Energija električnog polja

Definicija električnog kapaciteta

Dva provodnika između kojih postoji električni napon, a sve linije sile koje polaze sa jednog provodnika završavaju se na drugom, čine prosti kondenzator.

Sferni kondenzator se sastoji iz dve koncentrične sfere. Dve paralelne provodne ploče moguće je smatrati prostim kondenzatorom ako je rastojanje između ploča malo u odnosu na njihove dimenzije (ravanski kondenzator). Prosti kondenzator je i cilindrični kondenzator ako je dužina cilindara velika u odnosu na zazor između njih. Dva provodnika koji obrazuju kondenzator su obloge kondenzatora.

Pošto linije sile počinju i završavaju se na naelektrisanjima, možemo reći da su naelektrisanja koja se nalaze na oblogama prostog kondenzatora uvek jednaka po veličini, a suprotna po znaku.

Jačina polja u nekoj tački između obloga kondenzatora, uvek je proporcionalna količini elektriciteta na oblogama. Zato je i napon U između obloga kondenzatora uvek proporcionalan naelektrisanju obloga q:

$$q=CU. \tag{1}$$

Koeficijent C u ovoj formuli zove se električni kapacitet kondenzatora ili prosto kapacitet.

Jedinica za kapacitet je farad (F). To je kapacitet kondenzatora koji ima napon između obloga jedan volt kad je naelektrisanje na jednoj od obloga jedan kulon, $\text{F}\,=\,\text{C}/\text{V}$. U praksi se takođe primenjuju i manje jedinice kapaciteta: mikrofarad ($\mu \text{F}=10^{-6}\,\text{F}$), pikofarad ($\text{pF}=10^{-12}\,\text{F}$) i sl.

Kapacitet kondenzatora zavisi od razmera obloga, oblika obloga i od svojstava sredine koja se nalazi između obloga.

Neka je $C_{0}$ kapacitet nekog kondenzatora u vakuumu. (Praktično i u vazduhu.) Neka je, dalje, $C$ kapacitet tog istog kondenzatora kad se u prostoru između njegovih obloga nalazi neki izolator. Odnos

$$\frac{C}{C_{0}}=\varepsilon \tag{2}$$

zove se permitivnost (dielektrična propustljivost) izolatora. Veličina $\varepsilon$ karakteriše električna svojstva supstancije i zavisi od vrste supstancije i njenog stanja (temperatura, pritisak itd).

Permitivnost je bezdimenziona veličina.

U tabeli navodimo permitivnosti nekih supstancija:

[TABLE]

Kapacitet kondenzatora prostog oblika se najčešće može izračunati. Razmotrimo glavne slučajeve.

Kapacitet ravanskog kondenzatora

Smatraćemo da je razmak obloga mali u odnosu na njihove razmere, pa možemo zanemariti efekte krajeva. Mi smo već izračunali raspodelu potencijala u polju ravanskog kondenzatora. Ako je $\sigma$ naelektrisanje po jedinici površine obloge, a kondenzator je u vakuumu, ukupni napon između obloga je

$$U=\frac{\sigma d}{\varepsilon _{0}}, \tag{3}$$

gde je d rastojanje između obloga. Ako je površina svake od obloga S, ukupno naelektrisanje obloge je $q=\sigma S$. Zato je

$$C=\frac{q}{U}=\frac{\varepsilon _{0}S}{d}. \tag{4}$$

Ako dielektrik nije vazduh nego supstancija permitivnosti $\varepsilon$ koja se nalazi svuda tamo gde postoji električno polje (prostor između obloga), kapacitet će se povećati $\varepsilon$ puta:

$$C=\frac{\varepsilon _{0}\varepsilon S}{d}. \tag{5}$$

Kapacitet raste kada se smanjuje rastojanje između obloga kondenzatora.

