Rad i energija

T r e ć e p r e d a v a nj e

RAD I ENERGIJA

Mehanički rad

Zbog međusobnog delovanja tela ovim ili onim silama, dato telo se pomera, kreće se. Kako će, i koliko će, da se pomeri neko telo pod dejstvom drugog tela zavisi od učinka sile duž realizovane putanje. Otuda se javlja potreba da se efekat sile okarakteriše posebnom fizičkom veličinom koja je srazmerna sili i pomeraju.

Ta fizička veličina naziva se mehanički rad. Puni fizički smisao rada se može objasniti tek kada se ustanovi veza između izvršenog rada i odgovarajuće promene energije. Videćemo da rad možemo shvatiti kao meru prenošenja energije s jednog tela na drugo, ili pretvaranja energije iz jednog oblika u drugi. Otuda možemo govoriti o raznim oblicima rada: mehanički rad, izlazni rad elektrona, rad električne struje itd.

U mehanici, sila vrši rad samo ako svojim dejstvom pomera telo, pri čemu savlađuje sile koje se suprotstavljaju pomeranju (sile trenja).

Uzmimo najprostiji slučaj kada konstantna sila $F$ dejstvuje na neko telo i pomera ga u svom pravcu i smeru. Izvršeni rad definišimo ovako:

$$A=F\Delta s. \tag{1}$$

Ovde je $\Delta s$ priraštaj puta (telo prešlo iz položaja 1 u položaj 2), Sl. 1.

Sl. 1 Pod dejstvom sile telo se pomerilo

Ako stalna sila ne deluje strogo u pravcu pomeranja, već sa putanjom tela zaklapa ugao $\theta$, tada se rad realizuje pod dejstvom podužne, tangencijalne komponente sile , koja deluje u pravcu pomeranja, Sl. 2. Izvršeni rad na putu $\Delta s$ je u ovom slučaju, u skladu sa definicijom (1):

$$A=F_{\text{s}}\Delta s. \tag{2}$$

Sl. 2 Stalna kosa sila pomera telo po pravom putu

Gledamo Sl. 2 i zaključujemo da je

$$F_{\text{s}}=F\cos \theta, \tag{3}$$ $$A=F\Delta s\cos \theta. \tag{4}$$

Primećujemo da je desna strana jednačine skalarni proizvod sile i puta:

$$A=\vec{F}\cdot \Delta \vec{s}. \tag{5}$$

U prvoj lekciji smo razjasnili da je pri kretanju tela segment puta jednak priraštaju radijus vektora, $\Delta \vec{s}=\Delta \vec{r}$. Za malene pomeraje izjednačavamo diferencijale, te je ukupan rad pri nekom konačnom pomeranju između tačaka 1 i 2

$$A=\int_{1}^{2} \vec{F}\cdot d\vec{r}. \tag{6}$$

Ovakvom formulacijom uopštili smo definiciju rada; sila više ne mora biti konstantna, a putanja je ma kakva linija u prostoru.

Rad je skalarna veličina; određen je mernim brojem i jedinicom.

Naglasimo opšte osobine rada posmatrajući relaciju (5):

1. Ako vektor sile zaklapa oštar ugao sa pomerajem $\Delta \vec{r}$, $0^{0}<\theta <90^{0}$, $\cos \theta$ je pozitivan broj, pa je i rad pozitivan ($A>0$). Tada tangencijalna komponenta sile $\vec{F}_{s}$ ima isti smer kao vektor pomeraja $\Delta \vec{r}$.

2. Ako vektor sile zaklapa tup ugao sa pomerajem $\Delta \vec{r}$ rad je negativan ($A<0$), jer je pri $90^{0}<\theta <180^{0}$ $\cos \theta$ negativan broj. Tada tangencijalna komponenta sile $\vec{F}_{s}$ ima smer suprotan smeru vektora pomeraja $\Delta \vec{r}$.

3. Kad je sila normalna na putanju ($\theta$ je prav ugao), rad je jednak nuli pošto je $\cos \theta =0$; sila ne vrši rad u pretpostavljenom pravcu pomeranja tela.

4. Ako se poklapaju pravci sile i puta, biće:

a) $A=F\Delta s$ kad su i smerovi dva vektora isti,

b) $A=-F\Delta s$ kad su smerovi različiti.

Navedimo jedan ilustrativan primer. Kada dete vuče igračku po horizontalnom putu; ono svojom vučnom silom vrši pozitivan rad, sila trenja negativan rad, a sila zemljine teže ne vrši nikakav rad.

