Glava III: Eksitacija prstenastim izvorom oko cilindrične plazme u homogenom dielektriku

G L A V A III

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA PRSTENASTIM IZVOROM OKO CILINDRIČNE PLAZME U HOMOGENOM DIELEKTRIKU

Konfiguracija

U ovoj glavi ćemo se baviti specifičnostima eksitovanja površinskog talasa na homogenoj, hladnoj cilindričnoj plazmi (permitivnosti $\varepsilon _{p}$) oko koje je homogeni dielektrik (permitivnosti $\varepsilon _{g}$); elektromagnetsko polje se generiše prstenastim izvorom izvan plazme. (Sličan zadatak sa prstenastim izvorom lociranim u plazmi rešen je u radu Samaddara i Yildiza [70].) Konfiguracija problema prikazana je na slici 1.

Slika 1. Kružni cilindar homogene, hladne plazme u klasičnom dielektriku bez gubitaka; permitivnost plazme $\varepsilon _{p}$, permitivnost dielektrika $\varepsilon _{g}$; slot antena u vertikalnoj ravni $z=0$, poluprečnik prstenaste magnetske struje $R$; lansira se aksijalno simetrični površinski talas duž $z$ ose.

Slot antena smeštena je u ravni $z=0$; poluprečnik prstenastog proreza koji se napaja naponom amplitude $U$ jednak je $R$ . Poluprečnik poprečnog preseka plazme iznosi $a$ , pri čemu je $R>a$. Model sredine i antenski sistem isti su kao i oni koji su tretirani u radu Gupte i Singha [70], izuzev što ćemo dopustiti postojanje idealnog homogenog klasičnog dielektrika oko plazmenog stuba. Takođe, sledićemo i matematički tretman primenjen u tom radu.

Polazne jednačine

Kao i u tretmanu sloja plazme u prethodnoj glavi mogli bismo rešavati postavljeni zadatak primenom Goubauove uopštene formule, jed. (D19). Ovde ćemo, međutim, primeniti alternativni postupak koji prstenasti izvor svodi na granični problem. Taj put zahteva da startujemo od Maxwellovih jednačina u obliku prilagođenom neposrednom uvođenju pojma magnetske struje [122]

rot $\overrightarrow{H}=\varepsilon _{0}\varepsilon \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},$ (1)

rot $\overrightarrow{E}=-\mu _{0}\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}-\overrightarrow{J}_{m}.$ (2)

Gustina magnetske struje u cilindričnom koordinatnom sistemu sa slike 2 ima jedino azimutalnu komponentu i može se zapisati u obliku

$$J_{m\phi }=U\delta (\rho -R)\delta (z). \tag{3}$$

Ovde je $R$ poluprečnik prstenastog proreza antene, a $U$ amplituda njenog visokofrekventnog napona.

Slika 2. Koordinatni sistem i dimenzije; poluprečnik plazmenog cilindra $a$ ; poluprečnik prstenastog slota $R$, antenska ravan $z=0$; proizvoljna tačka u prostoru sa tekućim koordinatama cilindričnog sistema: radijus $\rho$, azimut $\phi$ i dužina $z$ .

Jednačine (1) i (2) dovode, uz pretpostavku prostoperiodičnog zakona vremena, i za aksijalno simetrično polje koje ima azimutalnu komponentu jačine magnetskog polja $H\equiv H_{\phi }$ i longitudinalnu ($E_{z}$) i radijalnu ($E_{\rho }$) komponentu jačine električnog polja, do talasne jednačine

$$\frac{\partial ^{2}H}{\partial \rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial H}{\partial \rho }+\frac{\partial ^{2}H}{\partial z^{2}}-\left(\frac{1}{\rho ^{2}}-k_{0}\varepsilon \right)=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (\rho -R)\delta (z). \tag{4}$$

Ovde je $k_{0}$ talasni broj u vakuumu, a $\varepsilon$ permitivnost koja će u dielektriku imati vrednost $\varepsilon _{g}$ a u plazmi $\varepsilon _{p}$ .

