Glava VI: Eksitacija električnim dipolom na osi plazmenog cilindra u staklenoj cevi

G L A V A VI

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA ELEKTRIČNIM DIPOLOM NA OSI PLAZMENOG CILINDRA U STAKLENOJ CEVI

Uvod

Rezultati koji su dobijeni u prethodnoj glavi ove knjige mogu vrlo dobro da posluže za brzi uvid u zaključke i prvu ocenu rezultata, semikvantitativno analiziranje problema eksitacije, te kao polazna osnova za aproksimativne analitičke metode. U praksi se izvode mnogi opiti sa cilindričnim plazmama u staklenim anvelopama konačne debljine; prva rasprostranjena klasa merenja te vrste odnosi se na plazme električnog lučnog pražnjenja u gasovima [17], [96], [117; drugu klasu čine brojni opiti sa tzv. surfatronskim plazmama [97], [100]. Teorijski model takve troslojne sredine može da se uspešno zasnuje prirodnom generalizacijom postupka primenjenog u glavi V i time ćemo se dalje baviti; rezultati koji slede moralo bi da se podudaraju sa zaključcima prethodne glave u graničnom slučaju beskonačno debele dielektrične cevi oko plazme.

Model sredine

Na slici 1 šematski je prikazana sredina sastavljena od tri sloja: unutrašnji medijum I predstavlja kružni cilindar homogene plazme, poluprečnika $a$ , medijum II stakleni cilindrični sud debljine $\delta =b-a$ i medijum III spoljašnji prostor (vazduh). Prirodno je da koristimo naznačeni cilindrični koordinatni sistem ($\rho ,\phi ,z$). U koordinatnom početku je aksijalni Hertzov dipol strujnog momenta $J$, koji osciluje po prostoperiodičnom zakonu vremena $\exp \left(i\omega t\right)$. Plazmu ćemo tretirati kao hladnu jonizovanu sredinu i prvi medijum poistovetiti sa nekonvencionalnim dielektrikom permitivnosti $\varepsilon _{p}$ [125] ; permitivnost staklene anvelope označićemo sa $\varepsilon _{g}$; okolni vazdušni prostor se može poistovetiti sa vakuumom. Kako u sličnim problemima permeabilnost sredina redovno ne igra značajniju ulogu, materijalne karakteristike medijumâ sa slike su

$$\varepsilon _{I}\equiv \varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}, \tag{1a}$$ $$\varepsilon _{II}\equiv \varepsilon _{g}, \tag{1b}$$ $$\varepsilon _{III}=1; \tag{1c}$$ $$\mu _{I}=\mu _{II}=\mu _{III}=1. \tag{1d}$$

Ovde je iskorišćena uobičajena oznaka za kružnu plazmenu učestanost koja se preko koncentracije slobodnih elektrona u plazmi $n$ , naelektrisanja elektrona $e$ , mase mirovanja elektrona $m_{0}$ i električne konstante $\varepsilon _{0}$ izražava formulom

$$\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m_{0}\varepsilon _{0}}}. \tag{2}$$

Kao što se vidi, ovakvim modelovanjem možemo verodostojno reprezentovati mnoge postojeće laboratorijske konfiguracije.

Slika 1. Geometrija problema; jonizovani gas permitivnosti $\varepsilon _{p}$ u staklenoj cevi permitivnosti $\varepsilon _{g}$; vazduh (vakuum) oko cevi; poluprečnik plazme $a$ , debljina zida cevi $\delta =b-a$; cilindrični koordinatni sistem, tačka M sa tekućim koordinatama: radijus $\rho$, azimut $\phi$, visina $z$; aksijalni Hertzov dipol strujnog momenta $J\vec{e}_{z}$ u koordinatnom početku eksituje elektromagnetsko polje u čiji sastav ulazi i aksijalno simetrični površinski talas koji je podržavan slojevitom cilindričnom strukturom kombinovanom od dielektrika pozitivne i negativne permitivnosti.

Reč je o jednom znatno realističnijem postupku, u poređenju sa analizom dvoslojne strukture, u prethodnoj glavi ove knjige. Inače, izlaganje koje sledi uopštenje je rada [107] i to dvojako: pretpostavlja se da postoji plazmeni stakleni sud a ne vakuum oko plazme i da se može po volji menjati debljina zidova suda.

Izbor antene

Izlaganja u prethodnoj glavi pokazala su da se površinski talasi dadu efikasno lansirati pomoću Hertzovog dipola. I ovde ćemo teorijski tretman provesti predstavljajući antenu kao oscilujući električni dipol, sa homogenom strujom jačine $I$ u kratkoj žici dužine $d\ell$ i koncentrianim naelektrisanjima na njenim krajevima. Gustina struje ovakvog elektromagnetskog izvora simbolički se može prezentovati izrazom

$$\vec{j}=\vec{J} \tag{3}$$

gde je $\vec{J}=Id\overrightarrow{\ell }$ strujni momenat dipola, a $\delta \left(\vec{r}\right)()$ Diracova delta-funkcija; u cilindričnom ($\rho ,\phi ,z$) sistemu (za aksijalno simetričan problem sa slike 1) uzimamo

$$\delta \left(\vec{r}\right)()=\frac{\delta \left(\rho \right)\delta \left(z\right)}{2\pi \rho }, \tag{4}$$

u skladu sa pojmom tačkastog izvora u elektromagnetici; videti komentar u Dodatku prethodne glave.

