sa izvorima konstantnih e. m. s. $\mathscr{E}_{1}$ i $\mathscr{E}_{2}$ i ukupnim otpornostima $r_{1}$ i $r_{2}$. Konture mogu biti kako nepokretne tako i pokretne, struje u njima mogu biti promenljive.

Izvori struje vrše rad. Njihov ukupni rad za beskonačno malo vreme $dt$ iznosi

$$\mathscr{E}_{1}i_{1}dt+\mathscr{E}_{2}i_{2}dt. \tag{24}$$

U konturama se oslobađa toplota

$$r_{1}i_{1}^{2}dt+r_{2}i_{2}^{2}dt. \tag{25}$$

Na obe konture deluju sile magnetske interakcije. Zato se, pri premeštanju kontura (ili pri njihovoj deformaciji), vrši određeni mehanički rad. Označimo taj rad sa $\delta A$.

Na kraju, pri kretanju kontura ili pri promeni jačina struja u njima menjaće se magnetsko polje, menjaće se, dakle, i njegova energija. Promena energije magnetskog polja jednaka je

$$dW=d\left(\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^{2}\pm L_{12}i_{1}i_{2}\right). \tag{26}$$

Nećemo uračunavati energiju električnog polja, neka je ona zanemarljiva. Shodno zakonu održanja energije, dobijamo:

$$\mathscr{E}_{1}i_{1}dt+\mathscr{E}_{2}i_{2}dt=r_{1}i_{1}^{2}dt+r_{2}i_{2}^{2}dt+\delta A+dW. \tag{27}$$

Generališimo na veći broj strujnih kontura:

$$\sum\limits_{\text{k}} \mathscr{E}_{\text{k}}i_{\text{k}}dt=\sum\limits_{\text{k}} r_{\text{k}}i_{\text{k}}^{2}dt+\delta A+d\sum\limits_{\text{k}} \sum\limits_{\text{l}} \frac{1}{2}L_{\text{kl}}i_{\text{k}}i_{\text{l}}. \tag{28}$$

U ovoj formuli zadnji član izražava promenu energije magnetskog polja, $L_{\text{kk}}$ označava koeficijent samoindukcije k-te konture, a $L_{\text{kl}}$ je koeficijent uzajamne indukcije kontura k i l. Pri $\text{k}=\text{l}$ odgovarajući članovi zbira daju sopstvenu energiju k-te konture $1/2L_{\text{kk}}i_{\text{k}}^{2}$, a za $\text{k}\ne \text{l}$ svaki par članova $1/2L_{\text{kl}}i_{\text{k}}i_{\text{l}}+1/2L_{\text{lk}}i_{\text{l}}i_{\text{k}}=L_{\text{kl}}i_{\text{k}}i_{\text{l}}$ predstavlja uzajamnu energiju k-te i l-te konture.

Mehaničke sile i magnetsko polje

Na provodnik sa strujom u magnetskom polju deluju ponderomotorne sile. Ponderomotorna sila deluje na telo kao celinu.

Izračunajmo rad ponderomotornih sila pri deformaciji neke strujne konture. Razmotrimo usamljenu konturu koja sadrži strujni izvor konstantne e. m. s. $\mathscr{E}$, a ima induktivnost L i otpornost $r$. Jačina stacionarne struje u konturi jednaka je $i=\mathscr{E}/r$. Pretpostavimo dalje da se ta kontura proizvoljnim načinom deformiše, te se menja njena induktivnost L. U procesu deformacije struja se u konturi menja za veličinu

$$\delta i=-\frac{1}{r}\frac{d\phi }{dt}. \tag{29}$$

Ovde je $\varphi$ magnetski fluks kroz konturu. Zato će smanjenje rada strujnog izvora za vreme $dt$ biti

$$\mathscr{E}idt-\mathscr{E}\left(i+\delta i\right)dt=id\phi. \tag{30}$$

Smanjenje Džulove toplote je

$$ri^{2}dt-r\left(i+\delta i\right)^{2}dt=2id\phi. \tag{31}$$

Na taj način, za vreme $dt$ dobitak energije je $id\varphi$, a za sve vreme deformacije

$$i\Delta \varphi =i^{2}\left(L_{2}-L_{1}\right)=i^{2}\Delta L. \tag{32}$$

Ovde je $\Delta L$ promena induktivnosti konture zbog deformacije. Povećanje energije magnetskog polja je

$$\frac{1}{2}L_{2}i^{2}-\frac{1}{2}L_{1}i^{2}=\frac{1}{2}\Delta Li^{2}. \tag{33}$$

Zato iz zakona održanja energije sledi da je traženi mehanički rad jednak

$$\Delta A=i^{2}\Delta L-\frac{1}{2}\Delta Li^{2}=\frac{1}{2}\Delta Li^{2}. \tag{34}$$

Dobijeni izraz se može i ovako zapisati:

$$\Delta A=\Delta \left(\frac{1}{2}Li^{2}\right)_{\text{i}=\text{const}}. \tag{35}$$

Mehanički rad je jednak promeni energije magnetskog polja, pri konstantnoj jačini struji u konturi koja se beskonačno sporo deformiše.

