Elektromotorna sila

Strujni izvor

Lako je videti da kondenzator ne može davati konstantnu struju. Ta pojava je opšta, za bilo koje elektrostatičko polje: takvo polje uvek premešta naelektrisanja tako da se razlika potencijala smanjuje, pa proces nije stacionaran.

Da bi se dobila konstantna struja, na naelektrisanja u električnom kolu moraju delovati neke sile koje se razlikuju od sila elektrostatičkog polja. Takve sile dobile su opšti naziv strane sile. Svaki uređaj u kojem se pojavljuju strane sile zove se strujni izvor. Strujni izvori su, na primer, galvanski elementi.

Ako upotrebimo hidrostatičku analogiju, sile elektrostatičkog polja možemo uporediti sa silom teže koja izjednačava nivoe tečnosti u spojenim sudovima; a strujni izvor možemo uporediti sa pumpom koja radi protiv sile teže i koja uspostavlja razliku nivoa u sudovima, bez obzira na tok tečnosti.

Rad električne struje

Električna struja vrši u svakom delu kola određeni rad. Posmatrajmo proizvoljni deo kola (Sl. 1) kada između krajeva deluje napon U

Sl. 1 Uz izračunavanje rada električne struje

.Po definiciji električnog napona, rad koji se obavlja premeštanjem jediničnog naelektrisanja između tačaka a i b iznosi U. Ako je jačina struje u delu kola jednaka i, za vreme t proteče naelektrisanje $it$, zato je rad električne struje na tom delu

$$A=Uit. \tag{1}$$

Taj izraz važi za konstantnu struju u svakom slučaju, za proizvoljni deo kola koji može sadržati provodnike prve i druge vrste, elektromotore itd. Snaga struje, tj. rad u jedinici vremena, iznosi

$$P=\frac{A}{t}=Ui. \tag{2}$$

Volt je jedinica za napon; volt je vat kroz amper, $\text{V}=\text{W}/\text{A}$.

Pretpostavimo da je deo kola nepokretni provodnik prve vrste. Tada se celi rad struje pretvara u toplotu koja se oslobađa u provodniku. Ako je provodnik homogen i potčinjava se Omovom zakonu (tu spadaju svi metali i elektroliti), onda je $U=ir$, gde je $r$ otpornost provodnika. U tom slučaju je

$$A=ri^{2}t. \tag{3}$$

Taj zakon prvi je eksperimentalno ustanovio Lenc, a nezavisno od njega Džul.

Zagrevanje provodnika strujom ima mnogobrojne tehničke primene. Navedimo primer sijalice sa grejanim vlaknom, koja je imala ogromni značaj u prošlosti, i još uvek se upotrebljava.

Hemijski izvor struje

Kada neki galvanski element daje struju u kolu, u elementu se odvijaju hemijske reakcije. U većini elemenata osnovna reakcija je sjedinjavanje cinkane elektrode, koja je katoda elementa, sa elektrolitom; zato se za vreme rada elementa troši metalni cink, a u rastvoru se pojavljuju nove supstancije — produkti reakcija. U najprostijem Voltinom elementu reakcija izgleda ovako:

$$\text{Zn}+\text{H}_{2}\text{SO}_{4}=\text{ZnSO}_{4}+\text{H}_{2}. \tag{4}$$

Opit pokazuje da se pri svakoj hemijskoj reakciji ili troši ili oslobađa određena količina energije. Dalje ćemo smatrati da hemijska reakcija teče pri stalnom spoljašnjem pritisku. Pri tome se oslobađa količina toplote $Q_{\text{x}}$:

$$Q_{\text{x}}=pm, \tag{5}$$

gde je m količina supstancije u reakciji. Veličina $p$ određuje toplotni efekat u reakciji i pokazuje kolika se količina toplote oslobađa stupanjem u datu reakciju jedinice mase posmatrane supstancije. Ako se u reakciji oslobađa toplota, $p$ je pozitivno, ako se troši toplota, $p$ je negativno. Tako, na primer, u pokazanoj reakciji formiranja cink-sulfata, pri interakciji jednog grama cinka sa sumpornom kiselinom izdvaja se 6900 J i zato je toplotni efekat date reakcije, izračunat za cink, $p=6,9\cdot 10^{6}$ J/kg.

Energija hemijskih reakcija i jeste ta energija koju poseduje galvanski element. Njena mera je toplotni efekt reakcije.

Elektromotorna sila

Posmatrajmo sada neki galvanski element koji je zatvoren provodnikom otpornosti R (Sl. 2). Smatraćemo da nema nikakvih hemijskih reakcija u elementu ako nema struje. To nije tačno za neke kombinacije metala sa elektrolitima. Tako, na primer, u Voltinom elementu cink se rastvara u sumpornoj kiselini i kada je kolo prekinuto, premda u manjem stepenu. Ako je, međutim, cink pokriven slojem amalgama cinka posle njegove obrade sa živom, a elektrolit je cink-hlorid $\text{ZnCl}_{2}$, cinkana elektroda bez struje vrlo se malo troši

Sl. 2 Električno kolo sa galvanskim elementom

i naša će pretpostavka biti bliska stvarnom stanju. Kad teče struja, u elektrolit prelazi masa elektrode

$$m=Kq, \tag{6}$$

gde je K elektrohemijski ekvivalent metala elektrode, a $q$ je ukupno naelektrisanje koje je prošlo kroz element. Zato, energija koja se oslobađa u hemijskim reakcijama na obe elektrode iznosi

$$Q_{\text{x}}=\left(p_{1}K_{1}+p_{2}K_{2}\right)q. \tag{7}$$

Ako se element nalazi u zatvorenom kolu, struja će još vršiti rad koji se pretvara u toplotu (Džulov zakon). Pri tome moramo uzeti u obzir da se naelektrisanja nigde ne nagomilavaju u kolu, a to znači da struja postoji ne samo u spoljašnjem delu kola nego i u elementu. Galvanski element predstavlja za struju određenu otpornost koja se naziva unutrašnja otpornost; ona je zbir otpornosti elektrolita i elektroda. Dalje, smatraćemo da se element nalazi na konstantnoj temperaturi i da daje malu struju (strogo govoreći — beskonačno malu). U tom slučaju se neće pojaviti primetna razlika koncentracije u elektrolitu, primetna razlika temperature, stanje elementa u nekom momentu vremena samo beskonačno malo će se razlikovati od ravnotežnog stanja bez struje. Takav režim rada elementa često se naziva kvazistatičkim. Međutim, ako se ne menja temperatura elementa, kada struja teče element će predavati okolnoj sredini (ili, obratno, uzimati od nje) neku količinu toplote $Q_{\text{T}}$ koja je neophodna za održavanje konstantne temperature.

