Dodatak: A. Ajnštajn, Uz kvantnu teoriju zračenja

A. Ajnštajn¹

121

Formalna sličnost krive hromatske raspodele temperaturskog zračenja sa Maksvelovim zakonom raspodele po brzinama je isuviše frapantna da bi mogla zadugo ostati skrivena. U suštini je već V. Vin u važnom teorijskom radu, u kojem je izveo svoj zakon pomeranja

$$\rho =\nu ^{3}f\left(\frac{\nu }{T}\right), \tag{1}$$

stigao pomoću ove sličnosti do dalekosežnog određivanja formule zračenja. Našao je pri tome poznatu formulu

$$\rho =\alpha \nu ^{3}e^{-\frac{h\nu }{kT}}, \tag{2}$$

koja se i danas smatra ispravnom kao granični zakon za velike vrednosti $\frac{\nu }{T}$ (Vinova formula zračenja). Danas znamo da nijedno razmatranje koje počiva na klasičnoj mehanici i elektrodinamici ne može dati upotrebljivu formulu zračenja, već da klasična teorija nužno vodi ka Rejlijevoj formuli

$$\rho =\frac{k\alpha }{h}\nu ^{2}T. \tag{3}$$

Kad je onda Planck u svom temeljitom istraživanju zasnovao svoju formulu zračenja

$$\rho =\alpha \nu ^{3}\frac{1}{e^{-\frac{h\nu }{kT}}-1} \tag{4}$$

na hipotezi diskretnih elemenata energije, iz koje se brzo razvijala kvantna teorija, prirodno je otišlo ono Vinovo promišljanje, koje je dovelo do jednačine (2), ponovo u zaborav.

Nedavno sam našao jedno, srodno izvornom Vinovom razmatranju², izvođenje Plankove formule zračenja, koje se oslanja na osnovnu pretpostavku kvantne teorije, u kojem dobija na značenju veza Maksvelove krive sa krivom hromatske raspodele. Ovo izvođenje zaslužuje pažnju ne samo zbog svoje jednostavnosti, već naročito zato što se čini da unosi nešto jasnoće u, za nas još tako mutne, procese emisije i apsorpcije zračenja kroz materiju. Čim sam ugradio neke, sa stanovišta kvantne teorije bliske hipoteze o emisiji i apsorpciji zračenja molekulima, pokazao sam da molekuli sa raspodelom stanja pri toplotnoj ravnoteži u smislu kvantne teorije, stoje u dinamičkoj ravnoteži sa Plankovim zračenjem; pojavila se ovim putem Plankova formula (4) na začuđujuće jednostavan i opšt način. Ona sledi iz uslova da se raspodela stanja unutrašnje energije molekula, što se zahteva kvantnom teorijom, jedino kroz apsorpciju i emisiju zračenja mora uspostaviti.

122

Kada se uvedene hipoteze o međusobnom delovanju zračenja i materije pokažu kao tačne, moraju one još i više dati nego što je tačna statistička raspodela unutrašnje energije molekula. Pri apsorpciji i emisiji zračenja prenosi se naime i impuls na molekule; ovo vodi tome, da se pukim međusobnim delovanjem zračenja i molekula uspostavlja i određena raspodela brzina molekula. Ona očito mora biti ista kao i ona raspodela brzina koju poprimaju molekuli pri isključivom uzajamnom delovanju pri međusobnim sudaranjima, t. j. ona mora biti saglasna sa Maksvelovom raspodelom. Mora se zahtevati da srednja kinetička energija jednog molekula (po stepenu slobode) u Plankovom polju zračenja na temperaturi $T$ iznosi $\frac{kT}{2}$; ovo mora da važi nezavisno od prirode razmatranih molekula i nezavisno od njihovih učestanosti apsorpcije i emisije. U ovoj raspravi ćemo dokazati da je ovaj dalekosežni zahtev u suštini sasvim opšti; time dobijaju naše jednostavne hipoteze o elementarnim procesima emisije i apsorpcije jedan novi oslonac.

