Magnetsko polje struja u vakuumu

Amperovi opiti

Interakcija dve struje otkrivena je ubrzo po Erstedovim otkrićima. Interakciju strujnih provodnika, iscrpno i vešto, studirao je u svoje vreme francuski fizičar Amper. Uređaji koje je koristio zovu se danas Amperovi uređaji.

Sl. 1 André-Marie Ampère (1775 — 1836) i jedan njegov uređaj

Na Sl. 1 vidimo Amperov uređaj sa pravougaonom konturom. Pravougaoni žičani ram pričvršćen je na dva vertikalna šiljka. Šiljci imaju zanemarljiva trenja na šiljkastom ležištu u sudu sa živom. Ram se slobodno okreće oko vertikalne ose, i uključenje u kolo struje pomoću živinih kontakata.

Približimo pokretnom ramu 1 nepokretni ram sa strujom 2. Vidimo interakciju struja, interakciju pravolinijskih provodnika sa strujom (uticaj drugih delova kola se zanemaruje). Amper je dokazao: struje istog smera (paralelne) privlače se; struje različitog smera (antiparalelne) odbijaju se.

Uređaj omogućava i ispitivanje interakcije struje i magneta. Ako prinesemo vertikalnoj stranici 1 magnet, ram se okreće. Ako zamenimo severni pol magneta južnim, ram se okreće na suprotnu stranu. Smer sile se menja i u slučaju promene smera struje u ramu.

U Amperov uređaj lako se može staviti i solenoid. Prinesimo magnet solenoidu kroz koji teče struja. Jedan kraj solenoida odbija se od severnog pola magneta, a privlači se južnim polom.

Solenoid sa strujom ponaša se kao magnet!

Kad gledamo kraj kalema na kome je smer struje suprotan kretanju kazaljke na satu, reći ćemo da je to severni pol solenoida, po analogiji sa severnim polom magneta. Solenoid sa strujom se postavlja isto kao i igla kompasa, duž magnetskog meridijana Zemlje.

Dakle, interakcija strujnih kontura slična je dejstvu struja na magnete, i obrnuto. Zato je razmotrena interakcija provodnika sa strujom nazvana magnetska interakcija. Uočimo:

Električna interakcija javlja se ako na provodnicima ima naelektrisanja; ona zavisi od količine tog naelektrisanja. Magnetska interakcija ne zavisi od naelektrisanja provodnika, postoji samo kad postoje struje u provodnicima i sila zavisi od intenziteta tih struja. Ako se naelektrisano telo nalazi u zatvorenoj metalnoj posudi, delovanje drugih naelektrisanja koja se nalaze van suda se ne primećuje (pojava ekraniranja). Ako, međutim, pokušamo da ekraniramo strujnu konturu, primećujemo da magnetska interakcija i dalje postoji.

Savremena fizika ne prihvata mogućnost dejstva na daljinu u magnetskim interakcijama. Sile magnetske interakcije uzrokuje magnetsko polje oko provodnika sa strujom. Osnovno svojstvo magnetskog polja je: na provodnik sa strujom, ako se nađe u tom polju, deluje magnetska sila.

Magnetsko polje uvek postoji oko provodnika sa strujom. Oko provodnika nastaju određene fizičke promene. Osnovni zadatak ispitivanja magnetskih pojava sastoji se u izučavanju svojstava i zakona magnetskog polja.

Prvo ćemo razmotriti interakciju električnih struja u vakuumu.

Strujni element

U Amperovim opitima je dokazano: što jača struja, jača i interakcija. Ali, bitna je i konfiguracija strujnih kola. Opiti su pokazali: ako je provodnik sa strujom savijen kao na Sl. 2 (levo),

Sl. 2 Savijeni provodnik ne ispoljava magnetsko

delovanje (levo); k pojmu strujnog elementa (desno)

nema magnetskog dejstva u okolini. Na takav detalj provodnika ne deluju ni sile sa strane drugih provodnika. Iz mnoštva takvih i slišnih eksperimenata proizilazi zaključak: elementi provodnika zajedno daju magnetsko dejstvo kao i jedan zbirni elemenat $d\ell$ koji zatvara te odreske, Sl. 2 (desno). Magnetsko delovanje beskonačno malog dela provodnika zavisi od proizvoda $i\,d\vec{\ell}$ gde je i jačina struje a $d\vec{\ell}$ vektor koji ima intenzitet $d\ell$ (dužina odreska) i smer struje. Taj proizvod se zove strujni element.

Sila interakcije kontura konačnih razmera jeste zbir interakcija pojedinih strujnih elemenata. Ta sila zavisi od razmera kontura, njihovih oblika i uzajamnog položaja — nemoguće je formulisati opšti zakon interakcije strujnih kontura.

