Stacionarna električna struja

Osnovne definicije

Kretanje naelektrisanja daje električnu struju.

U metalu se slobodno kreću samo elektroni. Električna struja u metalima jeste kretanje provodnih elektrona. U provodnim rastvorima nema slobodnih elektrona, pokretne naelektrisane čestice tamo su joni. U gasovima mogu da formiraju struju i pokretni joni i elektroni.

Pozitivni smer struje odgovara smeru kretanja pozitivnih čestica; u metalima, pozitivni smer struje suprotan je smeru kretanja elektrona.

Sl. 1 Strujna cev

Linije duž kojih se kreću naelektrisane čestice su strujnice**.** Smer strujnica odgovara smeru kretanja pozitivnih naelektrisanja. Crtanjem strujnice odmah dobijamo jasnijuu predstavu o kretanju elektrona i jona koji daju struju pod dejstvom sila električnog polja.

Ako u provodniku sa strujom zamislimo cev kod koje je bočna površina sastavljena iz strujnica, vidimo da naelektrisane čestice u kretanju ne seku bočnu površinu cevi, ne ulaze u nju i ne izlaze iz nje. Takva cev se zove strujna cev (Sl.1). Površina metalne žice koja se nalazi u nekom izolatoru jeste jedna takva strujna cev. Električna struja se karakteriše sa dve osnovne veličine: gustina struje i jačina struje.

Sl. 2 Uz definiciju gustine struje

Gustina struje jednaka je količini naelektrisanja koja u jedinici vremena prođe kroz jedinicu površine koja je normalna na strujnice.

Zamislimo u provodniku jediničnu površinu koja je normalna na strujnice, pa samim tim i na pravac usmerene brzine $\vec{v}$ naelektrisanih čestica (Sl. 2). Neka je ta površina jedna od baza pravougaonog paralelopipeda sa dužinom koja je brojno jednaka brzini kretanja čestica $v$. Sve čestice koje se trenutno nalaze u tako zamišljenoj zapremini prostrujaće za jedan sekund (u jedinici vremena) kroz bazu $S$ paralelopipeda. Ako je n koncentracija naelektrisanih čestica u provodniku, broj čestica u paralelopipedu je $nv$ i one prenose naelektrisanje $nev$, gde je $e$ naelektrisanje jedne čestice (na primer, elektrona). Zato je gustina struje

$$j=nev. \tag{1}$$

Pošto su n i e skalarne veličine, a brzina je vektor, moguće je uvesti vektor gustine struje

$\vec{j}=ne\vec{v}$. (1a)

Brzina $\vec{v}$ karakteriše kretanje naelektrisanih čestica u datoj tački, pa i vektor gustine struje $\vec{j}$ određuje električnu struju u datoj tački provodnika.

Ako zamislimo u provodniku beskonačno malu površinu dS koja je normalna na vektor gustine struje $\vec{j}$, za vreme dt proći će kroz nju količina elektriciteta $dq=j\,dS\,dt$. Ako dS nije normalno na $\vec{j}$, u ovom izrazu umesto $j$ treba uzeti komponentu gustine struje $j_{\text{n}}$ koja je normalna na dS.

Jačina struje i u nekom provodniku je količina elektriciteta koja u jedinici vremena prođe kroz ukupni presek provodnika. Ako je $dq$ naelektrisanje koje je prošlo kroz presek provodnika za vreme $dt$, onda je

$$i=\frac{dq}{dt}. \tag{2}$$

Jačina struje je skalarna veličina pošto su to i naelektrisanje $dq$ i vreme $dt$.

Znajući vektor gustine struje $\vec{j}$ u svakoj tački provodnika, moguće je znati i jačinu struje. Iz gornjeg izlaganja proizilazi da je

$$i=\int_{S} j_{\text{n}}dS, \tag{3}$$

gde se integrali po čitavoj površini S proizvoljnog preseka provodnika (Sl. 1). Najjednostavniji primer primene ovih relacija je protok električne struje kroz žicu poluprečnika $r$. Ako u žici postoji konstantna električna struja gustine $j$, jačina struje u žici je $\pi r^{2}j$.

Jedinica jačine struje je amper (A). Pri električnoj struji u žici jačine 1A kroz poprečni presek provodnika prolazi naelektrisanje 1С za vreme 1s. U praksi se upotrebljavaju i manje jedinice: miliamper (mA=$10^{-3}$ A) i mikroamper ($\mu \text{A}$=$10^{-6}$ A), itd. Jedinica gustine struje je amper po kvadratnom metru ($\text{A}/\text{m}^{2}$).

