Na putu ka brahistohroni

Preko preče, naokolo bliže. Posmatrajmo na slici 1 pločicu mase $m$ koja klizi niz strmu ravan AB.

Slika 1

Trenje ćemo zanemariti. Kako da izračunamo vreme $t_{1}$ za koje se pločica spusti iz polazne tačke na visini $h$ do podnožja? Na osnovu rezultata svojih opita, Galilej je na postavljeno pitanje dao ovakav odgovor: vreme kretanja tela niz strmu ravan, pod dejstvom sile teže, odnosi se prema dužini puta $s$ kao vreme slobodnog padanja $t_{0}$ sa iste visine prema toj visini. Kako je $t_{0}^{2}=2h/g$, a prema ovom uputstvu $t_{1}/s=t_{0}/h$, dobijamo $t_{1}=t_{0}s/h$, tj

$$t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{\sqrt{h^{2}+b^{2}}}{h} \tag{1}$$

Zamislimo sada da se isto takvo telo kretalo iz iste početne tačke do iste krajnje tačke drugim putem: niz strmu ravan AC i onda (zahvaljujući neophodnoj krivini naznačenoj isprekidanom linijom koja obezbeđuje da nema udara i odskoka tela od podloge) horizontalnim delom CB. Nađimo vreme kretanja $t_{2}$ u ovom slučaju. Vreme silaska niz stvrmu ravan možemo odrediti pomoću formule (1) ako samo zamenimo $b$ sa $x$. Vreme kretanja tela (po inerciji) od C ka B je $\left(b-x\right)/v_{0}$ pri čemu je $v_{0}$ brzina u tački C. Nju možemo dobiti pomoću zakona održanja energije: $mgh=mv_{0}^{2}/2$. Znači, možemo pisati

$$t_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{h}+\frac{b-x}{\sqrt{2gh}} \tag{2}$$

Zanimljivo je ispitati postoji li takvo $x$ gde je $t_{1}=t_{2}$, pri čemu bi se tela sudarila u tački B. Ima osnova da se nadamo u tako nešto: možda je ušteda vremena pri kretanju niz strminu dovoljna da se nadoknadi kašnjenje po horizontalnom putu! Uveravamo se da je tako ako uradimo jedan primer koji zahteva malo računa. Neka je $b=16$ i $h=12$. Tada su to poznate katete koje daju hipotenuzu $s=20$. Označimo razliku vremena $T=t_{1}-t_{2}$. Dobijamo rezultat $T=0$ za $x=0$. U konkretnom slučaju, putanje AB i A0B zahtevaju isto vreme, pa kažemo da su tautohrone. (Na grčkom, ταντον (tautos) znači isto, a χρονοξ (hronos) znači vreme.) Znači li to da će vreme $T$ biti pozitivno za $0<x<b$? Za izabrani trougao, da. Međutim, uopšteno uzeto, rešenje je složenije. Najbolje je da nacrtamo razliku vremena kao funkciju od $x$ za dato $b$ (na primer, $b=1$). Rezultat vidimo na slici 2.

Slika 2

Krivoj I odgovara visina $h=1$, krivoj II, $h=0.75$ i krivoj III, $h=0.5$. Otkrili smo da će uvek biti $T>0$, uz uslov da je i $T=0$ u koordinatnom početku, ako je $h/b=0.75$ (stvarno, $12/16=0.75$). Inače, telo koje ide po putanji ACB uvek će stići u tačku B pre tela koje prosto klizi po strmoj ravni AB, samo ako je $h\le 0.75$. Ako je, međutim, $h>0.75$, biće $T>0$ tek kad je tačka C dovoljno blizu tački B. Na primer, za $h=1$ tautohrona nastaje kad je $x=x_{0}\approx 0.22$. Za $x<x_{0}$ nastaje kašnjenje, $T<0$. Vidimo da trka do cilja može da bude i neizvesna, i neobična.