Polazne jednačine

Pošto smo definisali sredinu i antenu, napišimo jednačine relevantne za analizu:

rot $\vec{H}=\vec{j}$ (5)

rot $\vec{E}=-i\omega \mu _{0}\vec{H}$ (6)

Zanemaruju se bilo kakve u vremenu nepromenljive komponente električnog ili mgnetskoh polja, pa se veličine $\vec{E}$ i $\vec{H}$ u celosti odnose na elektromagnetsko polje pobuđeno dipolnom antenom. Tragajući za aksijalno simetričnim rešenjem, koje je od prvorazrednog značaja i sa eksperimentalne tačke gledišta [16], [117] od gornjih vektorskih jednačina dobijamo tri skalarne u obliku

$$-\frac{\partial H_{\phi }}{\partial z}=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{\rho }, \tag{7}$$ $$\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho H_{\phi }\right)}{\partial \rho }=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{z}+j_{z}, \tag{8}$$ $$\frac{\partial E_{\rho }}{\partial E_{z}}-\frac{\partial E_{z}}{\partial E_{\rho }}=-i\omega \mu _{0}H_{\phi }. \tag{9}$$

Uvodeći funkciju potencijala $A$ pomoću transformacije

$$H\left(\rho ,z;t\right)=-\frac{\partial A\left(\rho ,z;t\right)}{\partial \rho }, \tag{10}$$

zapažamo da se komponente vektora električnog polja posredstvom te veličine izražavaju na sledeći način:

$$E_{\rho }=\frac{-i}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\frac{\partial ^{2}A}{\partial z\partial \rho }, \tag{11}$$ $$E_{z}=\frac{-i}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\left[\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon A\right]. \tag{12}$$

Ove će jednačine omogućiti potpuno definisanje aksijalno simetričnog površinskog talasa, kada se jednom odredi funkcija potencijala.

Talasna jednačina za potencijal

Lako je iz datih jednačina zaključiti da sama funkcija potencijala zadovoljava talasnu jednačinu koja u prvom medijumu (plazma) ima oblik

$$\frac{\partial ^{2}A}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon _{p}A=-j, \tag{13}$$

u drugom (staklena cev permitivnosti $\varepsilon _{g}$), gde nema izvora zračenja,

$$\frac{\partial ^{2}A}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon _{g}A=0, \tag{14}$$

a u trećem (vazduh jedinične permitivnosti ), takođe bez izvora,

$$\frac{\partial ^{2}A}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}A=0, \tag{15}$$

gde je upotrebljena uobičajena oznaka za talasni broj e. m. talasa u slobodnom prostoru, $k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}}$, a $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ je brzina svetlosti u vakuumu. Vidimo da se radi o parcijalnim linearnim diferencijalnim jednačinama koje mogu biti i nehomogene, sa izvorima tipa delta-eksitacije; jednačine se mogu rešavati nekom od metoda koje se istražuju u matematičkoj fizici. Ovde ćemo primeniti postupak zasnovan na primeni Fourierove transformacije, uz primenu graničnog uslova kojim se valorizuje učinak tačkastog izvora.

Rešavanje talasne jednačine

Primenićemo metod Fourierove transformacije; za Fourierovu sliku potencijala u prvom medijumu pišemo

$a_{1}=$ $\left\{A_{I}\right\}$ $\equiv \int\limits_{-\infty }^{+\infty } A_{I}e^{i\zeta z}dz.$ (16)

Pošto je, imajući u vidu jed. (4)

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty } je^{i\zeta z}dz=J\frac{\delta \left(\rho \right)}{2\pi \rho }, \tag{17}$$

iz jed. (13) nalazimo običnu diferencijalnu nehomogenu jednačinu za veličinu $a_{1}$

$$\frac{d^{2}a_{1}}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{da_{1}}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}\right)a_{1}=-J\frac{\delta \left(\rho \right)}{2\pi \rho }. \tag{18}$$

Odgovarajuća homogena diferencijalna jednačina dobro je poznati Besselov tip jednačine [1] pa odmah pišemo rešenje

$$a_{1}=C_{1}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+CK_{0}\left(u_{1}\rho \right), \tag{19}$$

gde su $I_{0}$ i $K_{0}$ modifikovane Besselove funkcije prve i druge vrste nultog reda i argumenta

$$u_{1}\rho =\sqrt{\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}\rho ^{2}}. \tag{20}$$

Pojavile su se i dve integracione konstante, $C_{1}$ i $C$; njih ćemo kasnije određivati, u sklopu celog sistema integracionih konstanti, pri ćemu ćemo pokazati da je konstanta uz modifikovanu funkciju $K$ u direktnoj vezi sa strujnim momentom dipola; taj deo rešenja, dakle, direktno uračunava primarnu karakteristiku antene. Primenom definicije (10) nalazimo sliku jačine magnetskog polja u plazmi, $\left\{H_{1}\right\}$

$$h_{1}=-C_{1}u_{1}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)+Cu_{1}K_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{21}$$

gde su se pojavile Besselove funkcije prvog reda. Samim tim odmah možemo da nađemo i slike komponenti električnog polja u plazmi. Polazeći od jed. (12) formiramo izraz $\left\{E_{z1}\right\}$ koji važi za plazmenu sredinu, sa rezultatom

$$e_{z1}=\frac{iu_{1}^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\left[C_{1}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+CK_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]. \tag{22}$$

