Говор сенки у школској физици

Пензионисани професор универзитета, ПМФ Крагујевац

Апстракт. Нова знања у науци и напредне технологије захтевају да се повремено поново посете старе теме из физике. Овде анализирамо два занимљива примера из оптике. Такође, дајемо наставницима неколико инструкција које могу бити корисне у настави.

УВОД

Нема сумње, школска физика је образовна потреба и елеменат културе једног друштва. Поред сазнајних, осмишљава и одређене естетске и етичке потребе. Из тога следи да школску физику треба неговати. Повремено је неопходно преиспитивати наставу физике: осветљавати битне теме на модернији начин. Нека разматрања захтевају нов помолак (не-очекивани, простран и свеж видик). Та активност мора се чинити, тако нам изгледа, са једном врстом веселости — коју школска физика не сме да затури ни под притиском тешкоћа којих увек има.

Простор и време нам допуштају да мало шире дотакнемо два примера: како годину да меримо… правоуглим троуглом; и како је Ремер био на трагу Доплеровог ефекта. Потом, кратко ћемо посетити неколико других помолака, који су освежени духом нашег дигиталног доба. Предложили смо и један експериментални задатак, примерен захтевима креативности у школској физици.

СЕНКА НА ЗЕМЉИ

Потражимо основну једначину за осунчаност наше планете Сунцем. Модел који разматрамо дат је на СЛИЦИ 1. У тачки Т на површини Земље забоден је вертикални штап висине $h$ и он баца сенку дужине $d$ на хоризонталну раван. Дужина и правац сенке се мења у току дана због дневне ротације Земље око $z$ осе. Мења се наравно и због Земљине револуције.

Показани координатни систем је десни картезијански систем чији је почетак у центру Земље. Фундаментална раван је екваторијална раван. Примарни правац који припада x-оси усмерен је ка тачки поднева; y-оса је $90^{\text{o}}$ према истоку у фундаменталној равни. Оса $z$ је нормална на ову раван, усмерена ка Северном полу.

СЛИКА 1 Мала хоризонтална платформа на Земљи у јутарњим часовима ведрог дана

Означили смо са $\vec{s}$ јединични вектор правца Сунце-Земља. Нека је још $\vec{n}$ јединични вектор штапа. Сунчев угао $\alpha$ потпуно је одређен са ова два орта. Угаона брзина Земљине ротације је $\omega$. Слика се односи на моменат времена $t=\beta /\omega$, где је $\beta$ одговарајући часовни угао — у поноћ на Гриничу је $\beta =0$. Даље, нека је $\vec{k}$ орт $z$ осе. Угао између ове осе и сунчевих зрака означили смо са $\gamma$. Касније ћемо одредити овај угао за дату ширину и дан у години. Запишимо пројекције вектора $\vec{s}$ и $\vec{n}$; оне су, редом: $\vec{s}=\left[\sin \gamma ,0,\cos \gamma \right]$ и $\vec{n}=\left[-\cos \varphi \cos \omega t,-\cos \varphi \sin \omega t,\sin \varphi \right]$.

Косинус сунчевог угла онда следи из скаларног производа

$$\cos \alpha =\vec{n}\cdot \vec{s}=\cos \gamma \sin \varphi -\sin \gamma \cos \varphi \cos \beta \tag{1}$$

Углови $\varphi$ и $\beta$ су задате величине у датој локацији за дато време дана. Одредимо сад непознати угао $\gamma$. Послужимо се дијаграмом са СЛИКЕ 2.

