Struja u metalima i poluprovodnicima

P r v o p r e d a v a nj e

PRIRODA ELEKTRIČNE STRUJE U METALIMA I POLUPROVODNICIMA

Milikenov opit

Razumno je pretpostaviti da se telo naelektriše kad se promeni ravnotežni broj elektrona u njemu. Ako je tako, naelektrisanje tela se može menjati jedino skokovito i to u iznosima koji sadrže ceo broj naelektrisanja elektrona. Važno je opitom potvrditi diskretni karakter promene naelektrisanja tela. To je način kojim se može izmeriti naelektrisanje jednog elektrona (elementarno naelektrisanje).

Merena količina naelektrisanja mora biti što manja, da bi se smanjila merna greška. Dodavanje ili oduzimanje jednog elektrona treba da izazove merljive efekte. Miliken je rešio ovaj problem posmatrajući kretanje malih, naelektrisanih kapljica u jakom električnom polju.

Sl. 1 Šema Milikenove aparature

Uprošćena šema Milikenovog opita prikazana je na Sl. 1. Osnovni deo pribora je brižljivo projektovani ravni kondenzator čije se obloge spajaju sa izvorom stabilisanog napona od nekoliko hiljada volti. Napon između obloga može se po želji menjati i precizno meriti. Sitne kapljice ulja iz pulverzatora P upadaju u horizontalno postavljen kondenzator kroz otvor na gornjoj oblozi. Kretanje pojedine kapljice ulja posmatra se mikroskopom M. Kondenzator je zaštićen od strujanja vazduha; aparatura je termostatirana.

Kapljice ulja se pri raspršivanju naelektrišu; obeležimo naelektrisanje kapljice sa $q$. Dakle, na kapljicu u vidnom polju deluju dve vertikalne sile: težina i Kulonova sila. Ako je U napon između obloga kondenzatora a d njihovo rastojanje, jačina polja u kondenzatoru je $E=U/d$. Kulonova sila iznosi

$$F_{\text{E}}=qE=q\frac{U}{d}. \tag{1}$$

Težina tela (umanjena za Arhimedov potisak u vazduhu) iznosi:

$$F_{\text{g}}=\frac{4}{3}\pi a^{3}\left(\delta -\delta _{0}\right)g, \tag{2}$$

gde je a radijus kapljice, $\delta$ gustina ulja, $\delta _{0}$ gustina vazduha u uslovima opita, g ubrzanje zemljine teže. Korekcija na silu potiska je neophodna, jer su merenja delikatna.

Smer sile $\vec{F}_{\text{E}}$ suprotan je smeru $\vec{F}_{\text{g}}$; izabiramo polaritet gornje obloge tako da ta obloga privlači kapljicu. Ako je $F_{\text{E}}>F_{\text{g}}$, kapljica se penje. Ako je $F_{\text{E}}<F_{\text{g}}$, kapljica pada. Kad su dve sile jednake, imamo:

$$\frac{4}{3}\pi a^{3}\left(\delta -\delta _{0}\right)g=q\frac{U}{d}. \tag{3}$$

Tada kapljica miruje u kondenzatori, i u vidnom polju posmatrača.

Radijus kapljice se određuje nezavisnim merenjem, posmatranjem padanja kapljice kad nema električnog polja u kondenzatoru. Kao što je poznato iz mehanike, na kuglicu koja se kreće malom brzinom u viskoznoj sredini deluje sila trenja koja je proporcionalna toj brzini (Stoksov zakon):

$$F_{\text{tr}}=6\pi \eta av. \tag{4}$$

Ovde je $v$ brzina kretanja kuglice, $\eta$ koeficijent viskoznosti sredine. U stacionarnom stanju, kad je $F_{\text{g}}=F_{\text{tr}}$, kuglica se kreće konstantnom brzinom $v$ prema relaciji:

$$\frac{4}{3}\pi a^{3}\left(\delta -\delta _{0}\right)g=6\pi \eta av. \tag{5}$$

Ako se u opitu izmeri brzina $v$, može se odavde odrediti radijus kapljice $a$. Kad se taj radijus zameni u (3), može se izračunati traženo $q$.

U Milikenovim merenjima prvo se određivalo naelektrisanje kapljice $q_{0}$ koje kapljica stiče aktom raspršivanja. Zatim se u prostoru između obloga kondenzatora formiraju joni delovanjem na vazduh u kondenzatoru rentgenskim zracima, ultravioletnim zracima ili zračenjem radioaktivnih preparata. Joni se „lepe” za kapljicu, ona potom ima naelektrisanje $q_{1}$, $q_{2}$ itd. Izračunavajući razlike tipa $\left(q_{1}-q_{0}\right)$, $\left(q_{2}-q_{1}\right)$ itd, Miliken je nalazio najveći zajednički delitelj (NZD) tih razlika; NZD je, očigledno, traženo naelektrisanje elektrona. Miliken je bio prvi koji je direktno i verodostojno izmerio elementarno naelektrisanje. Apsolutna vrednost tog naelektrisanja označava se sa $e$.

Pored razmotrenog Milikenovog postupka postoje i drugi metodi određivanja naelektrisanja elektrona. Među njima nema kontradikcije. Analizom svih eksperimentalnih podataka dolazimo danas do ovih pouzdanih cifara za naelektrisanje elektrona:

$$e=1,6021892\cdot 10^{-19}C.$$

U mnogim zadacima i primenama dovoljno je uzeti $e\approx 1,6\cdot 10^{-19}$ C.

Šta je električna struja u metalima?

Električna struja u metalima jeste usmereno kretanje slobodnih elektrona. Sada ćemo razmotriti eksperimentalne dokaze te tvrdnje.

