Paradoks blizanaca u klasičnoj mehanici

1. Uvod

Paradoks blizanaca u Specijalnoj teoriji relativnosti (STR) formulisan je svojevremeno sa ciljem da se dodatno logički testiraju posledice i otkriju eventualne kontroverze u konceptu dilatacije vremena. Ovaj danas znameniti misaoni eksperiment pomogao je da se dublje shvate osnovni pojmovi relativističke mehanike. Danas, uvodni kursevi fizike koriste paradoks blizanaca kao odličan pomoćni pedagoški materijal u poglavlju o specijalnoj relativnosti. Ukratko, ovaj misaoni eksperiment se može opisati na sledeći način:

Dva blizanca, dvadesetogodišnjaka, po imenu Spido i Gouslou (tako ih upečatljivo predstavlja čitaocu R. A. Serway u udžbeniku [1]), uvek nose sa sobom identične, prethodno sinhronizovane časovnike. Jednog dana, Spido se otisnuo na kosmičko putovanje do tek otkrivene planete u okolini jedne zvezde koja je udaljena od nas nekoliko svetlosnih godina. Brat Gouslou ga je ispratio do rakete i ostao na Zemlji. Spido se kretao na skoro celom putu relativističkom brzinom (jednakom, na primer, polovini brzine svetlosti). Put je ipak dugo trajao i nostalgični kosmonaut, tek sto je prispeo na planetu — startuje nazad krećući se istom brzinom i istom putanjom. Na Zemlji, čekalo ga je iznenađenje: Gouslou više nije ličio na brata blizanca — bio je vidno ostareo!

Priča je iznenađujuća u okviru znanja klasične fizike, ali i paradoksalna u samoj fizici velikih brzina, jer je navodno moguća verzija u kojoj Gouslou tvrdi da je u međuvremenu njegov brat ostareo, a ne on. Osnov za takvu interpretaciju događaja daje princip relativnosti koji ne dopušta nesimetriju fizičkih procesa kada se oni posmatraju iz dva ravnopravna inercijalna sistema.

Danas se fizičari (uglavnom ) slažu u oceni da je ovaj paradoks samo prividan. Načelno, razrešenje situacije traži se u demaskiranju zabašurenih detalja priče. Pozicija dva brata nije simetrična; Spido se na nekim delovima puta kretao ubrzano; njegovo kretanje nije posve uniformno, on nije neprekidno u jednom inercijalnom sistemu referencije. Ono što se u formulaciji problema zapostavlja , mora se u analizi ishoda uzeti u obzir. Time se otklanja svaka paradoksalnost situacije. “The conclusion that Speedo is in a noninertial frame is inescapable” [2].

Koliko znamo, do sada niko nije predložio misaoni eksperiment u okviru klasične fizike koji bi bio analogan ovom razmišljanju o iskustvu blizanca-kosmonauta. Naš pokušaj u tom pravcu opisan je u tekstu koji sledi.

2. Sinhronizovani peščanici

Ovog puta braća žele da provere Galilejev princip relativnosti. U skladu sa tim ograničenjem i u okviru takve koncepcije, Spido koristi jedan starinski tip rakete koja može da se kreće jedino nerelativističkim brzinama. I vremena će dva brata meriti na starinski način, pomoću peščanika; časovnici su i u ovom opitu identični i brižljivo sinhronizovani. Spido je poleteo vertikalno uvis, udaljavao se neko vreme konstantnom brzinom , zaustavio se i potom se vratio istim putem i istom konstantnom brzinom. Kad su se ponovo susrela, braća su uporedila svoje časovnike. Na veliko iznenađenje, ustanovili su da je u peščaniku brata Gousloua iscurelo više peska! A količina peska je mera proteklog vremena. Opet je Spido zaključio da je, koliko bilo, mlađi od brata-blizanca koji se nije pomerao sa površine Zemlje.

A) Da li je uistini tako bilo? Proverimo prvo koji rezultat sledi iz jednog relativno grubog model opisane situacije. Uzmimo, raketa se penjala, linearno povećavajući brzinu do , koju je dosegla na visini , gde je neko konstantno ubrzanje za koje ćemo mi pretpostaviti da je manje od gravitacionog ubrzanja na površini Zemlje, . Potom su uključeni motori za kočenje, raketa je linearno smanjivala brzinu i za trenutak se zaustavila na visini . Spido se odmah vratio istom vertikalom, na sličan način: prvu polovinu puta prešao je jednako ubrzanim kretanjem, a drugu — jednako usporenim. Tako se bezbedno prizemljio. Dok je čekao povratak brata, u Gouslouovom peščaniku iscurela je masa peska

, (1)

gde je konstanta peščanika koji miruje na površini Zemlje. Kao što je argumentovano u radu [3], konstanta peščanika koji se kreće vertikalno iznosi

.

U skladu sa ovim rezultatom, u toku penjanja, pa onda u toku povratka, iscurela je ukupna masa peska u Spidovom peščaniku

. (2)

Kako je iz ovih jednačina lako naći odnos masa, zaključujemo da je po nepokretnom satu proteklo vreme a po pokretnom satu i da je pritom

. (3)

Za mala ubrzanja je , a za sledi . U svakom slučaju je ; Vidimo, Spido je imao sreće i sa formulama klasične fizike: postao je mlađi od svog brata blizanca, mada se nije kretao vrlo velikim brzinama. Za razliku u interpretacijama veličine vremenskog intervala presudilo je ubrzanje. Da naglasimo formalnu sličnost sa formulama STR, napišimo da je

$$T_{G}=\frac{T_{S}}{\sqrt{1-\frac{a^{2}}{G^{2}}}}, \tag{4}$$

što sledi iz (3) ako u aproksimaciji $a\ll g$ iskoristimo oznaku $G=\sqrt{2}g$.

