Korišćenje metoda fiksne tačke u analizi EM talasa na plazmenim vođicama

korišćenje metoda fiksne tačke u analizi

em talasa na plazmenim vođicama

V. Babović, M. Kovačević, K. Kanjevac, Prirodno-matematički fakultet u Kragujevcu.

Sadržaj — U radu se obrazlaže efikasnost upotrebe metoda fiksne tačke u numeričkoj obradi rezultata koji proizilaze iz analize elektromagnetskih talasa na složenim vođicama koje uključuju plazmene sredine u raznim varijantama.

1. Uvod

Analiza prostiranja elektromagnetskih talasa duž raznih vođica zanima fizičare i inženjere vež dugi niz godina. Vođice mogu biti raznog nivoa složenosti, te uključivati pojedine dielektrične slojeve u kombinaciji sa metalnim elementima, kao što su cilindrićni talasovodi ili spirale. Posebno je u žiži interesovanja bila plazma kao jedna od sredina kojoj pripada posebno mesto kada je reč o vođenim talasima. Pri svemu tom su istraživači (bilo da se radi o eksperimentima ili teorijskim uvidima) pribegavali adekvatnim geometrijama vođica; najčešće su to ravne, cilindrične i sferne strukture, ali i neke sofisticiranije, kao što su torusne.

Poslednja decenija obeležena je burnim razvojem kompjuterskih tehnologija i efikasnih softverskih paketa za analizu rezultata naučnih i inženjerskih proračuna. Dobilo se na kvalitetu i brzini rada koja je ranije bila teško dostupna. U oblasti koju ovde pominjemo to je veoma evidentno.

Primetili smo da je celishodno prilaziti problemima numeričkog tretmana obrazaca vezanih za vođene površinske plazmene talase primenom metoda fiksne tačke. O tome je originalno izvešćeno u monografiji [1]. Neke aspekte te problematike publikovali smo u radu [2]. Još na jednom mestu [3] bavili smo se razvojem ove problematike.

U ovom radu ćemo priložiti još neka obrazloženja brze konvergencije metoda fiksne tačke u primenama na vođene talase i dati aktuelan primer na problemu prostiranja talasa na spiralnoj vođici u plazmenoj sredini [4].

2. POjam površinske funkcije

Disperziona relacija vođenih elektromagnetskih talasa na plazmenim vođicama može se, u dosta opštem obliku, izraziti na sledeći nači

$$-\varepsilon _{p}=\varepsilon _{g}F\left[X,Y\left(X\right)\right]. \tag{1}$$

Ovde je $\varepsilon _{p}$ permitivnost plazmene sredine, $\varepsilon _{g}$ permitivnost sredine u koju je vođica zaronjena, a $F$ je karakteristična funkcija koja opisuje osobenosti geometrije, za datu učestanost (normalizovanu plazmenom učestanošću) i pripadajuću talasnu dužinu (normalizovanu nekom karakterističnom dužinom i sistemu). Štedeći prostor daćemo ovde jednostavniji, ali dovoljno karakterističan primer talasa na cilindričnoj plazmi poluprečnika a , kada je

$$F\left[X,Y\left(X\right)\right]\equiv F_{0}=\frac{ua}{va}\frac{I_{0}(ua)}{I_{1}(ua)}\frac{K_{1}(va)}{K_{0}(va)} \tag{2}$$

Površinska funkcija sadrži razne modifikovane Beselove funkcije, koje zavise od talasnog broja $X$ i normalizovane učestanosti $Y$. Na slici 1 nacrtali smo površinsku funkciju o kojoj je reč. Ona ima specifičan oblik: kriva monotono opada kada raste talasni broj (t.j. kada opada talasna dužina vođenog talasa). Takav tipičan tok grafika javlja se bez obzira na vrstu geometrije. Poznato je da se na osnovnom nivou metod fiksne tačke često očigledno ilustruje (pre svega testira na konvergentnost) pomoću obične kosinusne funkcije koja evidentno ima

Sl.1. Tipičan tok površinske funkcijesa porastom talasnog broja

srodno ponašanje; ta sličnost nam i daje ideju da se u numeričkim postupcima poslužimo iteracionim postupkom tipa fiksne tačke.