Rešavanje talasne jednačine

Gornju talasnu jednačinu tretiraćemo pomoću Fourierove transformacije; magnetsko polje sintetizujemo nizom harmonika:

$$H(\rho ,z)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } h(\rho ,\zeta )e^{-i\varsigma z}d\zeta , \tag{5}$$

gde je $h(\rho ,\zeta )=$ $\left\{H\left(\rho ,z\right)\right\}$ Fourierova slika data formulom

$$h(\rho ,\zeta )=\int\limits_{-\infty }^{+\infty } H(\rho ,z)e^{i\zeta z}dz. \tag{6}$$

Takav postupak prevodi parcijalnu diferencijalnu jed. (4) u običnu diferencijalnu nehomogenu jednačinu drugog reda

$$\frac{d^{2}h}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{dh}{d\rho }-\left(\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon +\frac{1}{\rho ^{2}}\right)h=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (\rho -R). \tag{7}$$

Odavde sledi da u prvoj oblasti (plazma, $\rho <a$), gde nema izvora zračenja, treba tražiti rešenja homogene jednačine

$$\frac{d^{2}h}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{dh}{d\rho }-\left(u^{2}+\frac{1}{\rho ^{2}}\right)h=0,oblastI \tag{8}$$

u kojoj figuriše transverzalni talasni broj $u$ definisan pomoću veze

$$u^{2}=\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}; \tag{9}$$

permitivnost jonizovane sredine, po modelu hladnog, nekonvencionalnog dielektrika zadata je poznatim izrazom (v. Uvod)

$$\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}. \tag{10}$$

Ova je veličina funkcija koncentracije $n$ slobodnih elektrona u plazmi budući da je kružna plazmena učestanost $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m_{0}\varepsilon _{0}}}$ povezana sa tim bitnim parametrom posredstvom univerzalnih konstanti ($e$ i $m_{0}$ su naelektrisanje i masa mirovanja elektrona, $\varepsilon _{0}$ je električna konstanta).

U drugoj oblasti (dielektrik, $\rho >a$), gde postoje izvori zračenja, treba rešavati nehomogenu jednačinu

$$\frac{d^{2}h}{d\rho ^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{dh}{d\rho }-\left(v^{2}+\frac{1}{\rho ^{2}}\right)h=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U\delta (\rho -R),oblastII \tag{11}$$

u kojoj je $v$ odgovarajući transverzalni broj definisan relacijom

$$v^{2}=\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}. \tag{12}$$

Posmatrajući jednačinu koja važi za prvu oblast, prepoznajemo u njoj Besselovu diferencijalnu jednačinu, te je

$h(\rho <a)=$ $I_{1}\left(u\rho \right).$ (13)

Ovde je $I_{1}$ Besselova modifikovana funkcija prvog reda, a konstanta integracije. U drugoj oblasti, do rešenja možemo doći tako što ćemo prvo tražiti funkciju $h\left(\rho >a\right)$ koja zadovoljava homogenu jednačinu u dielektriku, a onda primeniti na nju granični uslov

$$\left.\frac{dh}{d\rho }\right|_{R+\in }-\left.\frac{dh}{d\rho }\right|_{R-\in }=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U \tag{14}$$

koji uračunava fiktivnu magnetsku struju izvora. U skladu s tom procedurom stavljamo

$h(a<\rho <R)=$ $I_{1}\left(v\rho \right)+$ $K_{1}\left(v\rho \right),$ (15)

gde su i integracione konstante u toj oblasti. Na kraju je i

$h\left(\rho >R\right)=$ $K_{1}\left(\nu \rho \right)$ (16)

rešenje u oblasti iznad nivoa prstenaste struje, sa poslednjom integracionom konstantom . Napišimo još i izraz za Fourierovu transformaciju longitudinalne komponente vektora jačine električnog polja:

z$\left(\rho ,\zeta \right)=\frac{1}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\frac{1}{\rho }\frac{d}{d\rho }\left[\rho h\left(\rho ,\zeta \right)\right].$ (17)

Pređimo na određivanje integracionih konstanti , , i .

