Glava I: Eksitacija površinskih talasa na razdvojnoj površini plazma/dielektrik

G L A V A I

EKSITACIJA POVRŠINSKIH TALASA NA

RAZDVOJNOJ POVRŠINI PLAZMA/DIELEKTRIK

Uvod

Na jednostavnoj strukturi kao što je poluprostor plazme mogu se pregledno i uspešno obrazložiti osnovne postavke teorije eksitacije površinskih talasa i dobiti relativno proste formule koje omogućavaju brz uvid u bazične fizičke mehanizme formiranja radijacione, evanescentne i vođene komponente ukupnog elektro-magnetskog polja. Zbog toga je korisno da na početku rešimo eksitacioni problem skiciran na slici 1. Idealni i homogeni klasični dielektrik u gornjem poluprostoru dodiruje se u horizontalnoj ravni sa donjim poluprostorom, koji je ispunjem homogenom i hladnom plazmom tretiranom kao nekonvencijalni dielektrik sa mogućom negativnom permitivnošću. Elektromagnetsko polje se pobuđuje slot antenom (vertikalni, ravni metalni list, sa uskim horizontalnim prorezom koji se napaja visokofrekventnim naponom); kao što će biti pokazano, slot antena je i jednostavan i efikasan emiter površinskih talasa; s druge strane, ona može poslužiti kao približan model realnih emitera površinskih talasa u mnogim eksperimentalnim situacijama [17].

Slika 1. Transmisioni sistem površinskog talasa: reaktivna ravna površina na kontaktu hladne plazme (dole) sa idealnim dielektrikom (gore); slot antena (metalni list u ravni $z=0$) napaja se iz visokofrekventnog generatora naponom amplitude $U$; horizontalni uski prorez je na visini $R$ od reaktivne površine $\left(x,z\right)$; analizirani površinski talas se prostire duž pozitivnog smera ose $z$; šematski su prikazane i komponente polja talasa (up. [15]).

Metod rešavanja sistema Maxwellovih jednačina u ovakvoj konfiguraciji nalazimo kod Cullena [55]; u tom danas klasičnom tekstu autor je tretirao talase na korugiranim površinama i reaktivnim vođicama kakve su metalne podloge sa dielektričnim oblogama (klasične reaktivne površine). Takav postupak je primenio Aničin [15] analizirajući nekonvencijalne reaktivne vođice tipa ravne površine na kontaktu plazma/vakuum. Ovde ćemo pratiti njegovu proceduru, sa izuzetkom činjenice što ćemo umesto vakuuma pretpostaviti postojanje klasičnog dielektrika permitivnosti $\varepsilon _{g}$ kao sredine u kontaktu sa poluprostorom hladne i homogene plazme. Postupak predviđa sledeće bitne korake. Antena se aproksimira kao linijski izvor, te se napon na slotu (procepu) antene reprezentuje delta funkcijom (fiktivne) magnetske struje. Onda se primenjuje Fourierova analiza i dobijaju se izrazi za nehomogene talase uzrokovane nizom monohromatskih komponenti pobude. Na kraju se kroz sintezu Fourierovih komponenti formiraju integralni izrazi i traže asimptotske forme ukupnog elektromagnetskog polja; prva daje, daleko od antene, ali uz razdvojnu reaktivnu površinu, površinski talas i radijaciono polje, a druga daje radijaciono polje i ukupnu izračenu snagu.

Talasna jednačina

Pođimo od Maxwellovih jednačina u obliku koji je efikasan za naš problem [122]

$$rot\overrightarrow{H}=\varepsilon _{0}\varepsilon \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}, \tag{1}$$ $$rot\overrightarrow{E}=-\mu _{0}\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}-\overrightarrow{J}_{m}. \tag{2}$$

Potražimo rešenja koja se odnose na prostoperiodični zakon vremena, pretpostavljajući u gornjim jednačinama faktor $\exp \left(i\omega t\right)$, gde je $\omega$ kružna učestanost date monohromatske komponente polja. Permitivnost $\varepsilon$ ima vrednost $\varepsilon _{g}$ u oblasti $y>0$ (homogeni dielektrik bez gubitaka) i jednaka je $\varepsilon _{p}=1-\frac{\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}$ u poluprostoru $y<0$ (homogena, hladna plazma bez gubitaka [125]). Kao što je poznato, $\omega _{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}$ je kružna plazmena učestanost ($n$ - koncentracija slobodnih elektrona u plazmi; $e$ - naelektrisanje elektrona; $m$ - masa mirovanja elektrona; $\varepsilon _{0}$ - električna konstanta). Gustina magnetske struje $\overrightarrow{J}_{m}$ ima samo komponentu koja je paralelna razdvojnoj površini i može se opisati pomoću delta-funkcije:

$$J_{mx}=U\delta (y-R)\delta (z). \tag{3}$$

Ovde je $U$ amplituda naizmeničnog napona kružne učestanosti $\omega$, koji napaja slot antenu. Pod učinjenim pretpostavkama, iz jed. (1) i (2) dobijamo talasnu jednačinu za jačinu magnetskog polja:

$$\frac{\partial ^{2}H}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}H}{\partial z^{2}}+k_{0}^{2}\varepsilon H=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (y-R)\delta (z). \tag{4}$$

Talasni broj $k_{0}$ u slobodnom prostoru definisan je na uobičajen način relacijom

$$k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}}, \tag{5}$$

gde je $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ brzina svetlosti u vakuumu; ($\mu _{0}$ je magnetska konstanta).

