Električno polje

Dejstvo na blizinu

U istoriji fizike postojala su dva odgovora na pitanje: Kako se prenosi od tela do tela sila interakcije? Trenutno (koncepcija dejstva na daljinu), ili konačnom brzinom (koncepcija dejstva na blizinu)?

Savremena fizika priznaje jedino ideju dejstva na blizinu i odbacuje dejstvo na daljinu. Stvarno, dopustiti mogućnost predavanja sile, interakcije, tj. kretanja, kroz prazan prostor, bez učešća materije, znači dopustiti mogućnost kretanja bez materije, što je besmisleno.

Na taj način, za shvatanje nastajanja i prenošenje sile koja se javlja između nepokretnih (naelektrisanih) tela nužno je pretpostaviti da oko naelektrisanja postoji neki fizički agens koji omogućava interakciju. Taj agens jeste električno polje. Kada se na nekom mestu pojavi naelektrisanje, oko njega se formira električno polje.

Električna i magnetska polja mogu se transformisati jedno u drugo; svako od njih samo je poseban slučaj opštijeg, elektromagnetskog polja. Učićemo da električna (i magnetska) polja mogu da postoje i bez naelektrisanja (i struja) koja proizvode ta polja. Prema tome:

U elektromagnetskom polju treba tražiti osnovni uzrok električnih i magnetskih pojava.

Elektromagnetsko polje ima određenu energiju, i transportuje tu energiju. Ono poseduje impuls (količinu kretanja) i masu. Elektromagnetsko polje nije apstraktni pojam koji smo uveli da opisujemo električne i magnetske interakcije, već predstavlja objektivnu realnost, objekat koji poseduje fizička svojstva. Ono je određeni oblik materije koji omogućava električne i magnetske interakcije.

Savremena fizika pojmom polja širi predstave o dejstvu na blizinu i prenosi tu ideju na nemehaničke pojave.

Jačina električnog polja

Za kvantitativno opisivanje električnog polja služi posebna fizička veličina — jačina električnog polja.

Posmatrajmo tačkasto naelektrisanje q i u električno polje toga naelektrisanja unesimo drugo tačkasto probno naelektrisanje . Na probno naelektrisanje dejstvovaće sila F. Ta sila zavisi od položaja tačke u kojoj je probno naelektrisanje. Proporcionalna je naelektrisanju $q_{1}$, po Kulonovom zakonu. Odnos $F/q_{1}$ očito ne zavisi od izbora probnog naelektrisanja i karakteriše električno polje u toj tački gde se nalazi probno naelektrisanje. Ta veličina je i dobila naziv jačina električnog polja.

Označavaćemo jačinu polja sa E; neposredno iz definicije jačine polja $E=F/q_{1}$ imamo formulu

$$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{q}{r^{2}}. \tag{1}$$

Jačina polja tačkastog naelektrisanja opada obrnuto proporcionalno kvadratu rastojanja od naelektrisanja.

Sl. 1 Smer jačine električnog polja koje potiče od

pozitivnog (gore) i negativnog (dole) naelektrisanja

Pošto je naelektrisanje skalar a sila vektor, jačina polja koja se dobija deljenjem vektora sa skalarom jeste vektorska veličina. Pravac toga vektora određuje pravac sile koja dejstvuje na pozitivno naelektrisanje smešteno u datu tačku polja. Tako, na primer, ako je polje izazvano pozitivnim naelektrisanjem vektor jačine usmeren je duž radijus-vektora od naelektrisanja prema okolnom prostoru (odbijanje pozitivnog probnog naelektrisanja); ako je polje izazvano negativnim naelektrisanjem, vektor jačine usmeren je ka naelektrisanju (Sl. 1).

Koristeći Kulonov zakon u vektorskom obliku možemo napisati izraz za jačinu električnog polja tačkastog naelektrisanja takođe u vektorskom obliku:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{q}{r^{3}}\vec{r}. \tag{2}$$

Ovde je r rastojanje od naelektrisanja do posmatrane tačke polja, a $\vec{r}$ radijus-vektor usmeren od naelektrisanja ka datoj tački.