СЛИКА 2. Тренутна позиција Земље на орбити око Сунца

Положај Земље Е на орбити око Сунца С дат је у десном правоугаоном хелиоцентричном еклиптичком координатном систему: почетак је у центру Сунца, раван еклиптике је фундаментална раван, $\xi$ оса (примарни правац) усмерена је према тачки зимског солстиција, $\eta$ оса је $90^{0}$ према истоку у фундаменталној равни, а $\zeta$ оса је нормална на раван и усмерена ка северном еклиптичком полу. Угао $\gamma$ може да се одреди као функција два друга угла, $\varepsilon$ и $\nu$. Први је нагиб Земљине осе ротације (угао између оса $z$ и $\zeta$). Други је такозвана права аномалија, параметар који дефинише тренутни положај Земље на елиптичној путањи око Сунца. Компоненте ортова $\vec{s}$ и $\vec{k}$ у систему $\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ су: $\vec{s}=\left[-\cos \nu ,-\sin \nu ,0\right]$, $\vec{k}=\left[\sin \varepsilon ,0,\cos \varepsilon \right]$. Скаларни производ ова два вектора даје по дефиницији косинус траженог угла $\gamma$:

$$\vec{s}\cdot \vec{k}=\cos \gamma =-\sin \varepsilon \cos \nu. \tag{2}$$

У првој апроксимацији (Земља једнолико кружи око Сунца) ставићемо

$$\nu \approx \Omega \tau \tag{3}$$

Угаону брзину револуције $\Omega$ практично је мерити у степенима по дану, па је $\tau$ онда број дана од почетка године. Тако, добили смо две основне једначине које ћемо због удобности посматрања сад написати заједно:

$$\cos \alpha =\cos \gamma \sin \varphi -\sin \gamma \cos \varphi \cos \beta \tag{4.1}$$ $$\cos \gamma =-\sin \varepsilon \cos \Omega \tau \tag{4.2}$$

Помоћу њих је могуће анализирати дневне и годишње варијације осветљености Земље Сунцем. Ми ћемо се овде бавити само једном, али вредном последицом; описаћемо мерење наше године.

Прва једначина (4.1), мерењем у тачно подне (кад је $\beta =\pi /2$) , даје угао $\alpha$

$$\alpha =\varphi +\left(\gamma -\pi /2\right). \tag{5}$$

Ugao $\gamma$ тражимо из друге основне формуле (4.2). Сад приметимо да је $\Omega =2\pi /T$ Овде $T$ означава период обиласка Земље око Сунца, година дана. Нагнутост Земљине осе према еклиптици (СЛИКА 2) износи у нашој епохи $\varepsilon =23.4^{0}$. Око равнодневица ($\nu \sim \pm \,\pi /2$), употребљива је линеарна апроксимација

$$\gamma -\pi /2=-\sin \varepsilon \left(\Omega t-\pi /2\right). \tag{6}$$

Зато из релације (5) следи

$$\alpha =\varphi -\sin \varepsilon \left(\Omega t-\pi /2\right). \tag{7}$$

Odavde налазимо брзину промене сунчевог угла $\alpha$:

$$\frac{d\alpha }{dt}=-\Omega \sin \varepsilon. \tag{8}$$

За угаону брзину Земље на орбити добијамо израз

$$\Omega =-\frac{1}{\sin \varepsilon }\frac{d\alpha }{dt}. \tag{9}$$

Извод угла $\alpha$ по времену се може одредити експериментално. Мерења показују да је солидан линеарни апроксимант $\alpha =a-bt$, те би тражени извод био $-b$. Зато је период обиласка Земље око Сунца, односно трајање године

$$T=\frac{2\pi \sin \varepsilon }{b}. \tag{10}$$

Унесимо овде податак за нашу планету $\sin \varepsilon =0.397$, pa ће бити $T=2.495/b$. Ако коефицијент правца праве линије изразимо у степенима по дану, добијемо ову формулу за трајање Земљине године:

$$T=\frac{143}{b}. \tag{11}$$

Чим измеримо коефицијент $b$, број степени за један дан, израчунавамо и број дана у години. Колико знамо, ова проста, лепа формула није до сада забележена и употребљавана у иначе опсежној литератури која се „таложи” ево већ столећима.