Fourierova transformacija

Parcijalnu diferencijalnu jednačinu (4) rešavaćemo metodom Fourierove transformacije tražeći zavisnost od transverzalne koordinate za svaki prostorni harmonik polja. Budući da je tražena Fourierova slika jačine magnetskog polja $h(y,\zeta )=$ $\left\{H(y,z)\right\}$ data izrazom

$$h(y,\zeta )=\int\limits_{-\infty }^{+\infty } H(y,z)e^{i\zeta z}dz, \tag{6}$$

iz jednačine (4) dobijamo zahtevanom integracijom (6) običnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda

$$\frac{d^{2}h}{dy^{2}}-u^{2}h=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon U\delta (y-R), \tag{7}$$

gde je transverzalni talasni broj u definisan vezom $u^{2}=\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon$. Za poluprostor ispunjen plazmom (tamo ne postoje izvori zračenja) odavde sledi jednačina

$$\frac{d^{2}h}{dy^{2}}=u_{1}^{2}h, \tag{8}$$

u kojoj figuriše odgovarajući talasni broj $u_{1}=\sqrt{\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}}$. S druge strane, za poluprostor sa konvencionalnim dielektrikom, tj. u oblasti $y>0$, jednačinu (7) treba pisati uz smenu $u\equiv u_{2}=\sqrt{\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{g}}$, te je

$\frac{d^{2}h}{dy^{2}}=u_{2}^{2}h+i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U\delta (y-R).$ (9)

Dalje ćemo se baviti rešavanjem jednačina (8) i (9) što je povezano sa poznavanjem graničnih uslova zadatka.

Granični uslovi

Jednačine tipa (8) i (9) možemo tretirati na poznati način [42], [107]: prvo se reši pripadajuća homogena jednačina, onda se primeni granični uslov

$$\left.\frac{dh}{dy}\right|_{\begin{aligned}iznad \\ proreza\end{aligned}}-\left.\frac{dh}{dy}\right|_{\begin{aligned}ispod \\ proreza\end{aligned}}=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U, \tag{10}$$

koji je u ovom pristupu ekvivalentan graničnom uslovu za jačinu električnog polja na razdvojnoj površini sa električnom strujom. Polazeći od jed. (8) i (9) pišemo rešenja za Fourierove slike magnetskog polja:

$$h=A\exp (u_{1}y),y<0 \tag{11}$$ $$h=B\exp (-u_{2}y)+C\exp (u_{2}y),0<y<R \tag{12}$$ $$h=D\exp (-u_{2}y),y>R. \tag{13}$$

Tako, uslov (10) se sada svodi na relaciju

$$-Du_{2}\exp (-u_{2}R)+Bu_{2}\exp (-u_{2}R)-Cu_{2}\exp (u_{2}R)=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U. \tag{14}$$

Na razdvojnoj površini plazme i dielektrika, zahtev neprekidnosti funkcije $h$ dovodi do graničnog uslova

$$A=B+C. \tag{15}$$

Komponenta električnog polja koja je paralelna razdvojnoj površini povezana je sa izvodom magnetskog polja, $-i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{z}={\partial H}/{\partial y,}$ pa za odgovarajuću Furijeovu sliku te komponente polja dobijamo

z =$\frac{i}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon }\frac{dh}{dy}.$ (16)

Granični uslov koji zahteva da je tangencijalna komponenta vektora jačine električnog polja na površini $y=0$ neprekidna daje odmah relaciju

$$u{}_{1}\varepsilon _{g}A=u_{2}\varepsilon _{p}\left(C-B\right). \tag{17}$$

Na kraju, veličina $h\left(y\right)$ treba da bude kontinualna funkcija i na nivou $y=R$, što daje uslov

$$B\exp (-u_{2}R)+C\exp (u_{2}R)=D\exp (-u_{2}R). \tag{18}$$

Jednačine (14), (15), (17) i (18) obezbeđuju sistem od četiri nezavisne jednačine, što je dovoljno da se odrede nepoznate integracione konstante A, B, C i D. Prvo se bez teškoća uviđa da je

$$C=-\frac{i}{2}\frac{\omega \varepsilon _{0}}{u_{2}}\varepsilon _{g}\exp (-u_{2}R)U. \tag{19}$$

Pomoću ovog rezultata dobijamo i izraze za ostale konstante:

$$B=\frac{u_{2}\varepsilon _{p}-u_{1}\varepsilon _{g}}{u_{2}\varepsilon _{p}+u_{1}\varepsilon _{g}}C, \tag{20}$$ $$D=\left(\frac{u_{2}\varepsilon _{p}-u_{1}\varepsilon _{g}}{u_{2}\varepsilon _{p}+u_{1}\varepsilon _{g}}+\exp (u_{2}R)\right)C, \tag{21}$$ $$A=\left(\frac{u_{2}\varepsilon _{p}-u_{1}\varepsilon _{g}}{u_{2}\varepsilon _{p}+u_{1}\varepsilon _{g}}+1\right)C. \tag{22}$$

Pošto su ovim definisane integracione konstante, prelazimo na postupak određivanja strukture polja.