Kapacitet sfernog kondenzatora

Ako na oblogama kondenzatora postoji naelektrisanje q, napon između obloga u vakuumu je

$$U=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\,\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right), \tag{6}$$

gde su a i b radijusi unutrašnje i spoljašnje obloge. Zato je kapacitet

$$C=\frac{q}{U}=\frac{4\pi \varepsilon _{0}}{{1}/{a-{1}/{b}}}. \tag{7}$$

Ako je spoljašnji radijus mnogo veći od unutrašnjeg ($b>>a$), formula se uprošćava:

$$C\approx 4\pi \varepsilon _{0}a. \tag{8}$$

Ovaj rezultat važi i kada spoljašnja obloga nije sfera, ako je zadovoljen uslov da su dimenzije obloge mnogo veće od radijusa unutrašnje sfere. U tom smislu često se govori o kapacitetu usamljene kugle, mada taj izraz uvek označava kapacitet kondenzatora kod kojeg ulogu spoljašnje obloge igraju udaljeni predmeti koji se nalaze na istom potencijalu (zidovi sobe i slično).

Suprotno, ako je debljina kondenzatora $b-a=d$ veoma mala u odnosu na srednji radijus sfera r, formula se redukuje na

$$C=4\pi \varepsilon _{0}\frac{ab}{b-a}\approx 4\pi \varepsilon _{0}\frac{r^{2}}{d}, \tag{9}$$ $$C\approx \varepsilon _{0}\frac{S}{d}, \tag{9a}$$

gde je $S=4\pi r^{2}$ površina obloga. Za male debljine kondenzatora, izrazi za kapacitete sfernog i ravanskog kondenzatora se podudaraju.

Kapacitet cilindričnog kondenzatora

Bez izvođenja dajemo rezultat za kapacitet cilindričnog kondenzatora, po jedinici dužine:

$$C_{1}=\frac{q_{1}}{U}=\frac{2\pi \varepsilon _{0}}{\ln \left({b}/{a}\right)}. \tag{10}$$

Ovde je $q_{1}$ naelektrisanje po jedinici dužine cilindara, a a i b su poluprečnici cilindara.

Ta formula izražava i kapacitet kabla koji se sastoji iz metalnog provodnika okruženog slojem izolatora i metalnog oklopa; izraz (10) treba još pomnožiti sa permitivnošću $\varepsilon$ izolatora.

Jedinica električne konstante

Iz relacije (4) neposredno dobijamo

$$\varepsilon _{0}=\frac{Cd}{S}. \tag{11}$$

Stavljajući ovde umesto C, d i S odgovarajuće jedinice za merenje dobijamo

$$\text{jedinica}\,\;\varepsilon _{0}=\frac{\text{Fm}}{\text{m}^{2}}=\frac{\text{F}}{\text{m}}. \tag{12}$$

Već smo naučili u prvoj lekciji kolika je brojna vrednost ove značajne fizičke konstante. Zato sada možemo da ponovimo i zapamtimo: $\varepsilon _{0}=8,85\cdot 10^{-12}$ farada po metru.

Energija naelektrisanog kondenzatora

Naelektrisani kondenzator poseduje energiju.

Ako u šemi na Sl. 1 stavimo prekidač u položaj l, spojićemo kondenzator C s baterijom i napuniti ga do napona baterije. Prebacivanjem prekidača u položaj 2 prazni se kondenzator kroz električnu sijalicu, koja zasvetli.

Sl. 1 Kad se kondenzator prazni kroz električnu sijalicu

Izračunajmo energiju naelektrisanog kondenzatora. Zamislimo da se kondenzator prazni i označimo sa $u$ trenutnu vrednost napona na njegovim oblogama u procesu pražnjenja. Ako mala količina naelektrisanja $dq$ poteče između obloga za vreme $dt$, rad električnih sila $dA$ iznosi

$$dA=u\,dq. \tag{13}$$

Pošto je $q=Cu$, dobijamo

$$dA=Cu\,du. \tag{14}$$

Ukupni rad $A$ koji vrše električne sile za sve vreme pražnjenja, a on je jednak energiji kondenzatora W sa promenjim znakom, naći ćemo integraleći ovaj izraz od napona U (početak procesa) do 0 (kraj procesa):

