Maksvelova teorija

Solenoidno električno polje

Razmotrimo nepokretni zatvoreni provodnik (žičanu konturu, kolo) u magnetskom polju. Ako se magnetsko polje menja u vremenu, pojavljuje se električna struja u provodniku. Znači da deluje neka elektromotorna sila u kolu. Kakva je fizička priroda stranih sila u ovom slučaju?

Eksperimenat pokazuje da e.m.s. indukcije ne zavisi od vrste supstancije provodnika, Ona ne zavisi ni od stanja provodnika, pre svega od njegove temperature. To nagoveštava da su strane sile prouzrokovane samim magnetskim poljem.

Maksvel je zaključio da je uzrok e.m.s. indukcije u pojavi električnog polja, a provodnici igraju drugostepenu ulogu i predstavljaju tek vrstu pribora kojim se to polje otkriva: Pod dejstvom polja pokreću se provodni elektroni u žici i, ako je kolo zatvoreno, teče indukovana struja. Ali ovo je bitno uočiti:

Sl. 1 S promenom magnetskog polja nastaje solenoidno

električno polje. Ovde smer $\vec{E}$ odgovara porastu $\vec{B}$

Nastalo električno polje nije elektrostatičko. Ovo polje ima neprekinute linije sile, to je solenoidno polje — Sl. 1. Ono izaziva u žici kretanje elektrona po zatvorenim trajektorijama i možemo govoriti o dejstvu elektromotorne sile.

Strane sile su sile solenoidnog električnog polja. Električni napon po zatvorenoj konturi u takvom polju nije jednak nuli; njegova vrednost između bilo koje dve tačke nije definisana sada samo položajem tih tačaka, kao što je bilo u slučaju elektrostatičkog polja, već zavisi još i od oblika konture (provodnika), koja spaja date tačke. Zapamtimo dobro prvi osnovni stav Maksvelove teorije:

Sl. 2 James Clerk Maxwell (1831—1879)

Ovaj stav se može matematički formulisati. Već smo naučili Maksvelov zakon elektromagnetske indukcije

$$\mathscr{E}=-\frac{d\varphi }{dt}, \tag{1}$$

gde je $\varphi$ fluks magnetske indukcije B kroz površinu S koju ograničava posmatrana kontura $\ell$ (Sl. 3):

$$\phi =\int_{S} B_{\text{n}}\,dS. \tag{2}$$

Elektromotorna sila koja deluje u nekoj konturi $\ell$ jednaka je

$$\mathscr{E}=\oint_{\ell } E_{\ell }^{*}\,d\ell, \tag{3}$$

gde je $E^{*}$ jačina polja stranih sila, ovde jačina solenoidnog električnog polja E. Zato možemo izjednačiti

$$\frac{d\phi }{dt}=-\int_{\ell } E_{\ell }\,d\ell. \tag{4}$$

Ova relacija daje kvantitativnu vezu između promenljivog magnetskog polja (B) i solenoidnog električnog polja (E) i ona je jedna od osnovnih jednačina u Maksvelovoj teoriji.

Magnetski fluks ima određeni znak koji zavisi od izbora pozitivnog smera normale $\vec{n}$ na površinu S. Smer normale određuje i znak e.m.s. koji je povezan sa smerom $\vec{n}$ pravilom desnog zavrtnja. Smer normale $\vec{n}$ i smer obilaženja konture $\ell$ povezani su takođe pravilom desnog zavrtnja.

Sl. 3 Uz formulaciju Maksvelovih jednačina

Na Sl. 3 izabran je smer normale $\vec{n}$ u skladu sa smerom obilaženja konture $\ell$. Ako je vektor $\vec{B}$ paralelan sa $\vec{n}$ (ili je među njima oštar ugao), fluks $\varphi$ je pozitivan. Ako se pri tome magnetsko polje povećava, onda je $d\varphi /dt>0$ i sledi da je $\int_{\ell } E_{\ell }\,d\ell <0$. To znači da je solenoidno električno polje usmereno suprotno usvojenom smeru obilaženja konture.

Nekoliko primera iz prakse

1. U kalemu sa naizmeničnom strujom nalazi se metalni disk koji je orijentisan normalno na osu kalema. Solenoidno električno polje izaziva u disku indukovanu struju. Gustina te struje u nekoj tački provodnika, po Omovom zakonu, jednaka je $\vec{j}=\lambda \vec{E}$. Linije jačine $\vec{E}$ (silnice) su zatvorene, te se i linije struje takođe zatvaraju u provodniku; takve struje su nazvane vihorne struje*.* Vihorne struje zagrevaju provodnik, u krajnjem slučaju mogu ga i istopiti.