Jasno je da ova procedura definisanja jačine električnog polja može da se generališe — nije vezana samo za polje oko tačkastog naelektrisanja. Nezavisno od toga kako je nastalo polje, u datoj tački je mera jačine polja upravo sila po jediničnom probnom naelektrisanju koje je u toj tački. Isto:

Ako je poznata jačina polja $\vec{E}$ u nekoj tački, određena je i sila $\vec{F}$ koja dejstvuje na naelektrisanje $q$ koje se nalazi u toj tački. Zato možemo da pišemo:

$$\vec{F}=q\vec{E}. \tag{3}$$

Izbor veličine probnog naelektrisanja je nebitan. Istina, probno naelektrisanje mora biti dovoljno malo (da ne perturbuje postojeće polje).

Superpozicija električnih polja

Posmatrajmo sada ukupno električno polje које дају dva tačkasta naelektrisanja, $q_{1}$ i $q_{2}$. Neka je $\vec{E}_{1}$ jačina polja u tački $a$ (kada naelektrisanja $q_{2}$ uopšte nema), a $\vec{E}_{2}$ jačina polja којег даје naelektrisanjе $q_{2}$ (kada naelektrisanja $q_{1}$ uopšte nema). Eksperiment pokazuje da je jačina polja $\vec{E}$, rezultantnog polja, kada postoje oba naelektrisanja, data po pravilu slaganja vektora (po pravilu paralelograma) (Sl. 2). Drugim rečima, jačina rezultujućeg električnog polja jeste vektorska suma jačina polja koja su формирана pojedinim naelektrisanjima.

Sl. 2 Slaganje јачина električnih polja oko dva naelektrisanja

Pravilo vektorskog slaganja električnih polja očito važi ne samo za dva, već i za proizvoljan broj naelektrisanja. Ako su $\vec{E}_{1}$, $\vec{E}_{2}$, $\vec{E}_{3}$… jačine polja koje u nekoj tački stvaraju pojedina naelektrisanja, onda je jačina rezultujućeg polja u toj istoj tački

$$\vec{E}=\vec{E}_{1}+\,\vec{E}_{2}+\,\vec{E}_{3}+...=\sum\limits_{k} \vec{E}_{k} \tag{4}$$

Ovo je princip superpozicije električnih polja; reč je o važnom svojstvu električnog polja.

Određujući električno polje pomoću principa superpozicije dobijamo rezultat koji je saglasan sa eksperimentom u širokom dijapazonu jačina polja.

Gustina naelektrisanja

Priđimo sada problemu nalaženju električnog polja kojeg stvaraju proizvoljna naelektrisana tela.

Za polje koje potiče od više tačkastih naelektrisanja u vakuumu primenjujemo formulu za polje jednog naelektrisanja, uz princip superpozicije. Tu nema nejasnoća.

Ako je naelektrisano telo toliko veliko pa se ne može posmatrati kao tačkasto naelektrisanje, prvo tražimo raspodelu naelektrisanja u telu. Pogledajmo kako:

Uočimo u naelektrisanom telu malu zapreminu $\Delta \tau$ i sa $\Delta q$ označimo naelektrisanje koje se nalazi u toj zapremini. Limes količnika $\Delta q/\Delta \tau$ kada se zapreminica neograničeno smanjuje naziva se zapreminska gustina naelektrisanja u datoj tački. Ako je označimo sa $\rho$ dobijamo

$$\mathop{\lim }\limits_{\Delta \tau \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta \tau }=\rho . \tag{5}$$

Količina naelektrisanja koje pripada elementu zapremine $d\tau$ iznosi $\rho d\tau$. U opštem slučaju nehomogeno naelektrisanih tela, $\rho$ je različito u raznim tačkama tela. Raspodela naelektrisanja u zapremini tela poznata je ako je poznato $\rho$ kao funkcija koordinata.

Vrlo često se naelektrisanja raspodeljuju u telima samo u tankom površinskom sloju. U tom slučaju pogodno je koristiti površinsku gustinu naelektrisanja koja je, po definiciji,

$$\mathop{\lim }\limits_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta q}{\Delta S}=\sigma . \tag{6}$$

Ovde je $\Delta q$ naelektrisanje koje se nalazi na površi $\Delta S$. Količina naelektrisanja koje se nalazi na elementu površi $r$ iznosi $\sigma dS$. Da bi raspodela naelektrisanja na površini tela bila zadana, neophodno je znati $\sigma$ kao funkciju koordinata površine.