$$A=C\int_{U}^{0} u\,du, \tag{15}$$ $$W=\frac{1}{2}CU^{2}. \tag{15a}$$

Budući da je $q=CU$, energiju naelektrisanog kondenzatora možemo izraziti na jedan od sledećih načina:

$$W=\frac{1}{2}\,CU^{2}=\frac{1}{2C}\,q^{2}=\frac{1}{2}\,qU. \tag{16}$$

Zahvaljujući tome što mogu akumulirati energiju, kondenzatori igraju veliku ulogu u elektrotehnici i radiotehnici.

Kombinovanje kondenzatora

Kondenzator se karakteriše ne samo svojim kapacitetom nego još i maksimalnim radnim naponom.

Da bismo, raspolažući određenim kondenzatorima, dobili željeni kapacitet za zadati radni napon, kondenzatore možemo vezivati u baterije. Savladajmo osnovna znanja o pravilima kombinovanja kondenzatora.

Pogledajmo šeme na Sl. 2.

Sl. 2 Spajanje kondenzatora; a - paralelno, b — redno, c — mešovito

Na šemi levo je paralelno vezivanje kondenzatora. U tom slučaju napon U je isti za sve kondenzatore pa imamo za naelektrisanja obloga

$$q_{1}=C_{1}U,\,\,\,q_{2}=C_{2}U,\,\,\,... \tag{17}$$

Ukupno naelektrisanje baterije iznosi

$$q=\sum\limits q_{i}=U\sum\limits C_{i}, \tag{18}$$

pa je kapacitet baterije

$$C=\frac{q}{U}=\sum\limits C_{\text{i}}. \tag{19}$$

Kapacitet baterije kondenzatora koji su vezani paralelno jednak je zbiru kapaciteta pojedinih kondenzatora. Pošto je u tom slučaju napon na svakom od kondenzatora jednak naponu na bateriji, to je i dopustivi radni napon baterije isti kao za jedan kondenzator.

Na šemi u sredini Sl. 2 vidimo redno vezivanje kondenzatora. Za sve kondenzatore isto je naelektrisanje q, koje je jednako ukupnom naelektrisanju baterije, pa možemo da pišemo:

$U_{1}=\frac{q}{C_{1}},\,\,\,U_{2}=\frac{q}{C_{2}}$, … (20)

Napon baterije biće jednak zbiru napona na pojedinim kondenzatorima:

$$U=\sum\limits U_{\text{i}}=q\sum\limits \frac{1}{C_{\text{i}}}. \tag{21}$$

Zato je kapacitet baterije određen vezom

$$\frac{1}{C}=\sum\limits \frac{1}{C_{\text{i}}}. \tag{22}$$

U rednom vezivanju kondenzatora sabiraju se recipročne vrednosti kapaciteta pojedinih kondenzatora da bi se dobila recipročna vrednost ukupnog kapaciteta. Napon na svakom od kondenzatora je manji od napona baterije, te je dopustivi radni napon veći nego za jedan kondenzator.

Sl. 3 Ekvivalentne šeme kondenzatora sa gubicima

Na Sl 2c pokazan je primer mešovitog vezivanje kondenzatora. Kapacitet takve baterije moguće je izračunati koristeći već izvedene formule za rednu i paralelnu vezu: prvo se nađu kapaciteti u granama gde imamo rednu vezu, a onda se primeni formula za paralelnu vezu. Postoje i složeniji tipovi baterija kondenzatora, o čemu ovde nećemo govoriti.

Realni kondenzator

U praksi uvek treba imati u vidu da dielektrik nekog kondenzatora nije idealan izolator. Realni kondenzator može biti predstavljen ekvivalentnom šemom u vidu idealnog kondenzatora C (bez efekta provođenja) i paralelno vezanog otpornika velike otpornosti r. U slučaju paralelnog vezivanja kondenzatora, ekvivalentni otpornik ne igra naročitu ulogu i napon na svakom kondenzatoru biće, kao i pre, jednak naponu baterije.

No tako neće biti u rednom vezivanju. Ako je uslovno idealni kondenzator $C_{2}$ na šemi u sredini slike 3 spojen redno sa kondenzatorom $C_{1}$ koji ima otpornost odvođenja $r_{1}$, tada će se u toku vremena kondenzator $C_{1}$ prazniti i na kraju krajeva na kondenzatoru $C_{2}$ biće ukupni napon baterije. U realnom slučaju kad oba kondenzatora imaju otpornosti odvođenja (šema desno), stacionarni naponi zavisiće ne od kapaciteta — no od otpornosti odvođenja. Na kondenzatoru koji ima manje odvođenje (curenje) biće viši napon i on može probiti. Zato redno vezivanje ne primenjujemo u radu sa konstantnim naponom, ali ga primenjujemo u kolima naizmenične struje.

Gustina električne energije

Videli smo da naelektrisani kondenzator poseduje izvesnu energiju. Zato je moguće postaviti pitanje: gde je zapravo lokalizova ta energija? Može se, na primer, pretpostaviti da je energija na oblogama kondenzatora, tj. u naelektrisanjima; međutim, može se takođe pretpostaviti da je energija kondenzatora lokalizovana u njegovom električnom polju, tj. u prostoru između obloga. Tu dilemu, očigledno, može da reši jedino eksperiment.

Dok god mi posmatramo stalna električna polja takav eksperiment nije moguć, jer u tom slučaju uvek imamo naelektrisanja koja su okružena električnim poljem i, obratno, električno polje zajedno sa naelektrisanjima. Međutim, eksperimentalne podatke koji nas interesuju možemo dobiti razmatrajući vremenski promenljiva polja. Postoje elektromagnetski talasi koji predstavljaju električna i magnetska polja promenljiva u vremenu i koja se kroz prostor prostiru određenom brzinom. Električna polja u elektromagnetskim talasima moguće je dobiti bez naelektrisanja koja su prvobitno izazvala ta električna polja (kao i magnetska polja bez električnih struja koje ih podržavaju). Opit pokazuje da elektromagnetski talasi sadrže u sebi i prenose energiju i tu energiju mi sa uspehom koristimo u radiotehnici u cilju komuniciranja, i u drugim — danas brojnim — tehničkim disciplinama.

Činjenica da postoje elektromagnetski talasi dozvoljava da se odgovori na gore postavljeno pitanje i zaključi da je energija lokalizovana u električnom polju.

Uzimajući u obzir taj rezultat možemo preurediti izraz za energiju ravanskog kondenzatora tako da u njega uđe karakteristika polja — njegova jačina. Dobijamo

$$W=\frac{1}{2}\left(\varepsilon \varepsilon _{0}S/d\right)U^{2}=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}\left(U/d\right)^{2}Sd. \tag{23}$$

Ovde $U/d$ jeste jačina polja E, a $Sd$ je zapremina u kojoj postoji polje. Vidimo da je energija homogenog polja proporcionalna zapremini u kojoj je polje. Zato ima smisla govoriti o energiji po jedinici zapremine ili o zapreminskoj gustini energije električnog polja. Ona je jednaka

$$u=\frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}. \tag{24}$$

Ako je električno polje nehomogeno, ono se može podeliti na elementarne zapremine $d\tau$ i uzeti da je u granicama fizički maloga prostora to polje homogeno. Zato će energija koja postoji u zapremini $d\tau$ biti $ud\tau$. Ukupna energija nekog električnog polja može biti predstavljena u obliku:

$$W=\frac{1}{2}\varepsilon _{0}\int_{\tau } \varepsilon E^{2}d\tau, \tag{25}$$

gde se integracija izvodi po celoj zapremini $\tau$ u kojoj postoji električno polje.