Na sličan način je rezultat transformacije $\left\{E_{\rho 1}\right\}$, v. jed. (11)

$$e_{\rho 1}=-\frac{u_{1}\zeta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\left[-C_{1}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)+CK_{1}\left(u_{1}\rho \right)\right]. \tag{23}$$

Sada se možemo pozabaviti i Fourierovim transformacijama polja u drugom medijumu; izostavićemo međukorake koji su potpuno slični onim koji su prezentirani gore. Polazeći od jed. (14) dobijamo

$$\rho ^{2}\frac{d^{2}a_{2}}{d\rho ^{2}}+\rho \frac{da_{2}}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}\rho ^{2}\right)a_{2}=0. \tag{24}$$

Ako skraćeno napišemo

$$u_{2}\rho =\sqrt{\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}\rho ^{2}}, \tag{25}$$

($u_{2}$ će se u kasnijem postupku, slično kao i $u_{1}$ , transformisati u tzv. transverzalni talasni broj), rešenje jed. (24) je (up. sa rešenjem u prvom medijumu, jed. (19))

$$a_{2}=C_{2}I_{0}\left(u_{2}\rho \right)+C_{3}K_{0}\left(u_{2}\rho \right), \tag{26}$$

gde su se pojavile dve nove integracione konstante, $C_{2}$ i $C_{3}$ . Transformacija za jačinu magnetskog polja u oblasti $a<\rho <b$ je

$$h_{2}=-C_{2}u_{2}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+C_{3}u_{2}K_{1}\left(u_{2}\rho \right), \tag{27}$$

a za slike komponenti vektora jačine električnog polja dobijamo

$$e_{z2}=\frac{iu_{2}^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\left[C_{2}I_{0}\left(u_{2}\rho \right)+C_{3}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{28}$$ $$e_{\rho 2}=-\frac{u_{2}\zeta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\left[-C_{2}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+C_{3}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right]. \tag{29}$$

Na kraju da napišemo i transformisane veličine koje se odnose na treći medijum, prostor oko cevi:

$$a_{3}=C_{4}K_{0}\left(u_{3}\rho \right), \tag{30}$$ $$h_{3}=C_{4}u_{3}K_{1}\left(u_{3}\rho \right), \tag{31}$$ $$e_{z3}=\frac{iu_{3}^{2}}{\omega \varepsilon _{0}}C_{4}K_{0}\left(u_{3}\rho \right), \tag{32}$$ $$e_{\rho 3}=-\frac{u_{3}\zeta }{\omega \varepsilon _{0}}C_{4}K_{1}\left(u_{3}\rho \right). \tag{33}$$

Ovde je $C_{4}$ poslednja u nizu integraciona konstanta, dok je

$$u_{3}\rho =\sqrt{\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\rho ^{2}}. \tag{34}$$

Pozabavićemo se sada primenom graničnih uslova i određivanjem četiri integracione konstante u funkciji konstante $C$ koju ćemo na kraju takođe izračunati.

Granični uslovi zadatka

Prvo ćemo zahtevati da je funkcija $h$ neprekidna na površini $\rho =a$. Taj uslov daje jednačinu

$$-u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)C_{1}+u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right)C=-u_{2}aI_{1}\left(u_{2}a\right)C_{2}+u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)C_{3}. \tag{35}$$

Neprekidnost funkcije $e_{z}$ na istoj površini dovodi do relacije

$$\varepsilon _{g}\left(u_{1}a\right)^{2}\left[I_{0}\left(u_{1}a\right)C_{1}+K_{0}\left(u_{1}a\right)C\right]=\varepsilon _{p}\left(u_{2}a\right)^{2}\left[I_{0}\left(u_{2}a\right)C_{2}+K_{0}\left(u_{2}a\right)C_{3}\right]. \tag{36}$$

Kontinuitet funkcije $h$ na graničnoj površini stakla i vazduha daje:

$$u_{3}adK_{1}\left(u_{3}ad\right)C_{4}=-u_{2}adI_{1}\left(u_{2}ad\right)C_{2}+u_{2}adK_{1}\left(u_{2}ad\right)C_{3} \tag{37}$$

($d$ je količnik poluprečnikâ cevi, $d=\frac{b}{a}$). Na kraju, zahtevajmo i kontinuitet funkcije $e_{z}$ na istoj površini, pa će biti:

$$\varepsilon _{g}\left(u_{3}ad\right)^{2}K_{0}\left(u_{3}ad\right)C_{4}=\left(u_{3}ad\right)^{2}\left[I_{0}\left(u_{2}ad\right)C_{2}+K_{0}\left(u_{2}ad\right)C_{3}\right]. \tag{38}$$