Ali, zakon je moguće dati za strujne elemente. Zapamtimo:

Magnetska indukcija

Rezultate Amperovih eksperimenata i kasnijih mnogobrojnih istraživanja moguće je shvatiti na sledeći način. Sposobnost magnetskog polja oko date električne struje da izaziva mehaničku silu koja deluje na spolja uneti strujni elemenat može se kvantitativno opisati pridružujući svakoj tački polja neki vektor $\vec{B}$. Tada je sila koja deluje na strujni elemenat $i\,d\vec{\ell}$ jednaka

. (1)

Vektor $\vec{B}$ je nazvan magnetska indukcija. On je osnovna karakteristika magnetskog polja. Relacija (1) je definicija magnetske indukcije. Sila je određena vektorskim proizvodom strujnog elementa i magnetske indukcije.

Ukupnu silu koja deluje na provodnik konačnih razmera možemo naći sabirajući sile na pojedinim njegovim elementima. Ako imamo pravolinijski deo provodnika, a magnetska indukcija je konstantna tamo gde se on nalazi, dobijamo za silu na provodnik

$$\vec{F}=i\vec{\ell}\,\,\times \vec{B}. \tag{2}$$

Intenzitet ove sile iznosi

$$F=i\,\ell \,B\sin \left(\vec{\ell}\,\,\vec{B}\right), \tag{3}$$

zavisi i od ugla između vektora $\vec{\ell}$ i $\vec{B}$. Pravac sile normalan je na $\vec{\ell}$ i $\vec{B}$ i potčinjava se pravilu desnog zavrtnja: kada okrećemo ručicu zavrtnja od vektora $\vec{\ell}$ ka vektoru $\vec{B}$, zavrtanj napreduje u smeru sile $\vec{F}$. Uzajamni položaj vektora $\vec{\ell}$, $\vec{B}$ i $\vec{F}$ pokazan je na Sl. 4; element duž z-ose daje silu duž x-ose u polju duž y-ose.

Sl. 4 Dejstvo magnetskog polja na struju; smerovi vektora

Razmotrimo sada kako je moguće odrediti magnetsku indukciju koja ulazi u formulu za silu. Eksperimenti pokazuju da za magnetsko polje, kao i za električno, važi princip superpozicije u širokoj oblasti jačina magnetskog polja: ako imamo nekoliko strujnih kontura koje daju magnetske indukcije $\vec{B}_{1}$, $\vec{B}_{2}$, itd, magnetska indukcija rezultujućeg polja u posmatranoj tački jednaka je vektorskom zbiru magnetskih indukcija pojedinih kontura:

$$\vec{B}=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}+\ldots =\sum\limits_{k} \vec{B}_{k}. \tag{4}$$

Odavde se može zaključiti da je princip superpozicije primenljiv i za strujne elemente. Magnetsku indukciju koju daje neka strujna kontura možemo naći sabirajući magnetske indukcije pojedinih strujnih elemenata na koje se može «razbiti» data kontura. A čemu je jednaka indukcija od jednog strujnog elementa?

Laplasov zakon

Eksperiment pokazuje da pravilnu vrednost sila magnetske interakcije dobijamo ako usvojimo da magnetska indukcija od strujnog elementa iznosi (Laplasov zakon)

. (5)

Ovde je $\vec{r}$ radijus-vektor koji spaja strujni elemenat i posmatranu tačku, a K je koeficijenat proporcionalnosti (zavisi od izbora sistema jedinica).

Sl. 5 Magnetska indukcija od strujnog elementa

Intenzitet magnetske indukcije u tački na udaljenosti $r$ od strujnog elementa је

$$dB=K\frac{i\,d\ell \sin \theta }{r^{2}}, \tag{6}$$

gde je $\theta$ ugao između vektora $d\vec{\ell}$ i $\vec{r}$. Pravac vektora $d\vec{B}$ normalan je na $d\vec{\ell}$ i $\vec{r}$, tj. normalan je na ravan u kojoj su $d\vec{\ell}$ i $\vec{r}$. Smer se potčinjava pravilu desnog zavrtnja; ako se desni zavrtanj pomera vrhom u smeru struje, tada se smer magnetske indukcije poklapa sa smerom kretanja kraja ručice zavrtnja. Struja teče naniže na Sl. 5; magnetska indukcija u tački 1 je usmerena od crteža ka čitaocu, a u tački 2 obrnuto, od čitaoca ka crtežu.

Razmotrimo primer sa dva paralelna strujna elementa $i_{1}\,d\vec{\ell}_{1}$ i $i_{2}\,d\vec{\ell}_{2}$ koji su prikazani na Sl. 6. Lako je pomoću naših formula dobiti silu interakcije ta dva elementa. Element 1 privlači drugi element silom intenziteta

$$dF=K\frac{i_{1}\,d\ell _{1}i_{2}\,d\ell _{2}}{r_{12}^{2}}. \tag{7}$$

Sila je usmerena duž linije koja spaja elemente, od strujnog elementa 2 ka strujnom elementu 1. Sila kojom drugi element deluje na prvi ($i_{1}\,d\vec{\ell}_{1}$) ima isti intenzitet, ali je suprotno usmerena. To je u skladu sa trećim Njutnovim zakonom. Kad se posmatraju dva međusobno upravna strujna elementa može izgledati da nije više zadovoljen treći Njutnov zakon. Takav se

Sl. 6 Dva paralelna strujna elementa

rezultat dobija zato što je to jedna odveć idealizovana konfiguracija; u eksperimentu je moguće ispitivati jedino interakciju zatvorenih kontura konačnih razmera. U eksperimentu se može dokazati zakon interakcije strujnih elemenata jedino sa tačnošću do nekog člana koji se anulira sabiranjem po zatvorenoj konturi. Zato, sa rezervom treba prihvatiti zaključak, kakav se može pročitati u nekim udžbenicima, da za dva međusobno upravna strujna elementa ne važi zakon akcije i reakcije.