Ako se gustina struje i jačina struje ne menjaju u vremenu, kažemo da u provodniku postoji stacionarna struja. Gustina stacionarne struje jednaka je u svim tačkama poprečnog preseka žice.

Jednačina kontinuiteta

Posmatrajmo u provodniku sa strujom neku zatvorenu površinu S i sa $j_{\text{n}}$ označimo projekciju vektora gustine struje $\vec{j}$ na spoljašnju normalu elementa površine dS. Tada iz definicije gustine struje sledi da je količina pozitivnog naelektrisanja koja u jedinici vremena prolazi kroz površinu S i napušta površinu: $\oint_{S} j_{\text{n}}dS$, gde se integrali po celoj zatvorenoj površini. Naelektrisanja se održavaju: ona se samo preraspodeljuju između tela (ili raznih delova tela); zbir pozitivnih i negativnih naelektrisanja jednaka je nuli. Zato, ako je $dq/dt$ promena pozitivnog naelektrisanja u jedinici vremena (naelektrisanja koje je u zapremini ograničenoj površinom S), onda imamo

$$-\frac{dq}{dt}=\oint_{S} j_{\text{n}}dS. \tag{4}$$

Dobili smo jednačinu kontinuiteta. Ova formulacija je u integralnom obliku. Naravno, jednačinu možemo prikazati i u diferencijalnom obliku, koji povezuje struju i naelektrisanje u jednoj te istoj tački sredine. Dajemo izraz bez izvođenja:

$$-\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial j_{\text{x}}}{\partial x}+\frac{\partial j_{\text{y}}}{\partial y}+\frac{\partial j_{\text{z}}}{\partial z}. \tag{5}$$

Ovde je $\rho$ zapreminska gustina naelektrisanja u datoj tački. Upotrebljavamo simbole parcijalnog izvoda, jer $\rho$ i $\vec{j}$ mogu zavisiti kako od koordinata tako i od vremena.

Pomoću pojma divergencije vektora, jednačina (5) može se ovako sažeto zapisati

$$-\frac{\partial \rho }{\partial t}=\text{div}\,\vec{j}. \tag{6}$$

Ako su struje stacionarne, nijedna električna veličina ne zavisi od vremena i u jednačinu kontinuiteta treba staviti $\partial \rho /\partial t=0$. Tada se dobija da je fluks vektora $\vec{j}$ kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak nuli; za stacionarne struje strujnice su neprekidne.

Dejstva električne struje

Kretanje naelektrisanja izaziva različite pojave po kojima mi i zaključujemo o postojanju struje i njenoj jačini.

Mnogobrojni su efekti električne struje. Nešto opširnije ćemo ovde govoriti samo o osnovnim efektima: formiranje magnetskog polja, zagrevanje sredine i izazivanje hemijskih reakcija.

Sl. 3 Magnetsko dejstvo provodnika sa strujom

Magnetsko dejstvo struje Još 1820. g. otkrio je kopenhagenski profesor fizike Ersted da provodnik sa strujom deluje na magnetsku iglu. Ako stavimo pravu metalnu žicu u pravcu magnetskog meridijana Zemlje (pravac sever — jug, približno) a ispod nje stavimo magnetsku iglu (Sl. 3), spajanjem krajeva žice sa elektrodama galvanskog elementa izazivamo struju kroz žicu, te dolazi do pomeranja magnetske igle. Smer otklona igle možemo naći pomoću sledećeg pravila: ako stavimo dlan desne ruke iznad provodnika i ispružimo kažiprst u smeru struje, tada odmaknuti palac pokazuje smer otklona severnog pola igle. Ako stavimo magnetsku iglu iznad provodnika, nalazimo da je otklon igle promenio smer.

(Pitanje za studenta: Ako je igla pored žice, u ravni stola, ima li otklona kazaljke kompasa?)

Ako zamenimo metalnu žicu staklenom cevčicom koja je napunjena nekim provodnim rastvorom, na primer rastvorom sumporne kiseline u vodi, pa spojimo provodni stub rastvora, pomoću metalnih žica koje su zaronjene u rastvor, sa polovima baterije, magnetska igla takođe skreće. Otklon igle primećuje se i tada ako umesto žice iskoristimo na primer neonsku lampu ili neku drugu cev za pražnjenje u gasovima koja je napajana jednosmernom strujom.

Magnetsko dejstvo se u svim tim slučajevima uočava — nezavisno od prirode provodnika; neko magnetsko polje uvek je pridruženo električnoj struji.

