Talasna optika

Ključni opiti talasne optike

Uski prorez širine $b$ na neprozirnom ekranu $E$ obasjan je jednobojnom svetlošću talasne dužine $\lambda$. Kako će biti osvetljen udaljeni zastor $Z$? Možda onako kako je naznačeno na slici (po zakonima geometrijske optike)?

Sl. 1 Opit sa difrakcijom na uskom prorezu

Ne. Neka raspodela svetla videće se i u oblasti geometrijske senke. Stvarna raspodela svetla diktirana zakonima difrakcije (savijanja) svetlosti data je na šemi levo. Dominantan je centralni, glavni maksimum, bočni maksimumi su

Sl. 2 Glavni maksimum i bočni difrakcioni maksimumi (fotografija i grafik)

mali, ali postoje. Položaji nultog intenziteta zavise od talasne dužine svetlosti, pa se talasna dužina u principu može izmeriti. Videćemo da ima i preciznijih postupaka.

Pogledajmo sada kakvu difrakcionu sliku daju dva paralelna, blisko postavljena proreza. Širina proreza je $b$, između proreza je prepreka širine $a$; dužina koja se zove korak iznosi $d=a+b$.

Sl. 3 Opit sa difrakcijom na dva proreza

Kako je sada osvetljen zastor Z? Da li onako kako je naznačeno na slici. Uopšte ne! Opit pokazuje difrakcionu sliku ovog tipa:

Sl. 4 Raspored maksimuma u Jangovom opitu

U centru je glavni maksimum. Postoje i dva bočna maksimuma, koji ovde nisu više tako slabi. U opitu, na zastoru može da se očita rastojanje između centralnog i prvog bočnog maksimuma; obeležimo tu veličinu sa $\Delta x$. Tada možemo približno staviti da je $\sin \varphi \approx \text{tg}\varphi =\Delta x/L$. To nam omogućava da dođemo do formule za talasnu dužinu

$$\lambda =2d\frac{\Delta x}{L}. \tag{1}$$

To i jeste princip merenja koji je primenio Tomas Jang u istorijskom opitu početkom devetnaestog veka (o tome ćemo još govoriti kasnije).

Difrakciona rešetka

Može se naslutiti da bi povećanje broja proreza vodilo povećanju broja dobro definisanih bočnih maksimuma. Teorija i praksa difrakcije potvrđuju tu pretpostavku. Ekran sa velikim brojem uskih, paralelnih proreza naziva se difrakciona rešetka. Može se napraviti usecanjem tankih, paralelenih brazdi na staklenoj površini. Prostor između dve brazde je transparentan i služi kao prorez za prolazak svetlosti. Moderne tehnologije su u stanju da naprave ogroman broj proreza po jedinici širine rešetke. Na primer, rešetka koja ima 5000 linija po centimetru ima razmak između dva proreza dva mikrometra. Prvo pogledajmo skicu opita s difrakcionom rešetkom:

Sl. 5 Difrakciona rešetka

Na rešetku upada ravanski svetlosni talas pod pravim uglom. Sabirno sočivo se može upotrebiti da skupi zrake u tački P. Slika koja se dobija na ekranu je rezultat kombinovanog dejstva interferencije i difrakcije. Svaki prorez proizvodi difrakciju, a savijeni talasi interferišu međusobno i daju konačnu raspodelu svetla. U stvari, svi prorezi deluju kao svetlosni izvori od kojih polaze talasi u fazi. No, talasi od raznih proreza prelaze različit put pre nego što stignu u P. Razlika puteva između dva susedna talasa iznosi $d\sin \theta$. Ako je ova putna razlika jednaka talasnoj dužini (ili ceo broj talasnih dužina), talasi će biti u fazi u tački P, i sabiraće amplitude — tu nastaje pojačanje svetlosti, to jest svetla pruga. Na zastoru će se pojaviti centralni maksimum i više bočnih maksimuma:

Sl. 6 Niz maksimuma koje daje difrakciona rešetka

Slika se odnosi na monohromatski upadni svetlosni talas. Vidimo dve glavne vrline rešetke: a) oštar profil maksimuma i b) veliki razmak između dva maksimuma. To daje mnogo bolju mogućnost očitavanja u poređenju sa Jangovom šemom (dva proreza).

Elementarna teorija difrakcione rešetke, vidimo, daje rezultat za položaj m-tog bočnog maksimuma:

. (2)

Ugao $\varphi$ koji odgovara datom maksimumu može se meriti ovako:

Sl. 7 Spektrometar s difrakcionom rešetkom

Ovo je spektrometar sa difrakcionom rešetkom. Svetlost iz izvora kojeg treba analizirati prolazi kroz otvor (slit) i iz kolimatora izlazi paralelan snop svetlosti koji upada normalno na rešetku. Savijena svetlost napušta rešetku pod uglom koji je određen jednačinom (1). Pomoću teleskopa gledamo lik otvora i precizno određujemo uga. Tada je moguće izračunati talasnu dužinu.

Intenzivna i koherentna laserska svetlost omogućava da relativno prosto dobijemo difrakcionu sliku sa mnogo bočnih maksimuma:

Sl. 8 Difrakcija laserskog snopa na školskoj difrakcionoj rešetki

Ovo je snimak pri frontalnom opitu u studentskoj laboratoriji — registrovano je više od 10 bočnih maksimuma.

Korak rešetke $d$ je parametar čiju vrednost nam daje proizvođač rešetke. Za $m=1$ (prvi bočni maksumum) dobijamo

$$\lambda =d\sin \varphi _{1}. \tag{3}$$

Ugao $\varphi _{1}$ možemo meriti u opitu koristeći donju šemu:

Sl. 9 Uz proračun ugaonog rastojanja prvog maksimuma

Sa slike vidimo da je

$$\sin \varphi _{1}=\frac{y_{1}/L}{\sqrt{1+\left(y_{1}/L\right)^{2}}}. \tag{4}$$

Zato je formula za određivanje talasne dužine

$$\lambda =d\frac{y_{1}/L}{\sqrt{1+\left(y_{1}/L\right)^{2}}}. \tag{5}$$

Često je ugao pod kojim se vidi prvi bočni maksimum, sa mesta rešetke, toliko mali da važi aproksimacija $\sin \varphi _{1}\approx \varphi _{1}$. Tada je dobra približna relacija:

$$\lambda \approx d\frac{y_{1}}{L}. \tag{6}$$

Pogledajmo jedan primer. Koristili smo školsku difrakcionu rešetku koja ima sto proreza po jednom milimetru. Stoga, ona ima korak $d=10^{-5}\;\text{m}.$ Opit je postavljen tako da je $L=1$ metar; izmereno je rastojanje $y_{1}=6,3$ centimetra. Formula (16) onda daje $\lambda =630$ nanometara (crvena svetlost laserske diode).

