Razlika potencijala

Rad u elektrostatičkom polju

Pretpostavimo da se naelektrisanje premešta u kondenzatoru sa Sl. 1 iz tačke l u tačku 2. Na naelektrisanje sve vreme deluje Kulonova sila; pri pomeranju izvršiće se određeni rad $A_{12}$. Jasno, ako se to isto naelektrisanje premešta po tom putu u obrnutom smeru (od tačke 2 ka tački 1), rad menja samo znak: $A_{21}=-A_{12}$.

Sl. 1 Rad pri premeštanju naelektrisanja ne zavisi od oblika puta

Rad pri premeštanju naelektrisanja u elektrostatičkom polju ne zavisi od oblika puta; određen je jedino položajem tačaka 1 i 2, koje su početak i kraj putanje. Stvarno, dopustimo da to nije tako i da rad $A_{12}^{(L)}$.pri premeštanju naelektrisanja duž konture L na Sl. 1 nije jednak radu $A_{12}^{(L_{1})}$ za konturu $\text{L}_{1}$ -

pri čemu obe te konture spajaju iste tačke l i 2. Tada, premeštajući naelektrisanje po zatvorenoj konturi koja je sastavljena od puteva $\text{L}$ i $\text{L}_{1}$ nalazimo da su električne sile izvršile rad

$$A_{12}^{(L)}+A_{21}^{(L_{1})}=A_{12}^{(L)}-A_{12}^{(L_{1})} \tag{1}$$

koji nije jednak nuli. No to protivureči opštem zakonu održanja energije. Ako su naelektrisanja koja izazivaju polje nepokretna, onda pokretno naelektrisanja ne dovodi ni do kakvih procesa u okolnim telima. Posle vraćanja u polaznu tačku 1 nemamo nikakvih izmena u datom sistemu tela i zato ne može biti ni dobitka ni gubitka rada. Dakle, naša pretpostavka nije tačna, pa je stvarno

$$A_{12}^{(L)}=A_{12}^{(L_{1})} \tag{2}$$

Dokazali smo našu početnu tvrdnju. Još, rad je ravan nuli ako se naelektrisanje premešta po zatvorenom putu.

Električni napon

U elektrostatičkom polju premešta se iz tačke l u tačku 2 pozitivno jedinično naelektrisanje. Rad koji vrše sile polja u toku premeštanja ne zavisi od oblika puta. Taj rad zavisi jedino od osobina polja i zato može da služi kao karakteristika polja; ta se karakteristika naziva razlika potencijala tačaka l i 2 u datom električnom polju ili električni napon između tačaka l i 2.

Sl. 2 Uz definiciju razlike potencijala

Ako je $ds$ element puta, $E_{\text{s}}$ projekcija vektora jačine polja na pravac $ds$ (Sl. 2), tada je rad sila polja pri premeštanju naelektrisanja na delu puta $ds$ jednak $E_{\text{s}}ds$. Zato je razlika potencijala tačaka l i 2, po definiciji

(3)

gde se integrali duž proizvoljne konture L koja spaja posmatrane tačke i to u smeru od l do 2.

Neposredna posledica ove definicije glasi: rad $A_{12}$ sila polja pri premeštanju naelektrisanja $q$ iz tačke l u tačku 2 iznosi

$$A_{12}=qU_{12}. \tag{4}$$

Fizički smisao ima jedino razlika potencijala ili napon između dve tačke polja, pošto je rad određen samo tada kada su zadane dve tačke — početak i kraj puta. Bez obzira na to, često se govori o potencijalu ili naponu u datoj tački — podrazumeva se da je jedna tačka unapred izabrana. Često se ta tačka bira “u beskonačnosti” tj. dovoljno daleko od svih naelektrisanih tela.

Ako jedinično naelektrisanje pomeramo po zatvorenoj konturi, na primer prvo iz tačke l do tačke 2 po konturi L (Sl. 1) a zatim od 2 do l duž $\text{L}_{1}$, rad će biti

$$U_{12}+U_{21}=U_{12}-U_{12}=0. \tag{5}$$

U elektrostatičkom polju napon duž zatvorene konture uvek je jednak nuli.

Poslednje tvrđenje izražava važno svojstvo elektrostatičkog polja. Upravo se zbog toga za elektrostatičko polje može uvesti pojam razlike potencijala koja je jednoznačno određena poljem (ne zavisi od oblika puta) i zato ta razlika može služiti kao karakteristika polja.

