Mehanički rotator

Č e t v r t o p r e d a v a nj e

MEHANIČKI ROTATOR

Osnovni pojmovi

Posmatrajmo na Sl. 1 maleno telo, kuglicu mase $m$. Telo rotira u horizontalnoj ravni brzinom $v$, oko tačke C, na neistegljivom kanapu dužine $r$.

Sl. 1 Mehanički rotator: geometrija i osnovne fizičke veličine

Ovaj fizički sistem poznat je kao mehanički rotator. Kao model pojava, rotator ima znatnu primenu u raznim oblastima fizike.

Kinematika rotatora

Ugaoni pomeraj

Uočimo na Sl. 2 situaciju kad kuglica prelazi, za vreme $\Delta t$, luk dužine $\Delta \ell$ - od početne tačke 1 do neke susedne tačke 2. Ugao $\varphi$ određuje

Sl. 2 Rotator: uvođenje kinematičkih pojmova

položaj kuglice na krugu, $\Delta \varphi$ je priraštaj ugla za posmatrano vreme. Napišimo prvo poznatu geometrijsku vezu

$$\Delta \varphi =\frac{\Delta \ell }{r}, \tag{1}$$

gde je $r=\left|\vec{r}_{1}\right|=\left|\vec{r}_{2}\right|$ poluprečnik kružne putanje. Priraštaj ugla $\Delta \varphi$ nazivamo ugaoni pomeraj. Merimo ga u radijanima, po potrebi i u stepenima ($360^{\circ }=2\pi \text{rad}$).

Elementarni ugaoni pomeraj $d\varphi$ karakteriše se ne samo svojim iznosom nego je bitno i kojoj ravni pripada. Zato se $d\vec{\varphi}$ tretira kao vektor koji je normalna na tu ravan. Smer mu se nalazi po pravilu desnog zavrtnja: ako se zavrtanj okreće na stranu porasta ugla $\varphi$, smer napredovanja zavrtnja poklapa se sa smerom vektora $d\vec{\varphi}$.

Ugaona brzina

Srednja ugaona brzina se definiše kao odnos ugaonog pomeraja i odgovarajućeg vremenskog intervala:

$$\omega _{\text{sr}}=\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}. \tag{2}$$

Trenutna ugaona brzina se dobija kao rezultat graničnog procesa:

$$\omega =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}. \tag{3}$$

Vidimo da je trenutna ugaona brzina prvi izvod ugaonog pomeraja po vremenu, $\omega =d\varphi /dt$. Ali je, prema (1), $d\ell =rd\varphi$. To znači da je linearna, periferijska brzina kuglice

$$v=r\omega. \tag{4}$$

Jedinica za ugaonu brzinu je rad/s, radijan u sekundi. Pogodno je u raznim problemima ugaonu brzinu shvatiti kao vektorsku fizičku veličinu: $\vec{\omega}=d\vec{\varphi}/dt$. Smerovi $\vec{\omega}$ i $d\vec{\varphi}$ su podudarni i određuju se pravilom desnog zavrtnja. Ako je smer rotacije suprotan od smera rotacije kazaljke na satu, smer ugaone brzine će biti u smeru z ose (Sl. 3). Vektor ugaone brzine definisan je sa sva tri svoja elementa pomoću ovog vektorskog proizvoda:

$$\vec{v}=\vec{\omega}\times \vec{r}. \tag{5}$$

Sl. 3 Vektori položaja, linearne brzine i ugaone brzine rotatora

Vektor $\vec{\omega}$ je aksijalni vektor, dok su, na primer, $\vec{r}$, $\vec{v}$ i $\vec{a}$ polarni vektori.

Ugaono ubrzanje

Srednje ugaono ubrzanje se definiše kao odnos priraštaja ugaone brzine i vremenskog intervala,

$$\alpha _{\text{sr}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}. \tag{6}$$

Trenutno ugaono ubrzanje se poklapa sa srednjim u beskonačno malom vremenskom intervalu:

$$\alpha =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \omega }{\Delta t}. \tag{7}$$

Prvi izvod ugaone brzine po vremenu daje veličinu ugaonog ubrzanja. Ono je vektorska fizička veličina, $\vec{\alpha}=d\vec{\omega}/dt$; pri kružnom kretanju $\vec{\omega}$ menja samo svoju veličinu, ne i pravac. Pravac vektora $\vec{\alpha}$ poklapa se s fiksnom osom rotacije.

