Glava V: Eksitacija električnim dipolom na osi cilindrične plazme u beskonačnom dielektriku

G L A V A V

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA ELEKTRIČNIM DIPOLOM NA OSI

CILINDRIČNE PLAZME U BESKONAČNOM DIELEKTRIKU

Uvod

Površinski talas može da se uspešno eksituje svakim onim antenskim sistemom koji je bar u elementarnom smislu kompatibilan sa elektromagnetskom strukturom talasa. Videli smo u prethodnim glavama da takav uslov vrlo dobro zadovoljava odgovarajuća slot antena; na slici 1a prikazana je linija sile električnog polja (puna linija) i magnetskog polja (isprekidana linija) ; uređaj na prirodan način generiše električno polje sa aksijalnom i radijalnom komponentom, te osno simetrično

Slika 1. Dve jednostavne antenske konfiguracije pogodne za teorijsku analizu eksitacije površinskih talasa; a) prsten magnetske struje ima prostu fizičku realizaciju u vidu uskog kružnog aksijalno simetričnog proreza u poprečnoj metalnoj ravni (slot varijanta); b) kratki oscilujući električni dipol sa homogenom strujom i koncentrisanim naelektrisanjima na krajevima (Hertzov dipol)

magnetsko polje. Sledeći prost postupak eksitacije je primenom klasičnog električnog dipola; slika 1b na pregledan način potvrđuje da se i dipolom medijum snabdeva elektromagnetskom snagom adekvatne strukture, sa obezbeđenim preferentnim pravcima vektorâ poljâ u vođenom talasu. Zato su vlakno magnetske struje [50], [15] i aksijalni Hertzov dipol [56], [108] klasični teorijski modeli za rešavanje eksitacionih problema i u plazmama.

U ovoj ćemo glavi rešavati problem eksitacije aksijalno simetričnog površinskog talasa pomoću elementarnog električnog dipola u plazmi, na osi cilindričnog plazmenog stuba zaronjenog u beskonačni dielektrik.

Model sredine i antena

Na slici 2 dat je šematski prikaz sredine od dva sloja i aksijalno postavljenog elektrinog dipola, uz naznaku usvojenog cilindričnog sistema koordinata. Medijum I je plazma tretirana kao nekonvencijalni dielektrik, a medijum II klasični dielektrik, tj. plazmu ćemo tretirati kao homogenu sredinu negativne permitivnosti $\varepsilon _{p}$ , u skladu sa

Slika 2. Razmatrana konfiguracija; kružni cilindar (medijum I) hladne homogene plazme, poluprečnika a smešten u idealni homogeni dielektrik (medijum II); na osi sistema, u koordinatnom početku, Hertzov dipol; naznačene su ose cilindričnog koordinantog sistema.

modelom hladnog jonizovanog gasa [53], a okolno staklo kao idealni, homogeni dielektrik. Sledićemo matematički postupak [107] koji predviđa tretman talasne jednačine metodom Fourierove transformacije, prepoznavanje površinskog talasa u konturnoj integraciji pri inverznoj transformaciji, određivanje komponenti elektromagnetskog polja površinskog talasa, te izračunavanja snage talasa. Nećemo ulaziti u sve detalje determinacije ukupnog polja proizvedenog datom antenom u usvojenoj konfiguraciji, niti sledstveno analizirati efikasnost eksitacije u ovom posebnom slučaju; nešto više o tome biće reči u sledećoj glavi, kada ćemo opisati realističniji slučaj dipolom eksitovanih talasa u plazmi oko koje je staklena cev.

Talasna jednačina za potencijal

Aksijalno simetrični talas na cilindričnoj plazmenoj strukturi ima aksijalnu ($E_{z}$) i radijalnu ($E_{\rho }$) komponentu električnog polja i azimutalnu ($H_{\phi }=H$) komponentu magnetskog polja, up. [32]. Iz Maxwellovih jednačina ustanovljavamo da se električne komponente mogu konzistentno izraziti pomoću izvoda magnetske komponente po radijalnoj koordinati; stavljajući

$$H=-\frac{\partial A}{\partial \rho } \tag{1}$$

dobijamo, za monohromatski talas kružne učestanosti $\omega$

$$E_{\rho }=\frac{-i}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\frac{\partial ^{2}A}{\partial z\partial \rho }, \tag{2}$$ $$E_{z}=\frac{-i}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\left(\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon A\right). \tag{3}$$

