Gravitacija

Kopernikov naučni prevrat

U starom i srednjem veku dominantno mišljenje je bilo da je Zemlja centar sveta. To je učenje poteklo od Ptolomeja i danas je poznato kao Ptolomejev geocentrični sistem. Hrišćanska crkva zvanično je priznavala samo geocentrični sistem; ovo verovanje vladalo je četrnaest stoleća. U XVI veku, Nikola Kopernik je preispitao učenje o vasioni. Kopernik obrazlaže da je u centru vasione Sunce i da se oko Sunca kreću planete.

Keplerovo učenje

Na tragu ove revolucionarne misli, Kepler uspeva da formuliše tri zakona kretanja planeta oko Sunca. Uočavajući suštinske informacije iz bogatog osmatračkog iskustva Tiha Brahea, Kepler zaključuje:

1. Planete opisuju oko Sunca eliptične putanje, u zajedičkoj žiži tih elipsi se nalazi Sunce. Posmatrajmo Sl. 1 na kojoj je skicirana Zemljina (Z) putanja oko Sunca (S); tačka P je perihel elipse, A afel elipse.

Sl. 1 Planeta Zemlja na eliptičnoj putanji oko Sunca

2. Radijus vektor Sunce-planeta u jednakim vremenskim intervalima prebriše jednake površine.

Sl. 2 Planete se oko Sunca kreću promenljivom brzinom

3. Kvadrati perioda obilaska planeta oko Sunca odnose se kao kubovi velikih poluosa njihovih putanja.

$$\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}. \tag{1}$$

Pola veka nakon što je Kepler dao svoja tri zakona, Isak Njutn je otkrio opšti zakon gravitacije, iz kojeg je sledio dublji smisao Keplerovog otkrića. Zakon gravitacije u Njutnovoj formulaciji bitno je uticao na dalji razvoj saznanja o Vasioni.

Gravitaciona sila

Njutn je uočio da se bilo koja dva tela u vasioni privlače, prosto zato što imaju masu. On ističe:

Uz pomoć Sl. 3 možemo ovaj stav pretočiti u matematičku formu i pisati za gravitacionu silu

Sl. 3 Uz razumevanje Njutnovog zakona gravitacije

$$F=\gamma \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}. \tag{2}$$

Ovde su m1 i m2 mase tela malih demenzija u poređenju sa r (međusobno rastojanje masa). Koeficijent proporcionalnosti γ je univerzalna gravitaciona konstanta, koja ne zavisi od prirode i oblika tela niti od osobina sredine u kojoj se ono nalazi. Razume se, i masa 2 privlači masu 1, a pri tome važi treći Njutnov zakon o jednakosti akcije i reakcije.

Proizvoljno telo možemo zamisliti kao skup fizički malih elemenata. Masu $i$-tog elementa označimo sa $\Delta m_{i}$, a masu $k$-tog sa $\Delta m_{k}$. Ta dva elementa interaguje silom (Sl. 4)

$$\Delta F_{ik}=\gamma \frac{\Delta m_{i}\Delta m_{k}}{r^{2}}. \tag{3}$$

Sl. 4 Šta raditi kad mase nisu tačkaste

Onda je ukupna sila kojom se tela privlače jednaka vektorskom zbiru svih elementarnih sila:

$$\vec{F}=\sum\limits \Delta \vec{F}i,k\sum. \tag{4}$$

Ovakav postupak nalaženja ukupne sile ispada prost u slučaju interakcije homogenih loptastih tela masa m1 i m2. Međusobno rastojanje je tada rastojanje između njihovih centara; prema Sl. 5 ono iznosi

$$r=r_{1}+r_{2}+d. \tag{5}$$

Sl. 5 Gravitaciona interakcija dve kugle

Rezultat sumiranja je dat formulom za modul sile:

$$F=\gamma \frac{m_{1}m_{2}}{\left(r_{1}+r_{2}+d\right)^{2}}. \tag{6}$$

Dve kugle interaguju kao dve materijalne tačke istih masa smeštene u centrima kugli.

U SI sistemu, gravitaciona konstanta se meri izvedenom jedinicom $\text{m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$. Gravitacionu konstantu je prvi uspešno merio Kevendiš svojim poznatim eksperimentom pomoću torzione vage.

