Glava IV: Eksitacija prstenastim izvorom oko cilindrične plazme u dielektričnoj cevi

G L A V A IV

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA PRSTENASTIM IZVOROM OKO CILINDRIČNE PLAZME U DIELEKTRIČNOJ CEVI

Konfiguracija

U ovoj glavi razmatramo proces eksitovanje aksijalno simetričnog talasa na plazmi koja se nalazi u staklenoj cevi [25]. Na ovaj se način dosta uspešno modelira stvarna eksperimentalna situacija; veoma veliki broj opita radi se u vazduhu, sa cilindričnom plazmom u odgovarajućoj anvelopi [17], [96]. Ponovo ćemo ispitivati talas eksitovan slot antenom [44], tako da će rezultati biti izvesna generalizacija zaključaka do kojih smo došli u prethodnoj glavi. Uprošćena šema sredine i antene data je na slici 1.

Slika 1. Aksijalno simetrična slojevita struktura koja podržava površinski talas; medijum 1: homogeni plazmeni cilindar; medijum 2: dielektrična anvelopa; medijum 3: vazduh (vakuum); aksijalno simetrični površinski talas eksituje se prstenastim izvorom u vazduhu (vlakno magnetske struje); poluprečnik plazme $a$, spoljašnji poluprečnik cevi $b$, poluprečnik prstenastog izvora $R>b$.

Ravni metalni list nalazi se u vertikalnoj ($z=0$) ravni; uski prstenasti prorez u toj ravni, poluprenika R, napaja se naponom U iz visokofrekventnog generatora. Tražićemo komponente vektorâ polja eksitovanog aksijalno simetričnog površinskog talasa koji se prostire u pozitivnom smeru z ose; poslužićemo se cilindričnim ($\rho ,\phi ,z$) sistemom, slika 2. Posle toga odredićemo snagu površinskog talasa i ispitivati njegove fazne i amplitudske karakteristike. Plazmu (cilindar poluprečnika $a$) tretiraćemo kao homogeni i hladni nekonvencionalni dielektrik permitivnosti ([125]; v. Uvod)

$$\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}, \tag{1}$$

gde je $\omega$ kružna učestanost talasa (veličina diktirana učestanošću generatora), a

$$\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne}{m_{0}\varepsilon _{0}}} \tag{2}$$

veličina koja se naziva kružna plazmena učestanost , izražena preko koncentracije slobodnih elektrona u plazmi ($n$) , naelektrisanja elektrona ($e$) , mase mirovanja elektrona ($m_{0}$) i električne konstante ($\varepsilon _{0})$. Staklenu cev tretiraćemo kao homogeni i idealni dielektrik permitivnosti $\varepsilon _{g}$; unutrašnji poluprečnik cevi je a , spoljašnji b .

Polazne jednačine

Matematički tretman opisanog modela počećemo pomoću sledeće dve Maxwellove jednačine, koje su dovedene na oblik poželjan za naš problem [122]

rot $\overrightarrow{H}=\varepsilon _{0}\varepsilon \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},$ (3)

rot $\overrightarrow{E}=-\mu _{0}\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}-\overrightarrow{J}_{m}.$ (4)

Uzimajući u obzir prostoperiodične vremenske promene i zanemarujući azimutalnu varijaciju veličinâ , odavde se dobija talasna jednačina za jačinu magnetskog polja u obliku

$$\frac{\partial ^{2}H}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial H}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}H}{\partial z^{2}}-\left(\frac{1}{\rho ^{2}}-k_{0}\varepsilon \right)H=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (\rho -R)\delta (z), \tag{5}$$

pošto je gustinu magnetske struje $\vec{J}_{m}$, koja ima jedino azimutalnu komponentu, moguće modelirati δ-funkcijom:

$$J_{m\phi }=U\delta (\rho -R)\delta (z). \tag{6}$$

Aksijalno simetrični površinski talas ima samo azimutalnu komponentu jačine magnetskog polja, pa smo izostavili odgovarajući indeks ($H\equiv H_{\phi }$) ; iskoristili smo uobičajenu oznaku za talasni broj u slobodnom prostoru $k_{0}=\omega \sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}$, gde su $\varepsilon _{0}$ i $\mu _{0}$ električna i magnetska konstanta.

Za posmatrani monohromatski talas koji se bez gubitaka prostire duž pozitivnog smera ose sistema $z$, komponente polja su proporcionalne faktoru $\exp \left[i\left(\omega t-\beta z\right)\right]$ , te je

$$\frac{\partial ^{2}H}{\partial z^{2}}=-\beta ^{2}H, \tag{7}$$

gde je $\beta$ talasni broj površinskog talasa, $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$ ($\lambda$- talasna dužina na vođici). Na taj način se parcijalna diferencijalna jednačina (5) prevodi u običnu nehomogenu jednačinu oblika

$\frac{d^{2}H}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{dH}{d\rho }-\beta ^{2}H-\left(\frac{1}{\rho ^{2}}-k_{0}\varepsilon \right)H=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (\rho -R)\delta (z)$ (5’)

U sledećem odeljku tražićemo rešenja ove jednačine u svim slojevima sredine.

Slika 2. Geometrijske veličine i primenjeni cilindrični koordinatni sistem; debljina zida cevi je $\delta =b-a$; tačka M sa tekućim koordinatama: radijus $\rho$ , azimut $\phi$ i udaljenje od antene $z$.

Postupak će biti onaj koji je objašnjen u radu [26]; prvo se tretira pripadajuća homogena jednačina, a onda se nameće granični uslov (koji je u stvari inkorporiran u Goubauovu amplitudsku formulu).