Sile na solenoid

Primenimo sada rezultat (35) na dugi solenoid. Zbog uzajamnog privlačenja njegovih navoja javljaju se sile $F_{\ell }$ koje sabijaju solenoid (videti Sl. 3). O tome se vod računa u eksperimentima sa snažnim strujama i jakim poljima i preduzimaju konstrukcione mere da solenoid zadrži nedeformisano stanje.

Isto, zbog interakcije struje sa sopstvenim magnetskim poljem solenoida, na svaki navoj deluju radijalne sile $F_{r}$.

Nađimo te dve komponente ukupne sile.

Induktivnost solenoida je

$$L=\frac{\mu _{0}N^{2}S}{\ell }. \tag{36}$$

Sl. 3 Sile koje deluju na solenoid sa strujom

Dakle, pri beskonačno malom sabijanju solenoida za $d\ell$ rad ponderomotornih sila je, u skladu sa (35),

$$\delta A=\frac{1}{2}i_{0}^{2}\frac{\mu _{0}N^{2}S}{\ell ^{2}}d\ell. \tag{37}$$

Po definiciji rada je

$$\delta A=F_{}. \tag{38}$$

Izjednačavajući desne strane ova dva izraza za rad, nalazimo

$$F_{\ell }=\frac{\mu _{0}N^{2}S}{2\ell ^{2}}i_{0}^{2}. \tag{39}$$

Izračunaćemo napon sabijanja $f_{\ell }=F_{\ell }/S$, tako što ćemo uvesti jačinu magnetskog polja u solenoidu $H=Ni/\ell$:

$$f_{\ell }=\frac{1}{2}\mu _{0}H^{2}. \tag{40}$$

Napon sabijanja jednak je zapreminskoj gustini energije magnetskog polja solenoida.

Kolike su poprečne sile? Kada se radijus solenoida $r$ poveća za beskonačno malu veličinu $dr$, ponderomotorne sile izvrše rad

$$\delta A=\frac{1}{2}i^{2}dL=\frac{\mu _{0}N^{2}\pi r^{2}}{\ell }i^{2}dr. \tag{41}$$

Ali se taj rad može i drugačije predstaviti: $\delta A=f_{r}2\pi r\ell dr$, gde je $f_{r}$ radijalni napon. Odavde dobijamo

$$f_{r}=\frac{\mu _{0}N^{2}i^{2}}{2\ell ^{2}}. \tag{42}$$

Uvedimo u ovaj izraz jačinu magnetskog polja H u solenoidu:

$$f_{r}=f_{\ell }=\frac{1}{2}\mu _{0}H^{2}. \tag{43}$$

Radijalni napon, kao i napon sabijanja, jednak je zapreminskoj gustini magnetskog polja.

Ako bi se solenoid nalazio u sredini sa magnetskom permeabilnošću $\mu$, onda bi i naponi bili $\mu$ puta veći.

Pritisci i naponi magnetskog polja

Rezultati koje smo našli u prethodnom paragrafu imaju veoma očigledno tumačenje. Mehanički naponi $f_{\ell }$ i $f_{r}$ koji deluju na solenoid takvi su kao kad bi linije sile bile neke realne, rastegnute elastične niti koje teže da se skrate pa daju podužni napon $1/2\mu \mu _{0}H^{2}$ po kvadratnom metru i, pored toga, odbijaju jedna drugu dajući bočni pritisak koji je takođe jednak (po $1\,\,\text{m}^{2}$) zapreminskoj gustini energije $1/2\mu \mu _{0}H^{2}$.

Pokazuje se da to važi ne samo za solenoid, no i za sve druge slučajeve ponderomotornih sila u magnetskom polju.

Predstava o naponu i bočnom pritisku električnih i magnetskih linija sile potiče od Faradeja i Maksvela. I premda u stvarnosti nikakve fizičke linije sile ne postoje (linije sile su geometrijski postupak koji smo uveli za grafičko predstavljanje polja), sve jednako su predstave Faradeja i Maksvela često veoma korisne, jer dopuštaju da se pregledno shvati karakter mehaničkih sila u elektromagnetskom polju. Evo jednog standardnog primera:

Sl. 4 Sila koja deluje na struju u magnetskom polju

kao rezultat pritiska i napona linija sile

Razmotrimo pravolinijski strujni provodnik u homogenom magnetskom polju (Sl. 4). Linije sile polja $H_{0}$, pre unošenja provodnika, imaju oblik paralelnih pravih linija koje su usmerene naviše. Linije sile polja provodnika $H_{\varphi }$ jesu koncentrični krugovi. Sabiranjem, dva polja daju ukupno polje, sa šemom silnica koja je prikazana na slici, odakle odmah možemo zaključiti: na provodnik deluje sila koja je normalna na provodnik i na pravac prvobitnog magnetskog polja i usmerena je nadesno.