Magnetska konstanta

U izrazu za magnetsku indukciju ulazi koeficijenat proporcionalnosti K koji zavisi od izbora jedinica. Zato, da bi izračunali silu magnetske interakcije, moramo primeniti neki određeni sistem jedinica i ustanoviti koju vrednost ima K u izabranom sistemu.

U međunarodnom sistemu jedinica SI jedinica za jačinu struje je jedna od osnovnih jedinica, ona je dakle već definisana. Zato se u tom sistemu ne može postići da je koeficijent proporcionalnosti jedinica, ili neka bezdimenziona veličina. Dalje, izraz za magnetsku indukciju piše se u racionalizovanoj formi, tj. uvodi se u imenitelj faktor $4\pi$, da se taj faktor ne bi kasnije javljao u drugim formulama koje se često koriste. Zato je veličina magnetske indukcije koja potiče od strujnog elementa data u SI sistemu formulom

$$dB=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{i\,d\ell \sin \theta }{r^{2}}. \tag{8}$$

Ovde je $\mu _{0}$ fizička konstanta koja ćemo principijelno zvati magnetska konstanta, mada to nije opšteprihvaćeno*.* Iz definicije ampera (o tome ćemo pričati kasnije) sledi u SI brojna vrednost magnetske konstante

. (8a)

Računajući magnetsku indukciju po formuli (8) dobijamo njenu vrednost u teslama (T); tesla je jedinica za magnetsku indukciju u SI sistemu.

Jačina magnetskog polja

Za opisivanje magnetskog polja, pored magnetske indukcije, koristimo i drugu fizičku veličinu — jačinu magnetskog polja. Ako je B magnetska indukcija u nekoj tački u vakuumu, jačina magnetskog polja u toj istoj tački je po definiciji

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu _{0}}. \tag{9}$$

Jačina magnetskog polja od strujnog elementa $i\,d\ell$ iznosi

$$dH=\frac{1}{4\pi }\frac{i\,d\ell \,\sin \theta }{r^{2}} \tag{10}$$

ili, u vektorskoj formi,

$$d\vec{H}=\frac{1}{4\pi }\frac{i\,d\vec{\ell}\times \,\,\vec{r}}{r^{3}}. \tag{11}$$

Dok razmatramo magnetsko polje u vakuumu, dovoljno je znati jedan od vektora, $\vec{B}$ ili $\vec{H}$. U sredinama koje se magnetišu, u magneticima, pojave će biti složenije, i o tome ćemo govoriti.

Nađimo jačinu magnetskog polja u vakuumu za neke proste slučajeve.

Magnetsko polje u centru kružnog provodnika Pogledajmo Sl. 8. Svi elementi provodnika normalni su na radijus-vektor, te je $\sin \theta =1$. Rastojanje

Sl. 8 Magnetsko polje u centru kružne strujne konture

svih elemenata provodnika do centra kruga jednako je R. Zato je

$$dH=\frac{1}{4\pi }\frac{i}{R^{2}}d\ell. \tag{12}$$

Svi strujni elementi daju magnetsko polje istog pravca, taj pravac je normalan na ravan zavoja, zato je ukupna jačina polja u centru kružne konture jednaka

$$H=\frac{1}{4\pi }\frac{i}{R^{2}}\int d\ell =\frac{1}{4\pi }\frac{i}{R^{2}}2\pi R=\frac{i}{2R}. \tag{13}$$

Ako struja teče u zavoju u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu (kad konturu gledamo duž ose), onda pravilo desnog zavrtnja daje da je magnetsko polje usmereno od zavoja ka čitaocu. Simetrija zadatka je uslovila da je rezultat izuzetno prost, jačina polja se dobija kad se jačina struje podeli prečnikom kruga.

Magnetsko polje pravolinijskog provodnika sa strujom. Rešavamo situaciju sa Sl. 9. Treba naći $\vec{H}$ u tački $a$. Tanki, pravi provodnik je veoma dug. Pravac magnetskog polja svih elemenata provodnika jednak je (normalan na ravan Sl. 9). Prvo primećujemo da važi:

$$\frac{d\ell \sin \theta }{r}=\frac{d\ell \cos \alpha }{r}=\frac{dS}{r}=d\alpha \,,\,\,\,r=\frac{R}{\cos \alpha }. \tag{14}$$

Jačina koju daje jedan elemenat iznosi

$$dH=\frac{1}{4\pi }\frac{id\ell \sin \theta }{r^{2}}=\frac{1}{4\pi }\cos \alpha \,d\alpha. \tag{15}$$

Sl. 9 Polje pravolinijskog strujnog provodnika

Ukupna jačina polja je

$$H=\frac{i}{4\pi }\int_{-\pi /2}^{+\pi /2} \cos \alpha \,d\alpha =\frac{i}{2\pi R}. \tag{16}$$

Ovo polje normalno je na ravni koja sadrži provodnik i duž R. I ovaj rezultat je jednostavan: jačinu polja nalazimo kad jačinu struje provodnika podelimo obimom kruga koji sadrži tačku posmatranja; jačine polja iste su u svim tačkama kruga.