To svojstvo elektrostatičkog polja moguće je ovako izraziti

$$\oint E_{s}\,ds=0, \tag{6}$$

gde kružić na integralu označava da se integrali po zatvorenoj konturi. Krivolinijski integral nekog vektora duž zatvorene konture zove se cirkulacija vektora duž te konture. Cirkulacija jačine električnog polja duž proizvoljne konture jednaka je nuli.

Opisivanje električnog polja pomoću razlike potencijala daleko je prostije nego pomoću jačine polja. Jačina polja je vektor i zato u svakoj tački polja treba znati tri skalarne veličine — komponente vektora. Potencijal je skalar i u svakoj tački u potpunosti je određen samo brojnom vrednošću.

Još, u eksperimentu je znatno lakše izmeriti potencijal nego jačinu polja. Nema posve udobnih metoda za merenje jačine polja. Za merenje razlike potencijala, naprotiv, postoje mnogobrojni metodi i razni pribori.

Jedinica razlike potencijala u SI sistemu je volt (V). Volt je džul kroz kulon.

Primetimo: ako koristimo formulu (4), energiju naelektrisanja možemo izraziti u električnim jedinicama umesto u mehaničkim (erg, džul itd.). Takva električna jedinica je elektronvolt (eV). To je ona energija koju dobija čestica naelektrisanja $e=1,6\cdot 10^{-19}\text{C}$ (elektron) kad prelazi u vakuumu napon od l V. Jedan elektronvolt je, očigledno, $1,6\cdot 10^{-19}\text{J}=1,6\cdot 10^{-12}\text{erg}$. Mada ne pripada SI sistemu, elektronvolt je praktična jedinica, naročito u optici, atomskoj i nuklearnoj fizici; u elektronvoltima obično izražavamo energiju raznih elementarnih čestica (elektrona, protona itd.). Pri tom upotrebljavamo i umnoške: kiloelektronvolt ($\text{keV}=10^{3}$ eV) i megaelektronvolt ($\text{MeV}=10^{6}$ eV). Nedavni CERN eksperimenti, kad je startovao LHC (large hadron collider) program sa najvećim svetskim akceleratorom, uključuju sudaranje protonskih snopova energije 7 TeV (teraelektronvolt, hiljadu milijardi elektronvolti).

Zemlja je provodnik

Ako u nekom provodniku ne teče struja, jačina polja $E_{\text{i}}$. u proizvoljnoj tački u provodniku jednaka je nuli. Tada je i vektor jačine polja na površini provodnika normalan na površinu. Otuda sledi da za premeštanje naelektrisanja iz jedne tačke provodnika u neku drugu ne treba vršiti nikakav rad. To znači da nema napona između dve proizvoljne tačke kako u provodniku tako i na njegovoj površini.

Ako nema struje, sve tačke provodnika imaju isti električni potencijal.

Zemlja je takođe provodnik. Mada u zemlji teku struje, može se smatrati da su naelektrisanja Zemlje blizu ravnoteže pošto su struje male. U mnogim slučajevima je zato moguće uzeti da sve tačke na Zemlji imaju isti potencijal. To je razlog da često uzimamo Zemlju za referentnu tačku pri merenju potencijala, pa onda govorimo o potencijalu u odnosu na Zemlju.

Ako dva provodnika spojimo metalnom žicom, oba provodnika i žica obrazuju jedinstven provodnik. Ako je do momenta spajanja između provodnika postojala razlika potencijala, neće biti moguća ravnoteža naelektrisanja. Jačina polja $E$ u žici neće biti jednaka nuli i slobodni elektroni u žici počeće da se kreću, tj. javlja se električna struja. Ta struja će postojati sve dok se ne izjednače potencijali provodnika.

Veza između napona i jačine električnog polja

Ako je poznata raspodela potencijala, moguće je naći i jačinu električnog polja u svakoj tački.