Primenimo sada na razmatrano zatvoreno kolo prvi princip termodinamike (opšti zakon održanja energije):

$$Q_{\text{x}}=A+Q_{\text{T}}, \tag{8}$$

gde je A rad struje.

Vidimo da se čak ni u idealnom kvazistatičkom režimu ne pretvara u rad struje sva hemijska energija reakcija, nego samo razlika

$$A=Q_{\text{x}}-Q_{\text{T}}. \tag{9}$$

Ako bi element davao realnu struju, u elementu bi tekli i neki dodatni procesi koji su uslovljeni pojavom razlike koncentracija i temperatura, te bi korisni rad struje bio još i manji.

Veličina A u kvazistatičkom procesu naziva se maksimalni rad hemijske reakcije. Maksimalni rad na datoj temperaturi predstavlja određeni deo energije $Q_{\text{x}}$ i, slično kao i $Q_{\text{x}}$, proporcionalan je količini elektriciteta koja je prošla kolom. Zato je moguće staviti

$$A=\mathscr{E}q, \tag{10}$$

gde je $\mathscr{E}$ maksimalni rad date hemijske reakcije (ili reakcija) računat po jedinici naelektrisanja.

Veličina $\mathscr{E}$ je dobila naziv elektromotorna sila galvanskog elementa.

Izjednačavajući A sa ukupnim radom (u spoljašnjem kolu i u izvoru), imamo

$$\mathscr{E}q=Ri^{2}t+ri^{2}t, \tag{11}$$

gde je $r$ unutrašnja otpornost elementa. Podelimo jednakost količinom elektriciteta $q=it$; dobijamo potom

$$i=\frac{\mathscr{E}}{r+R}. \tag{12}$$

Ovaj zakon zovemo Omov zakon za prosto strujno kolo. Zbir $R+r$ nazivamo ukupna otpornost kola. Za svaki galvanski element moguće je uvesti karakterističnu veličinu — elektromotornu silu — na taj način da njeno deljenje sa ukupnom otpornošću pokaže jačinu struje u kolu.

Dimenzija veličine $\mathscr{E}$ podudara se sa dimenzijom napona; e.m.s. se dakle izražava u istim jedinicama kao i napon (a to je volt).

Iznos maksimalnog rada A, kao i energija hemijskih reakcija $Q_{\text{x}}$, pri zadatoj količini proteklog naelektrisanja zavisi jedino od prirode elektroda i elektrolita. Zato i e.m.s. galvanskog elementa zavisi jedino od vrste supstancije koja ulazi u njegov sastav, a ne zavisi od razmera elementa. Ali, unutrašnja otpornost elementa, kao i svakog provodnika, zavisi od razmera i oblika.

Potrebno je zapamtiti ovu logiku generalizacije elektromotorne sile. Ovako stižemo do suštine pojma elektromotorne sile i prevazilazimo manje bitne osobenosti nekog konkretnog izvora struje. O ovome ćemo kasnije još govoriti, strožije i sa više matematike

Napon izvora struje

Posmatrajmo kolo koje sadrži strujni izvor, promenljivu spoljašnju otpornost R i ampermetar A (Sl. 3) i pretpostavimo da merimo napon na krajevima izvora voltmetrom V. Otpornost voltmetra neka je dovoljno velika da uključenje voltmetra praktično ne remeti napon između tačaka l i 2.

Sl. 3 Merenje napona na krajevima izvora koji radi

Nalazimo da napon kojeg pokazuje voltmetar zavisi od jačine struje u kolu. On je najveći u otvorenom kolu ($i=0$) i teži nuli pri smanjenju do nule spoljašnje otpornosti R (uključujući i otpornost ampermetra). Napon na krajevima izvora u toku rada promenljiva je veličina, zavisi od naelektrisanja izvora. To objašnjava Omov zakon. Primenjujući na spoljašnje kolo 2R1 (koje ne sadrži e.m.s.) Omov zakon, dobijamo

$$U_{21}=Ri. \tag{13}$$

Jačina struje u kolu izražava se Omovim zakonom za prosto kolo, pa je

$$U_{21}=R\frac{\mathscr{E}}{R+r}=\mathscr{E}\left(1-\frac{r}{R+r}\right)=\mathscr{E}-ri. \tag{14}$$

Vidimo da je napon na krajevima izvora manji od e.m.s. za veličinu ri, a to je pad napona u samom izvoru.

Ako je $R\gg r$ (kolo u prekidu), tada je $U=\mathscr{E}$: elektromotorna sila jednaka je naponu na krajevima izvora. (To dopušta da se veoma prosto odredi e.m.s. nekog izvora.)

Ako je spoljašnja otpornost mnogo manja od unutrašnje, $R\ll r$, onda je $U\ll \mathscr{E}$. Ako $R\to 0$, tada $U\to 0$. Slučaj $R\ll r$ zovemo kratak spoj izvora. Tada je jačina struje maksimalna:

$$i_{\max }=\frac{\mathscr{E}}{r} \tag{15}$$

(struja kratkog spoja).

Vidimo da se kvalitet strujnog izvora određuje ne samo e.m.s. nego i unutrašnjom otpornošću.

Formula (14) povezuje napon na delu kola sa jačinom struje u njemu i zato može biti nazvana Omov zakon za deo kola sa e.m.s. (Sl. 4). Tu formulu ćemo ubuduće pisati ovako:

$$U_{12}=r\,i-\mathscr{E}. \tag{16}$$

Ovde je $r$ ukupna otpornost dela kola (otpornost izvora i provodnika). Pri korišćenju formule neophodno je poštovati sledeće pravilo za znake:

Sl. 4 Deo kola sa e.m.s.

struja se smatra pozitivnom ako je usmerena od tačke l ka tački 2; e.m.s. smatra se pozitivnom ako premeštanjem od tačke l ka tački 2 prolazimo izvor od negativnog ka pozitivnom polu. (Ne zaboravimo: u oznaci elektromotorne sile, duža i tanja duž označava plus pol izvora struje — mi smo tu duž obojili crveno.)

Ako zapamtimo praktično važnu formulu (16), kasnije će nam biti lako da savladamo Kirhofova pravila, na primer. Treba vežbati izračunavanje napona između tačaka 1 i 2 za razne smerove struje i razne polaritete elektromotorne sile!

Opšta definicija elektromotorne sile

Pojam elektromotorne sile, koji smo gore uveli na primeru galvanskih elemenata, možemo tako uopštiti da on važi za svaki strujni izvor. Posmatrajmo proizvoljni strujni izvor koji napaja strujom spoljašnje kolo koje se sastoji iz nepokretnih provodnika prve vrste. Napišimo izraz za jačinu struje u kolu, kako smo to već činili:

$$i=\frac{\mathscr{E}}{R+r}. \tag{17}$$

(Omov zakon za zatvoreno kolo.) Objasnimo kakav fizički smisao ima $\mathscr{E}$ u opštem slučaju. Pomnožimo obe strane ove relacije sa $it=q$ gde je t vreme proticanja struje, a $q$ ukupno naelektrisanje koje je proteklo u kolu. Tada je

$$i^{2}Rt+i^{2}rt=\mathscr{E}it=\mathscr{E}q. \tag{18}$$

Na levoj strani stoji ukupni rad koji struja vrši u celom kolu, tj. rad izvora. Označimo ga sa A

$$A=\mathscr{E}\,i\,t=\mathscr{E}q. \tag{19}$$

Dakle, rad nekog strujnog izvora jednak je proizvodu e.m.s. i količine ukupnog elektriciteta koje je proteklo u kolu. Elektromotorna sila koja deluje u nekom kolu meri se radom koji se obavlja premeštanjem jediničnog naelektrisanja duž kola.

U svakom strujnom kolu na naelektrisanja obavezno deluju neke sile (strane sile) koje se razlikuju od sila elektrostatičkog polja. Rad koji se vrši u kolu sa e.m.s. i jeste rad stranih sila, zato e.m.s. možemo izraziti preko tih sila. Uvedimo novu veličinu koju ćemo zvati jačina polja stranih sila. Definisaćemo je kao silu koja deluje na jedinično naelektrisanje a izazvana je proizvoljnim uzrokom, isključujući elektrostatičko polje. Tada će ukupna jačina polja koja deluje na naelektrisanje biti

$$\vec{E}_{\text{t}}=\vec{E}+\vec{E}^{*}, \tag{20}$$

gde je $\vec{E}$ jačina elektrostatičkog polja a $\vec{E}^{*}$ jačina polja stranih sila.

Sl. 5 Uz opštu definiciju e.m.s.

Razmotrimo sada zatvoreno kolo $\ell$ (Sl. 5) sa e.m.s. koja deluje lokalizovano na deli $\ell _{1}$ i pretpostavimo da naelektrisanje $q_{1}=+1$ obilazi to kolo. Izvršeni rad iznosi tada

$$\int_{\ell } \left(E_{\ell }+E_{\ell }^{*}\right)d\ell, \tag{21}$$

gde indeks $\ell$ označava projekciju odgovarajuće veličine na pravac premeštanja $d\ell$, a integraljenje se izvodi duž celog zatvorenog kola $\ell$. Napon duž zatvorene konture u elektrostatičkom polju jednak je nuli, tj.

$$\oint E_{\ell }d\ell =0. \tag{22}$$

Zato je izvršeni rad baš jednak elektromotornoj sili:

$$\mathscr{E}=\oint E_{\ell }^{*}d\ell. \tag{23}$$

Ako je $E^{*}$ različito od nule jedino u delu kola, na primer na dužini $\ell _{1}$ (Sl. 5), onda će za sve druge delove podintegralni izraz u (23) biti jednak nuli pa je integraljenje potrebno izvoditi samo duž $\ell _{1}$.

Formula (23) daje najopštiju definiciju e.m.s. i pogodna je za bilo koje slučajeve. Ako je poznato koje su to upravo sile koje izazivaju kretanje naelektrisanja u datom izvoru, uvek je moguće naći jačinu polja stranih sila $E^{*}$ i onda izračunati ukupnu e.m.s. izvora. Izmeriti, međutim, e.m.s. u svakom slučaju je moguće preko napona izvora u praznom hodu.

Fizička priroda elektromotornih sila u raznim izvorima veoma je različita. Tako, na primer, u galvanskim elementima to su sile molekulske interakcije, u termoelementima to su sile pritiska elektronskog gasa, kada je u pitanju elektromagnetska indukcija javljaju se sile električnog polja (koje nije elektrostatičko već indukovano). Niže ćemo razmotriti detaljnije uzroke pojave tih sila i pokazaćemo kako u pojedinim slučajevima možemo da izračunamo e.m.s. Sad odmah jedan poučan primer:

Pretpostavimo da imamo metalni disk (recimo, od bakra) radijusa a (Sl. 6), koji se vrti ugaonom brzinom $\omega$ . Disk je uključen u električno kolo pomoću klizajućih kontakata koji dodiruju osu diska i njegovu periferiju. U ovom slučaju, na svaki elektron metala deluje centrifugalna sila koja i jeste u ovom primeru ta strana sila neophodna za funkcionisanje izvora struje. Zato se u disku javlja e.m.s. pa se formira napon između ose diska i njegove periferije. Izračunajmo veličinu te e.m.s. Centrifugalna sila je jednaka

$$F=m\,r\,\omega ^{2}, \tag{24}$$

gde je $r$ rastojanje od ose diska, a $m$ masa elektrona. Ta sila deluje na elektron, česticu naelektrisanja e i zato je jačina polja strane sile

Sl. 6 Primer izračunavanja e.m.s.

$$E^{*}=\frac{F}{e}=\frac{m\,r\,\omega ^{2}}{e}. \tag{25}$$

Javlja se e.m.s. koja je jednaka

$$\mathscr{E}=\int_{0}^{a} E^{*}dr=\frac{m\omega ^{2}}{e}\oint_{0}^{a} rdr=\frac{m\omega ^{2}a^{2}}{2e}. \tag{26}$$

Stavljajući $a=0,1$ m, $\omega =10^{3}\,\text{s}^{-1}$, $m=9\,\,10^{-31}\text{kg}$ i $e=1,6\,\,10^{-19}\,\text{C}$, nalazimo iznos e.m.s.: $\mathscr{E}\approx 3\cdot 10^{-8}\,\text{V}$.

To nije puno volti, ali je primer pedagoški veoma zanimljiv.

Kirhofova pravila

Do sada smo radili sa prostim električnim kolima tipa jedne zatvorene konture. Razmotrimo sada složeniji slučaj razgranatog kola, kao što je na primer ono koje je dato na Sl. 7. Tu postoje tačke granjanja A, B, C, D, F, gde se spajaju tri i više provodnika. Između tačaka granjanja nalaze se delovi kola l, 2, …, 7 koji imaju određene otpornosti $r_{1}\,,\,\;r_{2}\,,\;\ldots ,\,\;r_{7}$ i mogu imati izvore sa e.m.s. $\mathscr{E}_{\;\;1}\,,\,\;\mathscr{E}_{\;\;2}\,,\;\ldots ,\,\;\mathscr{E}_{\;\;7}$. Nacrtana kontura može, sa svoje strane, ulaziti u sastav složenijeg kola. Smatraćemo da su zadate otpornosti grana i e.m.s. u njima. Zadatak je da se izračunaju jačine struja u svim granama kola.