No, da bi se dotični rezultat dobio, potrebno je određena dopuna prethodnih osnovnih hipoteza koje se jedino odnose na razmenu energije. Postavlja se pitanje: Pri sudaru, kad molekul apsorbuje ili emituje energiju $\varepsilon$? Posmatrajmo, na primer, izračivanje sa tačke gledišta klasične elektrodinamike. Kada telo izračuje energiju $\varepsilon$, dobija uzmak (impuls) $\frac{\varepsilon }{c}$, kada se cela količina zračenja $\varepsilon$ izrači u istom pravcu. Ali ako izračivanje protiče kao prostorno simetričan proces, n. pr. u vidu sfernog talasa, uzmaka uopšte neće ni biti. Ova alternativa takođe igra određenu ulogu u kvantnoj teoriji zračenja. Ako molekul prima energiju $\varepsilon$ pri prelazu iz jednog kvantnoteorijski mogućeg stanja u drugo, ili predaje pri tome energiju u obliku zračenja, onda se može shvatiti jedan takav elementarni proces kao delimično ili potpuno prostorno usmeren ili pak kao simetričan (neusmeren). Ispostavlja se da mi samo onda dospevamo do neprotivrečne teorije kada te elementarne procese razumemo kao sasvim usmerene ishode; ovo je glavni rezultat sledećeg razmatranja.

§ 1. Osnovna hipoteza kvantne teorije.

Kanonska raspodela stanja.

Po kvantnoj teoriji može neki molekul određene vrste posedovati, u zavisnosti od svoje orijentacije i translatornog kretanja, samo diskretan niz stanja $Z_{1}$, $Z_{2}$…$Z_{\text{n}}$…, kojima odgovaraju (unutrašnje) energije $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$…$\varepsilon _{\text{n}}$… Ako molekuli ove vrste pripadaju gasu na temperaturi $T$, relativna verovatnoća $W_{\text{n}}$ ovih stanja $Z_{\text{n}}$ data je odgovarajućom formulom statističke mehanike za kanonsku raspodelu stanja

$$W_{\text{n}}=p_{\text{n}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}. \tag{5}$$

U ovoj formuli je $k=\frac{R}{N}$ poznata Bolcmanova formula, $p_{\text{n}}$ je za dati molekul i $n$-to kvantno stanje jedan te isti karakteristični, od $T$ nezavisan broj, koji se može označiti i kao statistička „težina” ovog stanja. Formula (5) se može izvesti iz Bolcmanovog principa ili čisto termodinamičkim putem. Jednačina (5) je izraz najobuhvatnijeg uopštenja Maksvelovog zakona raspodele brzina.

Poslednji principijelni koraci kvantne teorije odnose se na teorijsko izračunavanje kvantnoteorijski mogućih stanja $Z_{\text{n}}$ i njihovih težina $p_{\text{n}}$. Za ovo principijelno istraživanje nije neophodno bliže određenje kvantnih stanja.

§ 2. Hipoteze o razmeni energije

posredstvom zračenja.

Neka su $Z_{\text{n}}$ i $Z_{\text{m}}$ dva u smislu kvantne teorije moguća stanja gasnog molekula, čije energije $\varepsilon _{\text{n}}$ i $\varepsilon _{\text{m}}$ zadovoljavaju nejednakost

$$\varepsilon _{\text{m}}>\varepsilon _{\text{n}}.$$

Molekul bi mogao preći iz stanja $Z_{\text{n}}$ na stanje $Z_{\text{m}}$ ako primi energiju zračenja $\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}$; isto tako je moguć prelazak iz stanja $Z_{\text{m}}$ u stanje $Z_{\text{n}}$ predavanjem ove energije zračenja. Neka ovo zračenje koje molekul prima ili predaje za posmatranu kombinaciju indeksa $\left(\text{m},\text{n}\right)$ ima karakterističnu učestanost $\nu$.

123

Za zakone, koji su merodavni za ove prelaze, uvodimo neke hipoteze koje su dobijene prenošenjem poznatih odnosa za Plankov rezonator po klasičnoj teoriji na još nepoznate (odnose)* kvantne teorije.

a) Izračivanje. Plankov rezonator koji osciluje izračuje po Hercu na poznat način energiju, nezavisno od toga da li se on pobuđuje spoljašnjim poljem ili ne. U skladu s tim, mogao bi molekul da pređe iz stanja $Z_{\text{m}}$ u stanje $Z_{\text{n}}$ emisijom zračeće energije $\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}$ učestanosti $\mu$ bez pobuđivanja spoljašnjim uzrocima. Verovatnoća $dW$ da se ovo zaista i dogodi u intervalu vremena $dt$ bila bi

$$\text{dW}=\text{A}_{\text{m}}^{\text{n}}dt, \tag{A}$$

pri čemu je $A_{m}^{n}$ neka karakteristična konstanta za posmatranu kombinaciju indeksa.

Prihvaćeni statistički zakon odgovara onom za neku radioaktivnu reakciju, pretpostavljeni elementarni proces takve reakcije pri kojoj se emituju samo $\gamma$-zraci. Ne treba uzeti da ovaj proces ne iziskuje nikakvo vreme; jedino ovo vreme mora biti zanemarljivo u odnosu na vremena boravka molekula u stanjima $Z_{1}$ itd.

b) Uzračivanje. Ako se nalazi neki Plankov rezonator u polju zračenja, menja se energija rezonatora tako što elektromagnetsko polje zračenja vrši rad na rezonator; ovaj rad može prema fazama rezonatora i oscilujećeg polja biti pozitivan ili negativan. U skladu s tim uvodimo sledeće kvantnoteorijske hipoteze. Pod dejstvom gustine zračenja $\rho$ učestanosti $\nu$ može molekul preći iz stanja $Z_{\text{n}}$ u stanje $Z_{\text{m}}$, pri čemu molekul prima energiju zračenja $\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}$, u skladu sa zakonom verovatnoće

$$dW=B_{\text{n}}^{\text{m}}\rho dt. \tag{B}$$

Takođe, neka je moguć i prelaz $Z_{\text{m}}\to Z_{\text{n}}$ pod dejstvom zračenja, pri čemu se oslobađa energija zračenja $\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}$ u skladu sa zakonom verovatnoće

$dW=B_{\text{m}}^{\text{n}}\rho dt$. (B’)

$B_{\text{n}}^{\text{m}}$ i $B_{\text{m}}^{\text{n}}$ su konstante. Oba procesa zovemo „promena stanja zračenjem”.

Postavlja se sad pitanje, kakav se impuls prenosi na molekul u ovim razmatranim promenama stanja. Počnimo s procesima uzračivanja. Ako snop svetlosti određenog pravca izvrši rad na Plankov rezonator, predaće mu snop zračenja odgovarajuću energiju. Ovom prenošenju energije odgovara, prema učenju o impulsu, i prenošenje impulsa sa snopa zračenja na rezonator. Ovaj (rezonator)* trpi dakle dejstvo sile u pravcu (prostiranja)* snopa zračenja. Ako je preneta energija negativna, sila na rezonator će biti suprotnog smera. U slučaju kvantne hipoteze ovo znači očito sledeće. Ako delovanjem snopom zračenja pri uzračivanju nastaje proces $Z_{\text{n}}\to Z_{\text{m}}$, preneće se na molekul impuls $\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{c}$ u pravcu prostiranja snopa. Pri procesu uzračivanja $Z_{\text{m}}\to Z_{\text{n}}$ ima preneti impuls istu veličinu, ali suprotan smer. U slučaju da je molekul izložen istovremenom dejstvu više snopova zračenja, pretpostavljamo da je cela energija $\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}$ jednog elementarnog procesa oduzeta odnosno dodeljena jednom od ovih snopova zračenja, tako da se i u ovom slučaju prenosi na molekul impuls $\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{c}$.

Pri predaji energije izračivanjem, u slučaju Plankovog rezonatora neće biti prenet u celosti nikakav impuls na rezonator, pošto se po klasičnoj teoriji izračivanje vrši u vidu sfernog talasa. No odmah primetimo da možemo stići do neprotivrečne kvantne teorije ako pretpostavimo da je i proces izračivanja usmereni proces. Tada će se pri svakom elementarnom procesu izračivanja ($Z_{\text{m}}\to Z_{\text{n}}$) prenositi na molekul impuls veličine $\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{c}$. Ako je ovaj (molekul)* izotropan, moramo sve pravce izračivanja shvatiti kao jednako verovatne. Ako molekul nije izotropan, dospevamo do istog iskaza kada se orijentacija menja u toku vremena po slučajnom zakonu. Takva pretpostavka mora biti uostalom učinjena i za statističke zakone uzračivanja (B) i (B’), jer bi inače konstante $B_{\text{n}}^{\text{m}}$ i $B_{\text{m}}^{\text{n}}$ morale da zavise od pravca, što mi ovim stavom o izotropiji i pseudoisotropiji (slikom srednje vremenske vrednosti) možemo izbeći.

124

§ 3. Izvođenje Plankovog zakona zračenja

Potražimo sada onu delotvornu gustinu zračenja $\rho$ koja mora vladati da razmena energije između zračenja i molekula prema statističkim zakonima (A), (B) i (B’) ne bi ometala raspodelu stanja molekula u skladu sa jednačinom (5). Za to je potrebno i dovoljno da se u jedinici vremena prosečno događa isto onoliko elementarnih procesa tipa (B) koliko i tipova (A) i (B’) zajedno. Ovaj uslov, prema (5), (A), (B), (B’), daje za elementarne procese koji odgovaraju kombinaciji indeksa (m,n) jednačinu

$$p_{\text{n}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}\;B_{\text{n}}^{\text{m}}\rho =p_{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{m}}}{\text{kT}}}\;\left(B_{\text{m}}^{\text{n}}\rho +A_{\text{m}}^{\text{n}}\right).$$

Dalje, ako $\rho$ beskonačno raste sa $T$, što ćemo usvojiti, onda mora da postoji između konstanti $B_{\text{n}}^{\text{m}}$ i $B_{\text{m}}^{\text{n}}$ veza

$$p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}=p_{\text{m}}B_{\text{m}}^{\text{n}}. \tag{6}$$

Onda iz naše jednačine dobijamo za uslov dinamičke ravnoteže

$$\rho =\frac{\frac{A_{\text{m}}^{\text{n}}}{B_{\text{m}}^{\text{n}}}}{e^{\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}-1}. \tag{7}$$

Ovo je ta zavisnost gustine zračenja od temperature koja odgovara Plankovom zakonu. Iz Vinovog zakona pomeranja (1) odmah sledi da mora biti

$$\frac{A_{\text{m}}^{\text{n}}}{B_{\text{m}}^{\text{n}}}=\alpha \nu ^{3} \tag{8}$$ $$\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}=h\nui, \tag{9}$$

pri čemu su $\alpha$ i $h$ univerzalne konstante. Da bi se dobila numerička vrednost konstante $\alpha$, morala bi se imati neka egzaktna teorija elektrodinamičkih i mehaničkih procesa; ostaje da ovde zasada uputimo na postupak u Rejlijevom graničnom slučaju viših temperatura, koji važi u granici po klasičnoj teoriji.

Jednačina (9) predstavlja poznato drugo glavno pravilo (postulat)** Borove teorije spektara, o kome se može tvrditi po Zomerfeldovim i Epštajnovim uopštenjima da pouzdano pripada našoj nauci. On sadrži implicitno i fotohemijski zakon ekvivalencije, kao što sam pokazao.

§ 4. Metodi proračuna kretanja molekula u polju zračenja.

Sada se okrenimo ispitivanju kretanja, koje izvodi naš molekul pod uticajem zračenja. Koristićemo pri tome jedan metod koji je dobro poznat iz teorije Braunovog kretanja, i koji sam već više puta koristio za numeričko ispitivanje kretanja u prostoru sa zračenjem. Da bismo pojednostavili račun, izvešćemo ga jedino za slučaj kretanja duž jednog pravca, $X$-pravca ($x$-pravca)* koordinatnog sistema. Dalje, zadovoljićemo se time, proračunavajući srednju vrednost kinetičke energije postupnog kretanja, da odustanemo od dokaza da su ove brzine $v$ raspodeljene po Maksvelovom zakonu. Neka je masa molekula $M$ dovoljno velika; neka su više potencije od $\frac{v}{c}$ zanemarljive u odnosu na osnovnu; onda možemo da primenimo na molekul običnu mehaniku. Dalje, možemo bez stvarnog ograničenja opštosti tako računati kao kad bi stanja sa indeksima $m$ i $n$ bila jedina koja su u molekulu moguća.

Impuls $Mv$ nekog molekula trpi u kratkom vremenu $\tau$ dve vrste promena. Uprkos tome što je zračenje jednako u svim pravcima, trpeće molekul, zbog svog kretanja, silu izazvanu zračenjem, koja deluje nasuprot kretanju. Neka je ona jednaka $Rv$, gde je $R$ predstavlja konstantu koju ćemo kasnije odrediti. Ova bi sila zaustavila molekul, kada ne bi neravnomernost delovanja zračenja imala za posledicu da prenosi u vremenu $\tau$ na molekul impuls $\Delta$ promenljivog znaka i promenljive veličine; ovaj nesistematski uticaj će prema gore naznačenom postojano podržavati određeno kretanje molekula. Na kraju posmatranog kratkog vremena $\tau$ imaće impuls molekula vrednost

$$Mv-Rv\tau +\Delta.$$

Pošto raspodela brzina u vremenu treba da ostane konstantna, mora data veličina u srednjem apsolutnom iznosu biti ista kao i veličina $Mv$; srednja vrednost kvadrata obe veličine, uzeta za dugo vreme, ili za veliki broj molekula, moraju dakle biti jednake:

$$\overline{\left(Mv-Rv\tau +\Delta \right)^{2}}=\overline{\left(Mv\right)^{2}}.$$