Sl. 3 Uz izvođenje relacije između razlike potencijala i jačine polja

Pretpostavimo da se naelektrisanje $q_{1}$ premešta iz tačke l u tačku 2 pravolinijskim odsečkom $\Delta \vec{s}$ (videti Sl. 3). Rad električnih sila $\Delta A$ je očevidno:

$$\Delta A=q_{1}E_{\text{s}}\Delta s, \tag{7}$$

gde je $E_{\text{s}}$ projekcija vektora jačine $\vec{E}$ na pravac $\Delta \vec{s}$. Taj isti rad možemo izraziti pomoću napona $U_{12}$ između tačaka l i 2:

$$\Delta A=q_{1}U_{12}. \tag{8}$$

Uvedimo sada priraštaj napona (razlika potencijala tačke 2 (kraj puta) i tačke l (početak puta)) i označimo taj priraštaj prosto $\Delta U$:

$$\Delta U=U_{21}=-U_{12}. \tag{9}$$

Izjednačavajući dva izraza za rad dobijamo za jačinu električnog polja

$$E_{\text{s}}=-\frac{\Delta U}{\Delta s}. \tag{10}$$

U nehomogenom polju, dve tačke l i 2 moramo izabrati tako da su one blizu jedna drugoj. Prelazeći na graničnu vrednost $\Delta s\to 0$ dobijamo izraz

$$E_{s}=-\frac{dU}{ds}. \tag{11}$$

Izvod na desnoj strani predstavlja brzinu promene potencijala u datom pravcu. Vidimo da je projekcija vektora jačine na dati pravac jednaka brzini promene potencijala u tom pravcu, sa promenjenim znakom.

Gradijent neke skalarne veličine $\phi$ je vektor čiji se pravac poklapa sa pravcem najbržeg rasta veličine $\phi$. Intenzitet toga vektora jednak je promeni $\phi$ pri premeštanju za jedinicu dužine u pravcu najbržeg rasta. Taj vektor se označava simbolom grad $\phi$. Iz rečenog proizilazi da je jačina električnog polja jednaka gradijentu potencijala sa promenjenim znakom:

$$\vec{E}=-\text{grad}U. \tag{12}$$

Znajući raspodelu potencijala možemo odrediti i projekciju jačine polja na bilo koji pravac; posebno, možemo naći projekcije $\left(E_{\text{x}},E_{\text{y}},E_{\text{z}}\right)$ vektora $\vec{E}$ u Dekartovom sistemu. (Više o ovome studenti uče na završnim godinama studija, pošto savladaju odgovarajuće matematičke tehnike.)

U ravnom kondenzatoru, $U$ je napon među oblogama i $d$ debljina kondenzatora. U tom prostom slučaju veza (11), to jest (12), neposredno daje jačinu polja ravnog kondenzatora:

$$E=\frac{U}{d}. \tag{13}$$

Jedinica jačine električnog polja je volt po metru (V/m).

Između dva provodnika postoji električno polje kad god postoji nenulti električni napon između njih. Kada želimo da razelektrišemo neki provodnik, spajamo ga sa uzemljenim predmetom (dovodimo ga na potencijal Zemlje, koji je uslovno nulti potencijal).

Ekvipotencijalne površine

U električnom polju, tačke istog potencijala čine ekvipotencijalne površine. Pomoću ekvipotencijalnih površina mogu se grafički predstavljati električna polja. U preseku sa ravni crteža ekvipotencijalne površine daju ekvipotencijalne linije; one često daju jasnu predstavu kako se menja potencijal u datom polju.

Na Sl. 4 dat je instruktivan primer. Predstavljene su dve jednake kugle koje su naelektrisane istom količinom jednoimenog naelektrisanja. Pune linije su linije istog potencijala. Isprekidane linije su linije sile. Linija sile seče ekvipotencijalnu liniju pod pravim uglom. (Pitanje za studenta: u koordinatnom početku seku se ekvipotencijalne linije — je li to moguće?)

Sl. 4 Ekvipotencijalne linije (pune) i linije sile (isprekidane)

Pošto se sve tačke ekvipotencijalne površine nalaze na jednakom potencijalu, pri pomeranju naelektrisanja po njoj ne vrši se rad. To znači da je sila koja deluje na naelektrisanje sve vreme normalna na pravac pomeranja — linije sile su uvek normalne na ekvipotencijalne površine. Gustina ekvipotencijalnih linija proporcionalna je jačini polja: tamo gde je veća jačina polja tamo su i ekvipotencijalne linije bliže jedna drugoj.

Površina provodnika bez struje je jedna ekvipotencijalna površina.