Inverzna Fourierova transformacija

Na početku, formiraćemo integralni izraz za jačinu magnetskog polja, pomoću inverzne Fourierove transformacije

$$H=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty } he^{-i\zeta z}dz. \tag{23}$$

Zamene dovode do sledećih rezultata za polja u raznim oblastima:

a) za $y>R$:

$$\frac{H}{H_{0}}=-iYp\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left(\exp (u_{2}R)+\frac{u_{2}+g}{u_{2}-g}\exp (-u_{2}R)\right)\frac{\exp (-u_{2}y)}{u_{2}}e^{-i\zeta z}d\zeta ,$$

(24)

b) za $0\le y<R$:

$$\frac{H}{H_{0}}=-iYp\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left(\exp (u_{2}y)+\frac{u_{2}+g}{u_{2}-g}\exp (-u_{2}y)\right)\frac{\exp (-u_{2}R)}{u_{2}}e^{-i\zeta z}d\zeta ,$$

(25)

c) za $y<0$:

$$\frac{H}{H_{0}}=-iYp\int\limits_{-\infty }^{+\infty } \left(1+\frac{u_{2}+g}{u_{2}-g}\right)\frac{\exp (u_{1}y-u_{2}R)}{u_{2}}e^{-i\zeta z}d\zeta . \tag{26}$$

U ovim izrazima smisao oznaka je sledeći: $Y={\omega }/{\omega _{p}}$, $p={\omega _{p}R}/{c}$; $c={c_{0}}/{\sqrt{\varepsilon _{g}}}$ predstavlja brzinu svetlosti u staklu, dok je

$$H_{0}=\frac{1}{4\pi }\sqrt{\frac{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}{\mu _{0}}}\frac{U}{R}. \tag{27}$$

Ova veličina je za razmatranu konfiguraciju karakteristično magnetsko polje koje se može uspešno upotrebiti kao normalizacioni faktor. Uvedena je i skraćenica

$$g=-\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}u_{1}=\frac{\varepsilon _{g}}{\left|\varepsilon _{p}\right|}\sqrt{\zeta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{p}}. \tag{28}$$

Bitne informacije o procesu eksitacije površinskog talasa, kao i o njegovim osobinama, dobijamo analizom integralnog izraza za $H(0\le y<R,z)$. Napišimo tu funkciju, jed. (25), u obliku $H=-ipYH_{0}I$ ; ovde je

$$I=\int\limits_{-\infty }^{+\infty } f(\zeta )d\zeta \tag{29}$$

nesvojstveni integral od funkcije oblika

$$f(\zeta )=\left(\exp (u_{2}y)+\frac{u_{2}+g}{u_{2}-g}\exp (-u_{2}y)\right)\frac{\exp (-u_{2}R)}{u_{2}}e^{-i\zeta z}. \tag{30}$$

Vidi se da integrand, koji sadrži u drugom članu imenilac $u_{2}-g$, ima dva pola koja ćemo obeležiti sa $\zeta =\pm \beta$(eksplicitne izraze odložimo za kasnije) i četiri kritička singulariteta: $\zeta =\pm k$ i $\zeta =\pm k_{p}$, pri čemu se oznake odnose na talasni

Slika 2. Zatvorena integraciona kontura u kompleksnoj $\zeta$ ravni za tretiranje krivolinijskog integrala (31); pol prvog reda leži u konturi; dva zaseka izoluju odgovarajuće kritičke singularitete; kontura koja startuje duž realne ose zatvara se polukružnim segmentima ispod realne ose, u skladu sa potrebom da se posmatra površinski talas duž pozitivnog smera ose z ; prema [15].

broj u dielektriku, $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}=\omega \sqrt{\mu _{0}\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}$ i talasni broj u jonizovanoj sredini, $k_{p}=k_{0}\sqrt{\varepsilon _{p}}=\omega \sqrt{\mu _{0}\varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}$. Glavnu vrednost integrala nalazimo rešavajući krivolinijski integral

$$\int\limits_{C} f(\zeta )d\zeta \tag{31}$$

duž zatvorene konture C (v. sliku 2) koja se sastoji od segmenta C0 (realna osa), polukruga C1-C5-C8 poluprečnika $r$, te delova C2-C4 (zasek od tačke $k$) i C6-C7 (zasek od tačke $-k_{p}$). Kada se poluprečnik $r$ beskonačno uvećava, prema Cauchyevoj teoremi o ostacima, uz zadovoljenje radijacionog uslova u beskonačnosti, nalazimo

$$I=2\pi i\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{\zeta \to \beta }f(\zeta )-\int\limits_{C_{2}+C_{4}} f(\zeta )d\zeta -\int\limits_{C_{6}+C_{7}} f(\zeta )d\zeta . \tag{32}$$

Integracija duž zaseka koji startuje od tačke $\zeta =k$ daje radijaciono i evanescentno polje. Integracija duž zaseka koji startuje od tačke $\zeta =-k_{p}$ specifična je za plazmu kao reaktivnu strukturu i daje evanescentno polje. Ovde se nećemo baviti izračunavanjima ovih integrala, već odmah idemo na glavni predmet našeg interesovanja, površinski talas. Zainteresovani čitalac naći će za dva integrala iz jed. (32) uputstva za rešavanje kao i konačne rezultate u radu [15].

Kontribucija pola

Izračunavanje rezidijuma u singularitetu $\zeta =\beta$, koji je pol prvog reda, daje veličinu proporcionalnu amplitudi površinskog talasa koji se prostire u pozitivnom smeru $z$ ose; dakle, jačina magnetskog polja vođenog talasa sledi iz izraza [94]

$$H=2\pi i(-i)pYH_{0}\mathop{\lim }\limits_{\zeta \to \beta }\left[(\zeta -\beta )f(\zeta )\right]. \tag{33}$$

Odavde dobijamo

$$H=2\pi H_{0}pY\frac{u_{2}+g}{\Delta }\frac{\exp [-u_{2}(y+R)]}{u_{2}}e^{-i\beta z}, \tag{34}$$

gde je uvedena oznaka $\Delta$, sa definicijom

$\Delta =\frac{\partial }{\partial \zeta }$ $\left[u_{2}(\zeta )-g(\zeta )\right]_{\zeta =\beta }.$ (35)