Pre svega primetimo: ako bi usmereno kretanje jona davalo električnu struju, prenosila bi se i supstancije metala. Da proveri da li se to dešava, istraživač Rike je organizovao specijalne opite u kojima je električna struja tekla godinama kroz sendvič od tri metalna diska (Cu-Al-Cu). Kolom je proteklo 3,5 miliona kulona. Mešanje metala nije bilo; moguća greška merenja procenjena je na $\pm 0,03$ mg. Potom je usledio ovaj direktni dokaz:

Tolmanov opit

Ubedljivi dokaz elektronske prirode struje u metalima dobijen je u opitima s inercijom elektrona. Ideju tih opita razjašnjava Sl. 2. Zamislimo parče nenaelektrisanog metala koje se kreće konstantnom brzinom $v$ (zdesna nalevo). Unutra, elektroni se ne kreću u odnosu na kristalnu rešetku, te zato neće biti električne struje. Sve je to u skladu sa prvim zakonom mehanike. Međutim, elektroni imaju neku inerciju. Pri svakoj promeni brzine metala elektroni će ili zaostajati ili prednjačiti u odnosu na kretanje rešetke, pa se javlja električna struja. (Ta se pojava može uporediti sa silom koju osećaju putnici u tramvaju kad ovaj naglo menja brzinu.)

Sl. 2 Ispoljavanje inercije elektrona

Lako je videti da smer te struje zavisi od znaka naelektrisanja pokretnih čestica u metalu. Tako, na primer, pri usporavanju metala (ubrzanje je usmereno sleva nadesno, Sl. 2) čestice će preticati rešetku i kretaće se u odnosu na nju zdesna nalevo. Ako su čestice pozitivne, struja koja se javlja biće usmerena takođe zdesna nalevo ($i_{+}$). No ako su čestice negativne, smer struje $i_{-}$ biće suprotan. Zato, nalazeći u opitu smer struje koja se javlja možemo odrediti znak nosilaca naelektrisanja u metalima. A mereći još i intenzitet struje moguće je naći odnos naelektrisanja i mase e/m nosilaca naelektrisanja i, dakle, ustanoviti o kojim česticama je reč.

Uprošćena šema opita pokazana je na Sl. 3. Kalem s velikim brojem navoja tanke bakarne žice brzo rotira oko svoje ose. Krajevi namotaja spojeni su sa osetljivim balističkim galvanometrom pomoću dugih elastičnih provodnika koji se upredaju pri obrtanju namotaja. Namotaj se mogao brzo zaustaviti specijalnim kočionim uređajem. Ukupna dužina namotaja je iznosila nekih 500 m a linearna brzina kretanja žice dostizala je 300 m/s. U merenjima je brižljivo otklanjano delovanje magnetskog polja Zemlje (koje bi moglo izazvati neželjene indukovane struje).

Sl. 3 Šema Tolmanovog opita iz 1916.

Opiti su pokazali da se pri kočenju namotaja u kolu stvarno pojavljuje kratkovremena struja; smer te struje odgovara kretanju negativno naelektrisanih čestica. U tim opitima uspešno je određen odnos naelektrisanja i mase nosilaca naelektrisanja, e/m.

Richard C. Tolman (1881 - 1948) sa Ajnštajnom u Caltechu 1932.

Prostim rasuđivanjem lako je pokazati da se naelektrisanje q koje je proteklo u kolu za vreme zaustavljanja namotaja izražava formulom

$$q=\frac{m}{e}\frac{v_{0}\ell }{R}, \tag{6}$$

gde je $v_{0}$ početna linearna brzina žice, $\ell$ njena dužina, R ukupna omska otpornost kola. Naelektrisanje q se meri balističkim galvanometrom; preostale veličine ($v_{0}$, $\ell$ i R) su poznate u eksperimentu, te je moguće izračunati e/m.

U to se vreme (godina 1916) znalo elementarno naelektrisanje e — Milikenova merenja su bila objavljena. Tolman je onda mogao naći masu m nosilaca naelektrisanja u metalima. Ispostavilo se da je ta masa reda $10^{-30}$ kg, oko 2000 puta manja od mase najlakšeg atoma (masa vodonika iznosi $m_{\text{H}}=1,67\cdot 10^{-27}$ kilograma).

Evidentno, nosioci naelektrisanja u metalima ni na koji način ne mogu biti naelektrisani atomi (joni). S druge strane, nađeni odnos naelektrisanja i mase odgovara vrednosti e/m za elektron, koja je izmerena na drugi način, (pomoću skretanja elektrona u električnim i magnetskim poljima).

Mikroslika električne otpornosti

Rezultati opita koje smo opisali pokazuju da u metalima postoje elektroni koji mogu da se premeštaju po zapremini metala. Takvi elektroni su nazvani elektroni provodne zone (provodni elektroni, elektroni provodnosti). U metalima postoje još i pozitivna naelektrisanja koja ne učestvuju u formiranju struje. Pozitivna naelektrisanja metala su joni koji obrazuju kristalnu rešetku metala.

Provodni elektroni se sudaraju sa jonima u rešetki. Kada nema spoljašnjeg električnog polja elektroni izvode toplotno kretanje — svaki elektron opisuje složenu trajektoriju sličnu trajektoriji atoma gasa ili čestice koja vrši braunovsko kretanje (Sč. 4 gore). Zbog haotičnosti toplotnog kretanja količina elektrona koji se kreću u nekom smeru uvek je, u srednjem, jednaka broju elektrona koji se premeštaju u suprotnom smeru. Zato je u odsustvu spoljašnjeg polja ukupno naelektrisanje koje elektroni prenose u nekom pravcu jednako nuli.