Posmatrajući opšti izraz (6) zaključujemo da je moguće rad geometrijski interpretirati kao površinu na grafiku sile, Sl. 3.

Sl. 3 Površina ispod grafika sile je rad

Jedinica za rad u SI sistemu zove se džul, a označava se [J]. To je izvedena jedinica SI sistema. Očevidno je .

Kinetička energija

Telo u pokretu može da izvrši mehanički rad. Ovu fizičku transformaciju tretiramo uvodeći pojam kinetičke energije. Kako je materija u stalnom pokretu, tj. kretanje kao osnovna osobina materije je neprekidno i neuništivo, energija kretanja nema značaj samo u klasičnoj fizici, već i u svim drugim granama fizike (naročito u fizici elementarnih čestica čije su glavni eksperimentalni metodi zasnovani na kretanju i sudarima čestica-projektila i čestica mete).

Na osnovu brojnih ogleda utvrđeno je da se dobijaju neprotivrečni fizički rezultati ako se prihvati da kinetička energija direktno zavisi od kvadrata brzine i (konstantne) mase tela — za kretanje koje nije izuzetno brzo:

$$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}mv^{2}. \tag{7}$$

U drugoj lekciji govorili smo o impulsu tela, $p=mv$. Pomoću ovog pojma može se obrazac kinetičke energije svesti na oblik $E_{\text{k}}=p^{2}/2m$. (Na drugom mestu u ovoj knjizi smo objasnili da ova formula u relativističkoj mehanici — mehanici ogromnih brzina — zadržava isti oblik, samo umesto dvostruke mase stoji zbir mase mirovanja i mase u pokretu; videti predavanje o rotatoru.)

Sl. 4 Razmišljamo o klasičnoj formuli za kinetičku energiju

Naslućujemo da ovako shvaćenu kinetičku energiju možemo dovesti u vezu sa mehaničkim radom. Zato posmatramo jednostavno kretanje skicirano na Sl. 4. Pod dejstvom konstantne sile premešta se telo po horizontalnoj podlozi, uz zanemarljivo trenje. Znamo da će rasti brzina tela u toku kretanja, u skladu sa drugim Njutnovim zakonom. Intuitivno osećamo da se u taj proces mora ulagati mehanički rad. Analizirajmo dalje:

Napišimo izraz za promenu kinetičke energije:

$$\Delta E_{\text{k}}=E_{\text{k}2}-E_{\text{k}1}=\frac{mv_{2}^{2}}{2}-\frac{mv_{1}^{2}}{2} \tag{8}$$

Setimo se da je kod jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja

$$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a\Delta s=2a\left(x_{2}-x_{1}\right). \tag{9}$$

Pomnožimo ovu jednačinom masom tela. Pošto je $F=ma$, kao i $A=F\Delta x$, stižemo do važnog rezultata:

$$A=\Delta E_{\text{k}}. \tag{10}$$

Ovo je već bitan zakon mehanike: Promena kinetičke energije tela pri njegovom premeštanju iz jednog položaja u drugi jednaka je radu sile koja u tom procesu deluje na telo.

Gornje elementarno izvođenje ne gubi na značaju ni kada je sila promenljiva, a putanja proizvoljna prostorna kriva. (U teorijskoj mehanici daju se preciziranja ovog stava, što izlazi iz okvira našeg izlaganja.)

Vidimo, pojam energije kretanja dobija puni smisao u kontekstu njegovog povezivanja sa radom. Da li je tako i sa ostalim oblicima energije?

Gravitaciona potencijalna energija

Uzajamno delovanje dva tela zavisi od položaja tih tela. O tome govori bitna fizička veličina koju zovemo potencijalna energija. U zavisnosti od vrste interakcije uočavamo gravitacionu potencijalnu energiju, elektrostatičku potencijalnu energiju, potencijalnu energiju elastično deformisanog tela i sl. Opet se postavlja pitanje definicije potencijalne energije — njen izraz mora biti u skladu sa postojećim, dobro zasnovanim pojmovima.

Gravitaciona potencijalna energija tela u približno homogenom gravitacionom polju na površini Zemlje iznosi:

. (11)

Ovde je $g$ dobro poznato ubrzanje zemljine teže, odnosno ubrzanje slobodnog padanja (u stvari, jačina gravitacionog polja, kao što ćemo razjasniti u posebnom predavanju o gravitaciji). Površinu Zemlje uzimamo obično kao nulti nivo () gravitacione potencijalne energije, od kojeg merimo visinu, položaj tela mase $m$. Izbor nultog nivoa potencijalne energije je proizvoljan, ali se trudimo da bude praktičan. Potencijalna energija tela ne zavisi od izbora referentnog sistema (što nije slučaj kod kinetičke energije).