Elektrometar

Električni napon se može prosto meriti instrumentom koji se zove voltmetar. Na Sl. 5 predstavljen je jedan od najprostijih elektrostatičkih voltmetara — elektrometar. On ima laku aluminijsku kazaljku a koja je pričvršćena za metalni štap b. Kazaljka se može okretati oko horizontalne ose. Štap i kazaljka su u metalnom sudu c i dobro su izolovani od suda pomoću čepa d od neprovodnog materijala (ćilibar, kvarc, ebonit itd). Pribor ima skalu na kojoj se čita ugao otklona kazaljke.

Pogledajmo prvo kako se meri napon između dva provodnika. Telo elektrometra treba spojiti sa jednim provodnikom, a štap sa drugim. Ako treba izmeriti napon između naelektrisanog provodnika i Zemlje, telo elektrometra uzemljimo, a štap spajamo pomoću metalne žice sa naelektrisanim provodnikom.

Sl. 5 Elektrometar sa kazaljkom (levo); merenje napona

između naelektrisanog provodnika i zemlje (desno)

Otklon kazaljke zavisi od napona između kazaljke i suda (tela elektrometra). Na kazaljku deluju sile zato što unutra postoji električno polje. To polje zavisi samo od napona, jer sud ima stalan oblik. Jedan te isti napon između kazaljke i suda daje uvek jednu te istu jačinu polja na površini kazaljke pa će biti i jedna te ista sila koja tera kazaljku na otklanjanje. To i znači da elektrometar meri napon. Pribor se može graduisati, tj. odrediti kojim naponima odgovaraju pojedini uglovi otklona kazaljke.

Opisani elektrometar pogodan je za merenje visokih napona (hiljade i desetine hiljada volti), za demonstracije u učionicama i sl. Za merenje malih napona, i uopšte finija merenja, postoje elektrometri drugih tipova.

Elektrometre treba prethodno kalibrisati (graduisati). U tu svrhu se često koriste normalni elementi koji predstavljaju galvanske elemente napravljene od takvih materijala da obezbeđuju veoma veliku stabilnost napona među elektrodama. Taj napon je bio pažljivo izmeren i danas je dobro poznat pa su normalni elementi zgodni etaloni napona koje je lako reprodukovati u svakoj laboratoriji. Normalni elementi igraju u električnoj mernoj tehnici onu ulogu koju za merenje mehaničkih veličina imaju etaloni dužine (metar) i mase (kilogram). Često je u upotrebi kadmijumov normalni element. Njegov napon na 20°C iznosi 1,0186 V.

Sl. 6 Kadmijumov normalni elemenat

Na sobnim temperaturama napon tog elementa skoro ne zavisi od temperature: ako se temperatura poveća za 1°C napon se promeni (smanji) za manje od 0,0001 V.

Potencijal tačkastog naelektrisanja

Nađimo potencijal električnog polja oko tačkastog naelektrisanja q. Uočimo neku tačku u tom polju koja je na rastojanju r od naelektrisanja i nađimo njen potencijal u odnosu na tačku u beskonačnosti. Možemo zamisliti da se probno naelektirisanje premešta iz tačke r u beskonačnost duž radijusa (linije sile). Tada je

$$U=\int_{r}^{\infty } E\,dr=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{r}^{\infty } \frac{dr}{r^{2}}=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{q}{r}. \tag{14}$$

Potencijal opada obrnuto proporcionalno prvom stepenu rastojanja od naelektrisanja.

Postupajući na sličan način, možemo naći raspodelu potencijala i u drugim poljima ako je poznata jačina polja u svakoj tački. Razmotrimo neke praktično važne primere.

Potencijal sfernog kondenzatora

Date su dve elektrode, koncentrične sfere radijusa $a$ (unutrašnji) i $b$ (spoljašnji). Jačinu polja $\text{Е}$ između takvih elektroda već smo izračunali. Razlika potencijala između unutrašnje sfere i neke tačke u kondenzatoru koja je na rastojanju r od centra kondenzatora iznosi

$$U=\int_{a}^{r} E\,dr=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{a}^{r} \frac{dr}{r^{2}}=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right). \tag{15}$$