B) Pogledajmo sada jedan opštiji model kretanja koji, po potrebi, može uključiti i gornji rezultat kao poseban slučaj. Uzmimo da se raketa posle starta vertikalno penje i povećava brzinu (ne obavezno sa konstantnim ubrzanjem) do neke maksimalne vrednosti $V$. Posle toga brzina postepeno opada do nule. U tu najudaljeniju tačku na visini raketa je prispela posle vremena . Raketa se odmah vraća po istom zakonu kretanja i istom putanjom. U tom slučaju, umesto jednačine (3) možemo pisati rezultat

. (5)

Šta nam govori ova jednačina? Sadrži li i ona poruku da je ? Obradimo numerički jedan ovakav primer. Neka se brzina menja po sinusnom zakonu, $v=V\sin \left(\frac{\pi t}{T}\right)$. Tada je ubrzanje $a=\frac{\pi V}{T}\cos \left(\frac{\pi t}{T}\right)$, a $T=\pi H/\left(2V\right)$. To znači da je raketa u trenutku $t$ na visini $h=\frac{H}{2}\left[1-\cos \left(\frac{\pi t}{T}\right)\right]$. Grafik brzine u $\left(h,v\right)$ ravni je elipsa $v=2V\sqrt{\frac{h}{H}-\frac{h^{2}}{H^{2}}}$, videti sliku 1a.

a)

b)

Slika 1. a) Profil brzine rakete od starta do maksimalne visine (apscisa je normalizovana visina $h/H$, a ordinata normalizovana brzina $v/V$); b) Odgovarajuće ubrzanje (apscisa je normalizovana visina $h/H$, a ordinata normalizovano ubrzanje $aH/V^{2}$)

Istovremeno, ubrzanje je linearna funkcija visine (slika 1b). Sada se izraz (4) može numerički tretirati, na primer u programu Mathematica. Rezultat izračunavanja smo prikazali na slici 2. Na ordinati je predstavljena veličina , a na apscisi redukovana visina . Grafik je nacrtan za posebnu vrednost .

Slika 2. Grafik koji pokazuje za koliko je procenata duži vremenski interval očitan na Gouslouovom satu od odgovarajućeg “sopstvenog”intervala na Spidovom satu, za razne maksimalne brzine $V$ na polovini uzlazne putanje.

Opet je vreme očitano na pokretnom peščaniku uvek veće od vremena koji pokazuje peščanik koji se nije pomerao sa površine Zemlje. Pri većim vrednostima parametra $V$ (što podrazumeva i veće maksimalne vrednosti ubrzanja rakete) ova razlika intervala vremena može iznositi i nekoliko procenata.

Ovde nismo pominjali mogućnost, koja je direktno vidljiva, da se raketa posle početnog perioda ubrzavanja (koji može biti kraći ili duži) kreće ravnomernom brzinom. Takva modifikacija kretanja ne može bitno da utiče na gornji zaključak, jer deo putanje na kojem nema ubrzanja ne unosi promene u tempu rada peščanika.

3. Komentar

Pretpostavljamo da bi ova priča mogla biti pogodna kao relaksirajuća prolegomena za autentični paradoks blizanaca koji je važni misaoni eksperiment u specijalnoj teoriji relativnosti.

Pre svega je korisno da se na ponuđeni (ili sličan način) uvedu bitni pojmovi i termini sa kojima se operiše i u fizici velikih brzina, na primer sinhronizacija časovnika. Dalje, princip relativnosti zasnovan u galilejevskoj kinematici ispoljio je značaj koji prevazilazi klasična ograničenja i pokazao u savremenoj fizici plodotvoran heuristički potencijal. Naša nezaobilazna upućenost na merenje vremenskih intervala u ovakvim problemima daje nam za pravo da pomenemo preščanik kao simbol te potrebe; pritom postaje vidljivo da bilo koji sistem merenja vremena podrazumeva našu svest o tome kako fizički procesi u toku kretanja utiču na funkcionisanje i autput časovnika. Kako vidimo, mnogi fizičari ističu da je bitno u razgovoru o paradoksu blizanaca primetiti ulogu ubrzanja kojem je kosmonaut obavezno podvrgnut u nekim fazama leta. Za tu temu je klasična “verzija” opita takođe prilagođena, jer efekat kašnjenja je u direktnoj vezi sa ubrzanjima u sistemu. Zapažanja da pokretni blizanac u stvari koristi bar dva inercijalna sistema, bez teškoća su moguća i u klasičnom tretmanu. U svakom slučaju klasični “paradoks”, baš kao ni relativistički, ne dopušta da se zanemare intervali ubrzavanja pokretne rekete, ma kako bili mali u odnosu na intervale gde je kretanje sa konstantnom brzinom.

REFERENCE

[1] Halliday, D and Resnick, R. (1988), Fundamentals of Physics, 3rd. ed. New York: John Wiley & Sons, New York

[2] Serway, R. A. (1998), Principles of Physics, 2^th^ ed. New York: Saunders, New York

[3] As above, p. 242

[4] Flores, J., Solovey, G. and Gil, S. (2003), Variable mass oscillator, American Journal of Physics, 71(7), 721-725.

[5] Flores, J., Solovey, G. and Gil, S. (2003), Flow of sand and a variable mass Atwood machine, American Journal of Physics, 71(7), 715-720.