Ovde je $k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}}$ talasni broj slobodnih elektromagnetskih talasa u vakuumu ($c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$; $\varepsilon _{0}$- električna konstanta, $\mu _{0}$- magnetska konstanta). Sama funkcija potencijala A zadovoljava talasnu jednačinu u aksijalno simetričnom problemu

$$\frac{\partial ^{2}A}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon A=-j. \tag{4}$$

Pobudu elementarnim dipolom u koordinatnom početku opisujemo pomoću gustine struje koja se uspešno modelira Diracovom $\delta$ funkcijom; u primenjenim cilindričnim koordinatama treba uzeti (videti Dodatak na kraju glave)

$$j=J\frac{\delta \left(\rho \right)\delta \left(z\right)}{2\pi \rho }, \tag{5}$$

gde je $J$ jačina dipola, ili strujni momenat (proizvod amplitude jačine struje dipola i njegove dužine).

Rešavanje talasne jednačine

Talasnu jednačinu (4) rešavaćemo metodom Fourierove transformacije. Obeležimo ovde sa $\sigma$ Fourierovu sliku funkcije A ; tada je $\sigma$= {A}, tj.

$$\sigma =\int\limits_{-\infty }^{+\infty } Ae^{i\zeta z}dz. \tag{6}$$

Primenom postupka (6) parcijalna diferencijalna jednačina (4) se transformiše u običnu diferencijalnu nehomogenu jednačinu oblika

$$\frac{d^{2}\sigma }{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{d\sigma }{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon \right)\sigma =-J\frac{\delta \left(\rho \right)}{2\pi \rho }. \tag{7}$$

Dakle, u prvom medijumu, kada je za plazmu [125]

$$\varepsilon \equiv \varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}},$$

treba rešavati talasnu jednačinu za sliku $\sigma _{1}$= {A1}

$$\frac{d^{2}\sigma _{1}}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{d\sigma _{1}}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}\right)\sigma _{1}=-J\frac{\delta \left(\rho \right)}{2\pi \rho }. \tag{8}$$

U drugom medijumu, kada je $\varepsilon =\varepsilon _{g}$ nema izvora zračenja, pa za Fourierovu sliku $\sigma _{2}$= {A2} diferencijalna jednačina glasi:

$$\frac{d^{2}\sigma _{2}}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{d\sigma _{2}}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}\right)\sigma _{2}=0. \tag{9}$$

Rešenje jed. (8) možemo predstaviti u obliku [1], [107]

$$\sigma _{1}=C_{1}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+CK_{0}\left(u_{1}\rho \right), \tag{10}$$

gde figurišu Besselove modifikovane funkcije druge vrste nultog reda i argumenta

$$u_{1}\rho =\sqrt{\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}\rho ^{2}}. \tag{11}$$

Integracione konstante C1 i C biće određene iz graničnih uslova; kasnije ćemo u tekstu ustanoviti da će granični proces $\rho \to 0$ povezati konstantu C sa karakteristikama dipola; C1 i ostale konstante koje će se javiti u drugom rešenju moći će da se izraze preko konstante C pomoću klasičnih graničnih uslova na razdvojnim površinama [42]

Sada napišimo rešenje za Fourierovu sliku jačine magnetskog polja u plazmi sh1= {H1}; javiće se Besselove funkcije prvog reda:

$$h_{1}\equiv -\frac{d\sigma _{1}}{d\rho }=-C_{1}u_{1}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)+Cu_{1}K_{1}\left(u_{1}\rho \right). \tag{12}$$

Sledeća jednačina (13) povezuje transformisanu jačinu aksijalnog električnog polja ez1= {Ez1} sa transformisanim potencijalom:

$$e_{z1}=\frac{iu_{1}^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\sigma _{1}. \tag{13}$$

Što se tiče drugog medijuma (staklo), analogna rešenja nalazimo prema jed. (9):

$$\sigma _{2}=C_{2}K_{0}\left(u_{2}\rho \right); \tag{14}$$ $$h_{2}=C_{2}u_{2}K_{1}\left(u_{2}\rho \right); \tag{15}$$ $$e_{z2}=\frac{iu_{2}^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\sigma _{2}. \tag{16}$$

Javila se samo jedna nova integraciona konstanta, C2 (rešenje proporcionalno funkciji $I\left(u_{2}\rho \right)$ isključeno je zahtevom ograničenosti polja u beskonačnosti). U argumentu modifikovanih Besselovih funkcija druge vrste imamo veličinu

$$u_{2}\rho =\sqrt{\zeta ^{2}\rho ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}\rho ^{2}}. \tag{17}$$

Ona će, kao i $u_{1}\rho$ , u kasnijem postupku konturne integracije dati odgovarajući normalizovani transverzalni talasni broj vođenog talasa.