Тестирали смо нашу формулу (11) пре две године [1], током ведрих мартовских дана 2014. Бележили смо дужину сенке у тачно подне у Београду помоћу правоуглог $\varphi -$ троугла (један његов угао једнак је географској ширини места). Експериментални подаци приказани су на СЛИЦИ 3 као тачке, заједно са пуном линијом која представља ток подневног сунчевог угла из дана у дан:

СЛИКА 3. Тест линеарности подневног сунчаног угла (за координате тачака в. ТАБЕЛУ). Годишњи ток криве приказан је у инсерту и назначен кругом посматрани део

Пажљива систематска мерења почели смо већ крајем фебруара. Податке смо узимали све до краја марта. Пролеће 2014. рано је почело и имали смо срећом дуг низ ведрих дана. Заиста, у том периоду опадао је сунчев угао монотоно. Уверили смо се, међутим: одлична линеарна секција постојала је у интервалу од првог до двадесет шестог марта. Подаци баш за овај интервал унети су у ТАБЕЛУ:

ТАБЕЛА: Сунчев угао по датумима (линеарни део графика)

Београд, Србија ($\varphi =44.82^{\circ}N$)
грегоријански датум	01.03	09.03	12.03	13.03	14.03	26.03
ератостенов датум	69	77	80	81	82	94
сунчев угао ($^{\circ}$)	52,4	49,27	48,13	47,78	47,33	42,6

Најбољи апроксимант за ових шест тачака је сегмент $\alpha =a-b\tau$ са коефицијентима $a=79.4648$ степени и $b=0.39188$ степени за дан. Тако смо нашли оно $b$ које треба унети у нашу једначину (11). То нас је довело до резултатa

$$T=\frac{143}{0.39188}=364.9\;\text{дана}. \tag{12}$$

Нема сумње, успешан резултат. (Нисмо се шалили кад смо обећали да меримо годину троуглом.). Грешка мерења је испод једног процента, али тријумфа код нас није било: могуће да смо, приступајући овом послу, били под утицајем „срећне звезде” (као што је то био и сам Ератостен кад је добио изузетно тачан резултат, под неповољним околностима и са слабо дефинисаним параметрима, за обим наше планете). Било како му драго, оригинална формула (11) за годину нека буде наш homage јединственом научном постигнућу овог древног мудраца.

СЕНКА ИЗА ЈУПИТЕРА

Прво мерење брзине светлости предузео је (око) 1676. Ремер, дански астроном. Он је посматрао ротирање Јупитеровог сателита Ио око матичне планете. Бележио је тренутке уласка и изласка сателита у Јупитерову сенку. Тако је установио да је време између два узастопна уласка (или изласка), а то је период кружења $T$, приближно једнако 42,5 часа. Занимњива астрономска појава!

Уочимо Земљу на њеној орбити око Сунца (СЛИКА 4) у тачки H, кад је најближа Јупитеру J. Кружећи око Сунца Земља се потом све више удаљава од Јупитера, доспевајући у L и даље у K. На том путу све више касни очекивани излазак сателита у тачки D из сенке U. После неког времена $\tau$ Земља је близу тачке Е. За то време је Ио извршио $N$ обилазака око Јупитера. Ремер је приметио да у новом положају Земље (тачка Е) посматрани излазак сателита Ио касни у односу на израчунати тренутак за интервал времена $\Delta T=\tau -NT$.

СЛИКА 4. Скица из старих рукописа: шема окултације сателита Ио (лево). Уз извођење доплеровске формуле за Ремеров метод (десно)

Логично је претпоставити да је ово кашњење последица додатног простирања светлости коначном брзином $c$ дуж пречника еклиптике $d=\text{HE}$. То значи да треба узети да је $d=c\Delta T$. Тако је Ремер добио формулу за брзину светлости у облику:

$$c=\frac{d}{\tau -NT}. \tag{11}$$

Сам Ремер није својом руком израчунао број за $c$. (Он је само измерио $\Delta T\approx 22$ минута.) То су урадили други после Ремера. Тих година се мислило да је пречник Земљине орбите (двострука астрономска јединица) једнак 280 милиона километара. Тиме се помоћу претпоставке (11) долази до бројке за брзину светлости: 212 хиљада километара за секунд. Ова вредност је мања од данас прихваћене вредности скоро за трећину. То није битно. Ремер је својим мерењем направио значајан научни напредак: Аргументе је изнео да је брзина светлости коначна, и огромна.