Na sličan način bismo mogli definisati i linijsku gustinu naelektrisanja. Taj posao prepuštamo čitaocu. Sada:

Ako je poznata raspodela naelektrisanja tela, moguće je naći i električno polje tih naelektrisanja. Naime, moguće je naći polje koje daje tačkasto naelektrisanje elementarne zapremine oko uočene tačke tela, a potom sabrati polja od svih elementarnih zapremina — u skladu sa principom superpozicije. Posao se tehnički svodi na rešavanje manje ili više složenih integrala. Električno polje oko naelektrisanih makroskopskih tela najčešće se, ipak, nalazi korišćenjem pojma električnog potencijala (računi su prostiji).

Linije sile

Za opisivanje električnog polja dovoljno je znati vektor jačine u svakoj tački polja. Polje je moguće predstaviti i grafički, koristeći linije sile.

Linija sile, ili linija vektora jačine polja je liniju na kojoj je tangenta u svakoj njenoj tački ujedno i pravac vektora jačine električnog polja (Sl. 3). Linija sile ima i svoj smer: na istu stranu kao i jačina.

Da bismo pomoću linija sile predstavili ne samo pravac nego i jačinu polja, na graficima crtamo linije sile s određenom gustinom, i to tako da broj linija sile koje prolaze kroz jedinicu površi koja je normalna na linije polja bude proporcionalan jačini polja na datom mestu.

Crtajući linije sile polja dobijamo specifične grafike ili karte polja koje odmah očigledno pokazuju kolika je jačina u raznim delovima polja i kako se ona menja u prostoru.

Zato što je veoma očigledan, taj se metod predstavljanja polja mnogo primenjuje u elektrotehnici.

Sl. 3 K definiciji linije sile

Iz rečenog sledi da se linija sile može provući kroz svaku tačku polja. Dalje, kako u svakoj tački polja vektor jačine ima sasvim određeni pravac, linije sile se nigde ne presecaju.

Sl. 4 Linije sile tačkastog naelektrisanja; linije sile se završavaju (ili počinju)

na okolnim predmetima na kojima se javljaju indukovana naelektrisanja

Na sl. 4 dat je primer — crtež linija sile punktualnog (tačkastog) naelektrisanja. Gustina linija sile na bilo kom rastojanju r od naelektrisanja jednaka je odnosu ukupnog broja linija sile N koje izlaze iz naelektrisanja i površine sfere radijusa r, tj. . Gustina slabi obrnuto proporcionalno kvadratu rastojanja od naelektrisanja, tj. kao i jačina polja.

Sl. 5 Male čestice u električnom polju

Po potrebi, mogu se linije sile crtati i eksperimentalno. Ako se u električnom polju nađu bilo kakve sitne čestice, na njima će se indukovati naelektrisanja (Sl. 5, šema levo). Takve čestice premeštaće se pod uticajem međusobnog privlačenja raznoimenih naelektrisanja i odbijanja istoimenih dok se ne poređaju u vidu lanca duž linije sile (Sl. 5, šema desno). U ispitivano polje unosimo prigodni tečni izolator u koji je ubačen prašak od malih tvrdih čestica; čestice praška obrazuju u električnom polju skup lanaca koji se protežu od jedne do druge naelektrisane elektrode, te se tako reprodukuje forma i položaj linija sile.

Sl. 6 Linije sile električnog polja između

dve raznoimeno naelektrisane kugle

Na sl. 6 pokazano je električno polje između dve jednake kuglice, raznoimeno naelektrisane. Predstavljeno polje pojavljuje se u tom slučaju kada su druga tela koja eventualno okružuju kuglice dovoljno daleko, tj. na rastojanjima koja su znatno veća od rastojanja među kuglicama.

Razmotrimo još električno polje oko naelektrisane ploče nad beskonačnom provodnom ravni. Rezultat je dat na Sl. 7.

