Doplerovska interpretacija Remerovog metoda

Galileo Galilej, u svom slavnom delu „Discorsi” [1], bio je prvi koji je predložio metod za određivanje brzine svetlosti. Što je interesantnije , on je smatrao da je to moguće izvesti u eksperimentu, suprotno preovladajućem shvatanju tog doba koje se oslanjalo na autoritet Aristotela, koji se držao koncepta trenutnog prostiranja svetlosti.

Brzina svetlosti u vakuumu ulazi u matematičke formulacije mnogih fizičkih zakona i značajnih fizičkih teorija. Maksvelova teorija elektromagnetizma ustanovljava identitet svetlosti i elektromagnetskih talasa i povezuje brzinu svetlosti sa permitivnostima sredine. Specijalna teorija relativnosti, posredstvom Lorencovih transformacija, prihvata brzinu svetlosti kao najveću brzinu prenosa informacija u prirodi. Masa i energija su povezane pomoću kvadrata brzine svetlosti u slavnoj Ajnštajnovoj relaciji ekvivalencije. Kvantna elektrodinamika postulira nultu masu fotona, čime prihvata odsustvo disperzije svetlosti u vakuumu i fakt da je brzina svetlosti univerzalna konstanta.

Značaj ove konstante reflektuje se adekvatno u univerzitetskim kursevima optike. Po pravilu, jedno poglavlje je rezervisano da se opišu metodi merenja brzine svetlosti. Tradicionalno, metodi merenja se dele na astronomske i zemaljske. Među astronomskim metodima, Remerov metod je obavezno opisan [2].

Pojedini kursevi optike takođe sadrže opise praktičnih merenja, u obliku laboratorijskih priručnika. Ono što je bilo jedinstveno naučno dostignuće H L Fizoa pre nekih 130 godina može se danas reprodukovati u osrednje opremljenoj optičkoj laboratoriji. Moderni elektronski uređaji pomažu da se smanji put prostiranja svetlosti od nekoliko kilometara kod slavnog Francuza na nekih 20 m u modernom eksperimentalnom prostoru, čime se prevazilazi glavna teškoća merenja, bez gubitka jasnoće.

Astronomski Remerov metod retko se uključuje u optičke kurikulume. Ispostavlja se da su glavna ograničenja teškoće astronomskih merenja, koje valja provesti u roku od nekoliko meseci u večernjim časovima ili u cik zore, uz to trpeći kaprice klime koja često uzrokuje duge prekide u prikupljanju relevantnih podataka. Činjenica da, normalno, samo jedan posmatrač može biti na okularu teleskopa pri registraciji očekivanog događaja još je jedna nezgoda u metodu.

S druge strane, imamo utisak da mora biti poželjno planiranje merenje $c$ Remerovom metodom i ubaciti ovu aktivnost u laboratorijski deo optičkog kurikuluma. Ovaj rad se bavi u izvesnim detaljima pokušajem ove vrste i prednostima metoda. Na samom početku, naglasimo da je glavni razlog da fokusiramo pažnju na Remerov metod poznat i ispravan. Pa, to je istorijski prvi efikasni metod merenja $c$, a krase ga fascinantna jasnoća i koncepcijska jednostavnost.

Nameravamo da utvrdimo da li se mogu ove prednosti optimalno ispoljiti, a razne nezgode istovremeno smanjiti, čime bi Remerov metod postao prihvatljiv i praktičan u obučavanju studenata fizike.

Pre nego izvestimo o našem iskustvu sa zadacima koje smo ovako formulisali, prvo ćemo opisati standardno izlaganje Remerove procedure, kako se ona daje u većini udžbenika.