Zagrevanje provodnika vihornim strujama primenjuje se u indukcionim metalurškim pećima za topljenje metala i dobijanje njihovih legura. Male indukcione peći koriste se često u laboratorijskoj i industrijskoj praksi za kaljenje metala u vakuumu.

2. Vihorne struje se javljaju i pri kretanju masivnih provodnika kroz magnetsko polje. Interagujući sa magnetskim poljem, vihorne struje izazivaju sile koje deluju na pokretno provodno telo, a te sile, prema Lencovom zakonu, uvek teže da spreče kretanje. Na Sl. 4 dajemo skicu jednog klasičnog

Sl. 4 Magnetsko polje elektromagneta utiče na oscilovanje

klatna s bakarnom glavom, zbog vihornih struja u provodniku

demonstracionog opita. Vidimo klatno s masivnom bakarnom glavom koja pri oscilovanju prolazi između polova elektromagneta. Ako je elektromagnet isključen, klatno osciluje s veoma malim slabljenjem, budući da ima veliku masu; kada se elektromagnet uključi klatno se brzo zaustavi.

Sile koje su izazvane vihornim strujama i koje deluju na provodnike u magnetskom polju koristimo u mnogim mernim priborima (električni brojači, elektromagnetsko kočenje mernih pribora, tahometri i dr).

3. U nekim tehničkim uređajima vihorne struje valja izbeći. Gvozdena jezgra transformatora i obrtni delovi električnih generatora greju se vihornim strujama. Koeficijenat korisnog dejstva tih uređaja se time smanjuje; mogu nastati i druge nepoželjne posledice. Provodni delovi se stoga prave od tankih, međusobno izolovanih listića čime se sprečavaju vihorne struje.

Sl. 5 Vihorne struje u međusobno izolovanim listićima.

Posmatrajmo demonstracioni opit sa Sl. 5. Masivno telo u vidu kocke napravljeno je od pomenutih listića. Telo visi na upredenoj niti, između polova elektromagneta. Ako listići leže horizontalno (šema levo), izolator će blokirati protok vihornih struja. Vihorne struje postoje samo u granicama svakog od listića; sprečene su da prolaze od sloja do sloja i kocka se nesmetano obrće. Ako su listići vertikalni (šema desno), izolatori će biti paralelni linijama vihornih struja i neće ometati formiranje struja u svakom od listića. Kocka će se ponašati kao da međuslojeva i nema, te će rotirati vrlo sporo, zbog kočečeg delovanja vihornih struja.

Transformator

Transformator je uređaj koji transformiše napon i jačinu naizmenične struje. On ima jezgro (obično zatvorenog oblika, šema na Sl. 6) od mekog gvožđa ili drugog magneto-mekog feromagnetika, koje na sebi nosi dva namotaja — primar i sekundar. Krajevi primara (ulaz transformatora) priključeni

Sl. 6 Transformator

su na mrežu naizmenične struje, a krajevi sekundara (izlaz) na neki potrošač električne energije. E.m.s. elektromagnetske indukcije koja se pojavljuje u sekundaru proporcionalna je broju navoja u njemu; menjajući broj navoja možemo menjati, u željenim granicama, napon na izlazu iz transformatora.

Transformatori igraju ogromnu ulogu u savremenoj elektrotehnici. U vodovima za prenos električne snage danas se skoro isključivo primenjuju visoki naponi (hiljade i desetine hiljada volti). To dopušta da se smanji jačina struje u liniji, samim tim i poprečni presek provodnika, pa je tako vod za prenos električne snage znatno jeftiniji, i mehanički pouzdaniji. Međutim, veoma je teško konstruisati generatore i ostale mašine sa visokim radnim naponom, jer je neophodno obezbediti dobru izolaciju namotaja. Zato se električni generatori konstruišu za niske radne napone i zatim se taj napon povećava pomoću transformatora za dizanje napona i pripremu za potonji transport. Na mestu gde se upotrebljava električna energija transformiše se struja visokog napona pomoću transformatora za snižavanje napona u struju niskog napona (najčešće 110 V i 220 V), što je poželjno za rad motora i sl.

Transformatori imaju visok koeficijent korisnog dejstva, koji ide i do 99%; transformator ne sadrže pokretne delove — zato su oni veoma pogodni tehnički uređaji.

Transformator je dobar primer tehničkog korišćenja solenoidnog električnog polja. Upravo to polje izaziva kretanje elektrona u sekundaru i ono je uzrok pojave u njemu e.m.s. Magnetski fluks koji daje primar praktično je lokalizovan u jezgru transformatora, dok solenoidno električno polje postoji kako u jezgru, tako i spolja. Zato se e.m.s. u sekundaru javlja i kada postoji zazor između jezgra i namotaja.

Sl. 7 U solenoidnom električnom polju

transformatora napon zavisi od oblika konture

Pomoću transformatora može se lako eksperimentalno proveriti da u solenoidnom električnom polju napon između dve tačke zavisi od oblika puta koji te tačke spaja. Uzme se sekundar s malim brojem navoja (jedan-dva) i između njegovih krajeva 1 i 2 (Sl. 7) spoji se voltmetar, prvi put tako da provodnici voltmetra budu van transformatora (puna linija), a drugi put da prolaze kroz transformator, obuhvatajući njegovo jezgro (isprekidana linija). Pokazivanja voltmetra u ova dva slučaja će biti različita (veće će biti u drugom slučaju), premda je u oba slučaja voltmetar priključen na istim tačkama.

Razmotrimo sada vezu između ulaznog napona $U_{1}$ (Sl. 6) i izlaznog napona $U_{2}$. Neka je $\varphi$ magnetski fluks u jezgru. U slučaju tehničke sinusne naizmenične struje učestanosti $f$, a magnećenje jezgra je daleko od zasićenja, taj će se magnetski fluks takođe približno menjati po sinusnom zakonu: $\varphi =\varphi _{0}\sin \omega t$, gde je $\omega =2\pi f$ kružna učestanost naizmenične struje, a $\varphi _{0}$ je amplituda fluksa. Kod kvalitetnih transformatora, rasipni fluks je mali u odnosu na fluks u jezgru, pa ćemo mi smatrati da jedan te isti fluks $\varphi$ prolazi kroz oba namotaja. E.m.s. samoindukcije u primaru jednaka je

$$\mathscr{E}_{1}=-\frac{d\varphi }{dt}N_{1}, \tag{5}$$

a e.m.s. u sekundaru

$$\mathscr{E}_{2}=-\frac{d\varphi }{dt}N_{2}. \tag{6}$$

Ovde su $N_{1}$ i $N_{2}$ broj navoja u prvom i drugom namotaju, respektivno. Primenjujući na namotaje transformatora Omov zakon za deo kola sa e.m.s., nalazimo napon na ulazu transformatora

$$U_{1}=r_{1}i_{1}-\mathscr{E}_{1}=r_{1}i_{1}+\frac{d\varphi }{dt}N_{1} \tag{7}$$

i napon na izlazu

$$U_{2}=r_{2}i_{2}-\mathscr{E}_{2}=r_{2}i_{2}+\frac{d\varphi }{dt}N_{2}. \tag{8}$$

Ovde su $r_{1}$ i $r_{2}$ otpornosti primara i sekundara, a $i_{1}$ i $i_{2}$ su jačine struja u primaru i sekundaru.

U praznom hodu sekundara, kada je $i_{2}=0$, i kada su omski gubici mali, $r_{1}i_{1}\ll \mathscr{E}_{1}$, dobijamo iz gornjih relacija:

$$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}. \tag{9}$$

Odnos $K=N_{2}/N_{1}$ se zove koeficijent transformacije. On pokazuje koliko puta je sekundarni napon veći od primarnog napona u režimu praznog hoda.

Sl. 8 Šema autotransformatora

Nekada ulogu sekundara igra deo namotaja primara ili, suprotno, deo sekundara igra ulogu primara. U ovom slučaju se transformator zove autotransformator. Jedan od kontakata autotransformatora, šema na Sl. 8, obično je pokretan, pa se tim klizećim kontaktom može kontinualno menjati izlazni napon. Ovakav tip transformatora, koji je prost i efikasan, čest je u studentskim laboratorijama.

Fizika skin efekta

Ako u homogenom provodniku konstantnog poprečnog preseka teče konstantna struja, gustina struje ista je u svim tačkama preseka provodnika. Kada teče naizmenična struja, gustina struje nije jednaka po preseku: najveća je na površini a najmanja na osi provodnika. Pri veoma visokim učestanostima struja praktično postoji jedino u tankom površinskom sloju. Ova pojava nazvana je skin-efekt.

Posmatramo provodnik s naizmeničnom strujom. U datom trenutku struja i ima smer koji je pokazan na Sl. 9. Ta struja daje u provodniku magnetsko polje čije silnice leže u ravni koja je normalna na osi provodnika. Pretpostavimo da se struja i pojačava. Tada će rastuća indukcija B izazvati pojavu solenoidnog električnog polja E, šema levo, koje je blizu površine provodnika usmereno kao i struja i, a na osi provodnika ima smer suprotan smeru struje. To polje će, dakle, pojačavati struju na površini i slabiti je na osi.

Sl. 9 Objašnjenje skin-efekta kod provodnika;

Levo: struja narasta, desno: struja slabi

Koristeći šemu desno moguće je potvrditi taj zaključak o raspodeli jačine struje i u slučaju kad struja i opada.

Ovde nećemo izvoditi zakon raspodele jačine struje.

Zbog skin efekta, električna struja pri visokim učestanostima teče prvenstveno kroz površinski sloj provodnika. To dovodi do smanjenja efektivnog preseka provodnika i, sledstveno, do povećanja otpornosti provodnika. Pri visokim učestanostima ili kod debelih provodnika to povećanje otpornosti može biti značajno.

Zbog neravnomerne raspodele struje u provodniku menja se ne samo njegova otpornost, nego i induktivnost. Stvarno, pri konstantnoj struji pojavljuje se magnetsko polje kako u spoljašnjem prostranstvu, tako i u provodniku. Kada je skin—efekt jak, struja postoji praktično jedino u površinskom sloju provodnika, pa magnetskog polja u telu provodnika i nema. Magnetska energija je manja za veličinu energije polja u provodniku, smanjuje se, dakle, induktivnost provodnika.

Skin—efekt uvek se uzima u obzir u tehnici brzopromenjljivih struja. Pošto takve struje praktično ne idu u dubinu provodnika, linije se za njih prave u obliku cevi. U savremenoj radiotehnici supervisokih učestanosti mnogi detalji (talasovodi, koaksijalne linije) pokrivaju se tankim, dobro provodnim slojem srebra, pošto je njihova otpornost praktično određena jedino površinskim slojem.

Betatron

Betatroni se dobijaju elektronski snopovi velike brzine (energije).

Šema betatrona data je na Sl. 10. Osnovni deo je snažni elektromagnet MM. Njegovo magnetsko polje u zazoru simetrično je u odnosu na osu OO. To polje takođe ima ravan simetrije AA, koja prolazi sredinom zazora (međugvožđa). Namotaj elektromagneta napaja se naizmeničnom strujom koja ima učestanost stotinak herca. Za pojačanje struje u namotaju elektromagneta veže se paralelno namotaju velika baterija kondenzatora i koristi se električna rezonancija. Prostor komore, međugvožđe, u obliku je torusa sa visokim vakuumom. U određenim trenucima, kada je $B\simeq 0$, u prostor se ubacuje snop elektrona dobijenih termoelektronskom emisijom u specijalnom izvoru koji se u tom prostoru nalazi (nije naznačen na šemi).

Sl. 10 Betatron: polovi elektromagneta, komora za ubrzavanje

S promenom magnetskog fluksa, shodno osnovnom stavu Maksvelove teorije, nastaje solenoidno električno polje E i na svaki elektron u prostoru ubrzanja, u komori, deluje sila $eE$. Silnice električnog polja su neprekinute, smer sile podudaraće se sve vreme sa smerom kretanja, pa će elektroni, rotirajući u magnetskom polju, neprestano akumulirati energiju.

Betatron je sličan transformatoru kod koga ulogu (jednozavojnog) sekundara igra baš komora sa elektronima. Razlika je u tome što se u provodnicima namotaja običnog transformatora provodni elektroni kreću uz trenje, zato se energija koju akumuliraju neprestano troši na zagrevanje žice i okoline; u betatronu, pak, elektroni se kreću u vakuumu, praktično bez trenja, i rad sila električnog polja pretvara se u kinetičku energiju elektrona.

U toku prve četvrtine perioda, magnetsko polje raste i izaziva električno polje određenog smera. U tom intervalu i dolazi do ubrzavanja elektrona. U drugoj četvrtini perioda magnetsko polje opada i električno polje menja smer. Za ubrzanje može da se koristi samo jedna četvrtina perioda, koja počinje pri $B\simeq 0$, a to je ili prva ili treća četvrtina.