Rešenja za komponente površinskog talasa

Homogeni deo naše jednačine (5’) je dobro poznati Besselov tip pa je rešenje u plazmi (medijum 1) Besselova modifikovana funkcija prve vrste prvog reda

$H_{1}(\rho <a)=C_{1}I_{1}\left(u_{1}\rho \right).$ (8)

Ovde je veličina $u_{1}$ u argumentu Besselove funkcije tzv. transverzalni talasni broj površinskog talasa [117]

$$u_{1}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}}. \tag{9}$$

Na sličan način, rešenje u dielektričnom sudu (medijum 2) glasi

$H_{2}(a<\rho <b)=C_{2}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+C_{3}K_{1}\left(u_{2}\rho \right);$ (10)

ono sadrži i modifikovanu funkciju druge vrste koja ne sme da figuriše u jed. (8) zbog singulariteta funkcije $K$ u nuli; transverzalni broj u staklenom omotaču permitivnosti $\varepsilon _{g}$ je

$$u_{2}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}}. \tag{11}$$

Na kraju, u vazduhu (koji u našem modelu sredine poistovećijemo sa vakuumom, medijum 3) nalazimo rešenje koje ne sme sadržati funkciju $I_{1}$ , ovog puta zbog neograničenog rasta te funkcije u beskonačnosti

$H_{3}(\rho >b)=C_{4}K_{1}\left(u_{3}\rho \right).$ (12)

Transverzalni talasni broj oko staklene anvelope je po definiciji

$$u_{3}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}}. \tag{13}$$

U rešenjima su se javile četiri integracione konstante: $C_{1}$ , $C_{2}$, $C_{3}$ i $C_{4}$. Određivaćemo ih pomoću graničnih uslova zadatka.

Integracione konstante i granični uslovi

Maxwellove jednačine dopuštaju da se odredi i aksijalna komponenta vektora jačine električnog polja; ovog momenta, za potrebe nalaženja integracionih konstanti iskoristimo proporcionalnost:

$$E_{zi}\sim \frac{1}{\varepsilon _{i}}\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho H_{i}\right)}{\partial \rho }. \tag{14}$$

Obratimo pažnju sada na prvi granični uslov, jednakost jačinâ magnetskih poljâ na graničnoj površini između plazme i cevi. Dobija se

$C_{1}I_{1}\left(u_{1}a\right)=C_{2}I_{1}\left(u_{2}a\right)+C_{3}K_{1}\left(u_{2}a\right).$ (15)

Slično, drugi uslov (jednakost jačinâ magnetskih poljâ na spoljašnjoj površini cevi) dovodi do relacije

$C_{2}I_{1}\left(u_{2}b\right)+C_{3}K_{1}\left(u_{2}b\right)=C_{4}K_{1}\left(u_{3}b\right).$ (16)

Takođe, na prvoj površini, $\rho =a$ , neprekidna je i aksijalna komponenta vektora jačine električnog polja; zbog kratkoće pisanja stavimo $x=u_{1}a$, pa je

$$C_{1}\varepsilon _{g}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]^{'}=C_{2}\varepsilon _{p}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]^{'}+C_{3}\varepsilon _{p}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]^{'}. \tag{17}$$

Na drugoj površini, $\rho =b$ , mora se nametnuti isti uslov, pa dobijamo

$$C_{2}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]^{'}+C_{3}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]^{'}=C_{4}\varepsilon _{g}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]^{'}, \tag{18}$$

ovog puta za $x=u_{2}a$ . Iz dobijenih jednačina dobijamo prvo vezu

$$\frac{C_{2}}{C_{1}}=\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}} \tag{19}$$

gde su determinante

$$\Delta _{S}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{2}a\right) & K_{1}\left(u_{2}a\right) \\ \varepsilon _{p}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'} & \varepsilon _{p}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'}\end{matrix}\right|, \tag{20}$$ $$\Delta _{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & K_{1}\left(u_{2}a\right) \\ \varepsilon _{g}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{1}^{'} & \varepsilon _{p}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'}\end{matrix}\right|. \tag{21}$$

Takođe nalazimo:

$$\frac{C_{3}}{C_{1}}=\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}, \tag{22}$$

gde je

$$\Delta _{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{2}a\right) & I_{1}\left(u_{1}a\right) \\ \varepsilon _{p}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'} & \varepsilon _{g}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{1}^{'}\end{matrix}\right|. \tag{23}$$

Na kraju, četvrtu integracionu konstantu dobijamo iz kombinacije

$$\frac{C_{4}}{C_{1}}=\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}, \tag{24}$$ $$\Delta _{4}=\frac{I_{1}\left(u_{2}b\right)}{K_{1}\left(u_{3}b\right)}\Delta _{2}+\frac{K_{1}\left(u_{2}b\right)}{K_{1}\left(u_{3}b\right)}\Delta _{3}. \tag{25}$$

Preostalu komponentu vektora jačine električnog polja nalazimo iz relacijâ

$$E_{\rho i}=\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{i}}H_{i}. \tag{26}$$

Dobijeni izraze omogućavaju nalaženje amplitude površinskog talasa eksitovanog primenjenom slot antenom; time ćemo se baviti u sledećem odeljku.

Primena Goubauove uopštene teoreme

Stavljajući, u duhu uopštene Goubauove teoreme (v. Dodatak u drugoj glavi), $C_{1}\equiv 1$ , oformićemo izraze za transverzalna električna polja u medijima:

$$E_{\perp 1}=\frac{XR_{0}}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}I_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{27}$$ $$E_{\perp 2}=\frac{XR_{0}}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{28}$$ $$E_{\perp 3}=\frac{XR_{0}}{p_{0}Y}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{3}\rho \right). \tag{29}$$

Izrazi se, redom, odnose na medijum 1 (plazma), medijum 2 (staklo) i medijum 3 (vazduh); amplitude su normalizovane pomoću adekvatnih veličina koje ćemo objasniti sledećim nizom definicija za bezdimenzione parametre:

$X=\beta a,$ normalizovani talasni broj, (30)

$Y=\frac{\omega }{\omega _{p}},$ normalizovana kružna učestanost, (31)