Bez teškoća se može izračunati da je

$$\Delta =\frac{\beta }{u_{2}}+\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\beta }{u_{1}}. \tag{36}$$

Kasnije ćemo videti da jednačina $\Delta =0$ opisuje disperziona svojstva sredine u odnosu na površinski talas. Zadržavajući formalno stare oznake, u gornjem izrazu (34) figurišu ovi transverzalni talasni brojevi:

$$u_{1}\equiv u_{1}(\beta )=\sqrt{\beta ^{2}-k_{p}^{2}}, \tag{37}$$ $$u_{2}\equiv u_{2}(\beta )=\sqrt{\beta ^{2}-k^{2}}. \tag{38}$$

Sada možemo, smenom (36) u (34), dobiti traženu formulu za jačinu magnetskog polja u površinskom talasu lansiranom slot antenom nad poluprostorom plazme, za $0\le y<R$:

$$H=2\pi H_{0}pY\frac{\frac{u_{2}}{\beta }-\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{u_{1}}{\beta }}{1+\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{u_{2}}{u_{1}}}\exp [-u_{2}(y+R)]e^{-i\beta z}. \tag{39}$$

Realni pol podintegralne funkcije bio je određen jednačinom $u_{2}-g=0$ koju je lako svesti na oblik

$$1+\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{u_{2}}{u_{1}}=0 \tag{40}$$

Ova jednačina povezuje učestanost $f={\omega }/{2\pi }$ sa talasnom dužinom $\lambda ={2\pi }/{\beta }$ površinskog talasa i naziva se disperziona relacija. Nju je moguće izraziti i na sledeći način:

$$\beta =k\sqrt{\frac{\varepsilon _{p}}{\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g}}}. \tag{41}$$

Pošto postoji takva zavisnost u razmatranom površinskom talasu, lako je pokazati da se transverzalni talasni brojevi mogu svesti na oblik:

$$u_{1}=\frac{k_{0}\left|\varepsilon _{p}\right|}{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}, \tag{42}$$ $$u_{2}=\frac{k_{0}\varepsilon _{g}}{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}. \tag{43}$$

Ovo nam omogućava da jed. (39) definitivno zapišemo u vidu

$$H=4\pi H_{0}pY\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}(y+R)]e^{-i\beta z}. \tag{44}$$

Moguće je pokazati (analognom analizom koja polazi od formule (24)) da, u stvari, ovaj izraz važi i u oblasti $y>R$. Što se tiče jačine magnetskog polja u plazmi, valja razmatrati inverznu Fourierovu transformaciju, jed. (26). Sličnim postupcima kao i pri gornjim izračunavanjima, dobijamo formulu koja važi u oblasti $y<0$:

$$H=4\pi H_{0}pY\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}R+u_{1}y]e^{-i\beta z}. \tag{45}$$

Transverzalnu komponentu električnog polja možemo odrediti posredstvom jed. (1). Bez teškoća dobijamo rezultate:

$$E_{y}(y<0,z)=-\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{p}}H(y<0,z), \tag{46}$$ $$E_{y}(y>0,z)=-\frac{\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}H(y>0,z). \tag{47}$$

Ovim smo završili deo računa koji se bavi nalaženjem komponenata polja površinskog talasa; u rezimeu formula, na kraju ove glave daćemo i sve izraze za jačine električnog i magnetskog polja, da budu čitaocu na raspolaganju u preglednoj formi i na jednom mestu.

Snaga površinskog talasa

Pređimo sada na izračunavanje snage površinskog talasa. Primenimo metod Poyntingovog vektora. Izraz

$$\overrightarrow{G}=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H^{*}} \tag{48}$$

predstavlja kompleksni Poyntingov vektor. Srednja vrednost Poyntingovog vektora jednaka je realnom delu gornjeg izraza, $\overrightarrow{G}_{sr}=\operatorname{Re}(\overrightarrow{G})$. Prema tome, snagu površinskog talasa izračunavaćemo primenom formule

$$P=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\left[\int\limits_{S} (\overrightarrow{E_{y}}\times \overrightarrow{H^{*}})\cdot d\overrightarrow{S}\right]. \tag{49}$$

Odavde, za deo snage (po jedinici dužine talasnog fronta) koja struji u pozitivnom smeru $z$ ose, poluprostorom iznad plazme, nalazimo

$$P_{\uparrow }=-\frac{1}{2}\frac{-\beta }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}\int\limits_{0}^{\infty } \left|H\right|^{2}dy. \tag{50}$$

Stavljajući pod integral vrednost za jačinu magnetskog polja iz jed. (44), dobijamo

$$P_{\uparrow }=P_{0}pY\frac{\beta }{u_{2}}\Xi ^{2}\exp (-2u_{2}R), \tag{51}$$

gde je $P_{0}=4\pi ^{2}R\sqrt{{\mu _{0}}/{(\varepsilon _{0}\varepsilon _{g})}}H_{0}^{2}$; takođe, upotrebili smo skraćenicu

$$\Xi =\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}\left[\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1\right]^{-1}. \tag{52}$$

Normalizovane parametre $p$ i $Y$ ranije smo definisali. Analognim postupkom dolazimo do izraza za snagu koja struji kroz plazmu:

$$P_{\downarrow }=P_{0}pY\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\frac{\beta }{u_{1}}\Xi ^{2}\exp (-2u_{2}R). \tag{53}$$