Kada se uključi spoljašnje električno polje (Sl. 4 u sredini) elektroni stiču dopunsko uređeno kretanje u smeru koji je suprotan smeru polja (jer je naelektrisanje elektrona negativno). Zato stvarno kretanje elektrona predstavlja sumu haotičnog i usmerenog kretanja te se, dakle, javlja privilegovani smer kretanja elektrona (Sl. 4 dole). U ovom slučaju, broj elektrona koji se kreću suprotno polju biće veći od broja elektrona koji se premeštaju u smeru polja, tako da se javlja prenos naelektrisanja, tj. električna struja.

Sl. 4 Kretanje elektrona u metalu.

Između dva sudara elektroni se kreću pod dejstvom polja ubrzano i stiču određenu energiju. Ta se energija predaje u sudarima potpuno ili delimično pozitivnim jonima i transformiše se u energiju haotičnih oscilacija jona, tj. u toplotu. Zato se strujom metali zagrevaju. Kretanje elektrona u metalima praćeno je trenjem koje je izazvano sudarima i slično je unutrašnjem trenju kod gasova. Vidimo da su uzrok električne otpornosti sudari elektrona s pozitivnim jonima rešetke metala.

Sl. 5 Demonstracija trenja pri kretanju elektrona u metalima

Trenje elektrona u metalima daje ne samo Džulovu toplotu nego i uzrokuje razmenu količine kretanja između provodnih elektrona i rešetke metala. To se može demonstrirati u opitu koji je skiciran na Sl. 5. Metalni disk koji može skoro bez trenja da rotira oko horizontalne ose nalazi se između polova magneta. Disk je u električnom kolu pa u njemu postoji struja koja teče između ose i kraja diska koji se nalazi u sudu sa živom.

Kada teče struja disk se obrće a smer obrtanja se menja kada se menja smer struje. Na elektrone koji se kreću u donjoj polovini diska deluje Lorencova sila čiji je pravac normalan na struju i magnetsko polje. Ako bi se elektroni kretali bez trenja, Lorencova sila bi samo deformisala trajektoriju elektrona u metalu ali bi disk mirovao. No zbog trenja elektrona disku se predaje impuls koji su elektroni nakupili; disk počinje da rotira.

Elektronski gas

U klasičnoj elektronskoj teoriji metala pretpostavlja se da se kretanje elektrona potčinjava zakonima klasične mehanike. Zanemaruje se međusobno delovanje elektrona a interakcija elektrona sa pozitivnim jonima svodi se jedino na klasične sudare. Provodni elektroni razmatraju se kao elektronski gas koji je sličan idealnom atomskom gasu u molekulskoj fizici.

Takav elektronski gas mora se potčinjavati svim zakonima idealnog gasa i, posebno, zakonu ravnomerne raspodele energije jedne čestice po stepenima slobode, saglasno kom je srednja kinetička energija toplotnog kretanja, po jednom stepenu slobode, jednaka $kT/2$ (k je Bolcmanova konstanta jednaka $1,38\cdot 10^{-23}$ J/K, a Τ je apsolutna temperatura gasa). Pošto slobodni elektron ima tri stepena slobode, srednja energija toplotnog kretanja, po jednom elektronu, iznosi

$$\frac{1}{2}m\,〈v_{\text{T}}^{2}〉=\frac{3}{2}kT, \tag{7}$$

gde je $〈v_{\text{T}}^{2}〉$ srednja vrednost kvadrata brzine toplotnog kretanja.

Bez obzira što su usvojene pretpostavke grube, klasična elektronska teorija uspeva da kvalitativno objasni neke bitne zakonitosti električne struje. Evo primera:

Objašnjenje Omovog zakona.

Pretpostavićemo da je vreme $\tau$ između dva sukcesivna sudara jednako za sve elektrone. Dalje, pri svakom sudaru elektron predaje rešetki svu prethodno stečenu energiju — posle sudara nastavlja kretanje bez početne brzine.

Izračunajmo gustinu struje j koja se javlja u metalu pod dejstvom električnog polja jačine E:

$$j=ne\bar{v}. \tag{8}$$

Ovde je $n$ koncentracija provodnih elektrona, e naelektrisanje elektrona, a $\bar{v}$ srednja brzina usmerenog kretanja elektrona (brzina drifta).

Na svaki elektron deluje električna sila eE i elektron dobija konstantno ubrzanje eE/m. Zato je neposredno pre sudara brzina elektrona jednaka ubrzanje puta vreme kretanja:

$$v_{\max }=\frac{eE}{m}\tau. \tag{9}$$

Srednja brzina jednaka je polovini maksimalne brzine:

$$\bar{v}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}\tau. \tag{10}$$

Brzina drifta proporcionalna je jačini polja E. Zato se može staviti

$$\bar{v}=bE. \tag{11}$$

Veličina $b=e\tau /2m$ se zove pokretljivost elektrona. Ako brzinu merimo u m/s a jačinu polja u V/m, onda će pokretljivost biti izražena u $\text{m}^{2}/\text{Vs}$. Stavljajući $\bar{v}$ u izraz za gustinu struje nalazimo

$$j=\frac{ne^{2}\tau }{2m}E. \tag{12}$$

Vidimo da je gustina struje j proporcionalna jačini polja Ε a to se i tvrdi u Omovom zakonu u lokalnom obliku: $j=\lambda E$. Za specifičnu elektroprovodnost $\lambda$ dobijamo rezultat

$$\lambda =\frac{ne^{2}}{2m}\tau. \tag{13}$$

Elektroprovodnost je utoliko veća što je veća koncentracija elektrona u zoni provodnosti i što je duže vreme između dva sudara. To je i razumljivo: kad raste $\tau$ sudari manje ometaju usmereno kretanje elektrona.

Objašnjenje Džulovog zakona.

Na kraju slobodne putanje, elektroni su stekli od električnog polja kinetičku energiju

$$\frac{1}{2}mv_{\max }^{2}=\frac{1}{2}\frac{e^{2}\tau ^{2}}{m}E^{2}. \tag{14}$$

Ova se energija predaje rešeci pri sudaru i prelazi u toplotu.

U jedinici vremena svaki elektron trpi $1/\tau$ sudara; toliko puta, dakle, predaje akumuliranu energiju. Pošto u svakoj jedinici zapremine postoji $n$ elektrona, količina toplote $Q_{1}$ koja se oslobađa u jedinici zapremine u jednoj sekundi u metalu iznosi

$$Q_{1}=\frac{1}{2}\frac{ne^{2}\tau }{m}E^{2}. \tag{15}$$

Dakle, dobili smo korektnu formu Džulovog zakona u diferencijalnom obliku:

$$Q_{1}=\lambda E^{2}=\frac{1}{\rho }E^{2} \tag{16}$$

gde je $\rho =1/\lambda$ specifična otpornost metala.

Napomenimo da se klasičnom elektronskom teorijom može uspešno tretirati i Videman-Francov zakon; time se ovde nećemo baviti.

Zaključimo:

Klasična elektronska teorija korektno ukazuje na smisao električne otpornosti metala, reprodukuje Omov i Džulov zakon, dozvoljava da se specifična elektroprovodnost izrazi pomoću atomskih konstanti metala, omogućava da se shvati veza između toplotne provodnosti i elektroprovodnosti…

Ipak, klasična elektronska teorija, u drugim oblastima, dovodi do zaključaka koji su u suprotnosti sa opitima.

Najupadljiviji primer je superprovodnost.

Opis superprovodnog stanja

Po klasičnoj elektronskoj teoriji, specifična otpornost metala treba da se monotono smanjuje pri hlađenju uzorka i da je uvek konačna. Tako i jeste na relativno visokim temperaturama. Ako je temperatura nekoliko kelvina, stvari se drastično menjaju. Pre svega specifična otpornost prestaje da zavisi od temperature i dostiže neku graničnu vrednost. Ona je različita za razne supstancije pa čak i za razne uzorke jedne te iste supstancije. Ta rezidualna otpornost naročito je velika kod legura, ali postoji i kod čistih metala, Opit pokazuje da je rezidualna otpornost utoliko manja što je metal čistiji i što je manje strukturnih defekata u ispitivanom uzorku.

Heike Kamerlingh Onnes (1853 — 1926); magnet koji

levitira iznad superprovodnika (Majsnerov efekt)

Ako još više spustimo temperaturu, kod nekih supstancija uočavamo neobičnu pojavu superprovodnosti koju je otkrio Kamerling-Ones 1911. Pri određenoj temperaturi, koja je različita za razne supstancije, specifična otpornost se skokovito smanjuje do nule. U tabeli su date temperature prelaza u superprovodno stanje $T_{\text{kr}}$ za neke supstancije.

Supstancija	$T_{\text{kr}}$, $\text{K}$	Supstancija	$T_{\text{kr}}$, $\text{K}$
Titan	0,4	Živa	4,1
Kadmijum	0,5	Vanadijum	5,3
Cink	0,58	Olovo	7,2
Aluminijum	1,2	Niobijum	9,3
Kalaj	3,7	$\text{Nb}_{3}\text{S}_{\text{n}}$	18,0

Superprovodnost se ne javlja samo kod elemenata, nego i kod mnogih hemijskih jedinjenja i legura pri čemu sami elementi koji ulaze u sastav superprovodnog jedinjenja mogu i da ne budu superprovodnici.

Supstancije u superprovodnom stanju poseduju krajnje neobična svojstva.

Prvo svojstvo. Jednom pobuđena električna struja u superprovodnicima može dugo da postoji bez izvora struje, jer je vreme iščezavanja $T=L/r$ ogromno. Ta pojava je primećena već u prvim opitima sa superprovodnicima: mala superprovodna žičana kontura stavljena je u sud s tečnim helijumom a struja je u konturi pobuđena elektromagnetskom indukcijom. Ta struja se mogla primetiti po otklonu magnetske igle koja se nalazila u blizini suda: igla je pokazivala postojanje struje u toku mnogih dana.

Drugo svojstvo. U supstanciji u superprovodnom stanju magnetska indukcija uvek je jednaka nuli.

Pretpostavimo da smo neko telo od superprovodnika prvo ohladili i preveli u superprovodno stanje a zatim uključili spoljašnje magnetsko polje indukcije $\vec{B}_{a}=\mu _{0}\vec{H}_{a}$. Kad se uključi magnetsko polje, u superprovodniku se pojave indukovane struje koja daju dopunsku indukciju $\vec{B}_{\text{i}}=\mu _{0}\vec{H}_{\text{i}}$ koja će, saglasno Lencovom zakonu, kompenzovati spoljašnju indukciju $\vec{B}_{a}$. U običnom provodniku, indukovane struje brzo slabe te ostaje samo fluks koji potiče od magnetizacionog kalema. Ali u slučaju superprovodnika, kompezacione struje uopšte ne slabe, sve vreme rezultantna indukcija u telu je nula, $\vec{B}=\vec{B}_{a}+\vec{B}_{\text{i}}=0$. A u spoljašnjem prostoru linije rezultantne indukcije imaju oblik koji je pokazan na Sl. 6: one su potisnute i obilaze telo.

Sl. 6 Superprovodno telo u magnetskom polju; Levo:

Šema procesa na početku. Desno: Istiskanje linija sile

To svojstvo superprovodnog stanja nije u vezi samo sa iščezavanjem električne otpornosti. Može se reći da je superprovodna supstancija idealni dijamagnetik sa magnetskom susceptibilnošću $\kappa =-1$ i magnetskim permeabilitetom $\mu =\kappa +1=0$. Iz ovoga sledi da je gustina struje u telu masivnog superprovodnika jednaka nuli. U superprovodnom punom telu struja može biti lokalizovana jedino u tankom površinskom sloju.