3. ITERACIONA PROCEDURA

Polazeći od (1) možemo stići do ovog poželjnog oblika disperzione relacije $Y(X)$

$$f\left(X,Y\left(X\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon _{g}F\left(X,Y\left(X\right)\right)}} \tag{3}$$

Treba odabrati neko startno rešenje, koje je nulta aproksimacija. Tada se poboljšano rešenje u prvom koraku, tj. prva aproksimacija jednačine nalazi izračunavanjem $Y_{1}=f\left(X,Y_{0}\left(X\right)\right)$. Svako sledeće rešenje izračunava se shodno algoritmu

$$Y_{i}=f\left(X,f\left(X,Y_{i-1}\left(X\right)\right)\right). \tag{4}$$

Vršeći mnogobrojne probe, na raznim modelima, pri mnogim vrednostima parametara, uverili smo se da je iteracija brzo konvergentan proces. Najčešće, već prva aproksimacija daje bitno poboljšanje nulte aproksimacije, dok je drugi aproksimant dovoljan da reprezentuje punu talasnu teoriju tj. da otstrani vidljive nedostatke tzv. kvazistatičke aproksimacije u domenu većih talasnih dužina.

Naravno, ovaj postupak je primenljiv i u evaluacijama znatno složenijih izraza, kad se analizira proces eksitacije, traži efikasnost eksitacije, procenjuje slabljenje, kad se traže nivoi snage talasa, i slično. U svim tim slučajevima, naime, zahteva se aplikacija disperzione relacije. Kako je ona u opštem slučaju implicitno zadana funkcija, nastaju teškoće numeričke prirode koje mi upravo i pokušavamo da prevaziđemo opisanim postupkom. Pomoću metoda fiksne tačke izračuvanje teče u kontinuitetu, znatno se olakšavaju numeričke manipulacije.

4. PLAZMENI TALASOVOD SA SPIRALOM

Primenićemo sada opisani postupak na važni slučaj talasa na cilindričnoj plazmi u metalnom cilindru, sa cpiralnom žicom na površini plazmenog cilindra. Šema vođice prikazana je na Sl. 2

Sl.2. Šema analizirane vođice

Na ovom mestu nismo u mogućnosti da ispišemo sa svim pojedinostima puni postupak rešavanja Maksvelovih jednačina za elektromagnetski talas koji se prostire duž ove strtrukture, pa upućujemo zainteresovanog čitaoca na rad [4] gde je procedura regularno sprovedena. Mi ćemo se koncentrisati na izračunavanje; za početak pripremamo postupak u odeljku A)

A) Prilagođavanje formule za izračunavanje

Disperziona relacija, kao što smo mi naglasili, može se dovesti formalno na oblik

$$Y=\frac{1}{\sqrt{\,1+\varepsilon _{\text{r}}\;f_{\text{coil}}}}, \tag{5}$$

Potrebno je poznavati površinsku funkciju ove vođice. Izraz se svodi na oblik

$$f_{\text{coil}}=\frac{D_{1}p_{0}^{2}\cot ^{2}\Psi -G_{1}}{\varepsilon _{\text{r}}p_{0}^{2}\cot ^{2}\Psi \frac{I_{1}\left(h\,_{1}a\right)}{h\,_{1}a\;I_{0}\left(h\,_{1}a\right)}}. \tag{6}$$

Za razumevanje ovog izraza potrebno je ukazati na značenje korišćenih skraćenica

$$D_{1}=\frac{\varepsilon _{\text{r}}}{h_{2}a}\frac{\frac{K_{1}\left(h_{2}a\right)}{K_{0}\left(h_{2}b\right)}+\frac{I_{1}\left(h_{2}a\right)}{I_{0}\left(h_{2}b\right)}}{\frac{K_{0}\left(h_{2}a\right)}{K_{0}\left(h_{2}b\right)}-\frac{I_{0}\left(h_{2}a\right)}{I_{0}\left(h_{2}b\right)}}; \tag{7}$$ $$G_{1}=\frac{h_{1}a\;I_{0}\left(h_{1}a\right)}{I_{1}\left(h_{1}a\right)}+h_{2}a\;\frac{\frac{K_{0}\left(h_{2}a\right)}{K_{1}\left(h_{2}b\right)}+\frac{I_{0}\left(h_{2}a\right)}{I_{1}\left(h_{2}b\right)}}{\frac{K_{1}\left(h_{2}a\right)}{K_{1}\left(h_{2}b\right)}-\frac{I_{1}\left(h_{2}a\right)}{I_{1}\left(h_{2}b\right)}}; \tag{8}$$ $$X=\beta a;\quad Y=\frac{\omega }{\omega _{\text{p}}};\quad p_{0}=\frac{\omega a}{c_{0}};\quad d=\frac{b}{a}; \tag{9}$$

$h\,_{1}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}\varepsilon _{\text{p}}}$; $h\,_{2}a=\sqrt{X^{2}-p_{0}^{2}\varepsilon _{\text{r}}}$; (10)

$$h\,_{2}b=d\;h\,_{2}a;\quad \varepsilon _{\text{p}}=1-\frac{1}{Y^{2}}. \tag{11}$$