Difrakcione rešetke se danas obično upotrebljavaju u monohromatorima i spektrometrima. Koristeći razne oštroumne tehnologije znali su fizičari još početkom dvadesetog veka da prave rešetke koje su imale blizu pedeset hiljada proreza po jednom centimetru. Danas se rešetke fabrikuju često primenom holografskih postupaka; dobijaju se moćni i kvalitetni optički pribori jedinstvenih karakteristika i ekstremno male periodičnosti (nekoliko hiljada

Upotreba bele svetlosti. Ako se rešetka obasja sa svetlošću koja ima nekoliko komponenti, nekoliko talasnih dužina, javiće se bočni maksimumi (to su oni za koje je $m>0$) malo međusobno pomereni, jer njihov položaj zavisi od talasne dužine. Međutim, za sve komponente svetlosti isti je centralni maksimum (onaj za koji je $m=0$). Ovo je snimak spektra sunčeve svetlosti koji smo napravili u studentskoj laboratoriji:

Sl. 10 Difrakcija dnevne svetlosti; bočni maksimumi daju spektar

Postoji zanimljiva demonstracija difrakcije sa kompakt diskom (CD).

Sl. 11 Kompakt disk u funkciji refleksione difrakcione rešetke

Disk je osvetljen sunčevom svetlošću. Da bi student vežbao upotrebu engleskog jezika koji je važan za modernu fiziku i nauku uopšte, pročitajmo objašnjenje ove pojave na engleskom jeziku:

Upoređenje sa prizmom. I prizma i difrakciona rešetka razlažu složenu svetlost na komponente. Kod prizme, pojava nastaje kao rezultat disperzije, pa se plava komponenta jače savija od crvene; kod rešetke je suprotno, jer ugao skretanja je utoliko veći što je veća talasna dužina. Drugo, prizma uvek daje damo jedan spektar, dok rešetka daje dva spektra prvog reda — levo i desno od centra po jedan.

Moć razlaganja difrakcione rešetke. Difrakciona rešetka bolje razlaže komponente svetlosti od prizme. Neka su $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ dve skoro iste talasne dužine koje spektrometar još može da razlikuje; moć rezolucije je

$$R=\frac{\lambda }{\lambda _{2}-\lambda _{1}}. \tag{7}$$

Ovde je $\lambda \approx \lambda _{1}\approx \lambda _{2}$ i $\Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$. Vidimo da rešetke sa velikom rezolucijom mogu razlikovati male razlike u talasnim dužinama. Difrakciona rešetka sa $N$ obasjanih proreza ima moć rezolucije (razlaganja)

$$R=Nm. \tag{8}$$

gde je $m$ red bočnog maksimuma. Centralni se maksumum ne može upotrebiti za razlaganje — u centru je rezolucija nula. Rezolucija raste kad raste broj proreza. Rezolucija je bolja kad radimo da što većim redom bočnog maksimuma. Na primer, za $\lambda =600\,\text{nm}$, imaćemo $\Delta \lambda =0,06\,\text{nm}$ ako radimo sa maksimumom drugog reda, ali $\Delta \lambda =0,04\,\text{nm}$ ako radimo sa maksimumom trećeg reda.

Upotreba difrakcione rešetke u CD reprodukciji. Potrebno je da laserski zrak besprekorno ide po spiralnom tragu kad očitava nule i jedinice. Pouzdan metod kontrole u ovom slučaju je tzv metod trostrukog snopa. Ta tri

Sl. 12 Princip navođenja laserskog zraka pri očitavanju CD

snopa daje difrakciona rešetka (centralni maksimum i dva bočna maksimuma). Centralni maksimum čita informacije duž spiralnog traga. Dva bočna maksimuma kontrolišu kurs snopa.

Rešetka je tako dizajnirana da bočni maksimumi padaju na glatke površine s obe strane traga. Oba ova reflektovana snopa imaju sopstvene detektore i pošto je slika simetrična, reflektovani intenzitetu su praktično isti. Ali ako se desi da centralni maksimum odluta sa traga, jedan od bočnih maksimuma će početi da se reflektuje sa izbočina traga i opadaće količina odbijenog svetla. Ova informacija se onda koristi da elektronska kola vrate glavni snop na željenu lokaciju.

Frenelove zone

Objasnićemo zanimljivu priču kako je početkom devetnaestog veka Frenel u Francuskoj koristio oštroumne postupke da analizira difrakcione slike.

Posmatrajmo donju sliku. Tačkasti izvor monohromatske svetlosti (talasna dužina $\lambda$) u tački O leži na osi kružnog otvora koji je izrezan na neprozirnom ekranu. Na istoj osi vidimo, iza ekrana, tačku P (prijemnik svetlosti), u kojoj treba izmeriti intenzitet svetlosti. Izvor je na rstojanju $a$ od ekrana, a prijemnik na rstojanju $b$. Oko tačke $O$ zamišljamo sferu koja se naslanja na kružni obod otvora; tako dobijamo kalotu koja je na slici naznačena crticama.

Sl. 13 Postupak formiranja Frenelovih zona

Tako izabrana površina nam omogućava da upadnu svetlosnu oscilaciju $E$ u svim elementima $dS$ kalote tretiramo kao konstantnu veličinu.

Sada opišimo na sferi krug oko temena C, takav da je poteg $r_{1}$ od bilo koje tačke kruga do tačke P jednak $b+\lambda /2$. Tim se postupkom dobija kalota koju ćemo zvati prva Frenelova zona. A krug potega $r_{2}=b+2\cdot \lambda /2$ ograničavaće, zajedno sa prvim krugom, prstenastu površinu koja se zove druga Frenelova zona. Takav postupak deljenja sfere se može nastaviti; $m-$ ta Frenelova zona predstavljaće prstenastu površinu između krugova s potezima $r_{\text{m}}=b+m\lambda /2$ i $r_{\text{m}-1}=b+(m-1)\lambda /2$.

Te zone i jesu one elementarne površine („tačke”) kojem pogođene upadnim talasom, postaju izvor sekundarnih talasa koji se šire iza ekrana (po Hajgensovoj koncepciji).

Frenelova je ideja bila da ovi sekundarni talasi interferišu; važno je s kakvom fazom stižu u tačku $P$.

Poluprečnik kruga koji deli drugu od prve zone približno iznosi

$$R_{\,1}=\sqrt{\frac{b\lambda }{1+b/a}}. \tag{9}$$

Za poluprečnik kruga koji je između druge i treće zone dobijamo u istoj aproksimaciji

$$R_{2}=\sqrt{2}\,R\,_{1}. \tag{10}$$

Poluprečnici krugova za nekoliko prednjih zona mogu se izračunavati po formuli

$$R_{\text{m}}=\sqrt{m}\,R\,_{1}. \tag{11}$$

Površina prve zone iznosi $S_{\,1}=2\pi ah=\pi R_{\,1}^{2}$. Površina druge zone je isto tolika. U stvari, površine nekoliko prednjih zona su međusobno praktično jednake, pošto je $2\pi a\,(h\,_{\text{m}}-h\,_{\text{m}-1})=S_{\,1}$. To olakšava aproksimiranje sume talasa koji polaze sa raznih zona. Još primetimo da je normala na svaku zonu utoliko više otklonjena od ose otvora što je red zone viši (kad raste taj ugao smanjuje se intenzitet zračenja od zone prema prijemniku). A cela koncepcija je tako smišljena da susedni talasi stižu u protivfazi — njihov učinak se oduzima! Preskočićemo matematičke detalje i napisati zaključnu relaciju:

$$E_{\text{P}}=A_{1}-A_{2}+A_{3}-A_{4}+... \tag{12}$$

Dobijeni izraz daje amplitudu svetlosne oscilacije u tački P. Prvi član je amplituda oscilacije koja stiže s prve zone, drugi član s drige zone, i tako redom. S desne strane vidimo alternativni red s datim članovima. S obzirom na primedbe koje smo dali o površinama i njihovim nagibima, možemo reći da je dati red i monotono opadajući.