Сад: интерпретираћемо Ремерова мерења с тачке гледишта Доплеровог ефекта! Приметимо да је кретање сателита Ио периодично; зато је и његово улажење у Јупитерову сенку, као и излажење из ње, такође периодичан процес. Осветљеност Иоа, како ту осветљеност региструјемо на Земљи као функцију од времена, формира један низ скоро правоугаоних импулса. Време успостављања импулса (реда величине неколико секунди), одређено је величином сателита. Учестаност овог периодичног процеса је доплеровски померена због кретања пријемника на Земљи; детектована учестаност виша је од средње вредности током оног дела године кад се Земља приближава Јупитеру (лук путање EFGH), а мања је од средње вредности током другог дела године (лук путање HLKE), док је једнака средњој вредности у областима око тачака H и E (СЛИКА 4), кад је брзина Земље нормална на правац Земља-Јупитер. Овде је $v$ периферијска брзина Земље, 30 km/s, док је $\left(v\;\text{sin}\theta \right)$ компонента брзине пријемника дуж линије посматрања. На истој слици десно дефинисан је угао $\theta$; упрошћено узимамо да је линија посматрања према сателиту Ио паралелна линији Сунце-Јупитер и сматрамо да Јупитер практично мирује док се изводе мерења. (Видећемо да су те претпоставке основане.) Сад изводимо формулу:

Неки *m-*ти догађај (свитање сателита у тачки D, или заладак у P) дешава се у тренутку $t^{*}=mT$ и биће примећен на Земљи у каснијем тренутку $t=mT+s/c$, где је $s=s\left(t\right)$ растојање Земља-Јупитер. Функција може да се развије у ред, а ми ћемо задржати само два члана развоја, то јест писати $s=s\left(t\right)=s_{0}+tv\;\text{sin}\theta$. Апроксимација је добра током неколико (узастопних) дана године; $s_{0}$ је растојање Земља-Јупитер за $t=0$, $v\;\text{sin}\theta$ је промена растојања у јединици времена, а $t$ је довољно мали интервал времена такав да квадратични чланови у развоју постају неважни. Времена два хомологна догађаја (свитања, али и помрачења) дата су са

$$\begin{aligned}t_{m}=mT+s_{0}/c+t_{m}\left(v/c\right)\text{sin}\theta , \\ t_{m+1}=\left(m+1\right)T+s_{0}/c+t_{m+1}\left(v/c\right)\text{sin}\theta .\end{aligned}$$

Rазлика $t_{m+1}-t_{m}$ по дефиницији je период Иоа, како се он опажа са Земље, то јест ${T'}$, што даје за брзину светлости

$$c=v\,\,\text{sin}\theta \;{T'}/\left({T'}-T\right). \tag{12}$$

То је једначина за одређивање брзине светлости у вакууму, добијена помоћу доплеровске интерпретације Ремеровог метода. У принципу, за познати распоред планета може се измерити c за само 42.5 сата, узимајући $T$ из таблица. Главна нетачност долази због тајминга догађаја, који почива на субјективном суду и реакцији посматрача који активира штоперицу, и такође у извесном степену због атмосферских услова. Како догађај на граници сенке траје неколико секунди, вероватно је да се могу јавити грешке тог реда величине, па је зато пожељно мерити временски размак од пет до шест Иових периода, све за око недељу дана. Ово захтева увођење средње вредности за $\sin \theta$ у једначину (12). Узгред: једначина (12) је алгебарска, негативна вредност за $\sin \theta$ даје негативну вредност разлике ${T'}-T$, то јест једначина је валидна током целе године, како са опажањем излазака тако и са опажањем залазака.

У једном мерењу помоћу формуле (12) добили смо ${T'}=152901$ s. Био је месец септембар па смо могли ставити $\sin \theta \approx \sim -1$. Знајући да је $T=152916$ s и $v\,=30$ km/s, добили смо за брзину светлости у вакууму $c=3.05\text{x}10^{8}$ m/s. Нису све серије мерења биле овако добре (грешка мања од 2%), али то овде није занимљиво.