Kada energija elektrona postane bliska maksimalnoj (na kraju intervala ubrzavanja), elektroni se izvode s orbite ubrzavanja (posebnim uređajem), te se njima, na primer, bombarduje željena meta.

Betatroni, elektronski akceleratori (ubrzivači), koriste se uglavnom za istraživanja u nuklearnoj fizici. Pomoću njih se dobijaju snopovi brzih elektrona, tj. veštačko $\beta$-zračenje.

Pri bombardovanju raznih meta brzim elektronima nastaje elektromagnetsko zračenje (laboratorijski $\gamma$ zraci), koje je mnogo prodornije od $\gamma$-zračenja prirodnih radioaktivnih preparata. Manji betatroni se koriste za dobijanje tvrdih rentgenskih zraka (koji nastaju pri bombardovanju meta elektronima), a oni (zraci) imaju primenu u rentgenskoj defektoskopiji, u medicini, industriji i sl.

Struja pomeraja

Svako promenljivo magnetsko polje izaziva solenoidno električno polje. Maksvel je došao do zaključka da mora postojati i obratna pojava; o tome govori drugi osnovni stav Maksvelove teorije:

Maksvel je nazvao promenljivo električno polje struja pomeraja, za razliku od struje provodnosti koju čini kretanje naelektrisanih čestica (elektrona i jona). Termin se i sada koristi, silom tradicije.

Eksperiment sa Sl. 11 govori o neophodnosti novog pojma: struja pomeraja. Ovde imamo prekinutu konturu — prekid izazivaju obloge kondenzatora, pa ne prolazi jednosmerna struja. Sijalica ne svetli.

Stanje je drugačije neposredno posle uključenja baterije. Kondenzator će se puniti i u metalnom provodniku će postojati kratkovremena struja punjenja. Ako posle završetka punjenja izvršimo promenu polariteta priključaka baterije, kondenzator će se puniti u suprotnom smeru; u provodniku će ponovo postojati struja, sada u suprotnom smeru. Pri svakoj alternaciji napona u provodniku se pojavljuje impuls struje, što sijalica registruje kratkovremenim bljeskom.

Sl. 11 Nestacionarna struja provodnosti $i$ nastavlja se kroz dielektrik strujom pomeraja

Ako krajeve provodnika koji su spojeni za prekidač vežemo u mrežu naizmenične struje, procesi punjenja kondenzatora u jednom i drugom smeru smenjivaće se s učestanošću 100 puta u sekundi, pa će u konturi postojati naizmenična struja. U tom slučaju, svaki posebni blesak sijalice se ne vidi; njeno se vlakno greje, ona neprekidno svetli.

Promenljive struje teku i u prekinutim konturama. Pri tom svaki put kada u žicama prekinute konture postoji struja, između obloga kondenzatora imamo vremenski promenljivo električno polje ili struju pomeraja. Na taj način, struja provodnosti u metalnom provodniku nastavlja se strujom pomeraja u dielektriku.

Prema Maksvelu, električno polje u kondenzatoru, u bilo kom trenutku, daje isto takvo magnetsko polje kao kad bi između obloga postojala struja provodnosti jačine koja je jednaka jačini struje u metalnim provodnicima. Ili, drugim recima, magnetsko polje naše prekinute konture takvo je kao da kontura i nije prekinuta!

To omogućava da formulišemo kvantitativnu vezu između promenljivog električnog polja i magnetskog polja kao njegove posledice. Stvarno, ako je pomeraj (električna indukcija) u kondenzatoru D, onda je površinska gustina naelektrisanja $\sigma$ na oblogama

$$\sigma =D. \tag{10}$$

Naelektrisanje $q$ obloge jednako je, u skladu s ovim,

$$q=SD, \tag{11}$$

gde je S površina obloga. Ako se za vreme $dt$ promeni naelektrisanje kondenzatora za $dq$, jačina struje u provodniku je

$$i=\frac{dq}{dt}=S\frac{dD}{dt}. \tag{12}$$

Struja je jednoznačno povezana s brzinom promene fizičke veličine $D$. Odavde proizilazi da promenljivo polje kondenzatora izaziva isto takvo magnetsko polje kao i struja jačine $SdD/dt$ ili gustine

$$\vec{j}_{\text{p}}=\frac{d\vec{D}}{dt}. \tag{13}$$

Ova fizička veličina se zove gustina struje pomeraja. Meri se amperima po kvadratnom metru, kao i svaka gustina struje.