Magnetsko dejstvo struje koristi se za merenje jačine struje pomoću magnetoelektričnih pribora. Pribori kod kojih pokazivanje zavisi od jačine struje zovu se, uopšte, galvanometri.

Hemijsko dejstvo struje Električna struja može u nekim provodnicima razlagati supstanciju na hemijske sastojke.

Hemijsko dejstvo struje može se posmatrati u jednostavnim eksperimentima. Spustimo u vodeni rastvor bakar-sulfata CuSO4 dve ugljene pločice (Sl. 4) i spojimo ih za polove baterije galvanskih elemenata. Kroz nekoliko minuta izvadimo pločice iz rastvora. Otkrivamo da se na pločici koja je bila spojena sa negativnim polom baterije nataložio svež sloj bakra koji se dobro

Sl. 4 Razlaganje bakar-sulfata strujom

vidi na crnoj podlozi. Hemijsko razlaganje supstancija strujom nazvano je elektroliza (od grčkog lio — razlažem). Elektroliza se ne javlja u svim provodnicima. Provodnici prve vrste su oni kod kojih se ne primećuju hemijska dejstva struje. To su svi metali, ugalj i mnoga hemijska jedinjenja. Provodnici druge vrste su oni kod kojih se dešava elektroliza. Oni se još zovu elektroliti. To su mnogi vodeni rastvori kiselina i soli i neka hemijska jedinjenja kako u tečnom, tako i u čvrstom stanju.

Masa neke supstancije koja se nataložila na elektrodi, uvek je proporcionalna ukupnom naelektrisanju koje je prošlo kroz elektrolit. Količina supstancije koju jedinično naelektrisanje nataloži na elektrodi različita je za razne supstancije. Tako, na primer, jedan kulon izdvaja iz vodenog rastvora neke srebrne soli na katodi 1,1180 mg metalnog srebra, dok jedan kulon iz rastvora bakarne soli izdvaja 0,3294 mg metalnog bakra.

Pojava elektrolize koristi se u kulonometrima a to su elektrolitičke kade koje su priključene na red u strujno kolo. Jedan od tačnijih pribora je srebrni kulonometar koji ima srebrne elektrode, a elektrolit mu je vodeni rastvor srebronitrita AgNO3. Kulonmetri neposredno mere količinu elektriciteta koja je prošla kolom.

Toplotno dejstvo struje Električna struja zagreva provodnike. Pri dovoljnoj jačini struje žica se može zagrejati do željene temperature, da se na kraju istopi i ispari.

Na toplotnom dejstvu struje počiva rad toplotnih galvanometara. Oni sadrže metalnu žicu od nerđajućeg elastičnog materijala kroz koju propuštamo merenu struju. O jačini struje sudimo po izduženju žice u procesu zagrevanja.

Magnetoelektrični i toplotni instrumenti nisu apsolutni pribori, potrebno ih je baždariti.

Pomoću galvanometara moguće je meriti ne samo jačinu struje nego i količinu naelektrisanja koje se nalazi u nekom kondenzatoru. Takvi instrumenti se zovu balistički galvanometri.

Omov zakon

Ako u provodniku teče struja, potencijal u raznim njegovim tačkama već više nije isti. Spajajući telo elektrometra sa jednim krajem a žice ab u kojoj teče struja, a kazaljku sa nekom drugom tačkom c (Sl. 5), otkrivamo da između tih tačaka postoji napon koji je tim veći što je tačka c bliže drugom kraju žice. Ako teče struja postoji pad potencijala duž provodnika.

Sl. 5 Pad potencijala duž provodnika sa strujom

Pad potencijala označava da postoji komponenta jačine polja $E_{\text{t}}$ u pravcu provodnika (Sl. 6). To znači da jačina polja kod površine provodnika sa strujom, pa prema tome i linije sile, već nisu više normalni na površinu provodnika. Linije su pod uglom $\alpha$ prema pravcu struje, pri čemu je

Sl. 6 Električno polje provodnika sa strujom

$\text{tg}\alpha =E_{\text{n}}/E_{\text{t}}$. Vidimo da je za podržavanje stacionarne struje, tj. kretanja elektrona konstantnom brzinom, neophodno stalno delovanje sile (koja je jednaka $eE_{\text{t}}$, gde je e naelektrisanje elektrona). A to znači da se elektroni u provodnicima kreću uz osetno trenje ili, drugačije govoreći, provodnici imaju neku električnu otpornost.

Ako se stanje provodnika ne menja (ne menja se temperatura itd.), za svaki provodnik postoji jednoznačna veza između napona U, koji je priključen na krajevima provodnika, i jačine struje i u njemu: $i=f\left(U\right)$. Ta veza se zove volt - amperska karakteristika datog provodnika.

Za mnoge provodnike, posebno za metale, ta zavisnost je naročito prosta — jačina struje proporcionalna je priloženom naponu:

$$i=\Lambda U \tag{7}$$

Koeficijent proporcionalnosti $\Lambda$ zove se elektroprovodnost provodnika; veličina recipročna ovoj je električna otpornost. Dakle, ako otpornost označimo sa R, imamo

. (8)

Ova veza je poznata kao Omov zakon.

Elektroprovodnost i otpornost zavise od vrste provodnika, od njegovih dimenzija i oblika, a takođe i od stanja provodnika.

Jedinica otpornosti je om $\left(\Omega \right)$; $1\Omega =\text{V}/\text{A}$ (volt kroz amper).

Jedinica elektroprovodnosti je recipročni om ($\Omega ^{-1}\equiv S$; simens). Ako merimo U u voltima a i u amperima, elektroprovodnost će biti data u recipročnim omima (simensima), a otpornost R u omima. Za merenje velikih otpornosti upotrebljavamo krupnije jedinice: kiloom ($\text{k}\Omega =10^{3}\,\Omega$); megaom ($\text{M}\Omega =10^{6}\,\Omega$).

Voltmetar

Na korišćenju Omovog zakona zasnovan je metod merenja napona pomoću voltmetra. Voltmetar je galvanometar koji je na red spojen sa velikom otpornošću (Sl. 7).

Sl. 7 Princip rada voltmetra

Kad se priključi voltmetar za tačke a i b dela kola, kroz voltmetar potiče struja jačine $i$; a po Omovom zakonu je $i=U/r$. Ovde je $U$ traženi napon između datih tačaka. Zato, znajući strujnu osetljivost voltmetra i njegovu otpornost $r$, možemo odrediti napon U. Skala instrumenta se tako baždari da neposredno pokazuje napon. Da priključenje voltmetra ne bi bitno promenilo jačinu struje i raspodelu napona u kolu, struja voltmetra mora biti mala u odnosu na struju kola, a to će biti ako je otpornost voltmetra $r$ velika u odnosu na otpornost $R$ dela kola $ab$.

Merenje otpornosti

Otpornost nekog provodnika najprostije se može izmeriti pomoću ampermetra i voltmetra. Ako je $i$ jačina struje u amperima, koju pokazuje ampermetar, a $U$ napon u voltima na krajevima provodnika (meri se voltmetrom), onda otpornost provodnika u omima iznosi $R=U/i$. Pri tome se pretpostavlja da je struja koja prolazi kroz voltmetar mala u poređenju sa strujom u provodniku. Ako ne možemo da zanemarimo struju u voltmetru, u napisanoj formuli pod $i$ treba podrazumevati struju u provodniku koja je jednaka $i=i_{\text{A}}-i_{\text{V}}$, gde je $i_{\text{A}}$ pokazivanje ampermetra, a $i_{\text{V}}$ struja voltmetra. Ovu zadnju struju možemo naći po Omovom zakonu, znajući otpornost voltmetra. Struju voltmetra takođe možemo odrediti znajući strujnu osetljivost voltmetra, tj. struju koja odgovara otklonu voltmetra za jedan podeljak.

Tačnost ovog metoda zavisi od tačnosti ampermetra i voltmetra i obično nije velika ($\sim 1\%$). Zato za tačnije merenje otpornosti upotrebljavamo metod upoređenja otpornosti koji ne zahteva merenje struje i napona. To se postiže u šemi sa mostom koja je data na Sl. 8.

Sl. 8 Šema mosta sa otpornicima

Ovde su $r_{1}\,,\,\;r_{2}\,,\,\;r_{3}\,$ i $r_{4}$ četiri otpornosti od kojih je jedna nepoznata, G je osetljivi galvanometar. Otpore grana mosta menjamo i biramo tako da struja galvanometra na kraju bude jednaka nuli; iz tog uslova sledi:

$$\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{r_{3}}{r_{4}}. \tag{9}$$

Ovaj zaključak nećemo dokazivati. Vidimo: ako znamo otpornosti tri grane mosta, možemo odrediti i nepoznatu četvrtu otpornost.