Henry Cavendish (1731 — 1810) i skica aparature iz njegovog rada (torziona vaga)

Danas se u mnogim primenama uzima da je gravitaciona konstanta jednaka

$$\gamma =6,67\cdot 10^{-11}\text{Nm}^{2}\text{kg}^{-2}. \tag{7}$$

Sila gravitacionog privlačenja znatna je kod tela većih masa (svemirski objekti su takva tela); za mikrotela, praktično se ne može izmeriti.

Ubrzanje Zemljine teže

Vratimo se našoj Sl. 5. Zamislimo da se ona odnosi na interakciju Zemlje sa malom kuglom blizu njene površine. Ubrzanje kugle mase m pod dejstvom konstantne sile $F$ iznosiće $a=F/m$. Imajući u vidu Njutnov zakon gravitacione sile, dobijamo:

$$a=\frac{\gamma \frac{mM}{R^{2}}}{m}=\gamma \frac{M}{R^{2}}. \tag{8}$$

Ovde je M masa Zemlje, a R njen poluprečnik. Ovo se ubrzanje obeležava sa g i naziva ubrzanje Zemljine teže:

$$g=\gamma \frac{M}{R^{2}}. \tag{9}$$

Dve kuglice različitih masa imaće isto ubrzanje pri slobodnom padanju; u datom trenutku imaće i iste brzine $v=gt$ usmerene ka centru Zemlje. U skladu sa ovim su i znameniti Galilejevi opiti sa vrha krivog tornja u Pizi.

Masa i gustina Zemlje

Ubrzanje Zemljine teže $g$ može se relativno lako meriti, na primer u opitima sa matematičkim klatnom. Pokazuje se da je na površini Zemlje $g=9,81$ m/s^2^ . Tada jednačina (9) može da posluži da se proceni masa Zemlje po formuli

$$M=\frac{gR^{2}}{\gamma }. \tag{10}$$

Poluprečnik Zemlje može se izmeriti nezavisnim metodom. Poznat je slavni Eratostenov postupak premeravanja Zemlje koji daje za poluprečnik 6378 kilometara. Za gravitacionu konstantu ćemo iskoristiti vrednost (7). Tada lako izračunavamo

$$M=6\cdot 10^{24}\text{kg}. \tag{11}$$

Nakon što smo izračunali masu, možemo izračunati i gustinu Zemlje. Kako je po definiciji gustina jednaka količniku mase i zapremine, očevidno dobijamo

$$\rho =\frac{\frac{g_{0}R^{2}}{\gamma }}{\frac{4}{3}R^{3}\pi }=\frac{3g}{4R\pi \gamma }. \tag{12}$$

Opet, gustina je funkcija ubrzanja Zemljine teže i poluprečnika Zemlje. Zamenom vrednosti za ove veličine dobijamo

$$\rho =5500\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}. \tag{13}$$

U stvari, ovo je srednja vrednost gustine. Površinski slojevi Zemlje imaju više nego dvaput manju gustinu, jer je dominantan udeo silicijuma i lakših elemenata. To onda znači da je u centru Zemlje gusto jezgro sastavljeno od teških elemenata. Impresivno je kako se prostim sredstvima, iz zakona gravitacije, dolazi do bitnih zaključaka o našoj planeti.

Napomenimo da smo na početku govorili o privlačenju homogenih kugla; sada vidimo da neka nehomogenost masa ipak postoji. Bez obzira na to, zaključci ostaju na snazi, budući da je raspored masa sferno simetričan.

Ovde možemo izvući još jedan zaključak. Gravitaciono ubrzanje zavisi od gustine slojeva Zemlje u oblasti merenja. Eventualno odstupanje merene vrednosti za $g$ na datom mestu govori o nekoj lokalnoj perturbaciji masa ispod površine Zemlje. Precizno merenje zemljine teže može ukazati na koncentraciju neke rude, postojanje podzemnih voda, nalazišta nafte i sl. Generalno, naslage veće gustine uslovljavaju veće $g$.

Gravitaciono polje

Danas znamo da je zakon gravitacije na snazi u našoj neposrednoj okolini, i u celom Sunčevom sistemu. Ali, on je verodostojan i u svim oblastima Kosmosa, u prostranstvima do kojih dosežu savremena astronomska posmatranja. Bitno je da gravitacione sile ne zavise od sredine između tela koja interaguju; ne znamo za način da neutrališemo gravitacionu silu. Isto tako, imamo eksperimentalne dokaze da gravitaciona interakcija postoji i između elementarnih čestica, bile one neutralne ili naelektrisane.

Prostor u kome se oseća dejstvo gravitacione sile zovemo gravitaciono polje. Jačina gravitacionog polja u nekoj tački prostora po definiciji je količnik gravitacione sile i probne mase na koju ona deluje u datoj tački:

$$\vec{G}=\frac{\vec{F}}{}m. \tag{14}$$

Pozivajući se na Sl. 6 možemo pisati za gravitacionu silu:

$$\vec{F}=-\gamma \frac{mM}{r^{2}}\vec{e}. \tag{15}$$

gde smo sa $\vec{e}$ označili ort radijus vektora $\vec{r}$ koji spaja centre dve kugle. Za modul jačina polja dobijamo

$$G=\gamma \frac{M}{r^{2}}. \tag{16}$$

Jačina polja u prostoru oko mase $M$ je proporcionalna toj masi koja daje polje, i obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja.

Sl. 6 Uz izračunavanje jačine gravitacionog polja

Za tačku na površini Zemlje treba staviti $r=R$; tako uviđamo da je jačina polja na površini Zemlje jednaka ubrzanju Zemljine teže, $G\left(R\right)=g$.

A kolika je jačina polja u nekoj tački $r≺R$? U formulu (16) treba uneti umesto cele mase $M$ masu $M\left(r\right)$ koja pripada sferi radijusa $r$. To daje

Sl. 7 Jačina gravitacionog polja u kugli i van nje

$M\left(r\right)=\frac{4}{3}\pi r\rho$, gde za gustinu pišemo $\rho =M/\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right)$. Na kraju dobijamo

$$G\left(r\right)=g\frac{r}{R}. \tag{17}$$

Grafik jačine polja oko sfernog tela i u njemu dat je na Sl. 7. Od centra ka periferiji jačina linearno raste, dostižući na površini maksimalnu vrednost (ubrzanje Zemljine teže). Sa daljim porastom rastojanja, jačina polja brzo opada, ali strogo govoreći nigde se ne anulira. U praksi, uvek možemo govoriti o udaljenostima na kojim je polje faktički nemerljivo.

Rad gravitacione sile

Posmatrajmo Sl. 8. Kugla mase $M$ (Zemlja) privlači malu masu $m$ silom $F$. Ova sila premešta datu masu duž jedne od linija sile (koordinata $r$) iz početne tačke 1 u krajnju tačku 2. Početna tačka je na rastojanju $r_{1}$ od centra C, a krajnja tačka na rastojanju $r_{2}$ od C. Izračunajmo rad gravitacione sile na ovom putu. Po definiciji rada je

$$A=\int_{1}^{2} F\cos \alpha \;dr. \tag{18}$$

Ugao između vektora sile i vektora koordinate iznosi 180 stepeni, pa je $\cos \alpha =-1$. U sledećem koraku je, dakle

$$A=-\int_{1}^{2} \gamma \frac{Mm}{r^{2}}dr. \tag{19}$$

Integral je tablični, pa lako nalazimo

$$A=\left.\gamma \frac{Mm}{r}\right|_{1}^{2}. \tag{20}$$

Kad zamenimo granice, dobijamo:

$$A=-\left[\left(-\gamma \frac{Mm}{r_{2}}\right)-\left(-\gamma \frac{Mm}{r_{1}}\right)\right]. \tag{21}$$

Sl. 8 Premeštanje tačkaste mase u gravitacionom polju

Definisaćemo potencijalnu energiju tela mase $m$ u gravitacionom polju mase M, na rastojanju $r$

$$E_{\text{p}}=-\gamma \frac{Mm}{r}. \tag{22}$$

Tada je izraz u prvoj maloj zagradi (21) potencijalna energija u tački 2, a izraz u drugoj maloj zagradi potencijalna energija u tački 1. Drugim rečima, ceo izraz u uglastoj zagrafi jednak je priraštaju potencijalne energije, $\Delta E_{\text{p}}=E_{\text{p}2}-E_{\text{p}1}$. Tako, ispada da je rad gravitacione sile jednak negativnom priraštaju potencijalne energije, to jest smanjenju potencijalne energije; i to je u skladu sa zakonom održanja energije:

$$A=-\Delta E_{\text{p}}. \tag{23}$$

Ovakva definicija potencijalne energije podrazumeva da je ona jednaka nuli u beskonačnosti. Grafik potencijalne energije dajemo na Sl. 9.