125

Pošto smo izbegli sistematski uticaj (brzine)* $v\Delta$ na impuls molekula naročito u računu, zanemarićemo srednju vrednost $\overline{v\Delta }$. Stoga se razvijanjem leve strane jednačine dobija

$$\overline{\Delta ^{2}}=2RM\overline{v^{2}}\tau \tag{10}$$

Srednja vrednost $\overline{v^{2}}$, koju formira zračenje temperature $T$ sa našim molekulima posredstvom uzajamnog delovanja sa njima, mora isto toliko biti velika kao i ona srednja vrednost $\overline{v^{2}}$ koju poprima gasni molekul prema gasnim zakonima pri temperaturi $T$ po kinetičkoj gasnoj teoriji. Jer bi, inače, prisustvo naših molekula poremetilo termičku ravnotežu između temperaturskog zračenja i nekog proizvoljnog gasa iste temperature. Mora dakle biti

$$\overline{\frac{Mv^{2}}{2}}=\frac{kT}{2} \tag{11}$$

Jednačina (10) prelazi dakle u

$$\frac{\overline{\Delta ^{2}}}{\tau }=2RkT \tag{12}$$

Ispitivanje će sada teći kao što sledi. Za dato zračenje $\left(\rho \left(\nu \right)\right)$ mogu se izračunati $\overline{\Delta ^{2}}$ i $R$ prema našim hipotezama o uzajamnom delovanja između zračenja i molekula. Ako se ti rezultati stave u (12), mora ova jednačina biti identički ispunjena, kad je $\rho$ izraženo u funkciji od $\nu$ i $T$ na osnovu Plankove jednačine (4).

§ 5. Proračun za $R$.

Neka se neki molekul posmatrane vrste jednolično kreće duž $x$-ose koordinatnog sistema $K$ brzinom $v$. Tražimo koliki je preneti impuls u jedinici vremena na molekul u zračenju. Da bismo mogli da ovo izračunamo, moramo da ocenimo zračenje iz koordinatnog sistema $K'$, u kojem posmatrani molekul miruje. Jer smo formulisali naše hipoteze o emisiji i apsorpciji jedino za nepokretne molekule. Transformacija na sistem $K'$ je u literaturi više puta izvedena, naročito tačno u Mozengajlovoj berlinskoj disertaciji. Ja ću ipak ovde ponoviti radi celine jednostavna razmišljanja.

U odnosu na $K$ zračenje je izotropno, t. j. zračenje koje pripada određenom infinitezimalnom telesnom uglu $d\chi$ u odnosu na pravac zraka, u intervalu učestanosti $d\nu$ u jedinici vremena iznosi

$$\rho d\nu \frac{d\chi }{4\pi } \tag{13}$$

pri čemu $\rho$ zavisi jedino od učestanosti $\nu$, ali ne i od pravca. Ovom posmatranom zračenju odgovara, u odnosu na koordinatni sistem $K'$, posmatrano zračenje koje je isto tako karakterisano pomoću intervala učestanosti $d\nu '$ i pomoću određenog telesnog ugla $d\chi '$. Zapreminska gustina ovog posmatranog zračenja je

$\rho '\left(\nu ',\phi '\right)d\nu '\frac{d\chi '}{4\pi }$ (13’)

Ovim je $\rho '$ definisano. Ova (gustina)* zavisi od pravca koji je definisan na dobro poznat način uglom $\phi '$ sa $x'$-osom i uglom $\psi '$ projekcija $y'$, $z'$ sa $y'$-osom. Ovi uglovi odgovaraju uglovima $\phi$ i $\psi$, koji na analogan način određuju pravac $d\chi$ u odnosu na $K$.

Sad je najpre jasno, da između (13) i (13’) moraju da važe iste transformacije kao i za kvadrate amplituda $A^{2}$ i $A'^{2}$ jednog ravnog talasa odgovarajućeg pravca. Zato je u aproksimaciji koju želimo

$$\frac{\rho '\left(\nu ',\phi '\right)d\nu 'd\chi '}{\rho \left(\nu \right)d\nu d\chi }=1-2\frac{v}{c}\cos \phi \tag{14}$$

ili

$\rho '\left(\nu ',\phi '\right)=\rho \left(\nu \right)\frac{d\nu }{d\nu '}\frac{dk}{dk'}\left(1-2\frac{v}{c}\cos \phi \right).$ (14’)

(umesto $k$ treba da stoji $\chi$)**

Teorija relativnosti daje dalje sa željenom tačnošću validne formule

$$\nu '=\nu \left(1-\frac{v}{c}\cos ^{2}\phi \right) \tag{15}$$ $$\cos \phi '=\cos \phi -\frac{v}{c}+\frac{v}{c}\cos ^{2}\phi \tag{16}$$ $$\psi '=\psi \tag{17}$$