Otpornost žice

Otpornost provodnika zavisi od oblika i dimenzija. Ta zavisnost je naročito prosta za dugačke cilindrične provodnike koji imaju stalni poprečni presek (žice). Tada važi

$$R=\rho \frac{\ell }{S}. \tag{10}$$

gde je $\ell$ dužina provodnika a S poprečni presek. Koeficijent proporcionalnosti $\rho$ zavisi od vrste supstancije i njenog stanja i zove se specifična električna otpornost date supstancije. Recipročna veličina se zove specifična električna provodnost supstancije. SI jedinica specifične otpornosti je $\Omega \cdot \text{m}$. U tabeli su date specifične otpornosti nekih supstancija u ovim jedinicama:

Supstancija	Specifična otponost	Supstancija	Specifična otpornost
Srebro	(1,66 - 1,63) 10^-8^	10%-ni vodeni rastvor NaCl	0,0825
Valjani bakar	1,78 10^-8^	Hemijski čista voda	$\sim 10^{6}$
Platina	11,0 10^-8^	Natrijumovo staklo	$\sim 10^{9}$
Konstantan(legura 60% Cu, 40% Ni)	49,0 10^-8^	Porculan	$\sim 10^{13}$
Nihrom (67,5% Ni, 15% Cr, 16% Fe, 1,5% Mn)	110 10^-8^	Ćilibar, topljeni kvarc	$\sim 10^{18}$
Grafit	$\sim 3\cdot 10^{-5}$

Prostu vezu (10) koristimo u praksi da napravimo razne žičane otpornike. Ako otpornosti treba menjati za vreme opita, mogu se upotrebiti reostati sa klizajućim kontaktom. Oni se sastoje iz jednoslojnog namotaja gole žice od legure koja ima veliku specifičnu otpornost (nihrom, nikelin i sl); žica je namotana na cilindar od izolatora koji može da podnese povišene temperature (porcelan, steatit i sl). Uz to postoji i klizajući kontakt. U strujno kolo se uključuje jedan kraj namotaja i klizajući kontakt. Na Sl. 9 pokazana

Sl. 9 Delitelj napona

je šema delitelja napona. Ako je $U_{0}$ napon između krajeva reostata ab, napon U između tačaka c i d (koje su rastavljene) iznosi

$$U=U_{0}\frac{r_{1}}{r}, \tag{11}$$

gde je $r$ ukupna otpornost reostata, a $r_{1}$ otpornost dela reostata između priključka b i klizajućeg kontakta.

Temperaturski koeficijent otpornosti

Specifična otpornost ne zavisi samo od vrste supstancije nego i od njenog stanja, posebno od temperature. Zavisnost specifične otpornosti od temperature moguće je okarakterisati temperaturskim koeficijentom otpornosti date supstancije:

$$\alpha =\frac{1}{\rho }\frac{d\rho }{dT}. \tag{12}$$

On daje relativni priraštaj otpornosti kada se temperatura poveća za l stepen.

Ako je interval promene temperature dovoljno mali, približno se može uzeti da je $\alpha$ konstantno, jednako nekoj srednjoj vrednosti u posmatranom intervalu. Tako, na primer, ako je $\rho _{0}$ specifična otpornost na 0 °C, a $\rho$ vrednost njena pri t °C, moguće je koristiti linearnu vezu

$$\rho =\rho _{0}\left(1+\alpha t\right). \tag{13}$$

Temperaturski koeficijent otpornosti može biti kako pozitivan, tako i negativan. Za metale je $\alpha >0$. Kod mnogih drugih provodnika prve vrste otpornost se smanjuje kada temperatura raste. Kod svih elektrolita (provodnici druge vrste) otpornost se pri zagrevanju uvek smanjuje, za njih je takođe $\alpha <0$.

Supstancija	Temperatura, $^{0}C$	Srednji temper. koeficijent otpornosti $\alpha$, $\text{K}^{-1}$
Srebro	0 — 100	$40\cdot 10^{-4}$
Bakar	18	$43\cdot 10^{-4}$
Platina	0 — 100	$38\cdot 10^{-4}$
Konstantan	18	$\left(-0,4\,\,-\,\,0,1\,\right)\cdot 10^{-4}$*)
10%-ni rastvor NaCl	18	— 0,021
Grafit	18	$-5\cdot 10^{-4}$
Staklo	100	od — 0,1 do — 0,2
*) Zavisno od uzorka.

U gornjoj tabeli su date vrednosti $\alpha$ za neke supstancije. Za sve čiste metale temperaturski koeficijent otpornosti skoro je 1/273=0,00367, tj. iznosi koliko i temperaturski koeficijent širenja gasova. Primetimo takođe da neke legure imaju veoma malo $\alpha$, kao na primer konstantan. Zato žice od takvih legura upotrebljavamo za pravljenje pouzdanih etalona otpornosti.