Ukupnu snagu površinskog talasa nalazimo sada kao zbir dve izračunate komponente, $P=P_{\uparrow }+P_{\downarrow }$, što daje

$$P=P_{0}kR\Xi \exp (-2u_{2}R). \tag{54}$$

Eksitacija je proces koji je malo efektivan kako za vrlo velike, tako i za vrlo male talasne dužine vođenog talasa. Postoji izvesna optimalna kombinacija parametara za koju je efikasnost eksitacije maksimalna. Položaj maksimuma snage može se odrediti iz gornjeg izraza uobičajenim matematičkim postupcima. Pokazuje se da za datu permitivnost plazme maksimum pada na mesto za koje je relativna visina slota određena relacijom

$$k_{0}R\sqrt{\varepsilon _{g}}=\frac{1}{2}\frac{(\nu ^{2}+3)\sqrt{\nu -1}}{\nu (\nu +1)}. \tag{55}$$

U ovom izrazu figuriše skraćenica $\nu =-{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}$. Da bismo nacrtali grafik snage u funkciji od učestanosti, najpraktičnije je jed. (54) napisati u obliku

$$P(Y)=P_{0}Yp\Xi \exp (-2Yp\Lambda ), \tag{56}$$

gde je $\Lambda ={\sqrt{\varepsilon _{g}}}/{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}$. Kako je $\varepsilon _{p}=1-{1}/{Y^{2}}$, vidimo da je snaga funkcija normalizovane učestanosti, za datu vrednost parametra $p$, koji je mera plazmene gustine u studiranoj konfiguraciji. Na slici 3 prikazana je snaga talasa u funkciji normalizovane učestanosti, za tri vrednosti parametra gustine. Maksimum krive pada blizu asimptotske učestanosti (v. dole (59)); uzeli smo da je permitivnost stakla $\varepsilon _{g}=4.8$ te je $Y_{as}\approx 0.415$. Kada parametar gustine raste, položaj maksimuma neznatno se približava koordinatnom početku, postaje sve manji a kriva sve šira.

Slika 3. Normalizovana snaga P/P0 površinskog talasa lansiranog slot antenom nad plazmenim poluprostorom u funkciji od normalizovane učestanosti Y, za tri vrednosti parametra elektronske gustine p : 0.5, 0.75 i 1.0 (odozgo naniže, u maksimumu); permitivnost stakla 4.8 ; po jed. (56).

Na slici 4(a) data je normalizovana snaga u funkciji apsolutne vrednosti normalizovane permitivnosti plazme, za jednu vrednost parametra gustine; kriva brzo dostiže izražen maksimum za apscisu nešto veću od jedinice, a potom vidimo monoton pad snage kada raste permitivnost plazme. Na kraju, slika 4(b) prikazuje položaj maksimuma snage za razne vrednosti apsolutne normalizovane plazmene permitivnosti; na početku se položaj naglo menja, da bi nagib krive postao znatno manji za apscise veće od 1.5 .

Slika 4. a) Normalizovana snaga u funkciji od apsolutne vrednosti količnika permitivnosti plazme i dielektrika, za p = 0.5 ; po jed. (54); b) zavisnost normalizovane visine slota od apsolutne vrednosti količnika permitivnosti plazme i dielektrika, u maksimumu snage površinskog talasa; po jed. (55)

Numerička obrada rezultata u skladu sa našim jednačinama nije moguća bez preciznog uputstva za inkorporaciju disperzione veze učestanosti sa talasnim brojem. Zato ćemo u narednom odeljku dati nužna pojašnjenja u vezi sa disperzionim osobenostima površinskog talasa.

Disperziona relacija

Ako pođemo od jed. (41) i uvedemo normalizovani talasni broj $X=\beta R$, disperzionu relaciju možemo da svedemo na oblik

$$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{\sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}{\sqrt{X^{2}-Y^{2}p^{2}}}\right)^{-\frac{1}{2}} \tag{57}$$

u kojem figuriše, pored ranije navedenih oznaka, i oznaka $p_{0}={p}/{\sqrt{\varepsilon _{g}}}$; formula je pogodna za tretman metodom fiksne tačke koji ćemo u narednim poglavljima dosta eksploatisati kod komplikovanijih relacija. Ovde je, naravno, reč o relativno prostoj formuli (57) koju je, najčešće, celishodno analizirati kao inverznu zavisnost:

$$X=p_{0}Y\sqrt{Y_{as}^{-2}-1}\sqrt{\frac{1-Y^{-2}}{Y_{as}^{-2}-Y^{-2}}}. \tag{58}$$

Poslužili smo se izrazom za asimptotu disperzione relazije površinskog talasa

$$Y_{as}=\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon _{g}}}. \tag{59}$$

Na slici 5 prikazani su grafici dobijeni izračunavanjima na bazi jed. (58); krive prikazuju zavisnost normalizovanog talasnog broja od normalizovane učestanosti, za tri vrednosti parametra gustine p (0.1, 0.5 i 1.0), za plazmeni poluprostor u kontaktu sa vakuumom; krive imaju sličan trend, ali je precizno uračunavanje plazmene gustine neophodno za tačnije analize.

Slika 5. Disperzione krive za površinski talas lansiran na plazmenom poluprostoru; inverzna prezentacija: normalizovani talasni broj X u funkciji normalizovane učestanosti Y, za kontakt plazme i vakuuma, za tri posebne vrednosti parametra elektronske gustine p : 0.1, 0.5 i 1.0 (odozdo naviše); po jed. (58).

Na slici 6 vidimo grafike koji su dobijeni aproksimativnim tretmanom, po jed. (57); krive predstavljaju zavisnost normalizovane kružne učestanosti od normalizovanog talasnog broja vođenog talasa, za jednu vrednost plazmene gustine i tri vrednosti permitivnosti stakla.