Imajući u vidu poslednje četiri relacije, možemo napisati jednačinu

$$M\cdot \Re =CN, \tag{39}$$

gde je M kvadratna matrica četvrtog reda,

$$M=\left(m_{ij}\right)_{1}^{4}, \tag{40}$$

dok su $\Re$ i $N$ vektori; prvi reprezentuje integracione konstante $C_{i}$ a drugi je u vezi sa slobodnim članovima sistema jednačina:

$$\Re =\left[\begin{matrix}C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \\ C_{4}\end{matrix}\right],N=\left[\begin{matrix}N_{1} \\ N_{2} \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right]. \tag{41}$$

Uvedimo veličinu $\Delta$, determinantu sistema jednačina (39):

$$\Delta =\det \left(M\right). \tag{42}$$

Neka je $M_{i}$ matrica koja se dobija od matrice $M$ kada se njena i-ta kolona zameni članovima vektora $N$. Neka je pritom odgovarajuća determinanta

$$\Delta _{i}=\det \left(M_{i}\right). \tag{43}$$

Tada je za svako i od 1 do 4

$$C_{i}=C\frac{\Delta _{i}}{\Delta }. \tag{44}$$

Pokažimo sada na koji se način može izračunati konstanta $C$.

Izračunavanje konstante $C$

Pretpostavimo da se gustina struje dipola, umesto jednačinom (4) može opisati relacijom

$$\delta \left(\vec{r}\right)()=\frac{\delta \left(\rho -R\right)\delta \left(z\right)}{2\pi \rho }, \tag{45}$$

tj. da imamo oscilujući izvor tipa (uslovno rečeno) šupljeg dipola koji u granici $R\to 0$ postaje standardni električni dipol. Tada umesto naše jed. (18) imamo

$$\rho \frac{d^{2}a_{1}}{d\rho ^{2}}+\frac{da_{1}}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}\right)\rho a_{1}=-J\frac{\delta \left(\rho -R\right)}{2\pi }. \tag{46}$$

Izvršimo sledeću integraciju:

$$\int\limits \rho a''R-rR+r\int +\int\limits a'R-rR+r\int \tag{47}$$

Integrand trećeg integrala kontinualno se menja pri prolasku kroz površinu $\rho =R$ ; integral na desnoj strani jednak je jedinici. Zato je

$$\left.\rho \frac{da_{1}}{d\rho }\right|_{R+r}-\left.\rho \frac{da_{1}}{d\rho }\right|_{R-r}=-\frac{J}{2\pi }. \tag{48}$$

Odavde neposredno sledi

$$R\left[C_{1}u_{1}I_{0}\left(u_{1}R\right)-Cu_{1}K_{1}\left(u_{1}R\right)\right]-RAu_{1}I_{1}\left(u_{1}R\right)=-\frac{J}{2\pi }, \tag{49}$$

gde je A neka nova konstanta. Kako za mali argumenat $z\equiv u_{1}R$ izraz $zI_{0}\left(z\right)\to 0$ , kao i $zI_{1}\left(z\right)\to 0$ , a $zK_{1}\left(z\right)\to 1$ , vidimo da je u granici

$$C=\frac{J}{2\pi }, \tag{50}$$

što je i trebalo dokazati. Stoga možemo smatrati da su sada naša rešenja (44) definitivno određena.

Integralni izrazi za potencijale

Naše transformacije funkcije potencijala su sada izračunate; navedimo ih redom za sva tri medijuma, polazeći od plazmenog dela:

$$a_{1}\left(\rho ,\zeta \right)=\frac{J}{2\pi }\left[\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+K_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right], \tag{51}$$ $$a_{2}\left(\rho ,\zeta \right)=\frac{J}{2\pi }\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta }I_{0}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta }K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{52}$$ $$a_{3}\left(\rho ,\zeta \right)=\frac{J}{2\pi }\frac{\Delta _{4}}{\Delta }K_{0}\left(u_{3}\rho \right). \tag{53}$$

Pređimo na izračunavanje samih potencijala kao funkcija od aksijalne i radijalne koordinate, po formulama

$$A_{i}\left(\rho ,z\right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } a_{i}\left(\rho ,\zeta \right)e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{54}$$

Za plazmu, staklenu anvelopu i vazduh biće, redom

$$A_{1}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left[\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+K_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}d\zeta , \tag{55}$$ $$A_{2}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta }I_{0}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta }K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}d\zeta , \tag{56}$$ $$A_{3}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{\Delta _{4}}{\Delta }K_{0}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{57}$$

Po ovim formulama može se celovito ispitivati elektromagnetsko polje pobuđeno antenom u datom složenom okruženju. Pogledajmo u sledećem odeljku pobliže koji rezultati slede iz opisanog pristupa problemu lansiranja površinskog talasa.

Konturna integracija

Pozabavimo se na početku rešavanjem integrala (55). Integral se uzima duž realne ose u kompleksnoj $\zeta$ ravni. Takav nesvojstveni integral rešavamo metodama kompleksne integracije [94]. Prethodno se razmatra odgovarajući krivolinijski integral kompleksnog integranda. Efikasno je konturu integracije izabrati kao što je pokazano na slici 2.