Granični uslovi i određivanje integracionih konstanti

Zatražimo na početku da rešenja (15) i (16) zadovolje uslov (14); dobija se

$K_{1}^{'}\left(vR\right)-$ $I_{1}^{'}\left(vR\right)-$ $K_{1}^{'}\left(vR\right)$ = $i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}\frac{U}{v}.$ (18)

U jednačini se javlja prvi izvod po argumentu modifikovanih Besselovih funkcija. Dalje, funkcija h mora biti neprekidna na površini plazme, što daje

$I_{1}\left(va\right)+$ $K_{1}\left(va\right)=$ $I_{1}\left(ua\right).$ (19)

Takođe, mora biti neprekidna na površini plazme i -slika električnog polja, funkcija z , te se stiže i do uslova

$\varepsilon _{g}uI_{0}\left(ua\right)=$ $\varepsilon _{p}vI_{0}\left(va\right)-$ $\varepsilon _{p}vK_{0}\left(va\right).$ (20)

Na kraju, zahtevajmo da bude neprekidna funkcija h na nivou ρ=R :

$K_{1}\left(vR\right)=$ $I_{1}\left(vR\right)+$ $K_{1}\left(vR\right).$ (21)

Tako smo formirali četiri nezavisne jednačine za četiri nepoznate integracione konstante. Napišimo determinantu sistema jednačina (19), (20), (21) i (18) :

$$\Delta =\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 0 & -I_{1}^{'}(vR) & -K_{1}^{'}(vR) & K_{1}^{'}(vR)\end{matrix}\right|. \tag{22}$$

Sada možemo dati rešenje za prvu integracionu konstantu u obliku

$$i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}\frac{aU}{va}\Delta _{1}^{A}.= \tag{23}$$

Determinanta koja se pojavljuje u gornjoj relaciji ima sledeću strukturu:

$$\Delta _{1}^{A}=\left|\begin{matrix}0 & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ 0 & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 1 & -I_{1}^{'}(vR) & -K_{1}^{'}(vR) & K_{1}^{'}(vR)\end{matrix}\right|. \tag{24}$$

Sličnim postupkom se određuje i druga integraciona konstanta; dobija se da je

$$i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}\frac{aU}{va}\Delta _{1}^{B};= \tag{25}$$

ovde se pojavila determinanta čiji je oblik

$$\Delta _{1}^{B}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & 0 & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & 0 & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & 0 & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 0 & 1 & -K_{1}^{'}(vR) & K_{1}^{'}(vR)\end{matrix}\right|. \tag{26}$$

Za integracionu konstantu su odgovarajuće relacije:

$$i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}\frac{aU}{va}\Delta _{1}^{C},= \tag{27}$$ $$\Delta _{1}^{C}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & 0 & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & 0 & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & 0 & -K_{1}(vR) \\ 0 & -I_{1}^{'}(vR) & 1 & K_{1}^{'}(vR)\end{matrix}\right|. \tag{28}$$

Na kraju, rešenje za poslednju, četvrtu integracionu konstantu imaće oblik:

$$i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}\frac{aU}{va}\Delta _{1}^{D},= \tag{29}$$ $$\Delta _{1}^{D}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & 0 \\ 0 & -I_{1}^{'}(vR) & -K_{1}^{'}(vR) & 1\end{matrix}\right|. \tag{30}$$

Sada možemo da pređemo na izračunavanje komponenti polja površinskog talasa. Kao i u slučaju sloja plazme, ovde nećemo tražiti izraze za radijacionu komponentu ukupnog elektromagnetskog pola koja inače obavezno prati jedan ovakav eksitacioni problem. Naš glavni zadatak je nađemo formulu za snagu površinskog talasa koji se emituje prstenastim izvorom i da analiziramo frekventnu zavisnost snage.