Sl. 7 Magnetska indukcija pravog provodnika

u superprovodnom stanju

Ako telo ima oblik duge cilindrične žice, magnetsko polje Η u spoljašnjem prostoru ne zavisi od raspodele struje po preseku žice već je određeno jedino ukupnom jačinom struje. Zato se i za superprovodni provodnik Η izražava formulom $H=i/2\pi r$, a indukcija je $B=\mu _{0}H$. Na površini pravog provodnika jačina magnetskog polja je jednaka $H_{\text{s}}=i/2\pi a$, gde je a radijus provodnika. Pri prolazu kroz samu površinu u provodnik Β eksponencijalno pada ka nuli. Raspodela indukcije u prostoru pokazana je na Sl. 7. Rastojanje d od površine na kom se Β smanjuje e puta zovemo dubina prodiranja indukcije. Ona je različita za razne supstancije i povećava se kada temperatura raste. Njene tipične vrednosti imaju red veličine $10^{-5}$ cm.

Treće svojstvo. Magnetsko polje narušava stanje superprovodnosti. Što je više ohlađen superprovodnik ispod prelazne temperature u superprovodno stanje tim je veće i „kritično” magnetsko polje pri kojem iščezava superprovodnost. Na temperaturi prelaza u superprovodno stanje kritično polje jednako je nuli.

Magnetsko polje koje narušava superprovodnost može biti i polje same struje u superprovodniku. Kada je jačina struje takva da magnetsko polje na površini provodnika dostiže kritičnu vrednost, superprovodnost iščezava. Iz rečenog je jasno da je ta maksimalna (kritična) jačina struje pri temperaturi prelaza jednaka nuli ali se povećava kada se temperatura snižava. Pored toga, za datu supstanciju i datu temperaturu ona je upravo proporcionalna dijametru provodnika. Primera radi, za kalaj na 1 Κ $H_{\text{kr}}$ iznosi oko $2\cdot 10^{4}$ A/m. Zato je za kalajnu žicu dijametra $2a=3$ mm kritična jačina struje na toj temperaturi jednaka $i_{\text{kr}}=2\pi aH_{\text{kr}}\approx 180$ A.

Potpunije izučavanje superprovodnosti izlazi iz okvira ovog kursa. Takođe, studenti će izučavati na završnim godinama studija fizike teoriju specifične toplote metala; ni ona se ne može tretirati pomoću klasične elektronske teorije.

Holov efekt

Elektroprovodnost metala zavisi od koncentracije provodnih elektrona $n$ i od njihove pokretljivosti b. Kako se mere te veličine?

Za merenje koncentracije elektrona najčešće koriste Holov efekat. Posmatrajmo provodnik u obliku pravougaone pločice kroz koju teče struja gustine j:

Sl. 8 Konfiguracija Holovog opita

Ekvipotencijalne površine u takvoj pločici biće ravni normalne na pravac struje te je zato razlika potencijala između dve metalne sonde 1 i 2 koje leže na jednoj od tih ravni jednaka nuli. Ako, međutim, u uzorku postoji magnetsko polje normalno na struju i sonde, onda između sondi postoji razlika potencijala.

U pojavi te poprečne razlike potencijala i sastoji se Holov efekat.

Opit pokazuje da je poprečna razlika potencijala U u relativno slabim magnetskim poljima proporcionalna magnetskoj indukciji B; ona je takođe proporcionalna gustini struje j i rastojanju između sondi d:

$$U=RdjB, \tag{17}$$

gde je R konstanta koja zavisi od vrste supstancije. Ona se zove Holova konstanta.

Edwin Herbert Hall (1855 — 1938) i savremeni strujni senzor na principu HE

Holov efekat se jednostavno objašnjava elektronskom teorijom i on je posledica Lorencove sile. Da bolje objasnimo fizičku suštinu te pojave ograničićemo se njenom uprošćenom teorijom i približno ćemo smatrati da se svi elektroni kreću konstantnom brzinom koja je jednaka srednjoj brzini njihovog usmerenog kretanja $v$. Tada na svaki elektron deluje sila normalna na pravac struje i na magnetsko polje, jednaka $evB$. Pod dejstvom te sile elektroni će se pomerati te će se jedna od strana pločice naelektrisati negativno a druga pozitivno i nastaće poprečno (u odnosu na struju i magnetsko polje) električno polje E. U stanju ravnoteže je $evB=eE$. Zato je poprečna razlika potencijala jednaka

$$U=Ed=vBd. \tag{18}$$

U ovom izrazu moguće je srednju brzinu elektrona $v$ izraziti preko gustine struje $j=nev$ i zato je

$$U=\frac{1}{ne}djB. \tag{19}$$

Dobijeni izraz se poklapa sa formulom (17), ako je Holova konstanta jednaka

$$R=\frac{1}{ne}. \tag{20}$$

Ona zavisi od koncentracije elektrona $n$ i zato je moguće, mereći Holovu konstantu, odrediti koncentraciju elektrona u provodniku.

Znak Holovog napona zavisi od znaka naelektrisanja pokretnih čestica.

Znajući elektroprovodnost $\lambda =enb$ moguće je naći proizvod $nb$ i odrediti koncentraciju $n$ i pokretljivost b zasebno.

Koncentracija provodnih elektrona u metalima, određena metodom Holove konstante, ima red veličine $10^{28}\;\text{m}^{-3}$ i bliska je koncentraciji atoma.

Pokretljivost elektrona u metalima veoma je mala. U SI jedinicama ($\text{m}^{2}/\text{sV}$) je pokretljivost reda $10^{-4}$ do $10^{-3}$. Niske vrednosti pokretljivosti ukazuju na to da elektroni trpe velik broj sudara sa kristalnom rešetkom.