Jedinica za ugaono ubrzanje je rad/$s^{2}$, radijan u sekundu za sekund.

Jednoliko kruženje

Rotator koji se ravnomerno obrće nema ugaono ubrzanje, $\vec{\alpha}=0$. Zaključujemo da je ugaona brzina konstantna. To znači da relaciju (2) možemo zapisati izostavljajući oznaku za srednju vrednost:

$$\omega =\frac{\phi -\phi _{0}}{t}. \tag{8}$$

Odavde dobijamo zakon ugaonog pomeraja:

$$\varphi =\varphi _{0}+\omega t. \tag{9}$$

Ugao je linearna funkcija vremena. Početni ugao je $\varphi _{0}$.

Uvešćemo još neke pojmove koji su neophodni pri analizi ovakvog kretanja.

Period $T$ je vreme potrebno da telo obiđe pun krug. Polazeći od definicije ugaone brzine, možemo odmah zapisati:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }. \tag{10}$$

Telo u toku vremena t načini n obrtaja. Frekvencija (učestanost) je broj obrtaja u jedinici vremena, $f=n/t$. To odmah daje

$$f=\frac{1}{T}. \tag{11}$$

Između ugaone brzine i učestanosti postoji veza

$$\omega =2\pi f. \tag{12}$$

Jednoliko ubrzano kruženje

Po definiciji, to je kretanje za koje važi $\alpha =\text{const}$. U skladu sa relacijom (6) možemo pisati:

$$\alpha =\frac{\omega -\omega _{0}}{t}. \tag{13}$$

Zakon promene ugaone brzine je linearan:

$$\omega =\omega _{0}+\alpha t. \tag{14}$$

Ugaoni pomeraj je integral ove funkcije, te nalazimo

$$\varphi =\omega _{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}. \tag{15}$$

Eliminacijom vremena iz prethodne dve relacije dobijamo

$$\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+2\alpha \varphi. \tag{16}$$

Zaključimo: jednoliko ubrzano kruženje rotatora analiziramo pomoću ove tri relacije

$$\begin{aligned}\omega =\omega _{0}+\alpha t \\ \varphi =\omega _{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2} \\ \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+2\alpha \varphi \end{aligned}. \tag{17}$$

Naravno, ove formule važe i za jednoliko usporeno kruženje, kada je ugaono ubrzanje negativno pa treba da uzmemo u obzir smenu $\alpha =-\left|\alpha \right|$.

Moment sile

Ako na kuglicu rotatora deluje sila $\vec{F}$ u ravni kretanja, moramo imati u vidu važnu fizičku veličinu moment sile $\vec{M}$. Moment sile se definiše kao vektorski proizvod radijus-vektora kuglice i sile koja ga napada:

$$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}. \tag{18}$$

Intenzitet momenta sile iznosi:

$$M=rF\,\text{sin}\alpha. \tag{19}$$

Ova se relacija može napisati i ovako:

$$M=Fd. \tag{20}$$

Ovde je d normalno rastojanje od ose rotacije O do pravca dejstva sile. Moment sile je vektorska veličina, pravac vektora je normalan i na pravac

Sl. 4 Uz pojam momenta sile

vektora $\vec{r}$ i na pravac sile $\vec{F}$. Smer se određuje pravilom desnog zavrtnja (videti Sl. 5). Naravno, za kružno kretanje pod dejstvom tangencijalne sile biće jednostavno $M=Fr$.

Sl. 5 Vektori položaja, sile i momenta sile za rotator

Jedinica za moment sile u SI sistemu je $\left[\text{kg}\cdot \text{m}^{2}/\text{s}^{2}\right]$.

Kinetička energija rotatora

Rotator ima kinetičku energiju $E_{\text{k}}$ koja je po definiciji polovina proizvoda $mv^{2}$. Kako je $v=r\omega$, biće

$$E_{\text{k}}=\frac{mr^{2}\omega ^{2}}{2}. \tag{21}$$

Proizvod $mr^{2}$ zovemo moment inercije rotatora:

$$I=mr^{2}. \tag{22}$$

Tada možemo napisati:

$$E_{\text{k}}=\frac{I\omega ^{2}}{2}. \tag{23}$$

Kinetička energija rotatora jednaka je polovini proizvoda momenta inercije i kvadrata ugaone brzine.