Potrebno je reći sažeto zašto se pojavljuje veličina $\psi$, i kako se ona definiše. Primenjujući granične uslove na površini cilindrične plazme, opredelili smo se za model fiktivne površinske struje. Naime, ako je materijal od kojeg je napravljena spirala perfektan provodnik, tangencijalna komponenta polja duž žice mora biti jednaka nuli. Zbog toga se mora komponentama polja nametnuti zahtev

$$\tan \Psi =-\frac{E_{\phi }\left(a\right)}{E_{\text{z}}\left(a\right)}=\frac{p}{2\pi a} \tag{12}$$

Ovde je p korak spirale a $\psi$ je ugao spirale. Na ovaj se način sprežu modovi, slika postaje hibridna a ona se može opisati jedino punim setom Maksvelovih jednačina.

Tako, sada je potrebno odabrati nultu aproksimaciju. Ona se može principijelno dobiti iz postojećih jednačina kada se pređe na aproksimacije $h_{1}a\approx h_{2}a\approx X=\beta a$. To dovodi do relacije eksplicitnog karaktera $Y=F\left(X\right)$. Postoje i drugi postupci koji su isto tako valjani za izbor početnog aproksimanta; jedan od njih je, istina za slučaj aksijalno simetričnog talasa, na cilindru plazme, opisan u radu (5). Istini za volju, brza konvergencija nas oslobađa briga za posebno brižljivi izbor početne tačke na grafiku. Sada ćemo prikazati rezultate u odeljku B)

B) Rezultati izračunavanja

Razvili smo kompjuterski program koji sadrži odgovarajuće blokove u koje se mogu inkorporirati neophodni sadržaji u svakom konkretnom slučaju. Program može da se aktivira u okviru softverskog paketa Mathematica; za dati skup parametara program izračunava dipsrezionu relaciju sa unapred zadatom tačnođću I po potrebi crta disperzioni grafika. Na kragu smo pripremili listing programa, kao ilustraciju structure programa koji procesuiraju matematičke formule iteracionim postupkom.

Sl.3. Disperzione relacije za razne elektronske gustine u plazmi

Ova slika daje disperzione grafike za razne vrednosti parametra gustine $p_{0}$ tj. Za razne vrednosti koncentracije elektrona u jonizovanoj sredini (za nepromenljiv poluprečnik plazmenog stuba). Slika je sačinjena upotrebom prvog aproksimanta u metodi fiksne tačke. Gornja kriva ima vrenost parametra 0.1, a ostale, odozgo na dole, redom: 0.8, 0.6, 0.4. Navedimo da parametar debljine d ima usvojenu vrednost 3, dok je poluprečnik plazme 5 cm. Uzeto je da se plazmeni stub nalazi u staklenoj sredini permitivnosti 4.8 (pireks). Kako smo se opredelili za primer spirale koja ima korak 0.001, u proračunima se koristilo $\cos \psi =31.416$.

Vidi se važna osobina grafika da krive imaju prag. Vrednost praga funkcija je parametra gustine. Pri tom, što su veće gustine to se prag sve više približava koordinatnom početku. Pri vrlo veliki gustinama plazme kriva polazi praktično iz koordinatnog početka, a to se slaže sa dobro poznatim faktom da u aproksimaciji nelimitirane brzine svetlosti disperziona relacija zaista startuje od koordinatnog početka Briluenovog dijagrama.

Veće razilaženje krivih oseća se tek pri većim vrednostima normalizovanog talasnog broja X , tamo gdje on doseže 1.5 ili više. Krive u toj oblasti menjaju karakter porasta, javlja se intenzivnija zavisnost. Ali, u centralnom delu grafika, učestanost se slabo menja sa gustinom I grafici se vidno gomilaju kada je talasni broj jedan, ili nešto manje od jedinice.

5. zAKLJUČAK

U analizama prostiranja vođenih elektromagnetskih talasa duž struktura raznih stepena složenosti, i u raznim geometrijama, puna primena Maksvelovih jednačina po pravilu dovodi do složenih matematičkih formula. Tome doprinose i plazmene sredine, ako su uključene u sastav vođice, jer je permitivnost jonizovane sredine sama po sebi komplikovana funkcija učestanosti talasa (što zavisi i od nivoa primenjenog modela). Primena personalnih računara znatno olakšava numeričku obradu rezultata u širokom spektru problema. Nama izgleda da je metod fiksne tačke primeren zadacima prostiranja vođenih talasa i da obezdeđuje solidnu tačnost već u prvom ili drugom aproksimantu. Pomoću ovog metoda postiže zadovoljavajuća eksplikacija disprezione jednačine, pa se u istom softverskom paketu mogu u kontinuitetu izračunavati i mnoge druge talasne veličine (snaga, efikasnost eksitacije, slabljenje, impedansa i sl). U Dodatku prilažemo jedan kraći listing programa koji objašnjava ključne momente programiranja po metodu fiksne tačke u okviru softverskog paketa Matematica, a koji je bio osnova crtanja grafika kao što je onaj na našoj Sl. 3.