Još neobičnija trka. A mogu li da postoje dve tautohrone tačke, $x_{01}$ i $x_{02}$ na intervalu $0<x<b$? U zadatku kako smo ga gore definisali, ne mogu. Zanimljivo je, međutim, promeniti uslove zadatka tako, da je odgovor na postavljeno pitanje potvrdan. Dovoljno je uzeti da je telo koje se kreće po izlomljenoj putanji kugla iste mase koja se kotrlja, a ne klizi kao pločica u gornjem primeru. Šta treba onda menjati u jednačinama koje smo mi koristili? Pre svega, javlja se i rotaciona energija. Neka čitalac pokaže da će se promeniti brzina u tački C pa će biti $v_{0\text{k}}=\sqrt{5/7}\,v_{0}$. To znači da telo ide sporije putem AC nego pre, kada je klizilo. Sve u svemu, može se pokazati da je nova razlika vremena kretanja pločice i kugle

$$T_{\text{k}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{\sqrt{h^{2}+b^{2}}}{h}-\sqrt{\frac{7}{5}}\left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{h}+\frac{b-x}{\sqrt{2gh}}\right) \tag{3}$$

Na slici 3 prikazali smo kako se menja $T_{\text{k}}$ sa promenom koordinate $x$, za $b=2$ i $h=1$. Vidimo da kriva seče osu u dvema tačkama: $x_{01}\approx 0.32$ i $x_{02}\approx 0.87$. Kugla stiže pre ako je $x_{01}<x<x_{02}$, inače kasni.

Slika 3

Pregledan i informativan je trodimenzionalni grafik intervala $T_{\text{k}}$. Na slici 4 on je dat za $h=0.5$. Odmah vidimo da će svaki par tačaka $\left(x,b\right)$ koji pripada „bregu”, opisivati situaciju kada telo, koje ide po pravoj liniji, kasni u odnosu na kuglu.

Bernulijev zadatak. Vratimo se slici 2. Jedan važan detalj nismo komentarisali. Postoje maksimumi krivih linija, gde razlika vremena $t_{1}-t_{2}$ ima najveću vrednost za odgovarajuće $x$. Dakle, ti maksimumi prosto znače ravan AC koja obezbeđuje najkraće vreme kretanja po izlomljenoj liniji ACB. Prepustićemo čitaocu da se bavi izračunavanjima, ako ga to zanima. Mi ćemo mu ponuditi gotove podatke: $x_{\max 1}\approx 0.577$, $x_{\max 2}\approx 0.433$ i $x_{\max 3}\approx 0.289$, jer žurimo da postavimo bitno pitanje.

Slika 4

Ono glasi: po kakvoj krivoj liniji, koja spaja tačke A i B, treba da se kreće telo , u polju Zemljine teže, (na primer u laboratoriji, gde se može smatrati da je to polje homogeno) pa da stigne od starta do cilja za najkraće moguće vreme? Kriva sa tom osobinom nazvana je brahistohrona. Tako da se gornje pitanje može zvati i zadatak o brahistohroni. Na grčkom βραξνξ (brahos) znači najkraći. Već smo videli da brahistohrona ne može biti prava linija. Mora se ići naokolo! Ali kako? Dobro je ići duž strme ravni kada je $x=x_{\max }$, ali postoji i brži put.

Godine 1696. postavio je zadatak o brahistohroni znameniti matematičar Johan Bernuli (1667 — 1748). U to vreme, najoriginalnije rešenje je dao njegov brat Jakob (1654 — 1705). On je pokazao da tražena kriva bajbržeg spusta mora biti takva da je u svakoj tački odnos sinusa ugla između tangente i vertikale prema kvadratnom korenu iz visine konstantan. Danas se ta kriva zove cikloida.

Daleko od toga da je detaljnija priča o Jakobovom rešenju neinteresantna. To je prosto jedna nova tema koja izlazi iz okvira našeg rada. Ali, na kraju moramo dodati i ovo: zadatak o brahistohroni jedan je od važnijih u istoriji nauke. On je podstakao razvitak važne oblasti matematike koja se zove varijacioni račun. Primene varijacionog računa u fizici su mnogobrojne i važne.