Zavisnost otpornosti metala od temperature koristi se u raznim mernim i automatizovanim uređajima. Najvažniji među njima je otporni termometar. To je otporna platinska žica koju stavljamo u jednu granu mosta za merenje otpornosti. Otpornost platine veoma je postojana u vremenu i dobro izučena u širokom intervalu temperatura. Zato, merenjem otpornosti žice od platine možemo vrlo tačno izmeriti i temperaturu. Otporni termometri imaju to važno preimućstvo što mogu da rade kako pri vrlo niskim, tako i pri visokim temperaturama, kada je nemoguće primeniti obične tečne termometre.

Na vrlo niskim temperaturama se kod nekih supstancija pojavljuje neobično stanje superprovodnosti, kada električna otpornost sasvim iščezava. Tu pojavu razmotrićemo kasnije.

Diferencijalni oblik Omovog zakona

Omov zakon, kako smo ga zapisali, pogodan je da se nađe jačina struje u žicama i uopšte u onim slučajevima kada su strujne cevi cilindri konstantnog preseka. Međutim, Omov zakon se može predstaviti i u drugom obliku koji je pogodan za rešavanje zadataka o strujama u provodnim sredinama.

Sl. 10 Uz Omov zakon u diferencijalnom obliku

Posmatrajmo u homogenoj i izotropnoj provodnoj sredini mali deo strujne cevi dužine $\Delta \ell$ (Sl. 10) i dva bliska ekvipotencijalna preseka na njoj, l i 2. Njihove potencijale označimo sa $U_{1}$ i $U_{2}$, a srednju vrednost poprečnog preseka sa $\Delta S$. Primenjujući na taj deo sredine Omov zakon dobijamo

$$i=j\Delta S=\frac{U_{1}-U_{2}}{\rho \left(\Delta \ell /\Delta S\right)}. \tag{14}$$

Uvedimo specifičnu elektroprovodnost sredine $\lambda =1/\rho$:

$$j=\lambda \frac{U_{1}-U_{2}}{\Delta \ell }=-\lambda \frac{U_{2}-U_{1}}{\Delta \ell }=-\lambda \frac{\Delta U}{\Delta \ell }. \tag{15}$$

Pređimo na limes $\Delta \ell \to 0$, pošto jedino u tom slučaju posmatrani deo cevi možemo smatrati cilindričnim. Dobijamo

$$\mathop{\lim }\limits_{\Delta \ell \to 0}\left(-\frac{\Delta U}{\Delta \ell }\right)=-\frac{dU}{d\ell }=E. \tag{16}$$

Ovde je E jačina električnog polja na tom mestu u provodniku. Uzimajući dalje da su gustina struje i jačina polja vektori, i da su u izotropnim sredinama oni paralelni, dobijamo najzad

. (17)

Ova relacija se zove diferencijalni oblik Omovog zakona. Ona sadrži veličine koje karakterišu električno stanje sredine u jednoj te istoj tački.

U anizotropnim sredinama, kao što su mnogi kristali, pravci $\vec{j}$ i $\vec{E}$ se u opštem slučaju ne podudaraju. U tom slučaju, jednostavna veza (17) više ne zadovoljava.

Polje $\vec{E}$ koje ulazi u relaciju (17) jeste polje u provodnoj sredini u prisustvu struje. Može se pokazati da se u homogenoj provodnoj sredini u svim praktično interesantnim slučajevima to polje podudara sa elektrostatičkim poljem $\vec{E}_{\text{st}}$, tj. sa poljem koje bi postojalo između datih elektroda kada bi na njima bio napon kao i u prisustvu struje, a umesto provodne sredine bio vakuum. Otuda proizilazi da se u homogenom provodniku linije sile elektrostatičkog polja podudaraju sa strujnicama. Uradimo jedan primer:

Provodni sferni kondenzator

Imamo sferni kondenzator kod koga je prostor između obloga napunjen supstancijom specifične elektroprovodnosti λ. Potencijal U njegovog električnog polja mi smo već izračunali. Nalazimo jačinu polja:

$$E=-\frac{dU}{dr}=\frac{U_{0}}{1/a-1/b}\frac{1}{r^{2}}. \tag{18}$$

Gustina struje na rastojanju $r$ od centra iznosi

$$j=U_{0}\frac{\lambda }{1/a-1/b}\frac{1}{r^{2}}. \tag{19}$$

U ovom slučaju za površinu S pogodno je izabrati sferu nekog radijusa $r$, sferu između elektroda. Tada je $j_{\text{n}}=j$ i, pored toga, $j$ je konstantno u svim tačkama sfere. Zato je

$$i=jS=U_{0}\frac{\lambda }{1/a-1/b}\frac{1}{r^{2}}4\pi r^{2}=\frac{4\pi \lambda }{1/a-1/b}U_{0}. \tag{20}$$

Jačina struje kroz kondenzator proporcionalna je naponu $U_{0}$ između obloga. Izlazi da je elektroprovodnost kondenzatora $\Lambda$ jednaka

$$\Lambda =\frac{i}{U_{0}}=\frac{4\pi \lambda }{1/a-1/b}. \tag{21}$$

Po tim formulama se može izračunati struja curenja i otpornost curenja $R=1/\Lambda$ sfernog kondenzatora.