DODATAK

Remove[“Global`*”]

xx = x*x; yy = y*y; z = d*x; pp = par*par; ep = 1. - 1./yy;

I0x = BesselI[0, x]; I1x = BesselI[1, x];

K0x = BesselK[0, x]; K1x = BesselK[1, x];

I0z = BesselI[0, z]; I1z = BesselI[1, z];

K0z = BesselK[0, z]; K1z = BesselK[1, z];

Dgore = K1x/K0z + I1x/I0z; Ddole = K0x/K0z - I0x/I0z;

De = (eg/x)*(Dgore/Ddole); Ggore = K0x/K1z + I0x/I1z;

Gdole = K1x/K1z - I1x/I1z;

Ge = x*(I0x/I1x) + x*(Ggore/Gdole);

y0gore = Ge - pp*ctgpsi*ctgpsi*De; y0dole = pp*ctgpsi*ctgpsi*(1./x)*(I1x/I0x);

y0 = Sqrt[1./(1. - y0gore/y0dole)];

h1a = Sqrt[xx - pp*ep]; h2a = Sqrt[xx - pp*eg]; h2b = d*h2a;

I0h1a = BesselI[0, h1a]; I1h1a = BesselI[1, h1a]; I0h2a = BesselI[0, h2a];

I1h2a = BesselI[1, h2a]; K0h2a = BesselK[0, h2a]; K1h2a = BesselK[1, h2a];

K1h2b = BesselK[1, h2b]; K0h2b = BesselK[0, h2b]; I1h2b = BesselI[1, h2b]; I0h2b = BesselI[0, h2b];

Dgore1 = K1h2a/K0h2b + I1h2a/I0h2b; Ddole1 = K0h2a/K0h2b - I0h2a/I0h2b;

De1 = (eg/h2a)*(Dgore1/Ddole1);

Ggore1 = K0h2a/K1h2b + I0h2a/I1h2b; Gdole1 = K1h2a/K1h2b - I1h2a/I1h2b;

Ge1 = h1a*(I0h1a/I1h1a) + h2a*(Ggore1/Gdole1);

y1gore = Ge1 - pp*ctgpsi*ctgpsi*De1; y1dole =

pp*ctgpsi*ctgpsi*(1./h1a)*(I1h1a/I0h1a);

y = Sqrt[1./(1. - y1gore/y1dole)];

f = Sqrt[1./(1. - y1gore/y1dole)];

Y[y_] := f;

a = 0.005; korak = 0.001; par = 0.02; d = 3.; eg = 4.8; ctgpsi = 2.*Pi*a/korak; x = 0.1; Label[ovde];

yaN = FixedPoint[Y, y0, N];

Print[{x, yaN}];

x += 0.01; If[x < 1, Goto[ovde]]

LITERATURA

[1] Vukota Babović, “Eksitacija površinskih elektronskih talasa u plazmi”, Kragujevac: Prirodno-matematički fakultet, 1999.

[2] V. Babović, M. Kovačević, “Evaluating the dispersion relation of surface electron plasma waves by the fixed-point method”, Journal of Research in Physics, Vol 29, No 1, pp. 5-12, 2002.

[3] K. Kanjevac, V. Babović, M. Kovačević, “Improved numerical solutions to plasma loaded helical waveguide”, Kragujevac J. Sci., 25, pp. 31-40, 2003.

[4] B. A. Aničin, “Plasma loaded helical waveguide”, J. Phys. D: Appl. Phys., 33, pp. 1-6, 2000.

[5] V. M. Babović, “Electron plasma waves on cylindrical structures and the concept of an equivalent dielectric”, Zeitschrift für Naturforschung, 50a, 1995, pp. 897-901, 1995.

Abstract — The authors discuss the application of the fixed-point method when treating problems of propagations of guided electromagnetic waves along structures containing plasmas. The iterative procedure is rapid and often the first approximate only gives satisfactory results. The proposed method could naturally be adapted to match existing standard PC mathematical packages.

EM WAVES IN PLASMA WAVEGUIDES — NUMERICAL TREATMENT BASED ON THE FIXED POINT METHOD

V. Babović, M. Kovačević, K. Kanjevac