Rotacioni rad

Polazimo od definicije rada $dA=Fds$. Zamenimo $ds=rd\varphi$. Kako je $M=Fr$, dolazimo do rezultata

$$dA=Md\varphi. \tag{24}$$

Proizvod momenta sile i elementarnog pomeraja daje elementarni izvršeni rad tangencijalne sile.

Rotaciona snaga

Snagu definišemo kao izvršeni rad u jedinici vremena, pa je $dA=Pdt$. Na osnovu toga i relacije $d\varphi /dt=\omega$ stižemo do rezultata:

$$P=M\omega. \tag{25}$$

Snaga rotatora jednaka je proizvodu momenta sile i ugaone brzine. Kao i svaka snaga, meri se jedinicom vat, W.

Moment impulsa rotatora

Kuglica mase $m$ koja kruži periferijskom brzinom $\vec{v}$ ima impuls $\vec{p}=m\vec{v}$. Moment impulsa je vektorska veličina koja se ovako definiše:

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}. \tag{26}$$

Primenjeno na rotator, moment impulsa očito ima intenzitet

$$L=mvr. \tag{27}$$

Vektor $\vec{L}$ leži na osi rotacije i smer mu se određuje pomoću pravila desnog zavrtnja. Ako u (27) stavimo $v=r\omega$, i imamo u vidu da je $mr^{2}$ moment inercije, dobijamo

$$L=I\omega. \tag{28}$$

Jedinica za merenje momenta impulsa je $\left[\text{kg}\cdot \text{m}^{2}/\text{s}\right]$.

Ovim smo uglavnom kompletirali definicije bitnih fizičkih veličina vezanih za pojam rotatora. Komentarisali smo njihove oznake i jedinice. Sada ćemo nam biti u fokusu pažnje

Dinamika rotatora

Kad na kuglicu rotatora deluje konstantna tangencijalna sila $F$, kuglici će rasti moment impulsa $L$ zbog dejstva momenta sile, $Fr$. Kako su povezani vremenski izvod momenta impulsa i moment sile vidimo iz Njutnovog zakona sile koji, kako već znamo, izjednačava priraštaj impulsa tela sa impulsom sile: $dp=Fdt$. Pomnožimo konstantnim poluprečnikom putanje levu i desnu stranu, pa dobijamo

$$\frac{dL}{dt}=M. \tag{29}$$

Brzina promene momenta impulsa jednaka je momentu sile. Zato ponekad ovaj zakon zovemo jednačina momenata. U opštem slučaju možemo pisati vektorski $d\vec{L}=\vec{M}dt$ pri čemu pod ukupnim momentom $\vec{M}$ podrazumevamo vektorski zbir momenata svih spoljašnjih sila.

Zakon održanja momenta impulsa

U izolovanom fizičkom sistemu je moment spoljašnjih sila po definiciji jednak nuli. Zato je u tom slučaju

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=0. \tag{30}$$

Ovo znači da se vektor $\vec{L}$ ne menja u vremenu pod učinjenim pretpostavkama. Drugim rečima, ne menjaju se u vremenu nijedna od komponenata momenta impulsa:

$$L_{\text{x}}=\text{const},\quad L_{\text{y}}=\text{const},\quad L_{\text{z}}=\text{const}. \tag{31}$$

Moment impulsa izolovanog sistema ne menja se makar kakvi bili procesi u sistemu. Mogu postojati i delimično izolovani sistemi: impuls se održava jedino u odnosu na jednu osu. Sledi primer:

Jedan opit s rotatorom

Kroz vertikalnu fiksiranu cev protnut je kanap s kuglicom mase $m$ na kraju. Kuglica može da rotira oko ose koja se podudara sa osom cevi.

Sl. 6 Zakon održanja momenta impulsa: opit

Na početku, kuglica kruži na putanji poluprečnika $r_{1}$, brzinom $v_{1}$. Jednog trena počinje da deluje sila $F$; kanap vuče kuglicu ka centru, kuglica se kreće po spirali. Na kraju, sila nestaje; kuglica ustali svoju rotaciju na putanji po krugu poluprečnika $r_{2}$. Kolika je na toj novoj poziciji brzina $v_{2}$?