Uporedimo dobijeni izraz za elektroprovodnost sfernog kondenzatora sa izrazom za kapacitet C; nalazimo odnos tih veličina

$$\frac{C}{\Lambda }=\frac{\varepsilon \varepsilon _{0}}{\lambda }. \tag{22}$$

Odnos zavisi jedino od svojstava sredine između elektroda. Taj rezultat važi i u opštem slučaju provodnika proizvoljnog oblika, proizvoljno postavljenih međusobno. Specifična elektroprovodnost $\lambda$ ovde treba da bude mnogo manja od specifične elektroprovodnosti provodnika.

Formula (22) korisna je u mnogim slučajevima. Tako, ako treba odrediti kapacitet nekog para provodnika, umesto neposrednog merenja kapaciteta (što nije jednostavno za male kapacitete) možemo staviti provodnike u sredinu poznatog $\lambda$ i izmeriti elektroprovodnost, a posle toga naći kapacitet po formuli (22).

Elektrolitička kada

Ako imamo neko dvodimenziono električno polje i želimo da opitom nađemo ekvipotencijalne linije polja, napravićemo metalne modele elektroda koje daju polje i staviti ih u slabo provodnu sredinu. Modeli mogu i da se ne poklapaju po dimenzijama sa originalom, ali mu moraju biti slični i na sličan način raspoređeni. Na elektrode dovodimo napon koji je proporcionalan naponu na stvarnim elektrodama. Tada će raspodela potencijala između elektroda-modela biti slična raspodeli potencijala između stvarnih elektroda. Za merenje potencijala u raznim tačkama sredine, zaranjamo u sredinu mali provodnik — sondu, na primer kratki metalni šiljak. Provodna sredina može biti bilo kakav elektrolit koji je naliven u dovoljno veliku kadu, otkuda se i opisani metod naziva metod elektrolitičke kade.

Sl. 11 Prosta elektrolitička kada

Na Sl. 11 pokazana je šema jedne od najprostijih elektrolitičkih kada. U drveni sanduk koji je napunjen vlažnim peskom spuštene su metalne elektrode a i b. Razmere sanduka moraju biti nekoliko puta veće od rastojanja između elektroda. Na elektrode se dovodi napon od baterije i delitelja napona. U pesak se stavljaju dve sonde l i 2 koje su priključene na voltmetar. Kada određujemo ekvipotencijalne linije, jedna od sondi ostaje nepokretna a druga se kreće od tačke do tačke i pronalazi takve za koje je otklon voltmetra jednak nuli. Na taj se način određuje jedna od ekvipotencijalnih linija. Zatim se prva sonda premešta u drugu tačku, s drugom vrednošću potencijala, pa sa drugom sondom nalazimo tačke koje leže na drugoj ekvipotencijalnoj liniji, itd. Postupajući na sličan način možemo odrediti formu i raspored ekvipotencijalnih linija električnog polja datih elektroda. Umesto voltmetra pogodnije je upotrebiti nulti galvanometar, sa nulom u centru skale.

Elektrolitička kada ima velika preimućstva nad električnim sondama. Okolnost da u elektrolitu teku struje omogućava upotrebu voltmetara i galvanometara koji su znatno pogodniji i sigurniji od elektrometara. Pored toga, raspodela struja i napona u kadi nije osetljiva na strane elektrostatičke uticaje. Zato elektrolitička kada daje dobre mogućnosti za analizu električnih polja, pa se široko primenjuje u praksi.

Uzemljenje

Šema uzemljenja predstavljena je na Sl. 12. Pri postavljanju telegrafskih i telefonskih linija, i sličnih žičnih vodova, vodi se samo jedan provodnik (L). Taj provodnik je spojen samo sa jednim polom izvora struje B u

Sl. 12 Uzemljenje u linijama veze

upravnoj stanici, a drugi pol izvora spajamo za metalni predmet Z koji je zakopan u zemlju. Aparat prijemne stanice (prikazan kao galvanometar G) spojen je za liniju i drugi takav uzemljeni predmet. Ulogu drugog provodnika koji zatvara kolo igra zemlja. Bitno je da otpornost uzemljenja praktično ne zavisi od rastojanja između stanica. Otpornost uzemljenja relativno je mala (kod dobrih uzemljenja — delovi oma ili nekoliko oma), makar sredina između elektroda i loše provodila elektricitet (suvo tlo, stene i sl).