Осећамо да везу између Доплеровог ефекта и Ремеровог метода за одређивања брзине светлости треба чешће помињати. Наш је утисак да ово доприноси јасноћи излагања. Позитиван ефекат у обучавању настаје и из наше навике да изведемо цело знање из најмањег броја основних принципа. Класична формула (11) не може да се удобно интерпретира за времена мања од пола године. Наша једначина (12), насупрот томе, баш је прилагођена овом задатку: да мерења трају што краће и да се заврше у неком разумном року. Све то у духу захтева рационалне школске физике.

А сад, наша је обавеза и жеља да задамо и један „домаћи задатак”.

Звучник, непокретан у лабораторији, емитује звучни талас у ваздуху (СЛИКА 5). Талас детектујемо микрофоном М чији је електрични излаз спојен са осцилоскопом CRT. Микрофон се креће по кругу s периферијском брзином $v$. Примани талас има највећу учестаност када микрофон пролази кроз тачку A, а најмању у области C. (Шта треба очекивати око тачака B и D?). Промене учестаности свакако су последица Доплеровог ефекта. Можемо ли рећи да смо реализовали акустичку варијанту Доплеровог опита? Је ли изгледна непосредна анализа електричног сигнала, или су пожељни мање или више сложени детекциони електронски склопови? Шта се мења у исходу ако звучник и микрофон замене места? Ова и слична додатна питања су елементи тешкоћа и задовољстава истраживачког прегнућа.

Кад год примамо неки периодични сигнал покретним сензором очекујемо промене периода осциловања — био извор астрономски дублет Јупитер-Ио или обичан осцилатор звучних или ултразвучних таласа. Дубљи физички смисао Ремеровог астрономског метода треба тражити у Доплеровом ефекту који увек носи информацију о две брзине: брзини кретања $v$ и брзини таласа $c$. Ако је једна позната, друга се може одредити мерењем помераја, плавог или црвеног.

Толико о томе. Остатак текста резервишемо да кратко осветлимо још неколико помолака који би можда били интересантни за оне који размишљају о развоју школске физике, као креатори или конзументи.

СЛИКА 5. Акустичка аналогија Ремеровог мерења

ЗА ДАЉЕ ЧИТАЊЕ

Френелово сочиво [3]. Пред крај свог кратког живота бавио се Френел и градњом светионика. Била је то инжењерска активност коју је спонзорисала држава. Френелова решења и ту су била креативна, осмислио је сочива која су надживела уску намену пројекта — данас знамо за Френелово сочиво као што знамо за Френелову дифракцију, Френелове зоне и многе друге појмове из оптике, оправдано везане за његово име. На страну то, остаје једна суморна конотација - доказани аутор у физици није остао поштеђен од материјалних недаћа и егзистенцијалних проблема. Нама је остала оваква сатисфакција: горостас чија је мисао била и јесте истински светионик развоја оптике, завршио је као мајстор светионика. Чланак је помолак за младе и старије, за оптимисте и оне који баш и нису док учествују у оштрим тркама за пројекте, грантове и спонзоре.

Ка релативистичкој физици [4]. Мајкелсон-Морлијев опит рани је наговештај нецелисходности појма светлосног етра. Једна акустичка демонстрациона апаратура може да буде привлачна да се у школи ученицима приближи смисао „позитивног” исхода опита који се очекивао оних година. Конструисали смо ултразвучни интерферометар, објаснили принцип рада и начин употребе. Овакав, Лојдов интерферометар, открива главне тачке „теста етарског дрифта” са комплетном јасношћу, уз минималну сложеност апаратуре и са удобном манипулацијом.