Određivanje integracionih konstanti $C_{1}$ i $C_{2}$

Granični uslov koji zahteva kontinuitet funkcije $h\left(\rho \right)$ na površini $\rho =a$ daje vezu

$$u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)C_{1}+u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)C_{2}=u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right)C, \tag{18}$$

a granični uslov za kontinuitet funkcije $e_{z}\left(\rho \right)$ na istoj površini daje

$$u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}I_{0}\left(u_{1}a\right)C_{1}-u_{2}^{2}a^{2}\varepsilon _{p}K_{0}\left(u_{2}a\right)C_{2}=-u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}K_{0}\left(u_{1}a\right)C. \tag{19}$$

Napišimo determinantu sistema jednačina (18, (19):

$$\Delta =\left|\begin{matrix}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right) \\ u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}I_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{2}^{2}a^{2}\varepsilon _{p}K_{0}\left(u_{2}a\right)\end{matrix}\right|. \tag{20}$$

Definišimo još dve determinante:

$$\Delta _{1}=\left|\begin{matrix}u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right) \\ -u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}K_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{2}^{2}a^{2}\varepsilon _{p}K_{0}\left(u_{2}a\right)\end{matrix}\right|; \tag{21}$$ $$\Delta _{2}=\left|\begin{matrix}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right) \\ u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}I_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}K_{0}\left(u_{1}a\right)\end{matrix}\right|. \tag{22}$$

Sada možemo Cramerovim (Leibnizovim) postupkom [93] izraziti konstante $C_{1}$ i $C_{2}$ preko konstante C :

$$C_{1}=C\frac{\Delta _{1}}{\Delta }; \tag{23}$$ $$C_{2}=C\frac{\Delta _{2}}{\Delta }. \tag{24}$$

Ponašaćemo se u računu koji sledi kao da je konstanta C poznata; ona mora biti u vezi sa karakteristikama izvora zračenja; u odeljku 8. to ćemo i demonstrirati.

Određivanje funkcije potencijala i komponenata polja

Potražimo potencijal kao funkciju od radijalne i aksijalne koordinate u plazmi. On je dat inverznom Fourierovom transformacijom, tj. integralnim izrazom

$$A_{1}=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \sigma _{1}e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{25}$$

Budući da je u skladu sa jed. (10) i rez. (23)

$$\sigma _{1}=C\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)+CK_{0}\left(u_{1}\rho \right), \tag{26}$$

dolazimo do nesvojstvenog integrala oblika

$$A_{1}=\frac{C}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left[K_{0}\left(u_{1}\rho \right)+\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{27}$$

Metodom kompleksne integracije [94] moguće je posredstvom ovog izraza dobiti asimptotske forme ukupnog elektromagnetskog polja eksitovnog električnim dipolom na osi plazmenog stuba. Kako se u sličnim problemima bira kontura krivolinijskog integrala objasnili smo u ovoj knjizi na jednostavnijem primeru poluprostora plazme, a o tome ćemo govoriti i u narednoj glavi.

Pol integranda i površinski talas

Mi ćemo se ovde samo pozabaviti kontribucijom pola takve kompleksne integracije, jer se na taj način dobija veličina proporcionalna amplitudi površinskog talasa. Dakle,

$$A_{1}^{S}=2\pi i\mathop{\lim }\limits_{\zeta \to \beta }\left(\zeta -\beta \right)\left\{\frac{C}{2\pi }\left[K_{0}\left(u_{1}\rho \right)+\frac{\Delta _{1}}{\Delta }I_{0}\left(u_{1}\rho \right)\right]e^{-i\zeta z}\right\} \tag{28}$$

je komponenta potencijala pomoću koje dobijamo jačinu magnetskog polja u plazmenom cilindru, i potom dve električne komponente; imajući u vidu (45) stižemo do rezultata

$$A_{1}^{S}=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)e^{-i\beta z}; \tag{29}$$ $$H_{1}\left(\rho <a,z;t\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{1}a\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{30}$$

U imeniocu izraza potrebno je naći izvod determinante (20) po normalizovanom talasnom broju površinskog talasa $X=\beta a$; matrice imaju iste članove koje smo naveli u relacijama (20), (21 ) i (22 ), jedino je sada izvršena smena $\zeta \to \beta$ te važi za transverzalne talasne brojeve

$$u_{1}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{p}}; \tag{31}$$ $$u_{2}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{g}}. \tag{32}$$

U izraz (28) stavili smo, dakle, rezultat $C=\frac{J}{2\pi }$ koji ćemo naknadno pojasniti. Parametar elektronske gustine u plazmenom stubu je bezdimenziona veličina $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$ ; veličina $\omega _{p}$ koja prirodno figuriše u izrazu za permitivnost plazme, v. (7), funkcija je koncentracije $n$ elektrona u plazmi, $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m_{0}\varepsilon _{0}}}$, gde su $e$ i $m_{0}$ naelektrisanje i masa mirovanja elektrona, a $\varepsilon _{0}$ električna konstanta.

Što se tiče komponenti električnog polja u plazmi, pomoću dobijenog izraza (30) za jačinu magnetskog polja, te relacija (2) i (3) nalazimo

$$E_{z1}\left(\rho <a,z;t\right)=-\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{\left(u_{1}a\right)^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{33}$$ $$E_{\rho 1}\left(\rho <a,z;t\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{Xu_{1}a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{34}$$

Na sličan način nalazimo i analogne veličine u drugom medijumu, dielektriku oko plazme; ne ponavljajući matematički postupak, navodimo rezultate:

$$A_{2}^{S}=i\frac{J}{2\pi a}\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)e^{-i\beta z}; \tag{35}$$ $$H_{2}\left(\rho >a,z;t\right)=i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{2}a\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{36}$$ $$E_{z2}\left(\rho >a,z;t\right)=-\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{\left(u_{2}a\right)^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{37}$$ $$E_{\rho 2}\left(\rho >,z;t\right)=i\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{Xu_{2}a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{38}$$

Ovim je završeno izračunavanje svih komponenti polja površinskog talasa; ostalo je da, pre nego što pređemo na određivanje snage talasa, pokažemo kako je valorizovana integraciona konstanta u jed. (28).

Određivanje konstante C

Pretpostavimo da se talasi eksituju izvorom zračenja čija se gustina struje može opisati na sledeći način

$$j=J\frac{\delta \left(\rho -\mu \right)}{2\pi \rho }. \tag{39}$$

To je (uslovno rečeno) šuplji dipol, prstenasti sistem u koordinatnom početku, malog poluprečnika $\mu$. Talasna jednačina (8) za prvi medijum se modifikuje i postaje

$$\frac{d^{2}\sigma _{1}}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{d\sigma _{1}}{d\rho }-u_{p}^{2}\sigma _{1}=-J\frac{\delta \left(\rho -\eta \right)}{2\pi \rho }, \tag{40}$$

gde je

$$u_{p}^{2}=\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}. \tag{41}$$

Pomnožimo sa $\rho$ jed. (40) i iskoristimo vezu

$$\left(\rho \sigma '\right)()^{'}=\rho \sigma '' \tag{42}$$

Integralićemo duž malog puta dužine 2l koji preseca površinu $\rho =\eta$:

$$\int\limits \left(\rho \sigma '\right)()\mu -l\mu +l\int -u_{p}^{2}\int\limits_{\mu -l}^{\mu +l} \rho \sigma _{1}d\rho =-\frac{J}{2\pi }\int\limits_{\mu -l}^{\mu +l} \delta \left(\rho -\mu \right)d\rho . \tag{43}$$

Odavde dobijamo, kad pustimo da $l\to 0$

$$C_{1}\tau I_{1}\left(\tau \right)-C\tau I_{1}\left(\tau \right)-C_{0}\tau I_{1}\left(\tau \right)=-\frac{J}{2\pi }, \tag{44}$$

gde je $\tau =u_{1}\mu$. Napominjemo da je u rešenje za $\sigma _{1}$ ušla samo funkcija prve vrste, budući da rešenje ne sme da sadrži modifikovanu $K$ funkciju za $\rho <\mu$. Pošto $\tau I_{1}\left(\tau \right)\to 0$ a $\tau K_{1}\left(\tau \right)\to 1$ u granici $\mu \to 0$, odmah nalazimo da je

$$C=\frac{J}{2\pi }. \tag{45}$$

Naravno, anuliranjem parametra $\mu$ ponovo smo se vratili običnom dipolu koji i jeste predmet našeg razmatranja. Kao što smo i očekivali, konstanta C direktno je povezana sa primarnom karakteristikom zračećeg elementa. Rezultat (45) već smo ugradili u izraze za komponente elektromagnetskog polja površinskog talasa.

Snaga površinskog talasa

Kao i do sada, u prethodnim glavama, snagu površinskog talasa izračunavaćemo metodom Poyntingovog vektora [122]. Neophodno je provesti račun za oba medijuma, a onda sabirajući dobiti ukupnu snagu. Pođimo, dakle, od formule koja se odnosi na oblast plazme

$$P_{1}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits_{0}^{a} E_{\rho 1}H_{1}^{\bullet }2\pi \rho d\rho \tag{46}$$

u koju treba zameniti naše rel. (30 ) i (34), vodeći računa o konjugovano kompleksnom izrazu magnetskog polja. Postupak dovodi do izraza

$$P_{1}=\pi \left(\frac{J}{2\pi a^{2}}\right)^{2}\left(u_{1}a\right)^{2}\frac{X}{\omega a\varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\right)()^{2}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho . \tag{47}$$

Radi kraćeg pisanja uvedimo oznaku $B_{1}=B_{1}\left(u_{1}a\right)$ definicijom

$$B_{1}=I_{1}^{2}\left(u_{1}a\right)-I_{0}\left(u_{1}a\right)I_{2}\left(u_{1}a\right). \tag{48}$$

Tada je [103]

$$\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}a\right)d\rho =\frac{a^{2}}{2}B_{1}, \tag{49}$$

pa formulu za snagu talasa u plazmenom delu vođice možemo zapisati na sledeći način:

$$P_{1}=P_{0}\frac{X}{p_{0}Y}\frac{\left(u_{1}a\right)^{2}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\right)()^{2}B_{1}. \tag{50}$$

Napomenimo da je X normalizovani talasni broj vođenog talasa

$$X=\frac{2\pi a}{\lambda }, \tag{51}$$

Y normalizovana kružna učestanost

$$Y=\frac{\omega }{\omega _{p}}, \tag{52}$$

a $p_{0}$ je parametar elektronske gustine u jonizovanom gasu

$$p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}. \tag{53}$$

Na sličan način izračunajmo snagu talasa u dielektričnom omotaču, staklenoj sredini oko plazme. U početni obrazac

$$P_{2}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits_{a}^{\infty } E_{\rho 2}H_{2}^{\bullet }2\pi \rho d\rho \tag{54}$$

stavimo naše rezultate (38) i (36) (konjugovano kompleksna vrednost). Posle sređivanje čije korake ovde možemo preskočiti, dobijamo za snagu u spoljašnjem pojasu

$$P_{2}=P_{0}\frac{X}{p_{0}Y}\frac{\left(u_{2}a\right)^{2}}{\varepsilon _{g}}\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta '}\right)()^{2}B_{2} \tag{55}$$

gde je, kao i u obrascu (50), $P_{0}$ bezdimenzioni normalizacioni faktor snage, kombinacija karakteristika antene, sredine i univerzalnih konstanti, što je uobičajeno u sličnim problemima:

$$P_{0}=\frac{J^{2}}{8\pi a^{2}}\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}. \tag{56}$$

Opet, $B_{2}$ je oznaka za kombinaciju nekoliko Besselovih funkcija koje su se pojavile u toku rešavanja integrala

$$I_{K}=\int\limits_{a}^{+\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{57}$$

te je [103]

$$B_{2}=\frac{2}{a^{2}}I_{K}=-K_{1}^{2}\left(u_{2}a\right)+K_{0}\left(u_{2}a\right)K_{2}\left(u_{2}a\right). \tag{58}$$

Na kraju, ukupna snaga talasa je zbir izraza (50) i (55); označavajući $\tilde{P}=\frac{P}{P_{0}}$ , dobijamo

$$\tilde{P}=\frac{X}{p_{0}Y}\left[\frac{X_{T1}^{2}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}B_{2} \tag{59}$$

Treba pogledati jed. (31) i (32) za definiciju transverzalnih talasnih brojeva u normalizovanom obliku $X_{T1}=u_{1}a$ i $X_{T2}=u_{2}a$. Determinante su definisane pomoću izraza (20), (21) i (22); determinanta sistema se diferencira po normalizovanom talasnom broju (51); članovi $B_{i}$ pomenuti su u jed. (48) i (58), a učestanost i parametar gustine u (52) i (53).

Zakon disperzije za aksijalno simetrični površinski talas

Po obrascu (59) možemo ispitivati frekventnu zavisnost snage. Pre toga je potrebno znati kako talasna dužina talasa zavisi od učestanosti (koja je diktirana prostoperiodičnim zakonom vremena dipolnog izvora zračenja). Informacija te vrste dobija se iz disperzione relacije talasa. Disperziona se relacija dobija anuliranjem determinante sistema radi nalaženja netrivijalnog rešenja za vektore polja; dakle,

$$\Delta \left(X,Y\right)=0. \tag{60}$$

Razvojem determinante (20) ustanovljavamo da je

$$-\varepsilon _{p}=\varepsilon _{g}\frac{X_{T1}}{X_{T2}}\frac{I_{0}\left(X_{T1}\right)}{I_{1}\left(X_{T1}\right)}\frac{K_{1}\left(X_{T2}\right)}{K_{0}\left(X_{T2}\right)}; \tag{61}$$ $$Y=\left[1+\varepsilon _{g}\frac{X_{T1}}{X_{T2}}\frac{I_{0}\left(X_{T1}\right)}{I_{1}\left(X_{T1}\right)}\frac{K_{1}\left(X_{T2}\right)}{K_{0}\left(X_{T2}\right)}\right]^{-0.5}. \tag{62}$$

Pošto disperzione karakteristike sredine ne zavise od načina eksitacije talasa, ova je jednačina u suštini jednaka onoj koju smo komentarisali ranije, kada smo izlagali o eksitaciji površinskog talasa slot antenom na istovetnoj sredini(Glava III); zato je nećemo posebno ispitivati, nego jedino upotrebiti (u vidu kvazistatičkog rešenja, prvog iteracionog rešenja ili finijih aproksimanata) u toku izračunavanja snage površinskog talasa.

Numerička obrada formule za snagu talasa

U Tabeli I prikazani su rezultati izračunavanja snage talasa prema jed. (59) na dva načina: 1) koristeći kvazistatičku disperzionu relaciju (jed. (62) u koju su zamenjeni transverzalni talasni brojevi talasnim brojem vođenog talasa) i 2) koristeći potpunu rel. (62) po metodu fiksne tačke. Parametar gustine ima vrednost 0.1 . Snaga je izračunata za nekoliko uobičajenih vrednosti talasnog broja . Pomoću greške

$$\delta _{\infty }=\frac{\tilde{P}}{}_{\infty }\tilde{P}_{\infty } \tag{63}$$

data su procentualna odstupanja kvazistatičkih rezultata od neaproksimativnih (indeks 0 odnosi se na prvi slučaj, a indeks ∞ na drugi).

Tabela I

X	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3	1.5
δ~∞~	3.1	2.6	2.0	1.7	1.5	1.3	1.2	1.1

Vidi se da je za skoro sve tačke intervala odstupanje manje od tri procenta. Zbog toga, crtajući snagu u funkciji normalizovane učestanosti na slici 3 za parametra gustine

Slika 3. Grafik normalizovane snage površinskog talasa eksitovanog Hertzovim dipolom na osi homogenog, hladnog plazmenog cilindra u idealnom i homogenom dielektriku permitivnosti 4.8, u funkciji normalizovane kružne učestanosti; odozgo nadole: parametar elektronske gustine raste od 0.02 do 0.1 u koracima od 0.02; primenjena kvazistatička disperziona relacija.

od 0.02 do 0.1 nismo imali potrebu da koristimo precizniju disperzionu relaciju od kvazistatičkog aproksimanta. Snaga raste sa porastom učestanosti, ima maksimum na otprilike Ym = 0.3 i potom naglo pada na nulu, u okolini horizontalne asimptote Yg = 0.415 kada permitivnost stakla iznosi 4.8. Snaga u maksimumu opada kada parametar gustine raste.

Tabelom II obezbedili smo test valjanosti prvog aproksimanta po metodu fiksne tačke.

Tabela II

X	0.3	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3	1.5	1.7
δ1	5.43	3.28	2.18	1.51	1.08	0.80	0.61	0.47
δ1∞	4.77	3.00	2.04	1.44	1.04	0.77	0.59	0.46

Podaci su izračunati za parametar gustine $p_{0}=0.5$ Drugi red tabele kazuje kolika je procentualna razlika rezultata kad se umesto prvog aproksimanta upotrebi drugi:

$$\delta _{1}=\frac{\tilde{P}}{}_{1}\tilde{P}_{1} \tag{64}$$

Slika 4. Grafik normalizovane snage površinskog talasa eksitovanog Hertzovim dipolom na osi homogenog, hladnog plazmenog cilindra u idealnom i homogenom dielektriku permitivnosti 4.8, u funkciji normalizovane kružne učestanosti; gornja kriva: primena nultog, kvazistatičkog aproksimanta; donja kriva: primena prvog aproksimanta po metodu fiksne tačke za jed. (62); parametar elektronske gustine $0.5$.

Treći red tabele nam daje procentualno odstupanje rezultata kad se umesto prvog aproksimanta koristi definitivno rešenje po metodu fiksne tačke:

$$\delta _{1\infty }=\frac{\tilde{P}}{}_{1}\tilde{P}_{1} \tag{65}$$

Vidi se da se funkcijom tačnijom od prvog aproksimanta dobija rešenje za snagu tek nekoliko procenata pouzdanije. Ipak, na granici intervala nastaju osetne razlike, što se vidi i na slici 4.

Kvazistatički aproksimant dovodi do netačnih, povećanih vrednosti za snagu, koje se osetno razlikuju od stvarnih vrednosti. Za gustine veće od 0.5 obavezna je upotreba tačne disperzione relacije, po jed. (62) uz metod fiksne tačke. Primera radi, u

Tabela III

X	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3	1.5	1.7	2
δ~∞~	85.0	89.5	93.8	96.5	97.4	97.0	95.7	93.0

Tabeli III vidimo rezultate koji pokazuju da nastaju i stoprocentne greške u centralnoj oblasti (X~1) za veće elektronske gustine ($p_{0}$~1). Veličina

$$\delta =\frac{\tilde{P}}{}_{0}\tilde{P}_{\infty } \tag{66}$$

mera je odstupanja tačnog rešenja od približnog rešenja baziranog na upotrebi nulte, kvazistatičke aproksimacije.

Elektronske gustine bliske jedinici po pravilu se ne javljaju u plazmama električnog lučnog pražnjenja, kao što smo to naglasili u Uvodu; s te tačke gledišta, daleko su češći problemi u kojima se možemo ograničiti upotrebom prvog aproksimanta za disperzionu relaciju, po metodu fiksne tačke.

*

DODATAK

$\delta$funkcija i tačkasta fizička veličina

Diracova $\delta$ funkcija, uvedena 1926. godine, definiše se formalnom relacijom

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \delta \left(x-a\right)f\left(x\right)dx=f\left(a\right). \tag{D1}$$

Funkcija $f\left(x\right)$ je proizvoljna neprekidna funkcija. Strogo određenje Diracove funkcije daje se u teoriji generalisanih funkcija, gde se još fiksiraju i pravila postupanja s njom; tamo, Diracova $\delta$ funkcija tretira se kao neprekidni linearni funkcional u prostoru neprekidnih funkcija. U skladu sa (D1), uzimaju se kao istiniti sledeći iskazi:

$$\delta \left(-x\right)=\delta \left(x\right); \tag{D2}$$ $$\delta \left(cx\right)=\left|c\right|^{-1}\delta \left(x\right); \tag{D3}$$

$\delta \left(\phi \left(x\right)\right)=\sum\limits \delta \left(x-x_{k}\right)\left|\phi '\right|k\sum ,$ (D4)

i dr. Ovde su $x_{k}$ koreni jednačine $\phi \left(x\right)=0$ . Na sličan se način definiše i Diracova funkcija $n-$ dimenzionog argumenta

$$\delta \left(\vec{x}\right)()=\delta \left(x_{1}\right)\cdot \delta \left(x_{2}\right)\cdot \delta \left(x_{3}\right)\cdot \cdot \cdot \delta \left(x_{n}\right). \tag{D5}$$

Diracova je funkcija nezamenljiva u matematičkim opisivanjima elektromagnetskih fenomena, kada imamo idealizovane situacije da je fizička veličina (naelektrisanje, struja i sl.) praktično locirana u tački; Diracova funkcija onda daje raspodelu gustine takve veličine. Na primer, zapis [104]

$$\rho \left(\vec{r}\right)()=q\delta \left(\vec{r}\right)() \tag{D6}$$

daje zapreminsku gustinu tačkastog naelektrisanja, a za gustinu struje dipola pišemo

$$\vec{j}\left(\vec{r}\right)() \tag{D7}$$

gde je $\vec{J}$ strujni momenat dipola. U skladu sa (D1) i (D5), uz uvažavanje (D3), u cilindričnom sistemu koordinata treba pisati

$$\delta \left(\vec{r}\right)()=\frac{\delta \left(\rho \right)\delta \left(z\right)}{2\pi \rho }. \tag{D8}$$

Izraz (D8) smo koristili u jed. (5) ove glavi, i biće nam od koristi u sledećoj glavi.

REZIME FORMULÂ, OZNAKÂ I SKRAĆENICÂ GLAVE V

$$H_{1}\left(\rho <a,z;t\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{1}a\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{30}$$ $$E_{z1}\left(\rho <a,z;t\right)=-\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{\left(u_{1}a\right)^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{0}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{33}$$ $$E_{\rho 1}\left(\rho <a,z;t\right)=-i\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{Xu_{1}a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}\left(X\right)}{\Delta '}I_{1}\left(u_{1}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{34}$$ $$H_{2}\left(\rho >a,z;t\right)=i\frac{J}{2\pi a^{2}}u_{2}a\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{36}$$ $$E_{z2}\left(\rho >a,z;t\right)=-\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{\left(u_{2}a\right)^{2}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}; \tag{37}$$ $$E_{\rho 2}\left(\rho >,z;t\right)=i\frac{J}{2\pi a^{3}}\frac{Xu_{2}a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\Delta _{2}\left(X\right)}{\Delta '}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{38}$$ $$\Delta =\left|\begin{matrix}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right) \\ u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}I_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{2}^{2}a^{2}\varepsilon _{p}K_{0}\left(u_{2}a\right)\end{matrix}\right|; \tag{20}$$ $$\Delta _{1}=\left|\begin{matrix}u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right) \\ -u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}K_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{2}^{2}a^{2}\varepsilon _{p}K_{0}\left(u_{2}a\right)\end{matrix}\right|; \tag{21}$$ $$\Delta _{2}=\left|\begin{matrix}u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right) & u_{1}aK_{1}\left(u_{1}a\right) \\ u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}I_{0}\left(u_{1}a\right) & -u_{1}^{2}a^{2}\varepsilon _{g}K_{0}\left(u_{1}a\right)\end{matrix}\right|. \tag{22}$$ $$u_{1}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{p}}; \tag{31}$$ $$u_{2}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{g}}. \tag{32}$$

$X=\frac{2\pi a}{\lambda },$ $\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}},$ $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}},$

$p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$, $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}$, $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}.$

$$\tilde{P}=\frac{X}{p_{0}Y}\left[\frac{X_{T1}^{2}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}B_{2} \tag{59}$$

$\tilde{P}=\frac{P}{P_{0}}$, $X_{T1}=u_{1}a$, $X_{T2}=u_{2}a.$

$$P_{0}=\frac{J^{2}}{8\pi a^{2}}\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}. \tag{56}$$ $$B_{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}a\right)d\rho =I_{1}^{2}\left(u_{1}a\right)-I_{0}\left(u_{1}a\right)I_{2}\left(u_{1}a\right), \tag{48}$$ $$B_{2}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{+\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho =-K_{1}^{2}\left(u_{2}a\right)+K_{0}\left(u_{2}a\right)K_{2}\left(u_{2}a\right). \tag{58}$$ $$Y=\left[1+\varepsilon _{g}\frac{X_{T1}}{X_{T2}}\frac{I_{0}\left(X_{T1}\right)}{I_{1}\left(X_{T1}\right)}\frac{K_{1}\left(X_{T2}\right)}{K_{0}\left(X_{T2}\right)}\right]^{-0.5}. \tag{62}$$

***