Razmotrićemo rad koji vrši spoljašnja sila pri podizanju tela iz početnog položaja (1), sa nivoa , na krajnji položaj (2), na viši nivo (Sl. 5).

Sl. 5 Spoljašnja sila podiže telo na viši nivo

Primenjena sila vrši rad protiv sile Zemljine teže; pretpostavimo da se telo penje jednoliko, bez ubrzanja. Po drugom zakonu mehanike je onda ukupna sila na telo jednaka nuli — to znači da se telo podiže silom koja je jednaka njegovoj težini. Zato je:

$$A=Fs=mg\left(h_{2}-h_{1}\right). \tag{12}$$

Pošto je, prema (11), priraštaj gravitacione potencijalne energije

$$\Delta E_{\text{p}}^{\text{g}}=E_{\text{p}2}^{\text{g}}-E_{\text{p}1}^{\text{g}}=mgh_{2}-mgh_{1}, \tag{13}$$

uloženi rad za podizanje tela iznosi

. (14)

Promena gravitacione potencijalne energije jednaka je radu spoljašnjih sila. Ovaj fizički zakon ima strukturu kao i zakon (9) koji povezuje rad i kinetičku energiju. Rad u gravitacionom polju ne zavisi od oblika putanje; važna je samo visinska razlika, koja je određena izborom početne i krajnje tačke.

Elastična deformacija opruge

Nekom spoljašnjom silom možemo deformisati oprugu. Gornja razmatranja upućuju na zaključak da će se u ovom slučaju rad sile transformisati u neku potencijalnu energiju. Pogledajmo detalje procesa.

Konkretno, posmatrajmo rastezanje opruge za dužinu $x$, Sl. 6. U opruzi se razvija elastična sila, koja se suprotstavlja deformisanju. Po Hukovom zakonu, elastična sila linearno zavisi od deformacije i uvek je usmerena ka ravnotežnom položaju:

$$F_{\text{el}}=-kx, \tag{15}$$

gde je k koeficijent elastičnosti opruge.

Odredimo rad spoljašnje sile kojom se isteže elastična opruga.

Sl. 6 Rastežemo elastičnu oprugu

(Ta sila može da bude npr. težina tela okačenog o oprugu.) Spoljašnja sila, koja ima suprotan smer Hukovoj sili, pri jednoličnom rastezanju izražava se istim linearnim izrazom:

. (16)

Srednja vrednost ove sile od početne do krajnje tačke jednaka je aritmetičkoj sredini

$$F_{\text{sr}}=\frac{kx_{1}+kx_{2}}{2}. \tag{17}$$

Na osnovu ovoga može se napisati izraz za rad spoljašnje sile pri rastezanju opruge od do , tj na putu :

$$A=F_{\text{sr}}\Delta x=\frac{k}{2}\left(x_{2}+x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right). \tag{18}$$

Tako dolazimo do rezultata

$$A=\frac{k}{2}\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right). \tag{19}$$

Rad zavisi od kvadrata deformacije. Pri sabijanju opruge vrši se isti rad kao i pri istezanju opruge.

Vidimo da je pogodno uvesti novu fizičku veličinu

$$E_{\text{p}}^{\text{e}}=\frac{kx^{2}}{2}. \tag{20}$$

Nju ćemo zvati potencijalna energija deformisane opruge, ili elastična potencijalna energija. Kada se opruga izduži u datim granicama od do , priraštaj potencijalne energije iznosi

$$\Delta E_{\text{p}}^{\text{e}}=E_{\text{p}2}^{\text{e}}-E_{\text{p}1}^{\text{e}}=\frac{k}{2}x_{2}^{2}-\frac{k}{2}x_{1}^{2}. \tag{21}$$

Ovo nam omogućava da konačno napišemo

$$A=\Delta E_{\text{p}}^{\text{e}}. \tag{22}$$

Rad spoljašnje sile koja deformiše oprugu jednak je priraštaju njene potencijalne elastične energije.

Snaga

Rad, koji neka sila izvrši na zadatom putu, principijelno ne zavisi od vremena. U praksi nije svejedno da li je rad izvršen za jednu sekundu ili za jedan čas. Zato se uvodi nova fizička veličina koja predstavlja meru za brzinu vršenja rada. Ta veličina se naziva snaga i obično se obeležava P.