Slika 6. Disperzione krive za površinski talas lansiran na plazmenom poluprostoru; normalizovana učestanost u funkciji normalizovanog talasnog broja, za jednu posebnu vrednost parametra elektronske gustine p=0.3 i tri vrednosti permitivnosti dielektrika: 1, 3 i 5; po jed. (57), metodom fiksne tačke.

Radijaciono polje

Sada ćemo potražiti ukupnu snagu koju u prostor emituje slot antena; u tu svrhu ocenimo prvo asimptotsku strukturu radijacionog polja metodom stacionarne faze. Kao što je dobro poznato [44], integral tipa

$I(q)=\int G(\zeta )\exp [iqf_{1}(\zeta )]d\zeta$ (60

ima ovakvo približno asimptotsko rešenje, za velike vrednosti parametra q:

$$I(k)\approx \sqrt{-\frac{\pi }{2f''}}G(\zeta _{0})\frac{\exp [iqf_{1}(\zeta _{0})]}{\sqrt{q}}e^{-i\frac{\pi }{4}}. \tag{61}$$

Da bismo ovu proceduru primenili na naš integral, jed. (24), stavimo formalno

$$G(\zeta )\equiv \frac{1}{u_{2}}\left[\exp (u_{2}R)+\frac{u_{2}+g}{u_{2}-g}\exp (-u_{2}R)\right], \tag{62}$$ $$f_{1}(\zeta )\equiv \frac{\zeta z}{k_{0}r}-i\frac{u_{2}y}{k_{0}r}, \tag{63}$$

kao i $q\equiv k_{0}r$. Uvedimo sada polarni ugao $\vartheta$ koji nam dopušta smene pogodne za dalju matematičku obradu naših izraza; stavimo da je $y=r\sin \vartheta$ i $z=r\cos \vartheta$. Izjednačavajući prvi izvod sa nulom, nalazimo stacionarne tačke funkcije $f_{1}(\zeta )$; tako dobijamo sledeći rezultat

$$\zeta _{0}=\pm k_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}\cos \vartheta . \tag{64}$$

Pri tom je

$$f_{1}(\zeta _{0})=\sqrt{\varepsilon _{g}}. \tag{65}$$

Istovremeno nalazimo i veličinu drugog izvoda u toj tački

$$f''_{1}(\zeta _{0})=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{g}}k_{0}^{2}\sin ^{2}\vartheta }, \tag{66}$$

a neposrednom zamenom dobijamo

$$u_{2}(\zeta _{0})=ik_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}\sin \vartheta , \tag{67}$$

kao i

$$g(\zeta _{0})=-\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}k_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}\sqrt{\cos ^{2}\vartheta -\frac{\varepsilon _{p}}{\varepsilon _{g}}}. \tag{68}$$

Prema jed. (62) formirajmo i izraz za $G(\zeta _{0})$:

$$G(\zeta _{0})=\exp (ik_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}R\sin \vartheta )+\frac{u_{2}(\zeta _{0})+g(\zeta _{0})}{u_{2}(\zeta _{0})-g(\zeta _{0})}\exp (ik_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}R\sin \vartheta ). \tag{69}$$

Na kraju dobijamo magnetsku komponentu radijacionog polja u vidu

$$H^{(R)}=\sqrt{2\pi }\frac{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{g}U}{4\pi }G(\zeta _{0})\frac{\exp [-i(kr-{\pi }/{4})]}{\sqrt{k_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}r}}, \tag{70}$$ $$H^{(R)}=\sqrt{2\pi }pYH_{0}G(\zeta _{0})\frac{\exp [-i(k_{0}\sqrt{\varepsilon _{g}}r-{\pi }/{4})]}{\sqrt{kr}}. \tag{71}$$

Ovaj je izraz potpuno određen, u svetlu gore već objašnjenih oznaka, dok je $r^{2}=z^{2}+y^{2}$; ovim su učinjene neophodne pripreme da se proceni snaga zračenja naše antene na posmatranom medijumu.

Snaga zračenja

Nađimo sada izraz za snagu zračenja u radijacionom polju. Radijaciona komponenta jačine električnog polja iznosi

$E^{(R)}=\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}H^{(R)}.$ (72) Realna komponenta Poyntingovog vektora je onda jednaka

Realna komponenta Poyntingovog vektora je onda jednaka

$$G^{(R)}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}\left|H^{(R)}\right|^{2}. \tag{73}$$

Snaga radijacionog polja (po jedinici dužine talasnog fronta) dobija se integracijom gornjeg izraza po odgovarajućoj površini:

$$P^{(R)}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}\int\limits_{0}^{\pi /2} \left|H^{(R)}\right|^{2}rd\vartheta . \tag{74}$$

Rezultat se može prikazati u obliku

$$P^{(R)}=P_{0}^{(R)}\int\limits_{0}^{\pi /2} \left|G(\zeta _{0})\right|^{2}d\vartheta . \tag{75}$$

Ovde je normalizacioni faktor

$$P_{0}^{(R)}\equiv \frac{1}{16\pi }\sqrt{\frac{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}{\mu _{0}}}kU^{2}=\frac{1}{4\pi }pYP_{0}. \tag{76}$$

Jednostavnim, mada ne i kratkim, matematičkim transformacijama može se potkorena veličina dovesti na oblik

$$\left|G(\zeta _{0})\right|^{2}=4F^{2}(\vartheta ), \tag{77}$$

gde je

$$F^{2}(\vartheta )=\frac{\left(\nu ^{-1}\sqrt{\cos ^{2}\vartheta -\nu }\sin \vartheta _{k}+\sin \vartheta \cos \vartheta _{k}\right)^{2}}{\nu ^{-2}\left(\cos ^{2}\vartheta -\nu \right)+\sin ^{2}\vartheta }. \tag{78}$$

Na slici 7 prikazan je dijagram zračenja, za slot praktično lociran na reaktivnoj površini ($kR\approx 0$); nacrtane su tri krive (za razne vrednosti normalizovane permitivnosti plazme) zavisnosti veličine $F$ od ugla $\vartheta$ .