Jedinica za jačinu magnetskog polja u SI naziva se amper po metru (A/m). To se odmah vidi iz gornje formule.

Linije sile magnetskog polja

Magnetska linija sile je linija na kojoj se tangenta u svakoj tački poklapa sa pravcem jačine magnetskog polja. Ove se linije ne mogu seći, pošto jačina polja uvek ima jedinstvenu vrednost u posmatranoj tački polja.

Sl. 10 Linije sile oko pravog strujnog provodnika

Crtajući magnetske linije sile možemo predstaviti kako se menja u prostoru jačina magnetskog polja po intenzitetu i pravcu.

Pogledajmo linije sile polja dugog pravolinijskog provodnika sa strujom: one su koncentrični krugovi sa centrom na osi provodnika (Sl. 10).

Predstavu o obliku magnetskih linija sile možemo dobiti i u eksperimentu. Tada koristimo činjenicu da se slobodna magnetska igla uvek postavlja osom u pravcu linija sile. Tradicionalno se koriste i gvozdeni opiljci. Komadići gvožđa se u magnetskom polju namagnetišu i postaju male magnetske igle. U praksi se radi tako da se ispitivani provodnik sa strujom provlači kroz horizontalnu staklenu ploču (ili list kartona) po kojoj su prosuti gvozdeni opiljci. Ako ovlaš zatresemo ploču, opiljci će obrazovati figure koje približno ukazuju na linije sile ispitivanog polja. Gustina linija sile mera je intenziteta polja u toj oblasti.

Sl. 11 Linije sile kružne strujne konture (levo) i solenoida (desno)

Na Sl. 11 vide se u opitu formirane linije sile polja kružnog provodnika i solenoida. U sredini solenoida linije sile su prave paralelne linije; jačina je jednaka u svim tačkama — u srednjem delu solenoida polje je homogeno. Na krajevima solenoida polje postaje nehomogeno, linije se razilaze.

Magnetsko polje je solenoidno

Linije sile magnetskog polja su neprekidne: nemaju ni početka ni kraja. To važi za proizvoljno magnetsko polje, izazvano proizvoljnim strujama.

Vektorsko polje koje ima neprekidne linije vektora zove se solenoidno polje. Vidimo da je magnetsko polje solenoidno polje. U tome je suštinska razlika između magnetskog i elektrostatičkog polja.

U elektrostatičkom polju linije sile su uvek prekinute: počinju i završavaju se na naelektrisanjima. Magnetske linije sile nemaju ni početka ni kraja. U Prirodi ne postoje magnetska naelektrisanja; koliko znamo, ne postoje elementarne čestice za koje je vezan hipotetički kvant magnetizma (po analogiji sa elektronom, koji nosi kvant negativnog elektriciteta). Nema magnetskih naelektrisanja, pa ne postoji ni magnetska struja (kretanje roja magnetskih čestica).

Magnetski napon

Definišimo magnetski napon duž neke linije L u datom magnetskom polju:

$$U_{\text{M}}=\int_{L} H_{\text{s}}ds. \tag{17}$$

gde je ds elemenat dužine konture L, a $H_{\text{s}}$ projekcija jačine magnetskog polja na pravac ds. Za razliku od električnog napona u polju nepokretnih naelektrisanja, magnetski napon zavisi od oblika konture L i ne određuje se jedino položajem tačaka početka i kraja konture. Dakle, ne postoji jednoznačna razlika potencijala u magnetskom polju. Magnetski napon po zatvorenoj konturi, uopšte govoreći, nije jednak nuli.

Sl. 12 Uz proračun magnetskog napona

Razmotrimo, od čega zavisi magnetski napon. Najprostije se to može učiniti na primeru polja pravolinijskog, dugačkog provodnika. Posmatrajmo stoga Sl. 12. Pretpostavimo da je kontura integracije L deo kruga između tačaka l i 2, te se podudara sa jednom linijom sile. U svim tačkama linije jačina polja je jednaka i važi $H_{\text{s}}=H=i/2\pi r$. Zbog toga pišemo

$$U_{\text{M}}=\frac{i}{2\pi r}s, \tag{18}$$

gde je s dužina kružnog luka između tačaka l i 2. Znamo da je $r/s$ ugao $\phi$ kojeg čine radijus-vektori povučeni do početka (1) i kraja (2) konture. Dakle:

$$U_{\text{M}}=\int H_{s}ds=\frac{i\varphi }{2\pi }. \tag{19}$$

Razmotrimo sada proizvoljnu putanju L u ravni normalnoj na pravac struje. Magnetski napon duž elementa ds te konture je

$$dU_{\text{M}}=H_{\text{s}}ds=H\cos \alpha \;ds=\frac{i}{2\pi r}\cos \alpha \;ds, \tag{20}$$

gde je $\alpha$ ugao između $\mathop{H}\limits^{\to }$ i $d\,\mathop{s}\limits^{\to }$. Ali vidimo da je $ds\cos \alpha /r=d\varphi$. Opet dobijamo formulu (19). Magnetski napon duž proizvoljne konture takav je kao i za projekciju te konture na ravan koja je normalna na pravac struje (dokaz ove tvrdnje nije težak i izostavićemo ga).