II. TRADICIONALNO IZVOĐENJE REMEROVE FORMULE

Relevantni deo solarnog sistema prikazan je kao skica na Sl 1a: Sunce, Jupiter i njegov satelit Io na svojoj orbiti. Sunce (S) osvetljava Jupiter (J), koji baca dugu senku (U), u koju Io ulazi u tački I i izlazi u E. Ioa gubimo iz vida svaki put kad on stigne u I tokom svoje revolucije. Pomračenja su vidljiva sa Zemlje kada je naša planeta na luku DmB svoje orbite. Svitanja Ioa vidljiva su sa druge polovine Zemljine orbite. Uzmimo sad da je naša planeta približno u B (to jest u opoziciji sa Jupiterom, kada je distanca između dve planete najmanja) u trenutku kad Io baš izlazi iz senke. Sledeći takav događaj će nastupiti približno 42.5 sata kasnije. Da, Zemlja je tada biti na malo većem rastojanju od Jupitera, zbog neprestanog kretanja oko Sunca. Posle nekih stotinak perioda Ioa, naša je planeta već u D (položaj konjunkcije, najveće rastojanje). Nešto preciznije, tačka D će nastupiti kad Io izlazi iz senke poslednji put na levoj polovini ekliptike. Posmatrač koji je fiksirao ovaj događaj ustanovljava da je tačno završeno N perioda Ioa. Označimo ovaj period Ioa, onako kako ga meri posmatrač na Zemlji, sa ${T'}_{I}$.

Sl. 1 Sunce (S) osvetljava Jupiter (J) koji baca dugu senku (U) u koju Io ulazi u tački (I) i izlazi u tački E. Uranjanja (pomračenja) vidljiva su sa luka DmB ekliptike tokom pola godine, a svitanja sa luka BnD tokom druge polovine godine

Neka je $T_{I}$ pravi period Iove revolucije (kasnije ćemo komentarisati pravo značenje ove izjave). Rastojanje Zemlje od Jupitera povećalo se za $BD=d$ (dijametar približno kružne orbite), i astronom kod teleskopa je ustanovio da su on ili ona putovali od B do D za vreme $\tau$. Ovaj je interval duži od vremena $NT_{I}$ za vreme koje je potrebno svetlosti da pređe distancu $d$. Zato je

$$\tau -NT_{I}=d/c,$$

što daje Remerovu formulu za brzinu svetlosti

$$c=d/\left(\tau -NT_{I}\right). \tag{1}$$

Veličina u zagradi poslednje jednačine, $\tau -NT_{I}$, iznosi 990 s a d je 2AU, što daje približno korektnu vrednost za c. Remerova merenja mogu isto biti shvaćena kao najranija merenja tipa vreme preleta i u tom kontekstu, $\tau -NT_{I}$ je vreme preleta elektromagnetske radijacije preko ekliptike.

Remer nije uopšte izvestio o bilo kakvom posebnom broju za brzinu svetlosti. Filonovič [3] naglašava da su razni brojevi koji se pojavljuju u udžbenicima izračunati kasnije na bazi Remerovih podataka. Vrlo detaljan pregled ove materije dao je Vroblevski [4]. On je tabelirao brojke koje su pripisivane Remeru u raznim udžbenicima i pokazao da se one rangiraju od 160000 do 351000 km/s, dok je godina Remerovog otkrića između 1656 i 1876. Vroblevski takođe citira Remerov rad na engleskom koji se pojavio u Phylosophical Transactions 25 jula 1677, pa vidimo da je Remer zaista opisao svoju proceduru onako kako ju mi danas znamo iz udžbenika fizike. Takođe sledi iz citiranja da je Remer nagovestio brzinu svetlosti govoreći da bi svetlost prešla dijametar Zemlje za manje od 1 s, dok joj treba 22 min da pređe dijametar Zemljine orbite. Ideja trenutnog prostiranja bila je vladajuća tačka gledišta onog doba, i Remerov glavni trud je bio da dokaže da je konačna vrednost brzine neophodna da se objasni ishod posmatranja.