$p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}},$ parametar elektronske gustine, (32)

$$R_{0}=\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}=120\pi \Omega . \tag{33}$$

Iskoristićemo sada uopštenu Goubauovu formulu, koja će nam pomoći da izračunamo amplitudu površinskog talasa:

$$\text{Α}=\frac{\int\limits_{S_{\perp }} \varepsilon \left|E_{i}\right|\left|E_{\perp }\right|dS_{\perp }}{\int\limits_{S_{\perp }} \varepsilon \left|E_{\perp }\right|^{2}dS_{\perp }}. \tag{34}$$

Obeležimo integral u imeniocu izraza sa

=$\int\limits_{S_{\perp }} \varepsilon \left|E_{\perp }\right|^{2}dS_{\perp },$ (35)

a integral u brojiocu sa

$$\int\limits_{S_{\perp }} \varepsilon \left|E_{i}\right|\left|E_{\perp }\right|dS_{\perp }.= \tag{36}$$

Rešavaćemo prvo integral (35) , redom kroz sva tri medijuma; uočimo tri njegove komponente:

=$\int\limits_{0}^{a} +\int\limits_{a}^{b} +\int\limits_{b}^{\infty } \equiv$ 1 + 2 + 3 . (37)

Počnimo od integrala

1 = $\int\limits_{0}^{a} \varepsilon _{p}\left|E_{\perp 1}\right|^{2}2\pi \rho d\rho .$ (38)

Imajući u vidu izraz (27), dolazimo do sledećeg rezultata:

1 = $\pi R_{0}^{2}a^{2}\frac{X^{2}}{p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}.$ (39)

Ovde je

$$\text{ℵ}_{1}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho \tag{40}$$

integral čije ćemo rešenje navesti kasnije u tekstu. Pređimo sada na rešavanje integrala

3 = $\int\limits_{b}^{\infty } \left|E_{\perp 3}\right|^{2}2\pi \rho d\rho .$ (41)

Ubacimo u integrand formulu (29); rezultat računanja je

3 = $\pi R_{0}^{2}a^{2}\frac{X^{2}}{p_{0}^{2}Y^{2}}\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}.$ (42)

Ovde je novi integral

$$\text{ℵ}_{3}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{b}^{\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{3}\rho \right)d\rho \tag{43}$$

i on je takođe rešiv. Ostalo je da pogledamo drugi deo integrala u imeniocu:

2 = $\int\limits_{a}^{b} \varepsilon _{g}\left|E_{\perp 2}\right|^{2}2\pi \rho d\rho .$ (44)

Unesimo izraz (28) za odgovarajući transverzalni član, pa će biti

2 = $\int\limits_{a}^{b} \varepsilon _{g}\frac{X^{2}R_{0}^{2}}{p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{g}^{2}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right]^{2}2\pi \rho d\rho .$ (45)

Rezultat integraljenja ćemo predstaviti u sledećem obliku:

2=$\pi R_{0}^{2}a^{2}\frac{X^{2}}{p_{0}^{2}Y^{2}\varepsilon _{g}}$ $\left[\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}\right].$ (46)

Nove oznake $\text{ℵ}_{2i}$ su uvedene za sledeće integrale

$$\text{ℵ}_{21}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{47}$$ $$\text{ℵ}_{22}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{48}$$ $$\text{ℵ}_{23}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}\left(u_{2}\rho \right)K_{1}\left(u_{2}\rho \right)d\rho . \tag{49}$$

Sada složimo dobijene izraze (39), (42) i (46); imenilac formule (34) doveli smo na oblik

$$\pi R_{0}^{2}a^{2}\frac{X^{2}}{p_{0}^{2}Y^{2}}\left[\frac{1}{\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}+\frac{1}{\varepsilon _{g}}\text{ℵ}_{2}+\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}\right],= \tag{50}$$

gde je

$$\text{ℵ}_{2}=\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}. \tag{51}$$

Pozabavimo se sada evaluacijom integrala u brojiocu (34):

$$\int\limits_{S_{\perp }} \varepsilon \left|E_{i}\right|\left|E_{\perp }\right|dS_{\perp }.= \tag{52}$$

U prvom medijumu, gde nema stranog polja, vrednost integrala je nula; tako je i u drugom medijumu, jer smo uzeli da je prsten magnetske struje izvan staklene cevi. Znači, treba izračunati integral

$$\int\limits_{b}^{\infty } \left|E_{i}\right|\left|E_{\perp 3}\right|2\pi \rho d\rho .= \tag{53}$$

Pošto je električno polje na slotu opisano Diracovom funkcijom

$$E_{i}=U\delta \left(\rho -R\right), \tag{54}$$

a transverzalna funkcija u trećem medijumu zadata oblikom (29), iz jed.(53) nalazimo

$$2\pi R_{0}a\frac{X}{p_{0}Y}U\left|\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right|\frac{R}{a}K_{1}\left(u_{3}R\right).= \tag{55}$$

Deleći ovaj izraz sa rezultatom (50), konačno nalazimo amplitudu površinskog talasa

$$\text{Α}=2UR_{0}a\frac{p_{0}Y}{R_{0}aX}U\left|\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right|\frac{R}{a}K_{1}\left(u_{3}a\frac{R}{a}\right)℘, \tag{56}$$

pri čemu je

$$℘=\left[\frac{1}{\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}+\frac{1}{\varepsilon _{g}}\text{ℵ}_{2}+\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}\right]^{-1}. \tag{57}$$

Poznavajući amplitudu talasa, možemo napraviti pregled formula za komponente vektorâ jačinâ polja:

1) u plazmi

$$H_{1}=\text{Α}I_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{58}$$ $$E_{\rho 1}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}I_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{59}$$ $$E_{z1}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{1}a}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}I_{0}\left(u_{1}\rho \right); \tag{60}$$