Klasični model Holovog efekta može se dodatno profiniti, no tako nastale korekcije nisu znatne i time se ovde nećemo baviti. (Kvantne aspekte Holovog efekta studenti upoznaju na završnim semestrima studija.)

Poluprovodnici

Do sada nismo ništa govorili o procesima koji dovode do formiranja provodnih elektrona u provodnicima. Tu može da pomogne izučavanje zavisnosti koncentracije provodnih elektrona od temperature. Tu zavisnost nalazimo mereći Holovu konstantu na raznim temperaturama.

Opit pokazuje da kod metala koncentracija elektrona praktično ne zavisi od temperature. Čak i na vrlo niskim temperaturama, u metalima već postoji veliki broj slobodnih elektrona. To pokazuje da u formiranju provodnih elektrona u metalima toplotno kretanje ne igra bitnu ulogu.

Atomi tipičnih metala karakterišu se time što imaju jedan ili više elektrona koji su slabo vezani za jezgro. Zgušnjavanjem atoma pri formiranju metala takvi elektroni — pod dejstvom sila interakcije sa susednim atomima — bivaju otrgnuti od svojih atoma. Oni više ne pripadaju nekom određenom atomu već metalu u celini i kreću se po metalu u sumarnom polju svih jona i elektrona. Ti otkinuti elektroni i jesu provodni elektroni.

Da kažemo sada nešto i o provodnicima koji se razlikuju od metala. Ti provodnici su takođe elektronski (provodnici prve vrste) i u njima električna struja nije praćena nikakvim hemijskim promenama. Međutim, koncentracija nosilaca naelektrisanja u takvim provodnicima neobično se mnogo povećava sa povećanjem temperature. Ti provodnici na niskim temperaturama imaju veoma veliku specifičnu otpornost i praktično su izolatori, ali sa povećanjem temperature njihova se specifična otpornost jako smanjuje te postoje vrlo mala na dovoljno visokim temperaturama. Supstancije takvog tipa su nazvane elektronski poluprovodnici.

Poluprovodnici su mnogi elementi (silicijum, germanijum, selen i dr), oksid bakra $\text{Cu}_{2}\text{O}$, olovosulfid PbS i mnoga druga hemijska jedinjenja. Tako, na primer, po eksperimentalnim podacima može se zaključiti da je koncentracija elektrona u vrlo čistom silicijumu na sobnoj temperaturi svakako manja od $10^{17}\;\text{m}^{-3}$, a njegova specifična otpornost mora biti veća od $10^{3}\;\Omega \text{m}$; no na temperaturi $700\;^{0}\text{C}$ koncentracija elektrona u njemu narasta do $10^{24}\;\text{m}^{-3}$ a specifična otpornost pada do $0,001\;\Omega \text{m}$, tj. menja se više nego milion puta. Zaključimo:

Jaka zavisnost koncentracije nosilaca naelektrisanja u poluprovodnicima od temperature pokazuje da provodni elektroni tamo nastaju delovanjem toplotnog kretanja. Međusobno delovanje atoma u poluprovodnicima samo po sebi još nije dovoljno za otkidanje elektrona od atoma i prevođene elektrona u zonu provodnosti. Da bi se to ostvarilo, čak i najslabije vezanim elektronima treba saopštiti neku dodatnu energiju koja se upravo i obezbeđuje energijom toplotnog kretanja. Što je viša temperatura tim će više elektrona u poluprovodniku biti u slobodnom stanju, tj. biće ih više u zoni provodnosti.

Ako je u nekom materijalu energija otkidanja elektrona od atoma velika u poređenju sa srednjom energijom toplotnog kretanja (koja ima red veličine kT), i to na svim temperaturama u oblasti postojanja datog stanja - onda se ne obrazuju (u većem broju) provodni elektroni; takav će materijal biti izolator.

Sopstvena električna provodnost poluprovodnika

Razmotrimo detaljnije nastajanje provodnih elektrona u poluprovodnicima. Posmatrajmo silicijum, koji je tipičan poluprovodnik.

Sl. 9 Atom silicijuma i njegove četiri valentne veze

Atom silicijuma ima četrnaest protona u jezgru. Zato je naelektrisanje jezgra silicijuma jednako +14e i u sastav atoma ulazi 14 elektrona. Međutim, samo četiri od njih su slabo vezani. Upravo ti slabo vezani elektroni učestvuju u hemijskim reakcijama i uslovljavaju četvorovalentnost silicijuma; nazvani su valentni elektroni. Ostalih deset elektrona, zajedno s jezgrom, čine “skelet” atoma, sa naelektrisanjem +14e — 10e = +4e. On je okružen sa četiri valentna elektrona koji se kreću oko atomskog ostatka i obrazuju oblak negativnog naelektrisanja (skica na Sl. 9).

Položaj atoma u rešetki silicijuma je takav da je svaki atom okružen sa četiri bliska suseda. Uprošćena šema (dvodimenziona) položaja atoma u kristalu silicijuma pokazana je na Sl. 10. Veza dva susedna atoma realizuje se parom elektrona koji obrazuju tzv. parnoelektronsku ili valentnu vezu.

Sl. 10 Parno-elektronske veze u kristalu silicijuma

Slika 10 odgovara čistom silicijumu na vrlo niskoj temperaturi. U tom slučaju svi valentni elektroni učestvuju u obrazovanju veza između atoma, predstavljaju strukturne elemente i ne učestvuju u elektroprovodnosti.