Ako je otvor na ekranu veliki pa deluje mnogo Frenelovih zona, zaključujemo da je

$$E_{\text{P}}\approx \frac{A_{1}}{2}. \tag{13}$$

Do ovog rezultata smo stigli pišući da je svaki član reda približno aritmetička sredina levog i desnog suseda.

Vidimo: ukupna amplituda svetlosti u prijemniku tek je pola amplitude koju daje prva zona (ili: jačina svetlosti je samo četvrtina jačine koju daje prva zona). Zašto je to tako? Zbog efekta interferencije.

Zonske pločice

Posebno je zanimljiv sledeći zaključak u vezi sa razmotrenim metodom Frenelovih zona i primenom relacije (12). Ako na neki način isključimo (prekrijemo, onemogućimo) sve parne zone, umesto izraza (12) važiće za rezultujuću amplitudu u tački posmatranja

$$E_{\text{P}}=A_{1}+A_{3}+A_{5}+... \tag{14}$$

Time se odstranjuju komponente koje su u protivfazi sa neparnim članovima. Prirodno je da se zbog toga značajno povećava intenzitet svetlosti, u odnosu na prethodno stanje, kada zatamnjenja parnih zona nije bilo: svetlosne oscilacije generisane preostalim zonama su u fazi, te dolazi do konstruktivne interferencije sekundarnih talasa.

Tu ideju je moguće realizovati. Jedan od načina da se to postigne je sledeći. Na belom papiru nacrtaju se koncentrični krugovi čiji su poluprečnici, redom, kvadratni koreni prirodnih brojeva (videti (11)). Svaku drugu tako formiranu zonu treba prekriti crnim tušem. Potom se napravi fotografija crteža. Dobijeni dijapozitiv koji se zove amplitudna zonska pločica može da funkcioniše u skladu sa relacijom (14).

Skica amplitudne zonske pločice data je na Sl. 14.

Postavimo amplitudsku zonsku pločicu između tačaka O i P , tako da bude pod pravim uglom na potegu OP, na rastojanju $a$ od O i $b$ od P. Primetićemo znatno povećan intenzitet svetlosti u tački P ako se, kao i ranije, u tački O nalazi tačkasti svetlosni izvor monohromatske svetlosti talasne dužine $\lambda$. Pločica fokusira svetlost.

Sl. 14 Amplitudska zonska pločica

Pokazuje se da zonska pločica sa $n$ otvorenih zona daje osvetljenost u tački P približno $n^{2}$ puta veću od osvetljenosti koju stvara otvor na ekranu dimenzija prve Frenelove zone.

Razume se, zonsku pločicu je moguće realizovati i ako se isključe neparne zone, a fokusirajuće dejstvo ostvari sinfaznim učinkom parnih zona.

Očito, zonska pločica funkcioniše kao sabirno sočivo. Štaviše, formalno važi i ista formula sočiva. Našu formulu za veličinu zone lako dovodimo na oblik

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}, \tag{15}$$

ako stavimo $f=R_{\text{m}}^{2}/(m\lambda )=R_{1}^{2}/\lambda$. Veličina $f$ ne zavisi od rednog broja zone $m$; možemo je zvati žižna daljina amplitudske zonske pločice. U stvari, pokazuje se da pločica funkcioniše kao da ima celi niz žiža, čije se daljine izračunavaju po formuli $f_{\text{n}}=f/(2n+1)$, gde je $n$ prirodan broj. U tom smislu, $f$ se naziva i glavna žižna daljina.

Fokusirajuće dejstvo zonske pločice bilo bi jače ako bi sadejstvovale i parne i neparne zone ali tako da su svi članovi reda (12) pozitivni. To bi dalo u tački P još veći intenzitet svetlosti kao rezultat konstruktivne interferencije svih sekundarnih talasa koji polaze sa površine zonske pločice. Očito, za postizanje takvog cilja neophodno je promeniti fazu talasa sa svake druge zone za još $180^{0}$.

Prvo rešenje tog tipa dao je fizičar Vud.

On je staklenu pločicu pokrio tankim slojem laka i po toj podlozi izgravirao zonsku pločicu. Metodom hemijskog nagrizanja smanjio je debljinu svih parnih zona za $(\lambda /2)/(n-1)$, što dovodi do željene promene faze za $180^{0}$.

Vudova zonska pločica, ili fazna zonska pločica, učetvorostručuje intenzitet svetlosti u glavnoj žiži u odnosu na amplitudnu zonsku pločicu.

Klasifikacija difrakcionih pojava

Raspodela intenziteta svetlosti u difrakcionoj slici određena je brojem Frenelovih zona koje se mogu uklopiti na otvoru ekrana ili na mesto prepreke talasnom frontu. Poluprečnik prve Frenelove zone može da se napiše u obliku $R_{1}=\sqrt{\lambda f}$. Ovde je $f$ glavna žižna daljina odgovarajuće zonske pločice ($f=b$ kad $a\to \infty$). Jasno je da veličina

$$p=\frac{R_{1}}{D}=\frac{\sqrt{\lambda f}}{D} \tag{16}$$

određuje broj Frenelovih zona koje prekrivaju difrakcioni objekt karakteristične dimenzije $D$. Zato je broj $p$, a ne samo neka dimenzija difrakcionog objekta onaj važni parametar koji određuje uslove posmatranja, koji kaže hoće li i u kom stepenu biti izražena difrakciona slika.

Pomoću parametra $p$ izvršićemo sledeću objektivnu klasifikaciju pojava. $a$) Ako je u datom opitu $p\ll 1$, broj aktuelnih Frenelovih zona je velik, difrakcioni efekti su minorni, mogu se primenjivati zakoni geometrijske optike, govori se o pravolinijskom prostiranju svetlosti. $b$) Ako je $p\simeq 1$, mali broj Frenelovih zona je u pitanju, raspodela intenziteta svetlosti na difrakcionoj slici je složena; pojava se tada naziva Frenelova difrakcija. $c$) Ako je $p\gg 1$, samo mali deo prve Frenelove zone učestvuje u pojavi koja se tada naziva Fraunhoferova difrakcija. Difrakciona slika je nešto jednostavnija. Fraunhoferova difrakcija je značajna za teoriju i praksu funkcionisanja optičkih instrumenata.

Izučavanje difrakcije precizira uslove primenljivosti geometrijske optike. Na taj način se geometrijska optika kao aproksimativni metod smešta u širi teorijski koncept i time strožije zasniva.

Frenelova difrakcija na okruglom disku

Razmatraćemo sada Frenelovu difrakciju monohromatske svetlosti na okruglom disku. Neka se tačkasti svetlosni izvor $S$ nalazi na osi diska, na

Sl. 15 Frenelova defrakcija na okruglom disku

rastojanju $a$ od njegovog oboda. Poluprečnik diska je $d$. Približno možemo smatrati da ekran prekriva prvih $m$ Frenelovih zona na zamišljenoj sfernoj površini poluprečnika $a$. Obeležimo $m=(d/R_{1})^{2}$ gde je $R_{1}$ poluprečnik prve Frenelove zone. Tada zaključujemo da je $m$ prvih zona iskljueno u izrazu (12). Za amplitudu svetlosne oscilacije u tački P na osi sistema stoga pišemo

$$E_{\text{P}}=A_{\text{m}+1}-A_{\text{m}+2}+A_{\text{m}+3}-A_{\text{m}+4}+... \tag{17}$$

Primenjujući isto rezonovanje kao i ranije kada smo obrazlagali jednačinu (12), dolazimo do rezultata

$$E_{\text{P}}\simeq \frac{A_{\text{m}+1}}{2}. \tag{18}$$

Šta je ovde zagonetno? Po zakonu pravolinijskog prostiranja svetlosti, u tački P bi morala biti tama. U stvari, sve tačke između $A_{1}$ i $B_{1}$ (njih dobijamo na mestu prodora zraka SA i SB kroz normalnu ravan u tački P) pripadaju oblasti geometrijske senke koju baca ekran. Zato, čini se da protivreči običnom iskustvu ono što je posledica jednačine (18): centar geometrijske senke će biti osvetljen. Šta više, ako je $m$ relativno mali broj, intenzitet svetlosti u tački P neće se mnogo razlikovati od punog intenziteta u oblasti van geometrijske senke. U ono vreme kada je Frenel formulisao svoju talasnu

Sl. 16 Snimak Frenelove difrakcije na okruglom disku

koncepciju svetlosti delovao je ovaj zaključak toliko paradoksalno, da je prouzrokovao diskusiju koja se danas rado citira u tekstovima iz istorije fizike. Kada je 1918. godine Puason, član konkursnog komiteta Francuske akademije u Parizu, razmatrao Frenelov memoar o difrakciji, shvatio je da ponuđena talasna teorija predviđa da će centar geometrijske senke iza maloga diska biti

Sl. 17 Puasonova svetla mrlja kao neželjen efekat: difrakcija

na česticama prašine koje su se nataložile na lasersko sočivo

više ili manje osvetljen. I za zaslužnog i renomiranog fizičara onog vremena, kakav je Puason bio, predviđanje svetlosne mrlje tamo gde je niko do tada nije video bilo je ravno apsurdu koji samom svojim postojanjem poništava Frenelovu zamisao. Spor je rešio Puasonov kolega po funkciji u Akademiji i ne manje slavno ime u nauci, Arago. On je izveo danas klasičan eksperiment kojim je detektovao svetlost u tami iza diska. Nekom zabavnom igrom slučaja, za svetlo u geometrijskoj senci koje nastaje difrakcijom svetlosnih talasa, ustalio se termin Puasonova svetla mrlja, po čoveku koji u nju nije verovao.

U nastavku ovog poglavlja govorićemo o raznim interferencionim pojavama, sa više matematičkih detalja. Dodatno ćemo se uveriti da je svetlosti zaista svojstvena talasna priroda.

Interferencija talasa od dva tačkasta izvora

Idemo sada korak bliže jednom konkretnom i tipičnom interferencionom eksperimentu. Na donjoj slici, laserska svetlost koju daje He-Ne školski laser male snage obasjava ekran $\mathscr{E}$. Na ekranu postoje dva bliska, kružna otvora malog poluprečnika (napravljena, na primer, vrhom čiode na kartonu). Ta dva otvora će se ponašati kao dva jednaka, tačkasta, sinfazna, monohromatska svetlosna izvora.

Sl. 18 Uz razmatranje interferencija dva sferna svetlosna talasa

Na zaklonu $Z$ formiraće se interferenciona slika; razmotrimo njene osobenosti. Obeležimo sa $d$ rastojanje između svetlosnih izvora koje smo označili sa S $_{1}$ i S $_{2}$. Rastojanje između ekrana i zaklona je $\ell$. U tačku posmatranja P stižu svetlosni talasi od prvog izvora pošto pređu put $r_{1}$ i od drugog izvora pošto pređu put $r_{2}$. Smatraćemo da je zaklon vrlo daleko, tj. da je $\ell \gg d$, pa talasi imaju u tački P praktično istu amplitudu koju ćemo označiti sa $E_{0}$. Tako, sabirajući dva talasa

$$E_{1}=E_{0}\cos (\omega t-kr_{1}), \tag{19a}$$ $$E_{2}=E_{0}\cos (\omega t-kr_{2}), \tag{19b}$$

nalazimo fazu i amplitudu rezultantne svetlosne oscilacije $E=A\cos \Phi$ u obliku

$$\Phi =\omega t-k(r_{1}+r_{2})/2, \tag{20a}$$ $$A=2E_{0}\cos \left[k\left(r_{2}-r_{1}\right)/2\right]. \tag{20b}$$

Ovde je $k=2\pi /\lambda$ talasni broj. Ako je $n$ indeks prelamanja date homogene sredine, tada je $\lambda =\lambda _{0}/n$, gde je $\alpha$ talasna dužina u vakuumu. Definišimo veličinu

$$\Delta =n\left(r_{2}-r_{1}\right) \tag{21}$$

koju zovemo razlika optičkih puteva. Intenzitet svetlosti u tački P proporcionalan je kvadratu amplitude $\Delta \omega$, pa ćemo dobiti

$$I=2I_{0}\left(1+\cos \delta \right), \tag{22a}$$

gde je

$$\delta =k\Delta, \tag{22b}$$

dok je $I_{0}$ intenzitet koji daje samo jedan od izvora. Veličina $\delta$ se naziva fazna razlika dva talasa. U tačkama gde je zadovoljen uslov $k\Delta =2\pi m$ ($m$ je nula ili ceo broj) ravan $Z$ će biti maksimalno osvetljena. Broj $m$ se zove red interferencije. Lako je videti da je uslov maksimuma u stvari zahtev da optička razlika puteva bude ceo broj talasnih dužina. Posedno, u tački O ($x=0$) nalazi se interferencioni maksimum nultog reda ($m=0$). Ta je tačka centar interferencione slike. Primetimo sada da se $\Delta$ može izraziti u funkciji koordinate $x$ koja leži u ravni $Z$. Ako je $\theta$ ugao pod kojim se sa sredine duži $d$ vidi duž $\overline{OP}=x$, rastojanje tačke posmatranja od centra interferencione slike, tada je očito $\Delta =nd\sin \theta \simeq n\,\theta d$. Znajući da je $x=\ell \text{tg}\theta \simeq \ell \theta$, nalazimo da je

$$\Delta \simeq nd\frac{x}{\ell }. \tag{23}$$

Zamenom ove vrednosti u gornju relaciju dobijamo

$$m_{g}\sim \tau /T \tag{24}$$

Odavde zaključujemo da je prostorni period ove funkcije $q=\lambda _{0}\ell /\left(nd\right)$. To je rastojanje između dva susedna maksimuma (ili minimuma) osvetljenosti ravni $Z$ duž pravca $x$ (kojem je duž $d$ paralelna).