Sl. 9 Gravitaciona potencijalna energija

Približavanje tela iz beskonačnosti ka Zemlji, pod dejstvom gravitacione sile, počinje da raste njegova kinetička energija, jer se telo ubrzava. Prema zakonu održanja energije, ukupna energija mora da ostane konstantna. Prema tome, povećanje kinetičke energije uslovljava smanjenje potencijalne energije, a kako je potencijalna energija u beskonačnosti jednaka nuli, to će na nekom rastojanju r biti negativna. Ukupna mehanička energija tela će biti:

$$E_{\text{M}}=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}=\frac{mv^{2}}{2}-\gamma \frac{mM}{r}. \tag{24}$$

Kad se telo udaljava od centra Zemlje raste njegova potencijalna energija, a opada kinetička energija.

Mi smo naučili da je potencijalnu energiju u učionici pogodno definisati izrazom $E_{\text{p}}=mgh$, gde je $h$ visina tačke iznad poda. Da li je ovo u skladu sa definicijom potencijalne energije u gravitacionom polju uopšte? Ovo pitanje često zbunjuje studente u početku, pa ćemo ga razjasniti.

Možemo staviti da za nivo poda važi $r_{2}=R$ (poluprečnik Zemlje). Tada je $r_{1}=R+H$. Prema izrazu (22) mora onda biti $E_{\text{p}}=-Mm/\left(R+h\right)$, gde je $h$ neka tekuća visina između nule i $H$. Ali, kako je $h/R\ll 1$, približno važi

$$E_{\text{p}}=m\frac{\gamma M}{R^{2}}h+\text{const}. \tag{25}$$

Mi već znamo da je ubrzanje Zemljine teže baš $g=\gamma M/R^{2}$. Zanemarujući konstantni član kao nebitan (jer nas redovno zanima jedino razlika potencijalnih energija dve tačke), vidimo da je potencijalna energija u konstantnom gravitacionom polju blizu površine Zemlje zaista $E_{\text{p}}=mgh$, u skladu sa opštim izrazom $E_{\text{p}}=-\gamma \frac{Mm}{r}$.

Kosmičke brzine

Satelit može da kruži oko Zemlje na maloj visini tek ako mu se saopšti neka minimalna periferijska brzina; kolika je ta brzina?

Nju nalazimo iz uslova da je centripetalno ubrzanje pri kruženju satelita, $v_{\text{I}}^{2}/R$ jednako ubrzanju $g$. To odmah daje rezultat

$$v_{\text{I}}=\sqrt{gR}. \tag{26}$$

Ova se brzina zove prva kosmička brzina.

Ona iznosi za Zemlju 7,9 km/s, budući da je $g=9,81$ i $R=6,378\cdot 10^{6}$ u SI. Ovu brzinu bi znači trebalo saopštiti telu da bi ono ušlo u putanju oko Zemlje i ponašalo se kao veštački satelit.

Izračunajmo sada drugu kosmičku brzinu, $v_{\text{II}}$. To je najmanja brzina koju treba saopštiti telu da bi ono moglo da napusti Zemljino gravitaciono polje i ode u beskonačnost. Ova brzina mora da bude tako velika da bi telo (raketa) posedovalo dovoljnu kinetičku energiju da izvrši rad protiv privlačne gravitacione sile Zemlje.

Ukupna mehanička energija na startu rakete mase $m$ iznosi, prema jednačini (24)

$$E_{\text{M}1}=\frac{mv_{\text{II}}^{2}}{2}-\gamma \frac{mM}{R}. \tag{27}$$

Na ogromnim udaljenostima morala bi ukupna mehanička energija da se anulira, $E_{\text{M}2}=0$. No, po zakonu održanja energije mora biti $E_{\text{M}1}=E_{\text{M}2}$. Taj uslov daje neposredno

$$v_{\text{II}}=\sqrt{2gR}. \tag{28}$$

Druga kosmička brzina je $\sqrt{2}$ puta veća od prve kosmičke brzine. Za Zemlju, ona iznosi 11,2 kilometra u sekundu. Treba razumeti sledeće: telo mora imati ovu početnu brzinu (i da se dalje kreće bez motora), pa da se više nikad ne vrati — da trajno savlada stege Zemljine gravitacije. Ako raketa ima upaljene motore u toku kretanja, jasno je da ona onda ne mora imati tako značajnu početnu brzinu.

Težina tela

Težina tela $P$ je sila kojom telo mase $m$ u gravitacionom polju deluje na podlogu, ili zateže kanap na kojem visi. Sila $P$ se može neposredno izmeriti, na primer dinamometrom sa oprugom.

Težina tela nije uvek jednaka sili teže $mg$. Posmatrajmo čoveka mase $m$ koji u liftu stoji na vagi. Lift se penje s ubrzanjem $a$. U suštini. kretanje

Sl. 10 Fizičar u liftu (levo); sile koje deluju (desno)

čoveka regulišu dve sile: sila teže koja je usmerena naniže i sila reakcije podloge koja je usmerena naviže. Zbog toga je šema koja će nam pomoći da napišemo drugi Njutnov zakon ona sa Sl. 10 desno:

$$m\vec{a}=\vec{N}+m\vec{g}. \tag{29}$$

Po trećem Njutnovom zakonu, težina tela je po modulu jednaka reakciji podloge, ali je suprotno usmerena, $\vec{P}=-\vec{N}$. Tako dobijamo

$$\vec{P}=m\left(\vec{g}-\vec{a}\right). \tag{30}$$

Projektujmo ovu vektorsku jednačinu na vertikalni pravac, s usvojenim pozitivnim smerom naviše, pa dobijamo skalarnu jednačinu

$$P=-m\left(g+a\right). \tag{31}$$

Kad lift miruje, ili se kreće jednoliko (pa je ubrzanje jednako nuli), imamo da je težina tela tačno jednaka masa puta ubrzanje teže, $P_{0}=mg$, a usmerena je ka centru Zemlje.

Sledeća četiri slučaja ćemo klasifikovati. 1) Lift se penje i povećava brzinu — čovek oseća povećanu težinu $m\left(g+a\right)>P_{0}$; 2) Lift se penje i smanjuje brzinu — čovek oseća smanjenu težinu $m\left(g-a\right)<P_{0}$; 3) Lift se spušta i povećava brzinu — čovek oseća smanjenu težinu $m\left(g-a\right)<P_{0}$ i 4) Lift se spušta i smanjuje brzinu — čovek oseća povećanu težinu $m\left(g+a\right)>P_{0}$.

Iz 3) lako zaključujemo da je telo koje slobodno pada ($a=g$) u bestežinskom stanju. U bestežinskom stanju je i kosmonaut u vasionskom brodu koji kruži oko Zemlje s isključenim raketnim motorima.

Sl. 11 Kosmonaut M. Ivins s bujnom plavom kosom

demonstrira efekt bestežinskog stanja (preuzeto s Interneta)

Ako telo pada s ubrzanjem $a>g$ javiće se negativna težina (telo se odvaja od vage i pritiska plafon lifta).

Kosmonaut mora da je dobro istreniran da bi podneo žestoko opterećenje pri lansiranju na kosmičku orbitu (slučaj (1)). Isto će mu se desiti pri prizemljenju (slučaj (4)).

Zemlja vrši ravnomerno rotaciono kretanje oko svoje ose. Ako čovek na Severnom polu teži $P_{0}=mg$, u gradu Kampali u Ugandi (polutar) imaće manju težinu $P=m\left(g-a_{\text{c}}\right)$. Centripetalno ubrzanje se može izračunati po formuli $a_{c}=\left(\frac{2\pi }{T}\right)^{2}R$, ako se zamene vrednosti za trajanje dana $T=86400$ sekunda i poluprečnik Zemlje $R=6,378$ miliona metara.

Inerciona i gravitaciona masa

U drugom Njutnovom zakonu pojavljuje se fizička veličina masa kao mera inercije tela; zato je nazovimo inerciona masa $m_{\text{i}}$. Gravitaciona sila je određena proizvodom masa koje u principu ne moraju biti inercione; njih ćemo obeležiti sa $m_{\text{t}}$ i zvati gravitacione (ili teške) mase.

Samo opit može rešiti problem, kakav je odnos između inecione i gravitacione mase.

Kad je Galilej bacao tela različite prirode da padaju s vrha krivog tornja u Pizi, on je, u suštini, opitom slobodnog padanja, testirao odnos dve vrste masa. Zaključio je da sva tela koja slobodno padaju, padaju istom brzinom. Šta iz toga opitnog fakta sledi? Zemlja privlači telo silom koja je proporcionalna njegovoj (teškoj) masi $m_{\text{t}}$: $F\sim m_{\text{t}}$. Ova sila, delujući na padajuće telo inercione mase $m_{\text{i}}$ izaziva njegovo ubrzanje $g=F_{\text{t}}/m_{\text{i}}$, pa je

$$g\sim m_{\text{t}}/m_{\text{i}}. \tag{32}$$

Pošto opit pokazuje da je $g=\text{const}$ u granicama merne greške, proizilazi da je odnos dve vrste masa konstantan. Adekvatnim izborom mernih jedinica možemo postići i samu brojnu jednakost ovih veličina:

$$\frac{m_{\text{t}}}{m_{\text{i}}}=1. \tag{33}$$

Njutn je bio svestan problema, i proveravao je ovaj zaključak mereći periode oscilovanja matematičkog klatna uvek iste dužine, ali raznih masa; potvrdio je zaključak (33) s tačnošću koja je nadmašila Galilejeve rezultate. Pred kraj devetnaestog veka potvrdio je Etveš, mađarski fizičar, identičnost dve mase s tačnošću $10^{-8}$. Godine 1971, ruski fizičar Braginski je poboljšao merenje i povisio tačnost za još četiri reda veličine. Pošto je pitanje principijelno, usavršavanje ovih opita se nastavlja.

Jednakost inercione i gravitacione mase postavio je Ajnštajn kao postulat u Opštoj teoriji relativnosti (teoriji gravitacije). Generalizacija je bila potrebna, jer je klasična teorija gravitacije primenljiva samo na nepokretna tela. Ako se rastojanje između masa menja, menja se i interakcija. Moderna fizika misli da je brzina prenošenja interakcije konačna, svakako manja od brzine svetlosti u vakuumu. Ako se ovog momenta izvor polja pomeri, polje u udaljenoj tački će se promeniti tek posle nekog vremena. To kašnjenje se ne uzima u obzir u Njutnovoj teoriji. Za male brzine u klasičnoj mehanici, Njutnofa formula daje dobre rezultate; to znači da je brzina prenošenja gravitacionih perturbacija mnogo veća ob brzine kretanja tela. Još se ne zna kolika je brzina prostiranja gravitacionih poremećaja — postoje ozbiljni argumenti da je jednaka brzini svetlosti. Masivno telo koje rotira mora proizvoditi u okolini periodične promene gravitacionog polja, koje su nazvane gravitacioni talasi. Za gravitacionim talasima se ozbiljno traga u fizičkim laboratorijama, i „osluškivanjem” Kosmosa.

Nova teorija gravitacije bila je potrebna i u slučaju veoma jakih gravitacionih polja. (U jakim poljima može biti narušen princip superpozicije, koji dozvoljava vektorsko sabiranje gravitacionih sila od raznih izvora.)

U svakom slučaju, u graničnom slučaju malih brzina interagujućih tela i ne odveć jakih gravitacionih polja, Ajnštajnova gravitaciona teorija (opšta teorija relativnosti) prelazi u Njutnovu klasičnu teoriju gravitacije.

Provera opšte teorije relativnosti i posledica te koncepcije je jedan od najozbiljnijih zadataka savremene fizike. Razmatranja na tu temu izlaze iz okvira ove knjige. Studentima preporučujemo da posete Internet sajt posvećen toj temi, ukucavajući ključne reči general relativity wikipedia u ponudi Google pretraživača.