Kad raste temperatura kristala, termalne oscilacije rešetki ruše neke valentne veze. Rezultat toga je da se deo elektrona koji su ranije učestvovali u obrazovanju valentnih veza otkida prelazeći u zonu provodnosti. U električnom polja, ako takvo postoji, provodni elektroni se premeštaju suprotno polju i formiraju električnu struju. Ovo je važno:

Svaki prekid valentne veze dovodi do pojave upražnjenog (vakantnog) mesta. Takva “napuštena” mesta s nepostojećom (prekinutom) elektronskom vezom nazvana su šupljine (šema na Sl. 11). Lako je videti da pojavljivanje šupljina u kristalu poluprovodnika stvara dopunsku mogućnost za pomeranje naelektrisanja. Stvarno, neki od vezanih elektrona može preći,

Sl. 11 Nastajanje provodnih elektrona i šupljina u rešetki silicijuma

u određenim okolnostima, na mesto šupljine. Tamo se, dakle, uspostavi normalna veza ali se zato pojavi šupljina na drugom mestu. U novu šupljinu sa svoje strane može preći neki od drugih vezanih susednih elektrona itd. Takav će se proces dešavati mnogostruko, s rezultatom da u formiranju struje učestvuju ne samo elektroni iz zone provodnosti nego i vezani elektroni koji će se postepeno premeštati, kao i provodni elektroni, suprotno električnom polju. No same šupljine kretaće se suprotno, u pravcu električnog polja, tj. tako kao da se kreću pozitivno naelektrisane čestice (Sl. 12).

Sl. 12 Šema provođenja pomoću šupljina. Crne tačke:

vezani elektroni; svetli kružići, vakantna mesta (šupljine)

Razmotreni proces je nazvan provodnost šupljina. Zapamtimo: U poluprovodnicima su moguća dva različita procesa elektroprovodnosti: elektronski, koji se ostvaruje kretanjem elektrona u zoni provodnosti, i onaj koji se ostvaruje kretanjem šupljina.

Naporedo s prelazima elektrona iz vezanog stanja u slobodno, postoje i obratni prelazi pri kojim se provodni elektron prihvata na jednom od vakantnih mesta vezanih elektrona. Taj se proces naziva rekombinacija elektrona i šupljine. U ravnotežnom stanju formira se takva koncentracija elektrona (i njoj jednaka koncentracija šupljina) pri kojoj je broj direktnih i obratnih prelaza u jedinici vremena jednak.

Razmotreni proces provodnosti kod savršeno čistih poluprovodnika, koji su posve lišeni hemijskih primesa i drugih defekata rešetki, nazvan je sopstvena provodnost.

Poluprovodnik sa primesama

Primese radikalno menjaju elektroprovodnost poluprovodnika. Silicijumu kome je dodato 0,001 procenata fosfora smanji se specifična otpornost na sobnoj temperaturi za više od 100000 puta (u odnosu na prethodno stanje u savršeno čistom kristalu)! Kako to?

Uzmimo na početku da je primesa neki element pete grupe, na primer arsen. Atom arsena ma pet valentnih elektrona. Ali za realizovanje parnoelektronskih veza u silicijumovoj rešetki potrebna su svega četiri elektrona. Zato je peti elektron arsenovog atoma posebno slabo vezan i može biti lako otrgnut termalnim oscilacijama rešetki. Tako se lako javlja jedan provodni elektron a atom arsena postaje pozitivno naelektrisani jon, Sl. 13 levo.

Sl. 13 Atomi arsena (levo) i bora (desno) u rešetki silicijuma

Razmotrimo sada kako će se ponašati atom primese nekog elementa koji u odnosu na silicijum stoji levo u periodnom sistemu; neka je to bor koji se nalazi u trećoj grupi. Atom bora ima svega tri valentna elektrona a za normalnu valentnu vezu u silicijumovoj rešetki neophodna su četiri elektrona. Četvrti elektron, koji nedostaje, biće zahvaćen sa nekog od susednih mesta kristala gde će se formirati šupljina, a atom bora će postati negativni jon (šema desno). Na taj način, i u prisustvu bora u kristalu silicijuma moguće je imati struju ali za razliku od slučaja sa arsenom električna struja će ovde biti uzrokovana kretanjem šupljina, a ne elektrona.

Dakle, elektroprovodnost poluprovodnika može biti uzrokovana takođe i primesama (primesna provodnost). Primese koje izazivaju pojavu provodnih elektrona (na primer, arsen u silicijumu) nazvane su donori, a primese koje proizvode šupljine (na primer, bor u silicijumu) zovu se akceptori.

Možemo reći, rezimirajući, da poluprovodnici imaju tu osobinu da je elektroprovodnost kod njih uzrokovana kako slobodnim elektronima tako i šupljinama. Ako je koncentracija elektrona u poluprovodniku mnogo veća od koncentracije šupljina kažemo da poluprovodnik ima elektronsku provodnost, ili provodnost n-tipa. A ako je mnogo više pozitivnih šupljina onda imamo elektroprovodnost na bazi šupljina, ili p-tipa. Nosioci naelektrisanja koji su u većini (elektroni u poluprovodniku n-tipa i šupljine u poluprovodniku p-tipa) nazvani su osnovni nosioci naelektrisanja; oni koji su u manjini su sporedni. Ali ako imamo približno jednake koncentracije elektrona i šupljina tada se govori o mešovitoj provodnosti.

Tako, na primer, silicijum sa primesama arsena na niskim temperaturama ima jedino primesnu provodnost i ponaša se kao poluprovodnik n-tipa. Osnovni nosioci naelektrisanja u njemu su elektroni, a sporedni su šupljine. Ovi se zadnji pojavljuju jedino kao rezultat rušenja valentnih veza i njihova je koncentracija na niskim temperaturama mala. Ali sa povećanjem temperature primesna provodnost, naprotiv, postaje znatno manja od sopstvene, te koncentracija šupljina praktično postaje jednaka koncentraciji elektrona.