(U jednačini (15) u zadnjem članu treba da stoji u zagradi $1-\frac{v}{c}\cos \phi$)**

Iz (15) sledi u odgovarajućoj aproksimaciji

$$\nu =\nu '\left(1+\frac{v}{c}\cos ^{2}\phi '\right).$$

Dakle imamo, takođe u željenoj aproksimaciji,

$$\rho \left(\nu \right)=\rho \left(\nu '+\frac{v}{c}\nu '\cos \phi '\right)$$

ili

$$\rho \left(\nu \right)=\rho \left(\nu '\right)+\frac{\partial \rho }{\partial \nu }\left(\nu '\right)\cdot \frac{v}{c}\nu '\cos \phi ' \tag{18}$$

Dalje je shodno (15), (16) i (17)

$$\frac{d\nu }{d\nu '}=1+\frac{v}{c}\cos \phi '$$ $$\frac{d\chi }{d\chi '}=\frac{\sin \phi d\phi d\psi }{\sin \phi 'd\phi 'd\psi '}=\frac{d\left(\cos \phi \right)}{d\left(\cos \phi '\right)}=1-2\frac{v}{c}\cos \phi '.$$

126

Na osnovu ove dve relacije i (18) prelazi (14’) u

$$\rho '\left(\nu ',\phi '\right)=\left[\left(\rho \right)_{\nu }+\frac{v}{c}\nu '\cos \phi '\left(\frac{\partial \rho }{\partial \nu }\right)_{\nu }\right]\left(1-3\frac{v}{c}\cos \phi '\right) \tag{19}$$

Pomoću (19) i naše hipoteze o izračivanju i uzračivanju molekula možemo lako proračunati predati srednji impuls molekulu u jedinici vremena. Pre nego ovo učinimo, moramo još nešto reći uz opravdanje usvojenog metoda. Može se zameriti da su jednačine (14), (15), (16) zasnovane na Maksvelovoj teoriji koja nije usaglašena sa kvantnom teorijom. Ipak je ova zamerka više formalna nego suštinska. Jer kako god bila napravljena teorija elektromagnetskih procesa, ipak će u svakom slučaju ostati na snazi Doplerov princip i zakon aberacije, dakle samim tim i jednačine (15) i (16). Dalje, energetska veza (14) sigurno prevazilazi važenje koje bi imala samo po undulatornoj teoriji; ovaj zakon transformacije važi po teoriji relativnosti takođe na pr. za energetsku gustinu jedne beskonačno male mase mirovanja koja se kreće (kvazi-) brzinom svetlosti. Jednačina (19) može stoga važiti za svaku teoriju zračenja. —

Zračenje koje pripada prostornom uglu $d\chi '$ moglo bi u sekundi da pobudi

$$B_{\text{n}}^{\text{m}}\rho '\left(\nu ',\phi '\right)\frac{d\chi '}{4\pi }$$

elementarnih procesa uzračivanja tipa $Z_{\text{n}}\to Z_{\text{m}}$, kad bi se molekul posle svakog takvog elementarnog procesa odmah vraćao u stanje $Z_{\text{n}}$. U stvarnosti je međutim vreme boravka u stanju $Z_{\text{n}}$ za sekundu shodno (5) jednako

$$\frac{1}{S}p_{\text{n}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}},$$

gde je uvedena skraćenica

$$S=p_{\text{n}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}+p_{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{m}}}{\text{kT}}}. \tag{20}$$

Broj ovih procesa za sekundu iznosi dakle u stvarnosti

$$\frac{1}{S}p_{\text{n}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}B_{\text{n}}^{\text{m}}\rho '\left(\nu ',\phi '\right)\frac{d\chi '}{4\pi }.$$

Pri svakom takvom elementarnom procesu će se preneti na atom u pravcu pozitivne $x'$-ose impuls

$$\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{\text{c}}\cos \phi '.$$

Na analogan način nalazimo, oslanjajući se na (B), da je odgovarajući broj elementarnih procesa uzračenja tipa $Z_{\text{m}}\to Z_{\text{n}}$ u sekundi

$$\frac{1}{S}p_{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{m}}}{\text{kT}}}B_{\text{m}}^{\text{n}}\rho '\left(\nu ',\phi '\right)\frac{d\chi '}{4\pi }.$$

I pri svakom takvom elementarnom procesu prenosi se na molekul impuls

$$-\frac{\varepsilon _{\text{m}}-\varepsilon _{\text{n}}}{\text{c}}\cos \phi '.$$

Ceo na molekul preneti impuls za jedinicu vremena pri uzračivanju za jedinicu vremena je stoga s obzirom na (6) i (9)

$$\frac{h\nu '}{S}p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}\left(e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}-e^{-\frac{\varepsilon _{\text{m}}}{\text{kT}}}\right)\int \rho '\left(\nu ',\phi '\right)\cos \phi \frac{d\chi '}{4\pi },$$

pri čemu se intregrali po svim prostornim elementarnim uglovima. Kad se ovo učini, dobija se usled (19) vrednost

$$-\frac{h\nu }{c^{2}S}\left(\rho -\frac{1}{3}\nu \frac{\partial \rho }{\partial \nu }\right)p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}\left(e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}-e^{-\frac{\varepsilon _{\text{m}}}{\text{kT}}}\right)\cdot v.$$

Pri tom smo radnu učestanost ponovo označili sa $\nu$ (umesto $\nu '$).

Ali ovaj izraz predstavlja sav preneti impuls, u srednjem za jedinicu vremena, na molekul koji se kreće brzinom $v$. Onda je jasno da bez uticaja zračenja elementarni procesi izračivanja, posmatrano iz sistema $K'$, nemaju privilegovan pravac, dakle u srednjem takođe ne mogu da prenesu na molekul nikakav impuls. Zato dobijamo kao krajnji rezultat našeg razmatranja:

$$R=\frac{h\nu }{c^{2}S}\left(\rho -\frac{1}{3}\nu \frac{\partial \rho }{\partial \nu }\right)p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}\left(1-e^{-\frac{h\nu }{\text{kT}}}\right). \tag{21}$$

§ 6. Proračun za $\overline{\Delta ^{2}}$.

Mnogo je jednostavnije proračunati dejstvo neravnomernosti elementarnih procesa na mehaničko stanje molekula. Jer, može se ovaj račun provesti uzimjući nepokretni molekul kao polazište, a to je nivo približnosti s kojim smo bili zadovoljni od početka.

Neka je, bilo kako, prenet na neki molekul impuls $\lambda$ u pravcu $x$-ose. Neka u različitim slučajevima ovaj impuls ima raličiti znak i različitu veličinu. Ipak bi važio za $\lambda$ takav statistički zakon koji anulira srednju vrednost od $\lambda$. Neka su sada $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$,… vrednosti impulsa koje prenose međusobno nezavisni aktivni uzroci na molekul u $x$-pravcu,

127

tako da je sav preneti impuls $\Delta$ dat sa

$$\Delta =\sum\limits \lambda _{v}.$$

Onda je, pošto za pojedinačna $\lambda \nu$ (treba $\lambda _{v}$)* propada srednja vrednost:

$$\overline{\Delta ^{2}}=\overline{\sum\limits \lambda _{v}^{2}} \tag{22}$$

Ako su srednje vrednosti $\overline{\lambda _{v}^{2}}$ pojedinih impulsa međusobno jednake $\left(=\overline{\lambda ^{2}}\right)$, i ako je $\ell$ ukupan broj pobuda koje daju impulse, važi veza

$$\overline{\Delta ^{2}}=\overline{\ell \lambda ^{2}}. \tag{22a}$$ $$\overline{\Delta ^{2}}=\ell \overline{\lambda ^{2}}* \tag{trebadastoji}$$

Sada, po našoj hipotezi preneće se, pri svakom procesu uzračenja i izračenja, na molekul impuls

$$\lambda =\frac{h\nu }{c}\cos \phi.$$

Pri tom je $\phi$ ugao između $x$-ose i nekog nasumce izabranog pravca. Otuda se dobija

$$\overline{\lambda ^{2}}=\frac{1}{3}\left(\frac{h\nu }{c}\right)^{2}. \tag{23}$$

Pošto mi uzimamo da se svi posmatrani elementarni procesi mogu shvatiti kao međusobno nezavisni događaji, smemo da primeniti (22a). Onda je $\ell$ broj ukupnih za vreme $\tau$ odigranih procesa. On je dvostruko veći od broja akata uzračenja $Z_{\text{n}}\to Z_{\text{m}}$ u vremenu $\tau$. Dakle imamo

$$\ell =\frac{2}{S}p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}\rho \tau. \tag{24}$$

Iz (23), (24) i (22) se dobija

$$\frac{\overline{\Delta ^{2}}}{\tau }=\frac{2}{3S}\left(\frac{h\nu }{c}\right)^{2}p_{\text{n}}B_{\text{n}}^{\text{m}}e^{-\frac{\varepsilon _{\text{n}}}{\text{kT}}}\rho. \tag{25}$$

§ 7. Rezultat.

Da bismo sada pokazali da, po našim osnovnim hipotezama, na molekulima izvršeni impulsi od strane zračenja nikako ne remete termodinamičku ravnotežu, potrebno je samo da umetnemo u (25) i (21) izračunate vrednosti za $\frac{\overline{\Delta ^{2}}}{\tau }$ i $R$, pošto u (21) zamenimo veličinu

$$\left(\rho -\frac{1}{3}\nu \frac{\partial \rho }{\partial \nu }\right)\left(1-e^{-\frac{h\nu }{\text{kT}}}\right)$$

sa $\frac{\rho h\nu }{3kT}$, shodno (4). Onda se odmah pokazuje da je naša fundamentalna jednačina (12) indentički zadovoljena. —

Upravo završeno razmatranje obezbeđuje jaku potporu za hipoteze, koje smo primenili u Í 2, o međusobnom delovanju (interakciji)** materije (supstancije)** i zračenja posredstvom procesa apsorpcije i emisije, odnosno uzračivanja i izračivanja. Prema ovim hipotezama vukla me težnja da na najjednostavniji način postuliram kvantnoteorijsko ponašanje molekula, koje bi bilo analogno Plankovom rezonatoru u klasičnoj teoriji. Iz opštih kvantnih pretpostavki za materiju prirodno se javilo drugo Borovo pravilo (postulat)** (jednačina 9), kao i Plankova formula zračenja.

Ali mi se čini da je najvažniji rezultat koji se tiče prenošenja impulsa na molekule pri uzračivanju i izračivanju. Kada bi se u tom pogledu preinačile naše pretpostavke, sledila bi povreda jednačine (12); čini se da je jedva moguće drugačije nego na temelju naših pretpostavki ostati u skladu sa ovom relacijom koju zahteva teorija toplote. Zbog toma možemo da smatramo sledeće kao prilično sigurno dokazano.

Ako deluje neki snop zračenja, pa u susretu sa molekulom ovaj kroz elementarni proces ispušta ili prima (uzračivanje) u obliku zračenja energiju $h\nu$, smesta će se preneti na molekul impuls $\frac{h\nu }{c}$ i to pri prihvatanju energije u smeru prostiranja snopa, a pri odavanju energije u suprotnom smeru. Ako se molekul nalazi pod dejstvom više usmerenih snopova zračenja, uvek samo jedan učestvuje sa jednim elementarnim procesom uzračivanja; ovaj snop sam određuje smer impulsa prenetog na molekul.

Ako molekul pretrpi, bez spoljašnje pobude, energetski gubitak u iznosu $h\nu$, pri čemu on odašilje ovu energiju u obliku zračenja (izračivanje), i ovaj će proces biti usmeren. Nema izračivanja u vidu sfernih talasa. Molekul trpi trzaj veličine $\frac{h\nu }{c}$ u slučajnom pravcu prema sadašnjem stanju teorije, pri elementarnom procesu izračivanja.

Ove, jednačinom (12) zahtevane osobine elementarnih procesa skoro neminovno dopuštaju pojavu jedne teorije zračenja, koja je istinski vezana za kvante. Slabost teorije leži, s jedne strane, u tome

128

da nam ne približava spajanje sa undulatornom teorijom, a s druge strane što prepušta „slučaju” vreme i pravac elementarnih procesa; uprkos tome gajim puno poverenje u pouzdanost trasiranog puta.

Još jedna opšta napomena mora ovde da nađe mesto. Skoro sve teorije temperaturskog zračenja počivaju na razmatranju uzajamnog dejstva između zračenja i molekula. Ali uopšte zadovoljavaju se razmatranjem razmene energije, ne uzimajući u obzir razmenu impulsa. Osećaj je da je to lako opravdati, jer malen impuls koji se zračenjem prenosi u stvarnosti se skoro uvek zanemaruje u poređenju s drugim uzrocima kretanja. Ali za teorijska razmatranja se moraju sagledati i ona mala delovanja, pored očiglednog prenosa energije zračenjem, kao potpuno jednakovredna, pri čemu su energija i impuls najtešnje međusobno spojeni; zato, jedna teorija može da bude sagledana tek tada kao opravdana kad se pokaže da impulsi zračenjem preneti na materiju vode ka takvom kretanju kakvo se zahteva teorijom toplote.

(Prispelo 3. marta 1917.)

Footnotes

1. Prethodno štampano u saopštenjima fizičkog društva Cirih, br. 18, 1916. ↩

2. Radovi Nemačkog fizičkog društva br. 13/14, 1916, s. 318. U ovom istraživanju ponovljena su razmatranja data u upravo citiranoj raspravi. ↩