U opštem slučaju, električno polje može biti nehomogeno i može zavisiti ne samo od vremena, nego i od prostornih koordinata. Treba pisati

$$\vec{j}_{\text{p}}=\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \tag{14}$$

da se naglasi suština parcijalnog diferenciranja po vremenu.

Sl. 12 Vremenski promenljivo električno

polje daje solenoidno magnetsko polje

Naglasimo da se struja pomeraja određuje izvodom vektora $\vec{D}$, a ne samim tim vektorom. Tako, na primer, u polju ravnog kondenzatora sa Sl. 12 vektor $\vec{D}$ je usmeren od pozitivne obloge ka negativnoj oblozi. Ako električno polje raste, izvod $\partial \vec{D}/\partial t$, samim tim i struja pomeraja, usmeren je kao na šemi levo. Ako pak električno polje opada, onda je $\partial \vec{D}/\partial t$ usmereno od negativne ploče ka pozitivnoj, pa je i magnetsko polje suprotno usmereno u odnosu na prvi slučaj — šema desno.

Ako u nekoj provodnoj sredini postoji naizmenična struja, postoji tamo i naizmenično električno polje. Zato u provodniku postoji i struja provodnosti i struja pomeraja, pa je magnetsko polje provodnika određeno zbirom tih struja, tj. ukupnom (totalnom) strujom. Gustina ukupne struje je

$$\vec{j}_{\text{t}}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}. \tag{15}$$

U zavisnosti od elektroprovodnosti sredine i učestanosti naizmenične struje, prvi ili drugi član u sabirku može biti dominantan. U metalima, i pri niskim učestanostima, gustina struje pomeraja je mala u poređenju sa strujom provodnosti $j$. U izolatorima, i pri visokim učestanostima, struja pomeraja je dominantna.

Ukupna struja može biti kako veća, tako i manja od struje provodnosti, a u posebnim slučajevima može i da se anulira.

Struja curenja sfernog kondenzatora

Na Sl. 13 vidimo sferni kondenzator. Između obloga je neka slabo provodna sredina. Naelektrisanje obloge je $q$.

Sl. 13 Kretanje naelektrisanja koje

nije praćeno magnetskim poljem

Indukcija $D$ na rastojanju $r$ od centra iznosi

$$D=\frac{q}{4\pi r^{2}}. \tag{16}$$

Gustina struje pomeraja je

$$j_{\text{p}}=\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dq}{dt}, \tag{17}$$

a jačina struje pomeraja

$$i_{\text{p}}=4\pi r^{2}j_{\text{p}}=\frac{dq}{dt}. \tag{18}$$

Pri pražnjenju kondenzatora usmerena je ta struja od unutrašnje obloge ka spoljašnjoj. Ali je struja provodnosti suprotno usmerena (od plusa ka minusu) i njen intenzitet iznosi

$$i=4\pi r^{2}j=\frac{dq}{dt}. \tag{19}$$

Zato je ukupna struja

$$i_{\text{t}}=i-i_{\text{p}}=0. \tag{20}$$

U ovakvom simetričnom sistemu, magnetsko polje je uvek jednako nuli, mada postoji pomeranje naelektrisanja.

Magnetsko polje se ne određuje strujom provodnosti, već ukupnom strujom. Sve električne struje u prirodi su zatvorene. Ovaj važni zaključak takođe je izveo Maksvel.

Uopštenje teoreme o magnetskom naponu

Razmotrimo sredinu u kojoj teče naizmenična struja. Zamislimo proizvoljnu površinu S koja je ograničena konturom $\ell$. Primenimo na tu konturu, Sl. 14, teoremu o magnetskom naponu koju smo izučavali za stalne struje.

Sl. 14 U opštem slučaju u provodniku

postoji i struja provodnosti i struja pomeraja

U opštem slučaju promenljive struje magnetsko polje se određuje ukupnom strujom:

$$\int_{\ell } H_{\ell }d\ell =i_{\text{t}}. \tag{21}$$

Ovde je $i_{\text{t}}$ jačina ukupne struje kroz površinu S i ona iznosi

$$i_{\text{t}}=\int_{S} j_{\text{n}}dS+\int_{S} \frac{\partial D}{\partial t}dS. \tag{22}$$

