Ukrštanje linija sile?

UKRSTANJE LINIJA SILE?

Posmatrajmo dva tačkasta naelektrisanja $q_{1}$ i $q_{2}$ na x-osi; prvo je u koordinatnom početku, drugo u tački $x=a$:

Neka je kriva $y=f\left(x\right)$ linija sile vektora $\vec{E}$. U tački $\left(x_{0},y_{0}\right)$ rezultantno električno polje je tangenta na liniju sile; nagib tangente iznosi

$${y'}_{0}=\frac{E_{\text{y}}}{E_{\text{x}}}.$$

Pošto je po principu superpozicije $\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}$, biće $E_{\text{y}}=E_{\text{y}1}+E_{\text{y}2}$ i $E_{\text{x}}=E_{\text{x}1}+E_{\text{x}2}$ i onda možemo da pišemo

$${y'}_{0}=\frac{E_{\text{y}1}+E_{\text{y}2}}{E_{\text{x}1}+E_{\text{x}2}}=\frac{\frac{E_{\text{y}1}}{E_{\text{x}1}}+\frac{E_{\text{y}2}}{E_{\text{x}2}}\frac{E_{\text{x}2}}{E_{\text{x}1}}}{1+\frac{E_{\text{x}2}}{E_{\text{x}1}}}.$$

Pošto je

$\frac{E_{\text{y}1}}{E_{\text{x}1}}=\frac{y_{0}}{x_{0}}$ i $\frac{E_{\text{y}2}}{E_{\text{x}2}}=-\frac{y_{0}}{a-x_{0}}$

dobićemo, ako stavimo $h=\frac{E_{\text{x}2}}{E_{\text{x}1}}$, za koeficijent pravca tangente

$${y'}_{0}=\frac{1}{1+h}\frac{y_{0}}{x_{0}}-\frac{h}{1+h}\frac{y_{0}}{a-x_{0}}.$$

Za zadata naelektrisanja, u datoj tački $\left(x_{0},y_{0}\right)$ funkcija $h$ ne može imati više od jedne vrednosti (teorema o jedinstvenosi rešenja Maksvelovih jednačina). Zato gornja relacija pokazuje da postoji jedna, i uvek samo jedna linija sile koja prolazi kroz datu tačku polja.

Tamovi komentari (Englesko izdanje iz 1979, strana 60)

1. It is obvious that we can draw one and only one line of force through each point of a field in which $\vec{E}\ne 0$. At each such point P , the vector $\vec{E}$ has a quite definite direction.

2. Element dužine linije sile $d\vec{s}$ paralelan je jačini polja $\vec{E}$ u datoj tački. Zbog toga je $\frac{dx}{E_{x}}=\frac{dy}{E_{y}}=\frac{dz}{E_{z}}$. Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu dve obične diferencijalne jednačine čiji su integrali tipa $f_{1}\left(x,y,z\right)=C_{1}$ i $f_{2}\left(x,y,z\right)=C_{2}$. Ovo su dve ravni koje u preseku daju liniju sile. Integracione konstante su definisane koordinatama tačke kroz koju želimo da provučemo liniju sile.

3. Broj linija sile koje seku zatvorenu površinu u kojoj nema naelektrisanja jednak je nuli; to jest, linije sile ne mogu se završavati ili izvirati na delu polja bez naelektrisanja. Postoji jedan izuzetak: to su tačke neodređenosti u kojima iščezava jačina električnog polja — neodređen je pravac linije sile. Primer: dva jednaka pozitivna naelektrisanja imaju tačku neodređenosti na sredini između njih.