U gornjem rezonovanju, uzimamo da je Jupiter praktično miruje tokom pola (naše) godine. Takođe je uzeto da je d baš jednako 2AU, dve astronomske jedinice. Takođe, potrebno je jasno uputstvo kako da se odredi $T_{I}$, takozvani tačni period Ioa, to jest period meren u referentnom sistemu Sunca. Približno, kako je i sam Remer naglasio, $T_{I}$ je interval između bilo koja dva uzastopna zalatka ili svitanja Iao. Da, ovaj metod ima apsolutnu grešku za $T_{I}$ i do 15 s. Kada se merenje izvodi tokom cele godine, sa izlascima i zalascima, mereni period je veći od tačne vrednosti u jednoj polovini godine (kada se Zemlja udaljava od Jupitera, tačka M1 na Sl. 1), dok je manji od tačne vrednosti u drugom delu godine (Zemlja se približava Jupiteru, tačka M2 na Sl. 1). Tačni period $T_{I}$ može da se dobije iz takvih podataka kao srednja vrednost po vremenu funkcije $T_{I}^{'}\left(t\right)$. Razlika između maksimuma i minimuma perioda je 30 s, sa dobrom tačnošću [5].

Pitanje: daje li Remerov metod brzinu svetlosti u jednom pravcu, ili ne, debatovali su u ovom časopisu Karlov [6,7] i Esen [8].

III. DOPLEROVSKA INTERPRETACIJA REMEROVOG REZULTATA

Jedini udžbenik u kome smo do sada našli da se eksplicitno pominje Doplerov efekt u vezi sa Remerovim metodom je dugo-cenjena „Optika” Arnolda Zomerfelda [9], kojoj mislimo da se vratimo kasnije u ovom odeljku. Udžbenici iz fizike drže se Remerovog originalnog objašnjenja, koje je prezentirano u prethodnom odeljku. Ipak, većina ljudi smesta prihvata doplerovsku promenu frekvencije zbog Zemljinog kretanja u razmatranju Remerovog merenja, jer ideja izgleda razumna i ugrađena je u zdanje našeg znanja [10].

Da interpretiramo Remerova merenja s tačke gledišta Doplerovog efekta, najbolje je da pomenemo da je kretanje satelita Io periodičan proces i, zato je ulaženje u Jupiterovu senku , kao i izlaženje iz nje, takođe periodično. Osvetljenost Ioa, kako tu osvetljenost registrujemo na Zemlji kao funkciju od vremena, formira jedan niz skoro pravougaonih impulsa. Njihovo vreme uspostavljanja, reda veličine nekoliko sekundi, određeno je veličinom satelita. Učestanost ovog periodičnog procesa je doplerovski pomerena zbog kretanja prijemnika na Zemlji, na način da je frekvencija viša od srednje vrednosti tokom onog dela godine kad se Zemlja približava Jupiteru, a manja je od srednje vrednosti tokom drugog dela godine, dok je jednaka srednjoj vrednosti u oblasti oko tačaka B i D (Sl. 1a), kad je brzina Zemlje normalna na pravac Zemlja-Jupiter [11].

Doplerovska promena učestanosti $\nu$ data je sa

$$\Delta \nu /\nu =-\left(v\,\text{sin}\theta \right)/c$$

gde je $\left(v\;\text{sin}\theta \right)$ komponenta brzine prijemnika duž linije posmatranja, a $v$ je periferijska brzina Zemlje, 30 km/s, kako se navodi u knjizi iz astronomije [5]. Kako vidimo na Sl. 1b, u kojoj je ugao $\theta$ definisan, uprošćavamo geometrijske relacije uzimajući da je linija posmatranja paralelna liniji Sunce-Jupiter i, takođe, smatrajući da Jupiter miruje.

Po definiciji, ${\nu'}=1/{T'}_{I}$, gde je ${T'}_{I}$ period Ioa posmatran sa Zemlje i, zato, $\Delta \nu /\nu =\Delta {T'}_{I}/{T'}_{I}$, to jest