Prvi sabirak jeste jačina struje provodnosti $i$. U drugom sabirku možemo izmeniti redosled integriranja i diferenciranja:

$$\int_{S} \frac{\partial D_{\text{n}}}{\partial t}dS=\frac{\partial }{\partial t}\int_{S} D_{\text{n}}dS=\frac{\partial N}{\partial t}, \tag{23}$$

gde je $N$ fluks vektora električne indukcije kroz površinu $S$. Zato je

$$i_{\text{t}}=i+\frac{\partial N}{\partial t}, \tag{24}$$

pa najzad dobijamo sledeću relaciju:

$$\int H_{\ell }d\ell =i+\frac{\partial N}{\partial t}. \tag{25}$$

Ona je jedna od osnovnih jednačina Maksvelove teorije i izražava u matematičkom obliku Maksvelov stav o magnetskom polju struje pomeraja.

Već poznajemo Maksvelovu jednačinu

$$\int E_{\ell }d\ell =-\frac{\partial \phi }{\partial t}. \tag{26}$$

Ovde je $\phi$ fluks magnetske indukcije kroz površinu S koja je ograničena konturom $\ell$; i ovde koristimo simbol parcijalnog izvora po vremenu, pošto $\vec{B}$, pa samim tim i $\varphi$ , može još da zavisi od prostornih koordinata (od položaja površine $S$).

Ovim jednačinama treba dopisati još dve jednačine koje izražavaju Gausovu teoremu za električno i magnetsko polje:

$$\int D_{\text{n}}dS=q, \tag{27}$$ $$\int B_{\text{n}}dS=0. \tag{28}$$

Tako smo se pripremili da kompletiramo

Maksvelove jednačine u integralnom obliku

Zbog udobnosti pri čitanju, napišimo sada zajedno sve četiri Maksvelove jednačine ovim redosledom:

(29.1)

(29.2)

(29.3)

(29.4)

Jednačine (29.1) — (29.4) čine sistem Maksvelovih jednačina. To su najopštije jednačine električnih i magnetskih polja u nepokretnim sredinama. Mi smo ovde analizirali jedino elektromagnetsko polje u vakuumu, ili u homogenom i izotropnom dielektriku.

Veličine koje figurišu u gornjim jednačinama nisu nezavisne. Između vektora $\vec{B}$ i $\vec{H}$ postoji veza

$$\vec{B}=\mu \mu _{0}\vec{H}, \tag{30}$$

a između vektora $\vec{D}$ i $\vec{E}$ veza

$$\vec{D}=\varepsilon \varepsilon _{0}\vec{E}. \tag{31}$$

Ovde su $\mu$ i $\varepsilon$ magnetski permeabilitet i permitivnost supstancije. Gustina struje $\vec{j}$ je povezana sa jačinom polja $\vec{E}$ Omovim zakonom

$$\vec{j}=\lambda \vec{E}, \tag{32}$$

gde je $\lambda$ specifična elektroprovodnost supstancije. Veličine $\varepsilon$, $\mu$ i $\lambda$ ulaze u Maksvelove jednačine kao zadate veličine koje karakterišu sredinu (materijalne konstante).

Diferencijalni oblik Maksvelovih jednačina

Maksvelove integralne jednačine primenljive su za površine bilo koje veličine, zato se fizičke veličine koje u njima figurišu odnose na razne tačke polja. No, kad se Maksvelove jednačine primene na beskonačno male površine oko željene tačke, dobijamo izraze u kojima se veličine odnose na jednu te istu tačku prostora. Ovde nećemo ulaziti u detalje izvođenja. (Takvi postupci predviđeni su u specijalizovanim kursevima na višim godinama studija fizike.) Daćemo odmah taj diferencijalni oblik Maksvelovih jednačina:

(33)

Vidimo da se Maksvelove jednačine mogu zapisati u kompaktnom vektorskom obliku koji ne zavisi od izbora sistema koordinata, ako iskoristimo pojmove rotora i divergencije vektora. Na časovima vektorske analize studenti će naučiti dublji smisao ovih pojmova; ovde ćemo samo navesti matematički rezultat. U Dekartovom sistemu koordinata, rotor nekog vektora $\vec{A}$ (piše se $\text{rot}\vec{A}$) je vektor

$$\text{rot}\vec{A}=\vec{i}\left(\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial y}-\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial z}\right)+\vec{j}\left(\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial z}-\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial x}\right)+\vec{k}\left(\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial x}-\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial y}\right). \tag{34}$$