Spoljašnja sila koja deluje na kuglicu stalno je usmerena duž radijusa putanja. Njen moment u odnosu na centar kruženja je stoga jednak nuli. Ako je tako, održava se moment impulsa. Na početku, moment impulsa, koji je usmeren kao i osa rotacije, iznosi $r_{1}mv_{1}$. Na kraju mora imati isto toliki moment impulsa, te je

$$r_{2}mv_{2}=r_{1}mv_{1}. \tag{32}$$

Odavde nalazimo traženu konačnu brzinu kuglice:

$$v_{2}=\frac{r}{r_{2}}v_{1}. \tag{33}$$

Smanjivanjem radijusa rotacije povećavamo brzinu rotiranja kuglice.

Da dodatno osvežimo pojmove centripetalne i centrifugalne sile, pogledajmo na ovom mestu kako je o tim pojmovima sudio Njutn.

Kako je Njutn uveo pojam centrifugalne sile

Da bi se kuglica mase $m$ kretala po krugu (videti Sl. 7), treba prvo da u tački A ima neku tangencijalnu brzinu $v$. Drugo, da bi posle vremena $t$ kuglica stigla u tačku C, a ne u tačku B, neka sila $F_{\text{cp}}$ mora da je tokom kretanja usmerava nadole.

Formulu za $F_{\text{cp}}$ možemo naći pomoću jednog konkretnog, popularnog primera — horizontalni hitac iz tačke A nad površinom Zemlje. Domet kuglice koja je poletela horizontalno brzinom $v$ sa visine $\overline{AD}=H$ iznosi $\overline{DC}=x_{\text{H}}$. Sa slike vidimo da je $H\left(2R-H\right)=x_{\text{H}}^{2}$ (kako tvrdi jedna teorema iz elementarne geometrije) i još $x_{\text{H}}\approx 2\theta R$.

Sl. 7 Uz izvođenje centripetalne sile po Njutnu

Ove dve relacije daju $H/\left(2R\theta ^{2}\right)=1$, jer je $H\ll R$. S druge strane je prema formuli za domet horizontalnog hica (videti prvo predavanje)

$$x_{\text{H}}=v\sqrt{\frac{2H}{g}}. \tag{34}$$

Odavde nalazimo za ubrzanje slobodnog pada $g=\left(v^{2}/R\right)\left(\frac{H}{2R\theta ^{2}}\right)$. Ali je u skladu sa drugim zakonom mehanike i $g=F_{\text{cp}}/m$. Odavde je formula za centripetalnu silu

$$F_{\text{cp}}=m\frac{v^{2}}{R}. \tag{35}$$

Generalno govoreći, silom intenziteta $F_{\text{cp}}$ krug poluprečnika $R$ mora da odbija kuglicu mase $m$ prema centru, da bi se obezbedilo rotiranje kuglice ugaonom brzinom $\omega =v/R$. S druge strane, govorimo da kuglica upire u krug centrifugalnom silom $F_{\text{cf}}$ koja ima isti intenzitet kao centripetalna sila, ali suprotan smer u odnosu na isti, radijalni pravac. Dakle, $F_{\text{cp}}=F_{\text{cf}}=mv^{2}/R=mR\omega ^{2}$.

Gornje izvođenje podrazumeva da je ugao $\theta$ malen, pa se može uzeti da je $\overline{AD}$ paralelno sa $\overline{BC}$ i da su te dve duži jednake. Zbilja, poluprečnik Zemlje ($6378$ km) je mnogo veći od dometa kuglice koja se kreće (na pr. jedan sekund) brzinom oko 8 km/s.

Analiza kretanja tela može biti složena i kad je naoko jednostavna situacija. Jedan sjajan primer složenog kretanja dajemo u sledećem dodatku.

Dodatak

Skupocena šolja

Skupocena šolja vezana je kanapom za običan ključ, a kanap prebačen preko valjka (olovka, na primer). U poziciji sa slike, sistem ova dva tela se pusti. Šolja počinje da pada ka podu.

Sl. 8 Hoće li se šolja razbiti?

Hoće li se razbiti? Kako će se razvijati kretanje sa ovakvim početnim uslovima? Zamolite da se na času izvede ovaj fascinantni demonstracioni opit!

Domaći zadatak

Klizačica na ledu pravi jedan obrt u sekundi oko svoje vertikalne ose. Skupljajući ruke uz telo, ona dvaput smanji svoj moment inercije u odnosu na vertikalnu osu rotacije. Kolika je njena nova ugaona brzina?

Rad: