Sumnje u treći Njutnov zakon?

Uvod

Povremeno, u časopisima iz fizike i na stranicama Interneta, a neretko i u udžbenicima fizike, javljaju se komentari koji dovode u sumnju treći Njutnov zakon. Analiziraju se fizičke situacije u kojima se, kako misle dotični autori, narušava princip akcije i reakcije. Uvodni primer u razgovorima na ovakve teme uvek je interakcija strujnih elemenata.

Ova tema nije nova. Da se moraju dati striktna ograničenja kada se uvodi pojam strujnog elementa uočio je i sam Amper, rodonačelnik modernog istraživanja električnih struja. Valja reći da Isak Njutn nije ostavio mesta sumnji da je III zakon, u njegovoj formulaciji, veoma opšt; Amper je bio svestan te činjenice. On je ispitivao interakciju dve strujne konture ugrađujući a priori zakon akcije i reakcije u svoju teoriju.

Vremenom su, zbog nečega, pojedini fizičari relativizovali ovaj principijelni pristup, aktualizujući sumnje u opštost Trećeg zakona. Koliko znamo, osporavanja se oslanjaju na neke granične situacije, pa se na primer ističe navodna nedovoljnost ovog zakona a) kod interakcije pokretnih naelektrisanih čestica, b) pri velikim brzinama tela, c) pri velikim dimenzijama elastičnih tela, itd.

Nama se čini da se ovakvim stavovima nanosi šteta fizici, posebno u onom njenom delu koji se tiče obrazovnih aktivnosti u školama i na univerzitetima. Bez potrebe, inicira se pometnja u konceptima koji su još davno jasno formulisani. Zbog toga je celishodno da se kritički osvrnemo na pomenute retrogradne ideje.

Interakcija dva strujna elementa

Sada ćemo navesti jedan davnašnji prigovore koji je kod mnogih povod, kako vidimo, dalekosežnih neutemeljenih zaključaka.

Pogledajmo prvo fizičku situaciju sa donje slike.

Slika 1. Ukršteni strujni elementi

Strujni elemenat $\overrightarrow{J}_{1}=J_{1}\overrightarrow{e}_{\text{x}}$ interaguje sa strujnim elementom $\overrightarrow{J}_{2}=J_{2}\overrightarrow{e}_{\text{y}}$. Oba su locirana na x-osi. Očevidno, prvi elemenat ne djeluje magnetskom silom na drugi elemenat ($d\overrightarrow{F}_{12}=0$), pošto ne proizvodi magnetsko polje na svojoj osi. Međutim, drugi elemenat djeluje na prvi magnetskom silom $d\overrightarrow{F}_{21}=J_{1}\overrightarrow{e}_{\text{x}}\times \overrightarrow{B}_{21}$, gde je $\overrightarrow{B}_{21}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{J_{2}}{\ell ^{2}}\overrightarrow{e}_{\text{z}}$, gde je $\ell$ rastojanje između elemenata. Kako nije zadovoljena antikolinearnost vektora sile, tj. ne važi $d\overrightarrow{F}_{21}=-d\overrightarrow{F}_{12}$, dovodi se u sumnju stav da je reakcija jednaka akciji. Prigovor se može otkloniti samo pri specijalnom razmeštaju strujnih elemenata. Naime, ako je prvi strujni elemenat tipa $\overrightarrow{J}_{1}=J_{1}\overrightarrow{e}_{\text{y}}$ u koordinatnom početku, a drugi $\overrightarrow{J}_{2}=J_{2}\overrightarrow{e}_{\text{y}}$ u tački ($\ell ,0,0$), formalno su ispunjeni zahtevi koji se propisuju trećim Njutnovim zakonom. Razmestimo li, međutim, ove iste elemente, na primer, u tačke ($0,\ell ,0$) i ($\ell ,0,0$), opet se narušavaju zahtevi principa da je reakcija jednaka akciji, već i samim tim što sile ne deluju duž istog pravca koji prolazi kroz date tačke ($0,\ell ,0$) i ($\ell ,0,0$).

Komentar o interakcija ukrštenih strujnih elemenata

Strujni elemenat je korisni, ali ipak samo pomoćni fizički pojam. Tako se olakšavaju izračunavanja u elektromagnetizmu i uspostavljaju neke analogije sa pojmom tačkastog naelektrisanja; time i neke formulacije zakona dobijaju jednostavniji oblik. Ali ne više od toga. Ne postoje eksperimenti koji u čistom vidu tretiraju interakciju dva strujna elementa kao takva. Ne postoji obaveza da se veže princip akcije i reakcije specijalno za dva strujna elementa.

