Geometrijska optika

P r v o p r e d a v a nj e

ZAKONI GEOMETRIJSKE OPTIKE

Fermaov princip

Razmotrimo demonstracioni opit skiciran na Sl. 1.1. Stakleni sud sa ravnim zidovima napunjen je vodenim rastvorom šećera. Vremenom se u tečnosti uspostavi ravnotežna raspodela molekula šećera: koncentracija raste sa dubinom, najveća je u sloju pri dnu suda. Iz He-Ne lasera usmerava se uski mlaz laserske svetlosti paralelno površini stola. Posmatrajmo sa strane jedan deo putanje svetlosti pre mesta njenog ulaska u sud (putanja AB). Dimom cigarete izazovimo rasejanje svetlosti. To nam omogućava da jasno vidimo uski crveni snop zračenja. Uveravamo se da je taj segment trajektorije duž, svetlost se prostire pravolinijski.

Sl. 1 Putanja laserskog zraka (levo). Kap mleka zamuti vodu u čaši; efekat rasejanja

svetlosti čini da je vidljiv laserski snop kroz vodu (desno)

Međutim, u tečnosti svetlost napušta taj pravac, savija se prema dnu i izlazi iz tečnosti u nekoj tački C. Svetlost ćemo jasno videti i u rastvoru ako prethodno vodi dodamo malo sapuna. Tako dobijamo mutnu sredinu i posredstvom rasejane svetlosti i dalje pratimo svetlu trajektoriju; laserski snop, oko $1\,$ mm u prečniku, neznatno se širi tokom prostiranja. U optici, zrak svetlosti zamišljamo kao beskonačno tanki mlaz svetlosti koji izvire iz zanemarljivo uskog otvora. Neposredno se uveravamo da laser obezbeđuje dobru aproksimaciju ove idealizovane predstave. Zrak je zamišljena linija duž koje se prenosi svetlosna energija. Skup zraka sačinjava snop svetlosti i u tom smislu smo od početka upotrebljavali taj termin.

Ovakav uprošćeni pristup pojavi dobar je u geometrijskoj optici u kojoj se optički fenomeni analiziraju zanemarivanjem talasnih svojstava svetlosti; pribegavamo granici $\lambda \to 0$. Talasna dužina vidljive svetlosti je mala, reda je veličine desetog dela mikrometra, pa su često postupci geometrijske optike zadovoljavajući.

Vratimo se opitu sa Sl. 1.1. Uverili smo se da je putanja svetlosti u homogenoj sredini prava linija. To je zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti, od davnina poznati fakt na koji se, između ostalog, opire geometrijska optika. Razmotrimo sada zašto dolazi do savijanja trajektorije u rastvoru i koje zakonitosti važe u tom slučaju. Korisno je da uvedemo pojam optička dužina puta. U homogenoj sredini, ta veličina je jednaka proizvodu indeksa prelamanja $n$ i puta $\ell$ koji je zrak

Sl. 1.2 Uz definiciju optičkog puta

prešao, $L=n\ell$. Iskoristimo Sl. 1.2 da preciziramo definiciju u opštem slučaju. Skicirali smo deo svetlosnog zraka između nekih tačaka $1$ i $2$. Ova trajektorija nije deo prave linije, a menja se iz tačke u tačku i indeks prelamanja koji je neka funkcija koncentracije šećera. Stoga podelimo liniju na male segmente u okviru kojih će indeks prelamanja biti približno konstantan. Tada je $L\simeq \sum\limits_{0}^{k} \,\,n_{\text{i}}\ell _{\text{i}}$. U granici, suma prelazi u integral pa je optička dužina puta

$$L=\int_{1}^{2} \,n\,d\ell. \tag{1.1}$$

Upravo ova veličina, a ne prosto geometrijska dužina krive $\ell$, određuje ukupno vreme $t$ prostiranja svetlosti između tačaka $1$ i $2$. Naime, ako je $dt$ vreme potrebno da zrak svetlosti pređe rastojanje $d\ell$, tada je $dt=d\ell /c$. Brzina svetlosti na tom mestu u datoj sredini je $c=c_{0}/n$ (ovde je $c_{0}=3\cdot 10^{8}$ m/s, brzina svetlosti u vakuumu), pa nalazimo

$$t=\frac{L}{c_{0}}. \tag{1.2}$$

Postavlja se važno pitanje, zašto se svetlost u opitu sa Sl. 1.1 prostire upravo po putanji B12C, a ne po nekoj drugoj, njoj susednoj?

Francuski matematičar i prirodnjak P. Ferma predložio je odgovor na ovo pitanje koji je danas poznat kao Fermaov princip. Savremeno formulisan, on glasi:

Ekvivalentan iskaz, bliži matematičkoj formulaciji problema glasi: za stvarnu putanju prva varijacija optičke dužine puta jednaka je nuli. Zbilja, pošto se u ekstremumu varijacija vremena anulira, $\delta t=0\,$, iz jednačine (1.2) nalazimo

$$\delta \int_{1}^{2} \,n\,d\ell =0. \tag{1.3}$$

Najjednostavniju primenu ovog principa imamo u razmatranju prostiranja svetlosti u homogenoj sredini kada je $n=\,$ const. Tada, zahtev (1.3) se svodi na anuliranje varijacije geometrijske dužine. Drugim rečima, putanja je deo prave linije (duž je najkraće rastojanje između dve tačke). Tako, Fermaov princip brzo opravdava zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti u homogenoj sredini. U narednim odeljcima pokazaćemo kako se pomoću Fermaovog principa mogu formulisati još dva važna zakona geometrijske fizike, zakon odbijanja i zakon prelamanja svetlosti.

Ferma je svoj princip formulisao 1662. godine (u nešto drugačijem obliku od onog koji smo ovde naveli). U to vreme nije moglo biti ni reči o adekvatnoj teorijskoj zasnovanosti principa. To je bila dosetka (uputstvo) koju je osnažila praksa u optici i nauci o talasima uopšte. Tek je Maksvelova elektromagnetska teorija bliže osvetlila uzroke uspešnosti Fermaovog principa, kroz tretman interakcije elektromagnetskih talasa sa supstancijom u aproksimaciji iščezavajući male talasne dužine. Saglasnost principa ekstremuma sa takvim postupkom izvodi se u obimnijim kursevima optike (videti, na primer: M. Born, E. Wolf, Principles of optics, Pergamon press, Oxford 1964, c. 3). Još dublji uvid nudi kvantna elektrodinamika, koja dovodi u vezu ekstremum funkcije optičkog puta sa verovatnoćom detekcije fotona na datom mestu. Čitaocu se preporučuje knjiga: R. P. Feynman, QED — the strange theory of light and matter, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1985 (naročito, drugo poglavlje).

Sl. 3 Ka razumevanju Fermaovog principa. Postavka zadatka (levo).

Svetlost bira vrste ekstremuma… (desno)

Ferma je govorio isključivo o $a$) minimalnom vremenu prostiranja svetlosti. Kasnije se ispostavilo da, ravnopravno, postoje slučajevi kada je vreme $b$) maksimalno i $c$) stacionarno. Danas se ne zna za neki dublji fizički razlog ovih razlika. Postoji lep ilustrativan primer istovremeno za sve tri moguće putanje. Zrak svetlosti iz izvora u tački S (Sl. 1.3) odbija se od polusfernog ogledala (poluprečnik krivine $R$) i posle toga dolazi u prijemnik P. Ako je P centar polusfere, gde se stvarno nalazi mesto refleksije zraka? Optički put je

$$L=\sqrt{\ell ^{2}+R^{2}-2\ell R\,\text{cos}\theta }+R.$$

Prvi izvod $dL/d\theta$ anulira se za $\theta =0$. Dakle, zrak se odbija sa vrha ogledala. Lako je proveriti da je tamo drugi izvod

$$\int_{\theta =0} =\frac{\ell R}{R-\ell }. \tag{1.4}$$

Ako je izvor svetlosti iznad prijemnika na rastojanju $\ell >0$, tada je drugi izvod pozitivan, vreme putovanja zraka je minimalno moguće (skica $a$ na Sl. 1.4).

Ali ako je izvor svetlosti ispod P (skica $b$), biće $\ell <0$: drugi izvod je negativan, vreme putovanja zraka je maksimalno moguće. Na kraju, ako su i izvor i prijemnik u centru (skica $c$), $\ell =0$, imamo stacionarnu tačku (jednaka vremena prostiranja). (Za detalje videti: Am. J. Physics, (4), April 1981, p. 345)

Zakon odbijanja svetlosti

Posmatrajmo svetlosni zrak koji se iz izvora svetlosti, tačka S, prostire kroz homogenu providnu sredinu indeksa prelamanja $n$ prema ravnoj površini M od koje se odbija. Posle odbijanja svetlost dospeva u prijemnik, tačka P (v. Sl. 1.5). Zadate veličine su visina izvora $h_{\text{S}}$ i prijemnika $h_{\text{P}}$ kao i normalno

Sl. 1.5 Zakon odbijanja iz Fermaovog principa

rastojanje $X=\overline{S_{1}P_{1}}$, gde su $S_{1}$ i $P_{1}$ podnožja tačaka S i P. Treba odrediti gde se nalazi tačka odbijanja R, tj. koliko je rastojanje $x=\overline{S_{1}R}$. Optička dužina puta zraka $\overline{SRP}$ iznosi

$$L=n\left[\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x^{2}}+\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}\right]. \tag{1.5}$$

Tačku ekstremuma funkcije $L(x)$ nalazimo kad prvi izvod izjednačimo sa nulom. Dobije se uslov $\text{sin}\theta _{\text{i}}=\text{sin}\theta _{\text{r}}$. Uglove $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{r}}$ grade upadni (incidentni) i odbijeni (reflektovani) zrak sa normalom N.

Čitalac može lako pokazati da je u tom slučaju optički put minimalan. Dakle, iz Fermaovog principa sledi zakon odbijanja:

Ovaj rezultat potvrđuju opiti i svakodnevno iskustvo.

Sl. 4b Opiti sa odbijanjem svetlosti u studentskoj laboratoriji. Levo: Zakon odbijanja.

Desno: Dva međusobno upravna ogledala usmeravaju zrak svetlosti nazad (foto VB)

Zanimljivo je razmotriti odbijanje svetlosti od elipsoidne površine, Sl. 1.6. Tačke $F_{1}$ i $F_{2}$ su žiže obrtnog elipsoida sa osama $a$ i $b$. Zrak koji polazi iz prve žiže proći će, posle odbijanja od površine u tački $R$, kroz drugu žižu. Da je to tako, može se pokazati direktnom primenom zakona odbijanja svetlosti: upadni ugao će biti jednak odbijenom tek ako odbijeni zrak prolazi kroz $F_{2}$. Ali, Fermaov princip i ovde može da uprosti argumentaciju. Dobro je poznata osobina elipse da je zbir dva potega $\rho _{1}$ i $\rho _{2}$ jednak dvostrukoj vrednosti velike ose, za svaku tačku $R$ elipse. To znači da je optički put $\overline{F_{1}RF_{2}}$ stacionarna veličina, samim tim reprezentuje stvarnu putanju zraka.

Sl. 1.6 Elipsoidno ogledalo

Pustimo da se tačka $F_{2}$ beskonačno udaljava od tačke $F_{1}$ duž ose $x$. Deo površine oko žiže $F_{1}$ transformiše se u paraboloidno ogledalo, Sl. 1.7. Svi zraci koji polaze iz žiže $F_{1}$ seku se u beskonačno udaljenoj tački — ogledalo formira snop svetlosti u pravcu ose $x$ koja se zove optička osa ogledala. Važi i obrnuto: upadni paralelni snop ogledalo fokusira u tačku $F$. Iz uslova jednakosti vremena putovanja svih zraka od momenta ulaska u ogledalo do stizanja u žižu dobijamo

$$H-f+\rho \cos \alpha +\rho =H+f,$$

odakle nalazimo

$$\rho =\frac{2f}{1+\cos \alpha },$$

a ovo je polarna jednačina parabole. Ovde je $f$ žižna daljina ogledala.