Sl. 7 Električno polje oko naelektrisane ploče nad većom provodnom ravni

Primetimo da su linije sile normalne na površinu metalnih elektroda. To je i razumljivo. Ako jačina polja ne bi bila normalna na površinu provodnika, postojala bi komponenta polja usmerena duž tangente na površini. Pod dejstvom te komponente elektroni provodnosti u provodniku kretali bi se duž površine i ne bi bilo ravnoteže električnih naelektrisanja — naša pažnja je usmerena na elektrostatičke probleme.

Električna indukcija. Električni fluks

Uvedimo novu fizičku veličinu, označenu $\vec{D}$, koju ćemo zvati električna indukcija. (Mnogi je zovu električni pomeraj) Za vakuum, po definiciji je

$$\vec{D}=\varepsilon _{0}\,\vec{E}. \tag{7}$$

Električna indukcija na rastojanju r od tačkastog naelektrisanja iznosi

$$D=\frac{1}{4\pi }\,\frac{q}{r^{2}}; \tag{8}$$

vektori $\vec{D}$ i $\vec{E}$ imaju isti pravac.

Sl. 8 Fluks električne indukcije kroz datu površinu

Definišimo fluks vektora električne indukcije. Posmatrajmo u električnom polju ravnu površinu S i izaberimo određeni pravac normale na njoj (Sl. 8). Od početka ćemo smatrati da je polje homogeno, ali vektor $\vec{D}$ čini proizvoljni ugao sa pravcem normale. Veličinu

$$N=SD\,\cos \alpha =SD_{\text{n}} \tag{9}$$

zovemo fluks vektora električne indukcije kroz datu površinu. Ovde je $D_{\text{n}}$ projekcija vektora $\vec{D}$ na pravac normale $\vec{n}$. Primetimo da je ovaj fluks jednak ukupnom broju linija električne indukcije koje prolaze kroz površinu.

Ako je polje nehomogeno, a površina kroz koju se traži fluks nije ravna, tada tu površinu možemo podeliti na beskonačno male elemente dS i svaki element smatrati ravnim a polje kroz njega homogeno. Dakle, fluks indukcije kroz element površine iznosi $dN=D_{\text{n}}dS$. Ukupni fluks kroz površinu S u proizvoljnom nehomogenom električnom polju je onda

$$N=\int_{S} D_{\text{n}}dS. \tag{10}$$

Električni fluks je skalarna veličina. Kontribucija fluksu je pozitivna u oblastima sa $\cos \alpha >0$ i negativna tamo gde je $\cos \alpha <0.$

Gausova teorema

Izračunajmo fluks električne indukcije, koja potiče od tačkastog naelektrisanja $q$, kroz zatvorenu sfernu površinu S sa Sl. 9. Naelektrisanje je u

Sl. 9 Uz izvođenje Gausove teoreme; Johann Carl Friedrich Gauss (1777—1855)

centru sfere. Za pozitivni pravac normale uzimamo pravac spoljašnje normale. Isto je D u svim tačkama sfere i svuda je $\cos \alpha =1$. Zato je

$$N=\frac{1}{4\pi }\,\frac{q}{R^{2}}\,4\pi R^{2}=q. \tag{11}$$

Ovaj rezultat važi ne samo za sfernu površinu nego i za proizvoljnu zatvorenu površinu i za proizvoljan položaj naelektrisanja unutra.

Vidimo, fluks indukcije kroz sfernu površinu ne zavisi od radijusa sfere i jednak je za sferu $S$ i neku drugu, njoj koncentričnu sferu $S_{1}$. To znači da su linije indukcije u prostoru između $S$ i $S_{1}$ gde nema naelektrisanja — neprekinute. Linije električnog indukcija počinju i završavaju se jedino na električnim naelektrisanjima.

Iz neprekidnosti linija indukcije sledi da je ukupan broj linija koje prolaze kroz proizvoljnu površinu $S_{2}$ (ona obuhvata naelektrisanje) isti kao i za sfere $S_{1}$ i $S$:

$$N=\int_{S_{2}} D_{\text{n}}dS=q. \tag{12}$$

Naprotiv, ako zatvorena površina ne obuhvata naelektrisanje ($S_{3}$ na Sl. 9), onda je fluks indukcija kroz tu površinu nula pošto je broj linija indukcija koje ulaze u površinu jednak broju linija koje izlaze kroz nju.