Sl. 13 Uz objašnjenje delovanja uzemljenja

Posmatrajmo jednostavne elektrode u vidu dve identične kugle radijusa a i pretpostavimo da su one smeštene u neograničenu homogenu sredinu specifične elektroprovodnosti $\lambda$ (Sl. 13). Sredinu između kugli možemo zamisliti kao skup strujnih cevi koje su paralelno vezani provodnici (jedna od strujnih cevi je šrafirana). Povećavajući rastojanje između kugli, povećavamo dužinu svake strujne cevi, pa se povećava i njena otpornost. Međutim, tada će se i strujnice u sredini sve više i više udaljavati od obe kugle (u graničnom slučaju beskonačnog rastojanja između kugli strujnice su upravljene duž radijusa kugli i odlaze u beskonačnost). Zato i presek strujnih cevi na koje smo podelili sredinu biva sve veći a to dovodi do smanjenja otpornosti svake strujne cevi. Fizički uzrok nezavisnosti otpornosti od rastojanja se i sastoji u tome da povećanje preseka kompenzuje povećanje dužine.

Izračunajmo otpornost između kugli. Okružimo jednu od kugli zatvorenom površinom S koja se nalazi uz samu površinu kugle i izračunajmo jačinu struje kroz nju. Pretpostavićemo da je rastojanje između kugli $r\gg a$. Možemo da zanemarimo međusobni uticaj kugli pa da smatramo da se naelektrisanja raspodeljuju ravnomerno na kuglama. Ako su naelektrisanja na kuglama jednaka $+q$ i $-q$, potencijali su (u odnosu na beskonačnost) dati relacijama

$$U_{1\infty }=\frac{1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}\frac{q}{a}\,\,,\,\quad \,U_{2\infty }=\frac{-1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}\frac{q}{a}. \tag{23}$$

Razlika potencijala ili napon između kugli je

$$U=U_{1\infty }-U_{2\infty }=\frac{1}{2\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}\frac{q}{a}. \tag{24}$$

Jačina polja blizu kugle iznosi

$$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}\frac{q}{a^{2}}=\frac{U}{2a}. \tag{25}$$

Odavde nalazimo jačinu struje kroz površinu kugle:

$$i=\int_{S} jdS=\lambda \int_{S} EdS=\lambda \frac{U}{2a}4\pi a^{2}=2\pi a\lambda U. \tag{26}$$

Dakle, otpornost R sredine između kugli je jednaka

$$R=\frac{U}{i}=\frac{1}{2\pi a\lambda }. \tag{27}$$

Vidimo da otpornost uopšte ne zavisi od rastojanja između elektroda i određena je jedino radijusom kugli i specifičnom elektroprovodnošću sredine.

Dobijeni rezultat je relativno lako proveriti eksperimentalno. Spustimo u nekakav elektrolit koji se nalazi u velikoj kadi dve male metalne kuglice i uključimo ih u strujno kolo koje sadrži bateriju i ampermetar. Da bi u kontaktu sa elektrolitom bile jedino površine kuglica, vodove do kuglica moramo izolovati staklenim cevčicama. Pročitajmo pokazivanje ampermetra i pomerajmo kuglice, tj. menjajmo rastojanje između njih. Vidimo: dok je rastojanje između kuglica veće od nekoliko radijusa, pokazivanje ampermetra praktično ne zavisi od rastojanja između kuglica, znači da i otpornost ostaje stalna. I tek kada su kuglice na rastojanju reda njihovog radijusa, ampermetar pokaže povećanje struje.

Ponovo posmatrajmo Sl. 13; vidimo da je gustina linija sile velika jedino u neposrednoj blizini kuglica. To znači da je jačina polja velika jedino blizu kuglica i, dakle, osnovni deo napona otpada na delove sredine koji su neposredno do elektroda. Zato i otpornost uzemljenja praktično zavisi jedino od specifične elektroprovodnosti tih delova. Da bismo umanjili otpornost uzemljenja, elektrode zakopavamo na dubini gde je vlažnost znatnija, jer je tamo velika elektroprovodnost zbog rastvorenih soli koje zemlja sadrži.