Primetimo da naša formula nudi princip merenja talasne dužine svetlosti pomoću interferencionih opita. Zbilja, ako se izmeri period $q$ interferencine slike, a parametri $n$, $\ell$ i $d$ su poznati, tada formula

$$\lambda _{0}=q\frac{d}{\ell } \tag{25}$$

omogućava izračunavanje talasne dužine (u vazduhu).

Videli smo da je u tački za koju je razlika rastojanja do dve fiksne tačke S $_{1}$ i S $_{2}$ jednaka $m\lambda$ maksimalan intenzitet. Skup svih tačaka s tom osobinom je površina maksimalnog intenziteta i po definiciji je to obrtni hiperboloid. Presek hiperboloida sa ravni $Z$ daje krivu maksimalnog intenziteta. Ona seče $x$-osu u tačkama koje se mogu odrediti pomoću relacije (24). U uskoj oblasti oko centra interfrerencione slike u ravni $Z$ interferentne pruge su prave, ekvidistantne i paralelne, upravne na ravan naše slike.

Jungov interferencioni opit

Naglasili smo da se interferencioni opit sa dva bliska otvora na ekranu izvodi pomoću laserske svetlosti, tj. sa praktično monohromatskim talasima. Ako bismo pokušali da dobijemo interferencionu sliku sa običnim svetlosnim izvorima, na primer sa prirodnom Sunčevom svetlošću, opit bi mogao i da ne uspe u tako jednostavnom obliku.

Klasični (nelaserski) svetlosni izvori daju optičko zračenje koje se sastoji iz haotičnog sleda mnogih sinusnih paketa. Pojedinačni svetlosni impuls kao akt jednog emisionog atomskog procesa ne traje duže od nekih $10^{-8}$ s. Ako neku površinu obasjamo pomoću dva nezavisna prirodna svetlosna izvora, u svakoj tački površine će se fazni odnosi svetlosnih oscilacija menjati na slučajan način mnogo puta u toku posmatranja efekta sabiranja dva talasa. Sabiranje velikog broja oscilacija sa fazama koje se slučajno menjaju uništava interferencioni član: u tačkama površine dolazi jedino do prostog sabiranja intenziteta zračenja koja dolaze od dva izvora i interferenciju ne opažamo. Da bi učinak interferencije bio vidljiv i sa prirodnom svetlošću, moraju se preduzeti posebne, dodatne mere u opitu; one se, uopšte, svode na postupak deljenja svetlosnog snopa na bar dva svetlosna snopa koji se posle izvesne karakteristične procedure dovode u deo prostora gde se svetlosna polja prekrivaju. Obezbedi li se, pri tome, da je optička razlika puteva dva snopa manja od dužine jednog sinusnog paketa, slučajne promene amplitude i faze u svim snopovima biće međusobno usaglašene,

Tada kažemo da su interferišuće komponente koherentne.

Takva eksperimentalna procedura daje stabilnu i jasnu interferencionu sliku.

Prvi fizičar koji je jasno shvatio suštinski značaj koherentnih talasa u interferencionim optičkim opitima i zahteve koji iz toga proizilaze znao u laboratoriji da realizuje bio je Tomas Jung. Oko godine 1802. on je posmatrao interferenciju svetlosti ovako

Sl. 19 Jungova interferenciona šema

Sunčeva svetlost obasjava ekran $\mathscr{E}$. Na ekranu je mali kružni otvor S. Približno, taj se otvor ponaša kao tačkasti svetlosni izvor koji daje sekundarni sferni talas svetlosti prema drugom ekranu koji ima dva mala kružna otvora S $_{1}$ i S $_{2}$. Otvori su tako postavljeni da su jednako udaljeni od otvora S; oni leže na istoj talasnoj površini. Tako, S $_{1}$ i S $_{2}$ na simetričan način propuštaju deo prispele svetlosne energije i mogu se tretirati kao sekundarni, približno tačkasti, sinfazni svetlosni izvori. Talasi koji polaze iz ovih izvora obasjavaju tačke udaljenog zaklona $Z$. Tamo će se videti interferenciona slika, pošto su zadovoljeni uslovi koherencije kao što je gore komentarisano. Slika će biti skup svetlih i tamnih pruga i o tome smo detaljno govorili u analizi opita uz primenu lasera.

Mereći razmak svetlih pruga u ravni $Z$, Jung je bio u prilici da odredi talasnu dužinu $\lambda _{0}$ i to za razne boje svetlosti. Kao što smo objasnili, primenjuje se formula (25). Tipični podaci su sledeći: na zaklonu udaljenom $\ell \sim 1$ m period interferencionih pruga je $q\sim 1$ mm pri razmaku otvora $d=0,5$ mm. Kako je za vazduh $n\simeq 1$, dobija se za talasnu dužinu $\lambda _{0}=5\cdot 10^{-7}$ m. Talasna dužina vidljivog optičkog zračenja je mala i merenja nisu laka — Jungovi podaci su uveliko samo približni. Bez obzira na to, nesumnjiv je istorijski značaj tog opita, prvog na temu interferencije svetlosti. Početkom prošlog veka dao je Jungov rad nezamenljiv podsticaj razvoju optike, posebno talasne koncepcije svetlosti koju je ubrzo potom prihvatio Frenel i radikalno dalje afirmisao.

Zaključimo da se u klasičnoj verziji Jungovog opita ne sme odstraniti otvor S — inače propada interferenciona slika. Otvor S obezbeđuje koherentno pobuđivanje sekundarnih izvora u ravni ekrana sa dva bliska otvora. Može se pokazati da bi pri direktnom izlaganju toga ekrana sunčevim zracima razmak otvora, parametar $d$, morao biti toliko mali da se praktično i ne bi mogao realizovati. S druge strane, mali otvor S znatno smanjuje upadni svetlosni fluks pa je vidljivost interferencionih pruga neznatna. Približno, slika se neće mnogo promeniti ako umesto kružnih otvora koristimo uske proreze normalne na ravan crteža. Prorezi daju veće svetlosne flukseve i opit bolje uspeva sa nastalim cilindričnim svetlosnim talasima.

Ako se u Jungovom tipu interferencionog opita koristi laserska svetlost, što se u savremenoj laboratorijskoj praksi skoro redovno čini, onda je otvor S nepotreban. Laserska svetlost je visoko koherentna po celom poprečnom preseku snopa.