Sl. 1.7 Paraboloidno ogledalo

U suštini, paraboloidno ogledalo ne može dati idealno paralelan snop. Teorija difrakcije precizira da je minimalni ugao divergencije jednak $\lambda /D$ (količnik talasne dužine i otvora ogledala). Paraboloidna ogledala imaju široku primenu (u teleskopskim sistemima reflektorskog tipa, u mikrotalasnoj i telekomunikacionoj tehnici i sl).

Sl. 7 Sferno ogledalo (levo), odbijanje tri zraka od konkavnog ogledala (u sredini) i odbijanje pet zraka od konveksnog ogledala

Sl. 1.8 Sferno ogledalo

U okolini temena ($\cos \alpha \simeq 1$) može se parabola dobro aproksimirati delom sfere poluprečnika $r=2f$, Sl. 1.8. Svojim centralnim delom, sferno ogledalo će skupljati optičko zračenje u žižu $F$, kao i paraboloidno ogledalo, ako zračenje

upada u vidu snopa paralelnog optičkoj osi. Periferni delovi, međutim, mogu unositi znatnija odstupanja od strogih zahteva, pa idealnog fokusiranja ne može biti. To odstupanje od idealne situacije je greška ogledala koja se zove sferna aberacija. Sferna ogledala se lakše fabrikuju od paraboloidnih pa se često primenjuju, a greške se eliminišu ili smanjuju raznim dodatnim merama. Na primer, u ponudi raznih optičkih firmi nalaze se sferna ogledala od stakla (BK7 ili slične marke), najčešće sa aluminijskim slojem s kvarcnim premazom u širokom dijapazonu poluprečnika krivine (nekoliko centimetara do nekoliko metara) uz veliku tačnost dimenzija (tolerancija homogenosti površine dostiže deseti deo talasne dužine, što se kontroliše interferencionim metodama i sl). Visoki zahtevi u izradi sfernih ogledala diktirani su delom i razvojem laserske tehnologije.

Sl. 1.9 Karakteristike jednog bim-splitera

Sferno ogledalo vrlo velikog poluprečnika ($R\to \infty$) ponaša se kao ravno ogledalo. To je jedan od osnovnih optičkih elemenata u svakoj laboratoriji. U profesionalnoj praksi se teži da se osigura homogenost površine ogledala i selektivno ili integralno visok koeficijent odbijanja svetlosti, što se postiže specijalnim tehnološkim procesima.

Sl. 1.10 Karakteristike hladnog ogledala

Koriste se brižljivo obrađene i polirane metalne površine, metalizirane dielektrične pločice, pločice sa višeslojnim dielektričnim premazima strogo odabrane debljine i materijala i sl. Na primer, ravno ogledalo $10$ x $10\,$ cm $^{2}$ od stakla marke B270 (indeks prelamanja 1,523), debljine $3\,$ mm, sa AlSiO premazom reflektuje $88\%$ energije u vidljivoj oblasti a proizvođač (Rolyng optics, Kalifornija, SAD) garantuje homogenost površine ne goru od $2$ talasne dužine po inču na $546\,$ nm. Ili, karakteristika (koeficijent refleksije u funkciji talasne dužine) dvostruko posrebrene staklene pločice (BK-7) je takva da, u srednjem, od $450\,$ nm do $10\,\mu$ m refleksivnost nije manja od $98\%$. Ogledalu se dodaje dielektrični sloj, da zaštiti metalnu površinu od vlažnosti, spreči adhezione procese i sl.

Ponekad se može koristiti efekt potpunog unutrašnjeg odbijanja da se realizuje ogledalo koje faktički odbija svu upadnu svetlosnu energiju.

Često se koriste i polupropustljiva ogledala koja jedan deo fluksa optičkog zračenja odbijaju, a ostatak propuštaju (bim-spliter ogledala). Karakterišu se odnosom koeficijenata transmisije i refleksije (T/R), obično na $550\,$ nm. Tipično, za pločicu $1\,$ mm apsolutna vrednost tolerancija debljine je $0,25\,$ mm. Na Sl. 1.9 prikazana je karakteristika jednog neutralnog bim-splitera za upadni ugao od $45^{0}$. Postoje i ogledala koja rastavljaju upadni snop na dve prostorno odvojene komponente, ali spektralno selektivno; na primer, vidljiva komponenta se reflektuje a infracrvena propušta (hladna ogledala), Sl. 1.10. Ako je proces obrnut, ogledala se zovu topla.

Zakon prelamanja svetlosti

Posmatrajmo svetlosni zrak koji polazi iz tačke S i prostire se prema razdvojnoj površini G dve homogene i izotropne, providne sredine s indeksima prelamanja $n_{1}$ i $n_{2}$. Nastavljajući da se prostire u drugoj sredini, dospeva zrak u prijemnik P (Sl. 1.11). Naravno, postojaće i odbijeni zrak (broj 2), ali nas on ovde ne zanima. Udaljenosti tačaka S i P od površine su $h_{\text{S}}$ i $h_{\text{P}}$. Primenom Fermaovog

Sl. 1.11 Zakon prelamanja iz Fermaovog principa

principa odredićemo stvarni oblik putanje od S preko R do P, tj. naći zavisnost ugla transmisije, ili prelamanja, $\theta _{\text{t}}$ od incidentnog (upadnog) ugla $\theta _{\text{i}}$. U tački R putanja se lomi. Obeležimo sa $x$ položaj tačke R u odnosu na $S_{1}$. Zadato je rastojanje $X$ tačaka $S_{1}$ i $P_{1}$ (podnožja tačaka S i P). Već smo razjasnili da je prostiranje u homogenoj sredini pravolinijsko. Zato je ukupna optička dužina za zrak $\overline{SRP}$

$$L=n_{1}\left[\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x^{2}}+n_{2}\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}\right]. \tag{1.6}$$

Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom u tački ekstremuma $x_{\text{m}}$. Dobijamo

$$n_{1}\frac{x_{\text{m}}}{\sqrt{h_{\text{S}}^{2}+x_{\text{m}}^{2}}}=n_{2}\frac{X-x}{\sqrt{h_{\text{P}}^{2}+(X-x)^{2}}}. \tag{1.7}$$

Odavde odmah zaključujemo da svetlost “bira” onaj stvarni put za koji važi uslov

$$n_{1}\,\text{sin}\theta _{\text{i}}=n_{2}\,\text{sin}\theta _{\text{t}}. \tag{1.8}$$

Ovo je poznati zakon prelamanja svetlosti. Često se u udžbenicima zove i Snelov zakon. Rečima ćemo zakon ovako iskazati:

Pri tome, iz Fermaovog principa neposredno sledi i da upadni i prelomljeni zrak leže u zajedničkoj, incidentnoj ravni. Opiti i iskustvo potvrđuju ove zaključke.

Kaže se da je sredina optički gušća od neke druge ako ima veći indeks prelamanja. Za obrnut slučaj koristi se termin optički ređa sredina. Vidimo da se zrak koji ulazi u optički gušću sredinu prelama prema normali.

Sl. 8b Prelamanje laserskog zraka na razdvojnoj površini staklo/vazduh )levo).

Primer upravljanja svetlosnim snopom, uz efekt potpunog odbijanja (desno)

Kada zrak upada u optički ređu sredinu, ugao $\theta _{\text{t}}$ veći je od ugla $\theta _{\text{i}}$. Zbog toga, postoji neki granični incidentni ugao $\theta _{\text{g}}$ kada se prelomljeni zrak prostire duž razdvojne površine. Pošto je u tom slučaju $\theta _{\text{t}}=\pi /2$, iz zakona prelamanja dobijamo

$$\theta _{\text{g}}=\text{arcsin}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right). \tag{1.9}$$

Za sve incidentne uglove od graničnog, sve do $\pi /2$, postoji samo odbijeni zrak; svetlost se vraća u sredinu iz koje je i dospeo, u idealnom slučaju bez energetskih gubitaka. Naravno, i u tom slučaju važi zakon odbijanja. Taj se efekt naziva potpuno unutrašnje odbijanje. Na primer, ako zrak žute svetlosti prelazi iz vode u vazduh, granični ugao će biti oko $48,6^{0}$ jer je $n_{\text{voda}}=4/3$. Ili, za dodir stakla ($n_{1}=1,5$) i vazduha ($n_{2}=1$) nalazimo $\theta _{\text{g}}=41,8^{0}$.

Pojava potpunog unutrašnjeg odbijanja omogućava da se oceni nepoznati indeks prelamanja $n_{\text{x}}$ neke sredine. Za dodir sa vazduhom, treba izmeriti konkretni granični ugao i izračunati $n_{\text{x}}=1/\text{sin}\theta _{\text{g}}$.

Značajna je primena potpunog unutrašnjeg odbijanja svetlosnih talasa u optici svetlosnih vlakana (fiber optika). Svetlosna se energija može transportovati optičkim vlaknima. Princip vođenja zraka pojašnjava ova fotografija:

Sl. 8c Demonstracija fiber-efekta: dielektrični štap konfinira i usmerava svetlosni snop

pomoću potpunog odbijanja svetlosti (levo). Optički kabl (desno)

Sl. 8d Ulaz kabla je osvetljen, svetlost se prostire duž

namotanog kabla i izlazi na slobodnom kraju (foto Internet)

Ako se podesno izabere upadni ugao svetlosti, zrak se potpuno odbija uvek kad upadne na razdvojnu površinu staklo/vazduh. Tako on napreduje duž optičke vođice po cik-cak liniji.

Detaljnija istraživanja potpunog unutrašnjeg odbijanja pokazuju da je stvarni odbijeni zrak pomeren u odnosu na zrak idealne refleksije koju smo do sada podrazumevali. Na Sl. 1.12 je skicirana ta pojava danas poznata u optici kao Gus-Henkenov efekt (referenca članka: F. Goos and H. Hänken, Ann. Phys. (Leipz.), 333 $\,$(1947)). Zrak $i$ upada iz sredine indeksa prelamanja $n$ na razdvojnu površinu dielektrik/vazduh pod uglom $\theta _{\text{i}}>\theta _{\text{g}}$. Pri idealnoj refleksiji u aproksimaciji geometrijske optike nastao bi odbijeni zrak $r_{0}$. U stvari, svetlost sledi putanju od $R_{0}$ do R (označenu crticama) i vraća se u dielektrik kao stvarni zrak $r$. Pritom postoji neki normalni pomeraj $D$, kao da je refleksija nastupila u tački na dubni $z$ od stvarne razdvojne površine. Pomeraj $D$ zavisi od talasne dužine $\lambda$ svetlosti, ali i od vrste polarizacije upadne svetlosti.

Sl. 1.12 Uz razumevanje Gus-Henkenovog opita

Ako je u pitanju $s$-polarizacija (vektor električnog polja normalan na incidentnu ravan), dobija se

$$D_{\text{s}}=(\lambda /n)\,\text{sin}\theta _{\text{i}}\,\int^{1/2}.$$

Za $p$-polarizaciju (vektor električnog polja leži u ravni incidencije), sledi

$$D_{\text{p}}=D_{\text{s}}[(n^{2}+1)\,\int^{2} \theta _{\text{i}}-1].$$

Za proizvoljnu polarizaciju, eksperiment zaista pokazuje postojanje dva izlazna zraka, prostorno odvojena. Lako je primetiti da je $D\sim \lambda$, pa efekt nestaje u granici $\lambda \to 0$. Drugim rečima, Gus-Henkenov efekt ukazuje na nodovoljnost geometrijske optike u tretiranju finijih efekata pri potpunom unutrašnjem odbijanju svetlosti.

Uočeno je da se Gus-Henkenov efekt može izdašno eksperimentalno izučavati u mikrotalasnoj oblasti spektra.