Inverzna Fourierova transformacija

Prvo pogledajmo integralni izraz za jačinu magnetskog polja u plazmi; on se formira kada se rešenje (13), uz rezultat (23), uvrsti u formulu (5):

$$H\left(\rho \le a,z>0\right)\equiv H_{1}=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta }I_{1}\left(u\rho \right)e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{31}$$

Integral treba rešavati metodom kompleksne integracije; pripadajući krivolinijski integral ima realni pol prvog reda obuhvaćen konturom integracije, na mestu anuliranja determinante sistema. Kontribucija pola određuje kompleksnu amplitudu jačine magnetskog polja površinskog talasa. Pošto je postupak vrlo sličan onom koji je objašnjen u prvoj glavi, preskočićemo detalje izvođenja; imamo da je

$$H_{1}=\frac{1}{2\pi }2\pi i\mathop{\lim }\limits_{\zeta \to \beta }\left[\left(\zeta -\beta \right)\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta }I_{1}\left(u\rho \right)e^{-i\zeta z}\right]. \tag{32}$$

Ako sa $\Delta ^{'}$ označimo prvi izvod determinante sistema po normalizovanom talasnom broju $X=\beta a$, gornji izraz možemo da transformišemo i dovedemo na ovaj konačni oblik (uveli smo normalizovanu aksijalnu koordinatu $Z=z/a$ ):

$$H_{1}=-H_{0}\frac{pY}{va}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta ^{'}}I_{1}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}. \tag{33}$$

Ovde je $H_{0}=\frac{E_{0}}{\Re }$ , gde je $\Re =\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}$ i $E_{0}=\frac{U}{a}$; parametar elektronske gustine u plazmi je $p=\frac{\omega _{p}a}{c}$ ($c-$ brzina svetlosti u dielektriku). Pomoću ovog rešenja i Maxwellovih jednačina možemo dobiti i komponente jačine električnog polja površinskog talasa u plazmi:

$$E_{\rho 1}=-E_{0}\frac{X}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}I_{1}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}, \tag{34}$$ $$E_{z1}=iE_{0}\frac{ua}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}I_{0}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}. \tag{35}$$

Na sličan način dobijamo i rešenja u oblasti $a\le \rho \le R$ :

$$H_{2}=-H_{0}\frac{pY}{va}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{36}$$ $$E_{\rho 2}=-E_{0}\frac{X}{va}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{37}$$ $$E_{z2}=iE_{0}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{0}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{38}$$

U delu prostora iznad nivoa prstenastog izvora $(R\le \rho \le \infty )$ imamo sledeća rešenja

$$H_{3}=-H_{0}\frac{pY}{va}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}, \tag{39}$$ $$E_{\rho 3}=-E_{0}\frac{X}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}, \tag{40}$$ $$E_{z3}=-iE_{0}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{0}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-XZ\right)}. \tag{41}$$

Pošto su sada poznate sve tri komponente polja površinskog talasa, prelazimo na izračunavanje elektromagnetske snage u površinskom talasu.

Snaga aksijalno simetričnog površinskog talasa

Snagu ćemo dobiti kao zbir snaga, $P=P_{1}+P_{2}+P_{3}$; prvi član je snaga u plazmenom cilindru, drugi član je snaga u dielektriku izvan plazme (do nivoa prstenastog proreza), a treći član je snaga u dielektriku iznad nivoa prestenastog proreza antene. Primenjujući metod Poyntingovog vektora, potražimo izraz za snagu talasa u plazmi po formuli [122]:

$$P_{1}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits_{0}^{a} E_{\rho 1}H_{1}^{*}2\pi \rho d\rho . \tag{42}$$

Unećemo izraze za poprečnu komponentu vektora jačine električnog polja (34) i konjugovano kompleksnu vrednost jačine magnetskoh polja (33). Prethodno definišimo normalizacioni faktor

$P_{0}=\frac{\pi }{2}\frac{U^{2}}{\Re };$ (43)

(izračunavaćemo normalizovane snage $\tilde{P}_{i}\equiv P_{i}/P_{0}$ u sve tri oblasti). U plazmi je

$$\tilde{P}_{1}=\frac{pXY}{\left(va\right)^{2}}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}\right)() \tag{44}$$

Ovde je

$$\Im _{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}(u\rho )d\rho \tag{45}$$

integral koji je tablični, sa rešenjem [103]

$\Im _{1}=I_{1}^{2}(ua)-I_{0}(ua)I_{2}(ua);$ (45’)

rešenje je, vidimo, kombinacija odgovarajućih Besselovih funkcija argumenta

$$ua=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y^{2}\frac{\varepsilon _{p}}{\varepsilon _{g}}}. \tag{46}$$

Analognim postupkom, za drugi deo snage talasa nalazimo:

$$\tilde{P}_{2}=\frac{pXY}{\left(va\right)^{2}}\left[\left(\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}\Im _{22}+2\left(\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right)() \tag{47}$$

U izrazu nalazimo sličan integral kao gore:

$$\begin{aligned}\Im _{21}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho I_{1}^{2}\left(v\rho \right)d\rho \\ =I_{1}^{2}(vR)-I_{0}(vR)I_{2}(vR)-I_{1}^{2}(va)+I_{0}(va)I_{2}(va);\end{aligned} \tag{48}$$

Besselove funkcije su od argumenta

$$va=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y^{2}}. \tag{49}$$

Sledeći integral u nizu je sa Besselovom modifikovanom K funkcijom:

$$\begin{aligned}\Im _{22}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho K_{1}^{2}\left(v\rho \right)d\rho \\ =K_{1}^{2}(vR)-K_{0}(vR)K_{2}(vR)-K_{1}^{2}(va)+K_{0}(va)K_{2}(va).\end{aligned} \tag{50}$$

Na kraju, susrećemo i integral sa kombinacijom funkcija $I_{1}$ i $K_{1}$ :

$$\Im _{23}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho I_{1}\left(v\rho \right)K_{1}\left(v\rho \right)d\rho . \tag{51}$$

Ovaj integral takođe je rešiv budući da je integral

$$\Im \equiv \int\limits_{0}^{x} xI_{\nu }\left(ax\right)K_{\nu }\left(ax\right)dx \tag{52}$$

tablični, sa rešenjem [103, s. 48]

$$\Im =\frac{x^{2}}{2}\left[\left(1+\frac{\nu ^{2}}{ax^{2}}\right)I_{\nu }\left(ax\right)K_{\nu }\left(ax\right)-I'\right]_{\nu }\left(ax\right)-\frac{\nu }{2a^{2}}. \tag{53}$$

Navedimo uzgred da numerička prezentacija u savremenim softverskim matematičkim paketima daje (naravno, sa istim ishodom) rezultat [Mathematica 3.0]

$\Im _{23}=\frac{0.282095}{\left(va\right)^{2}}\left(M_{1}-M_{2}\right)$ (54)

gde je

$$M_{1}=MeijerG\left[\{\{1,\frac{3}{2}\},\{\}\},\{\{1,2\},\{0,0\}\},\frac{R^{2}}{a^{2}}(va)^{2}\right], \tag{55}$$

$M_{2}=$ $MeijerG\left[\{\{1,\frac{3}{2}\},\{\}\},\{\{1,2\},\{0,0\}\},(va)^{2}\right].$ (56)

Na kraju, za treći deo snage talasa nalazimo formulu

$$\tilde{P}_{3}=\varepsilon _{g}\frac{pXY}{\left(va\right)^{2}}\left(\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}\right)() \tag{57}$$

Javio se još jedan integral sa Besselovom funkcijom, naime

$$\Im _{3}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{\infty } \rho K_{1}^{2}(v\rho )d\rho \tag{58}$$

čije je rešenje

$\Im _{3}=-K_{1}^{2}(va)+K_{0}(va)K_{2}(va).$ (58’)

Formulu za ukupnu snagu dobićemo sabirajući naše jednačine (44), (47) i (57). Rezultat je sledeća jednačina (59) :

$$\tilde{P}=\varepsilon _{g}\frac{pXY}{\left(va\right)^{2}}\left[\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}\Im _{21}+\left(\frac{\Delta _{1}^{C}}{\Delta '}\right)()$$

Za numeričko tretiranje ovog izraza potrebno je znati disperzionu relaciju površinskog talasa, a poželjno je i razraditi metod za njenu efektivnu upotrebu.

Zakon disperzije i aproksimant po metodu fiksne tačke

Disperziona relacija određena je uslovom

$$\Delta (\omega ,\beta )=0. \tag{60}$$

Imajući u vidu rezultat (22), ovu jednačinu možemo svesti na formulu

$$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{ua}{va}\frac{I_{0}(ua)}{I_{1}(ua)}\frac{K_{1}(va)}{K_{0}(va)}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{61}$$

Pošto transverzalni talasni brojevi zavise od normalizovane učestanosti, ovo je jedno samo prividno eksplicitno rešenje. Međutim, jed. (61) je dobra osnova da se do eksplicitnog oblika disperzione veze zaista i dođe brzo i elegantno. Treba iskoristiti približnu jednakost $u\approx v\approx \beta$ (kvazistatički postupak) i dobiti nultu aproksimaciju $Y_{0}$ za eksplicitnu relaciju $Y=f(X)$ u punoj talasnoj reprezentaciji; dakle,

$$Y_{0}=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{I_{0}(X)}{I_{1}(X)}\frac{K_{1}(X)}{K_{0}(X)}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{62}$$

Često ovaj korak obezbeđuje dovoljnu tačnost u pojedinim primenama. No, mi smo primetili da prva aproksimacija, uz manja usložnjavanja postupka, skoro redovno prevodi implicitnu formu (61) u eksplicitnu zavisnost izvrsne tačnosti; prva se aproksimacija dobija kad se nulto rešenje koristi na svim mestima u desnoj strani relacije (61) gde figuriše veličina $Y$, što daje:

$$Y_{1}=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{u_{0}a}{v_{0}a}\frac{I_{0}(u_{0}a)}{I_{1}(u_{0}a)}\frac{K_{1}(v_{0}a)}{K_{0}(v_{0}a)}\right)^{-\frac{1}{2}}, \tag{63}$$

gde je

$$u_{0}a=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y_{0}^{2}\frac{\varepsilon _{p0}}{\varepsilon _{g}}}, \tag{64}$$ $$v_{0}a=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y_{0}^{2}}, \tag{65}$$

uz

$$\varepsilon _{p0}=1-\frac{1}{Y_{0}^{2}}. \tag{66}$$

Izračunavanja

Na slici 3 prikazan je disperzioni grafik aksijalno simetričnog talasa na plazmenom cilindru u homogenom dielektriku permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ . Gornja kriva je nulti aproksimant po jed. (62). Donja kriva je prvi aproksimant po našem metodu fiksne tačke; parametar elektronske gustine je $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}=1$; krive za koje ovaj parametar leži u granicama od nule do jedinice ležaće između dve prikazane krive.

Slika 3. Disperzioni grafik aksijalno simetričnog talasa na cilindru hladne homogene plazme u homo-genom dielektriku permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ ; parametar elektronske gustine $p_{0}=1$; gornja kriva: nulti aproksimant (kvazistatika), jed. (62); donja kriva: prvi aproksimant po metodu fiksne tačke, jed. (63)

Naravno, mogu se tražiti i aproksimacije višeg reda. Na slici 4 vidi se učinak treće aproksimacije, pri ostalim istim uslovima. Razlike su u oblasti malih talasnih brojeva. Primetimo da treći aproksimant leži iznad prvog, tako da je odstupanje nultog aproksimanta od tačnog rešenja manje nego što bi se to moglo zaključiti na osnovu slike 3.

Slika 4. Disperzioni grafik aksijalno simetričnog talasa na cilindru hladne homogene plazme u homo-genom dielektriku permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ ; parametar elektronske gustine $p_{0}=1$; upoređenje prvog i trećeg aproksimanta; gornja kriva: treći aproksimant po metodu fiksne tačke; donja kriva: prvi aproksimant po metodu fiksne tačke, jed. (63)

Aproksimant $Y_{1}$ , jed. (63), principijelno je poboljšanje u odnosu na kvazistatičku aproksimaciju, jed. (62); daje ispravnu vrednost za prag talasnog broja, ima ispravnu asimptotiku; pokazuje malu grešku izračunavanja u celom opsegu talasnih brojeva; izraz je eksplicitan i prilagođen za efikasno korišćenje u kompjuterskim programima.

Na slici 5 vidimo grafik normalizovane snage u funkciji normalizovane učestanosti

Slika 5. Normalizovana snaga aksijalno simetričnog površinskog talasa eksitovanog slot antenom na plazmenom cilindru u dielektriku permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ u funkciji normalizovane učestanosti; relativni poluprečnik slota ${R}/{a}=1.5$; parametar elektronske gustine $p_{0}=0.1$; disperziona relacija uračunata preko prvog aproksimanta $Y_{1}$, po jed. (63).

Plazmeni cilindar je u staklu permitivnosti 4.8 ; plazmena gustina je određena parametrom $p_{0}=0.1$ ; relativna visina slota je $\frac{R}{a}=1.5$ ; korišćen je disperzioni

Slika 6. Normalizovana snaga aksijalno simetričnog talasa na plazmenom cilindru u dielektriku permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ u funkciji normalizovanog poluprečnika slota; parametar elektronske gustine $p_{0}=0.126$; zakon disperzije uračunat približnim načinom, po metodu fiksne tačke, pomoću prvog aproksimanta, jed. (63); tri krive dobijene za razne vrednosti normalizovanog talasnog broja ($X=1.5,1,0.5$ odozgo naniže, u maksimumu).

aproksimant prvog reda po jed. (63).

Snaga ima širok maksimum, u većem delu opsega učestanosti, a pada na nulu u početnom delu za male učestanosti i u oblasti asimptotike disperzione relacije.

Na slici 6 prikazana je normalizovana snaga u funkciji normalizovane visine slota, za razne vrednosti normalizovanog talasnog broja; postoji maksimum (optimum eksitacije) u oblasti manjih talasnih brojeva; primećuje se oblast grupisanja krivih za $R\sim 1.5a$, kada snaga talasa malo zavisi od talasnog broja; selektivni karakter eksitacije izražen je za veće vrednosti talasnih brojeva; pri talasnim dužinama reda veličine $\lambda \sim 4\pi a$ izbor poluprečnika slota nije kritičan.

Rezultati ovog poglavlja korisni su, između ostalog, za upoređivanja sa rezultatima koji će biti dobijeni u sledećoj glavi, kada ćemo rešiti eksitacioni problem za plazmu u staklenoj cevi; po konceptu ekvivalentnog dielektrika, koji smo diskutovali u radu [32], aproksimativno se talas na slojevitoj strukturi oko plazme može tretirati kao talas na plazmi u homogenoj sredini pod uslovom da se na pogodan način definiše efektivna permitivnost te sredine.

*

REZIME FORMULÂ, SKRAĆENICÂ I OZNAKÂ GLAVE III

$$H_{1}=-H_{0}\frac{pY}{va}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}I_{1}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}, \tag{33}$$ $$E_{\rho 1}=-E_{0}\frac{X}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}I_{1}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}, \tag{34}$$ $$E_{z1}=iE_{0}\frac{ua}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}I_{0}\left(ua\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}. \tag{35}$$ $$H_{2}=-H_{0}\frac{pY}{va}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{36}$$ $$E_{\rho 2}=-E_{0}\frac{X}{va}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{37}$$ $$E_{z2}=iE_{0}\left[\frac{\Delta _{1}^{B}}{\Delta '}\right]K_{0}\left(va\frac{\rho }{a}\right)[] \tag{38}$$ $$H_{3}=-H_{0}\frac{pY}{va}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}, \tag{39}$$ $$E_{\rho 3}=-E_{0}\frac{X}{va}\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{1}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}, \tag{40}$$ $$E_{z3}=-iE_{0}\frac{\Delta _{1}^{D}}{\Delta '}K_{0}\left(va\frac{\rho }{a}\right)e^{i\left(\omega t-\beta z\right)}. \tag{41}$$ $$\Delta =\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 0 & -I'\end{matrix}-K'_{1}(vR)\right| \tag{22}$$ $$\Delta _{1}^{A}=\left|\begin{matrix}0 & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ 0 & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 1 & -I'\end{matrix}-K'_{1}(vR)\right| \tag{24}$$ $$\Delta _{1}^{B}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & 0 & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & 0 & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & 0 & K_{1}(vR) & -K_{1}(vR) \\ 0 & 1 & -K'\end{matrix}K'_{1}(vR)\right| \tag{26}$$ $$\Delta _{1}^{C}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & 0 & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & 0 & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & 0 & -K_{1}(vR) \\ 0 & -I'\end{matrix}1K'_{1}(vR)\right| \tag{28}$$ $$\Delta _{1}^{D}=\left|\begin{matrix}I_{1}(ua) & -I_{1}(va) & -K_{1}(va) & 0 \\ \varepsilon _{g}uaI_{0}(ua) & -\varepsilon _{p}vaI_{0}(va) & \varepsilon _{p}vaK_{0}(va) & 0 \\ 0 & I_{1}(vR) & K_{1}(vR) & 0 \\ 0 & -I'\end{matrix}-K'_{1}(vR)\right| \tag{30}$$ $$ua=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y^{2}\frac{\varepsilon _{p}}{\varepsilon _{g}}} \tag{46}$$ $$va=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y^{2}} \tag{49}$$

$X=\beta a$; $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}}$ ; $\varepsilon _{p}=1-\frac{1}{Y^{2}}$

$p=\frac{\omega _{p}a}{c}$ ; $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$; $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}\varepsilon _{g}}}$; $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$

$E_{0}=\frac{U}{a}$; $H_{0}=\frac{E_{0}}{\Re }$; $\Re =\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}$

$$\tilde{P}=\varepsilon _{g}\frac{pXY}{\left(va\right)^{2}}\left[\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\left(\frac{\Delta _{1}^{A}}{\Delta '}\right)()\right]^{2}\Im _{21}+\left(\frac{\Delta _{1}^{C}}{\Delta '}\right)()$$

$\tilde{P}=\frac{P}{P_{0}}$; $P_{0}=\frac{\pi }{2}\frac{U^{2}}{\Re }$ (43)

$$\Im _{1}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{0}^{a} \rho I_{1}^{2}(u\rho )d\rho \tag{45}$$ $$\Im _{21}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho I_{1}^{2}\left(v\rho \right)d\rho \tag{48}$$ $$\begin{aligned}\Im _{22}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho K_{1}^{2}\left(v\rho \right)d\rho \\ \end{aligned} \tag{50}$$ $$\Im _{23}=\frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{R} \rho I_{1}\left(v\rho \right)K_{1}\left(v\rho \right)d\rho \tag{51}$$ $$\Im _{3}\equiv \frac{2}{a^{2}}\int\limits_{a}^{\infty } \rho K_{1}^{2}(v\rho )d\rho \tag{58}$$ $$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{ua}{va}\frac{I_{0}(ua)}{I_{1}(ua)}\frac{K_{1}(va)}{K_{0}(va)}\right)^{-\frac{1}{2}} \tag{61}$$ $$Y_{0}=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{I_{0}(X)}{I_{1}(X)}\frac{K_{1}(X)}{K_{0}(X)}\right)^{-\frac{1}{2}} \tag{62}$$ $$Y_{1}=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{u_{0}a}{v_{0}a}\frac{I_{0}(u_{0}a)}{I_{1}(u_{0}a)}\frac{K_{1}(v_{0}a)}{K_{0}(v_{0}a)}\right)^{-\frac{1}{2}} \tag{63}$$

$u_{0}a=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y_{0}^{2}\frac{\varepsilon _{p0}}{\varepsilon _{g}}}$; $v_{0}a=\sqrt{X^{2}-p^{2}Y_{0}^{2}}$; $\varepsilon _{p0}=1-\frac{1}{Y_{0}^{2}}$

***