Ono što je smisleno govoriti, a po potrebi i meriti, jeste utemeljenost III Njutnovog zakona za interakciju dve strujne konture u celini. One nužno postoje, jer se govori o stacionarnom toku elektriciteta. Jednostavan primer sa donje slike pomoći će nam da prosto iskažemo ovu ideju.

Slika 2. Interakcija paralelnih kružnih struja

Leva kružna struja ima poluprečnik $R$ i centar joj je u tački ($-d,0,0$). Desna kružna struja je istog poluprečnika, sa centrom u tački ($d,0,0$). Duž koja spaja centre kontura leži na x-osi i iznosi $2d$. Gledano iz koordinatnog početka, smerovi strujâ u obema konturama suprotni su smeru kretanja kazaljki časovnika. Znamo iz Amperovih opita da se ove strujne konture međusobno odbijaju. Zbog simetrije, rezultanta sile kojom prva kontura odbija drugu mora biti usmerena duž x-ose, te je $\overrightarrow{F}_{12}=F\overrightarrow{e}_{\text{x}}$. Na isti način mora biti da druga kontura odbija prvu silom $\overrightarrow{F}_{21}=-F\overrightarrow{e}_{\text{x}}$. Zadovoljen je III Njutnov zakon: sile leže na istom pravcu i suprotno su usmerene. Taj uslov, dakle, zadovoljava samo ukupna sila interakcije kontura. (Struje koje bi tekle u istom smeru dovele bi do privlačenja kontura, no time se u komentaru samog zakona ne menja ništa.) Ne postoji fizički osnov da se taj uslov nameće i svakom paru strujnih elemenata ponaosob. Na primer, asimetriju interakcija, ali asimetriju koja je lišena fizičkog smisla, otkrićemo ako pokušamo da izračunamo međusobna delovanja prvog strujnog elementa lociranog u tački ($-d,0,R$) i drugog strujnog elementa lociranog u tački ($d,R,0$). Taj ishod ovde ne znači ništa više od jednog matematičkog rezultata i fizičkog polu-koraka. U celini gledajući, princip akcije i reakcije u posmatranom primeru potvrđuje svoju univerzalnost.

Postupku izračunavanja intenziteta sile $F$ može se prići dvojako. Prvo, može se primeniti Laplasov zakon i izvršiti integracija po obimu cele konture. Lakše je primeniti zakon održanja energije u magnetskom polju. Virtuelno pomeranje konture za dužinu $dx$ predstavlja izvršeni rad ponderomotornih sila $Fdx$ koji je proistekao iz smanjenja međusobne magnetske energije $-dW_{12}$. Zato je $F=-\frac{\partial W_{12}}{\partial x}$. Do ovakvom zaključka se može doći i ako se tretira opšti slušaj magnetske interakcije dve zatvorene strujne konture, proizvoljnih oblika i razmeštaja, sa stacionarnim strujama. Ako su struje dve konture redom $I_{1}$ i $I_{2}$, možemo pisati $W_{12}=L_{12}I_{1}I_{2}$, gdje je $L_{12}=L_{21}$ koeficijent međusobne indukcije dve strujne konture. Tada je $F=-I_{1}I_{2}\frac{\partial L_{12}}{\partial x}$.

Izraz za magnetsku interakciju $d\overrightarrow{F}_{12}$ dva strujna elementa, kao što smo rekli, nije jednoznačno definisan. Ako se ovoj sili doda član proporcionalan funkciji

$$\left[\Phi \left(\ell \right)\left(\overrightarrow{J}_{1}\times \overrightarrow{\ell }\right)\times \overrightarrow{J}_{2}\right],$$

gde je $\Phi \left(\ell \right)$ proizvoljna skalarna funkcija od rastojanja dva elementa, ovo proširenje izraza neće uticati na ukupnu silu; dodatak će se anulirati pošto se izvrši integracija po zatvorenoj putanji prve konture. Štaviše, kao što je pokazano u knjizi I. E. Tamm, Fundamentals of the Theory of Electricity, Mir Publishers, Moscow, 1979, na strani 225, jednačina (4.10), i dodatak člana koji je diferencijal funkcije

$$\overrightarrow{\ell }\times \left(\overrightarrow{J}_{2}\times \overrightarrow{\ell }\right)f\left(\ell \right)$$

neće uticati na rezultat pomenute integracije. Funkcija $f\left(\ell \right)$ je takođe neka skalarna funkcija datog argumenta.

Interakcija pokretnih čestica

Drugi uobičajeni prigovor validnosti III Njutnovog zakona tiče se analize elektromagnetske interakcije dve naelektrisane čestice u pokretu. Osvrt na ovu situaciju daje se u raznim knjigama, mi ćemo ovde navesti kao referencu poznati Fejnmanov kurs fizike (tom 2, elektrodinamika).