Laserska simulacija fatamorgane

Poznato je da se indeks prelamanja vazduha, pri konstantnom pritisku, menja sa temperaturom po zakonu

$$n=1+\frac{a}{T}, \tag{1.10}$$

gde je $a$ pogodno izabrana konstanta u datom slučaju. Ako, uprošćeno, usvojimo da se sloj vazduha na sobnoj temperaturi $T_{0}$ graniči sa slojem vazduha na većoj temperaturi $T$, takva kombinacija bi mogla da izazove potpuno unutrašnje odbijanje svetlosti kada se ona prostire od hladnijeg ka toplijem sloju; pritom bi granični ugao bio

$$\text{sin}\,\theta _{\text{g}}=\frac{1+a/T}{1+a/T_{0}}. \tag{1.11}$$

Indeks prelamanja ima vrednosti bliske jedinici i za ne odveć visoke temperature u stvari se slabo menja pri zagrevanju vazduha. Zato možemo smatrati da je granični ugao blizak $\pi /2$. Tada su dobre i aproksimacije $1/(1+aT_{0})\simeq 1-a/T_{0}$ i $\cos x\simeq 1-x^{2}/2$ gde je $x=\pi /2-\theta _{\text{g}}$, pa dolazimo do sledećeg rezultata:

$$\theta _{\text{g}}\simeq \frac{\pi }{2}-\sqrt{\;2(n-1)\left(1-\frac{T_{0}}{T}\right)}. \tag{1.12}$$

Pogledajmo jedan primer. Za $T_{0}=303\,$ K biće $n-1=2,6\cdot 10^{-4}$, pa ako je $T=573\,$ K dobićemo da je granični ugao blizu $89,1^{0}$.

Ovaj efekt može lako da se demonstrira pomoću laserske svetlosti. Skica opita data je na Sl. 1.13.

Sl. 9 Levo: kad svetlosni snop okrzne vreli sloj vazduha.

Desno: uz tumačenje fatamorgane

Zrak svetlosti iz lasera L upućuje se prema zagrejanoj površini G (na primer, rešo na koji je stavljena ravna metalna ploča) skoro horizontalno, pod vrlo malim nagibom. Ekran E je udaljen desetak metara od rešoa. Kada se uključi grejanje, ubrzo se pojavi i svetla tačka P na ekranu, trag prispele laserske svetlosti. Kako temperatura raste, svetla mrlja se postepeno penje. Pomeranje iznosi i do desetak centimetara za uobičajena zagrevanja ploče na sobnoj temperaturi vazduha.

Vrlo često se za vrelih letnjih dana može doživeti sledeća optička iluzija. Putnik se kreće zagrejanim asfaltnim putem. Pred sobom (Sl. 1.14) „vidi” na putu jezero sa odsjajem u vodi okolnog pejsaža. Fizika ovog fenomena je kao i u opisanom laserskom opitu. Najtopliji sloj vazduha je do samog tla. Svetlosni zraci se savijaju upadajući u sve toplije slojeve vazduha i na kraju se potpuno odbijaju dospevajući u oko posmatrača. Utisak je da predmete vidimo u produžetku zraka koji ulaze u oko, kao da gledamo posredstvom ogledala. U vodenim masama vidimo odraz neba. I u opisanim okolnostima postoji odraz neba, koji mi psihološki registrujemo kao odraz od vodene površine. Putnik ima potpuni utisak da je na pojedinim mestima vlažan asfalt. Ova vrsta optičke iluzije zove se jezerska fatamorgana, za razliku od mnogih drugih kojima se ovde, međutim, nećemo baviti.

Prelamanje svetlosti kroz prizmu

Od kvalitetnog optičkog stakla prave se optičke prizme, koje na specifičan način, prelamanjem i potpunim unutrašnjim odbijanjem, transformišu svetlosne snopove. Izučićemo zakone delovanja ove široko rasprostranjene komponente u optičkim instrumentima, industrijskim i naučnim laboratorijama.

Sl. 1.15 Analiza putanje zraka kroz prizmu

Posmatrajmo uobičajenu trostranu prizmu ABC, izrađenu od materijala indeksa prelamanja $n$, Sl. 1.15. Prikazan je zrak koji upada na stranicu AC, prostire se kroz prizmu i izlazi kroz stranicu AB. Upadni (incidentni) ugao na ulaznoj stranici označili smo sa $\theta _{\text{i}}$, a izlazni (transmisioni) ugao na izlaznoj stranici sa $\theta _{\text{t}}$. Ugao kod temena A obeležićemo sa $\gamma$. To je ugao prizme.

Prelamanje zraka kroz prizmu

Pomoćni uglovi $\alpha$ i $\beta$ označavaju nagibe zraka u prizmi prema normalama u odgovarajućim tačkama. Iz geometrijskih odnosa na Sl. 1.15 zaključujemo da je $\gamma =\alpha +\beta$. Napišimo zakon prelamanja zraka na ulaznoj i izlaznoj ravni:

$$\text{sin}\theta _{\text{i}}=n\,\text{sin}\alpha, \tag{1.13}$$ $$\text{sin}\theta _{\text{t}}=n\,\text{sin}\beta. \tag{1.14}$$

Uvedimo pomoćni parametar $\delta$ u skladu sa relacijama

$$\alpha =\frac{\gamma }{2}+\delta, \tag{1.15}$$ $$\beta =\frac{\gamma }{2}-\delta. \tag{1.16}$$

Zamenom relacija (1.15) i (1.16) u (1.13) i (1.14) dobijamo

$$\text{sin}\theta _{\text{i}}=n\left[\text{sin}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{cos}\delta +\text{cos}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{sin}\delta \right], \tag{1.17}$$ $$\text{sin}\theta _{\text{t}}=n\left[\text{sin}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{cos}\delta -\text{cos}\left(\frac{\gamma }{2}\right)\,\text{sin}\delta \right]. \tag{1.18}$$

Ove relacije možemo rešiti po $\text{sin}\delta$ i $\text{cos}\delta$ i primenom identiteta $\sin ^{2}\delta +\text{cos}^{2}\delta =1$ dobiti

$$\frac{(\text{sin}\theta _{\text{i}}-\text{sin}\theta _{\text{t}})^{2}}{[2n\,\text{cos}(\gamma /2)]^{2}}+\frac{(\text{sin}\theta _{\text{i}}+\text{sin}\theta _{\text{t}})^{2}}{[2n\,\text{sin}(\gamma /2)]^{2}}=1. \tag{1.19}$$

U Dekartovom sistemu ($x=\text{sin}\theta _{\text{i}}$, $y=\text{sin}\theta _{\text{t}}$) relacija (1.19) predstavlja elipsu zarotiranu za $45^{0}$, Sl. 1.16. Poluose elipse su $\sqrt{2}n\,\text{cos}(\gamma /2)$ i $\sqrt{2}n\,\text{sin}(\gamma /2)$. Jednačina je invarijantna u odnosu na međusobnu zamenu uglova $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{t}}$, što je u skladu sa principom reverzibilnosti zraka u optičkim sistemima. Za dato $n$, elipse svih uglova $\gamma$ upisane su u kvadrat stranice $2n$; za pravouglu prizmu, elipsa degeneriše u krug.

Ugao devijacije $\eta$ određuje se iz jednakosti $\eta =\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}}-\gamma$, koja je vidljiva sa Sl. 1.15. Na osnovu jednačina koje smo već ispisali, nije teško pokazati da je

$$\eta =\theta _{\text{i}}-\gamma +\text{arcsin}\left\{n\,\text{sin}\left[\gamma -\text{arcsin}\left(\frac{1}{n}\,\text{sin}\theta _{\text{i}}\right)\right]\right\}. \tag{1.20}$$

Korisno je funkciju $\eta =f(\theta _{\text{i}})$ ispitati. Pre svega je možemo nacrtati za neke tipične vrednosti parametara, na primer za $n=1,5$ i $\gamma =30^{0}$. Takav PC

Sl. 1.16 Karakteristična elipsa pri prelamanju zraka prizmom

Sl. 1.17 Kako prizma otklanja zrake

grafik prikazan je na Sl. 1.17. Jasno se vidi da postoji minimum na oko $22,9^{0}$. U stvari, polazeći od jednačine (31) može se analitički odrediti ekstremum ugla devijacije, nalazeći nulu prvog izvoda. Rezultat je

$$\eta _{\text{e}}=2\,\text{arcsin}\left(n\,\text{sin}\frac{\gamma }{2}\right)-\gamma. \tag{1.21}$$

Ovaj se ugao realizuje kada je put zraka kroz prizmu simetričan ($\alpha =\beta =\gamma /2$, $\theta _{\text{i}}=\theta _{\text{t}}$). Takođe, tada je $d\theta _{\text{i}}/d\theta _{\text{t}}=-1$, a to je uslov koji je grafički lako prepoznatljiv: na Sl. 1.16 njemu odgovaraju tačke $M_{1}$ i $M_{3}$. Ostavlja se čitaocu da dokaže zanimljiv fakt da je ekstremum (1.21) mimimum devijacije kad je $n>1$, a maksimum u slučaju $n<1$.

Vazdušna prizma u staklenoj okolini;

relativni indeks prelamanja manji je od jedan

Slučaj da je indeks prelamanja prizme manji od jedan može se realizovati ako prizmu stavimo u neku optički gušću sredinu. Sistem se tada ponaša kao prizma indeksa prelamanja $n<1$ u vakuumu (praktično u vazduhu). Više o tome reći ćemo u izlaganju o sočivima. Inače, u radio-dijapazonu se regularno razne plazmene sredine opisuju indeksom prelamanja tipa

$$n^{2}=1-\omega _{\text{p}}^{2}/\omega ^{2}\,<1.$$

Slični postupci primenjuju se i u kratkotalasnom nevidljivom delu optičkog dijapazona.

Inače, kada su relevantni uglovi mali u matematičkom smislu, ili u opitu takva aproksimacija nije gruba, može se ugao devijacije uprostiti:

$$\eta =\gamma \,(n-1). \tag{1.22}$$

Približno, prizma otklanja sve upadne zrake za isti ugao devijacije koji je određen parametrima prizme: indeksom prelamanja i uglom prizme.

Sl. 1.18 Kombinacija dve prizme

Pri simetričnom putu zraka, intenzitet izlazne svetlosti najveći je. Još je Njutn isticao: gde su uglovi najveći ili najmanji, gustina izlaznih zraka je povećana. Ovaj se fakt može verifikovati pomoću Frenelovih jednačina, koje ćemo izučavati kasnije, u trećem poglavlju. Poznato je da je Herc u svojim opitima iz 1887. g. ispitivao svojstva elektromagnetskih talasa pomoću prizmi, i to upravo primenjujući simetrične konfiguracije, da poveća osetljivost detekcije.

Primene prizmi su mnogobrojne, raznolike su i varijante izrade koje zavise od osobenosti konkretne primene. O tome ćemo još posebno govoriti u trećoj glavi. Preporučujemo čitaocu tekst u knjizi: L. V. Tarasov, A. N. Tarasova, Besede o prelamanju svetlosti (na ruskom), “Nauka”, Moskva 1982, s. 44-54, kao uvodni pregled pre ozbiljnijeg uvida u posebne teme prelamanja snopova pomoću prizmi u optičkim aparatima. Ovde se nećemo osvrtati na razne modifikacije prizmi specijalne namene (penta, romboidne, poligonalne prizme i sl). Kombinacijama prizmi dobijaju se novi elementi. O Frenelovoj bi-prizmi govorićemo u poglavlju o interferenciji, a pomenimo kubični bim-spliter (Sl. 1.18) koji nastaje slepljivanjem dve pravougaone prizme; ponekad je bolji od klasičnih delitelja snopova na bazi ogledala, jer se mogu izbeći neželjene refleksije u sistemu. Na ovaj ili onaj način korisno je vladati u svim tim slučajevima jednačinama koje smo izložili.

Indeksi prelamanja pojedinih prizmi mogu biti različiti, zavisno od materijala koji je upotrebljen. Široko se eksploatišu mnogobrojne tehnološke varijante kvarca (suprasil, herasil, infrasil i sl). Primenjuje se i visokokvalitetna obrada površina, o čemu smo govorili kod ogledala, a prema potrebi primenjuju se, takođe, tehnike metaliziranja, premaza dielektričnim filmovima itd.

O ekvilateralnim (disperzionim) prizmama, koje se primenjuju za demonstriranje disperzije bele svetlosti, nećemo ovde govoriti; u gornjem izlaganju smo prećutno pretpostavili rad sa monohromatskim zračenjem.

A sada, za utvrđivanje znanja i razonodu, jedan naučno-popularni članak.

LAŽNA SUNCA

1. Te srede 22. marta 2006. godine putovao sam iz Beograda za Kragujevac. Jutro je bilo sveže. Nebo je bilo polu-oblačno, sa puno visokih, pramenastih, cirusa. Negde pre skretanja sa autoputa za Mali Požarevac vidio sam na istočnoj strani neba Sunce, još nisko nad horizontom; kroz oblake kao kroz mat staklo gledao sam u bledi sunčev disk koji mi se učinio kao stari srebrnjak na dnu slučajno otvorene škrinje. Savršeno okrugla kontura zvezde rasplinjavala se u mlečni fon atmosfere.

Odjednom, ugledam kruškastu svetlu površinu s desne strane Sunca, na liniji koja se od centra diska pružala horizontalno. Mrlja je bila crvenkasta s unutrašnje strane, sjajna u sredini i imala blagu plavu nijansu sa spoljašnje strane. Izgledalo je kao da to mesto iz pozadine osvetljava neki moćni reflektor neuobičajenom svetlošću. Osmotrim okolinu neba i primetim još jedno takvo svetlo, ali sa suprotne strane Sunca, na levoj strani: stajalo je kao lik u ogledalu onog kojeg sam upravo opisao. Skoro minut sam mogao da posmatram taj prizor; pogledao sam na časovnik — bilo je sedam sati i osam minuta. Ugaono rastojanje dva sunčeva pratioca brzo sam procenio, koristeći priručni lenjir koji se slučajno našao u mojoj tašni, na oko pedeset stepeni (ali je to svakako bilo grubo merenje). Napravio sam u notesu, u uzbuđenju da vidim, za naše krajeve bar, dosta retku astronomsku pojavu, osnovnu skicu predela i istočnog neba; kasnije sam crtež pokušao da usavršim. Došao sam do šeme kojom sam bio uglavnom zadovoljan. Taj crtež vidimo na slici 1.

Slika 1. Crtež atmosferske pojave

Kasnije, pokušavajući da objasnim fenomen, setio sam se da sam, davno, čitajući jednu popularnu knjigu iz optike [L. V. Tarasov i A. N. Tarasov, Besede o prelamanju svetlosti (na ruskom), „Nauka”, Moskva 1982.], naišao na opis svetlog prstena koji, u povoljnim okolnostima, može da se vidi oko Sunca, ali i oko Meseca. Takav svetli obruč se zove halo. Dalje ćemo se ukratko pozabaviti fizikom sunčevog hala.

2. Halo nastaje zbog prelamanja zraka Sunca na malim kristalima leda iz kojih se sastoje visoki oblaci (cirusi na oko desetak kilometara visine). Te ledene iglice imaju često oblik pravilne šestostrane prizme (slika 2 $a$).

Slika 2 Prelamanje svetlosti na kristalu leda

Zrak koji je upao na jednu stranicu prizme, a izašao kroz drugu, prelama se kao kroz prizmu koja ima ugao otvora $\theta =60^{0}$, što se vidi na slici 2 $b$. Ako, međutim, upada na jednu stranicu, a izlazi kroz bazu, prelama se kao kroz prizmu koja ima ugao otvora $\theta =90^{0}$, što se vidi na slici 3 $a$.

Slika 3 Šema nastanka velikog i malog hala

U oblaku, prizme su različito orijentisane u odnosu na pravac zraka. To znači da zraci upadaju pod različitim uglovima $\alpha$ u odnosu na normalu N. Zbog toga se zraci i prelamaju pod različitim uglovima, te imaju i različite izlazne pravce definisane uglom $\delta$ u odnosu na upadni pravac. Međutim, najsjajniji su zraci koji približno idu kroz prizmu na simetričan način. To je slučaj minimalnog ugla otklona zraka. Oko tog ugla se, kako je još Njutn objašnjavao povodom duge, zgušnjavaju zraci. Na taj način, u situaciji sa slike 2 $b$ biće intenzivan snop svetlosti koji se otklonio za ugao 22 stepena od upadnog pravca; taj ugao u situaciji sa slike 3 $a$ iznosi 46 stepeni. Dakle, posmatrač sa slike 3 $b$ je u prilici da vidi dva hala! Veliko halo daju prelamanja zraka kao na slici 3 $a$, a malo halo prelamanja kao na slici 2 $b$.

Obratimo pažnju na sledeće upoređenje. Kod duge, pojavu gledamo kad Suncu okrenemo leđa (i tada je reč o maksimalnom uglu). Kod hala, pojavu gledamo kad se okrenemo Suncu (i tada je reč o minimalnom uglu).

3. Pogledajmo sada kako se izračunavaju pomenuti uglovi od 22 i 46 stepeni. Pogledajmo na slici 2 $b$ zrak 1 koji upada na stranicu prizme pod uglom $\alpha$; posle dva prelamanja, u tačkama A i B, on se udaljava od prizme, koja ima otvor $\theta$ a napravljena je od prozračnog materijala indeksa prelamanja $n$, kao zrak 2 pod uglom $\delta$.

Osnovna formula prizme lako se dobija pomoću zakona prelamanja svetlosti i glasi:

$$\delta =\alpha -\theta +\arcsin \left\{n\sin \left[\theta -\arcsin \left(\frac{\sin \alpha }{n}\right)\right]\right\}.$$

Nacrtajmo sada grafik zavisnosti $\delta \left(\alpha \right)$ za tri vrednosti ugla $\theta$ i za $n=1.31$(led). Dobićemo familiju krivih sa slike 4:

Slika 4. Prelamanje zraka kroz prizmu; horizontalna osa: upadni ugao na prizmu; vertikalna osa: ugao skretanja zraka; odozgo nadole, ugao otvora prizme iznosi redom 90, 60 i 30 stepeni

Krive imaju široki minimum. Položaj minimuma se izračunava iz formule

$$\delta _{\min }^{\theta }=2\arcsin \left(n\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-\theta.$$

Odgovarajući grafik vidimo na slici 5.

Slika 5. Simetrično prostiranje zraka kroz prizmu

Odavde je sada prosto da dobijamo sledeće rezultate: a) zamenjujući $\theta =60^{0}$ nalazimo $\delta _{\min }^{60}=21^{0}.8393\approx 22^{0}$; b) stavljajući $\theta =90^{0}$ izračunavamo $\delta _{\min }^{90}=45^{0}.7334\approx 46^{0}$. To su upravo oni uglovi koje smo skicirali na slici 3 $b$.

4. Kod prelamanja zraka, efekat zavisi od talasne dužine svetlosti, pa su prstenovi obojeni. Unutrašnja oblast svetlog prstena je crvenkasta. Veliko halo je intenzivnije obojeno. Pri haotičnom rasporedu kristala leda, vidi se pun krug hala. Ako postoji dominantna osa orijentacije kristala, pojedini delovi prstena biće izrazito svetli. U tom slučaju može da se javi, na primer, kresta. To „znamenje ” je uočeno odavno i plašilo je ljude, o čemu postoje pisani trgovi čak iz 12. veka.

Ako su ose šestostranih prizmi orijentisane vertikalno, ne vidimo ceo krug hala, već samo dve svetle površine nalik na Sunce, a koja leže na horizontali koja prolazi kroz centar Sunce. Uspeo snimak ovog slučaja vidimo na slici 6, koju smo pozajmili sa Internet adrese [http://homepage.mac.com/stockdog/Pictures/Gallery/SundogIce.jpg\].

Slika 6. Fotografija lažnih sunaca [2]

Pojava se u ovom slučaju zove lažna sunca ili parhelia (na engleskom: mock-suns, ili sun dogs). Posmatrač kao da vidi tri sunca! Rastojanje između dva lažna sunca iznosi 2x22 stepena. Takva se slika može videti kad je vreme tiho i pri niskom položaju Sunca.

Vidimo, halo je u nekim elementima srodna pojava sa dugom, istina mnogo ređa pojava. Lepota hala i pratećih detalja kao što su lažna sunca zadivljujuća je. Zato mladi istraživači i učenici treba ponekad da uprave svoj pogled prema dnevnom nebu, možda će biti te sreće da primete ovu astronomsko-atmosfersku pojavu. U tome će im pomoći sledeći opis okolnosti koje pogoduju nastanku hala [M. Minart, Svetlost i boja u prirodi (na ruskom), „Nauka”, Moskva 1980.]: „Posle nekoliko dana lepog vremena, pritisak pada i javlja se južni vetar. Na zapadu se pojavljaju visoki oblaci, prozračni i brzi, nebo postepeno postaje mlečno-belo. Čini se da Sunce sjaji kroz mlečno staklo, njegove konture se rasplinjavaju. Pejzaž je osvetljen posebnim, nedefinisanim svetlom. Osećam da se oko Sunca mora javiti halo. I skoro uvek sam u pravu.”

Epilog. Znatno kasnije, na sličnom putovanju uspeo sam da napravim, kroz prozor autobusa, dosta uspelu fotografiju lažnog sunca:

Jutro kod Mladenovca: prizor lažnog sunca

Tanko sočivo

Izučimo osnovna svojstva prelamanja svetlosti kroz prozračno telo ograničeno sa dve sferne površine. Takav optički element naziva se sočivo. Obeležimo sa

Sl. 1.19.. Uz analizu tankog sočiva

$R_{1}$ poluprečnik krivine prednje površine (kroz koju svetlost ulazi), a sa $R_{2}$ poluprečnik krivine zadnje površine, kroz koju svetlost izlazi iz sočiva. Debljinu sočiva u centralnom delu označimo sa $d$. Osu simetrije $x$ nazovimo optička osa sočiva. Paralelno optičkoj osi, na odstojanju $h$ (Sl. 1.19), upućujemo laserski zrak koji će pogoditi sočivo u tački A. Posle prelamanja na površinama, zrak će skrenuti ka optičkoj osi, ako je indeks prelamanja sočiva veći od jedan, a sočivo se nalazi u vazduhu (ako drugačije nije naglašeno, smatraćemo da je taj uslov zadovoljen u našim razmatranjima). Pošaljimo sada drugi laserski zrak kroz sočivo, ovog puta duž optičke ose. Do preseka dva zraka dolazi u nekoj tački F i to ukrštanje možemo u opitu jasno videti.

Upadni snop od pet zraka fokusira sabirno sočivo u žižu

Udaljenost tačke $F$ od centra sočiva označimo sa $f$; to je žižna daljina sočiva. Kaže se da je sočivo tanko ako je zadovoljena nejednakost $d\ll f$. Upravo takav slučaj dalje analiziramo.

Prelamanje laserskog zraka na ulaznoj površini možemo tretirati pod učinjenim pretpostavkama kao prelamanje prizmom malog ugla, u skladu sa formulom (1.22). Tu ideju razjasnimo koristeći Sl. 1.20.