Polov interferencioni opit

Razmotrićemo sada Polov opit. On se principijelno razlikuje od upravo opisanih opita sa deljenjem talasnog fronta — koristi metod deljenja amplitude. Monohromatska svetlost od izvora S pada na providnu plan-paralelnu pločicu. U neku tačku P (ona se nalazi na istoj strani kao i izvor S) stiže svetlosni zrak odbijen od gornje površine pločice, ali i zrak koji se, posle prelamanja, odbija sa donje

Sl. 20 Polov interferencioni opit

površine. Ti zraci i formiraju intererencionu sliku na zaklonu $Z$. Rezultat interferencije u tački P određuje razlika optičkih puteva dva zraka. Ona se može izračunati ako se primeti da zraci imaju svojstva kao da potiču od dva imaginarna svetlosna izvora S $_{1}$ i S $_{2}$ koji su prikazani na slici. Oni su u stvari imaginarni likovi izvora S u odnosu na gornju i donju površinu pločice. Kvalitativno govoreći, interferenciona slika koja se vidi na udaljenom zaklonu $Z$ (on je paralelan pločici) ima izgled koncentričnih prstenova s centrom iznad izvora S. Praksa pokazuje da je u Polovom opitu lakše i udobnije posmatrati interferenciju svetlosti nego u opitima sa deljenjem talasnog fronta. Može se, na primer, koristiti živina lampa bez ekrana sa malim kružnim otvorom (za simuliranje tačkastog izvora), pa se koristi puni svetlosni intenzitet i dobijaju jasne i dobro vidljive interferencione pruge. Dobro je

Sl. 21 Demonstracioni opit, Polova šema.

poznato da se pomoću tanke staklene pločice, bez naročitih dodatnih optičkih elemenata, na zid učionice mogu projektovati interferencione pruge koje bez tečkoća uočava celi auditorijum. Zašto je to tako shvatićemo potpunije iz sledećeg izlaganja.

Da bismo kvantitativno obradili osobenosti Polovog opita, posmatrajmo poseban slučaj vrlo udaljene tačke P. U eksperimentalnom smislu to se postiže primenom objektiva, sabirnog sočiva koje u žižnoj ravni formira sliku koja je ekvivalentna interferencionoj slici u beskonačno udaljenoj ravni. Dva interferirajuća zraka nastaju od jednog upadnog ($i$) koji se delom reflektuje od gornje (zrak $r_{1}$) a delom od donje (zrak $r_{2}$) površine pločice. Višestruke refleksije se zanemaruju. Zraci $r_{1}$ i $r_{2}$ su paralelni. Optička razlika puteva $\Delta$ u tački P takva je kao na liniji $\overline{CD}$. Prema tome, $\Delta =n\,(\overline{AB}+\overline{BC})-\overline{AD}$. Obeležimo sa $d$ debljinu pločice čiji je indeks prelamanja $n$. Zrak upada iz vazduha na gornju površinu pločice pod uglom $\theta _{\text{i}}$. Prelama se pod uglom $\theta _{\text{t}}$. Pri tome je $\sin \theta _{\text{i}}=n\,\sin \theta _{\text{t}}$ (zakon prelamanja za pločicu u vazduhu).

Sl. 22 Uz analizu Polovog opita

Duž $\overline{AB}$ jednaka je $d/\cos \theta _{\text{t}}$ (tolika je i duž $\overline{BC}$). Duž $\overline{AC}$ jednaka je $2d\,\text{tg}\theta _{\text{t}}$, pa je duž $\overline{AD}$ jednaka $2d\,\text{tg}\theta _{\text{t}}\sin \theta _{\text{i}}$. Tako nalazimo za razliku optičkih puteva

$$\Delta =2nd\,\cos \theta _{\text{t}}. \tag{26}$$

Fazna razlika $\delta$ između zraka $r_{1}$ i $r_{2}$ nastaje zbog nejednakih optičkih puteva (kako se ona uračunava već smo naučili), ali i zbog refleksije prvog zraka od optički gušće sredine (na šta smo ukazivali u analizi Frenelovih formula u trećem predavanju). Prema tome,

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2nd\,\cos \theta _{\text{t}}+\pi. \tag{27}$$

Često se ova formula dovodi na oblik

$$\delta =4\pi \frac{d}{\lambda _{0}}\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}+\pi. \tag{28}$$

Napomenimo da je $\lambda _{0}$ talasna dužina svetlosti u vakuumu. Fazna razlika zavisi od ugla $\theta _{\text{i}}$. On određuje i položaj tačke P u žižnoj ravni; sve zrake pod tim uglom sočivo skuplja u istu tačku. Dakle, stanje interferencije u tački P ne može da se izmeni pomeranjem izvora S. Upravo zbog toga i netačkasti izvor daje jasnu interferencionu sliku u datoj ravni, koju zovu stoga ravan lokalizacije pruga. U ovom slučaju, pruge su lokalizovane u beskonačnosti.

Svetlim prugama u ravni $Z$ odgovaraju oni upadni uglovi za koje je, $\delta =2\pi m$, gde je $m$ ceo broj (red interferencije). Zadatom redu interferencije odgovara jedan određeni upadni ugao. Zato se kaže da su dobijene pruge jednakog nagiba. Ako posmatramo sliku za male uglove ($\theta _{\text{i}}\simeq 0$), one su koncentrični krugovi s centrom u žiži. Čitalac će lako sâm pokazati da tanjoj pločici odgovaraju šire pruge.

Tanka pločica promenljive debljine

U Polovom opitu razmotrili smo interferenciju sa plan-paralelnom pločicom. Sada ćemo dopustiti da pločica bude promenljive debljine, pa čak i da njene površine ne budu ravne. Takvu jednu prozračnu pločicu obasjava svetlosni izvor konačnih dimenzija. Iz jednog malog segmenta izvora S posmatramo prostiranje dva zraka koji padaju na gornju površinu pločice, videti donju sliku.

Smatraćemo da je izvor udaljen i da daje monohromatsku svetlost. Zrak 1 prelama se na gornjoj površini (odbijena komponenta nas ovde ne interesuje) i posle delimičnog odbijanja od donje površine izlazi iz tačke P u vidu zraka $1'$. Zrak 2 (takav će se u svetlosnom snopu uvek naći) upada na gornju površinu pločice u tačku P i delom se odbija u vidu zraka $2'$. Sabirnim sočivom $\Sigma$ možemo skupiti odbijene zrake u zajedničku presečnu tačku $P'$. Ona je lik tačke $P$. Zraci $1'$ i $2'$ su koherentni, te u tački $P'$ dolazi do interferencije. Konkretno stanje slaganja talasa u datoj tački zavisi od razlike optičkih puteva. Nju ćemo sada izračunati.