$$\left({T'}_{I}-T_{I}\right)/{T'}_{I}=\left(v\,\text{sin}\theta \right)/c$$

što daje za brzinu svetlosti

$$c=v\,\,\text{sin}\theta \;{T'}_{I}/\left({T'}_{I}-T_{I}\right). \tag{2}$$

To je jednačina za određivanje brzine svetlosti u vakuumu pomoću doplerovske interpretacije Remerovog metoda. U principu, za poznatu konfiguraciju planeta može se izmeriti c za samo 42.5 sata, uzimajući $T_{I}$ iz tablica. Glavna netačnost dolazi zbog tajminga događaja, koji počiva na subjektivnom sudu i reakciji posmatrača koji aktivira štopericu, i takođe u izvesnom stepenu zbog atmosferskih uslova. Kako događaj na granici senke traje nekoliko sekundi, verovatno je da mogu greške tog reda veličine da budu prouzrokovane, pa je zato poželjno meriti vremenski razmak od pet do šest Iovih perioda, sve za oko nedelju dana. Ovo zahteva uvođenje srednje vrednosti za $\sin \theta$ u jednačinu (2). Uzgred dodajemo da je ova jednačina algebarska, negativna vrednost za $\sin \theta$ daje negativnu vrednost razlike ${T'}_{I}-T_{I}$, to jest jednačina je validna tokom cele godine, kako sa izlascima tako i sa zalascima.

Alternativno izvođenje jednačine (2), takođe naslonjeno na Doplerov efekat, izgleda kako sledi: Neki mth događaj (zaladak ili svitanje) događa se u trenutku $t^{*}=mT_{I}$ i biće primećen na Zemlji u kasnijem trenutku $t=mT_{I}+s/c$, gde je $s=s\left(t\right)$ rastojanje Zemlja-Jupiter, koje može da se razvije u red, a mi ćemo zadržati samo dva njegova člana, to jest pisati $s=s\left(t\right)=s_{0}+tv\;\text{sin}\theta$. Poslednja jednačina može da se smatra kao razvoj validan tokom nekoliko (uzastopnih) dana godine; $s_{0}$ je rastojanje Zemlja-Jupiter za $t=0$, $v\;\text{sin}\theta$ je promena rastojanja u jedinici vremena, a $t$ je dovoljno mali interval vremena takav da kvadratični članovi u razvoju postaju nevažni. Vremena dva homologna događaja (na primer, pomračenja) data su sa

$$\begin{aligned}t_{m}=mT_{I}+s_{0}/c+t_{m}\left(v/c\right)\text{sin}\theta , \\ t_{m+1}=\left(m+1\right)T_{I}+s_{0}/c+t_{m+1}\left(v/c\right)\text{sin}\theta ,\end{aligned}$$

što ponovo daje jednačinu (2), jer je razlika $t_{m+1}-t_{m}$ po definiciji period Ioa, kako se on opaža sa Zemlje, to jest ${T'}_{I}$.

Dva parametra, $v$ i $\theta$, ulaze u jednačinu (2) i ovo bi moglo stvoriti utisak da je ova jednačina inferiorna u odnosu na tradicionalnu jednačinu (1) gde d, dijametar ekliptike, ulazi kao jedina astronomska veličina koja se „pozajmljuje” od drugih posmatranja. Kratak pogled na jedn. (1) ipak otkriva da možemo uzeti $\sin \theta \cong 1$ tokom osetnog dela godine, pošto je $\sin \theta \ge 0.95$ za $\theta$ u intervalu $90^{\circ }\pm 18^{\circ }$ i tako u simetričnom intervalu oko ugla od $270^{\circ }$. Ugao $\theta$ takođe može da se odredi iz istog eksperimenta fiksirajući tačku svitanja Ioa u vidnom polju teleskopa. Moguće je pokazati da je

$$\sin \theta \cong 0.7\left(\Delta /\delta -1\right)$$

gde su $\delta$ i $\Delta$ respektivno ugaone mere radijusa Jupitera i rastojanja Ioa od centra Jupitera u momentu svitanja.

Vratimo se sada Zomerfeldovom udžbeniku [9]. Pošto su Remerova merenja opisana tamo pre Doplerovog efekta, Zomerfeld obećava svojim čitaocima da će tretirati pojavu temeljnije u sledećim glavama i beleži da je doplerovska promena satelitovog perioda data sa

$$\Delta {T'}_{I}/{T'}_{I}=\pm \,v/c$$

i

$$\left({T'}_{I}\right)_{\max }-\left({T'}_{I}\right)_{\min }=2\left(v/c\right){T'}_{I}.$$