Slika 7. Dijagram zračenja slot antene nad ravnim plazmenim poluprostorom; normalizovana visina slota kR=0; parametar je količnik permitivnosti plazme i dielektrika i ima apsolutne vrednosti 1, 5 i 10 (odozdo naviše); prema jed. (78).

Slično, na slici 8 vidimo dijagram koji važi za slučaj $kR=1$; tri krive reprezentuju tri posebne vrednosti permitivnosti plazme.

Slika 8. Dijagram zračenja slot antene nad ravnim plazmenim poluprostorom; normalizovana visina slota kR=1; parametar je količnik permitivnosti plazme i dielektrika i ima apsolutne vrednosti 1, 5 i 10 (odozdo naviše); prema jed. (78).

Na slici 9 date su krive za četiri vrednosti normalizovane visine slota, sve pri jednoj istoj gustini plazme.

Slika 9. Dijagram zračenja slot antene nad ravnim plazmenim poluprostorom; normalizovana visina slota, redom: kR = 0, 0.5, 1.0 i 1.5 (odozgo naniže); količnik permitivnosti plazme i dielektrika je parametar i ima apsolutnu vrednost 10 ; po jednačini (78)

U jed. (78) je $\vartheta _{k}=kR\sin \vartheta$ ; konačni izraz za snagu može se zapisati u obliku

$$P^{(R)}=4P_{0}^{(R)}\int\limits_{0}^{\pi /2} \frac{\left(\nu ^{-1}\sqrt{\cos ^{2}\vartheta -\nu }\sin \vartheta _{k}+\sin \vartheta \cos \vartheta _{k}\right)^{2}}{\nu ^{-2}\left(\cos ^{2}\vartheta -\nu \right)+\sin ^{2}\vartheta }d\vartheta . \tag{79}$$

Ovim smo kompletirali informacije potrebne za analizu, uslovno rečeno, koeficijenta korisnog dejstva slot antene nad plazmenim poluprostorom.

Efikasnost eksitacije

Veličina koju zovemo efikasnost eksitacije definiše se kao količnik snage površinskog talasa i ukupne izračene snage. U formulu

$$\eta =\frac{P}{P+P^{(R)}} \tag{80}$$

potrebno je uvrstiti odgovarajuće izraze za snage, jed. (54) i (79), što daje

$$\eta =\left[1+\frac{\exp (2pY\Lambda )}{\pi }\Xi ^{-1}\int\limits_{0}^{\pi /2} F^{2}(\vartheta )d\vartheta \right]^{-1}. \tag{81}$$

Ovde su upotrebljene skraćenice i oznake koje objašnjavaju i relaciju (56). Napominjemo da se integral u gornjoj formuli može rešiti metodama kompleksne analize; taj rezultat ovde ne navodimo, a može se naći u radu [15]. Na slici 10 date su dve krive efikasnosti eksitacije; za kR=0 efikasnost eksitacije opada sa porastom modula permitivnosti plazme; za slot nad površinom, efikasnost eksitacije prvo naglo raste, onda prelazi u blago izražen maksimum i potom u velikom opsegu permitivnosti zadržava visok nivo.

Slika 10. Efikasnost eksitacije površinskog talasa slot antenom nad ravnom površinom plazmenog poluprostora u funkciji od apsolutne vrednosti količnika permitivnosti plazme i dielektrika, za dve vrednosti normalizovane visine slota kR: 0 (levo) i 1.5 (desno); prema jed. (81)

Slika 11. Efikasnost eksitacije u funkciji od normalizovane visine slota, za apsolutnu vrednost količnika permitivnosti plazme i dielektrika jednaku 10 ; prema jed. (81).

Na slici 11 vidimo krivu efikasnosti eksitacije u funkciji normalizovane visine slota, za jednu vrednost gustine plazme; karakterističan je visok nivo efikasne eksitacije, kao i širok maksimum; maksimum je posledica minimiziranja radijacione snage za taj posebni nivo slota, kada su ispunjeni uslovi za destruktivnu interferencija direktnih i reflektovanih talasa.

Formula (81) je dosta komplikovana; nešto transparentnija formula za efikasnost eksitacije dobija se u posebnom slučaju male visine slota, tj. za $kR\approx 0$. Ako je taj uslov zadovoljen, integrand se redukuje i postaje

$$F^{2}(\vartheta )=\frac{\sin ^{2}(\vartheta )}{a\sin ^{2}(\vartheta )-b}, \tag{82}$$

sa oznakama $a=1-{1}/{\nu ^{2}}$ i $b={1}/{\nu }-{1}/{\nu ^{2}}$. Integral u granicama od nule do ${\pi }/{2}$ iznosi

$$J=\frac{\pi }{2a}\left(1-\sqrt{\frac{1}{-\nu }}\right). \tag{83}$$

Efikasnost eksitacije je onda, kako sledi posle zamena naših izraza u jed. (81),

$$\eta _{kR=0}=\left[1+\frac{1}{2}\left(\sqrt{\left|\nu \right|}-1\right)\right]^{-1}. \tag{84}$$