Sl. 23 Interferencija na tankoj klinastoj pločici

Obeležimo sa $h$ debljinu pločice na mestu $P$. Približno, oba zraka upadaju pod jednakim uglom $\theta _{\text{i}}$. Ugao prelamanja zraka 1 je $\theta _{\text{t}}$. Indeks prelamanja pločice je $n$ i pločica se nalazi u vazduhu. Na sličan način kao kod Polovog opita izračunavamo razliku optičkih puteva i nalazimo

$$\Delta =2nh\,\cos \theta _{\text{t}}. \tag{29}$$

U izvođenju ove formule pretpostavili smo da se debljina pločice neznatno menja između tačaka u kojima upadaju zraci 1 i 2. Ponovo moramo uzeti u obzir da se faza talasa 2 menja za $\pi$ pri odbijanja od optički gušće sredine. Tako, fazna razlika dva zraka koja napuštaju tačku $P$ iznosi

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda _{0}}\,2nh\,\cos \theta _{\text{t}}+\pi. \tag{30}$$

Ovde se može još uvesti upadni ugao preko zakona prelamanja, tj. izvršiti smena $n^{2}\cos ^{2}\theta _{\text{t}}=n^{2}-\sin ^{2}\theta _{\text{i}}$. Primetimo da je formula slična odgovarajućoj formuli kod Polovog opita. Međutim, ovde se radi o drugačijem fizičkom sadržaju. Ako je izvor S dovoljno udaljen, približno će zraci iz svih tačaka izvora upadati pod određenim uglom $\theta _{\text{i}}$. Posebno je taj uslov lako postići ako se interferenciona slika posmatra približno pod pravim uglom. Prema tome, fazna razlika u tački $P$ zavisi praktično samo od debljine pločice na tom mestu; tačkama iste debljine pločice odgovara isto stanje interferencije. Na primer, sve tačke gde je $\delta =2\pi$, tj. $h=\lambda _{0}/(4n\cos \theta _{\text{t}})$, biće maksimalno osvetljene. Skup tih tačaka čine prugu jednake debljine. Ostale svetle pruge jednake debljine zadovoljavaju uslov $\delta =2\pi m$, gde je red interferencije $m$ ceo broj. Jasno je da će oblik pruga zavisiti od oblika pločice. Na klinastoj pločici javljaju se pruge u vidu pravih linija koje su paralelne ivici klina. Ređaju se naizmenično tamne i svetle linije. Tamne linije nastaju tamo gde je zadovoljen uslov da je fazna razlika zrakâ $(2m+1)\pi$.

Interferencionu sliku posmatramo na zaklonu $Z$. Ta je ravan u stvari projekcija gornje površine pločice. Dakle, pruge jednake debljine se primećuju na površini pločice. Zato se za ovakvu interferencionu sliku kaže da je lokalizovana na površini pločice.

Boje tankih listića

Ako je pločica obasjana belom svetlošću, nastaje obojena interferenciona slika. Tada govorimo o bojama tankih listića. One nastaju zbog toga što fazna razlika zavisi od $\lambda _{0}$, talasne dužine svetlosti u vakuumu, tj. pruge iste debljine nisu podudarne za razne boje svetlosti. Opit sa belom svetlošću dobro uspeva samo ako je pločica tanka i tek neznatno klinasta (na primer, opna od sapunice u vertikalnoj ravni). U suprotnom, pruge će se preklapati i izostaje puni efekt obojenosti interferencione slike.

Boje tankih listića mogu se lako videti u mnogim svakodnevnim situacijama. Na primer, naftna mrlja na vlažnom asfaltu i sloj masnoće na površini vode. Dobro poznati primer su i mehurovi od sapunice. Interferencionim efektima ove vrste objašnjavaju se i boje koje se vide na površini kaljenih metalnih predmeta (tamo su u pitanju tanki slojevi oksida) itd.

Sl. 24 Naftna mrlja na asfaltu

S tačkastim svetlosnim izvorom, kada koristimo metod deljenja svetlosnog fronta, dobijaju se nelokalizovane interferencione pruge (interferenciono polje je svuda gde dolazi do prekrivanja talasa). S netačkastim izvorima, kada koristimo metod deljenja amplitude, interferenciona slika je lokalizovana. Lokalizacija je u ravni pločice, ako je ona promenljive debljine, i u beskonačnosti, za planparalelnu pločicu. U stvari, može se pokazati da je mesto lokalizacije tamo gde razlika optičkih puteva minimalno zavisi od upadnog ugla.

Skokovita promena debljine

Poseban slučaj pločice promenljive debljine skiciran je na donjoj slici. Svetlost upada iz sredine indeksa prelamanja $n_{1}$ na sloj (indeks prelamanja $n_{2}$ manji je od $n_{1}$) čija se debljina na jednom mestu menja skokovito. Deo upadnog snopa zraka $1$ se odbija od gornje površine stepenika u vidu $1'$, a drugi deo snopa $2$ odbija se od donje površine u vidu $2'$. Odbijeni svetlosni snopovi $1'$ i $2'$

Sl. 25 Zraci se odbijaju od “stepenice”

interferišu. Posmatrajmo aproksimativni slučaj skoro vertikalnog upadanja; nastupiće destruktivna interferencija ako je putna razlika jednaka polovini talasne dužine svetlosti u sredini s indeksom prelamanja $n_{1}$: $2nt=\lambda /2$. Tako, „spuštanje” niz stepenik propraćeno je padom intenziteta reflektovane svetlosti. Ovaj je efekat iskorišćen u tehnici očitavanja digitalnog zapisa na kompakt disku. U toku zapisivanja informacije na CD formira se niz međusobno odvojenih jama određene

Sl. 26 Čitanje CD zapisa interferencijom svetlosti

visine $t$. Ta povorka stepenika na kraju je obložena metaliziranim slojem. Dok god svetlosni snop u celini putuje po horizontalnom delu jama ili bregova, nema signala promene intenziteta odbijene svetlosti i elektronika taj podatak obrađuje kao „nulu” u binarnom zapisu. Kad snop naiđe na stepenicu, drastično opadne nivo primanog intenziteta; naime, važi uslov destruktivne interferencije, jer je dubina jame izabrana prema gornjoj relaciji, $t=\lambda /4n$ (na primer, kad je talasna dužina u vakuumu $\lambda =635$ nm, dubina jame treba da bude 99,2 nm). Tada se očitava „jedinica” u binarnom zapisu.

Prozor solarne ćelije

Solarna ćelija, koja služi da se svetlosna energija transformiše u električnu energiju, fabrikuje se od pločice silicijuma indeksa prelamanja $n=3,5$. Poželjno je da se upadna svetlost što manje reflektuje od površine ćelije, jer će više energije da se apsorbuje u zapremini ćelije. Na ulazu se formira prekrivka, sloj silicijum-oksida indeksa prelamanja $n=1,45$ (videti sliku).

Zrak koji upada u tačku A daje reflektovani zrak 1 koji trpi i fazni skok od 180 stepeni (odbijanje od optički gušće sredine). Slično se dešava sa transmitovanim zrakom: on se jednim delom odbija u tački B, i reflektovana komponenta 2 trpi fazni skok od 180 stepeni. Znači, fazna razlika između zraka 1 i 2 na izlazu određena je jedino putnom razlikom — drugi zrak prevaljuje još put približan dvostrukoj debljini silicijum oksida. Destruktivna interferencija zraka 1 i

Sl. 27 Pristup svetlosti aktivnom sloju solarne ćelije

2 nastupa kad je ta debljina izabrana prema zahtevu $2nt=\lambda /2$ (skoro vertikalan upad svetlosti). Na primer, za svetlost talasne dužine 552 nanometra debljina oksida treba da bude 95,2 nanometra. Da nema SiO sloja, refleksioni gubici svetlosti bi išli i do 30%; sa slojem SiO taj se procenat smanjuje na 10%, što je velika ušteda i povećanje efikasnosti konverzije svetlosne energije.