Učenje o energetskim zonama

Posmatrajmo Sl. 14. Na ordinati je $W$, ukupna energija elektrona; naznačena je najmanja energija provodnih elektrona $E_{\text{c}}$ i najveća energija vezanih elektrona $E_{\text{v}}$. Moguće vrednosti energija provodnih elektrona obuhva

Sl. 14 Energetski dijagram poluprovodnika i elektronski

prelazi zona — zona (1, 2) i donor — zona (3, 4)

taju neku oblast ili zonu energija $W\ge E_{\text{c}}$ koja je nazvana zona provodnosti.

Analogno, energije vezanih elektrona formiraju drugu zonu s $W\le E_{\text{v}}$ koja se zove zona valentnih elektrona ili prosto valentna zona. Te dve zone odeljene su energetskim procepom širine $E_{\text{g}}=E_{\text{c}}-E_{\text{v}}$ koji predstavlja zonu zabranjenih energija. Kada nema atoma primese i strukturnih defekata rešetke nemoguća su stacionarna kretanja elektrona s energijom koja pripada zabranjenoj zoni.

Kidanje hemijske veze koje dovodi do formiranja provodnog elektrona i pozitivne šupljine jeste elektronski prelaz valentna zona — zona provodnosti (proces 1 na slici). Obratni proces, rekombinacija provodnog elektrona i pozitivne šupljine, jeste elektronski prelaz 2.

Kada postoje primesni atomi pojavljuju se u zabranjenoj zoni diskretni, dopušteni, energetski nivoi (jedan od njih $E_{\text{d}}$ pokazan je na Sl. 14). Oni ne postoje u celoj zapremini kristala nego samo na mestima gde su primesni atomi (lokalni energetski nivoi). Svaki lokalni nivo označava energiju elektrona koji pripada atomu primese.

Sl. 15 Elektronski prelaz akceptor — valentna zona

Lokalni energetski nivoi omogućavaju dopunske elektronske prelaze. Tako, jonizacija donora koja daje provodni elektron (Sl. 13, levo) predstavlja se na dijagramu (Sl. 14) elektronskim prelazom 3. Obratni proces zahvata elektrona na atom donora jeste elektronski prelaz 4 iz zone provodnosti na nepopunjeni nivo donora. Analogno, jonizacija akceptora koja daje prekinutu hemijsku vezu, pozitivnu šupljinu (Sl. 13 desno) predstavlja se elektronskim prelazom 1 na Sl. 15. Obrnuti prelaz 2 sa zaposednutog akceptorskog nivoa u valentnu zonu opisuje pripajanje vezanog elektrona slobodnoj šupljini kada se ova u svom kretanju približi naelektrisanom akceptoru. Pored razmotrenih prelaza, naravno, mogu postojati još i drugi.

Slika energetskih zona koju smo dali razmatrajući hemijske veze bitno se uopštava i precizira u kvantnoj teoriji. Naime, rešenje problema kretanja elektrona u polju periodičnog potencijala rešetki pokazuje da postoji celi sistem zona dozvoljenih energija, kao na Sl. 16. Svaka od zona ograničena je dole nekom minimalnom energijom („dno” zone) i gore maksimalnom energijom („plafon” zone). Te zone su odeljene jedna od druge pojasevima zabranjenih energija. Širina dozvoljenih energetskih zona povećava se sa povećanjem energije i široke gornje zone u nekim se slučajevima mogu preklapati obrazujući jedinstvenu složenu zonu.

Sl. 6 Energetske zone elektrona u tvrdom telu

Nastajanje energetskih zona ima sledeći opšti uzrok. Pretpostavimo da imamo Ν izolovanih atoma, međusobno udaljenih, koji ne interaguju jedan sa drugim. U svakom od tih atoma može se energija elektrona menjati samo skokovito, te se zato karakteriše sistemom uskih, diskretnih energetskih nivoa. U posmatranom sistemu atoma, koji ne interaguju međusobno, postoji Ν podudarnih energetskih nivoa — umesto svakog atomskog energetskog nivoa. Pretpostavimo sada da približavamo atome do formiranja kristalne rešetke. Pri tom se, zbog međuatomskog delovanja, menjaju energetski nivoi elektrona. Pokazuje se da interakcija unosi razliku među Ν prvobitno identičnih nivoa. Ta celina sada već različitih energetskih nivoa i jeste dozvoljena energetska zona. Na taj način, energetske zone se javljaju kao rezultat cepanja diskretnih energetskih nivoa elektrona u atomima pod uticajem interakcije atoma u rešetki.

Broj energetskih nivoa u svakoj zoni vrlo je velik — reda broja atoma u kristalu, pa su nivoi locirani vrlo blizu jedan drugom. Zato je u mnogim slučajevima moguće smatrati da se u svakoj zoni energija elektrona, kao i u klasičnoj teoriji, kontinualno menja. Međutim, broj tih nivoa ipak je konačan. Dublja znanja o ovoj temi studenti će dobiti na časovima kvantne mehanike. Ovde još možemo da naglasimo:

Za elektroprovodnost su bitne samo dve energetske zone: ona koja je na temperaturi apsolutne nule samo delimično zaposednuta ili prazna i zona koja je popunjena a leži neposredno ispod ove prve. Ova druga takođe može učestvovati u elektroprovodnosti jer sa povećanjem temperature deo elektrona koji se nalaze na vrhu te zone može biti pobuđen i prenesen u gornju nepopunjenu zonu; i ona sama se sada javlja kao nepopunjena zona. Te dve zone i jesu zona provodnosti i valentna zona, koje smo ranije pominjali. Prazna elektronska kvantna stanja čije su energije blizu vrha valentne zone odgovaraju pozitivnim šupljinama.

Metali su takvi kristali kod kojih je na temperaturi apsolutne nule jedna od energetskih zona delimično popunjena. Tipični poluprovodnici jesu oni kristali čije su energetske zone na apsolutnoj nuli ili potpuno zaposednute ili sasvim prazne.