2) u staklu

$$H_{2}=\text{Α}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{61}$$ $$E_{\rho 2}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{62}$$ $$E_{z2}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{2}a}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{0}\left(u_{2}\rho \right)-\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right]; \tag{63}$$

3) u vazduhu

$$H_{3}=\text{Α}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{3}\rho \right), \tag{64}$$ $$E_{\rho 3}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{3}\rho \right), \tag{65}$$ $$E_{z3}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{3}a}{p_{0}Y}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{0}\left(u_{3}\rho \right). \tag{66}$$

Radi lakšeg čitanja, ponovimo značenja pojedinih konstanti, parametara i skraćenica:

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m ; $36\pi \varepsilon _{0}=10^{-9}$ F/m ;

$c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}=3\cdot 10^{8}$ m/s ; $m_{0}=9.1\cdot 10^{-31}$ kg ;

$R_{0}=\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}=120\pi \Omega ;$ $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne}{m_{0}\varepsilon _{0}}};$ $\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}};$

$p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}};$ $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}};$ $X=\beta a;$ $k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}};$

$u_{1}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}};$ $u_{2}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}};$ $u_{3}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}}.$

Tako, kompletiranje izraza za vođene komponente elektromagnetskog polja dovodi nas u poziciju da možemo ispitivati i ostale osobenosti talasa.

Primena Poyntingove teoreme

Prvo ćemo izračunavati snagu površinskog talasa. U skladu sa metodom Poyntingovog vektora, snaga u pojedinim medijumima biće određena izrazom [122]

$$P_{i}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits_{\rho _{1}}^{\rho _{2}} E_{\rho i}H_{i}^{*}2\pi \rho d\rho . \tag{67}$$

Uvedimo (privremeni) normalizacioni faktor

$$P_{n}=\frac{\pi }{2}R_{0}\left|\text{Α}\right|^{2}a^{2}; \tag{68}$$

kada za plazmeni medijum zamenimo odgovarajuća polja (zvezdica u formuli ukazuje na kompleksno konjugovani izraz), dobijemo

$$\tilde{P}_{1}\equiv \frac{P_{1}}{P_{n}}=\frac{X}{pY\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}. \tag{69}$$

Sličan je rezultat i za komponentu snage u spoljašnjem medijumu, pa ga odmah napišimo:

$$\tilde{P}_{3}\equiv \frac{P_{3}}{P_{n}}=\frac{X}{pY}\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}. \tag{70}$$

Sada se pozabavimo snagom u staklenoj anvelopi. Zamenimo u formulu (67) izraz za električno polje (62) i konjugovanu vrednost za magnetsko polje (61). Izostavljajući detalje nešto dužeg matematičkog postupka, na kraju nalazimo (videti definiciju integrala prema ranije datim jednačinama)

$$\tilde{P}_{2}=\frac{X}{pY\varepsilon _{g}}\left[\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}\right]. \tag{71}$$

Posle zbrajanja nađenih komponenti snage,

$$\tilde{P}=\tilde{P} \tag{72}$$

dobijamo formulu za snagu površinskog talasa, jed. (79); pre toga, navedimo rešenja za pojedine integrale koji će ući u formulu:

1. rešavajući integral (40), nalazimo (up. [103])

$$\text{ℵ}_{1}=I_{1}^{2}(u_{1}a)-I_{0}(u_{1}a)I_{2}(u_{1}a); \tag{73}$$

2. rešavajući integral (47), nalazimo na sličan način

$$\begin{aligned}\text{ℵ}_{21}=d^{2}\left[I_{1}^{2}(u_{2}ad)-I_{0}(u_{2}ad)I_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[I_{1}^{2}(u_{2}a)-I_{0}(u_{2}a)I_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{74}$$

3) polazeći od definicije (48), nalazimo

$$\begin{aligned}\text{ℵ}_{22}=d^{2}\left[K_{1}^{2}(u_{2}ad)-K_{0}(u_{2}ad)K_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[K_{1}^{2}(u_{2}a)-K_{0}(u_{2}a)K_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{75}$$

3. polazeći od definicije (49), nalazimo

$$\text{ℵ}_{23}=d^{2}\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}d^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}ad\right)K_{1}\left(u_{2}ad\right)-I'\right]_{1}\left(u_{2}ad\right) \tag{76}$$

4. na kraju, rešenje integrala (43) glasi

$$\text{ℵ}_{3}=d^{2}\left[-K_{1}^{2}(u_{3}ad)+K_{0}(u_{3}ad)K_{2}(u_{3}ad)\right]. \tag{77}$$

Oznaka $d$ stoji za količnik poluprečnikâ cevi. Tretirajući rešenje (76) korisno je imati u vidu formulu

$$I'_{1}\left(z\right)K' \tag{78}$$

Inače, sva neophodna uputstva za rad sa Besselovim funkcijama, u vezi sa pomenutim integralima posebno, čitalac može naći u klasičnom priručniku [1].

Tako, sada možemo napisati potpuno definisan izraz za snagu aksijalno simetričnog površinskog talasa koji je eksitovan slot antenom:

$$P=\frac{2\pi \frac{U^{2}}{R_{0}}\frac{p_{0}Y}{X}\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\left(\frac{R}{a}\right)^{2}K_{1}\left(u_{3}R\right)}{\frac{1}{\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}+\frac{1}{\varepsilon _{g}}\left[\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}\right]+\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}} \tag{79}$$

Formalno gledajući, snaga talasa funkcija je učestanosti i talasne dužine talasa. Ali, i sama talasna dužina zavisi od učestanosti. Tu vezu, poznatu kao disperziona relacija, potrebno je znati da bi se ispitivala zavisnost snage od učestanosti. Pozabavimo se stoga disperzionom relacijom površinskog talasa, pre nego što ponudimo karakteristične grafike bazirane na rel. (79).

Disperziona relacija aksijalno simetričnog talasa

Imajući u vidu notaciju koju smo ovde primenili, disperziona relacija povezuje normalizovanu učestanost $Y$ sa normalizovanim talasnim brojem $X$ . Jednačina tog tipa dobija se postupkom anuliranja determinante sistema; strukturu determinante sistema jednačina koje su nastale primenom graničnih uslova vidimo iz izrazâ (15), (16), (17) i (18). Dakle,

$$\Delta \left(X,Y\right)\equiv \left|\begin{matrix}I\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \varepsilon _{g}r_{31} & -\varepsilon _{p}r_{32} & -\varepsilon _{p}r_{33} & 0 \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{80}$$

Ovde je

$$r_{31}=\left[u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)\right]^{'}; \tag{81}$$ $$r_{32}=\left[u_{2}aI_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}; \tag{82}$$ $$r_{33}=\left[u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}. \tag{83}$$

Disperzionu jednačinu

$$\Delta \left(X,Y\right)=0 \tag{84}$$

oformićemo razvijajući determinantu (80) po članovima treće vrste, gde se u dva slučaja javlja permitivnost plazme; tako dobijamo

$$\varepsilon _{g}r_{31}m_{1}+\varepsilon _{p}r_{32}m_{2}-\varepsilon _{p}r_{33}m_{3}=0. \tag{85}$$

Determinante mi su kvadratne, trećeg reda; navedimo ih posebno:

$$m_{1}=\left|\begin{matrix}-I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{86}$$ $$m_{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{87}$$ $$m_{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bK_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{88}$$

Iz jed. (85) sada odmah nalazimo traženu disperzionu relaciju:

$$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{r_{31}m_{1}}{r_{32}m_{2}-r_{33}m_{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{89}$$

Ovaj je oblik rešenja samo prividno eksplicitan; na desnoj strani jednačine figuriše ne samo nezavisno promenljiva veličina (normalizovani talasni broj površinskog talasa), već i sama normalizovana učestanost. Međutim, oblik jed. (89) je poželjan zbog mogućnosti da se približno rešenje $Y\approx f\left(X\right)$ nađe, sa odličnom tačnošću, brzo konvergentnim iteracionim postupkom. U postojećoj literaturi, koliko znamo, metod nije eksploatisan, pa ćemo ovde objasniti suštinu procedure. Startuje se sa nultim rešenjem $Y_{0}=f\left(X\right)$ , koje se dobija kada se na desnoj strani jed. (89) zanemare članovi koji sadrže normalizovanu učestanost (u transverzalnim talasnim brojevima $u_{i}$). Nulto rešenje se naziva i kvazistatička aproksimacija. Taj dobro poznati rezultat glasi (up. [32])

$$Y_{0}=\left(1+\varepsilon _{g}M\right)^{-{1}/{2}}, \tag{90}$$

gde je

$$M=\frac{I_{0}\left(x\right)}{I_{1}\left(x\right)}\frac{\left(\varepsilon _{g}-1\right)I_{1}\left(x\right)K_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+K_{1}\left(x\right)S\left(z\right)}{\left(1-\varepsilon _{g}\right)I_{0}\left(x\right)K_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+K_{0}\left(x\right)S\left(z\right)}, \tag{91}$$

sa skraćenicom

$$S\left(z\right)=I_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+\varepsilon _{g}K_{0}\left(z\right)I_{1}\left(z\right), \tag{92}$$

gde je $z=Xd=\beta b$.

U sledećem koraku, nulto rešenje se koristi kao aproksimant za normalizovanu učestanost na desnoj strani relacije, u izrazima za transverzalne talasne brojeve. To daje rešenje $Y_{1}$ koje, u velikom broju slučajeva, već ima solidnu tačnost. Razume se, postoje i druge funkcije koje mogu uspešno da zamene kvazistatički aproksimant na ovom mestu. Mi smo pokazali [40] da postupak baziran na konceptu ekvivalentnog dielektrika efektivne permitivnosti [32]

$$\varepsilon _{g}^{eff}=1+\left(\varepsilon _{g}-1\right)\tanh \left[\left(d-1\right)X\right] \tag{93}$$

svodi složeni izraz (91) na znatno jednostavniji koji potiče od modela sa beskonačno debelim zidom. Čak je i grubi postupak, kojim se u izraze za transverzalne talasne brojeve prosto unosi asimptotska vrednost učestanosti

$$Y_{as}=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon _{g}}} \tag{94}$$

solidan i vodi poboljšanju u poređenju sa kvazistatičkom aproksimacijom.

Naravno, postupak se ne mora zaustaviti na rešenju $Y_{1}$ ; po želji se može nastaviti traženjem rešenja $Y_{2}$ polazeći od aproksimacije Y1 , itd. Savremeni softverski matematički PC paketi adaptirani su za slične potrebe pa se rešenja raznog ranga mogu automatizovano generisati i sa unapred zadatom tačnošću tražiti niz aproksimanata koji teže fiksnoj tački; danas, takav je program Mathematica 3.0 koji na tržište lansira firma Wolfram Research, Inc. Na opisani način se efikasno dobija eksplicitni oblik disperzione relacije, poželjan za tretman drugih problema u analizi površinskih talasa; ovde ćemo sa tom prednošću uprošćenog programiranja i efikasne numerike koristiti metod fiksne tačke u izračunavanjima snage talasa po rel. (79). Prethodno, pogledajmo nekolko disperzionih grafika koje dobijamo tretirajući jed. (89) metodom fiksne tačke.

Na slici 3 prikazana je zavisnost normalizovane učestanosti od normalizovanog talasnog broja

Slika 8. Zavisnost normalizovane učestanosti od normalizovanog talasnog broja; permitivnost stakla $\varepsilon _{g}=4.8$, količnik poluprečnika $d=1.25$, parametar elektronske gustine $p_{0}=0.1$; grafik dobijen po metodu fiksne tačke iz jed. (89); istovremeno je izvučena i kvazistatička kriva koja praktično ne odstupa od approksimanta $Y_{1}$ u tretiranom opsegu.

za naš aksijano simetrični talas kada je debljina zida cevi opisana parametrom $d=1.25$, dok je permitivnost dielektrika $\varepsilon _{g}=4.8$ ; parametar elektronske gustine u plazmi iznosi u ovom primeru $p_{0}=0.1$ ; na slici su u stvari izvučene dve krive: kvazistatička, i prvi aproksimant po metodu fiksne tačke, ali za takve niže vrednosti plazmene učestanosti puna disperziona relacija ne daje vidljive razlike.

Sa porastom parametra elektronske gustine javljaju se odstupanja na graficima koja gore nismo mogli uočiti. Tako, na slici 4 vidimo dve disperzione

Slika 4. Zavisnost normalizovane učestanosti od normalizovanog talasnog broja; permitivnost stakla $\varepsilon _{g}=4.8$, količnik poluprečnika $d=1.25$, parametar elektronske gustine $p_{0}=0.5$; grafik dobijen po metodu fiksne tačke iz jed. (89); istovremeno je izvučena i kvazistatička kriva (gore).

Slika 5. Zavisnost normalizovane učestanosti od normalizovanog talasnog broja; permitivnost stakla $\varepsilon _{g}=4.8$, količnik poluprečnika $d=1.25$, parametar elektronske gustine $p_{0}=1$; grafik dobijen po metodu fiksne tačke iz jed. (89) (prvi aproksimant, donja kriva); istovremeno je izvučena i kvazistatička kriva.

krive: kvazistatička (gore) i prvi aproksimant (dole); razlike nisu velike, ali su tačke distinktne u celom opsegu, a smanjuju se kad talasni broj raste. Ovde je $p_{0}=0.5$, a ostali parametri imaju vrednosti kao na prethodnoj slici.

Za još veće vrednosti plazmene učestanosti nastaju značajne razlike između kvazistatičkog aproksimanta i boljih aproksimacija po metodu fiksne tačke. Na slici 5 parametar elektronske gustine iznosi $p_{0}=1$; vide se odstupanja kvazistatike (gornja kriva) od prvog aproksimanta i za znatnije vrednosti talasnog broja.

Za veće vrednosti parametra elektronske gustine, u pojedinim slučajevima, merljiva poboljšanja rezultata dobijaju se primenom drugog, ili čak trećeg aproksimanta po metodu fiksne tačke. Na slici 6 vidimo segment ($X,Y$) ravni sa graficima dobijenim po jed. (89) u slučaju guste plazme; ne samo što kvazistatika (gornja kriva) odstupa od prvog aproksimanta, već se i drugi aproksimant vidi kao zasebna kriva (u sredini).

Slika 6. Zavisnost normalizovane učestanosti od normalizovanog talasnog broja; permitivnost stakla $\varepsilon _{g}=4.8$, količnik poluprečnika $d=1.25$, parametar elektronske gustine $p_{0}=1$; gornja kriva: kvazistatika; donja kriva: metod fiksne tačke, prvi aproksimant; kriva u sredini: metod fiksne tačke, drugi aproksimant.

Alternativni parametar u disperzionoj relaciji

Ponekad je praktičnije razmatrati disperzionu relaciju u kojoj je parametar veličina $\frac{\omega a}{c_{0}}$, umesto našeg $\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$. U stvari, principijelne razlike nema i veza između tih parametara je prosta, jer je očevidno $\frac{\omega a}{c_{0}}=Yp_{0}$, pa je lako dobiti taj novi oblik disperzione relacije polazeći od formule (89); u Dodatku ove glave prilažemo listing programa za disperzionu relaciju po tom modifikovanom parametru (čitalac će moći da nađe listing programa za disperzionu relaciju sa parametrom elektronske gustine u Dodatku šeste glave, u okviru jednog šireg programa). Na slici 7 vidimo disperzione krive za plazmeni cilindar u vakuumu, kada je $\frac{\omega a}{c_{0}}=0.02$ (leva kriva), 0.5 (desna kriva) i 0.2 (u sredini).

Slika 7. Disperzione krive za normalizovane veličine $X$ i $Y$, kada je parametar veličina $\frac{\omega a}{c_{0}}$; plazmeni cilindar u vakuumu; za levu krivu prag talasnog broja je 0.02, za desnu krivu 0.5 i za krivu u sredini 0.2; up. [7].

Jasno se vidi da krive polaze sa odgovarajućih pragova talasnog broja, a imaju tendenciju slivanja u jednu (kvazistatičku krivu) za velike talasne brojeve.

Slika 8. Disperzione krive za normalizovane veličine $X$ i $Y$, kada je parametar veličina $\frac{\omega a}{c_{0}}$; količnik poluprečnika $d=1.33$, permitivnost $\varepsilon _{g}=3.78$, parametar $\frac{\omega a}{c_{0}}=0.149$; up. [74].

Na slici 8 vidimo disperzioni grafik za plazmu u cevi, kada je $d=1.33$, $\varepsilon _{g}=3.78$ i $\frac{\omega a}{c_{0}}=0.149$ (podaci iz [74]).

Grafici snage površinskog talasa

Numeričku obradu formule (79) uradili smo koristeći jed. (89). Na slici 9 predstavljena je normalizovana snaga aksijalno simetričnog površinskog talasa u funkciji normalizovane učestanosti; normalizaciju smo izvršili stavljajući

$$\tilde{P}=\frac{P}{P_{norm}}, \tag{95}$$

gde je normalizacioni faktor oblika

$$P_{norm}=100\cdot 2\pi \frac{U^{2}}{R_{0}}, \tag{96}$$

pri čemu je $U$ napon slota, a $R_{0}$ impedansa slobodnog prostora ($120\pi \Omega$). Slika je urađena za cev spoljašnjeg poluprečnika $b=1.25a$, permitivnost stakla je $\varepsilon _{g}=4.8$ i parametar elektronske gustine $p_{0}=0.125$. Izbor ovakvih vrednosti diktiran je željom da se simuliraju eksperimentalni uslovi u postojećoj literaturi [26]. Poluprečnik prstenaste magnetske struje je $R=2.5a$ (inače, snaga opada kad poluprečnik raste, videti argument Besselove funkcije u brojiocu formule za snagu).

Slika 9. Normalizovana snaga aksijalno simetričnog talasa emitovanog prstenastim izvorom na cilindričnoj plazmi u dielektričnoj cevi u funkciji normalizovane učestanosti; količnik poluprečnikâ cevi $d=1.25$; permitivnost dielektrika (staklo) $\varepsilon _{g}=4.8$; parametar elektronske gustine $p_{0}=0.125$, ili $\omega _{p}=6.25\cdot 10^{9}$ 1/s za unutrašnji poluprečnik $a=6$ mm; normalizovani poluprečnik prstenaste magnetske struje $\frac{R}{a}=2.5$.

Maksimum krive nalazi se na mestu $Y\sim 0.15$ , u solidnoj saglasnosti sa eksperimentalnim rezultatima [26]. Na slici 10 prikazana je snaga u funkciji talasnog broja, za iste vrednosti parametara i iste okolnosti kao na prethodnoj slici.

Slika 10. Normalizovana snaga aksijalno simetričnog talasa emitovanog prstenastim izvorom na cilindričnoj plazmi u dielektričnoj cevi u funkciji normalizovanog talasnog broja; količnik poluprečnikâ cevi $d=1.25$; permitivnost dielektrika (staklo) $\varepsilon _{g}=4.8$; parametar elektronske gustine $p_{0}=0.125$, ili $\omega _{p}=6.25\cdot 10^{9}$ 1/s za unutrašnji poluprečnik $a=6$ mm; normalizovani poluprečnik prstenaste magnetske struje $\frac{R}{a}=2.5$.

Maksimum snage nalazi se u oblasti talasnih brojeva $X\sim 0.2$ , odnosno pri uslovima kad je talasna dužina na vođici $\lambda \sim 18$ cm.

U zaključku možemo naglasiti da se modelom prstenaste magnetske struje uspešno daje kvalitativna slika autonomnog nastajanja i egzistencije površinskih elektromagnetskih talasa na cilindričnim plazmama. Više od toga, teorija daje semikvantitativne rezultate koji su u vrlo dobroj saglasnosti sa osnovnih ishodima u adekvatnim eksperimentima, u krajnjoj liniji pri pogodnom odabiru samo jednog parametra — poluprečnika kružnog izvora. Vidimo i da su izračunavanja u glavama dva i tri dobra priprema za razumevanje formulâ koje smo ovde izložili; razgovor o ostalim mogućnostima u radu sa prostijim modelima sredine izlazi iz okvira ove knjige. Zanimljive opaske o uticaju gubitaka (pretežno kolizionih i dielektričnih) snage u sredinama (plazma i dielektrik) pri prostiranju talasa na spektralne karakteristike snage ostavićemo za sedmu glavu.

*

D O D A T A K

Listing programa za izračunavanje disperzione relacije

*

REZIME FORMULÂ, OZNAKÂ I SKRAĆENICÂ GLAVE IV

$$H_{1}=\text{Α}I_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{58}$$ $$E_{\rho 1}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}I_{1}\left(u_{1}\rho \right), \tag{59}$$ $$E_{z1}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{1}a}{p_{0}Y\varepsilon _{p}}I_{0}\left(u_{1}\rho \right); \tag{60}$$ $$H_{2}=\text{Α}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{61}$$ $$E_{\rho 2}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{1}\left(u_{2}\rho \right)+\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{2}\rho \right)\right], \tag{62}$$ $$E_{z2}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{2}a}{p_{0}Y\varepsilon _{g}}\left[\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}I_{0}\left(u_{2}\rho \right)-\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}K_{0}\left(u_{2}\rho \right)\right]; \tag{63}$$ $$H_{3}=\text{Α}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{3}\rho \right), \tag{64}$$ $$E_{\rho 3}=\text{Α}R_{0}\frac{X}{p_{0}Y}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{1}\left(u_{3}\rho \right), \tag{65}$$ $$E_{z3}=-i\text{Α}R_{0}\frac{u_{3}a}{p_{0}Y}\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}K_{0}\left(u_{3}\rho \right). \tag{66}$$ $$\text{Α}=2UR_{0}a\frac{p_{0}Y}{R_{0}aX}U\left|\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right|\frac{R}{a}K_{1}\left(u_{3}a\frac{R}{a}\right)℘, \tag{56}$$ $$℘=\left[\frac{1}{\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}+\frac{1}{\varepsilon _{g}}\text{ℵ}_{2}+\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}\right]^{-1}. \tag{57}$$ $$\Delta _{S.}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{2}a\right) & K_{1}\left(u_{2}a\right) \\ \varepsilon _{p}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'} & \varepsilon _{p}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'}\end{matrix}\right|, \tag{20}$$ $$\Delta _{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & K_{1}\left(u_{2}a\right) \\ \varepsilon _{g}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{1}^{'} & \varepsilon _{p}\left[xK_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'}\end{matrix}\right|, \tag{21}$$ $$\Delta _{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{2}a\right) & I_{1}\left(u_{1}a\right) \\ \varepsilon _{p}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{2}^{'} & \varepsilon _{g}\left[xI_{1}\left(x\right)\right]_{1}^{'}\end{matrix}\right|, \tag{23}$$ $$\Delta _{4}=\frac{I_{1}\left(u_{2}b\right)}{K_{1}\left(u_{3}b\right)}\Delta _{2}+\frac{K_{1}\left(u_{2}b\right)}{K_{1}\left(u_{3}b\right)}\Delta _{3}. \tag{25}$$

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m ; $36\pi \varepsilon _{0}=10^{-9}$ F/m ;