Zamislimo česticu naelektrisanja $q_{1}$ koja se kreće po x-osi brzinom $\overrightarrow{v}_{1}$ (videti sliku 3). Pre nego je stigla u koordinatni početak, kroz koordinatni početak prolazi druga čestica naelektrisanja $q_{2}$ koja se kreće duž y-ose brzinom $\overrightarrow{v}_{2}$.

Slika 3. Interakcija naelektrisanja u kretanju

Sila kojom prva čestica deluje na drugu je čisto električna i iznosi

$$\overrightarrow{F}_{12}=q_{2}\overrightarrow{E}_{12},$$

gde je $\overrightarrow{E}_{12}$ jačina električnog polja koje daje prva čestica u koordinatnom početku. Pokretno naelektrisanje ne daje magnetsku indukciju na osi svog kretanja, pa izostaje magnetska komponenta Lorencove sile. Sila kojom druga čestica deluje na prvu iznosi

$$\overrightarrow{F}_{21}=q_{1}\overrightarrow{E}_{21}+q_{1}\overrightarrow{v}_{1}\times \overrightarrow{B}_{21}.$$

Ovde je $\overrightarrow{B}_{21}$ magnetska indukcija koju na mestu prve čestice stvara druga čestica. Električne sile su jednakog intenziteta, deluju na istom pravcu (x-osa), a imaju suprotne smerove. Nesimetriju unosi magnetska sila. Dakle, ne samo da intenziteti sila $\overrightarrow{F}_{12}$ i $\overrightarrow{F}_{21}$ nisu jednaki, već se ni pravci sila ne podudaraju. Iznosi se prigovor da ovde ne važi zakon akcije i reakcije.

Komentar interakcije pokretnih naelektrisanja

U primeru interakcije pokretnih naelektrisanih čestica dolazi do promene ukupnog impulsa posmatrane dve čestice. Ali zakoni fizike i ne zahtevaju da se taj impuls održava. U pomenutoj interakciji menja se i impuls polja. Zato je relevantno posmatrati ukupni impuls sistema čestica-polje. Ispostavlja se da se promena impulsa čestice tačno kompenzuje promenom impulsa polja i, dakle, održava se ukupni impuls sistema.

Njutnovi zakoni mehanike moraju se u ovakvim primerima shvatiti u svom uopštenom vidu. Pored impulsa $\overrightarrow{G}_{\text{T}}$ koji pripisujemo pokretnim telima, postoji i impuls elektromagnetskog polja $\overrightarrow{G}_{\text{P}}$. Drugi Njutnov zakon, koji kaže da je prvi izvod impulsa po vremenu jednak sili, važi ne za impuls tela nego za totalni, ukupni impuls. Zakon održanja totalnog impulsa onda glasi (videti citiranu Tamovu knjigu, strana 549, jednačina 7.147)

$$\frac{d}{dt}\left(G_{\text{T}}+\int gdV\right)=0,$$

gde je $\overrightarrow{g}=\left(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right)/c^{2}$ gustina impulsa polja.

Zakon održanja impulsa je ekvivalentan zakonu jednakosti akcije i reakcije. Zato je Amperov pristup besprekoran: III Njutnov zakon je istinit u njegovoj generalisanoj formi.

Sporovi o kojima je reč nisu terminološke prirode. Zagovornici ideje o ograničenom domenu važenja principa akcije i reakcije misle da se otkrića učinjena posle Njutnovog vremena ne mogu tretirati teorijskim ključem ondašnje klasične mehanike. Značaj univerzalnih zakona i jeste delom u tome što, silom opštosti, omogućavaju da se nove činjenice ispravno klasifikuju izbegavajući moguće kontroverze.

Zaključak

Kao što je poznato, zakon održanja impulsa je posledica homogenosti prostora, kao što je i zakon održanja momenta impulsa posledica izotropnosti prostora. Zamislimo da je u interakciji dva tela narušen princip akcije i reakcije. To bi značilo da u sistemu deluje nenulta sila nedefinisanog pravca. Takav ishod nametao bi potrebu da se objasni dalje ponašanje sistema, pa i da se preispita stanovište o homogenosti prostora.

Ne postoji ozbiljna eksperimentalna potvrda narušavanja III Njutnovog zakona, niti postoji zasnovana fizička teorija koja ga dovodi u sumnju. Tim pre bi trebalo prestati sa praksom da profesori na predavanjima i u udžbenicima nekritički limitiraju oblast važenja ovog značajnog principa savremene fizike.