Ротациони системи [5]. Да можете да детектује ротацију Земље помоћу конусног клатна, скоро је заборављена идеја. У нашој ери „сваштачинећих” телефона, Браваисова идеја је узбудљива. Она ставља акценат на школску физику као на радосни чин обнављања меморије науке. Исто, оплемењује естетски садржај природњачких знања. Опет, експеримент са Браваисовим клатном оставља нас замишљеним пред неколико нивоа поимања, које сами бирамо (факат ротације кугле, избор координатног система, ниво математичког модела). Помолак за учећу популацију на три нивоа; али и за мислеће јединке које привлачи смисао токова знања.

Нестабилности [6]. Хармонијски осцилатор у гравитационом, пољу као што је маса на опрузи, понекад изгуби латералну стабилност због параметарске резонанције. У раду се пријемчиво анализира опсег маса које дају нестабилност за сваку посебну амплитуду почетне вертикалне осцилације. Читалац може по жељи да стави акценат на који хоће ниво појаве (уживање у динамици опита; линеарни или нелинеарни опис појаве, графичко или аналитичко разумевање, и сл). Тег клатна изводи трајекторије у једном домену вертикалне равни; облик и величина путања зависе од почетних услова и укупне енергије клатна [7]. Помолак за ђаке, за студенте, за постдипломце.

Компјутерски експерименти [8]. Елементарне појмове вероватноће и статистике уводимо релативно рано у обавезне активности едукације у физици. Бацање новчића, на пример, могуће је већ у средњој школи заменити Буфоновом идејом бацања игала на хоризонталну подлогу са снопом паралелних линија. Чувено Лазаринијево настојање да лабораторијски одреди број $\pi$ могуће је данас организовати и као компјутерски експеримент. Фасцинантне су предности које су омогућене рачунарским иновацијама. Можемо се играти симулацијама бацања, на пример, педесет хиљада игала у педесет хиљада серија, а да тај опит не траје дуже од неколико минута. Једноставност и флексибилност овог новог приступа старој идеји оплемењују поимање појмова случајности појава, дистрибуције расподела, флуктуација процеса. Ово је помолак који разиграва машту на крилима нових електронско-рачунарских технологија. На изабраном нивоу примене, задовољство од ове активности је потпуно и за ученике, и за студенте и за искусне професионалце.

Трагови у песку. Препоручујемо пажњи читаоца и чланак [9]

Модел Земље. Лопта у дворишту школе, која симулира нашу планету, њене особености у простору; дивно учило за физику и астрономију, убедљив приказ у [10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Vukota Babović and Miloš Babović, Eur. J. Phys. 35, 35-47(2014). (рад сврстан у: Highlights of 2014 collection).

2. Babović, V M, Davidović, D M, Aničin, B A, American Journal of Physics, 59(6), 515-519(1991). (Овај чланак је ушао у ексклузивни избор вишегодишње продукције овог познатог часописа; видети AJP, 69(6), 635(2001)).

3. Aničin, B A, Babović, V M, Davidović, D M, Amer. J. Phys. 57(4), 312-316 (1989). (рад у колекцији: Memorable papers from the American Journal of Physics, 1933-1990; videti: Am. J. Phys. 59 (3), 201-207(1991).

4. Babović, V M, Aničin, B A, Davidović, D M, Physics Education, 24, 88-90 (1989).

5. Babović, V M and Mekić, S, Eur. J. Phys., 32 1077-1086 (2011). (рад сврстан у: Highlights of 2011 collection).

6. Aničin, B A, Davidović, D M and Babović, V M, Eur. J. Phys., 14, 132-135(1993).

7. Davidović, D M, Aničin, B A, Babović, V M, Amer. J. Phys., 64(3), 338-342(1996).

8. Babović, Miloš and Babović, Vukota Eur. J. Phys. 34, 715-728(2013).

9. Babović, Vukota and Babović, Miloš Physics Education, 49, 95-101(2014).

10. Božić, Mirjana and Ducloy, Martial Physics Education, 43, 165-172(2008).

Lighten and enlighten: Talk of shadows in school physics

Vukota Babović

Abstract: New knowledge in science as well as advance technologies often inspires us to revisit some old physics topics. Here we analyze two intricate examples in optics. Also, we give in short several instructions to teachers which could be valuable in their school activities.