Sl. 13 Konture koje obuhvataju (prva i treća) i koje ne obuhvataju struju (druga)

Koliki je magnetski napon duž zatvorene linije, koja obuhvata provodnik sa strujom (Sl. 13, prvi slučaj). Tu je $\phi =2\pi$, pa imamo

. (21)

Pozitivni smer obilaska konture podudara se sa smerom obrtanja desnog zavrtnja koji se pomera u smeru struje. Pretpostavljamo da struja teče od čitaoca ka crtežu, zato konturu treba obilaziti u smeru kretanja kazaljke na satu.

Šta daje cirkulacija po zatvorenoj liniji sa Sl. 13 (u sredini)? Obilazimo takvu konturu od tačke 1 po smeru kretanja kazaljke na satu. Radijus-vektor je redom $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ (ugao $\phi$ se povećava). Već od tačke 2, sukcesivni položaji radijus vektora će biti $r_{3}$, $r_{4}$, $r_{5}$ itd. i ugao $\phi$ će se smanjivati; kada se vratimo u tačku l, ugao $\phi$ jednak je nuli. Zato je magnetski napon za proizvoljnu konturu koja ne obuhvata struju jednak nuli.

U slučaju da zatvorena kontura obuhvata ne jednom nego n puta datu struju, magnetski napon će biti n puta veći.

Formula (21) izražava najvažnije svojstvo magnetskog polja. Može se pokazati da ona važi ne samo za polje pravolinijskog provodnika nego i za proizvoljno u vremenu postojano magnetsko polje, izazvano ma kakvom raspodelom struja. Formulišimo teoremu ovim rečima:

Magnetski napon se meri u amperima.

Razmotrena teorema dozvoljava da u mnogim slučajevima prosto izračunamo jačinu magnetskog polja. Pogledajmo neke važne primere.

Torusni kalem

Izračunajmo jačinu polja u zatvorenom torusnom namotaju (kalemu) sa slike 14. Odmah možemo reći da je jačina H ista u svim tačkama kruga čiji je centar u centru torusa.

Sl. 14 Torusni namotaj

Zato je magnetski napon po tom krugu jednak $U_{\text{M}}=H\cdot 2\pi r$.

Posmatrani krug obuhvata struje svih navoja kalema. Ako je ukupan broj navoja kalema N, a jačina struje jednaka i, onda krug obuhvata struju jačine Ni. Zato je po teoremi o magnetskom naponu $H\cdot 2\pi r=Ni$, odakle je

$$H=\frac{Ni}{2\pi r}. \tag{22}$$

Polje u torusu nije sasvim homogeno. Jačina je najveća na unutrašnjoj strani kalema, $H_{1}={Ni}/{2\pi r_{1}}$, a najmanja na spoljašnjoj strani: $H_{2}={Ni}/{2\pi r_{2}}$.

Solenoid

Povećavajmo srednji radijus torusa $r$. Veličina $\left(r_{2}-r_{1}\right)/r_{2}$ je sve manja, teži nuli; polje se homogenizuje. Proizvoljni deo torusa sve više liči na prav kalem, ili solenoid. Jačina polja u solenoidu, dakle, može da se nađe iz formule (22). Prvo definišimo gustinu namotaja: $N/2\pi r=n$. Tada je

$$H=ni. \tag{23}$$

Jačina magnetskog polja u dovoljno dugačkom solenoidu jednaka je proizvodu iz jačine struje i gustine namotaja (broja navoja po jedinici dužine kalema). Gustina namotaja se često zove i broj amper-navoja po metru.

Solenoid se često upotrebljava u tehničkim uređajima i laboratorijskoj praksi, pošto daje homogeno magnetsko polje, i to poznate jačine i pristupačno za opite.

Dugački debeli pravolinijski provodnik

Izračunajmo jačinu polja u nekoj tački u provodniku na rastojanju $r$ od ose provodnika. Zatvorena putanja cirkulacije će biti krug koji prolazi kroz tu tačku, a centar mu je na osi provodnika (Sl. 15, crveni krug). Tada po teoremi o magnetskom naponu dobijamo $2\pi rH=\pi r^{2}j$, gde je $j$ gustina struje koja je konstantna u svim tačkama provodnika. Odavde dobijamo

$$H=\frac{1}{2}jr=\frac{i}{2\pi a^{2}}r. \tag{24}$$

Ovde je $i$ ukupna jačina struje kroz celi presek provodnika, a je radijus provodnika.

Sl. 15 Magnetsko polje pravog debelog strujnog provodnika

Jačina polja povećava se u provodniku sa rastojanjem od ose po linearnom zakonu. U spoljašnjem prostoru opada po hiperboličnom zakonu.

Elementarna strujna kontura

Česte su u praksi male strujne konture. Zovemo ih elementarne konture. Od čega zavisi magnetsko polje elementarne strujne konture? Izostavićemo detalje računa (koji studenti rade na časovima vežbanja) i dati rezultat:

$$H=\frac{iS}{2\pi \rho ^{3}}. \tag{25}$$

Ovde je $S=\pi R^{2}$ površina strujne konture. Pošto je $\rho \gg R$ (elementarna

Sl. 124 Magnetsko polje kružnog strujnog navoja (konture)

kontura), možemo staviti $\rho \simeq r$. Tada je:

$$H=\frac{p_{\text{m}}}{2\pi r^{3}}. \tag{26}$$

Ovde smo skraćeno napisali $p_{\text{m}}=iS$; time smo uveli magnetski moment struje. Jedinica za magnetski moment struje je $\text{Am}^{2}$.

Sl. 16 Magnetski moment struje

Magnetski moment struje je vektor. Uzimamo da njegov pravac odgovara normali na ravni zavoja (Sl. 16). Ako je $\vec{n}$ jedinični vektor normale, magnetski moment struje je jednak

$$\vec{p}_{m}=iS\vec{n}. \tag{27}$$

(Pozitivni smer normale usvaja se u skladu sa pozitivnim smerom struje, po pravilu desnog zavrtnja.) Gore smo se ograničili posebnim slučajem kružne struje i smatrali smo da tačka posmatranja leži na osi konture. Međutim, pojam magnetskog momenta struje ima opštije značenje; o tome ovde nećemo dalje govoriti.

Interakcija paralelnih provodnika

Posmatramo na Sl. 17 dva beskonačno dugačka paralelna tanka strujna provodnika l i 2; izračunaćemo silu kojom provodnik 1 deluje na parče $\ell$ provodnika 2.

Sl. 17 Interakcija dva paralelna strujna provodnika

Magnetska indukcija koju daje provodnik l na mestu gde se nalazi provodnik 2 iznosi $B_{1}=\frac{\mu _{0}i_{1}}{2\pi R}$. Indukcija je normalna na provodnik 2, zato je $\sin \left(\vec{\ell},\vec{B}\right)=1$. Sila je jednaka

$$F=\mu _{0}\frac{i_{1}i_{2}}{2\pi R}\ell. \tag{28}$$

Ako bismo izračunali indukciju $B_{2}$ koju daje struja 2, a zatim našli silu koja deluje na provodnik l, dobili bismo tu istu formulu. Zadovoljen je zakon akcije i reakcije. Vidimo još: paralelne struje se privlače, antiparalelne se odbijaju, kako je ustanovio još Amper u svojim opitima.

Definicija ampera

Četvrta osnovna jedinica SI sistema je amper. Ova se jedinica određuje magnetskom interakcijom struja. Zapravo, koristi se zakon interakcije dve paralelne struje (28).

Iz formule (28) i definicije ampera sledi: $2\cdot 10^{-7}=\mu _{0}\cdot 1\cdot 1/2\pi \cdot 1\cdot 1$, odakle je $\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$, u SI sistemu jedinica.

Mehanički rad u magnetskom polju

Pošto na strujni provodnik deluje magnetska sila, pri kretanju u magnetskom polju provodnika kroz koji teče struja sila vrši određeni rad. Pretpostavimo da se prav provodnik dužine $\ell$, koji ulazi u sastav strujnog kola, premešta paralelno samom sebi za dužinu $dx$ iz položaja l u položaj 2, kao na Sl. 18. Smatraćemo da je pravac magnetske indukcije normalan na $\ell$ i $dx$. Na provodnik deluje sila $F=i\ell B$ i zato je mehanički rad $\delta A$ dat formulom $\delta A=i\ell Bdx=iBdS$, gde je dS površina koju prebriše strujni provodnik pri kretanju (šrafirana površina). Ako je konstantna indukcija $\vec{B}$ nekako drugačije usmerena, nju je uvek moguće razložiti na komponentu $\vec{B}_{\text{n}}$, koja je normalna na dS i komponentu $\vec{B}_{\text{t}}$, koja je paralelna sa dS. Pošto je sila $\vec{F}$ uvek normalna na $\vec{B}$, uticaj komponente $\vec{B}_{\text{t}}$ može se zanemariti (ona izaziva silu koja je normalna na $dx$, pa će rad te sile izostati, jer su fiksni provodnici kruti po pretpostavci). Zato je

$$\delta A=iB_{\text{n}}dS. \tag{29}$$

Sl. 18 Translacija provodnika i mehanički rad

Formula važi i za proizvoljno premeštanja provodnika (kad postoji i rotacija); taj dokaz ćemo izostaviti. Sada nam treba jedan važan pojam:

Magnetski fluks

Posmatrajmo prvo ravnu površ S (Sl. 19) koja se nalazi u homogenom magnetskom polju indukcije $\vec{B}$. Magnetski fluks kroz površ S je po definiciji

$$\phi =BS\cos \alpha =B_{\text{n}}S. \tag{30}$$

Ovde je $\alpha$ ugao između indukcije $\vec{B}$ i normale $\vec{n}$ na površinu;

Sl. 19 Uz definiciju magnetskog fluksa

$\vec{B}_{\text{n}}$ je projekcija vektora $\vec{B}$ na normalu $\vec{n}$. Magnetski fluks je skalarna fizička veličina. Primetimo da je proizvod $B_{\text{n}}S$ jednak ukupnom broju linija magnetske indukcije koje prolaze kroz datu površinu.

Magnetski fluks se ne karakteriše samo intenzitetom nego i znakom, koji zavisi od znaka $\cos \alpha$. Taj znak zavisi od izbora pozitivnog smera normale $\vec{n}$. U elektromagnetskim pojavama po pravilu posmatramo magnetski fluks u vezi sa strujom koja teče u konturi koja ograničava datu površinu. Zato je prirodno izabrati pozitivni smer normale u skladu sa smerom struje. Uvek ćemo smatrati da se pozitivni smer normale na površinu poklapa sa pravcem napredovanja desnog zavrtnja kojeg obrćemo u smeru struje. Otuda, posebno, sledi da je za proizvoljnu strujnu konturu, magnetski fluks kroz površinu upravo te konture, uvek pozitivan.

Ako je magnetsko polje nehomogeno, a razmatrana površ nije ravna, površ u mislima raščlanjujemo na beskonačno male elemente dS. Možemo smatrati da je svaki element površi ravan, a proizvoljno polje na tom elementu — homogeno. Zato je magnetski fluks kroz element površine $d\phi =B_{\text{n}}dS$ a ukupni fluks kroz celu površ $S$

$$\phi =\int_{S} B_{\text{n}}dS. \tag{31}$$

Magnetski fluks se meri u veberima ($\text{W}_{\text{b}}$). Veber je proizvod tesle i kvadratnog metra.

Koristeći pojam magnetskog fluksa, možemo (29) dovesti na sledeći oblik

$$\delta \text{А}=id\varphi. \tag{32}$$

Ovde je $\delta \text{А}$ rad koji vrše sile polja, a $d\varphi$ priraštaj magnetskog fluksa kroz površinu koju ograničava strujna kontura.

Ako je provodnik prešao konačnu putanju $\Delta x$, izvršeni rad je

$$A=i\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right), \tag{33}$$

gde је $\varphi _{2}$ magnetski fluks kroz konturu na kraju premeštanja a $\varphi _{1}$ fluks u početnom položaju; pri tom smatramo da je jačina struje u konturi pri premeštanju provodnika konstantna.

Strujna kontura u magnetskom polju

Nađimo sada mehaničke sile koje deluju na ravnu strujnu konturu u spoljašnjem homogenom magnetskom polju. Pretpostavimo da kontura ima oblik pravougaonog rama, Sl. 20, mada to nije bitno.

Sl. 20 Pravougaoni strujni ram u magnetskom polju

Sile koje deluju na stranice a normalne su na te stranice i na magnetsku indukciju B (šema levo) i zato jedino teže da deformišu navoj (sabiju ili rastegnu); to ćemo zanemariti — kontura je po pretpostavci kruta. No sile F koje deluju na stranice b teže da okrenu konturu tako da njegova ravan bude normalna na $\vec{B}$ (šema desno). Dakle, na ram deluje spreg sila nekim momentom $\vec{M}$. To važi, očevidno, ne samo za pravougaoni ram nego i za ravnu konturu proizvoljne forme.

Zamislimo da se kontura okrene pod dejstvom sila polja za beskonačno mali ugao $d\alpha$. Smatraćemo da je jačina struje u nedeformabilnoj konturi konstantna pa je, dakle, magnetski moment konture $p_{m}=iS$ konstantan. Tada će mehanički rad sila polja biti $\delta A=M\,d\alpha$. Zajedno s tim, magnetski fluks kroz konturu će biti $\varphi =SB\cos \alpha$, a kada se ugao $\alpha$ smanji za $d\alpha$ promena fluksa iznosi $\varphi =SB\sin \alpha$. Zato je $M\,d\alpha =i\,SB\sin \alpha \,d\alpha$, odakle sledi

$$M=p_{\text{m}}B\sin \alpha. \tag{34}$$

Dobijeni rezultat može se izraziti u vektorski. Tako se u jednoj formuli daje informacija o intenzitetu, pravcu i smeru momenta sprega:

$$\vec{M}=\vec{p}_{\text{m}}\times \vec{B}. \tag{35}$$

Za razumevanje ove formule potrebno nam je znanje o vektorskom proizvodu dva vektora.

Elementarna strujna kontura u nehomogenom polju

Razmotrimo sada mali strujni navoj, Sl. 21, u nehomogenom magnetskom polju. Pretpostavimo da su linije indukcije osno-simetrične u odnosu na normalu konture i da se zgušnjavaju s leva na desno. Sile $d\vec{F}$ koje deluju na pojedine delove navoja grade oštre uglove prema ravni konture. Dejstvo tangencijalnih komponenti $d\vec{F}_{\text{t}}$ možemo zanemariti. Ali komponente $d\vec{F}_{\text{n}}$ koje su kolinearne sa normalom sabiraju se i daju određenu silu $\vec{F}$ koja, očigledno, teži da translira konturu.

Sl. 21 Mala strujna kontura u nehomogenom polju

Ako su vektori $\vec{p}_{\text{m}}$ i $\vec{B}$ paralelni (kao na slici), kontura se premešta u oblast jačeg polja (sleva nadesno). Ako je $\vec{p}_{\text{m}}$ antiparalelan indukciji, kontura se premešta u oblast slabijeg polja. Intenzitet sile dajemo ovde bez izvođenja:

$$F=p_{\text{m}}\frac{\partial B_{\text{n}}}{\partial x}. \tag{36}$$

Sila translacije male strujne konture u ovom specijalnom slučaju nehomogenog magnetskog polja proporcionalna je promeni magnetske indukcije duž horizontalne ose.

Opšti izraz za silu pri proizvoljnoj orijentaciji male strujne konture, u bilo kojem magnetskom polju, komplikovan je; izvođenje izlazi iz okvira ovog kursa.

Magnetsko polje pokretnog naelektrisanja

Strujni element dužine $\ell$, sa strujom i, po Laplasovom zakonu daje na rastojanju $r$, u pravcu $\theta$, jačinu polja $H=\left(1/4\pi r^{2}\right)i\ell \sin \theta$. Jačinu struje možemo izraziti pomoću gustine struje $j$ i preseka provodnika S (naime, $i=jS$), a gustinu struje preko koncentracije naelektrisanih čestica n i njihove brzine $v$ ($j=nev$, gde je e naelektrisanje čestica). To daje $i\ell =jS\ell =nevS\ell =Nev$, gde je N ukupan broj čestica u posmatranom delu provodnika. Za jačinu polja, dakle, nalazimo $\left(1/4\pi r^{2}\right)Nev\sin \theta$.

Sl. 22 Magnetsko polje pokretnog naelektrisanja

Odavde proizilazi da je jačina polja koja potiče od jednog naelektrisanja

$$H=\frac{1}{4\pi }\frac{ev\sin \theta }{r^{2}}. \tag{37}$$

Pravac ovog polja normalan je na brzinu $\vec{v}$ čestice i na radijus-vektor $\vec{r}$ koji je povučen od naelektrisanja do posmatrane tačke; polje se potčinjava, kao i inače, pravilu desnog zavrtnja (videti Sl. 22).

Vektorski se može napisati, u opštem slučaju

$$\vec{H}=\frac{1}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \vec{r}}{r^{3}}. \tag{38}$$

Ova formula izražava jačinu magnetskog polja oko naelektrisanja $q$ koje se kreće brzinom $\vec{v}$. Pokretnom naelektrisanju možemo pripisati strujni element u vektorskom smislu

$$i\vec{\ell}=q\vec{v}. \tag{39}$$

Brzina $\vec{v}$ koja ulazi u gornje formule jeste relativna brzina, tj. brzina u odnosu na posmatrača (i njegovu aparaturu) koji meri magnetsko polje.

Lorencova sila

Na neko naelektrisanje $e$ koje se kreće kroz spoljašnje magnetsko polje deluje magnetska sila (jer je pokretno naelektrisanje struja). Nađimo tu silu. Setimo se da na provodnik dužine $\ell$ sa strujom i u magnetskom polju deluje sila $i\ell B\sin \left(\vec{\ell}\,,\,\vec{B}\right)$, gde je $\vec{B}$ magnetska indukcija. Gore smo izveli izraz $i\ell =Nev$, gde je N ukupan broj pokretnih naelektrisanih čestica u provodniku

Sl. 23 Sile koja deluje na pokretno naelektrisanje u magnetskom polju

Smer vektora $\vec{\ell}$ poklapa se sa smerom brzine $\vec{v}$ kretanja pozitivnih čestica (sa smerom struje); zato je intenzitet sile $NevB\sin \left(\vec{\ell}\,,\,\vec{B}\right)$. Vidimo: sila koja deluje na provodnik proporcionalna je ukupnom broju pokretnih čestica. Stoga, sila koja deluje na jednu česticu iznosi

$$F=evB\sin \left(\vec{\ell}\,,\,\vec{B}\right). \tag{40}$$

Pravac sile normalan je na brzinu $\vec{v}$ i magnetsku indukciju $\vec{B}$ i za nju važi pravilo desnog zavrtnja (videti Sl. 23). Vektorska formula je, dakle,

$$\vec{F}=e\vec{v}\times \vec{B}. \tag{41}$$

Ako još postoji i električno polje, ukupna elektromagnetska sila na naelektrisanje $e$ u pokretu je jednaka

. (42)

Ovo je znamenita Lorencova sila. Formula je univerzalna: važi i za konstantna i za promenljiva električna i magnetska polja, primenljiva je i za relativističke brzine kretanja naelektrisanih čestica.