Majkelsonov interferometar

Interferometri su optički pribori koji funkcionišu na principu interferencije svetlosti. Koriste se za precizno merenje dužina, uglova, kvaliteta površina, indeksa prelamanja sredina, spektralnog sastava zračenja i sl. Analizom interferencionih pruga koje daje dotični interferometar dolazimo do odgovarajućih fizičkih karakteristika koje su predmet istraživanja. Upoznaćemo se sa Majkelsonovim interferometrom, jednim od najpoznatijih i najznačajnijih instrumenata te vrste.

Uprošćenu šemu Majkelsonovog interferometra vidimo na ovoj šemi. Svetlost iz monohromatskog svetlosnog izvora S, talasne dužine $\lambda _{0}$, pada na prozračnu planparalelnu pločicu $\Pi _{1}$. Njena zadnja strana prekrivena je tankim slojem srebra ili alumijimuma, tako da ima koeficijent refleksije $\rho \simeq 0,5$. Pločica igra ulogu polupropustljivog ogledala koje može da podeli

Sl. 28 Uprošćena šema Majkelsonovog interferometra

upadni snop svetlosti na dve komponente približno istog intenziteta. Skicirali smo zrake 1 i 2 koji na taj način nastaju u interferometru. Odbijeni zrak 1 prostire se duž jedne grane instrumenta a transmitovani zrak duž druge grane koja u odnosu na prvu zaklapa ugao od $90^{0}$. Zrak 1 pada na ravno ogledalo $M_{1}$, odbija se i vraća istim putem; jedan njegov deo

prolazi kroz $\Pi _{1}$ u vidu zraka $1'$. Zrak 2 se odbija od drugog ravnog ogledala $M_{2}$, vraća se do pločice i posle delimičnog odbijanja od polupropustljivog sloja nastavlja put u vidu zraka $2'$ istim pravcem i smerom kao i zrak $1'$. Zraci $1'$ i $2'$ su približno jednakog intenziteta, koherentni su i sposobni da interferišu. Ceo snop takvih parova zrakâ skuplja sabirno sočivo $\Sigma$ pa se u žižnoj ravni $Z$ formira interferenciona slika. Ako su ogledala strogo međusobno normalna, interferencione pruge su krugovi s centrom u žiži sočiva. Zrak 1 prolazi kroz pločicu jedanput a zrak 2 triput. Da se koriguje ova optička nesimetrija, umetnuta je kompenzaciona pločica $\Pi _{2}$, istih karakteristika kao i pločica $\Pi _{1}$, izuzev što nema refleksionog sloja. Istina, kad se radi sa laserskom svetlošću prstenovi će se dobiti i bez dodatne pločice (u tom slučaju su nebitne razlike u disperzionim karakteristikama vazduha i materijala pločice).

Na datoj slici možemo da zamislimo i imaginarno ogledalo $M$, a ono je lik ogledala $M_{2}$ na refleksionoj površini polupropustljive pločice. Optički put zraka od izvora do ogledala $M_{2}$ i nazad do žiže isti je kao i put od izvora do lika $M$ i nazad do žiže. Stoga se može reći da je interferenciona slika u žižnoj ravni $Z$ faktički ista kao slika koja potiče od interferencije na tankom vazdušnom sloju (zazoru) debljine $h$ (rastojanje između realnog ogledala $M_{1}$ i imaginarnog ogledala, lika ogledala $M_{2}$).

Prema tome, analiza rada Majkelsonovog interferometra počiva na razumevanju Polovog opita koji smo već upoznali.

Raspodela osvetljenosti u ravni $Z$ data je formulom (5.12). Razlika optičkih puteva $\Delta$ je, prema (5.16), $\Delta =2h\,\cos \theta _{\text{t}}$ (za vazduh je $n=n_{0}\simeq 1$). Ako su položaji realnih ogledala fiksirani, zadata je i debljina $h$, te razlika optičkih puteva zavisi jedino od nagiba zraka prema optičkoj osi instrumenta. Nema potrebe da svetlosni izvor bude tačkasti; interferenciona slika lokalizovana je u beskonačnosti (u žižnoj ravni sočiva). Interferencione pruge Majkelsonovog interferometra su pruge jednakog nagiba. Istina, ako realna ogledala nisu strogo normalna, vazdušni sloj će biti klinast i nastaće pruge jednake debljine, paralelne ivici klina.

Ako su grane interferometra skoro jednake, debljina vazdušnog sloja je mala. Interferencioni prstenovi, kojih ima samo nekoliko, u tom su slučaju velikog prečnika. Međutim, kada je $h$ veliko, velika je i gustina prstenova oko tačke F i prstenovi su malog prečnika.

Za centar slike, u tački F, važi $\Delta (\theta _{\text{t}}=0)=2h$. Ako je $h=h_{\text{m}}=m\lambda _{0}/2$, tamo je interferencioni maksimum. Kad se ogledalo $M_{1}$ udaljava od “ogledala” $M$ (specijalnim mikrometarskim zavrtnjem koji nije naznačen na Sl. 5.15), prstenovi se sažimaju ka centru. Kada debljina sloja naraste do $h=h_{\text{m}+1}=(m+1)\lambda _{0}/2$, ponovo će tačka F biti maksimalno osvetljena, ali se interferenciona slika pomerila za jedan interferencioni red. Pretpostavimo da smo posmatranjem ustanovili da se slika pomerila za $\Delta m$ redova. To znači da se rastojanje između ogledala promenilo za $\Delta h=\Delta m\lambda _{0}/2$. Praksa pokazuje da se vizuelno može oceniti ne samo trivijalno $\Delta m=1$, već i takvo pomeranje kada je $\Delta m\sim 1/20$. Posebnim detekcionim metodima mogu se otkriti i pomeranja koja odgovaraju hiljaditom delu reda interferencije. Prema tome, Majkelsonov interferometar je u stanju da meri pomeranja reda veličine $10^{-9}\,$ m, dakle jedan nanometar.

Za Majkelsonov interferometar vezana su bar tri krupna projekta iz istorije fizike: $a$) merenje etarskog drifta, $b$) ispitivanje strukture spektralnih linija i $c$) optička standardizacija metra. Danas se taj instrument dosta koristi u spektralnoj analizi Furijeovog tipa, za kontrolu proizvodnje optičkih komponenti i sl.

Sl. 29 Majkelsonova interferometarska šema, školska varijanta

Razvojem laserske tehnologije, i tehnologije optičkih komponenti uopšte, stvoreni su uslovi da i naši univerziteti mogu relativno lako posedovati laserske izvore svetlosti koji su pouzdani, robusni i izdašni — sa njima se lako rukuje i pogodni su za izvođenje mnogih eksperimenata pedagoške namene. Sa laserom malih

Sl. 30 Interferogram na ekranu, u opitu sa prethodne slike

dimenzija, koji može da stane na dlan ruke, sa dva ogledala i jednim polupropustvljivim ogledalom može se na tabli dimenzija 70cm puta 50cm, koja omogućava magnetsku fiksaciju, za nekoliko minuta aranžirati uprošćena majkelsonovska interferenciona šema i dobiti interferenciona slika. Na slici vidimo fotografiju ekrana koja se dobija digitalnim fotoaparatom prosečnih performansi.