U jednom kasnijem dijagramu, za koji saznajemo da je bio „široko korišćen na popularnim predavanjima”, Zomerfeld ilustruje fakt da je suma svih razlika vidljivog perioda i pravog perioda, koja se akumulira za pola godine, jednaka brzini preleta svetlosti preko ekliptike, što je Remerov originalni rezultat, izražen jedn (1) u našem radu. Očito, Zomerfeldov glavni cilj bio je da dokaže Remerovu time-of-flight formulu. Pošto autor nekog udžbenika nije u poziciji da razrađuje svaku stavku koju upotrebljava, izlaganje nije sasvim akuratno. Jedini događaji koji se pominju su pomračenja satelita, to jest uranjanja u senku i tekst je pisan kao da su pomračenja vidljiva tokom cele godine. Glavni uzrok ove pogreške je verovatno slika koja ne sadrži Jupiterovu senku, niti Iovu orbitu. Prema Zomerfeldu, Remer je „ izračunao prilično tačnu vrednost brzine svetlosti c” što je neistoričan stav, kojim se detaljno pozabavio Vroblevski [4].

Izuzimajući ove nepreciznosti, Zomerfeldov prikaz Remerovih merenja je potpuno u duhu doplerovog efekta.

Naravno, jedn. (2) mogla bi se takođe testirati poređenjem sa podacima koji već postoje u literaturi. Lipson je dodao jedan izvod iz astronomskih efemerida za godinu 1956. u knjigu [13] koja sadrži određen broj zaladaka i svitanja Ioa, pozivajući čitaoca da koristi tabelu i odredi brzinu svetlosti. Mi ćemo učiniti to ovde koristeći doplerovsku interpretaciju, jedn (2). Jedan izlazak satelita, navedeno je, dogodio se 24. aprila u 14h 45.0min. Posle 10 perioda nastupio je sličan događaj 12. maja u 7h i 33.3min (podaci su sa mogućom greškom 0.1 minuta). Ovo daje period Ioa ustanovljeno sa Zemlje ${T'}_{I}$=152929.8s, i c$\cong$ 30x152929.8/13.8km $\cong$ 3.32x $10^{8}$ m/s. Svi oni podaci mogli bi da se poboljšaju, dabome, sa više skrutine; u potonjem slučaju $\sin \theta \cong 0.95$ je više prihvatljivo nego vrednost 1 koju smo uzeli. Velika tačnost se ne može postići ovim metodom, uglavnom zato jer velika dimenzija Ioa čini da zalazak i izgrijavanje traje nekoliko sekundi. Nije bila naša namera da uključimo varijetet drugačijih astronomskih fakata u metod da bismo ga popravili; posle svega, precizno merenje brzine svetlosti je svakako jedna druga tema. Geiger i Scheel [14] citiraju kao najbolju brojku za Remerov metod 300600 $\pm$ 1200 km/s, i ovo daje utisak kao da je tačnost astronomskih merenja tamo u godini 1928.

Naglasimo na kraju da je privilegija činiti ovo merenje sa Zemlje, a ne sa neke druge planete ovog sunčevog sistema, pošto je kod nas $c/v\cong 10^{4}$ što uprošćava izračunavanja.

IV. EKSPERIMENTALNA VERIFIKACIJA DOPLEROVSKI INTERPRETIRANOG REMEROVOG METODA

Test je rađen u drugoj polovini septembra 1989. Koristili smo 15 cm teleskop da gledamo pomračenje Ioa 18. septembra. Ono se dogodilo u 4 časa 11 min i 6 sek. Posle pet perioda $\left(5{T'}_{I}\right)$ pomračenje se opet desilo 27. septembra u 00h, 32min, 51s. Podaci su izraženi u TU, a ne u lokalnom vremenu. Srednji period Ioa, meren sa Zemlje, u ovom intervalu od 764505 s iznosi

$${T'}_{I}=152901s.$$

Pravi period Ioa, po Bakulinu i Konoviču je $T_{I}=152916$ s. Dakle

$${T'}_{I}-T_{I}=-15s.$$

Konfiguracija planeta bila je takva da smo mogli bezbedno da stavimo $\sin \theta \cong -1$. Sve ovo daje

$$\begin{aligned}c=30\left(\text{km}/\text{s}\right)\left[152901/\left(-15\right)\right]\left(-1\right) \\ \cong 3.05\text{x}10^{5}\;\text{km}/\text{s}\end{aligned}$$

Ne daju sve serije merenja tako fin rezultat (greška manja od 2%), no evidentno je da doplerovska interpretacija Remerovog metoda daje prihvatljive brojeve za relativno kratko vreme. Druga merenja data su u tabeli dole i vidimo da greške mogu narasti i do 20%.