Posmatrajmo neku tačku granjanja, na primer tačku F. U tu se tačku stiču tri grane (3, 4, 7) koje imaju struje $i_{3}\,,\,\;i_{4}\,,\,\;i_{7}$. Odredimo znake tim strujama: smatraćemo ih pozitivnim ako su usmerene ka tački granjanja ($i_{3}$) i negativnim ako su usmerene od tačke ($i_{4}\,,\;\,i_{7}$). Izbor znaka je proizvoljan. Algebarska suma struja $i_{3}\,-\,i_{4}\,-\,i_{7}$ jeste naelektrisanje koje u jedinici vremena pritiče u čvor F. Ako su u datom kolu struje konstantne, ta suma struja mora biti jednaka nuli, jer bi se u protivnom slučaju potencijal tog čvora menjao u vremenu, te bi se menjale i struje u kolu. To važi za svaku tačku granjanja; zato je za proizvoljnu tačku granjanja, u skladu sa jednačinom kontinuiteta

. (27)

Ova formula izražava prvo Kirhofovo pravilo: algebarska suma jačina struja u granama kola koje polaze iz neke tačke granjanja jednaka je nuli.

Sl. 7 Primer razgranatog kola

Izdvojimo sada u razgranatom kolu neku zatvorenu konturu, na primer konturu ABCFA (plava površina). Na pojedine grane te konture možemo primeniti Omov zakon za deo kola (16). Tada za razliku potencijala tačaka A i B imamo

$$U_{\text{AB}}=U_{\text{A}}-U_{\text{B}}=ir_{1}-\mathscr{E}_{\;\,1}. \tag{28}$$

Analogno imamo za druge delove:

$$\begin{aligned}U_{B}-U_{C}=i_{2}r_{2}-\mathscr{E}_{\,\;2}, \\ U_{C}-U_{F}=i_{3}r_{3}-\mathscr{E}_{\,\;3}, \\ U_{F}-U_{A}=i_{4}r_{4}-\mathscr{E}_{\;\,4}.\end{aligned} \tag{29}$$

Sabirajući član po član u tim jednakostima nalazimo da je zbir na levoj strani jednak nuli, te zato imamo

$$i_{1}r_{1}+i_{2}r_{2}+i_{3}r_{3}+i_{4}r_{4}=\mathscr{E}_{\,\;1}+\mathscr{E}_{\,\;2}+\mathscr{E}_{\,\;3}+\mathscr{E}_{\,\;4}. \tag{30}$$

Slične relacije dobijamo i za druge zatvorene konture te je, dakle,

. (31)

Napisana jednakost izražava drugo Kirhofovo pravilo. Svaki proizvod tipa $ir$ određuje razliku potencijala koja bi postojala na krajevima odgovarajuće grane kada bi u toj grani e.m.s. bila jednaka nuli, tj. taj proizvod je pad napona koji je izazvan strujom. Zato drugo Kirhofovo pravilo možemo izraziti i na sledeći način: za proizvoljnu zatvorenu konturu zbir svih padova napona jednak je zbiru svih elektromotornih sila u toj konturi.

Kirhofova pravila ne izražavaju nova svojstva električnog polja. Gore smo videli da prvo pravilo ne znači ništa drugo nego uslov stacionarnosti struja. Drugo pravilo proizilazi iz toga što je električni napon duž zatvorene konture jednak nuli, znači da je taj zakon posledica osnovnog svojstva električnog polja da je rad pri kretanju naelektrisanja zatvorenom konturom jednak nuli.

Međutim, Kirhofova pravila su veoma korisna za rešavanje zadataka sa razgranatim kolima. Primenjujući ta pravila na tačke granjanja i na razne zatvorene konture koje ulaze u sastav složenog kola, dobijamo jednačine za određivanje svih nepoznatih struja. Može se pokazati da je broj nezavisnih jednačina koje se tako dobiju uvek jednak broju nepoznatih struja, zato dva Kirhofova pravila daju opšti metod rešavanja zadataka kod složenih, razgranatih, kola.

Treba dobro paziti na pravilo znaka koje je objašnjeno. Tako, na primer, u kolu sa Sl. 7 e.m.s. u grani 1 moramo uzeti sa znakom +, a e.m.s. u grani 6 sa znakom —.

U vezi sa ovim pravilom znaka može da se pojavi prividna teškoća pri sastavljanju jednačina. Smerovi pojedinih struja nisu unapred poznati i treba ih tek naći rešavanjem jednačina, a da bi jednačine sastavili treba znati smerove struja. Međutim, u suštini takva teškoća ne postoji. Kod sastavljanja jednačina možemo još odmah, na početku, proizvoljno izabrati za svaku granu neki smer struje i takve struje smatrati pozitivnim. Drugim recima, možemo na početku proizvoljno pretpostaviti da struje u granama teku u određenom smeru i u saglasnosti sa tim primeniti pravilo znaka za e.m.s. Stvarni smer struja daće rešenje zadatka: ako dobijemo da je neka struja pozitivna, znaci da se smer poklapa sa pretpostavljenim; ako dobijemo da je negativna, znači da je u stvari smer struje suprotan usvojenom pozitivnom smeru.

Kirhofov metod pretpostavlja da se rešava sistem algebarskih jednačina prvoga reda. Kod složenih kola to dovodi do determinanata visokog ranga, što je veoma zametno. Zato su bili predlagani različiti pomoćni načini koji čine da se smanji broj jednačina u sistemu. (Studenti će na vežbama savladati popularni metod konturnih struja.) Pogledajmo dalje nekoliko za praksu korisnih primera.

Paralelna veza otpornika. Šant.

U kolu sa izvorom čija je e.m.s. $\mathscr{E}$ i unutrašnja otpornost $r$ nalaze se još dva otpornika, $r_{1}$ i $r_{2}$, koji su spojeni svojim krajevima u tačkama granjanja a i b (Sl. 8).

Sl. 8 Paralelna veza otpornika

Izračunajmo jačinu struje u kolu. Izaberimo pozitivne smerove struja tako kao što je pokazano na slici. Tada prvo Kirhofovo pravilo za tačku a daje

$$i-i_{1}-i_{2}=0. \tag{32}$$

Primenjujući drugo Kirhofovo pravilo na konture a$r_{1}$b$r_{2}$а i a$r_{1}$b$\mathscr{E}$а i obilazeći u smeru kazaljke na satu dobijamo

$$-r_{_{2}i_{2}=0\,\,,\,\,\quad -ri+r_{1}i_{1}=\mathscr{E}}. \tag{33}$$

Dobili smo tri jednačine za određivanje tri nepoznate struje i lako se uveriti da više nezavisnih jednačina i nema.

Eliminišimo iz prve dve jednačine struju $i_{1}$. To daje relaciju

$$\frac{i_{2}}{i}=\frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}}. \tag{34}$$

Iz istih jednačina, ako isključimo struju $i_{2}$, naći ćemo analogno

$$\frac{i_{1}}{i}=\frac{r_{2}}{r_{1}+r_{2}}. \tag{35}$$

Zato je

$$\frac{i_{1}}{i_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}. \tag{36}$$

Ako su dva provodnika spojena paralelno, odnos jačina struja kroz njih obrnuto je proporcionalan odnosu otpornosti tih provodnika.

Stavljajući izraz za $i_{1}$ u treću jednačinu sistema, nalazimo

$$i\left(r+\frac{r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}\right)=\mathscr{E}. \tag{37}$$

Upoređujući dobijeni izraz sa Omovim zakonom vidimo da dva paralelno spojena otpornika imaju otpornost

$$R=\frac{r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}. \tag{38}$$

Pogodnije je ovaj rezultat napisati u sledećem obliku:

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}. \tag{39}$$

Ako bismo imali ne dva nego proizvoljan broj otpornika, rezultat bi analogno glasio:

$$\frac{1}{R}=\sum\limits \frac{1}{r_{\text{n}}}. \tag{40}$$

Deo kola koji se sastoji iz paralelno vezanih provodnika ima provodnost koja je jednaka zbiru provodnosti pojedinih provodnika.

Sl. 9 Šant

Paralelno vezani otpornici upotrebljavaju se za građenje šanta u mernim priborima. Pretpostavimo da treba izmeriti jačinu struje u nekom kolu pomoću ampermetra koji je predviđen za manju jačinu struje. U tom slučaju se paralelno ampermetru uključuje otpornost $r$ (Sl. 9) koja se naziva šant. Tada, saglasno gore dobijenim rezultatima, jačina struje u kolu i povezana je sa strujom u ampermetru $i_{\text{A}}$ relacijom

$$i=i_{A}\frac{r+r_{A}}{r}, \tag{41}$$

gde je $r_{\text{A}}$ otpornost ampermetra. Tako, na primer, ako treba pomoću ampermetra koji je predviđen za struje do 10 A izmeriti jačine struje do 100 A, mora biti $\left(r+r_{\text{A}}\right)r=10$, odakle je $r=r_{\text{A}}/9$.

Bez dokaza dajemo i ove rezultate: a) Kad redno vežemo n jednakih izvora struje, e.m.s. baterije i njena unutrašnja otpornost je n puta veća nego kod jednog izvora. b) Kada paralelno vežemo m jednakih strujnih izvora, e.m.s. baterije jednaka je e.m.s. jednog izvora, a unutrašnja otpornost baterije m puta je manja od otpornosti jednog izvora.

Kirhofova pravila su neophodan metod analize mnogih složenih kola u elektrotehnici. Evo kako ćemo pomoću tih pravila analizirati šemu smišljenu da se tačno izmeri elektromotorna sila nekog izvora struje.

Kompenzacioni metod merenja e.m.s.

Razmotrimo važni metod merenja e.m.s. ($\mathscr{E}_{\,\;1}$) pomoću kompenzacije. Šema veza pokazana je na Sl. 10. Dva izvora e.m.s. $\mathscr{E}\,,\,\,\,\mathscr{E}_{\,\;1}$ uključeni su u opoziciju.

Sl. 10 Kompenzacioni metod merenja elektromotorne sile

Otpornosti $r_{1}\,\,\text{i}\,\,r'$ su promenljive ali je sve vreme

$$r_{1}+r'=r=\text{const}. \tag{42}$$

Izaberimo pozitivne smerove struja kao što je pokazano na slici i primenimo na razmatranu šemu Kirhofova pravila. Prvo pravilo daje za tačke a i b:

$$i_{1}-I-I_{1}=0. \tag{43}$$

Drugo pravilo za konture а$\mathscr{E}$bcа i а$\mathscr{E}_{\,\;1}$cа dovodi do jednačina

$$\begin{aligned}RI+\left(r-r_{1}\right)I+r_{1}i_{1}=\mathscr{E} \\ R_{1}I_{1}+r_{1}i_{1}=\mathscr{E}_{\,\;1}\end{aligned} \tag{44}$$

Ove tri jednačine potpuno određuje sve nepoznate struje. Međutim, ograničimo se na poseban slučaj i pretpostavimo da su otpornosti $r_{1}\,\,\text{i}\,\,r'$ tako odabrane da je struja u kolu galvanometra $I_{1}=0$. U tom slučaju napisane jednačine daju

$$i_{1}=I\,\,,\,\quad \,I\left(R+r\right)=\mathscr{E}\,\,,\,\quad \,Ir_{1}=\mathscr{E}_{\,\;1}. \tag{45}$$

Iz dve poslednje jednačine nalazimo

$$\mathscr{E}_{\,\;1}\,=\frac{r_{1}}{R+r}\mathscr{E}. \tag{46}$$

Pretpostavimo sada da smo umesto izvora e.m.s. $\mathscr{E}_{\,\;1}$ uključili u šemu drugi izvor e.m.s. $\mathscr{E}_{\,\;2}$ i promenom promenljivih otpornosti ponovo izvršili kompenzaciju. Pretpostavimo da je u tu svrhu bilo potrebno umesto $r_{1}$ staviti $r_{2}$. Tada je

$$\mathscr{E}_{\,\;2}\,=\frac{r_{2}}{R+r}\mathscr{E}. \tag{47}$$

Dve poslednje jednakosti, kada podelimo jednu sa drugom, daju

$$\frac{\mathscr{E}_{\,\;1}}{\mathscr{E}_{\,\;2}}\,=\frac{r_{1}}{r_{2}}. \tag{48}$$

Ova relacija i leži u osnovi upoređivanja e.m.s. kompenzacionim metodom. Odnos e.m.s. koje upoređujemo uopšte ne zavisi od unutrašnjih otpornosti izvora niti od drugih otpornosti u šemi i određuje se jedino otpornostima delova kola gde se priključuju izvori koji se porede. Ne treba da znamo ni e.m.s. pomoćnog izvora $\mathscr{E}$, ona jedino mora biti dovoljno konstantna za vreme merenja i mora biti veća i od $\mathscr{E}_{\,\;1}$ i $\mathscr{E}_{\,\;2}$. Za određivanje e.m.s. tim metodom uzima se obično da je jedan izvor za upoređivanje normalni elemenat; njegova e.m.s. poznata je veoma tačno.

Korišćenja energije strujnog izvora

Razmotrimo sada praktično važno pitanje korišćenja energije strujnog izvora. Neki izvor e.m.s. $\mathscr{E}$ i unutrašnje otpornosti $r$ uključen je u spoljašnje kolo otpornosti R. U spoljašnjem kolu izdvajaće se snaga $P_{a}$

$$P_{a}=Ui=Ri^{2}=\mathscr{E}\frac{R}{\left(R+r\right)^{2}}. \tag{49}$$

Želimo postići maksimalnu snagu u spoljašnjem kolu $P_{a\max }$ , za dati izvor, menjajući spoljašnju otpornost R. Vrednost $R=R_{\text{m}}$ koje odgovara maksimalnoj snazi dobićemo diferencirajući izraz za $P_{a}$ po R i izjednačavajući prvi izvod sa nulom. To daje

$$\frac{dP_{a}}{dR}=\mathscr{E}^{2}\frac{r^{2}-R_{\text{m}}^{2}}{\left(r+R_{\text{m}}\right)}=0, \tag{50}$$

odakle dobijamo, znajući da su $r$ i R uvek pozitivni,

$$R_{\text{m}}=r. \tag{51}$$

Snaga, koja se izdvaja u spoljašnjem kolu, maksimalna je kad je otpornost spoljašnjeg kola jednaka unutrašnjoj otpornosti izvora.

Tada je struja u kolu jednaka $\mathscr{E}/2r$, tj. iznosi polovinu struje kratkog spoja, a maksimalna snaga je

$$P_{a\max }=\frac{\mathscr{E}^{2}}{4r}. \tag{52}$$

Međutim, u praktičnom korišćenju strujnih izvora važna je ne samo snaga nego i koeficijenat korisnog dejstva (k.k.d.). Kada izvor napaja spoljašnje kolo, struja teče takođe i kroz izvor, zato se neka snaga troši beskorisno na zagrevanje izvora. Ta je snaga

$$P_{\text{i}}=ri^{2}, \tag{53}$$

a ukupna snaga izvora

$$P=Ri^{2}+ri^{2}=\mathscr{E}i. \tag{54}$$

Zato je k.k.d. izvora jednak

$$\eta =\frac{P_{a}}{P}=\frac{U}{\mathscr{E}}. \tag{55}$$

Pošto je uvek $U\le \mathscr{E}$ to je $\eta \le 1$.

Razmotrimo detaljnije kako zavise $P_{a}$ i $\eta$ od jačine struje i koju daje izvor. Korisnu snagu $P_{a}$ možemo napisati ovako:

$$P_{a}=P-P_{i}=\mathscr{E}i-ri^{2}. \tag{56}$$

P se menja sa menjanjem i po paraboličnom zakonu. $P_{a}$ se anulira ako je

$$i\left(\mathscr{E}-ri\right)=0. \tag{57}$$

Tu postoje dva rešenja

$$i_{1}=0\;\,\,\text{i}\,\;\,i_{2}=\frac{\mathscr{E}}{r}. \tag{58}$$

Prvo rešenje odgovara prekinutom kolu ($R\gg r$), drugo — kratkom spoju ($R\ll r$).

Zavisnost k.k.d. od jačine struje izražava se sledećom formulom

$$\eta =\frac{P_{a}}{P}=\frac{\mathscr{E}i-ri^{2}}{\mathscr{E}i}=1-\frac{r}{\mathscr{E}}i. \tag{59}$$

K.k.d. postiže maksimum $\eta =1$ u slučaju kola u prekidu a zatim opada po linearnom zakonu

Sl. 11 Zavisnost snage izvora P, snage u spoljašnjem

kolu $P_{a}$ i k.k.d. izvora $\eta$ od jačine struje

i anulira pri kratkom spoju. Zavisnost P, $P_{a}$, i $\eta$ od jačine struje i data je grafički na Sl. 11. Vidimo da se uslovi dobijanja maksimalne snage $P_{a}$ i najvećeg k.k.d. ne podudaraju. Kada je $P_{a}$ u maksimumu, jačina struje je jednaka $\mathscr{E}/2r$ i k.k.d. $\eta =1/2$ ili 50%. A kada je k.k.d. $\eta$ blizak jedinici, korisna snaga je mala u odnosu na maksimalnu vrednost $P_{a\max }$ koju bi mogao dati dotični izvor.

U postrojenjima električne snage, najvažniji zahtev je dobiti visok k.k.d. To će biti kad je

$$\frac{ri}{\mathscr{E}}=\frac{ri}{\left(R+r\right)i}=\frac{r}{R+r}\ll 1, \tag{60}$$

tj. unutrašnja otpornost izvora mora biti mala u odnosu na otpornost R potrošača. Tada je snaga $P_{\text{i}}$ koja se oslobađa u izvoru mala u odnosu na korisnu snagu $P_{a}$ na potrošaču.

U slučaju kratkog spoja je, kao što smo videli gore, $P_{a}=0$ i sva se snaga oslobađa u izvoru što može dovesti do pregrevanja unutrašnjih delova izvora i do kvara. Zbog toga su kratki spojevi snažnih izvora (dinamomašina, akumulatorskih baterija) nedopustivi.

Zakon održanja energije i električne pojave

Zakon održanja energije opšti je zakon prirode, zato je primenljiv i na električne pojave. Izučavajući konverziju energije u električnom polju pogodno je razlikovati dva slučaja: 1) ne menjaju se naelektrisanja provodnika (tj. provodnici su izolovani) i 2) potencijali provodnika se ne menjaju (provodnici su povezani sa strujnim izvorima). Posmatrajmo na početku drugi slučaj.

Pretpostavimo da imamo sistem tela (provodnika i dielektrika) koja mogu da izvode beskonačno mala i beskonačno spora (kvazistatička) pomeranja. Temperaturu tela održavamo na konstantnom nivou odvodeći toplotu sa tela ako se ona oslobađa, ili dovodeći telima toplotu ako se ona tamo troši. Smatramo da su dielektrici izotropni i nekompresibilni, pa je njihova gustina konstantna. Pri tim uslovima deo unutrašnje energije tela koja nije u vezi sa električnim poljem neće se menjati. Pored toga, permitivnost dielektrika (koja zavisi od gustine i temperature) biće konstantna. Pogledajmo kakve se transformacije energije dešavaju u posmatranom sistemu.

Na svako telo koje se nalazi u električnom polju deluju sile. Te sile se ponekad nazivaju ponderomotorne sile (sile koje deluju na tela u celini za razliku od elektromotornih sila neelektrostatičkog porekla koja deluju na naelektrisanja u telima). Pri beskonačno malom premeštanju tela, ponderomotorne sile polja vrše beskonačno mali rad koji ćemo označiti $\delta A$.

Električno polje ima određenu energiju. Ako se tela premeštaju, okolno električno polje se menja, dakle menja se i energija polja takođe. Označimo priraštaj energije polja $dW$ pri beskonačno malom premeštanju tela.

Pri premeštanju provodnika menja se njihov uzajamni kapacitet i zato, da bi potencijali ostali nepromenjeni, provodnicima treba ili dovoditi ili odvoditi neka naelektrisanja. Tada svaki od strujnih izvora vrši rad $\mathscr{E}dq=\mathscr{E}idt$, gde je $\mathscr{E}$ e.m.s. izvora, $i$ je jačina struje koju on daje a $dt$ vreme premeštanja. Pri tome se u posmatranom sistemu tela pojavljuju električne struje i u svakom delu oslobađaće se odgovarajuća Džulova toplota $ri^{2}dt$. Zakon održanja energije zahteva da bude

(61)

Ako su svi provodnici i dielektrici nepokretni, biće $A=dW=0$; sav rad strujnih izvora pretvara se u toplotu.

Razmotrimo sada drugi slučaj, kada se ne menjaju naelektrisanja provodnika. Ovde strujni izvori ne ulaze u posmatrani sistem pa je leva strana u formuli (61) jednaka nuli.

Pored toga, Džulova toplota (koja može da se pojavi kao rezultat preraspodele naelektrisanja na telima pri njihovom pomeranju) obično je zanemarljiva u odnosu na druge faktore. Tada zakon održanja energije daje

$$\delta A+dW=0 \tag{62}$$

U ovom slučaju je mehanički rad sila električnog polja jednak smanjenju energije električnog polja.

Primene zakona održanja energije

Ako treba naći silu $\vec{F}$ koja deluje na neko telo u polju, pretpostavi se da to telo vrši neko malo moguće pomeranje $d\vec{r}$ Tada će rad nepoznate sile biti $\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_{r}dr$. Potom se izračunavaju sve ostale promene energije koje su izazvane tim premeštanjem, pa iz zakona održanja energije nalazi se projekcija nepoznate sile $F_{r}$ na pravac $d\vec{r}$. Uzimajući da su posmatrana pomeranja paralelna koordinatnim osama, mogu se naći komponente sile po tim osama, samim tim je određena nepoznata sila po intenzitetu i smeru. Uradićemo jedan lep primer:

Kako se privlače obloge ravanskog kondenzatora

Izračunajmo silu privlačenja $\vec{F}$ između obloga ravanskog kondenzatora koji se nalazi u homogenom i izotropnom dielektriku permitivnosti $\varepsilon$. Zamislimo da je dielektrik tečnost koja za vreme premeštanja obloga može ulaziti u kondenzator ili isticati iz njega. Obloge nisu priključene na izvor.

Iz simetrije je jasno da sila može biti samo normalna na površinu obloga i zato moguće pomeranje treba izabrati duž normale na obloge.

Ako se rastojanje između obloga smanji za dx, mehanički rad je jednak

$$\delta A=F\,dx. \tag{63}$$

Promena energije polja je

$$dW=-\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}\,E^{2}S\,dx \tag{64}$$

i zakon održanja energije daje

$$F=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}S. \tag{65}$$

Sila koja deluje na jedinicu površine obloge (mehanički napon) iznosi

$$f=\frac{F}{S}=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}S. \tag{66}$$

Mehanički napon jednak je zapreminskoj gustini energije električnog polja.

Ako je između ploča vakuum ($\varepsilon =1$), sila je

$$F=\frac{1}{2}\varepsilon _{0}E^{2}S. \tag{67}$$

Kad stavimo u kondenzator (koji nije uključen na napon) dielektrik, sila se smanji $\varepsilon$ puta.

Potreban je ovaj komentar: Naelektrisanja obloga nalaze se van dielektrika gde je jačina polja ista kao i u vakuumu i zato je nejasno zašto se sila interakcije smanjuje $\varepsilon$ puta. Objašnjenje se sastoji u tome da se u slučaju tečnih i gasovitih dielektrika javljaju još i sile elektrostrikcije, koje razmiču ploče kondenzatora. Rezultujuća sila jednaka je razlici između sile elektrostatičkog privlačenja ploča (koja se ne menja uvođenjem dielektrika) i sile elektrostrikcije. Zakon održanja energije automatski uzima u obzir sve sile koje deluju u sistemu i pokazuje da se ta rezultujuća sila smanjuje $\varepsilon$ puta. Ako bi između dielektrika i obloga bio neki, makar i mali zazor, sila elektrostrikcije ne bi delovala na obloge i sila interakcije se ne bi menjala uvođenjem dielektrika.

Uvlačenje tečnog dielektrika u kondenzator

Razmotrimo ravanski kondenzator delimično uronjen u tečni dielektrik (Sl. 12). Ako su obloge naelektrisane, na tečnost u oblasti nehomogenog polja deluju sile i tečnost se uvlači u kondenzator. Izračunajmo silu f kojom električno polje deluje po jedinici horizontalne površine tečnosti. Smatraćemo da su obloge priključene na izvor napona, pa su napon U i jačina polja E=U/d između ploča nepromenljivi.

Ako se visina tečnosti h poveća za $dh$, rad tražene sile jednak je

$$dA=S\,f\,dh \tag{68}$$

gde je S horizontalni presek kondenzatora. Promena energije električnog polja jednaka je

$$dW=\left(\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}-\frac{1}{2}\varepsilon _{0}E^{2}\right)Sdh \tag{69}$$

Sl. 12 Uvlačenje tečnog dielektrika u električno polje

Na obloge će preći dopunsko naelektrisanje

$$dq=\left(\varepsilon \varepsilon _{0}E-\varepsilon _{0}E\right)adh \tag{70}$$

(a je širina ploča), pa će rad strujnog izvora biti

$$\mathscr{E}dq=Udq=U\left(\varepsilon \varepsilon _{0}E-\varepsilon _{0}E\right)adh=U\left(\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}-\varepsilon _{0}E^{2}\right)Sdh. \tag{71}$$

Pretpostavili smo da je otpornost provodnika veoma mala, te je $\mathscr{E}=U$. Zato imamo

$$f=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}-\frac{1}{2}\varepsilon _{0}E^{2}. \tag{72}$$

Mehanički napon f jednak je razlici zapreminskih gustina energije električnog polja s obe strane granične površine). Rezultat ne zavisi od otpornosti provodnika.

Kvazistacionarne struje

Do sada smo razmatrali jedino konstantne struje. Međutim, dobijeni zakoni u mnogim slučajevima važe i za promenljive struje, pod uslovom da brzina promene nije suviše velika.

Stvarno, zamislimo da se u nekoj konturi sa stalnom strujom promenila elektromotorna sila za neku malu veličinu. Jačina struje u konturi počinje da se menja, ali kroz neko vreme dostiže novu stacionarnu vrednost. Menjajući e.m.s. u malim iznosima, dobijamo u konturi struju koja se menja stupnjevito, ali ka pojedinim stacionarnim vrednostima struje biće primenljivi svi zakoni stalne struje.

Zamislimo sada da smo povećali broj stupnjeva struje, istovremeno smanjujući veličinu svakog stupnja (stepenice). Tada u granici dobijamo kontinualno promenljivu struju. Ako su promene struje toliko spore da su za vreme uspostavljanja električne ravnoteže u kolu relativne promene struje i e.m.s. male, trenutne vrednosti struje i e.m.s. potčinjavaće se svim zakonima stalnih struja, kao i pri skokovitim promenama struje. Takve struje se nazivaju sporo promenljive ili kvazistacionarne.

Brzina uspostavljanja električne ravnoteže veoma je velika i zato u kvazistacionarne struje spadaju i u običnom smislu veoma brzi procesi. Sve promenljive struje u tehnici su praktično kvazistacionarne. Čak i brze električne oscilacije koje se koriste u radiotehnici, učestanosti reda milion oscilacija u sekundi, vrlo često još uvek možemo tretirati kao kvazistacionarne.

Zadatke sa kvazistacionarnim električnim procesima možemo da rešavamo pomoću zakona konstantnih struja, ako te zakone primenimo na trenutne vrednosti električnih veličina. Istina, umesto algebarskih relacija dobijamo diferencijalne jednačine koje onda integralimo.

Treba proveravati dva uslova kvazistacionarnosti. Prvi je $\omega \tau _{\text{M}}\ll 1$, gde je

$$\tau _{\text{M}}=\frac{\varepsilon \varepsilon _{0}}{\lambda }, \tag{73}$$

a $\varepsilon$ je permitivnost i λ njena specifična elektroprovodnost. Vreme $\tau _{\text{M}}$ se zove vreme Maksvelove relaksacije. Ono je jednako vremenu za koje se zapreminsko naelektrisanje smanji e puta. Vreme Maksvelove relaksacije daje red veličine vremena potrebnog da se postigne stacionarnost električnih procesa.

Ako razmatramo električna kola, moramo postaviti još jedan uslov za razmere kontura. On glasi $\omega \tau \ll 1$. Ovde je

$$\tau =\frac{\ell }{v}=\frac{\ell }{c}\sqrt{\varepsilon \mu }. \tag{74}$$

To je vreme prostiranja elektromagnetskog poremećaja duž voda date dužine $\ell$. Ako je ispunjen ovaj uslov, trenutna vrednost svih električnih veličina u svakom delu konture biće takva kao i u slučaju stalne, nepromenljive struje. Posebno, za prosto, nerazgranato kolo, trenutna jačina struje u svakom preseku provodnika je ista. Evo jednog primera:

Punjenje kondenzatora

Kondenzator kapaciteta C uključen je u šemu kao što je predstavljeno na Sl. 13. Stavljajući prekidač u položaj l punimo kondenzator, a prebacujući

Sl. 13 Punjenje i pražnjenje kondenzatora

prekidač u položaj 2 kondenzator praznimo. Razmotrimo proces punjenja.

Označimo sa $\mathscr{E}$ e.m.s. izvora, sa $r$ otpornost kola (uključujući i unutrašnju otpornost izvora) i izaberimo pozitivni smer struje kao što je pokazano na slici. Primenjujući na konturu $\mathscr{E}rC\mathscr{E}$ drugo Kirhofovo pravilo, dobijamo

$$ri+U=\mathscr{E}. \tag{75}$$

Ovde je $i$ trenutna vrednost jačine struje, U je trenutna vrednost napona na kondenzatoru. Znamo da je

$$U=\frac{q}{C}\,\,;\,\,\quad i=\frac{dq}{dt}, \tag{76}$$

gde je $q$ naelektrisanje kondenzatora. Iz tri napisane jednačine možemo eliminisati dve od tri promenljive veličine $q$, $i$ i $U$ i dobiti jednačinu za bilo koju od njih. Isključujući $q$ i $i$, dobijamo

$$\frac{dU}{dt}+\frac{U}{rC}-\frac{\mathscr{E}}{rC}=0. \tag{77}$$

Dobili smo diferencijalnu jednačinu za određivanje napona U; jednačina je prvoga reda sa konstantnim koeficijentima.

Uvedimo novu promenljivu $u=U-\mathscr{E}$. Tada je

$$\frac{du}{dt}+\frac{u}{rC}=0. \tag{78}$$

Ova jednačina razdvaja promenljive; integracija daje

$$u=A\exp \left(-\frac{t}{r\,C}\right). \tag{79}$$

Konstanta integracije A zavisi od početnog uslova. Pretpostavimo da vreme računamo od momenta zatvaranja prekidača. Tada početni uslov ima oblik

$$t=0\,\,:\,\,\quad U=0,\,\quad \,u=-\mathscr{E}. \tag{80}$$

Ovo daje

$$A=-\mathscr{E}. \tag{81}$$

Vraćajući se na prvobitnu promenljivu U, konačno nalazimo izraz za napon na kondenzatoru

$$U=\mathscr{E}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{r\,C}\right)\right]. \tag{82}$$

Napon U se stalno povećava od nule i asimptotski približava vrednosti e.m.s. izvora.

Zavisnost struje punjenja od vremena ima ovaj oblik:

$$i=\frac{-U+\mathscr{E}}{r}=\frac{\mathscr{E}}{r}\exp \left(-\frac{t}{r\,C}\right). \tag{83}$$

Jačina struje ima najveću vrednost u početnom trenutku i asimptotski teži ka nuli u procesu punjenja.

U slučaju pražnjenja kondenzatora navodimo, bez izvođenja, ovaj rezultat:

$$U=\mathscr{E}\;\exp \left(-\frac{t}{r\,C}\right). \tag{84}$$

Kondenzator je bio prethodno priključen na izvor ems $\mathscr{E}$; pražnjenje se odvija po eksponencijalnom zakonu.

Dobijeni rezultati pokazuju da procesi punjenja i pražnjenja kondenzatora (uspostavljanje električne ravnoteže) ne teku trenutno, već izvesnom brzinom. Za razmotrenu konturu koja sadrži otpornost i kapacitet, brzina uspostavljanja zavisi od proizvoda

$$T=rC, \tag{85}$$

koji ima dimenziju vremena i naziva se vremenska konstanta date konture. Vremenska konstanta pokazuje kroz koje se vreme posle isključenja e.m.s. napon smanjuje za $e=2,71$ puta. Ako se $r$ i C izražavaju u SI sistemu (om i farad), T će biti dato u sekundima. Izostavljamo dokaz, koji je lak, da su uslovi kvazistacionarnosti ovde bili praktično zadovoljeni.