$c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}=3\cdot 10^{8}$ m/s ; $m_{0}=9.1\cdot 10^{-31}$ kg ;

$R_{0}=\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}=120\pi \Omega ;$ $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne}{m_{0}\varepsilon _{0}}};$ $\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}};$

$p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}};$ $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}};$ $X=\beta a;$ $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$ ; $k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}};$

$u_{1}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}};$ $u_{2}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}};$ $u_{3}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}}.$

$$\text{ℵ}_{1}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}\left(u_{1}\rho \right)d\rho , \tag{40}$$ $$\text{ℵ}_{1}=I_{1}^{2}(u_{1}a)-I_{0}(u_{1}a)I_{2}(u_{1}a); \tag{73}$$ $$\text{ℵ}_{3}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{b}^{\infty } \rho K_{1}^{2}\left(u_{3}\rho \right)d\rho , \tag{43}$$ $$\text{ℵ}_{3}=d^{2}\left[-K_{1}^{2}(u_{3}ad)+K_{0}(u_{3}ad)K_{2}(u_{3}ad)\right]. \tag{77}$$ $$\text{ℵ}_{21}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{47}$$ $$\begin{aligned}\text{ℵ}_{21}=d^{2}\left[I_{1}^{2}(u_{2}ad)-I_{0}(u_{2}ad)I_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[I_{1}^{2}(u_{2}a)-I_{0}(u_{2}a)I_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{74}$$ $$\text{ℵ}_{22}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho K_{1}^{2}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{48}$$ $$\begin{aligned}\text{ℵ}_{22}=d^{2}\left[K_{1}^{2}(u_{2}ad)-K_{0}(u_{2}ad)K_{2}(u_{2}ad)\right]- \\ \left[K_{1}^{2}(u_{2}a)-K_{0}(u_{2}a)K_{2}(u_{2}a)\right];\end{aligned} \tag{75}$$ $$\text{ℵ}_{23}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{b} \rho I_{1}\left(u_{2}\rho \right)K_{1}\left(u_{2}\rho \right)d\rho , \tag{49}$$ $$\begin{aligned}\text{ℵ}_{23}=d^{2}\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}d^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}ad\right)K_{1}\left(u_{2}ad\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}ad\right)\right] \\ -\left[\left(1+\frac{1}{u_{2}^{2}a^{2}}\right)I_{1}\left(u_{2}a\right)K_{1}\left(u_{2}a\right)-I_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)K_{1}^{'}\left(u_{2}a\right)\right];\end{aligned} \tag{76}$$ $$\text{ℵ}_{2}=\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}. \tag{51}$$ $$P=\frac{2\pi \frac{U^{2}}{R_{0}}\frac{p_{0}Y}{X}\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\left(\frac{R}{a}\right)^{2}K_{1}\left(u_{3}R\right)}{\frac{1}{\varepsilon _{p}}\text{ℵ}_{1}+\frac{1}{\varepsilon _{g}}\left[\left(\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{21}+\left(\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{22}+2\frac{\Delta _{2}}{\Delta _{S}}\frac{\Delta _{3}}{\Delta _{S}}\text{ℵ}_{23}\right]+\left(\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{S}}\right)^{2}\text{ℵ}_{3}} \tag{79}$$

$\tilde{P}=\frac{P}{P_{norm}},$ $P_{norm}=100\cdot 2\pi \frac{U^{2}}{R_{0}};$

$$\Delta \left(X,Y\right)=0; \tag{84}$$ $$\Delta \left(X,Y\right)\equiv \left|\begin{matrix}I\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \varepsilon _{g}r_{31} & -\varepsilon _{p}r_{32} & -\varepsilon _{p}r_{33} & 0 \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{80}$$ $$r_{31}=\left[u_{1}aI_{1}\left(u_{1}a\right)\right]^{'}; \tag{81}$$ $$r_{32}=\left[u_{2}aI_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}; \tag{82}$$ $$r_{33}=\left[u_{2}aK_{1}\left(u_{2}a\right)\right]^{'}. \tag{83}$$ $$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{r_{31}m_{1}}{r_{32}m_{2}-r_{33}m_{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{89}$$ $$m_{1}=\left|\begin{matrix}-I_{1}\left(u_{2}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ I_{1}\left(u_{2}b\right) & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{86}$$ $$m_{2}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -K_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & K_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bK_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bI_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|; \tag{87}$$ $$m_{3}=\left|\begin{matrix}I_{1}\left(u_{1}a\right) & -I_{1}\left(u_{2}a\right) & 0 \\ 0 & I_{1}\left(u_{2}b\right) & -K_{1}\left(u_{3}b\right) \\ 0 & \left[u_{2}bI_{1}\left(u_{2}b\right)\right]^{'} & -\varepsilon _{g}\left[u_{3}bK_{1}\left(u_{3}b\right)\right]^{'}\end{matrix}\right|. \tag{88}$$ $$Y_{0}=\left(1+\varepsilon _{g}M\right)^{-{1}/{2}}, \tag{90}$$ $$M=\frac{I_{0}\left(x\right)}{I_{1}\left(x\right)}\frac{\left(\varepsilon _{g}-1\right)I_{1}\left(x\right)K_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+K_{1}\left(x\right)S\left(z\right)}{\left(1-\varepsilon _{g}\right)I_{0}\left(x\right)K_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+K_{0}\left(x\right)S\left(z\right)}, \tag{91}$$ $$S\left(z\right)=I_{0}\left(z\right)K_{1}\left(z\right)+\varepsilon _{g}K_{0}\left(z\right)I_{1}\left(z\right). \tag{92}$$ $$\varepsilon _{g}^{eff}=1+\left(\varepsilon _{g}-1\right)\tanh \left[\left(d-1\right)X\right]; \tag{93}$$

$Y_{a}=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon _{g}}}$; $z=Xd=\beta b$.

***