Sl. 1.20 Izvodimo optičarsku formulu

Iz centra O povucimo deo kruga $\overset{\frown}{DAE}$ poluprečnika $R_{1}$. To je presek ulazne površine sočiva i ravni crteža. Zrak upada u tačku A. Povucimo tangentu $\overline{AC}$ na kružnicu u toj tački. Prizma ABC dobro aproksimira onaj deo sočiva ABD koji i određuje stvarni ugao devijacije na ulaznoj površini. Obeležimo ugao prizme ABC sa $\gamma _{1}$. Taj isti ugao je kod temena O u trouglu AOB. Tako zaključujemo da je sin $\gamma _{1}\simeq \gamma _{1}=h/R_{1}$. Istu logiku primenjujemo i pri analizi prelamanja na izlaznoj površini. Tamo je ugao ekvivalentne prizme $\gamma _{2}=h/R_{2}$. Ugao devijacije na prvoj „prizmi” je $\eta _{1}=(n-1)\gamma _{1}$, a na drugoj $\eta _{2}=(n-1)\gamma _{2}$. Dakle, vrlo približno je ukupna devijacija laserskog zraka $\eta =\eta _{1}+\eta _{2}$, tj.

$$\eta =h(n-1)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{1.23}$$

Vidljiva je važna osobina opisanog procesa: i neki treći laserski zrak koji bi se prostirao paralelno optičkoj osi, ma gde da uđe u sočivo, prošao bi kroz žižu F, prosto zato što je $\eta \sim h$ - udaljeniji zraci imaju i veći ugao devijacije. Zbog toga, za tanko sočivo o kojem je reč kažemo da je sabirno, ili konvergentno. Kako je (v. Sl. 1.19) $\eta \simeq h/f\,$, pomoću relacije (1.23) dobijamo

$$\frac{1}{f}=(n-1)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{1.24}$$

Recipročna vrednost žižne daljine predstavlja optičku moć sočiva. Tu veličinu ćemo obeležavati sa $\Phi$. Sočivo veće optičke moći jače prelama zrake. Optička moć se meri u dioptrijama (D). Dioptrija je recipročni metar. Na primer, za sočivo žižne daljine $50\,$ cm kažemo da je jako dve dioptrije, $\Phi =2\,\text{D}$. Inače, formula (1.24) je uputstvo kako napraviti tanko sočivo zahtevane optičke moći, od datog materijala. Zavisno od potreba i namena konkretnog sočiva, taj se zadatak može rešiti na više načina. $a$) Ako se uzme da je jedna površina ravna ($R_{1}=\infty$), a druga ispupčena ($R_{2}>0\,$), dobija se plan-konveksno sabirno tanko sočivo. $b$) Ako su poluprečnici obe površine veći od nule i konačni, sočivo je bikonveksno, kao ono na Sl. 1.19. $c$) Ulazna površina može biti konkavna (posmatrano iz smera prostiranja svetlosti), $R_{1}<0$, a izlazna konveksna ($R_{2}>0$). Ako je pritom $\left|R_{1}\right|>R_{2}$, sočivo je sabirno (najdeblje je u sredini). Ovakvo sočivo poznato je kao konveksni meniskus.

U čemu je smisao konvencije, koju smo upravo pomenuli u slučaju $c$), da poluprečnik sferne površine možemo tretirati kao negativnu veličinu? To je način da formalno uzmemo u obzir činjenicu da će konkavne površine prelamati, kao što smo objasnili, slično tankoj prizmi, ali će ta ekvivalentna prizma u ovom slučaju biti prevrnuta, vrhom na dole usmerena, te će ugao devijacije $\eta =h/R$ biti usmeren ne ka optičkoj osi, već na drugu stranu, biće dakle negativan. U računu, to uzimamo u obzir smatrajući da je $R<0$, zadržavajući mogućnost da koristimo i u tom slučaju jednu te istu formulu (1.24).

Sl. 1.21 Žižna ravan i žiža u njoj

Ako laserski zrak u našem opitu nije paralelan optičkoj osi, već sa njom gradi neki ugao $\phi$, formula (1.24) ostaje na snazi kad ugao nije odveć veliki (u toj aproksimaciji kažemo da je zrak paraksijalan). Stvar je u tome što će za paraksijalni zrak i dalje moći da se koristi približna formula prizme $\eta =(n-1)\gamma$, kao i za prostiranje duž optičke ose sočiva. Pošaljimo laserski zrak kroz centar sočiva, pod uglom $\phi$ prema optičkoj osi. Videli smo da se takav zrak, približno, neće prelamati (jer je $h=0$). Uputimo još jedan zrak, paralelan prethodnom koji će ući u sočivo na nekom rastojanju od centra. Videćemo da se zraci više neće seći u žiži već u nekoj tački F koja pripada žižnoj ravni. To je ravan koja prolazi kroz žižu, a normalna je na optičku osu (v. Sl. 1.21).

Sl. 1.22 Rasipno sočivo

Rastojanje tačaka iznosi $\overline{FF'}\simeq f\varphi$.

Kvalitativno drugačije se ponaša sočivo sa graničnim površinama koje imaju negativne poluprečnike, $R_{1}<0$ i $R_{2}<0$. Takvo sočivo skicirano je na Sl. 1.22. Zrak koji putuje paralelno optičkoj osi neće se nigde preseći sa zrakom koji je usmeren duž optičke ose. Naprotiv, on se posle prelamanja udaljava od ose.

Dejstvo tankog staklenog rasipnog sočiva u vazduhu

Međutim, ako u mislima produžimo pravac prelomljenog zraka, taj fiktivni zrak preseći će osu u tački F. Realni zrak se prostire posle prelamanja kao da je krenuo iz te tačke koju ćemo ipak zvati žiža sočiva, po analogiji sa sabirnim sočivom.

Sočiva ovakvih osobina zovu se rasipna, ili divergentna, sočiva. Rasipno sočivo ne mora uvek biti bikonveksno kao na posmatranoj Sl. 1.22. Poznata su i plan-konkavna sočiva (jedna površina ravna, $R_{1}=\infty$, druga konkavna, $R_{2}<0$). Na kraju, rasipna sočiva zvana konkavni meniskus imaju $R_{1}>0$ i $R_{2}<0$, ali je $R_{1}>\left|R_{2}\right|$. Kod svih ovih vrsta, debljina rasipnih sočiva najmanja je u centralnom delu, kuda prolazi optička osa, što i jeste osnovna osobenost pomoću koje odmah možemo prepoznati da li neko sočivo sabira ili rasipa svetlost.

Ovaj pristup rasipnim sočivima podrazumeva da i za njih važi formula (1.24), koju ponegde zovu optičarska formula (engleski termin: lens maker’s equation). Shodno njoj, optička moć rasipnog sočiva je negativna veličina. Po toj konvenciji, koja je praktična i omogućava korisnu generalizaciju, žižnu daljinu rasipnog sočiva $f$ treba da tretiramo kao negativnu veličinu. Na primer, podatak da tanko sočivo ima optičku moć $\Phi =-3,5\,\text{D}$ znači da je to rasipno sočivo sa apsolutnom vrednošću žižne dužine $f=28,57\,$ cm.

Primetimo da su pojmovi konvergentno sočivo i divergentno sočivo relativni. Jedno isto sočivo može funkcionisati i kao konvergentno i kao divergentno, zavisno od toga da li se nalazi u optički ređoj ili optički gušćoj sredini. Da to pokažemo, zamislimo da se sočivo indeksa prelamanja $n_{1}$ nalazi u sredini indeksa prelamanja $n_{2}$. Izvođenjem koje se principijelno ne razlikuje od onog koje smo primenili u gornjem postupku kada je sočivo bilo u vazduhu, dobija se rezultat

$$\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\left[\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right]. \tag{1.25}$$

Ako je $n_{1}/n_{2}-1>0$, glavni zaključci koje već znamo ostaju na snazi. Međutim, kad je $n_{1}<n_{2}$ optička sila sočiva menja znak, pa sočiva koja su u vazduhu konvergentna tad rasipaju svetlost, a divergentna sabiraju. Formalno, problem se može tretirati kao sočivo relativnog indeksa prelamanja $n=n_{1}/n_{2}$ u vazduhu. U tom slučaju, ako je $n>1$ možemo koristiti termine na uobičajeni način, kao što smo gore i preporučili.

Da potkrepimo ove tvrdnje, prilažemo donje fotografije snimljene u opitima sa inverznim sočivima (imaju relativni indeks prelamanja manji od jedan).

Inverzno bikonkavno sočivo deluje kao sabirno sočivo

Inverzno bikonveksno sočivo deluje kao rasipno sočivo

Formiranje optičkih likova pomoću tankih sočiva

Videli smo da je tanko sočivo u stanju da skupi u žižu svetlosni snop koji dolazi iz beskonačno udaljene tačke na optičkoj osi. Pogledajmo sada šta će biti sa zracima koji polaze iz neke tačke P sa konačnog rastojanja od sočiva. To rastojanje označićemo sa $p$ (v. Sl. 1.23). Na početku ćemo pretpostaviti da je tačka P dalje od žiže sočiva, pa je $p>f$.

Sl. 1.23 Izvođenje jednačine tankog sočiva

Usmerimo laserski zrak iz te tačke pod uglom $\alpha$ prema optičkoj osi. On ulazi u sočivo kroz tačku A koja je na rastojanju $h$ od optičke ose. Posle prelamanja na površinama sočiva i otklona od prvobitnog pravca za ugao devijacije $\eta$ zrak će dospeti u tačku Q pod uglom $\beta$ prema optičkoj osi. Tu ćemo videti njegovo ukrštanje sa drugim zrakom koji smo usmerili duž optičke ose. Obeležimo sa $q$ rastojanje tačke ukrštanja Q od centra tankog sočiva. Ugao $\eta$ je spoljašnji ugao za trougao APQ, pa je $\eta =\alpha +\beta$. Kako su zraci po pretpostavci paraksijalni, možemo koristiti uprošćene relacije $\alpha \simeq h/p$ i $\beta \simeq h/q$. Pri tome, uvek je za tanko sočivo $\eta =h/f$, tako da odmah dobijamo

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}. \tag{1.26}$$

Za dati položaj tačke P i određeno sočivo, tj. definisanu žižnu daljinu $f$, potpuno je određen i položaj tačke Q, relacija ne zavisi od rastojanja $h$. Prema tome, svi paraksijalni zraci istog parametra $p$ imaće isto i $q$. Drugim rečima, pomoću sočiva formirali smo lik Q tačkastog predmeta P na optičkoj osi. Taj je lik realan, nastao presekom stvarnih zraka.

Sl. 1.24 Karakteristični zraci i lik predmeta

Kako će se formirati lik tačke $P_{1}$, koja se nalazi van optičke ose, ispitaćemo prateći opet putanje dva zraka laserske svetlosti, Sl. 1.24. Prvi zrak usmeravamo paralelno optičkoj osi. Znamo da će se on tako prelomiti da prođe kroz žižu F. Drugi zrak šaljemo iz $P_{1}$ kroz centar sočiva. On ne skreće sa tog pravca (dovoljno tačna tvrdnja u okviru geometrijske optike). Uočavamo presek dva zraka u tački Q $_{1}$. Ta tačka je lik tačke $P_{1}$. Kao i u prethodnom slučaju, lik je realan. Ako P i $P_{1}$ leže u ravni $R$ normalnoj na optičku osu, likovi će takođe ležati u ravni, označimo je $R_{1}$, koju optička osa preseca pod pravim uglom.

U ravni $R$ uočimo vektor koji spaja tačke $P$ i $P_{1}$. Njegova dužina je $\ell _{\text{p}}$. Takođe, uočimo u ravni $R_{1}$ vektor dužine $\ell _{\text{q}}$ koji spaja tačke $Q$ i $Q_{1}$. Opisanom korespondencijom tačaka dveju ravni shvatili smo da je ovaj drugi vektor lik prvog. Primetimo da su vektori antiparalelni. Formirani lik je obrnut. Pomoću definicione relacije

$$\int_{\text{p}} =-M_{\ell }\,\int_{\text{q}}, \tag{1.27}$$

uvodimo linearno uvećanje $M_{\ell }$ sočiva kao veličinu pogodnu za opisivanje proporcije između neke duži i njenog lika. Za tanko konvergentno sočivo lako nalazimo da je

$$M_{\ell }=-\frac{f}{p-f}. \tag{1.28}$$

Negativni znak zadržavamo kao informaciju da je lik obrnut. Ovo razlikovanje je korisno, jer ćemo kasnije pomoću pozitivnih uvećanja opisivati geometrijske odnose dužina dva vektora u slučajevima kada do inverzije lika ne dolazi. Vidimo da linearno uvećanje neograničeno raste po svojoj

Sl. 1.25 Tanko sočivo u funkciji lupe

apsolutnoj vrednosti kada se ravan $R$ približava žižnoj ravni sočiva, tj. kada $p\to f$. U sledećem pasusu razmotrićemo preslikavanje istim sočivom kada je vektor $\vec{\ell}_{\text{p}}$ između žižne ravni i sočiva.

Skica takvog rasporeda elemenata data je na Sl. 1.25. Iz tačke koja predstavlja vrh vektora $\vec{\ell}_{\text{p}}$ usmeravamo laserski zrak ka sočivu, paralelno optičkoj osi. Zvaćemo ga prvi karakteristični zrak (1). On prolazi iza sočiva kroz žižu. Drugi karakteristični zrak (2) šaljemo iz iste tačke kroz centar sočiva. On nastavlja kretanje bez prelamanja. Zraci se međusobno udaljavaju, nema realne presečne tačke. Ali postoji zamišljena presečna tačka u produžetku zraka 1 i 2 pa možemo govoriti o imaginarnom liku $\int_{\text{q}}$ na rastojanju $q$ od sočiva. Linearno uvećanje iznosi

$$M_{\ell }=\frac{f}{f-p}. \tag{1.29}$$

Uvećanje je pozitivno, lik je uspravan. Postavlja se pitanje koliko je opravdano o imaginarnom liku govoriti kao o smislenom pojmu. Prvo, lako se uveriti prostim opitom da naše oko postavljeno odmah pored sočiva sa desne strane vidi imaginarni lik (o tome ćemo još govoriti kod objašnjenja rada uveličavajućeg stakla, lupe). Drugo, pokazuje se da imaginarni lik može da se podvrgne daljim optičkim transformacijama u nekim složenijim optičkim sistemima. Znači, koncept imaginarnog lika ima puno fizičko opravdanje.

Sl. 1.26 Rasipno sočivo u dejstvu

Sada ćemo videti osobenosti formiranja likova pomoću divergentnog sočiva, Sl. 1.26. Opet, počećemo analizu kada je koordinata predmeta (vektora $\int_{\text{p}}$) veća od žižne dužine, $p>f$. Prvi laserski zrak putuje paralelno optičkoj osi. Sočivo ga prelama tako da nema realne presečne tačke sa njom. U produžetku prelomljenog zraka može biti govora o preseku tog pravca sa optičkom osom. Tu tačku $F$ zovemo imaginarna žiža. Drugi karakteristični zrak polazi od vrha vektora prema centru sočiva i tamo se ne prelama. Vidimo da ne može biti govora o realnom preseku dva zraka. Presek postoji između zamišljenog produžetka prvog zraka i realnog drugog zraka i na tom mestu se formira imaginarni lik $\int_{\text{q}}$. Postoje sledeće proporcije: $\ell _{\text{p}}/p=\ell _{\text{q}}/q$ i $\ell _{\text{p}}/f=\ell _{\text{q}}/\left(f-q\right)$. Odavde nalazimo jednačinu tankog divergentnog sočiva

$$-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}. \tag{1.30}$$

Linearno uvećanje je $q/p$, što se svodi na

$$M_{\ell }=\frac{f}{p+f}. \tag{1.31}$$

Lako je pokazati da se u ovim formulama neće ništa promeniti u slučaju da je $p<f$. Prepuštamo čitaocu da sam skicira putanje karakterističnih zraka, odredi položaj lika i ustanovi geometrijske odnose između veličina $p$, $q$, i $f$, kao i količnik $\ell _{\text{p}}/\ell _{\text{q}}$.

Ponekad je korisno tretirati rastojanja i uvećanja kao algebarske veličine. Usvojimo da je kod konvergentnih sočiva žižna dužina pozitivna, a kod divergentnih negativna (u skladu sa konvencijom o algebarskim vrednostima poluprečnika krivine površina sočiva). Rastojanje $p$ je uvek pozitivno, ali smatrajmo da je rastojanje $q$ do realnog lika pozitivno, a do imaginarnog negativno. Takođe, dogovorimo se da pozitivnim uvećanjem opisujemo uspravan, a negativnim obrnut lik. Tada, očevidno, možemo generalisati formule. Jednačina

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$$

može biti primenjena i za konvergentno i za divergentno sočivo, ona je prosto formula tankog sočiva. Linearno uvećanje u obliku $M_{\ell }=-f/(p-f)$ postaje upotrebljivo i za konvergentno sočivo (bez obzira da li je $p>f$ ili važi obrnuto) i za divergentno sočivo. Do ovih zaključaka se dolazi bez ikakvih teškoća posmatranjem gornjih formula.

Kad fotografišemo neki predmet želimo da registrujemo u datoj ravni raspodelu njegove površinske osvetljenosti. Da se to realizuje, nije dovoljno staviti foto-ploču neposredno ispred premeta, prosto zato što će zraci iz proizvoljne tačke predmeta padati na sve tačke foto-osetljivog sloja. Tu ne može biti reči o fizički celishodno uspostavljenoj korespondenciji tačaka predmeta i tačaka foto-ploče. Dobro je poznat najjednostavniji način da se postigne željena uređenost zraka bez koje ne može biti zadovoljavajućeg kvaliteta lika. To je metod mračne komore, Sl. 1.27.

Sl. 1.27 Mračna komora

Koristi se kutija neprozračnih zidova koja ima otvor malih dimenzija $O$. Zrak iz svetle tačke $A$ može dospeti samo u tačku $A_{1}$ putanjom po pravoj $\overline{AO}$. Slično, $B$ se preslikava u $B_{1}$. Neka svetla tačka $X$ predmeta imaće svoj lik u jednoznačno određenoj tački $X_{1}$. Predmet $\overline{AB}$ dobija pomoću mračne komore svoj realan i obrnut lik $\overline{A_{1}B_{1}}$ kojeg foto-ploča može da zabeleži.

Ali, način formiranja likova pomoću sočiva daleko je efikasniji. Na primer, zrak $\overline{XC}$ koji pada na neprozirni zid komore izgubljen je za reakciju sa foto-pločom. Kada se upotrebi sočivo, umesto jednog uskog otvora, koriste se za formiranje lika i svi zraci tipa zraka $\overline{XC}$; njih sočivo savija i usmerava u željenu tačku $X_{1}$. Princip uređenosti zraka i dalje time ostaje na snazi, a povećan je intenzitet svetla. U savremenoj tehnici registrovanja i reprodukcije optičkih likova veoma se mnogo koriste sočiva između ostalog i zbog tog preimućstva.

Napomenimo da se danas zna i za metod registrovanja i reprodukcije optičkih likova bez korišćenja sočiva, na savršeno drugačijem principu koji se zove holografija. (O holografiji govorimo u posebnoj glavi ove knjige.)

Sl. 1.28 Testiranje osobina oka

Čovečije oko je optički sistem sa sočivom (na drugom mestu o tome govorimo opširnije). Konvergentno sočivo daje obrnut lik. Postoji prost opit da se pokaže da je lik na mrežnjači zaista obrnut, a da ga tek nervno-moždana obrada tretira kao upravan i time adekvatan predmetu. Napravimo vrhom igle kružni otvor na parčetu kartona. Postavimo karton ispred samog oka i kroz otvor posmatrajmo neku svetlu površinu (ili prosto upravimo pogled prema nebu). Ako pomeramo vrh igle ispred otvora vidimo da se njena senka pomera u istom smeru, šema $a)$. Međutim, kada se vrh igle pomera preko otvora između oka i kartona, šema $b)$, vidimo senku koja se kreće u suprotnom smeru od smera kretanja igle. Ovim malim optičkim ogledom napravili smo “zamku” koju naš psihološki sklop ne može da razazna.

Formiranje optičkih likova pomoću sfernih ogledala

Da se pomoću sfernog konkavnog ogledala može dobiti u žiži lik beskonačno udaljene svetle tačke na optičkoj osi, sledi iz samog postupka kako smo uveli pojam sfernog ogledala (kao dobre aproksimacije za paraboloidno ogledalo). Sferno ogledalo će fokusirati i paralelni snop svetlosti, koji se prostire pod nekim uglom prema optičkoj osi (uz uslov da je još uvek paraksijalan), ali ne u žižu već u neku susednu tačku žižne ravni. Po analogiji sa tankim sočivima, ove činjenice upućuju na zaključak da sferne reflektujuće površine mogu da formiraju optičke likove predmeta. Da detaljnije ispitamo taj proces, kao i u prethodnom odeljku reprezentovaćemo predmet vektorom $\int_{\text{p}}$ koji je u tački P upravan na optičku osu. Ta tačka je na rastojanju $p$ od temena T ogledala. Na početku ćemo smatrati da su sve dužine koje ćemo koristiti pozitivne veličine, a na kraju ćemo videti je li celishodno uvesti algebarsku interpretaciju. Prvo razmotrimo slučaj kada je žiža F između temena i predmeta. Tada je $p>f$ ($f$ je žižna daljina ogledala), Sl. 1.29.

Sl. 1.29 Dejstvo izdubljenog ogledala — realan lik

Pomoću dva karakteristična realna zraka 1 i 2 naći ćemo realnu presečnu tačku koja preslikava vrh vektora. Tako lociramo položaj lika $\int_{\text{q}}$ i fiksiramo njegovu veličinu. Kao i kod sočiva, udaljenost lika od ogledala (tačke T) označavamo sa $q$. Sa Sl. 1.29 je lako uočiti geometrijske odnose

$$\ell _{\text{q}}/\left(q-f\right)=\ell _{\text{p}}/f,$$ $$\ell _{\text{q}}/f=\ell _{\text{p}}/\left(p-f\right).$$

Sl. 1.30 Dejstvo izdubljenog ogledala — imaginaran lik

Zaključujemo da su dužine $f$, $p$ i $q$ povezane relacijom

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},$$

baš kao kod sočiva. To je jednačina sfernog izdubljenog (konkavnog) ogledala. Vidimo da je takvo ogledalo konvergentno. Linearno uvećanje, definisano u skladu sa relacijom $\int_{\text{p}} =-M_{\ell }\,\int_{\text{q}}$, iznosi

$$M_{\ell }=-\frac{f}{p-f}.$$

Uvećanje je negativno, po apsolutnoj vrednosti može biti kako manje tako i veće od jedinice. Lik je realan i obrnut; raste kada $p\to f$.

Kakve promene nastaju kada lik prođe žižu i stupimo u oblast $p<f$ možemo shvatiti analizirajući putanje zraka sa Sl. 1.30. Navešćemo samo zaključke koje čitalac može lako da proveri. Jednačinu sfernog ogledala sada treba pisati u obliku

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}.$$

Linearno uvećanje je pozitivno,

$$M_{\ell }=\frac{f}{f-p}.$$

Lik je imaginaran i uspravan, uvećan je ($M_{\ell }>1$).

Sl. 1.31 Ispupčeno ogledalo i lik koji daje

Sferno ogledalo se može koristiti i sa njegove konveksne strane, Sl. 1.31. Sa dosadašnjim iskustvom čitalac može sam da prosledi postupak formira lika. Jednačina konveksnog sfernog ogledala glasi

$$-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}.$$

Linearno uvećanje je

$$M_{\ell }=\frac{f}{f+p}.$$

Lik je direktan i umanjen.

Sl. 1.32 Ravno ogledalo

Kvalitativan uvid u sve pobrojane osobine likova kod sfernih ogledala stičemo gotovo svakodnevno, u običnim životnim situacijama, na primer pri obedu: dovoljno je pogledati kašiku. S izdubljene strane lik je obrnut. Kad približavamo prst lik raste, a onda nastaje karakteristična transformacija od obrnutog i realnog u direktan i imaginaran lik pri prolazu kroz žižu. Sa ispupčene strane toga nema, u skladu sa gore izloženim.

Kako ravno ogledalo formira lik shvatamo ako kod konveksnog sfernog ogledala posmatramo granicu $f\to \infty$. Iz jednačine ogledala tada vidimo da $q\to p$ i $M_{\ell }\to 1$. Lik je imaginaran i uspravan, iste veličine kao i predmet, Sl. 1.32.

Primetimo na kraju ono isto što smo naglasili i kod sočiva: za obe vrste ogledala, konvergentno i divergentno, i za sve rasporede predmeta, jednačina ogledala može biti reprezentovana jednom jedinom formom, koja se poklapa sa jednačinom sočiva. Takođe, može biti korišćen jedan oblik izraza za uvećanje. Uslov je da se usvoji konvencija koja propisuje da je za divergentno ogledalo $f<0$, za imaginaran lik $q<0$ i da je $M_{\ell }<0$ ako dolazi do invertovanja lika.

Jedan alternativni oblik formule tankog sočiva

Transformišimo formulu tankog sočiva $1/f=1/p+1/q$ pomoću smena $x_{1}=p-f$ i $x_{2}=q-f$. Dobija se novi oblik

$$x_{1}\,x_{2}=f^{2}. \tag{1.32}$$

Ispostavlja se da ova formula važi i za sočivo koje nije tanko. Relacija nosi naziv Njutnova formula. Ona povezuje rastojanje predmeta od prednje žiže sa rastojanjem lika od zadnje žiže i može se shvatiti kao polazna tačka za razumevanje složenijih optičkih sistema za generisanje optičkih likova. Ovde ćemo navesti jedino bitnije pojmove s tim u vezi.

Pod optičkim sistemom podrazumevamo skup površina koje odbijaju i prelamaju svetlosne snopove. Te površine su granice (obično) optički homogenih sredina. Površine su najčešće sfernog oblika (uključujući i ravne, kao granični slučaj). Retko su složenijeg oblika (hiperboloid, paraboloid i sl.).

Optički sistemi koji sadrže samo sferne i ravne površine označavaju se kao centrirani ako centri svih površina leže na istoj pravoj koja se tada zove optička osa sistema.

Homocentrični snop (zraci imaju zajedničku realnu ili imaginarnu presečnu tačku) koji je napustio tačku $P$, posle transformisanja centriranim optičkim sistemom ponovo će se skupiti u neku drugu tačku $P_{1}$. Za tu tačku kažemo da je lik tačke $P$. Lik predmeta je tačkast (stigmatičan) ako se svaka tačka predmeta preslikava u tačku. Tačke $P$ i $P_{1}$ su spregnute tačke; zbog osobine reverzibilnosti svetlosnih zraka, predmet i lik mogu da zamene mesta.

Ako centrirani optički sistem daje stigmatičan lik geometrijski sličan predmetu, onda je to idealan centrirani optički sistem. Takav će sistem prostor predmeta (kontinualni skup tačaka P) preslikavati u prostor likova (kontinualni skup tačaka $P_{1}$). Tačke, prave i figure dva prostora jednoznačno korespondiraju (kolinearna korespondencija).

Svojstva idealnog centriranog optičkog sistema poznata su kad su zadate kardinalne spregnute ravni i tačke. To su žižne, glavne i čvorne ravni i tačke kao određujući elementi sistema. Definicije i razrada međusobnih odnosa pomenutih pojmova izlaze iz okvira ove knjige (za širi pregled videti, na primer, udžbenik: I. V. Saveljev, Kurs opšte fizike. Tom 2 (na ruskom), “Nauka”, Moskva 1978, s. 328).

U narednom odeljku ćemo izučiti dva jednostavnija primera formiranja likova elementarnim kombinacijama tankih sočiva i ogledala.

Složena sočiva

Razmotrimo prvo optičke osobine kombinacije od dva tanka sočiva. Na Sl. 1.33 vidimo dva konvergentna sočiva u dodiru. Žižne daljine su, redom, $f_{1}$ i $f_{2}$. Laserski zrak upada na prvo sočivo na visini $h$ od optičke ose. Kad ne bi bilo drugog sočiva, ugao deklinacije bi bio $\eta _{1}$, zrak bi se prostirao pravcem (1). Ali, drugo sočivo savija zrak još za ugao $\eta _{2}$ tako da je stvarna putanja prelomljenog laserskog zraka pravcem (2). Presek sa optičkom osom je u tački $F_{\text{e}}$ (ekvivalentna

Sl. 1.33 Složeno sočivo

žiža složenog sočiva). Rastojanje te tačke od centra sočiva je $f_{\text{e}}\simeq h\,\eta$, ekvivalentna žižna daljina. Kako je $\eta \simeq \eta _{1}+\eta _{2}$ i $\eta _{1}\simeq h/f_{1}$ a $\eta _{2}\simeq h/f_{2}$, dolazimo do relacije

$$\frac{1}{f_{\text{e}}}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}. \tag{1.33}$$

Ona nam omogućava da izračunamo žižnu daljinu ekvivalentnog sočiva $f_{\text{e}}$ ako znamo osobine dva tanka sočiva. Iz samog načina izvođenja formule jasno je da ona važi za dodir bilo koja dva tanka sočiva, ako vodimo računa da su $f_{1}$ i $f_{2}$ algebarske veličine. Na primer, za sistem koji se sastoji od konvergentnog i divergentnog sočiva važi $1/f_{\text{e}}=1/f_{1}-1/\left|f_{2}\right|\,$. Posebno, ova relacija može da posluži za eksperimentalno određivanje žižne daljine divergentnog sočiva, koju inače nije prosto odrediti nekakvim direktnim postupkom. Tu pogodnost koristi, na primer, Beselov metod merenja žižne daljine.

Centri dva sočiva mogu biti razmaknuti za neku dužinu $\ell$. Lako je pokazati da u tom slučaju formuli (1.33) treba sa desne strane dodati član $-\ell /\left(f_{1}\,f_{2}\right)$.

Sl. 1.34 Plankonveksno sočivo naslonjeno na ravno ogledalo

Posmatrajmo sada optički sistem koji se sastoji od konvergentnog sočiva žižne daljine $f$ i ravnog ogledala koje idealno reflektuje svetlost; sočivo se naslanja na ogledalo. Zamislimo da se na rastojanju $p$ od centra sočiva (približno, od ogledala) nalazi predmet koji ćemo i ovde reprezentovati vektorom $\int_{\text{p}}$. (Na Sl. 1.34 nacrtani su zraci koji daju lik $\text{A'}$ realne tačke $\text{A}$ na optičkoj osi.) Sočivo bi dalo lik na rastojanju

$$q=\frac{f\,p}{p-f}. \tag{1.34}$$

Sada možemo smatrati da je taj lik, zahvaljujući ogledalu, predmet za povratne zrake i to na rastojanju $p_{1}=-q$ (v. odeljak o ravnom ogledalu). Treba još jednom primeniti jednačinu konvergentnog sočiva imajući to u vidu. Položaj lika $q_{1}$ za kombinovani optički sistem sočivo/ogledalo je onda

$$q_{1}=\frac{f\,p}{2p-f}. \tag{1.35}$$

Pokušajte da izvedete ovu formulu pomoću ideje o liku sabirnog sočiva u ravnom ogledalu! (Problem se svodi na nalaženje ekvivalentne žižne daljine dva sočiva sa Sl. 1.33, to jest na primenu formule 1.33.)

Naglasimo osnovne zaključke. Kada je $p=f$ (predmet u žiži), tada je takođe i lik u žiži, jer se dobija $q_{1}=p=f$. Realni obrnuti lik sučeliće se sa predmetom u žiži. Pošto je to konfiguracija koju je u opitu lako uočiti, opisana procedura je dobar metod za određivanje žižne daljine konvergentnog sočiva.

Ako približavamo predmet, videćemo da se lik udaljava. U skladu sa jednačinom (1.35) kada $p\to f/2$ tada $q_{1}\to \infty$. Čitaocu preporučujemo da proveri da je za $p<f/2$ lik uspravan i imaginaran što se u opitu bez teškoća vidi.

Šema sa Sl. 1.34 pogodna je i za razne primene formule (1.33). Opišimo jednu mogućnost. Nekoliko kapi vode stavimo između ogledala i sočiva. U stvari tako formiramo složeno sočivo (konvergentni stakleni deo i divergentni vodeni deo) naslonjeno na ravno ogledalo. Opisana procedura nalaženja žižne daljine pogodna je i u ovom slučaju za određivanje ekvivalentne žižne dužine $f_{\text{e}}$. Žižna daljina vodenog sočiva može se izračunati pomoću formule tankog sočiva imajući u vidu da je jedna granična površina ravna ($R_{1}=\infty$), a druga sa negativnim poluprečnikom ($R_{2}<0$). Na taj način nalazimo

$$\frac{1}{f_{\text{v}}}=-\left(n_{\text{v}}-1\right)\,\frac{1}{R}. \tag{1.36}$$

Ovde smo sa $R$ označili apsolutnu vrednost poluprečnika krivine dodirne površine voda/staklo. Ako pretpostavimo da je i druga krivina sočiva jednaka $R$, jednačina za sočivo se svodi na oblik

$$\frac{1}{f}=(n-1)\,\frac{2}{R}. \tag{1.37}$$

Ovim postupkom moguće je, na primer, izmeriti indeks prelamanja stakla $n$. Čitalac može lako da proveri rezultat

$$n=\frac{R}{2f_{e}}+1,165. \tag{1.38}$$ $$n_{\text{v}}=1,33. \tag{akoseimauvidudajeindeksprelamanjazavoduusrednjem}$$

Sferna aberacija

Izučavajući formiranje lika malog predmeta pomoću tankog sočiva naglašavali smo da su postupci približni. Zahtevali smo da snopovi budu paraksijalni. Koristili smo monohromatsko lasersko zračenje, pa nismo morali da vodimo računa o disperziji. U praksi, kada nije zadovoljen uslov paraksijalnosti, javljaju se razni nedostaci (aberacije) likova.

Jedna od važnijih aberacija je sferna aberacija. Kada je upadna svetlost polihromatska, u principu se javlja hromatska aberacija, budući da indeks prelamanja materijala sočiva zavisi od talasne dužine svetlosti. Ovde ćemo se šire osvrnuti na sfernu aberaciju.

Sl. 1.35 Uz analizu sferne aberacije

Debelo konveks-planarno sočivo ne daje definisanu žižu

Videli smo da je tanko sočivo u stanju da paraksijalni snop koji polazi iz neke tačke na optičkoj osi ponovo skupi u neku drugu tačku ose sa suprotne strane. Ali, zraci koje neko sabirno sočivo prelama svojim periferijskim delovima (zraci 2 na Sl. 1.35) neće se seći u tački $Q_{1}$, gde se inače stiču zraci 1, već u neku bližu tačku $Q_{2}$. Udaljeniji zraci jače se prelamaju sfernom površinom konvergentnog sočiva. Ovo je svakako moguće proveriti i elementarnom primenom zakona prelamanja. Pod tim okolnostima, više se ne može govoriti o jasno definisanoj žiži. Ako ekran $E$, normalan na optičku osu, prolazi kroz tačku $Q_{1}$, videćemo na njemu ne svetlu tačku, već manju ili veću mrlju kao lik tačkastog izvora u $L$. Takva greška, koju izaziva prelamanje na sfernim površinama zove se sferna aberacija.