U ovoj formuli može se izraziti naelektrisanje q pomoću razlike potencijala $U_{0}$ između elektroda:

$$U_{0}=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right). \tag{16}$$

Tako dobijamo

$$U=U_{0}\frac{{1}/{a-{1}/{r}}}{{1}/{a-{1}/{b}}}. \tag{17}$$

Potencijal ravanskog kondenzatora

Izračunajmo razliku potencijala između pozitivno naelektrisane obloge i proizvoljne tačke na rastojanju x od nje. Jačina polja u ravanskom kondenzatoru nam je već poznata, pa pišemo

$$U=\int_{0}^{x} E\,dx=\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}\int_{0}^{x} dx=\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}x. \tag{18}$$

Neka je $U_{0}$ napon između elektroda; onda je

$$U_{0}=\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}d, \tag{19}$$

gde je d debljina kondenzatora. To znači da je

$$U=U_{0}\frac{x}{d}. \tag{20}$$

U ravanskom kondenzatoru potencijal se menja po linearnom zakonu.

Sl. 7 Ekvipotencijalne površine i linije sile ravanskog kondenzatora

U ovim izračunavanjima nismo uzimali u obzir deformaciju električnog polja blizu krajeva ploča. Dobijene formule primenljive su samo za centralne delove kondenzatora. Električno polje ravanskog kondenzatora prikazano je na Sl. 7. Do samih krajeva postoji praktično homogeno polje.

Potencijal cilindričnog kondenzatora

Bez dokaza navedimo da je formula potencijala u ovom slučaju

$$U=U_{0}\frac{\ln \left({r}/{a}\right)}{\ln \left({b}/{a}\right)}. \tag{21}$$

Ovde je r rastojanje od ose cilindara do posmatrane tačke, a je radijus unutrašnjeg cilindra, b radijus spoljašnjeg cilindra, a $q_{1}$ naelektrisanje cilindra po jedinici dužine. Ukupni napon između cilindara je $U_{0}$. Potencijal se u cilindričnom kondenzatoru menja po logaritamskom zakonu.

Makroskopska naelektrisana tela

Uzmimo prvo da postoji u prostoru nekoliko tačkastih naelektrisanja. Po principu superpozicije, rezultantno polje je zbir polja pojedinih naelektrisanja. Zato je i ukupni potencijal toga polja jednak zbiru potencijala od pojedinih naelektrisanja:

$$U=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\sum\limits_{\text{i}} \frac{q_{\text{i}}}{r_{\text{i}}}. \tag{22}$$

U je ovde potencijal rezultantnog polja u posmatranoj tački u odnosu na beskonačnost, $r_{\text{i}}$ je rastojanje te tačke od i-tog naelektrisanja, a sumiranje se izvodi po svim tačkastim naelektrisanjima.

Slično se mogu dobiti i potencijali polja krupnih naelektrisanih tela. Na početku treba naći potencijal beskonačno malog elementa zapremine tela $d\tau$, razmatrajući ga kao tačkasto naelektrisanje. Taj potencijal je

$$U=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{\rho \,d\tau }{r}, \tag{23}$$

gde je $\rho$ zapreminska gustina naelektrisanja ma mestu elementa, a r rastojanje od elementa do uočene tačke polja. Ukupni potencijal onda iznosi

$$U=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{\tau } \frac{\rho \,d\tau }{r}, \tag{24}$$

gde se integrali po čitavoj zapremini $\tau$ naelektrisanog tela.

Ako se naelektrisanja nalaze jedino na površini tela, tada je

$$U=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{S} \frac{\sigma \,dS}{r}. \tag{25}$$

Ovde je $\sigma$ površinska gustina naelektrisanja, dS element površine tela, r rastojanje od elementa do posmatrane tačke polja, a integrali se po čitavoj naelektrisanoj površini S.

Na analogan način student može napisati i formulu za potencijal linijskog naelektrisanja — posebno za pravu, tanku, dugu naelektrisanu žicu.

Električno polje dipola

Posebno važan primer izračunavanja potencijala odnosi se na električni dipol. Potencijal u nekoj tački polja a je (Sl. 8)

$$U_{0}=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right)=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}r_{2}}. \tag{26}$$

Prvo pretpostavimo da je dužina dipola $\ell$ veoma mala u poređenju sa rastojanjima $r_{1},\;r_{2}$ do tačke a (elementarni dipol). Tada je

$$r_{1}-r_{2}\approx \ell \,\cos \alpha ,\,\,\,\,r_{1}r_{2}\approx r^{2}. \tag{27}$$

Sl. 8 Uz izračunavanje električnog polja dipola

pa izraz za potencijal dobija oblik

$$U=\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{p\,\cos \alpha }{r^{2}}. \tag{28}$$

Ovde je p dipolni moment, $\alpha$ je ugao između pravca dipolnog momenta i pravca radijus-vektora $\vec{r}$ koji spaja dipol i posmatranu tačku polja.

Sl. 9 Linije sile elementarnog dipola

Koristićemo polarne kordinate r i $\alpha$ sa početkom u tački položaja dipola; upravimo polarnu osu duž dipolnog momenta $\vec{p}$. Komponenta jačine električnog polja u pravcu $\vec{r}$ je, u skladu sa našom formulom (12),

$$E_{\text{r}}=-\frac{\partial U}{\partial r}=\frac{p\,\cos \alpha }{2\pi \varepsilon _{0}\,r^{3}}. \tag{29}$$

Ugaona komponenta jačine polja je

$$E_{\alpha }=-\frac{\partial U}{r\partial \alpha }=\frac{p\,\sin \alpha }{4\pi \varepsilon _{0}\,r^{3}}. \tag{30}$$

Ukupni intenzitet jačine polja u tački ($r,\alpha$) biće

$$E=\sqrt{E_{\text{r}}^{2}+E_{\alpha }^{2}}=\frac{p}{4\pi \varepsilon _{0}\,r^{3}}\sqrt{3\cos ^{2}\alpha +1}. \tag{31}$$

Vektor jačine zaklapa sa pravcem $\vec{r}$ ugao $\beta$:

$$\text{tg}\beta =\frac{E_{\alpha }}{E_{\text{r}}}=\frac{1}{2}\text{tg}\alpha . \tag{32}$$

Ove formule u potpunosti određuju jačinu polja po intenzitetu i pravcu u svakoj tački polja. Na Sl. 9 prikazane su linije sile polja oko elementarnog električnog dipola.

Ekraniranje polja

Kada nema električne struje, naelektrisanja se raspodeljuju jedino po površini provodnika.

Ako zamislimo da smo iz punog komada provodnika udaljili unutrašnji deo, dobijamo šupalj zatvoreni provodnik. Pošto unutrašnji deo nije bio naelektrisan, njegovo udaljavanje ne menja ni raspodelu polja ni raspodelu naelektrisanja u preostalom delu provodnika. Zato će ravnotežna raspodela naelektrisanja u punom provodniku biti ista kao i u šupljem provodniku, tj. naelektrisanja će biti samo na spoljašnjoj površini. Jačina polja biće jednaka nuli u svakoj tački zida i u svakoj tački u šupljini.

Ako se zatvoreni šuplji metalni provodnik nalazi u električnom polju (gornja šema na Sl. 10), na njemu će se pojaviti indukovana naelektrisanja. Ta naelektrisanja su u celosti na spoljnoj površini a električno polje i u metalu i u šupljini jednako je nuli. Šuplji metalni provodnik ekranira električno polje svih spoljašnjih naelektrisanja.

Sl. 10 Uz razmatranje efekta ekraniranja

To se često koristi u praksi za elektrostatičku zaštitu. Da bi zaštitili osetljive električne pribore od perturbacionog delovanja spoljnih električnih polja, pribore stavljamo u zatvorene metalne kutije koje uzemljimo.

Primetimo da zatvoreni šuplji provodnik ekranira jedino polje spoljašnjih naelektrisanja. Ako se naelektrisanja nalaze u šupljini, indukovana naelektrisanja će se pojaviti ne samo na spoljašnjoj površini provodnika no i na unutrašnjoj (ista slika, donja šema). Raspodela tih indukovanih naelektrisanja biće takva da ukupno polje, jednako sumi polja od naelektrisanja u šupljini i indukovanih naelektrisanja u svakoj tački u metalu bude jednako nuli (uslov ravnoteže). Međutim, u šupljini polje neće biti jednako nuli i postojaće linije sile između naelektrisanja u šupljini i indukovanih naelektrisanja na unutrašnjoj površini. Indukovana naelektrisanja na spoljašnjoj površini izazivaju polje u spoljašnjem prostoru, i zato zatvorena provodna šupljina ne ekranira polje električnih naelektrisanja koja su u njoj.

U vezi sa ovim je i važni praktični način predaje naelektrisanja od jednog provodnika drugom. Pretpostavimo da treba predati naelektrisanje s metalnog provodnika na elektrometar. Da bi ta predaja bila potpuna, elektrometar se spaja sa šupljim provodnikom koji je sličan po obliku zatvorenoj šupljini, na primer sa metalnim cilindrom i unosi se naelektrisani provodnik u tu šupljinu. Provodnik se potpuno razelektriše i njegovo naelektrisanje bez ostatka prelazi na elektrometar.

Kevendišov eksperiment

Ako bi se sila interakcije tačkastih naelektrisanja odvijala po zakonu

$$F\sim \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2\mp \delta }}, \tag{33}$$

pri čemu $\delta$ nije nula — ne bi važila Gausova teorema u obliku koji smo izučili. Naelektrisanja bi se raspodeljivala ne samo po površini nego i po zapremini provodnika (dokaz izlazi iz okvira ove knjige). Proveravajući u eksperimentu ima li stvarno u zapremini provodnika slobodnog naelektrisanja može se proveriti Kulonov zakon, i to znatno uspešnije nego u

Sl. 11 Kevendišov eksperiment

eksperimentu sa torzionom vagom. Takve eksperimente prvi je postavio Kevendiš. U tim opitima metalna kugla l (Sl. 11) bila je pričvršćena za izolovani nosač 2. Dve metalne polusfere 3, izolovane od Zemlje, bile su pričvršćene za pokretne nosače (koji nisu prikazani na slici) i mogle su biti spojene u jednu sferu koja obuhvata kuglu 1. Na jednoj od polusfera postojao je mali otvor kroz koji je mogla da se uvuče metalna žica 4 koja je vezana izolatorskom niti 5; žicom se mogla spojiti kugla sa sferom, a da se pribor ne razelektriše.

Sam eksperiment se sastojao u sledećem. Polusfere 3 se spoje i žicom 4 dovedu u kontakt sa kuglom l i naelektrišu. Količina naelektrisanja na sferi meri se odgovarajućim voltmetrom. Žica 4 se zatim ukloni pomoću niti 5, sfere se razmaknu i uzemljenjem razelektrišu. Posle toga instrumentom proveravamo ima li na kugli l ikakvog naelektrisanja. Opit je uvek pokazivao da na kugli nema ni traga od naelektrisanja.

Zbog velikog principijelnog značaja pitanja o zakonu interakcije naelektrisanja, slične eksperimente je svojevremeno ponovio, u poboljšanoj verziji, sam Maksvel. Našao je da ne prelazi, ako uopšte postoji, broj 1/21600. Danas je Kulonov zakon za makroskopska rastojanja proveren i znatno tačnije; Izgleda izvesno da Kulonova sila opada sa kvadratom rastojanja. (Koristeći Internet studenti mogu da potraže najnovije podatke o savremenom statusu eksperimenata Kevendišovog tipa.)

Efekt šiljka

Ispitujući raspodelu naelektrisanja na provodniku oblika kao na Sl. 12, primećujemo da površinska gustina naelektrisanja nije ista u svim tačkama površine: bliska je nuli u udubljenja (oblast a), dobija najveću vrednost na šiljku (tačka c) i ima neku srednju vrednost na bokovima (b).

Jačina polja E proporcionalna je površinskoj gustini naelektrisanja . Zato je i jačina polja blizu površine provodnika složene forme takođe veoma nejednaka. Ona je naročito velika u blizini delova s malim radijusom krivine, tj. kod šiljaka.

To dovodi do svojevrsne pojave “isticanja” naelektrisanja sa metalnih šiljaka. Ako spojimo izolovani metalni šiljak sa izvorom visokog napona,

Sl. 12 Uz analizu efekta šiljka

naelektrišu se izolovani provodnici u okolini. Stavljajući blizu šiljka elektrometar koji je spojen sa metalnom pločom, možemo videti da se ploča naelektriše do priličnih napona i to naelektrisanjem istog znaka kao što je na šiljku. Ako, obratno, prethodno naelektrišemo ploču s elektrometrom a šiljak uzemljimo, primičući šiljak ka ploči vidimo da se ona razelektriše: indukovana naelektrisanja ističu sa šiljka i neutralizuju naelektrisanje ploče.

Uzrok te pojave leži u velikoj jačini polja kod šiljka. Kada ta jačina postane dovoljno velika javlja se jonizacija u okolnom vazduhu pa nastaju pozitivni i negativni joni (na slici, šema desno). Joni koji imaju isti znak kao i naelektrisanje šiljka kreću se od šiljka; joni sa suprotnim znakom naelektrisanja kreću se ka šiljku i smanjuju njegovo naelektrisanje.