Ako sila izvrši rad za vreme , onda je srednja snaga u tom vremenskom intervalu:

. (23)

Otuda se često kaže da je snaga rad izvršen u jedinici vremena.

Ako je sila promenljiva, gornja relacija i dalje važi za srednju snagu, ali valja uvesti i pojam trenutne snage kroz matematički korektni zapis:

. (24)

Trenutna snaga je prvi izvod rada po vremenu.

Ako se poslužimo vektorskom formulacijom mehaničkog rada, koja uključuje skalarni proizvod sile i pomeraja,

, (25)

za trenutnu snagu ćemo dobiti:

$$P=\frac{\vec{F}\cdot d\vec{r}}{dt}=\vec{F}\cdot. \tag{26}$$

Snaga je jednaka skalarnom proizvodu sile i brzine kretanja tela.

Jedinica za snagu je vat (W). Jedinična snaga postoji kad se vrši rad od jednog džula u sekundi: $\text{W}=\text{J}/\text{s}$. Jedinica za snagu je izvedena jedinica SI sistema i važi $\text{W}=\text{kg}\,\text{m}^{2}/\text{s}^{3}$.

A sada za pažljive čitaoce i malo naučne zabave!

Konjska snaga

Jedna stara jedinica snage zove se konjska snaga. Ona je naravno vansistemska jedinica; mi smo dužni, formalno i po zakonu, da jedino koristimo vat kao SI jedinicu snage. Međutim, tradicija je još uvek jaka i povremeno u stručnom radu, pa i inače, naiđemo na konjsku snagu — da ne pominjemo potrebu da povremeno čitamo i starije knjige iz naših biblioteka.

Na primer, poneki vozač će se rado pohvaliti da je vlasnik ševroleta od stotinjak „konja”, premda pri registraciji vozila mora da unese podatak u kilovatima. Pa, koliko je jedna konjska snaga ima vati? Inženjer je dužan da poznaje konverziju jedinica, svakako i u ovom slučaju.

Na Sl. 8 vidimo konja koji će, zatezanjem konopca, povući teret mase $m$ i podići ga sa zemlje na visinu $h$. Konj tako izvrši rad $mgh$ protiv sile zemljine teže. Neka je taj rad izvršen za vreme $\Delta t$. Po definiciji je onda primenjena snaga koju obezbeđuje konj

$$P=\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{mgh}{\Delta t}. \tag{27}$$

Ovde je $g$ ubrzanje zemljine teže. Dogovoreno je: jedinična snaga neka bude

Sl. 8 Uz definiciju konjske snage

ona pri kojoj se sedamdeset pet kilograma tereta podigne na metar visine u jednom sekundu. Iz gornjeg izraza lako izračunavamo kolika je tako definisana jedinica, konjska snaga (KS):

$$\text{KS}=\frac{75\cdot 9,81\cdot 1}{1}\,\text{W}\simeq 736\,\text{W}. \tag{28}$$

Da bolje razumemo suštinu te jedinice, primetimo sledeće: Mnogi od nas, i muški i ženski, mladi svakako, lako razvijaju u svojim aktivnostima jednu konjsku snagu! Zbilja, ako se potrudimo na stepeništu da preskočimo tri gornja stepenika, podigli smo svoju masu od sedamdeset pet kilograma za metar visine, u jednoj sekundi — što i jeste sadržaj naše tvrdnje.

Zar konj ne može više? Naročito onaj gizdavi Salvadora Dalija na našoj skici, koji je nosio na svojim sapima nikog manje doli Hrista. Naravno, naravno, ali gornja definicija uzima u obzir da je to prosečna snaga kojom negovana i trenirana životinja može da obavlja poljske radove letnji dan do podne! S te tačke gledišta ne iznenađuje podatak da jedno siroto brdsko seljačko kljuse ima… tek pola konjske snage.

Domaći zadatak

Homogena kugla dijametra $D=10\;\text{cm}$ kotrlja se ravnomerno, bez klizanja, po horizontalnoj ravni i pravi 3 obrta u sekundu u odnosu na horizontalnu osu koja prolazi kroz njen centar. Gustina materijala od kojeg je napravljena kugla iznosi $\rho =8000\;\text{kg}/\text{m}^{3}$. Izračunati ukupnu kinetičku energiju kugle.

Rad: