Glava II: Eksitacija površinskih talasa na plazmenom sloju

G L A V A II

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA NA PLAZMENOM SLOJU

Sredina i antena

U ovoj glavi analiziramo eksitovanje elektromagnetskih površinskih talasa na ravnom plazmenom sloju [26]. Primenićemo sličan antenski sistem kao u problemu pobuđivanja talasa na plazmenom poluprostoru: slot antenu [45] za koju smo ustanovili da je efikasan izvor vođene komponente polja i uspešan model za simuliranje realnih eksperimenata (neki autori preferiraju da govore, naročito kad je reč o teorijskom tretmanu, o eksitaciji talasa (fiktivnom) magnetskom strujom [107]). Varijanta slot antene koja je prilagođena za sloj plazme sadrži dva uska procepa usečena u vertikalnu idealnu provodnu ravan paralelno razdvojnoj površini između plazme i dielektrika, po jedan s obe strane plazmenog sloja; procepi se napajaju naponom iz odgovarajućeg visokofrekventnog generatora. Kao što smo već naglasili, ovakvo modeliranje realnih antena, premda dosta simplificirano [17], korisno je da se stekne osnovni fizički uvid u eksitacioni problem, pa očekujemo da na taj način i za sloj plazme dobijemo upotrebljive rezultate koji korespondiraju sa postojećim opitima [96] . Model ravnog sloja sa slot antenom prikazan je šematski na slici 1; naznačen je i koordinatni sistem, kao i komponente polja površinskog talasa.

Nalaženje komponenti polja površinskog talasa

Poznato je da sloj plazme podržava dva tipa površinskih talasa. Oni se u literaturi označavaju kao simetričan i antisimetričan talas (up. [112]). Njihova autonomna egzistencija evidentna je i iz osnovnog zapisa Maxwellovih jednačina za posmatranu konfiguraciju. Ovde ćemo se baviti talasom koji je antisimetričan u odnosu na jačinu magnetskog polja $H_{x}$ i jačinu električnog polja u poprečnom pravcu $E_{y}$ i ima ukupno tri komponente: $E_{z}$, $E_{y}$ i $H_{x}$ ; takav talas fizički korespondira sa aksijalno simetričnim površinskim talasom na cilindričnoj plazmenoj strukturi (koja je realniji model stvarne situacije u ogromnom broju eksperimenata) i ima sličan Brillouinov dijagram (disperzioni grafik).

Potražimo sada iz Maxwellovih jednačina rešenje za monohromatski antisimetrični talas koji se prostire u pozitivnom smeru z ose i koji ima komponente polja oblika

$$A(x,y,z;t)=A(y)e^{i(\omega t-\beta z)}. \tag{1}$$

Ovde je ω kružna učestanost talasa (diktirana učestanošću pobudnog napona čiju ćemo amplitudu označiti sa U), a $\beta$ je pripadajući talasni broj, ili fazni koeficijenat površinskog talasa ($\beta =2\pi /\lambda$, gde je $\lambda$ talasna dužina talasa na plazmenoj vođici). Na osnovu pretpostavke učinjene relacijom (1), iz jednačine koju ćemo (uslovno) zvati prva Maxwellova jednačina,

rot $\vec{H}=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon \vec{E}$ (2)

dobijamo dve skalarne jednačine

Slika 1. Model ravnog sloja; osa sloja označena je sa z, a poluprečnik sa a; slot antena leži u poprečnoj ravni (x, y), procepi su na rastojanju h od centralne ravni sloja, s jedne i druge strane; amplituda primenjenog napona je U; εp je permitivnost hladne i homogene plazme, a εg permitivnost okolnog homogenog dielektrika (staklo); šematski je prikazana struktura polja površinskog talasa; postoje podužna (z) i poprečna (y) komponenta električnog polja i poprečna (x) komponenta magnetskog polja; up. [26].

$\begin{aligned}-i\beta H=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{y}, \\ -\frac{dH}{dy}=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{z}.\end{aligned}$ (2’)

Iz druge Maxwellove jednačine, koja pod učinjenim pretpostavkama ima oblik

rot $\vec{E}=-i\omega \mu _{0}\vec{H}$, (3)

dobija se relacija koja povezuje sve tri komponente polja površinskog talasa:

$\frac{dE_{z}}{dy}+i\beta E_{y}=i\omega \mu _{0}H.$ (3’)

Jednostavnim eliminacijama iz jed. (2’) i (3’) pokazujemo da se jedina komponenta jačine magnetskog polja (napominjemo da smo ispustili kao nepotreban indeks x) nalazi iz talasne jednačine

$$\frac{d^{2}H}{dy^{2}}=u^{2}H. \tag{4}$$

Primetimo da smo ovde iskoristili uobičajeni skraćeni zapis, uz oznaku

$u^{2}=\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon$ ; (4’)

veličinu u pojedini autori zovu i transverzalni talasni broj (up. [117]) u dotičnom medijumu; $k_{0}=\omega /c_{0}$ je talasni broj elektromagnetskih talasa u vakuumu ($c_{0}$ je brzina svetlosti u vakuumu). Za rešenje u homogenom dielektriku iznad plazme (gde je $y>a$) jed. (4) neposredno daje

$$H=C_{\uparrow }\exp (-u_{2}y). \tag{5}$$

Na sličan način se dobija da je rešenje za jačinu magnetskog polja u plazmenoj sredini ( gde je $-a<y<a$) , za usvojeni tip talasa, oblika

$$H=C\sinh (u_{1}y). \tag{6}$$

Za jačinu magnetskog polja u dielektriku ispod sloja (tamo je $y<-a$) dobijamo

$$H=C_{\downarrow }\exp (u_{2}y). \tag{7}$$

U rešenjima figurišu integracione konstante $C$, $C_{\uparrow }$ i $C_{\downarrow }$. Napomenimo da se veličina $u_{1}$ dobija kad permitivnost $\varepsilon$ u definicionoj relaciji za u uzme vrednost $\varepsilon _{p}$, dok je u izrazu za $u_{2}$ izvršena smena $\varepsilon \to \varepsilon _{g}$, te je

$$\begin{aligned}u_{1}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}}, \\ \\ u_{2}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}}.\end{aligned} \tag{8}$$

Permitivnost $\varepsilon _{g}$ opisuje dielektrična svojstva sredine oko plazme (kvalitetno staklo, na primer pirex sa permitivnošću 4.8 [13]); samu plazmu ovde tretiramo kao nekonvencionalni homogeni dielektrik bez gibitaka (up. [125]) ekvivalentne (negativne) permitivnosti $\varepsilon _{p}=1-{\omega _{p}^{2}}/{\omega ^{2}}$, gde je ωp kružna plazmena učestanost (njenu definiciju i strukturu prikazaćemo nešto kasnije u tekstu). Sada kada imamo oblik rešenja za jačinu magnetskog polja u celom ambijentu, lako možemo naći (videti jed. (2’)) y komponente za električno polje u raznim oblastima; rešenja iznad, u i ispod sloja su, redom:

$$\begin{aligned}E_{y}=-\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}C_{\uparrow }\exp (-u_{2}y), \\ \\ E_{y}=-\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}C\sinh (u_{1}y), \\ \\ E_{y}=-\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}C_{\downarrow }\exp (u_{2}y).\end{aligned} \tag{9}$$

Primenjujući granični uslov za neprekidnost tangencijalne komponente jačine magnetskog polja na razdvojnoj površini $y=a$ dobijamo

$$C=\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}, \tag{10}$$

uz istovremeni zahtev da važi $C_{\uparrow }=1$ , koji usvajamo definišući standardno rešenje za transverzalno električno polje $E_{t}$ u duhu Goubauove teoreme ([68], [43]). Istovremeno zaključujemo da u tom slučaju mora biti i $C_{\downarrow }=-1$. Ovim smo našli neophodne veličine koje će nam omogućiti izračunavanja u narednom odeljku.

Amplituda površinskog talasa

Procedura nalaženja amplitude $A$ površinskog talasa (ona množi navedena jedinična rešenja) nalaže primenu generalisane Goubauove formule [25] (videti Dodatak na kraju glave):

$$A=\frac{\int\limits_{z=0} \varepsilon (y)E_{i}(y)E_{t}(y)dS}{\int\limits_{z=0} \varepsilon (y)E_{t}^{2}dS}. \tag{11}$$

U našem zadatku, funkcija $\varepsilon \left(y\right)$ definisana je na sledeći način:

$\varepsilon \left(y>a\right)=\varepsilon _{g},\varepsilon \left(-a<y<a\right)=\varepsilon _{p},\varepsilon \left(y<-a\right)=\varepsilon _{g}.$ (11’)

Jačina “utisnutog”, eksternog električnog polja slot antene u vertikalnoj ravni $z=0$ zadata je pomoću dve delta-eksitacije

$$E_{i}(y)=U[\delta (y+h)-\delta (y-h)], \tag{12}$$

te je funkciju u brojiocu formule (11) lako integraliti, pošto se uključe izrazi za transverzalno polje $E_{t}$ po formulama (9). Rezultat je

$$\int\limits_{z=0} \varepsilon (y)E_{i}(y)E_{t}(y)dS=\frac{2}{Y_{0}}U\exp (-u_{2}h). \tag{13}$$

Ovde je uvedena oznaka $Y_{0}=\omega \varepsilon _{0}/\beta$; veličina se javila kao količnik transverzalnih jačina magnetskog i električnog polja i ima prirodu recipročne otpornosti (sa jedinicom simens) i neki autori taj izraz nazivaju admitansa reaktivne površine. Što se tiče integrala u imeniocu izraza za amplitudu, on se može izračunati sabirajući kontribucije u granicama sloja i izvan njega; simbolično, označimo taj postupak ovako:

$$\int\limits_{z=0} (...)=\int\limits_{-a}^{a} (...)+\int\limits_{-\infty }^{-a} (...)+\int\limits_{a}^{\infty } (...) \tag{14}$$

Direktnom zamenom jed. (9) i (11’) nalazimo bez osobitih teškoća, uz primenu poznatih formula iz teorije hiperboličnih funkcija [1]

$$\int\limits_{-a}^{a} =\frac{1}{2u_{1}}\frac{\exp (-2u_{2}a)}{\sinh ^{2}(u_{1}a)}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{Y_{0}^{2}\varepsilon _{p}}. \tag{15}$$

Potom nalazimo da integriranje van domena plazmenog sloja dovodi do sledećeg rezultata

$$\int\limits_{-\infty }^{a} +\int\limits_{a}^{\infty } =\frac{\exp (-2u_{2}a)}{u_{2}\varepsilon _{g}Y_{0}^{2}}. \tag{16}$$

Izraz za amplitudu može se sada oformiti zamenom izračunatih integrala u formulu (11); rezultat je poželjno zapisati u kompaktnoj formi, tako što se uzme u obzir i disperziona relacija antisimetričnog površinskog talasa na sloju plazme, tj. veza između učestanosti i talasne dužine; do nje se prosto dolazi kad se u našim ranijim formulama za komponente polja, uz primenu graničnih uslova, eliminišu integracione konstante. Ovde ćemo zapisati disperzionu relaciju na uobičajeni način [25], ostavljajući za kasnije formulaciju jednačine preko poželjnih bezdimenzionih veličina:

$$\frac{\varepsilon _{g}}{u_{2}}=-\frac{\varepsilon _{p}}{u_{1}}\tanh (u_{1}a). \tag{17}$$

Definitivno, amplituda po Goubau površinskog talasa na sloju plazme dobija oblik

$$A=\frac{2Y_{0}U\varepsilon _{g}u_{2}\exp [-u_{2}(h-2a)]}{1-\left(\frac{u_{2}}{u_{1}}\right)^{2}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}}. \tag{18}$$

To znači da ovom funkcijom koja zavisi od učestanosti pobuđenog talasa, karakterisrikâ plazme i geometrije medijuma, kao i od osobenosti antenskog sistema, množimo standardna rešenja za komponente polja površinskog talasa; na taj način formiramo konačne formule prvo za poprečne komponente električnog polja vođenog talasa:

$$\begin{aligned}E_{y}=-A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ E_{y}=-A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}sh(u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ E_{y}=A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},ispodsloja\end{aligned} \tag{19}$$

potom i za za podužne komponente električnog polja:

$$\begin{aligned}E_{z}=A\frac{u_{2}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ E_{z}=-A\frac{u_{1}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}\cosh (u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ E_{z}=-A\frac{u_{2}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)}.ispodsloja\end{aligned} \tag{20}$$

Na kraju, za jačinu magnetskog polja izrazi će glasiti:

$$\begin{aligned}H=A\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ H=A\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}\sinh (u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ H=-A\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)}.ispodsloja\end{aligned} \tag{21}$$

Ovde se nećemo dalje baviti ispitivanjem pune strukture elektromagnetskog polja koje emituje naša slot antena; pored vođenog talasa koji se bez slabljenja prostire niz razdvojne površine, obavezno se u prostoru javlja i radijaciona komponenta koja je potrebna da se zadovolje granični uslovi zadatka i o tome smo govorili u glavi I; no, za nas je ovde od sekundarnog značaja pitanje efikasnosti eksitacije površinskog talasa — ono što je rečeno u vezi sa poluprostorom plazme ostaje na snazi i za sloj, u svim bitnim elementima, fizički sadržaj slike se nije promenio. Pre svega želimo da izračunamo snagu površinskog talasa, kao funkciju svih relevantnih parametara, a naročito da razmotrimo frekventne karakteristike eksitacije.

Snaga antisimetričnog talasa

Izračunajmo sada snagu P površinskog talasa koja se transportuje u pravcu pozitivne z-ose; poslužimo se metodom Poyntingovog vektora; potrebno je izračunati fluks srednje vrednosti kompleksnog veličine $\overrightarrow{G}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$ kroz poprečnu ravan $z=$ const.$>0$ što dovodi do izraza (ako prosto stavimo const.$=0$):

$$P=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\int\limits_{z=0} \overrightarrow{G}\cdot d\overrightarrow{S}. \tag{22}$$

Formula se svodi na zbir dva integrala; prvi integral je u granicama od 0 do a sa integrandom

$f(y)=\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}C^{2}A^{2}\sinh ^{2}(u_{1}y)$, (22’)

a drugi je u granicama od a do ∞ sa podintegralnom funkcijom

$g(y)=\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}A^{2}\exp (-2u_{2}y)$. (22”)

U jed. (22’) figuriše konstanta $C=\exp (-u_{2}a)/\sinh (u_{1}a)$(up. jed. (10)). Izračunavanje integrala teče bez teškoća, mada zahteva duži rad i izvesne transformacije izraza uz ubacivanje disperzione relacije, jed. (17); rezultat glasi:

$$P=\frac{1}{2}A^{2}\frac{\beta a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\exp (-2u_{2}a)}{u_{2}a}\left[1-\frac{u_{2}^{2}}{u_{1}^{2}}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}\right]. \tag{23}$$

Da izbegnemo moguće nesporazume, napominjemo da je po svojoj fizičkoj prirodi ovaj izraz snaga po jediničnoj dužini u x pravcu (po jedinici dužine talasnog fronta); jedinica je [P]=W/m; mi ćemo se i ubuduće na (23) prosto pozivati kao na snagu, zbog kratkoće izražavanja.

Rezultati

Na slici 2 dat je grafik snage u funkciji normalizovanog talasnog broja, $P=P(\beta a)$. Nivo snage zavisi od gustine slobodnih elektrona u plazmi n , a time i od plazmene učestanosti $f_{p}=\frac{\omega _{p}}{2\pi }$, pri čemu je kvadrat kružne plazmene učestanosti $\omega _{p}$ određen dobro poznatim izrazom

$$\omega _{p}^{2}=\frac{ne^{2}}{m_{0}\varepsilon _{0}}$$

($m_{0}$ i e su masa mirovanja i naelektrisanje elektrona). Sa porastom parametra $f_{p}$ raste i snaga površinskog talasa; karakterističan je maksimum krive, njegov položaj skoro da ne zavisi od elektronske gustine i u razmatranom opsegu samo neznatno raste sa porastom plazmene učestanosti. Po gruboj proceni, koju je moguće učiniti polazeći od jed. (23), učestanost na kojoj se predaje maksimum snage određena je relacijom

$$\left(\frac{\omega }{\omega _{p}}\right)_{\max }^{2}\approx \frac{3a}{4\varepsilon _{g}(h-a)}, \tag{24}$$

te zaključujemo da je položaj maksimuma krive $P=P(\beta a)$ dat izrazom

$$\left(\beta a\right)_{\max }\approx \frac{3a}{4(h-a)} \tag{25}$$

pošto je, imajući u vidu jed. (17), $u_{2}a\approx \frac{\varepsilon _{g}\omega ^{2}}{\omega _{p}^{2}}$. Ove formule imaju semikvantitativni karakter; daju približne, nešto povišene vrednosti; sa slike se vidi da se maksimumi nalaze, za usvojene brojne vrednosti, u oblasti $\beta a\approx 0.1$(krive su nacrtane uz pretpostavku da je poludebljina sloja 5 mm, a visina procepa 20 mm; zbog eventualne komparacije sa eksperimentalnim rezultatima, permitivnost stakla je u našim primerima 4.8 (staklo pirex)). Inače, snaga talasa približno linearno raste sa porastom permitivnosti okolnog prostora.

Slika 2. Zavisnost snage (u vatima po metru) površinskog talasa na sloju plazme od normalizovanog faznog koeficijenta; puna talasna teorija; parametar je $f_{p}$, plazmena učestanost; gornja kriva: $f_{p}=1200$ MHz; kriva u sredini: $f_{p}=600$ MHz; donja kriva: $f_{p}=200$ MHz; permitivnost okolnog prostora $\varepsilon _{g}=4.8$.

Disperziona relacija; normalizacija, aproksimacije

Uobičajeno je da se u raznim problemima vezanim za površinske talase disperziona relacija koristi, kad god to ne izaziva bitna odstupanja, u uprošćenom vidu (tzv. kvazistatička aproksimacija, [up. 32]), budući da su egzaktni izrazi glomazni i “neprozirni”. Do kvazistatičke aproksimacije se dolazi primenom uslova $\beta ^{2}>>k_{0}^{2}\left|\varepsilon \right|$ koji je vrlo dobro zadovoljen za ne odveć velike talasne dužine vođenog talasa. Praktično, u našem računu se kvazistatika realizuje uprošćavanjima tipa $u_{1}\approx u_{2}\approx \beta$, (up. jed. (8)) pri čemu disperziona relacija u normalizovanom zapisu prelazi iz komplikovanog implicitnog oblika $F\left(X,Y\right)=0$ u relativno jednostavnu eksplicitnu zavisnost $Y=f_{k}\left(X\right)$. Ovde je $X=\beta a$ normalizovani talasni broj (fazni koeficijenat), a $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}}$ normalizovana kružna učestanost talasa. Primetimo da se potpuna disperziona relacija, jed. (17), može formalno prikazati i u obliku $Y=f(X,Y)$, tj.

$$Y=\left(\sqrt{1+\varepsilon _{g}\frac{\sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}{\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{g}}}\coth \sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}\right)^{-1} \tag{26}$$

gde je $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$ parametar čijim se anuliranjem direktno dobija veza $Y=f_{k}\left(X\right)$, odnosno kvazistatička disperziona relacija

$$Y=\left[1+\varepsilon _{g}\coth (X)\right]^{-0.5}. \tag{27}$$

Ona je dakle solidna zamena za jed. (26) kad je $p_{0}$ mali broj.

Slika 3. Disperzioni grafik antisimetričnog površinskog talasa na sloju plazme u staklu permitivnosti $\varepsilon _{g}=4.8$ ; znatnija odstupanja od kvazistatičke krive jedino u oblasti $\beta a$~$0.2$; za veće talasne brojeve praktično se ne oseća uticaj parametra $f_{p}$ , krive se preklapaju; grafik je dobijen iteracionim postupkom, pri čemu je pokazano da je već druga iteracija, najčešće, suvišna.

Za veliko $\beta a$, recipročna vrednost normalizovane kružne učestanosti, $\frac{\omega _{p}}{\omega }$ , po jed. (27), približava se svojoj konstantnoj vrednosti $\sqrt{1+\varepsilon _{g}}$, što je očekivano ponašanje, no za malo βa jed. (27) dovodi do merljivih odstupanja i direktnih nelogičnosti u primenama. Značajno je da je kvazistatička relacija vrlo dobar aproksimant i u oblasti malih normalizovanih faznih koeficijenata, $\beta a<0.1$, sve dok fazna brzina površinskih talasa ne postane uporediva sa faznom brzinom slobodnih elektromagnetskih talasa u staklu oko plazme (${\omega }/{\beta }\sim {\omega }/{k_{0}}$); detaljnije o ovom u [117].

Na slici 3 vidimo disperzioni grafik antisimetričnog površinskog talasa, za iste vrednosti parametara koje su primenjene i za sliku 2; osnovni tok krive izveden je u skladu sa kvazistatikom (27), a onda smo testirali kakva odstupanja slede ako ne činimo aproksimacije tipa $\beta ^{2}>>k_{0}^{2}\left|\varepsilon \right|$; pokušali smo da nacrtamo krivu po jed. (26) i to kada su plazmene učestanosti 200 MHz, 600 MHz i 1,2 GHz . Primenili smo metod stacionarne tačke (videti niže 8. odeljak); sa slike se vidi da su odstupanja sitna i zanemarljiva u analiziranom, umerenom, segmentu talasnih dužina. Pogledajmo odeljak 7. da se uverimo da kvazistatika može prouzrokovati i ozbiljne defekte.

Komentar o kvazistatičkoj aproksimaciji

Primećeno je da striktna primena kvazistatičkog postupka u eksitacionim problemima može da dovede do nepreciznosti i teškoća [25]. Tako, naš fizičar D. Jovanović (privatna komunikacija) pokazao je da se amplituda površinskog talasa na sloju homogene plazme, u konzistentnoj kvazistatici, svodi na oblik

$$A=\frac{\omega _{p}}{c_{0}}\frac{\beta ^{2}}{k_{0}^{2}}e^{-\beta (h-2a)}. \tag{28}$$

Ovaj je izraz, očevidno, konvergentan u kratkotalasnom domenu (kad $\beta \to \infty$) jedino za $h>2a$, tj. bez prihvatljivog fizičkog razloga za moguću divergenciju za drugačiju kombinaciju parametara $h$ i $a$. Zaista, kad napišemo formulu za snagu talasa u obliku pogodnom za numerička izračunavanja

$$P=2P_{0}p_{0}\varepsilon _{g}u_{2}a\frac{Y}{X}\frac{\exp \left[-2u_{2}a\left(\frac{h}{a}-1\right)\right]}{1-\left(\frac{u_{2}a}{u_{1}a}\right)^{2}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}}, \tag{29}$$

gde je $P_{0}=\sqrt{{\varepsilon _{0}}/{\mu _{0}}}\frac{U^{2}}{a}$ [W/m] prirodni normalizacioni faktor formule, primećujemo da uobičajeni formalni prelazak u kvazistatiku pomoću limesa $p_{0}\to 0$ dovodi do $P\to 0$, bez nedoumica koje smo gore opisali. Za $h>a$, a pod tom pretpostavkom izraz jedino i vredi, snaga je konačna za sve talasne dužine.

Novi numerički pristup

Dakle, ako želimo da uprostimo izraze, u izračunavanjima snage talasa potrebno je zadržati bar neke elemente pune talasne teorije. U tom smislu, mi smo razvili postupak prevođenja disperzione relacije u eksplicitni oblik pri čemu se ostvaruje izvanrendna tačnost, uprošćavaju računi a prevazilaze se nedostaci kvazistatičke aproksimacije. Radi se o jednom iteracionom postupku u kojem je kvazistatički aproksimant tek početno, nulto, rešenje disperzione relacije. Postupak brzo konvergira i već prva aproksimacija znatno proširuje opseg primene kvazistatike. O detaljima s tim u vezi govorićemo više na drugim mestima, u narednim poglavljima, kada budemo rešavali komplikovanije eksitacione konfiguracije (up. glava VII). Ovde samo navedimo, primera radi, izraze za prvu i drugu aproksimaciju:

$$Y_{1}=f(X,f_{k}(X)), \tag{30}$$ $$Y_{2}=f(X,f(X,f_{k}(X))). \tag{31}$$

Funkcije f i fk definisane su relacijama (26) i (27). Kao polazno, nulto rešenje vrlo dobro može da služe i neke druge proste funkcije, na primer aproksimacija formirana u skladu sa konceptom ekvivalentnog dielektrika [32]. Metodom fiksne tačke lako se verifikuje dosezanje unapred zadate tačnosti (današnji PC paketi, kao što je kompleks programâ Mathematica, sadrže razvijene algoritme u punom skladu sa našom idejom). Primenom formule (31), ili viših aproksimanata kad je potrebno, znatno se olakšavaju softverske manipulacije i izračunavanja su brža a postupci pregledniji. Na opisani način su i vršene rečene intervencije na slici 3.

*

DODATAK

Uopštena Goubauova teorema

Snažan podstrek izučavanju površinskih talasa, naročito u teorijskom pogledu, u drugoj polovini veka dao je Goubau u svom klasičnom radu [68]. Tamo je pokazano da su površinski talasi regularna komponenta potpunih rešenja eksitacionih problema na površinskim talasovodima i da totalno polje može da se podeli na površinske talase i dodatno polje; ove komponente polja pritom zadovoljavaju određene relacije ortogonalnosti; vođeni talasi i radijaciono polje u potpunosti su separabilni entiteti. Amplituda površinskog talasa, po Goubau, nezavisno od konkretne varijante eksitacije i vrste antenskog sistema, može da se odredi i bez celovitog tretmana ukupnog eksitacionog problema. Ovo zapažanje, koje je osnov Goubauove teoreme, iskorišćeno je za zasnivanje važne formule pomoću koje se izračunava amplituda površinskog talasa. Da pojasnimo Goubauov rezultat, pozovimo se na sliku D1.

Slika D1. Uz pojašnjenje Goubauove teoreme; jednostavni antenski sistem u središnjoj ravni emituje talase na jednu i drugu stranu, duž reaktivne vođice u vakuumu; prema originalnom crtežu, ref. [68]

Slika prikazuje cilindričnu reaktivnu strukturu u vakuumu. Antenski sistem (konkretno: dipol, ali to može biti i bilo koji drugi izvor visokofrekventne snage), lociran u središnjoj ravni ($z=0$) generiše elektromagnetsko polje. Vođeni talas (ili ceo diskretan niz mogućih komponenti), kao jedna elektromagnetska celina, prostire se duž oba smera ose $z$, na jednu i drugu stranu od izvora zračenja. Amplituda određenog tipa talasa, za oba smera prostiranja, u Goubaovoj notaciji [68] može se izračunati pomoću izraza

$$\vec{a} \tag{D1}$$

Vidi se da ova relacija ne sadrži radijaciono polje; $P$ je električni momenat dipola, a N snaga talasa jedinične amplitude. Rezultat vredi i za bilo koji drugi izvor snage. Nama je pogodno da Goubauov izraz navedemo, sledeći ref. [43], u obliku koji će kasnije biti prirodan za tretman eksitacije pomoću slot antene:

$A=\frac{\int E_{i}E_{t}dS}{\int E_{t}^{2}dS}.$ (D1^’^ )

Integraljenje se ovde vrši po površini (beskonačne) središnje ravni sa distribuiranim izvorima zračenja; jačina električnog polja $E_{t}$ je transverzalna funkcija u izrazima za komponente vektora jačina polja površinskog talasa u odgovarajućem mediju, a $E_{i}$ je jačina eksternog (nametnutog) polja koje je generisano antenskim naponom.

U ovakvom obliku, Goubauova formula pogodna je jedino za slučaj (cilindrične ili ravne) vođice u vakuumu ili u homogenom dielektriku. Rezultat je generalisao B. A. Aničin za slučaj nehomogenog dielektrika i slojevitih struktura [26]. Suštinu uopštenja razmotrićemo uz pomoć skice na slici D2.

I ovde je antena (na primer, slot antena) locirana u središnjoj ravni. Površinski talas emituje se kako u pozitivnom, tako i u negativnom smeru ose $z$, koja je osa simetrije posmatrane strukture. Ovog puta, međutim, oko vođice postoji dielektrik čija permitivnost može zavisiti od radijalne koordinate $\rho$, tj. dopušta se da bude $\varepsilon =\varepsilon \left(\rho \right)$. Pomoću omotača $S_{+}$ i $S_{-}$ , “košuljice” za izolaciju antene, te ravni $z=Z_{+}$ i $z=Z_{-}$ formirane su zatvorene površine $S_{\pm }$ (saosni cilindri poluprečnika $R$) po kojima ćemo integraliti primenjujući Lorentzovu teoremu reciprociteta [122]

$$\int\limits_{S} \left[\overrightarrow{E^{a}}\times \overrightarrow{H^{b}}-\overrightarrow{E^{b}}\times \overrightarrow{H^{a}}\right]\cdot \overrightarrow{n}dS=0. \tag{D2}$$

Polja $\vec{E}^{a},\vec{H}$ i $\vec{E}^{b},\vec{H}$ su dva moguća rešenja Maxwellovih jednačina.

Slika D2. Uz izvođenje uopštene Goubauove teoreme na aksijalno-simeričnoj elektromagnetskoj strukturi; antenski sistem u centralnoj ravni $z=0$ ; reaktivna cilindrična vođica okružena nehomogenim dielektrikom; kroz domen $D_{+}$ prostire se površinski talas u pozitivnom smeru $z$ ose; kroz domen $D_{-}$ prostire se površinski talas u negativnom smeru $z$ ose; domeni ograničeni cilindričnim omotačima $S_{+}$ i $S_{-}$ poluprečnika $R$ i visina $Z_{+}$ i $Z_{-}$.

Ovakav oblik teoreme je primenljiv kad dopustimo da je razmatrani domen praktično neograničen (da su i visina i poluprečnik cilindra ogromni), te elektromagnetsko polje na vrlo velikim udaljenostima poprimi karakter polja zračenja. U duhu teoreme, smatraćemo da odsustvuju eventualni nelinearni efekti povezani sa zavisnošću permitivnosti od jačine električnog polja (što je za jonizovane sredine potrebno naglasiti) i da je sistem izotropan (na primer, ne pretpostavlja se postojanje stalnog magnetskog polja u plazmi).

Pretpostavimo da je b-komponenta polja upravo aksijalno-simetrični površinski talas sa vektorima

$$\begin{aligned}\overrightarrow{H^{b}}=H\overrightarrow{e_{\phi }}, \\ \\ \overrightarrow{E^{b}}=E_{\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+E_{z}\overrightarrow{e_{z}}.\end{aligned} \tag{D3}$$

Veličine $H$, $E_{\rho }$ i $E_{z}$ zavise od koordinata $\rho$ i $z$ ; vektori $\overrightarrow{e_{i}}$ su ortovi osa cilindričnog sistema. Ostatak polja reprezentovan je vektorima

$$\begin{aligned}\overrightarrow{H^{a}}=H_{\rho }^{a}\overrightarrow{e_{\rho }}+H_{\phi }^{a}\overrightarrow{e_{\phi }}+H_{z}^{a}\overrightarrow{e_{z}}, \\ \\ \overrightarrow{E^{a}}=E_{\rho }^{a}\overrightarrow{e_{\rho }}+E_{\phi }^{a}\overrightarrow{e_{\phi }}+E_{z}^{a}\overrightarrow{e_{z}}.\end{aligned} \tag{D4}$$

Sada ćemo se baviti poljem u prvom domenu. Za prvi vektorski proizvod integranda, jed. (D2), neposredno nalazimo

$$\overrightarrow{E^{a}}\times \overrightarrow{H^{b}}=-E_{z}^{a}H\overrightarrow{e_{\rho }}+E_{\rho }^{a}H\overrightarrow{e_{z}}. \tag{D5}$$

Imajući u vidu spoljnu normalu na ravni $z=0$, tj. $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{e_{z}}$, izračunavamo skalarni proizvod

$$\left(\overrightarrow{E^{a}}\times \overrightarrow{H^{b}}\right)\cdot \overrightarrow{n}=-E_{\rho }^{a}H. \tag{D6}$$

Na sličan način nalazimo vrednost i drugog člana u integrandu:

$$\overrightarrow{E^{b}}\times \overrightarrow{H^{a}}=-E_{z}H_{\phi }^{a}\overrightarrow{e_{\rho }}-(E_{\rho }H_{z}^{a}-E_{z}H_{\rho }^{a})\overrightarrow{e_{\phi }}+E_{\rho }H_{\phi }^{a}\overrightarrow{e_{z}}, \tag{D7}$$

posle čega sledi

$$\left(\overrightarrow{E^{b}}\times \overrightarrow{H^{a}}\right)\cdot \overrightarrow{n}=-E_{\rho }H_{\phi }^{a}. \tag{D8}$$

Pomoću smena (D6) i (D8) u (D2) nalazimo

$$\int\limits_{z=0} \left(-E_{\rho }^{a}H+E_{\rho }H_{\phi }^{a}\right)dS=0. \tag{D9}$$

Napišimo radijalnu komponentu električnog polja površinskog talasa u separiranom obliku

$$E_{\rho }=AE_{t}\left(\rho \right)e^{-i\beta z}. \tag{D10}$$

Ovde je A amplituda talasa koju treba odrediti. Iz Maxwellovih jednačina jednostavno se dobija i izraz za jačinu magnetskog polja:

$$H=Y_{\to }\left(\rho \right)AE_{t}\left(\rho \right)e^{-i\beta z}, \tag{D11}$$

gde je $Y_{\to }\left(\rho \right)$ površinska admitansa

$$Y_{\to }\left(\rho \right)=\frac{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon \left(\rho \right)}{\beta }. \tag{D12}$$

Polja se menjaju po prostoperiodičnom zakonu vremena; $\omega$ je kružna učestanost, a $\beta$ talasni broj površinskog talasa; $\varepsilon _{0}$ je električna konstanta.

Primetimo sad da se može staviti

$$\begin{aligned}E_{\rho }^{a}=E_{\rho }+E_{\rho }^{R}, \\ \\ H_{\phi }^{a}=H+H_{\phi }^{R}.\end{aligned} \tag{D13}$$

(Ukupno polje jednako je zbiru polja površinskog talasa i radijacionog polja.) Veličine $E_{\rho }^{R}$ i $H_{\phi }^{R}$ reprezentuju radijaciono polje. Pomoću ovih smena transformišimo integrad u jed.(D9). Stiže se do relacije

$$\int\limits_{z=0} \left[E_{t}\left(\rho \right)H_{\phi }^{R}-Y_{\to }\left(\rho \right)E_{t}\left(\rho \right)E_{\rho }^{R}\right]dS=0. \tag{D14}$$

Za talas koji se prostire duž negativnog smera $z$ ose, ponavljajući opisani tretman u drugom domenu, dobijamo slično:

$$\int\limits_{z=0} \left[E_{t}\left(\rho \right)H_{\phi }^{R}-Y_{\leftarrow }\left(\rho \right)E_{t}\left(\rho \right)E_{\rho }^{R}\right]dS=0. \tag{D15}$$

Ovde je $Y_{\leftarrow }\left(\rho \right)=-Y_{\to }\left(\rho \right)$. Kad od jednačine (D14) oduzmemo jednačinu (D15) dobijamo

$$\int\limits_{z=0} \frac{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon (\rho )}{\beta }E_{t}(\rho )E_{\rho }^{R}dS=0. \tag{D16}$$

Kako je u antenskoj ravni očito zadovoljena relacija

$$E_{\rho }^{a}\left(z=0\right)=E_{\rho }\left(z=0\right)+E_{\rho }^{R}\left(z=0\right), \tag{D17}$$

važiće

$$E_{\rho }^{R}\left(z=0\right)=E_{\rho }^{a}\left(z=0\right)-AE_{t}\left(\rho \right). \tag{D18}$$

Ali je $E_{\rho }^{a}\left(z=0\right)\equiv E_{i}\left(\rho \right)$ , eksterno, nametnuto električno polje pobude. Tako, kad jed. (D18) zamenimo u jed. (D16) nalazimo

$$A=\frac{\int \varepsilon \left(\rho \right)E_{i}E_{t}dS}{\int \varepsilon \left(\rho \right)E_{t}^{2}dS}. \tag{D19}$$

Ovo je uopštena Goubauova formula za amplitudu površinskog talasa. Ponovimo da je $E_{t}$ transverzalna funkcija u izrazu za radijalno električno polje površinskog talasa. Ako je sistem osno simetričan (najvažniji slučaj u praksi), onda je element površine $dS=2\pi \rho d\rho$. Integrali se po celoj ravni antenskog sistema. Razume se, kada je permitivnost konstantna, relacije (D1) i (D19) su identične. Međutim, primenom formule (D19) može se izračunati amplituda talasa i za složenije reaktivne strukture. Posebno je u praksi važno da ona omogućava analizu slojevitih struktura, kod kojih je permitivnost svakog sloja različita i (najčešće) konstantna. Na primer, mi ćemo u ovoj knjizi (četvrta glava) primeniti Goubauovu uopštenu formulu na slučaj eksitacije slot antenom površinskog talasa na cilindričnoj strukturi koja se sastoji od plazme u staklenoj cevi konačne debljine; tu se okolni dielektrik sastoji od dva sloja: staklene anvelope permitivnosti $\varepsilon _{g}$ i vazduha ($\varepsilon \approx 1$). Razume se, Goubauova uopštena formula može da se primeni i u tretmanu površinskih talasa na sloju plazme, u ravnoj konfiguraciji (koja je granični slučaj cilindričnog modela za koji smo ovde dali dokaz). Upravo takav slučaj analiziran je u drugoj glavi.

*

REZIME FORMULÂ, OZNAKÂ I SKRAĆENICÂ GLAVE II

$$\begin{aligned}H=A\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ H=A\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}\sinh (u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ H=-A\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)};ispodsloja\end{aligned} \tag{21}$$ $$\begin{aligned}E_{y}=-A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ E_{y}=-A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}sh(u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ E_{y}=A\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)};ispodsloja\end{aligned} \tag{19}$$ $$\begin{aligned}E_{z}=A\frac{u_{2}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (-u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)},iznadsloja \\ \\ E_{z}=-A\frac{u_{1}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}\frac{\exp (-u_{2}a)}{\sinh (u_{1}a)}\cosh (u_{1}y)e^{i(\omega t-\beta z)},usloju \\ \\ E_{z}=-A\frac{u_{2}}{i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\exp (u_{2}y)e^{i(\omega t-\beta z)}.ispodsloja\end{aligned} \tag{20}$$ $$A=\frac{\int\limits_{z=0} \varepsilon (y)E_{i}(y)E_{t}(y)dS}{\int\limits_{z=0} \varepsilon (y)E_{t}^{2}dS}. \tag{11}$$ $$A=\frac{2Y_{0}U\varepsilon _{g}u_{2}\exp [-u_{2}(h-2a)]}{1-\left(\frac{u_{2}}{u_{1}}\right)^{2}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}}. \tag{18}$$ $$\begin{aligned}u_{1}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}}, \\ \\ u_{2}=\sqrt{\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}}.\end{aligned} \tag{8}$$ $$P=\frac{1}{2}A^{2}\frac{\beta a}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\frac{\exp (-2u_{2}a)}{u_{2}a}\left[1-\frac{u_{2}^{2}}{u_{1}^{2}}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}\right]. \tag{23}$$ $$P=2P_{0}p_{0}\varepsilon _{g}u_{2}a\frac{Y}{X}\frac{\exp \left[-2u_{2}a\left(\frac{h}{a}-1\right)\right]}{1-\left(\frac{u_{2}a}{u_{1}a}\right)^{2}\frac{\sinh (2u_{1}a)-2u_{1}a}{\sinh (2u_{1}a)}}. \tag{29}$$

$P_{0}=\sqrt{\frac{\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}\frac{U^{2}}{a}\left[\frac{W}{m}\right]$ , $p_{0}=\frac{\omega _{p}a}{c_{0}}$ , $X=\beta a$, $Y=\frac{\omega }{\omega _{p}}$ .

$$\frac{\varepsilon _{g}}{u_{2}a}=-\frac{\varepsilon _{p}}{u_{1}a}\tanh (u_{1}a). \tag{17}$$ $$Y=\left(\sqrt{1+\varepsilon _{g}\frac{\sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}{\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{g}}}\coth \sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}\right)^{-1}. \tag{26}$$ $$Y=\left[1+\varepsilon _{g}\coth (X)\right]^{-0.5}. \tag{27}$$

$u_{1}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{p}}$; $u_{2}a=\sqrt{X^{2}-Y^{2}p_{0}^{2}\varepsilon _{g}}$ .

$$\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}=1-\frac{1}{Y^{2}}.$$

***