Joni koji se udaljavaju od šiljka povlače u svom kretanju i neutralne molekule vazduha pa se javlja usmereno kretanje vazduha od šiljka, ili električni vetar. Možemo ga otkriti prinoseći šiljku upaljenu sveću: plamen sveće se vidno povija na suprotnu stranu od šiljka, a može biti i ugašen električnim vetrom. Razmotreno svojstvo šiljatih provodnika koristi se u praksi za uklanjanje naelektrisanja sa raznih uređaja.

Sl. 13 Dejstvo šiljka na plamen sveće

Ako hoćemo da sprečimo isticanje naelektrisanja kod mašina koje rade pod visokim električnim naponom, metalne delove treba pažljivo da zaoblimo a krajeve metalnih štapova da snabdemo glatkim kuglicama; šiljci bi izazvali isticanje naelektrisanja i oštećenje izolacije.

Elektrostatički generator

Okolnost da naelektrisanja uvek teže da se raspodele jedino na spoljašnjoj površini provodnika koristimo za konstruisanje efikasnih elektrostatičkih generatora visokih napona. Princip dejstva objašnjava se opitom koji je skiciran na Sl. 14.

Spojimo izolovani provodnik a sa izvorom napona (od 2 do 3 hiljade volti) i stavimo u blizini šuplji izolovani provodnik b koji je u vezi sa elektrometrom. Spojimo nakratko provodnike a i b metalnim štapom (sa izolovanom drškom). Provodnik b naelektrisaće se do napona provodnika a.

Sl. 14 Princip dejstva elektrostatičkog generatora

Uzmimo sada metalnu kuglu c koja je pričvršćena za izolatorsku dršku i dodirnimo njome provodnik a i zatim unutrašnju površinu provodnika b. Naelektrisanje kugle c preći će potpuno (Kevendišov efekt!) na provodnik b pa će se napon na b povećati. Ponavljajući taj proces više puta možemo dobiti napon na provodniku b mnogo veći nego na provodniku a.

To se i događa u elektrostatičkom generatoru. On se sastoji iz velikog šupljeg provodnika 1 kojeg vidimo na Sl. 15 na izolacionom stubu 2. Postoji beskonačna traka 3 od gumizirane tkanine koja se kreće na dva točka 4 koji igraju ulogu kugle c na sl. 14. Traka se elektriše sistemom šiljaka 5 koji su u vezi sa jednim od polova izvora napona čiji je drugi kraj uzemljen. Nasuprot šiljaka, sa druge strane trake, stavlja se uzemljena ploča 6 koja povećava broj naelektrisanja isteklih sa šiljaka 5 na traku. Prolazeći pored sistema šiljaka 7, spojenih sa loptom l gumena traka odaje njima donesena naelektrisanja i ona potpuno prelaze na spoljnu površinu lopte nezavisno od toga kakav je napon između lopte i zemlje.

Maksimalni napon koji se praktično može dobiti na lopti ograničen je efektom umicanjem naelektrisanja sa lopte (uglavnom zbog jonizacije vazduha). Napon lopte prestaje da se povećava kada naelektrisanje koje donosi traka u jedinici vremena (struja trake) postaje jednako naelektrisanju koje se gubi umicanjem (struji umicanja). Zato se u praksi teži da se struja trake uveća koliko se može više.

Sl. 15 Elektrostatički generator

Danas se elektrostatički generatori primenjuju za ubrzanje naelektrisanih čestica (elektrona i jona). Mogu dati napone od 3 do 5 miliona volti. Visina takvih generatora je 10 do 15 m a prečnik lopte iznosi nekoliko metara. Elektrostatičke generatore stavljamo ponekad u sobe sa komprimovanim gasom, pošto sa povećanjem pritiska raste i napon jonizacije gasa.

Sl. 16 Profesor Babović demonstrira jako električno polje

oko kugle školskog Van de Grafovog generatora

Sl. 17 Školski Van de Grafov generator u pogonu; električni proboj u vazduhu

Elektrostatički generatori su danas i sjajne pedagoške mašine, za demonstriranje mnogih efekata u elektrostatici i srodnim oblastima. Dva primera data su na slikama 16 i 17.