U zaključku naglasimo da se površinski talas, evidentno, može uspešno lansirati i tako jednostavnom eksitacionom strukturom kao što je slot antena. To istovremeno znači da i mnoge antene koje su samo modifikacija ili imitacija prostog uređaja koji je nama ovde bio teorijski model izvora zračenja mogu na zadovoljavajući način biti iskorišćene u opitu. Ovom su se činjenicom izdašno služili eksperimentatori u studijama osobina površinskih talasa [15], [96]. Efikasnost eksitacije slot antenom je visoka u širokom opsegu permitivnosti plazme. Površinski talas uvek je praćen i dodatnim formama zračenja; bez radijacione komponente sam površinski talas ne može zadovoljiti granične uslove na lončeru. Takođe, postoji efekat minimuma radijacionog polja za određenu visinu slota, talasnu dužinu površinskog talasa i plazmenu učestanost; optimalna visina se može proračunati i eksperimentalno verifikovati i nju su istraživači naslućivali još u ranim radovima o problemima eksitacije [55]; što se tiče plazmenog poluprostora, pokazano je [15] da se minimizacija radijacionog polja blizu vođice postiže pri uslovu $kR$~${\omega _{p}}/{\omega }$).

*

REZIME FORMULÂ, OZNAKÂ I SKRAĆENICÂ GLAVE I

$$H\left(y>0,z\right)=4\pi H_{0}pY\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}(y+R)]e^{-i\beta z}, \tag{44}$$ $$E_{z}\left(y>0,z\right)=-iu_{2}U\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}(y+R)]e^{-i\beta z},$$ $$E_{y}\left(y>0,z\right)=-\beta U\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}(y+R)]e^{-i\beta z}.$$ $$H\left(y<0,z\right)=4\pi H_{0}pY\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}R+u_{1}y]e^{-i\beta z}, \tag{45}$$ $$E_{z}\left(y<0,z\right)=i\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}u_{1}U\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}R+u_{1}y]e^{-i\beta z},$$ $$E_{y}\left(y<0,z\right)=-\frac{\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{p}}\beta U\frac{\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}}{\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1}\exp [-u_{2}R+u_{1}y]e^{-i\beta z}.$$

$u_{1}=\frac{k_{0}\left|\varepsilon _{p}\right|}{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}$, $u_{2}=\frac{k_{0}\varepsilon _{g}}{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}$, $H_{0}=\frac{1}{4\pi }\sqrt{\frac{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}{\mu _{0}}}\frac{U}{R}.$

$Y=\frac{\omega }{\omega _{p}}$, $X=\beta R$, $\varepsilon _{p}=1-\frac{1}{Y^{2}}$, $p=\frac{\omega _{p}R}{c}$, $p_{0}=\frac{\omega _{p}R}{c_{0}}$.

$k_{0}=\frac{\omega }{c_{0}},$ $k=\frac{\omega }{c},$ $c=\frac{c_{0}}{\sqrt{\varepsilon _{g}}}$, $c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$, $Y_{as}=\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon _{g}}}.$

$$X=p_{0}Y\sqrt{Y_{as}^{-2}-1}\sqrt{\frac{1-Y^{-2}}{Y_{as}^{-2}-Y^{-2}}}. \tag{58}$$ $$Y=\left(1+\varepsilon _{g}\frac{\sqrt{X^{2}+p_{0}^{2}(1-Y^{2})}}{\sqrt{X^{2}-Y^{2}p^{2}}}\right)^{-\frac{1}{2}}. \tag{57}$$ $$P=P_{0}kR\Xi \exp (-2u_{2}R). \tag{54}$$

$\Xi =\left|{\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right|^{{3}/{2}}\left[\left({\varepsilon _{p}}/{\varepsilon _{g}}\right)^{2}-1\right]^{-1}$, $P_{0}=4\pi ^{2}R\sqrt{\frac{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}}H_{0}^{2}$.

$$P^{(R)}=4P_{0}^{(R)}\int\limits_{0}^{\pi /2} \frac{\left(\nu ^{-1}\sqrt{\cos ^{2}\vartheta -\nu }\sin \vartheta _{k}+\sin \vartheta \cos \vartheta _{k}\right)^{2}}{\nu ^{-2}\left(\cos ^{2}\vartheta -\nu \right)+\sin ^{2}\vartheta }d\vartheta . \tag{79}$$

$P_{0}^{(R)}\equiv \frac{1}{16\pi }\sqrt{\frac{\varepsilon _{0}\varepsilon _{g}}{\mu _{0}}}kU^{2}=\frac{1}{4\pi }pYP_{0}$, $\nu =\frac{\varepsilon _{p}}{\varepsilon _{g}}$.

$$\eta =\left[1+\frac{\exp (2pY\Lambda )}{\pi }\Xi ^{-1}\int\limits_{0}^{\pi /2} F^{2}(\vartheta )d\vartheta \right]^{-1}. \tag{81}$$ $$F^{2}(\vartheta )=\frac{\left(\nu ^{-1}\sqrt{\cos ^{2}\vartheta -\nu }\sin \vartheta _{k}+\sin \vartheta \cos \vartheta _{k}\right)^{2}}{\nu ^{-2}\left(\cos ^{2}\vartheta -\nu \right)+\sin ^{2}\vartheta }. \tag{78}$$ $$\Lambda =\frac{\sqrt{\varepsilon _{g}}}{\sqrt{-(\varepsilon _{p}+\varepsilon _{g})}}.$$

***