Slika 2. Uz rešavanje integrala (55); kontura integracije krivolinijskog integrala u kompleksnoj $\zeta$ ravni; polukrug poluprečnika $r$ se zatvara sa negativne strane ravni, za analizu prostiranja površinskog talasa duž pozitivnog smera $z$ ose; $\beta$ pol prvog reda koji doprinosi amplitudi površinskog talasa; četiri tačke grananja na realnoj osi: $\pm k_{0}$ i $\pm \sqrt{\varepsilon _{g}}k_{0}$ , jedna tačka grananja na negativnoj imaginarnoj poluosi: $-i\sqrt{\left|\varepsilon _{p}\right|}k_{0}$; evaluacija zaseka daje radijacione i evanescentne komponente zračenja (up. sa grafikom u prvoj glavi).

Kompleksni integrand u posmatranom slučaju ima četiri tačke grananja na realnoj osi na mestima $\zeta =\pm k_{0}$ i $\zeta =\pm k\equiv \sqrt{\varepsilon _{g}}k_{0}$ i dve tačke grananja na imaginarnoj osi locirane na $\zeta =\pm i\sqrt{\left|\varepsilon _{p}\right|}k_{0}$. Polovi integranda dati su korenima jednačine $\Delta \left(\zeta \right)=0$. Realne nule $\zeta _{S}=\beta$ kontribucija su talasima koji se prostiru bez slabljenja duž plazmenog cilindra. To su upravo površinski, spori elektromagnetski talasi, vođeni razdvojnom površinom između dielektrika pozitivne permitivnosti i jonizovane sredine koju karakteriše negativna permitivnost. Ovde se nećemo baviti detaljnim izračunavanjima ukupnog polja duž zaseka u kompleksnoj ravni. Radijacione i evanescentne komponente nužno su prisutne; bez njih realno polje ne može regularno zadovoljiti granične uslove zadatka; o tome smo govorili i u analizi eksitacije poluprostora plazme, glava I. Naš interes je da izračunamo potencijal i, dalje, jačine polja kao i snagu površinskog talasa.

Površinski aksijalno simetrični talas

Za progresivni talas u smeru $z>0$ potrebno je izračunati rezidijum u polu $\zeta _{S}=\beta$. Prvo, za medijum I pišemo

$$A_{1S}\left(\rho ,z\right)=2\pi i\mathop{\lim }\limits_{\zeta \to \beta }\left\{\left(\zeta -\beta \right)\left[\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}\right\}, \tag{58}$$

odakle je direktno

$$A_{1S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{1}\left(\beta \right)}{\Delta '}I_{0}\left[u_{1}\left(\beta \right)\rho \right]e^{-i\beta z}. \tag{59}$$

Ovde je $\Delta _{1}\left(\beta \right)$ determinanta definisana rel. (43) , ali sa zamenom $\zeta \to \beta$; ista primedba važi i za definiciju veličine $u_{1}\left(\beta \right)$: v. jed. (20). U imeniocu izraza figuriše prvi izvod determinante sistema u tački $\zeta =\beta$, v. jed.(42). Dalje ćemo uprošćeno pisati ne navodeći eksplicitno zavisnost veličina od talasnog broja vođenog talasa. Sada odmah nalazimo jačinu magnetskog polja površinskog talasa u plazmi, up. jed. (10):

$$H_{1}\left(\rho ,z\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{60}$$

Potom dobijamo (v. jed.(11) i (12)) i komponente vektora jačine električnog polja u plazmi; radijalna komponenta proporcionalna je funkciji $I_{1}$,

$$E_{\rho 1}\left(\rho ,z\right)=-\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\frac{\beta a\cdot u_{1}a}{\varepsilon _{p}}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}; \tag{61}$$

a podužna komponenta funkciji $I_{0}$ ,

$$E_{z1}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\frac{\left(u_{1}a\right)^{2}}{\varepsilon _{p}}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{62}$$

Ne ponavljajući detalje, navodimo odgovarajuće izraze za medijum II; na potpuno analogan način dobijamo:

$$A_{2S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\left\{\frac{\Delta _{2}\left(\beta \right)}{\Delta '}\right\}K_{0}\left[u_{2}\left(\beta \right)\rho \right]\{\} \tag{63}$$ $$H_{2}\left(\rho ,z\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{2}a\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{64}$$ $$E_{\rho 2}\left(\rho ,z\right)=-\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\beta a\cdot u_{2}a}{\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{65}$$ $$E_{z2}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\left(u_{2}a\right)^{2}}{\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{0}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{66}$$

Na kraju, potrebno je dati i izraze za polje površinskog talasa u medijumu III (vazduh oko plazme u staklenoj cevi):

$$A_{3S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{4}\left(\beta \right)}{\Delta '}K_{0}\left[u_{3}\left(\beta \right)\rho \right]e^{-i\beta z}; \tag{67}$$ $$H_{3}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}u_{3}aK_{1}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}; \tag{68}$$ $$E_{\rho 3}\left(\rho ,z\right)=\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\beta a\cdot u_{3}a\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}K_{1}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}; \tag{69}$$ $$E_{z3}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\left(u_{3}a\right)^{2}\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}K_{0}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{70}$$

Sad imamo sve neophodne izraze pomoću kojih možemo nastaviti analizu površinskog talasa izračunavanjem njegove snage.

Snaga površinskog talasa

Snagu površinskog talasa izračunavaćemo kao zbir snagâ u plazmi, dielektriku i vazduhu, dakle

$$P=P_{I}+P_{II}+P_{III}. \tag{71}$$

Komponente snage nalazimo metodom Poyntingovog vektora [122]:

$$P_{i}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits E_{\rho i}H_{i}^{\bullet }2\pi \rho d\rho . \tag{72}$$

U plazmi, integral se uzima u granicama od $0$ do $a$ ; stavljajući u integrand jed. (61) i konjugovano-kompleksnu vrednost izraza u rel. (60), izračunavamo:

$$\tilde{P}_{I}=\frac{X\left(u_{1}a\right)^{2}}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\right)() \tag{73}$$

Ovo je u stvari bezdimenziona veličina, normalizovana snaga, $\tilde{P}_{1}=\frac{P_{1}}{P_{n}}$ , gde je normalizacioni faktor

$$P_{n}=\frac{1}{8\pi }\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}\frac{J^{2}}{a^{2}}\left[W\right]. \tag{74}$$

Kao i ranije, u fomuli figuriše normalizovani talasni broj $X$ , normalizovana kružna učestanost $Y$, te parametar elektronske gustine $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$. Navedimo i oblik integrala koji se pojavio:

$$\Im _{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho . \tag{75}$$

Kada u izraz za snagu (72) stavimo naše rezultate za radijalno električno polje (65) i azimutalno magnetsko polje (64) i integralimo u domenu staklene anvelope, od poluprečnika $a$ do poluprečnika $b$, dobijamo

$$\tilde{P}_{II}=\frac{X\left(u_{2}a\right)^{2}}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}\Im _{22}-2\frac{\Delta _{2}}{\Delta '} \tag{76}$$

Ovde su se pojavili sledeći integrali (rešenja ćemo dati kasnije):

$$\Im _{21}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{77}$$ $$\Im _{22}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{78}$$ $$\Im _{23}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}\left(u_{2}\rho \right)I_{1}\left(u_{2}\rho \right)d\rho . \tag{79}$$

Na kraju, kad u izraz (72) zamenimo jed. (69) i (68), posle integracije u granicama od poluprečnika $b$ do beskonačnosti nalazimo

$$\tilde{P}_{III}=\frac{X\left(u_{3}a\right)^{2}}{p_{0}Y}\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}\right)() \tag{80}$$

gde se pojavio još jedan integral iz iste serije:

$$\Im _{3}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{b}^{\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{3}\rho \right)d\rho . \tag{81}$$

Konačna formula za normalizovanu snagu površinskog talasa, prema (71), (73), (76) i (80) glasi

$$\tilde{P}\{ \tag{82}$$

Zbog numeričke obrade i analize ovog izraza, i da bi se lakše čitalo, potrebno je na ovom mestu da navedemo i ranije upotrebljene i usaglašene oznake i skraćenice:

$$X=\beta a;Y=\frac{\omega }{\omega _{p}};\varepsilon _{p}=1-\frac{1}{Y^{2}};p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}; \tag{83}$$ $$u_{1}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{p}}; \tag{84}$$ $$u_{2}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{g}}; \tag{85}$$ $$u_{3}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}}. \tag{86}$$

Sada ćemo eksplicitno imenovati svaki član od pet determinanti koje smo definisali relacijama (43) i (44):

Struktura determinante sistema $\Delta$:

$$\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right); \tag{87a}$$

Struktura determinante $\Delta _{1}$:

$$\left|\begin{matrix}\tilde{K} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{K}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right); \tag{87b}$$

Struktura determinante $\Delta _{2}$:

$$\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}\tilde{K}_{1}\left(u_{1}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{K}_{0}\left(u_{1}a\right); \tag{87c}$$

Struktura determinante $\Delta _{3}$:

$$\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right); \tag{87d}$$

Struktura determinante $\Delta _{4}$:

$$\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|\tilde{K}_{1}\left(u_{1}a\right)-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right). \tag{87e}$$

(Simboli sa tildom označavaju proizvod date funkcije i naznačenog argumenta, na primer: $\tilde{I}_{1}\left(u_{1}a\right)\equiv u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)$ itd.) Sada navedimo rešenja integrala:

integral (75):

$$\Im _{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho , \tag{88}$$ $$\Im _{1}=I_{1}^{2}(u_{1}a)-I_{0}(u_{1}a)I_{2}(u_{1}a); \tag{88a}$$

integral (77)

$$\Im _{21}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{89}$$ $$\begin{aligned}\Im _{21}=d^{2}\left[I_{1}^{2}(u_{2}ad)-I_{0}(u_{2}ad)I_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[I_{1}^{2}(u_{2}a)-I_{0}(u_{2}a)I_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{89a}$$

integral (78):

$$\Im _{22}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{90}$$ $$\begin{aligned}\Im _{22}=d^{2}\left[K_{1}^{2}(u_{2}ad)-K_{0}(u_{2}ad)K_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[K_{1}^{2}(u_{2}a)-K_{0}(u_{2}a)K_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{90a}$$

integral (79):

$$\Im _{23}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}\left(u_{2}\rho \right)K_{1}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{91}$$ $$\begin{aligned}\Im _{23}=d^{2}\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}d^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}ad\right)K_{1}\left(u_{2}ad\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)\right] \\ -\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}a\right)K_{1}\left(u_{2}a\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)\right];\end{aligned} \tag{91a}$$

integral (81):

$$\Im _{3}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{b}^{\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{3}\rho \right)d\rho , \tag{92}$$ $$\Im _{3}=d^{2}\left[-K_{1}^{2}(u_{3}ad)+K_{0}(u_{3}ad)K_{2}(u_{3}ad)\right]. \tag{92a}$$

Radi numeričke obrade formule za snagu potrebno je da, dalje, preciziramo vezu talasne dužine i frekvencije talasa.

Disperziona relacija aksijalno simetričnog talasa

Frekventna karakteristika talasne dužine za dati tip talasa diktirana je strukturom sredine i ne može zavisiti od vrste antene; parametri su permitivnost sredina, oblik i dimenzije. Disperziona relacija se dobija anuliranjem determinante sistema; potpuno je svejedno da li to činimo sa jed. (43) ili sa onom iz četvrte glave; iskoristimo baš nju, pošto smo o njoj već dovoljno govorili:

$$\left|\begin{matrix}I\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \varepsilon _{g}r_{31} & -\varepsilon _{p}r_{32} & -\varepsilon _{p}r_{33} & 0 \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|=0. \tag{93}$$

Ovde je jedino potrebno da ukratko ponovimo skraćenice pomoću kojih iz jednačine (93) dobijamo završnu formulu koja je prilagođena za efikasna izračunavanja:

$$r_{31}=\left[u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)\right]^{'}; \tag{94}$$ $$r_{32}=\left[u_{2}aI_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}; \tag{95}$$ $$r_{33}=\left[u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}. \tag{96}$$ $$m_{1}=\left|\begin{matrix}-I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{97}$$ $$m_{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{98}$$ $$m_{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bK_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{99}$$

Tražena disperziona relacija, u normalizovanoj varijanti, ima oblik

$$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{r_{31}m_{1}}{r_{32}m_{2}-r_{33}m_{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{100}$$

Primena ove formule teče prema uputstvima i komentarima koji su istaknuti u četvrtoj glavi, i to nećemo ponavljati.

Centralnu formulu naših izračunavanja, jed. (82), analiziraćemo u idućoj glavi i tamo prikazati rezultate u okviru jednog šireg razmatranja uticaja atenuacionih procesa pri prostiranju talasa na spektar snage.

Naše jednačine za potencijal omogućavaju i analizu radijacionog polja Hertzovog dipola u datoj konfiguraciji, samim tim i procenu efikasnosti eksitacije, ali se detaljnije tim poslom ovde nećemo baviti. Priložićemo samo sledeći komentar. U graničnom slučaju $\varepsilon _{g}\to 1$ (dielektrik jedinične permitivnosti) ili, što bi moralo biti isto, za $d\to 1$ (zid nulte debljine), takvi rezultati se mogu naći u radu [107] . Zaključak je da se površinski talasi eksituju sa maksimalnom efikasnošću na učestanošću blizu polovine plazmene učestanosti; da dipol, prema očekivanju, u dalekoj zoni najviše zrači bočno, a da se duž ose radijacioni dijagram anulira; da je normalizovana radijaciona otpornost proporcionalna kvadratnom korenu iz učestanosti za uski plazmeni stub i visoke učestanosti. Snaga površinskih talasa raste kad parametar plazmene gustine opada; u suštini, to znači da uski plazmeni cilindri nose veće snage, što je logično: efektivno se smanjuje rastojanje dipola od reaktivne površine — sa maksimalnim učinkom bi se talas eksitovao dipolom koji leži na samoj vodećoj površini.

Uticaj termalnih efekata na proces eksitacije površinskih talasa analiziran je u radu [108] . Konačna temperatura elektrona omogućava prostiranje i iznad rezonantne učestanosti za model hladne plazme; za vrlo tanke tople plazmene stubove praktično se ne oseća asimptota $\omega =\omega _{p}/\sqrt{2}$ .

*

REZIME FORMULÂ, SKRAĆENICÂ I OZNAKÂ GLAVE VI

$$A_{1}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left[\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+K_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}d\zeta , \tag{55}$$ $$A_{2}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta }I_{0}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta }K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}d\zeta , \tag{56}$$ $$A_{3}\left(\rho ,z\right)=\frac{J}{\left(2\pi \right)^{2}}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{\Delta _{4}}{\Delta }K_{0}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{57}$$ $$A_{1S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{1}\left(\beta \right)}{\Delta '}I_{0}\left[u_{1}\left(\beta \right)\rho \right]e^{-i\beta z}; \tag{59}$$ $$H_{1}\left(\rho ,z\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}, \tag{60}$$ $$E_{\rho 1}\left(\rho ,z\right)=-\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\frac{\beta a\cdot u_{1}a}{\varepsilon _{p}}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}, \tag{61}$$ $$E_{z1}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\frac{\left(u_{1}a\right)^{2}}{\varepsilon _{p}}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{62}$$ $$A_{2S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\left\{\frac{\Delta _{2}\left(\beta \right)}{\Delta '}\right\}K_{0}\left[u_{2}\left(\beta \right)\rho \right]\{\} \tag{63}$$ $$H_{2}\left(\rho ,z\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{2}a\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{64}$$ $$E_{\rho 2}\left(\rho ,z\right)=-\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\beta a\cdot u_{2}a}{\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{65}$$ $$E_{z2}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\left(u_{2}a\right)^{2}}{\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right]K_{0}\left(u_{2}\rho \right)[] \tag{66}$$ $$A_{3S}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{4}\left(\beta \right)}{\Delta '}K_{0}\left[u_{3}\left(\beta \right)\rho \right]e^{-i\beta z}; \tag{67}$$ $$H_{3}\left(\rho ,z\right)=i\frac{J}{2\pi a^{2}}\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}u_{3}aK_{1}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}, \tag{68}$$ $$E_{\rho 3}\left(\rho ,z\right)=\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\beta a\cdot u_{3}a\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}K_{1}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}, \tag{69}$$ $$E_{z3}\left(\rho ,z\right)=-\frac{1}{\omega \varepsilon _{0}a}\frac{J}{2\pi a^{2}}\left(u_{3}a\right)^{2}\frac{\Delta _{4}}{\Delta '}K_{0}\left(u_{3}\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{70}$$

$\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}$, $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }.$

$$X=\beta a;Y=\frac{\omega }{\omega _{p}};\varepsilon _{p}=1-\frac{1}{Y^{2}};p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}; \tag{83}$$

$k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}}$, $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$, $d=\frac{b}{a}.$

$$u_{1}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{p}}, \tag{84}$$ $$u_{2}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{g}}, \tag{85}$$ $$u_{3}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}Y^{2}}. \tag{86}$$ $$\tilde{P}\{ \tag{82}$$

$\tilde{P}=\frac{P}{P_{n}}$, $P_{n}=\frac{1}{8\pi }\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}\frac{J^{2}}{a^{2}}\left[W\right].$ (74)

$$\Im _{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho , \tag{88}$$ $$\Im _{1}=I_{1}^{2}(u_{1}a)-I_{0}(u_{1}a)I_{2}(u_{1}a); \tag{88a}$$ $$\Im _{21}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{89}$$ $$\begin{aligned}\Im _{21}=d^{2}\left[I_{1}^{2}(u_{2}ad)-I_{0}(u_{2}ad)I_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[I_{1}^{2}(u_{2}a)-I_{0}(u_{2}a)I_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{89a}$$ $$\Im _{22}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{90}$$ $$\begin{aligned}\Im _{22}=d^{2}\left[K_{1}^{2}(u_{2}ad)-K_{0}(u_{2}ad)K_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[K_{1}^{2}(u_{2}a)-K_{0}(u_{2}a)K_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{90a}$$ $$\Im _{23}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}\left(u_{2}\rho \right)K_{1}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{91}$$ $$\begin{aligned}\Im _{23}=d^{2}\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}d^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}ad\right)K_{1}\left(u_{2}ad\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)\right] \\ -\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}a\right)K_{1}\left(u_{2}a\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)\right];\end{aligned} \tag{91a}$$ $$\Im _{3}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{b}^{\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{3}\rho \right)d\rho , \tag{92}$$ $$\Im _{3}=d^{2}\left[-K_{1}^{2}(u_{3}ad)+K_{0}(u_{3}ad)K_{2}(u_{3}ad)\right]. \tag{92a}$$ $$\Delta =\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right);$$ $$\Delta _{1}=\left|\begin{matrix}\tilde{K} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{K}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right);$$ $$\Delta _{2}=\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}\tilde{K}_{1}\left(u_{1}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{K}_{0}\left(u_{1}a\right);$$ $$\Delta _{3}=\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|0-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right)u_{2}a\varepsilon _{p}\tilde{I}_{0}\left(u_{2}a\right);$$ $$\Delta _{4}=\left|\begin{matrix}\tilde{I} \\ \\ \\ \end{matrix}-\tilde{I}_{1}\left(u_{2}a\right)\right|\tilde{K}_{1}\left(u_{1}a\right)-u_{1}a\varepsilon _{g}\tilde{I}_{0}\left(u_{1}a\right).$$ $$\tilde{\text{Ζ}}_{n}\left(u_{i}a\right)\equiv u_{i}a\text{Ζ}_{n}\left(u_{i}a\right).$$ $$\left|\begin{matrix}I\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \varepsilon _{g}r_{31} & -\varepsilon _{p}r_{32} & -\varepsilon _{p}r_{33} & 0 \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|=0. \tag{93}$$ $$r_{31}=\left[u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)\right]^{'}, \tag{94}$$ $$r_{32}=\left[u_{2}aI_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}, \tag{95}$$ $$r_{33}=\left[u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}. \tag{96}$$ $$m_{1}=\left|\begin{matrix}-I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|, \tag{97}$$ $$m_{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|, \tag{98}$$ $$m_{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bK_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{99}$$ $$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{r_{31}m_{1}}{r_{32}m_{2}-r_{33}m_{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{100}$$

***