Vidimo: fluks kroz zatvorenu površinu ne zavisi od položaja naelektrisanja u prostoru koji ograničava površina. To znači da dobijeni rezultat važi ne samo za jedno naelektrisanje no i za proizvoljan broj proizvoljno lociranih naelektrisanja, kada pod q treba razumeti algebarsku sumu svih naelektrisanja koja se nalaze unutra.

Formula (11) predstavlja Gausovu teoremu:

Primetimo da smo pri dokazivanju teoreme pošli od Kulonovog zakona. Zato je ona posledica tog zakona.

Očigledno je jedinica za merenje fluksa indukcije, kao i za naelektrisanje, kulon. Zaključujemo da se električna indukcija meri jedinicom kulon po kvadratnom metru ($\text{C}/\text{m}^{2}$).

Razmotrimo neke proste primere izračunavanja električnog polja pomoću Gausove teoreme.

Homogeno naelektrisana ravan

Neograničena ravan je homogeno naelektrisana; površinska gustina naelektrisanja je $\sigma .$ Iz simetrije zadatka zaključujemo da su linije indukcije vertikalne na ravan, Sl. 10. Zatvorenu površinu izabraćemo tako da predstavlja pravi cilindar normalan na naelektrisanu ravan, ograničen sa dve ravne osnove koje su normalne na linije sile a nalaze se sa raznih strana naelektri-

Sl. 10 Električno polje homogeno naelektrisane ravni

sane ravni. Fluks indukcije kroz omotač cilindra jednak je nuli (jer je $\cos \alpha =0$); ukupni fluks kroz cilindar jednak je zbiru flukseva kroz njegove osnove: $N=2DS$. Ukupno naelektrisanje u cilindru jednako je $\sigma S$. Sada je iz Gausove teoreme

$$2DS=\sigma S, \tag{13}$$

odakle je $D=\sigma /2$. Jačina polja homogeno naelektrisane ravni u vakuumu je

$$E=\frac{1}{2\varepsilon _{0}}\sigma . \tag{14}$$

Površina naelektrisanog provodnika

Potražimo jačinu polja blizu površine metala, ako se naelektrisanja na njemu nalaze u stanju ravnoteže.

Nema električne struje; linije sile normalne su na površinu provodnika. Jačina polja u provodniku jednaka je nuli. (Inače bi tekla struja.)

Sl. 11 Električno polje blizu provodnika

Uočimo na površini provodnika beskonačno mali element površine $r$ i označimo površinsku gustinu naelektrisanja na elementu sa $\sigma$. Za zamišljenu zatvorenu površinu izaberimo ponovo pravi cilindar sa osnovama $r$ i beskonačno malom visinom $dh$. U datom slučaju nužno je posmatrati beskonačno mali element provodnika jer se u opštem slučaju $\sigma$ menja od tačke do tačke površine. Visina cilindra takođe mora biti beskonačno mala jer u slučaju provodnika proizvoljne forme linije indukcija će biti normalne na površinu provodnika jedino u njenoj neposrednoj blizini. U ovom slučaju ukupni fluks indukcije jednak je fluksu kroz jednu osnovu:

$$DdS=\sigma dS. \tag{15}$$

Zato je

$$D=\sigma ,\,\,\,\,E=\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}. \tag{16}$$

Blizu površine D je baš jednako površinskoj gustini naelektrisanja. Zato mnogi fizičari i govore električni pomeraj umesto električna indukcija.

Ravni kondenzator.

Ravni kondenzator skiciran je na Sl. 12. Javi li se na jednoj oblozi naelektrisanje gustine +$\sigma$, javiće se neminovno na onoj drugoj gustina suprotnog znaka, — $\sigma$. Ta naelektrisanja, zbog uzajamnog privlačenja, koncentrišu se na unutrašnjim površinama obloga. Naelektrisana ravan, kako smo videli,

Sl. 12 Električno polje u ravnom kondenzatoru

daje u okolini polje jačine $\pm \sigma /2\varepsilon _{0}$. U metalnim pločama i van kondenzatora ta polja su suprotno upravljena i u zbiru daju nulu. U kondenzatoru, naprotiv, ta su polja istog smera i sabiraju se pa daju jačinu $\sigma /\varepsilon _{0}$. Električno polje je homogeno u središnjem delu ravnog kondenzatora.

Homogeno naelektrisana kugla

Posmatrajmo električno polje između dve sferne koncentrične elektrode (Sl. 13). Takav sistem elektroda se zove sferni kondenzator.

Sl. 13 Električno polje sfernog kondenzatora

Ako uzemljimo spoljašnju elektrodu i unutrašnjoj kugli dovedemo naelektrisanje $+q$, na spoljašnjoj elektrodi se pojavljuje indukovano naelektrisanje $-q$. Pod uticajem uzajamnog privlačenja ta naelektrisanja se raspodeljuju po površini unutrašnje kugle i po unutrašnjoj površini spoljašnje elektrode.

Naelektrisanja se raspodeljuju ravnomerno (simetrična konfiguracija) a linije indukcija su radijalne prave. Zato je za zamišljenu zatvorenu površinu zgodno uzeti koncentričnu sferu radijusa $r$. Tada Gausova teorema daje:

$$N=D\,4\pi r^{2}=q, \tag{17}$$

odakle je

$$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\,\frac{q}{r^{2}}. \tag{18}$$

Rezultat ne zavisi od poluprečnika spoljašnje obloge kondenzatora. Pri tome, ako je spoljašnja elektroda mnogo veća od unutrašnje, električno polje blizu unutrašnje kugle ne zavisi ni od oblika spoljašnje elektrode. Shodno tome, kada ulogu spoljašnje elektrode igraju razni udaljeni uzemljeni predmeti, na primer zidovi, pod i tavanica sobe, formula (14) važi u blizini kugle. Tada se prosto govori o polju naelektrisane kugle, ne specificira se šta je zapravo druga elektroda.

Električno polje kugle koja je ravnomerno naelektrisana po površini poklapa se, u spoljašnjem prostoru, sa poljem tačkastog naelektrisanja koje je jednako ukupnom naelektrisanju kugle i koje je locirano u centru kugle.

Ako bismo posmatrali kuglu koja je homogeno naelektrisana po zapremini, jačina polja van kugle takođe bi bila data formulom (18). No jačina polja u kugli, u ova dva slučaja, različita je. U slučaju kugle koja je ravnomerno naelektrisana po površini jačina polja u ma kojoj tački u unutrašnjosti je jednaka nuli. Ako je kugla naelektrisana ravnomerno po zapremini onda je jačina polja jednaka nuli jedino u centru kugle a sa povećanjem rastojanja $r$ od centra raste proporcionalno sa $r$.

Cilindrični kondenzator

Daćemo bez dokaza formulu za jačinu električnog polja između dva koaksijalna metalna cilindra. Takav sistem se naziva cilindrični kondenzator.

Jačina polja između cilindričnih naelektrisanih elektroda, u tački koja je na rastojanju $r$ od ose cilindara, jednaka je

$$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\,\frac{q_{1}}{r}. \tag{19}$$

Ovde je $q_{1}$ naelektrisanje obloge po jedinici dužine. Ovaj izraz važi za sve delove kondenzatora koji nisu suviše blizu krajeva. On se može primenjivati praktično već na onim rastojanjima od kraja koja su reda dijametra spoljašnjeg cilindra.

Formula (19) dobra je i za polje oko žice koja je podalje od okolnih predmeta.

Električni dipol

Posmatrajmo dva tačkasta naelektrisanja $+q$ i $-q$ na fiksnom rastojanju $\ell$. Definišimo odmah i vektor $\vec{\ell}$ koji je usmeren od negativnog ka pozitivnom naelektrisanju. Takav par naelektrisanja zovemo električni dipol.

Sl. 14 Dipol u spoljašnjem homogenom polju

Električni dipol je čest model u fizici. Malo provodno telo u električnom polju može se približno tretirati kao dipol, jer se na krajevima tela pojavljuju indukovana naelektrisanja jednaka po intenzitetu a raznoimena. Slična naelektrisanja se javljaju i u dielektricima i zato malo dielektrično telo u električnom polju takođe možemo posmatrati kao dipol. Najzad, mnogi molekuli sagrađeni su iz pozitivnih i negativnih jona čiji su centri pomereni jedan u odnosu na drugi. Takve molekule u mnogim slučajevima možemo tretirati kao dipole.

Nađimo silu koja deluje na dipol u homogenom električnom polju. Na krajevima dipola, Sl. 14, deluju sile jednakog intenziteta $F=qE$, gde je $E$ jačina spoljašnjeg polja. Te su sile suprotno usmerene i obrazuju spreg sila. Moment $M$ tog sprega je

$$M=qE\ell \,\sin \alpha , \tag{20}$$

gde je $\alpha$ ugao između vektora $\vec{\ell}$ i jačine polja $\vec{E}$.

Vidimo da moment sprega sila zavisi od proizvoda naelektrisanja q i dužine dipola $\ell$. Taj proizvod zovemo dipolni moment. Po definiciji je vektor dipolnog momenta

$$\vec{p}=q\vec{\ell}. \tag{21}$$

Jedinica za merenje dipolnog momenta je kulon-metar (Cm). Koristeći pojam dipolnog momenta možemo sada napisati izraz za moment sprega sila koji deluje na dipol

$$M=pE\sin \left(\vec{p},\,\vec{E}\right). \tag{22}$$

Pravac momenta tog sprega poklapa se sa pravcem ose rotacije dipola, tj. normalan je na $\vec{p}$ i $\vec{E}$.

Kao što je poznato iz vektorske algebre, vektorski proizvod $\vec{a}\times \vec{b}$ dva vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ jeste vektor čiji je intenzitet $a\,b\,\sin \left(\vec{a},\,\vec{b}\right)$, tj. jednak površini paralelograma konstruisanog sa vektorima $\vec{a}$ i $\vec{b}$ kao stranicama. Taj vektor normalan je na $\vec{a}$ i $\vec{b}$ a smer mu se određuje po pravilu desnog zavrtnja koji se vrti od $\vec{a}$ ka $\vec{b}$. Dakle, vektor momenta sprega sila $\vec{M}$ koji dejstvuje na dipol može da se prikaže formulom

$$\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E}. \tag{23}$$

Vidimo da na dipol u homogenom polju deluje jedino spreg sila koji teži da okrene dipol tako da vektori $\vec{p}$ i $\vec{E}$ budu paralelni.

Da bismo zarotirali dipol u električnom polju za neki ugao, moramo izvršiti određeni rad protiv sila polja. Pošto je taj rad jednak povećanju potencijalne energije dipola, možemo naći izraz za potencijalnu energiju dipola u električnom polju. Uzmimo da nultu energiju ima dipol koji je normalan na pravac polja (kad je $\alpha ={\pi }/{2}$). Tada je potencijalna energija dipola

$$W=\int_{{\pi }/{2}}^{\alpha } pE\,\sin \alpha \,d\alpha =-pE\,\cos \alpha . \tag{24}$$

Posmatrajmo sada dipol u nehomogenom polju i stavimo (jednostavnosti radi) da je dipolni moment paralelan pravcu polja ($\alpha =0$, Sl. 15). U tom slučaju su sile koje deluju na krajevima dipola nejednake: njihova rezultanta nije jednaka nuli. Na dipol u nehomogenom polju deluje sila koja teži da premešta dipol u oblast jačeg polja.

Sl. 15 Dipol u nehomogenom polju

Nađimo intenzitet sile. Dipolni je moment duž ose x. Dužina dipola $\Delta \ell$ je veoma mala (elementarni dipol). Sila koja deluje na negativni kraj dipola je $-qE$, gde je $E$ jačina polja tamo gde je locirano $-q$. Sila koja deluje na pozitivni kraj dipola iznosi $+q\left[E+\left({dE}/{dx}\right)\Delta \ell \right]$. Zato je ukupna sila

$$F=q\left(E+\frac{dE}{dx}\Delta \ell -E\right)=q\Delta \ell \frac{dE}{dx}=p\frac{dE}{dx}. \tag{25}$$

Ako se dipol nalazi u nehomogenom polju i nije paralelan polju, na njega deluje i spreg sila koji teži da okrene dipol paralelno polju i sila koja vuče dipol u oblast jačeg polja. Ove složenije konfiguracije nećemo ovde izučavati.