Slično, u Dekartovom sistemu koordinata, divergencija nekog vektora (piše se $\text{div}\vec{A}$) je skalar

$$\text{div}\vec{A}=\frac{\partial A_{\text{x}}}{\partial x}+\frac{\partial A_{\text{y}}}{\partial y}+\frac{\partial A_{\text{z}}}{\partial z}. \tag{35}$$

Da bi se oformio pun sistem jednačina koje se mogu rešavati u praksi, naglasili smo, koristimo i materijalne jednačine koje povezuju struju i indukcije sa jačinama polja. Ponovimo, u velikom broju važnih primena mogu se materijalne jednačine pisati u obliku

$$\vec{j}_{\text{prov}}=\lambda \vec{E},\quad \vec{D}=\varepsilon \varepsilon _{0}\vec{E},\quad \vec{B}=\mu \mu _{0}\vec{H}. \tag{36}$$

U vakuumu, i u sredinama kad važe ove relacije, sad je moguća detaljna analiza elektromagnetskih pojava. Ovome treba dodati i Lorencovu silu na pokretno naelektrisanje $q$,

$$\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}. \tag{37}$$

Ovaj izraz ima opšti karakter: važi i za konstantna i za promenljiva polja, koristi se u klasičnoj i relativističkoj fizici bez ograničenja.

Da bismo obuhvatili i sve probleme sa silom u polju, Maksvelovim jednačinama u diferencijalnom obliku valja dodati i granične uslove na kontaktu dve sredine; uslovi se dobijaju iz integralnih oblika jednačina (o tome smo ranije govorili).

Ako je sredina dielektrik, onda nema struje provodnosti i, naravno, stavlja se $j_{\text{x}}=j_{\text{y}}=j_{\text{z}}=0$.

Značaj Maksvelove teorije

Kvantitativno izučavanje električnih pojava počinje posle Kulonovih opita, dakle oko 1785, u kojima je ustanovljen zakon interakcije naelektrisanja. Električne i magnetske pojave su razmatrane kao nepovezane pojave do 1820.

Ersted je te 1820. godine pokazao da se magnetsko dejstvo može dobiti pomoću električne struje.

Magnetsko dejstvo struja detaljno je izučavao Amper; po njemu su sve magnetske pojave u prirodi, uključujući i one koje su u vezi sa stalnim magnetima, izazvane električnim strujama.

Faradej je onda značajno unapredio učenje o povezanosti električnih i magnetskih pojava. Godine 1831. otkrio je elektromagnetsku indukciju: magnetsko polje može da izazove električnu struju. Faradej je zaslužan za ideju da je sredina bitna u ovim fenomenima, kroz prostor se prostire interakcija tela konačnom brzinom.

Maksvel je dalje produbio Faradejeve ideje i dao im strogu matematičku formu. U Maksvelovoj teoriji bila je konačno formulisana ideja o tesnoj, neraskidivoj povezanosti električnih i magnetskih pojava, i to u obliku dva osnovna stava teorije. Maksvelova teorija završila je jednu važnu etapu u razvoju učenja o elektricitetu i dovela do klasične predstave o elektromagnetskom polju, koje sadrži u opštem slučaju i električnu i magnetsku komponentu. Električna i magnetska polja su povezana i mogu se pretvarati jedno u drugo.

Maksvelove jednačine obuhvataju sve osnovne zakone električnog i magnetskog polja, uključujući i elektromagnetsku indukciju, te su one opšte jednačine elektromagnetskog polja u nepokretnim sredinama. Maksvelova teorija ne samo što je objasnila poznate fakte do te prelomne 1865. godine već je predskazala nove i važne pojave.

Sasvim nova u toj teoriji je Maksvelova pretpostavka o magnetskom polju struja pomeraja. Na osnovu te pretpostavke Maksvel je teorijski predskazao postojanje elektromagnetskih talasa, tj. naizmeničnog elektromagnetskog polja, koje se prostire konačnom brzinom i može nezavisno egzistirati.

Teorijski istražujući svojstva elektromagnetskih talasa, Maksvel je izgradio elektromagnetsku teoriju svetlosti, prema kojoj je i svetlost elektromagnetski talas. Kasnije su elektromagnetski talasi stvarno i bili dobijeni u eksperimentu (Herc, oko 1888), a posle toga elektromagnetska teorija svetlosti, s njom i cela Maksvelova teorija, bila je u potpunosti i na sjajan način potvrđena.

Dalji razvoj fizike kroz celi dvadeseti vek upotpunio je maksvelovsku sliku elektromagnetskog polja uvodeći pojam kvanta zračenja.