Kvantitativno, sferna aberacija se može izučavati pomoću karakterističnih veličina naznačenih na Sl. 1.35. Podužna aberacija $\sigma$ govori o rasponu položaja svih mogućih likova tačke $L$. Poprečna aberacija $\rho$ daje poluprečnik svetle mrlje na ekranu. Pokazuje se da za sočivo izloženo paralelnom snopu svetlosti duž optičke ose važe sledeći izrazi za $\rho$ i $\sigma$

$$\rho =KR_{0}^{3},\quad \sigma =-fKR_{0}^{2}. \tag{1.39}$$

To su parametri glavne sferne aberacije. Ovde je $R_{0}$ poluprečnik sočiva a $f$ žižna daljina. U opštem slučaju, za bikonveksno sočivo važi

$$K=\frac{n^{2}}{2}\left\{\frac{1}{R_{1}^{2}}\left[1-\frac{2(n^{2}-1)}{n^{3}}\right]-\frac{1}{R_{1}R_{2}}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n}-2\right)+\frac{1}{R_{2}^{2}}\right\}. \tag{1.40}$$

($R_{1}$ i $R_{2}$ su pozitivne veličine.) Za simetrično bikonveksno sočivo ($R_{1}=R_{2}=R$) parametar $K$ ima vrednost

$$K=\frac{1}{R^{2}}\left(2n^{2}-2n+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\right). \tag{1.41}$$

Zanimljivo je da ova funkcija ima minimum za $n\simeq 0.86$.

Sl. 1.36 Parametar K za bikonveksno sočivo

Za konvergentna sočiva je $\sigma <0$, a za divergentna $\sigma >0$. Zbog toga, postoji mogućnost da se pogodnom kombinacijom konvergentnog i divergentnog sočiva smanji sferna aberacija u optičkom sistemu. Ali, i za jedno sočivo se aberacije mogu smanjivati izborom količnika $R_{1}/R_{2}$. Pogledajmo PC grafik relacije (1.41) na Sl. 1.36. Može se primetiti da u slučaju $R_{1}/R_{2}\ll 1$ u principu imamo smanjenu aberaciju. To znači da je plan-konveksno sočivo, okrenuto konveksnom stranom prema paralelnom snopu, dosta solidno za izbegavanje sferne aberacije likova. U tom slučaju, lako je iz jednačine (1.41) dobiti

$$K=\frac{n^{2}}{2R}\left[1-\frac{2(n^{2}-1)}{n^{3}}\right]. \tag{1.42}$$

U strožiju analizu minimiziranja aberacija ovde ne možemo ulaziti. Navedimo jedan karakterističan rezultat. Stakleno sočivo (kron staklo, $n=1,5$) s odnosom radijusa krivine $1/6$ pokazuje minimalnu aberaciju kad je ispupčenija strana okrenuta paralelnom upadnom snopu svetlosti.

Sferna aberacija se ne da izbeći ni u prostom slučaju tačkastog izvora monohromatske svetlosti na optičkoj osi kada inače sve ostale vrste grešaka iščezavaju. Principijelno je važno razmotriti mogućnosti projektovanja nesfernih, anaberacionih sočiva. Jedan konkretan primer navodimo u sledećem odeljku.

Anaberaciona sočiva

Fokusirajuće dejstvo konvergentnog tankog sočiva može da se razume i na bazi Fermaovog principa. Zraci koji polaze iz neke svetle tačke na optičkoj osi pa se posle prelamanja skupljaju u spegnutu tačku s druge strane sočiva, očito prelaze različite geometrijske puteve. Najkraći geometrijski put ima zrak koji se prostire duž optičke ose. Međutim, on ima i najduži put kroz optički gušću sredinu sočiva. S druge strane, zraci koji se prelamaju na periferiji sočiva prelaze duži put u vazduhu, ali kraći kroz staklo. Na osnovu toga se naslućuje da su, u stvari, optičke dužine puta iste za sve zrake. Taj se rezultat može i strogo dokazati, što ćemo ovde izostaviti. Prema tome, sočivo funkcioniše u saglasnosti s Fermaovim principom pokazujući stacionarnost optičkih puteva. Drugim rečima, jednaka su vremena putovanja svih zraka. Za takav slučaj se kaže da su zraci tautohroni.

Sferna aberacija i nastaje zbog toga što bi periferijski zraci trebalo da putuju duže do pretpostavljene presečne tačke nego paraksijalni zraci. To je suprotno zahtevu tautohronosti te do fokusiranja i ne dolazi na idealan način. Prosto, sferne površine sočiva ne mogu zadovoljiti taj uslov. Postavlja se onda pitanje koji tip površine mora da ograničava sočivo da bi, u okvirima geometrijske optike, ono dobilo idealno fokusirajuće svojstvo, i to bez ograničenja uslovom paraksijalnosti.

Sl. 1.37 Ideja anaberacionog sočiva

Rešićemo tako formulisan zadatak za sočivo sa Sl. 1.37. Potražićemo oblik krive $y=f(x)$ (presek tražene površine sa ravni crteža) koja će obezbediti da se paralelni snop svetlosti (koji dolazi iz tačke na optičkoj osi sočiva, a ona se poklapa sa $x$-osom) tako prelomi da svi zraci prođu kroz koordinatni početak, tj. kroz žižu sočiva. Ta će površina egzaktno tako prelamati bez obzira na širinu upadnog snopa. Sočivo takvih karakteristika zvaćemo anaberaciono sočivo (ponegde se koristi i termin asferično sočivo).

Ovde je dovoljno primeniti princip tautohronosti zraka. Svi zraci istovremeno upadaju na ravnu graničnu površinu $S$ i potrebno je da svi odatle stignu do žiže za isto vreme. Drugim rečima, optički put $L(x)$ mora biti konstanta. Za neki proizvoljan zrak, na Sl. 1.37 označen sa (1), važi $L(x)=n\,\overline{AB}+\overline{BF}$. Za središnji zrak duž optičke ose je $L_{0}=n\,\overline{A_{0}T}+\overline{TF}$. Ovde je $n$ indeks prelamanja sočiva (pretpostavljamo da je ono u vazduhu). Obeležimo $d=\overline{A_{0}T}$ (centralna debljina sočiva) i $f_{\text{T}}=\overline{TF}$ (rastojanje temena sočiva do žiže). Tada se uslov $L(x)=L_{0}$ svodi na

$$\sqrt{x^{2}+y^{2}}+n(d+f_{\text{T}}-x)=nd+f_{\text{T}}. \tag{1.43}$$

Ovaj se izraz može transformisati na oblik

$$\frac{\int^{2} }{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \tag{1.44}$$

Značenje skraćenica je sledeće:

$$x_{0}=\frac{nD}{n^{2}-1},\quad D=(n-1)\,f_{\text{T}}, \tag{1.45a}$$ $$a=\frac{D}{n^{2}-1},\quad b=\frac{D}{\sqrt{n^{2}-1}}. \tag{1.45b}$$

Kao što se vidi, jednačina (1.44) opisuje hiperbolu s parametrima definisanim jednačinama (1.45a,b).

U polarnom sistemu $\rho (\phi )$ (Sl. 1.37), umesto jednačine (1.44) dobija se jednačina hiperbole u obliku

$$\rho =\frac{(n-1)\,f_{\text{T}}}{-1+n\,\text{cos}\varphi }. \tag{1.46}$$

Ovaj je izraz u nekim slučajevima jednostavniji za analizu. Po principu reverzibilnosti, važi i obrnuta logika: svetlost monohromatskog izvora lociranog u žiži sočiva sa prvom površinom koja je obrtni hiperboloid i drugom ravnom površinom tako prelama zrake da se dobija paralelni izlazni snop, u smislu zakona geometrijske optike.

Izloženi princip ilustruje kako se može pomoću anaberacionih površina napraviti idealno sočivo za spregnute tačke od kojih je jedna u beskonačnosti. Šira teorija asferičnih površina u optičkim sredinama izlazi iz okvira ove knjige (v. D. V. Sivuhin, Opšti kurs fizike. Optika (na ruskom), “Nauka”, Moskva 1980, s. 56, t. 6).

Kvalitetna asferična sočiva prave se tehnologijom presovanja od raznih plastika, od pireksa i sličnih materijala, uz primenu nekolikih tehnika poliranja. Primenjuju se u uređajima za kondenzovanje svetlosnih flukseva, gde su zahtevi visok intenzitet zračenja i homogenost fluksa u određenoj ravni (npr projektorski sistemi).

Frenelovo sočivo

U nekim optičkim uređajima potrebno je formirati dovoljno široke i homogene svetlosne snopove. Ako pokušamo da to realizujemo jednim asferičnim sočivom, nailazimo na velike teškoće. Sočivo bi trebalo da bude neobično debelo. Zbog toga, već bi i njegova primena u standardnim over-head projektorima bila krajnje nepraktična. Pored toga što bi bio težak i glomazan, uređaj bi bio i skup (neophodni su složeni i dugotrajni tehnološki postupci da se obezbedi optička homogenost stakla). Duhovito rešenje s tim u vezi predložio je Frenel 1822. godine radeći na povećanju efikasnosti svetlosnih izvora za svetionike.

Osnovnu ideju Frenelovog postupka razumećemo posmatrajući skicu na

Sl. 1.38 Analiza Frenelovog sočiva

Sl. 1.38. Želimo da svetlost iz tačkastog izvora F transformišemo u širok svetlosni snop $\Phi$. Umesto da se koristi materijal celog hiperboloidnog sočiva $h_{1}$, uzima se u obzir jedino prstenasti njegov deo. Za taj element važi jednačina (1.46), a parametar $f_{\text{T}}$ je rastojanje tačaka F i $T_{1}$. Ostatak asferičnog

Sl. 1.39 Parametri Frenelovog sočiva

sočiva ne postoji. Odmah do ovog prstenastog segmenta stavlja se drugi slični. On je, analogno, deo njemu pripadajućeg hiperboloida $h_{2}$. Nastavljajući taj postupak dobijamo naznačenu „nazubljenu” površinu. Možemo izabrati parametre svakog od koncentričnih segmenata tako da to složeno sočivo daje paralelne zrake duž jedinstvene optičke ose ($OO_{1}$) ako je u zajedničkoj žiži F tačkasti izvor. Takav zaključak

Božidar Aničin (1930 — 2008)

profesor Beogradskog univerziteta

sledi iz analize koju smo razmotrili kod asferičnog sočiva. Sa velikim brojem prstenova (malim korakom obrade materijala) dobija se praktično površinsko sočivo. Segmenti se lepe za podlogu (supstrat) te se dobija optički element koji je danas u praksi poznat kao Frenelovo sočivo (Sl. 1.39). Žižna daljina $f_{\text{F}}$ , prečnik supstrata $P_{\text{s}}$, prečnik aktivnog dela $P_{\text{a}}$ i debljina sočiva $\delta$ su parametri Frenelovih sočiva koje specificira proizvođač.

Sredinom prve polovine prošlog veka Frenelova inovacija revolucionisala je svetioničke sisteme u pomorskim lukama. Bitno je povećan sjaj, a smanjena glomaznost uređaja. O toj zanimljivoj epizodi iz istorije optike može se pročitati u članku: B. A. Aničin, V. M. Babović, D. M. Davidović, Fresnel’s lenses, Am. J. Phys., 57(4), 1989, p. 312. (Ovaj tekst je ušao u izbor memorable članaka, kao

rezultat internacionalnog glasanja čitalaca časopisa American Journal of Physics, za period od osnivanja časopisa 1930. pa do 1990; videti referencu: Am. J. Phys. 59 (3), 201-207, March 1991)

Moderne tehnologije presovanja plastičnih materijala — sa finim korakom od nekoliko stotih delova milimetra — obezbeđuju kvalitetna, jeftina i raznorodna Frenelova sočiva. Glavno im je preimućstvo da mogu sa relativno kratkom žižnom daljinom dati dosta jak, usmeren svetlosni snop, a da je pri tome masa sočiva praktično zanemarljiva. Savremene varijante ovih sočiva od transparentne plastike, kao što je perspex, koriste se u reflektorima, projektorima, kamerama i sl. Prave se i cilindrična sočiva za farove posebne namene, u brodogradnji i dr.