Izranjanje	TU	periodi	${T'}_{I}-T_{I}$	$\theta$	$\sin \theta$	$c\left(10^{8}\text{m}/\text{s}\right)$
23 januar	16h 41min 0s			$27^{\circ }$
		8	11s		0.505	2.36
6 februar	20h 31min 16s			$41^{\circ }$
		4	11.2s		0.707	2.95
februar	22h 26min 25s			$48^{\circ }$

V. KOMENTARI

Izgleda da su značajna Remerova posmatranja, prvo saopštena u Francuskoj Akademiji i publikovana u Journal des Scavans 1676. bila, u suštini, prvo merenje u fizici doplerovskog tipa. Činjenica je, tada nije bilo moguće formulisati proces posmatranja periodičnog kretanja satelita oko Jupitera u ovim terminima, pošto je fizika saznala o promeni učestanosti signala zbog kretanja prijemnika oko 1845. Ipak, osećamo da veza između Doplerovog efekta i Remerovog metoda za određivanje brzine svetlosti zaslužuje da se pominje češće u nastavi fizike. Naš je utisak da bi ovo doprinelo jasnoći izlaganja. Pozitivni efekt u obuci takođe bi rezultirao iz navike koju pokušavamo da usadimo kod studenata: navika izvođenja svih znanja iz najmanjeg broja osnovnih principa.

Doplerovska interpretacija Remerovog metoda daje jedn (2), iz koje je vidljivo da je period ${T'}_{I}$, meren pri konjunkciji i opoziciji, jednak pravom periodu $T_{I}$. Ovo je prirodan put da se primeti da je $T_{I}$ merljivo kada je $\theta =0$ i $\theta =\pi$, to jest kada je brzina zemlje normalna na vektor Zemlja-Jupiter.

Klasična relacija data jednačinom (1) nije udobna za interpretacije kada su vremena znatno manja od pola godine. Nasuprot tome, doplerovska jednačina tačno odgovara ovom zadatku i, zato, obrazovnom procesu u kursu fizike. Mi mislimo da Remerovo određivanje brzine svetlosti po ovoj interpretaciji može biti baš odgovarajuće, da odgovori zahtevima kurikuluma za studentsku laboratoriju: relativno je jednostavno, razumljivo, bogato asocijacijama na razne fizičke fenomene i traži razumno vreme za izvršenje. Naša su iskustva u ovom pogledu pozitivna. Ono što je bila jedna knjiška epizoda, koji se čitala površno i sa dosadom ili nedovoljno razrađivala, postaje sad živo tkivo ugrađeno u celinu fizike kroz aktivni laboratorijski rad.

Remerova merenja, jednom jedinstven korak u misli i nauci, moglo bi, i možda trebalo bi da postane danas vitalno merenje u obuci novih generacija studenata fizike.

VI. LITERATURA

1. Galileo Galilei, Dialogues Concerning two New Sciences, preveli Henry Crow I Alfonso de Salvio (Dover, New York, 1954) pp. 42-44. Original „Discorsi” publikovan je u Lajdenu 1638.

2. Ole, Olaf, takođe Olaus Römer, alternativno spelovano i Roemer, Danski astronom rođen 25. septembra 1644. u Aarhusu, preminuo 19. septembra 1710. u Kopnhagenu, bio je profesor matematike i direktor opservatorije u Kopenhagenu.

3. S. R. Filonovič, Najveća brzina (na ruskom) (Nauka, Moskva 1983), s.30.

4. Andrzej Wroblewski, „De Mora Luminis. A spectacle in two acts with a prologue and an epilogue”, Am. J. Phys. 53, 620-630(1985). Ovaj rad je vrlo detaljan i interesantan izveštaj za datu temu. On sadrži opširnu hronologiju događaja vezanih za Remerovo otkriće, komentare na razne poglede koji se tiču konačnosti brzine svetlosti pre Remera i u njegovo vreme, i takođe razne moderne predrasude u vezi sa njegovim delom.

5. Njutn u svojim Principia ima jednu tabelu satellitum tempora periodica za četiri Galilejeva satelita. Za Io čitamo tamo 1d 18h 28’(3/5). Naravno, u skoro svakom kursu opšte astronomije nalazimo ovaj podatak u obliku 1d 18h 36s. Uzeli smo ovaj broj iz P. I. Bakulin, E. V. Kononovič i V. I. Moroz, Kurs opšte astronomije (Nauka, Moskva, 1966), s.515.

6. L. Karlov, „Fact and illusion in the speed of light determinations of the Römer type”, Am. J. Phys. 45, 64-66(1981).

7. L. Karlov, „Note on the laboratory Römer method for determinating the speed of light”, Am. J. Phys. 52, 873(1984).

8. L. Essen, „Fact and illusion in the speed-of-light determinations of the Römer type”, Am. J. Phys. 49, 620(1981).

9. Arnold Sommerfeld, Optics, Lectures on Theoretical Physics, Vol. IV, preveli Otto Laporte i Peter A. Moldaur (Academic, New York, 1954), pp. 60-63.

10. Da ilustrujemo ovo, citiramo iz izveštaja jednog od referenata ovog rada: „Ja lično sam dugo mislio da je takva jedna interpretacija Remerovog metoda konceptualno nužna, bar kao alternativa standardnom metodu, i ja sam to koristio u radu sa studentima. Uzimao sam da je takva interpretacija dobro poznata i široko upotrebljavana, ali sada nisam siguran da li je to baš tako. Nekoliko pregleda standardnih uvodnih knjiga nisu otkrila autore koji koriste ovaj pristup, tako da je moguće da se on nije ranije javljao u literaturi.” Naš drugi referent je pisao: „Pre nekoliko godina, kolega sa našeg hemijskog departmana ušao je u moju kancelariju i pitao za objašnjenje Remerovog metoda za merenje brzine svetlosti. Počeo sam sa objašnjavanjima kad je on izjavio „sad vidim — to je upravo Doplerov efekat.” Pokušao sam da obrazlažem suprotno, ali sam shvatio da je on u pravu. Otada, držim da većina fizičara treba da prepoznaje da je Remerov metod moguće razmatrati kao primenu Doplerovog efekta. Naravno, to objašnjenje ne isključuje uobičajeno objašnjenje; to su upravo različiti načini gledanja na istu kinematiku.”

Na kraju, prva diskusija tri autora ovog rada o toj problematici počela je rečenicom koju je naglasio V. M. Babović: „Izgleda da postoji verovatna veza između Remerovog merenja i Doplerovog efekta, ali o tome nema ništa u udžbenicima”.

Našli smo pasus kod Zomerfelda [9] prekasno da bismo to uključili u prvu verziju ovog rada, ali smo stigli da reagujemo pri reviziju. I mi ne znamo da li je Zomerfeld bio prvi koji je izrazio ovo gledište.

11. Važno je ovde da zabeležimo da orbite Zemlje i Jupitera leže praktično u istoj ravni. Orbita Ioa se podudara sa ekvatorijalnom ravni Jupitera, koja je nagnuta samo za $3^{\circ }\;0{7'}$ prema ekliptici. Zato je sasvim dobra aproksimacija kad se te tri ravni nacrtaju u ravni papira, kako je i učinjeno na Sl. 1.

12. Miniscas, Meniscus-Cassegrain reflecting Telescope 150/2250 (Carl Zeiss, Jena).

13. H. Lipson, The Great Experiments in Physics (Oliver and Boyd, Edinburg, 1968).

14. H. Geiger and K. Scheel, Handbuch der Physik, Band XIX, Herstellung und Messung des Lichtes (Julius Springer, Berlin, 1928). Remerov metod je diskutovan na s. 899.